2021届河北衡水密卷新高考仿真考试(五)数学(文)试题
2021届河北衡水密卷新高三原创预测试卷(一)文科数学
2021届河北衡水密卷新高三原创预测试卷（一）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题1.已知{}1{||42x x A x y B x +===<，则A B =（ ）A. (0,1)B. (0,1]C. RD. ∅【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义条件及指数不等式,可解得集合A 与集合B,再由集合交集运算即可得解.【详解】对于集合{{}||1A x y x x ===≥对于集合{}{}{}121|42|22|1x x xx B x x x x ++=<=<=<所以{}{}|1|1AB x x x x ≥<=∅=故选:D【点睛】本题考查了指数不等式的解法与二次根式有意义的条件,交集的简单运算,属于基础题. 2.复数(23)i i -对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】将复数根据乘法运算化简即可得在复平面内的坐标,即可判断所在象限. 【详解】由复数的乘法运算,化简可得()2233232i i i i i -=-+=+则在复平面内对应点的坐标为()3,2 所以对应的点在第一象限 故选:A【点睛】本题考查了复数的乘法运算,复数的几何意义,属于基础题. 3.函数2x y xe x =+的图象在点(0,0)处的切线方程为（ ） A. 21y x =-- B. 21y x =- C. 3y x = D. 3y x =-【答案】C 【解析】 【分析】先根据函数求得导函数,再根据切点的横坐标求得切线的斜率,即可由点斜式求得切线方程.【详解】函数2xy xe x =+则'2x xy e xe =++所以切线的斜率023k e =+= 由点斜式可得3y x = 故选:C【点睛】本题考查了导数的几何意义,过曲线上一点切线方程的求法,属于基础题.4.已知ABC ∆外接圆半径为1，圆心为O ，若20OA AB AC ++=，则ABC ∆面积的最大值为（ ）A. 2B.32C.D. 1【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算,可判断出BC 为圆的直径.结合勾股定理及不等式即可求得面积的最大值.【详解】根据向量的减法运算,化简20OA AB AC ++=可得20OA OB OA OA OC -+-+=,则0OBOC +=即O 为BC的中点.又因为O 为ABC ∆外接圆圆心,该外接圆的半径为1.所以2BC = 由圆的性质可知, 90BAC ∠= 设,AB a AC b == 则224a b +=由不等式性质可知2242a b ab =+≥, 则2ab ≤当且仅当a b ==所以112122ABCS ab ∆即ABC ∆面积的最大值为1 故选:D【点睛】本题考查了向量的线性运算,不等式性质的应用,属于基础题.5.设点Q 为10220323x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，所表示的平面区域内的动点，若在上述区域内满足22x y +最小时所对应的点为P ，则OP 与OQ （O 为坐标原点）的夹角的取值范围为（ ） A. [0,]4πB. [0,]3πC. [0,]2πD. 3[,]24ππ【答案】A【分析】根据不等式组,可画出可行域.根据距离的最小值,可判断出P 点位置.再由几何性质即可求得夹角的取值范围.【详解】根据所给不等式组,画出可行域如下图所示:满足22xy +最小时所对应的点为P ,即可行域内的P 到原点距离的平方最小当OP 与直线10x y +-=垂直时,交点即为P 点. 设直线10x y +-=与x 轴交于点B ,与y 轴交于点A由直线10x y +-=的斜率与倾斜角可知,45ABO BAO ∠=∠= 由OP 与直线10x y +-=垂直所以当Q 与A 或B 重合时, OP 与OQ 的夹角取得最大值;当Q 与P 重合时, OP 与OQ 的夹角取得最小值即OP 与OQ 的夹角的取值范围为[0,]4π故选:A【点睛】本题考查了线性规划的简单应用,距离型最值的求法,平面几何性质的应用,属于基础题.6.已知递增等差数列{}n a 中，122a a =-，则3a 的（ ） A. 最大值为4- B. 最小值为4C. 最小值为4-D. 最大值为4或4- 【答案】B【分析】根据等差数列的通项公式可用1a 表示出d .由数列单调递增可得10a <.用1a 表示出3a ,结合基本不等式即可求得最值. 【详解】因为122a a =-由等差数列通项公式,设公差为d ,可得()112a a d +=- 变形可得112d a a =--因为数列{}n a 为递增数列,所以1120d a a =--> 即10a <而由等差数列通项公式可知312a a d =+()11111242a a a a a ⎛⎫⎛⎫=+--=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由10a ->,140a >-结合基本不等式可得 ()31144a a a ⎛⎫=-+-≥= ⎪⎝⎭当且仅当12a =-时取得等号 所以3a 的最小值为4 故选:B【点睛】本题考查了等差数列通项公式与单调性的应用,基本不等式在求最值中的用法,属于中档题.7.如图为一个抛物线形拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面的宽度为36m ，则此时欲经过桥洞的一艘宽12m 的货船，其船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过（ ）A. 6mB. 6.5mC. 7.5mD. 8m【答案】D 【解析】 【分析】根据题意,抽象出抛物线的几何模型.根据抛物线的通经性质求得抛物线方程,即可求得当宽为12m 时的纵坐标,进而求得水面到顶部的距离.【详解】根据题意,画出抛物线如下图所示:设宽度为36m 时与抛物线的交点分别为,A B .当宽度为12m 时与抛物线的交点为,C D . 当水面经过抛物线的焦点时,宽度为36m由抛物线性质可知236p =,则抛物线方程为236x y =- 则()18,9A -当宽度为12m 时,设()6,C a代入抛物线方程可得2636a =-,解得1a =-所以直线AB 与直线CD 的距离为()()198h =---= 即船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过8m 故选:D【点睛】本题考查了抛物线在实际问题中的应用,抛物线几何性质的应用,属于基础题.8.用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体，其正视图、侧视图都是如图所示的图形，则这个几何体的最小体积为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】【分析】根据题意,当体积最小时,结合三视图还原空间几何体,即可求解.【详解】根据题意,当几何体体积最小时,空间几何图如下图所示:所以几何体的最小体积为5故选:A【点睛】本题考查了三视图还原空间几何体的应用,对空间想象能力要求较高,属于中档题.9.函数131()2xf x x=-的零点所在的区间为（）A.1(0,)4B.11(,)43C.11(,)32D.1(,1)2【答案】C【解析】【分析】先判断出函数的单调性,结合零点存在定理即可判断出零点所在区间.【详解】函数131()2xf x x =- 所以函数在R 上单调递增 因为1113331311111033322f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1113321211111022222f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以函数零点在11,32⎛⎫⎪⎝⎭故选:C【点睛】本题考查了根据零点存在定理判断零点所在区间,注意需判断函数的单调性,说明零点的唯一性,属于基础题.10.下列说法不正确．．．的是（ ） A. “p q ∧为真”是“p q ∨为真”的充分不必要条件；B. 若数据123,,,,n x x x x ⋯的平均数为1，则1232,22,,2,n x x x x ⋯的平均数为2；C. 在区间[]0,π上随机取一个数x ，则事件“sin cos x x +≥”发生的概率为12D. 设从总体中抽取的样本为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y 若记样本横、纵坐标的平均数分别为1111,nni i i i x x y y n n ====∑∑，则回归直线ˆybx a =+必过点(,)x y 【答案】C 【解析】 【分析】A .“p q ∧为真”可知p ，q 为真命题，可得“p q ∨为真”，反之不成立，即可判断出正误；B . 根据平均数公式即可判断；C .由题意得x 的范围，再利用几何概率计算公式即可判断出正误；D .根据回归直线的性质即可判断.【详解】A .“p q ∧为真”可知p ，q 为真命题，可得“p q ∨为真”反之“p q ∨为真”可知p 真或q 真，但p q ∧不一定为真，“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的充分不必要条件，故A 正确；B .由题意知121nx x x n+++=，则()121222222n nx x x x x x nn++++++==，故B 正确；C .在区间[]0,π上随机取一个数x ，由sin cos 42x x x π⎛⎫+=+≥⎪⎝⎭， 得sin 42x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，解得5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 事件“sin cos x x +≥”发生的概率为：5112123πππ-= ，故C 不正确； D .根据回归直线的性质可知，回归直线必过中心点(,)x y ，故D 正确.故选：C .【点睛】本题主要考查的是充分不必要条件的判断，平均数的计算，几何概型的概率计算，以及回归方程的应用，是基础题.11.若直线y kx =与函数()x f x e =和()ln g x x a =+的图象都相切，则a =（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0【答案】B 【解析】 【分析】通过直线y kx =与函数()xf x e =相切求出k ，再根据线y kx =与函数()lng x x a =+相切，即可求出a 【详解】直线y kx =与函数()xf x e =相切，设切点为()00,x x e，又()xf x e '=，所以000x x e kx k e ⎧=⎨=⎩解得01k ex =⎧⎨=⎩， 即直线y kx =为y ex =，又直线y ex =与()ln g x x a =+相切，设切点为()11,ln x x a +，()1g x x'=， 11e x ∴=，则11x e =，切点为11,ln a e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，将切点代入y ex =得，1ln 1a e∴+=，解得2a =.故选：B .【点睛】本题主要考查的是导数的几何意义，考查学生的逻辑思维能力、运算能力，是中档题.12.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 是面对角线11A C 上两个不同的动点. ①,,P Q BP DQ ∃⊥；②,,,P Q BP DQ ∃与1B C 所成的角均为60︒；③若1||2PQ =，则四面体BDPQ 的体积为定值.则上述三个命题中假命题的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A 【解析】 【分析】令P 与1A 重合，Q 与1C 重合，即可判断①和②，根据平面OBD 将四面体BDPQ 可分成两个底面均为平面OBD ，高之和为PQ 的棱锥，可判断③.【详解】①当P 与1A 重合，Q 与1C 重合时，易知BP DQ ⊥,故①正确；②当P 与1A 重合，Q 与1C 重合时，由题意可知111,B CA B CD 均是等边三角形，111,B CD AB C ∠∠均为60︒，且111,B CD AB C ∠∠为异面直线BP 与1B C ，DQ 与1B C 所成角的平面角，故②正确；③设平面1111D C B A 两条对角线交点为O ，则易得PQ ⊥平面OBD ，平面OBD 将四面体BDPQ 可分成两个底面均为平面OBD ，高之和为PQ 的棱锥，故四面体BDPQ 的体积一定是定值，故③正确.故假命题有0个.故选：A .【点睛】本题主要考查的是立体几何的综合应用，异面直线所成角的问题，四面体的体积求法，考查学生的空间想象能力，是中档题.二、填空题13.设抛掷一枚骰子得到的点数为m ，则方程210x mx ++=无实数根的概率为__________． 【答案】16【解析】【分析】根据方程210x mx ++=无实数根得出m 的值，即可得出概率. 【详解】方程210x mx ++=无实数根,0∴∆<，即240m -<，解得22m -<<，又{}1,2,3,4,5,6m ∈，1m ∴=，抛掷一枚骰子得到的点数为m ，则方程210x mx ++=无实数根的概率为16. 故答案为：16. 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程有实根的条件，古典概型的概率公式的应用，是基础题.14.如图，某地一天从614～时的温度变化曲线近似满足函数()y Asin x b ωϕ＝＋＋0,0,0()A ωϕπ>><<，则该函数的表达式为________．【答案】()8310204y sin x ππ＝＋＋，[6x ∈，14] 【解析】【分析】 通过函数的图象，求出A ，b ，求出函数的周期，推出ω，利用函数经过(10,20)求出ϕ，得到函数的解析式．【详解】解：由题意以及函数的图象可知，10A =，20b =，2(146)16T =-=，所以28T ωππ==， 由函数经过(10,20)所以2010sin(10)208πϕ=⨯++，又0ϕπ<<，所以34πϕ=， 所以函数的解析式：310sin()2084y x ππ=++，[6x ∈，14]． 故答案为：310sin()2084y x ππ=++，[6x ∈，14]． 【点睛】通过函数的图象求出函数的解析式，是三角函数常考题型，注意图象经过的特殊点，注意函数解析式的范围容易出错遗漏，属于基础题．15.已知圆2222210x x y my m -+-+-=，当圆的面积最小时，直线1y x =+被圆截得的弦长为__________． 2【解析】【分析】化圆的一般方程为标准方程，求出圆面积最小时的圆心和半径，再根据半弦和圆心到直线的距离以及半径之间满足勾股定理即可求得弦长.【详解】圆2222210x x y my m -+-+-=即()()()222111x y m m -+-=-+， 故当当圆的面积最小时，1m =，此时圆方程()()22111x y -+-=，圆心为()1,1半径为1r =，圆心到直线1y x =+2=， 直线1y x =+被圆截得的弦长为=.【点睛】本题考查圆的面积、直线与圆的位置关系.由圆的方程求出面积最小时的圆，以及弦长的求法，利用半弦和圆心到直线的距离以及半径之间满足勾股定理，是基础题.16.已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为n S ，且满足213(2)n n S S n n -+=≥，则2n a =__________．【答案】64n +【解析】【分析】根据213(2)n n S S n n -+=≥，及11a =算出2a ，同时构造等比数列，求出2n ≥时的n a ，即可得到2n a . 【详解】213(2)n n S S n n -+=≥①，12112,1S S a ∴+==，可得12212a a +=，210a ∴=，()2131n n S S n ++=+②，②—①得163n n a a n ++=+，变形为：()()1313n n a n a n +-+=--，即()13113n n a n a n+-+=--，又216213a a -=-≠--， 则当2n ≥时数列{}3n a n -是以4为首项，1-为公比的等比数列，()2341n n a n --=-即()2341n n a n -=+-，22n ≥，()()222324164n n a n n -∴=⨯+⨯-=+.故答案为：64n +.【点睛】本题主要考查的是数列通项的求法，构造数列求通项方法的应用，考查学生的分析问题解决问题的能力以及计算能力，是中档题. 三、解答题17.已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，设(sin ,1cos )m B B =-，(2,0)n =.（1）若23B π=，求m 与n 的夹角θ； （2）若||1,m b ==ABC ∆周长的最大值. 【答案】（1）3πθ=（2）【解析】 【分析】（1）将23B π=代入可求得m .根据平面向量数量积的坐标运算求得m n ⋅,由数量积的定义即可求得cos θ,进而得夹角θ.（2）根据||1m =及向量模的坐标表示,可求得B .再由余弦定理可得22()4a c b +=.结合基本不等式即可求得a c +的最大值,即可求得周长的最大值;或由正弦定理,用角表示出a c +,结合辅助角公式及角的取值范围,即可求得a c +的取值范围,进而求得周长的最大值. 【详解】（1）23B π=,所以332m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭, 因为(2,0)n =, 20m n ⋅=⨯=∴ , 又||2m ⎛== ||2n =,31cos 2||||23m n m n θ⋅==⋅∴, 3πθ∴=,（2）因为||1m =,即2||sin 1m B ===, 所以3B π=,方法1.由余弦定理,得2222cos b a c ac B =+-.2222()()3()324a c a c a c ac a c ++⎛⎫=+-≥+-⋅= ⎪⎝⎭, 即2()34a c +≥,即a c +≤（当且仅当a c =时取等号）所以ABC ∆周长的最大值为方法2.由正弦定理可知,2sin sin sin a c b A C B ===, 2sin ,2sin a A c C ==∴,23A C π+=,所以22sin 2sin 3sin 36a c A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+-==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 又203A π<<,5666A πππ<+<, 1sin ,162A π⎛⎫⎛⎤∴+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦,a c +∈∴,所以当3A π=时,a c +取最大值所以ABC ∆周长的最大值为【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义,正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用,三角形周长的表示方法,基本不等式与正弦函数的图像与性质应用,属于基础题.18.已知数列{},{}n n a b 满足{}1,2n n n n a a b b +-=+为等比数列，且12a =，24a =，310a =. （1）求n b ；（2）求n a . 【答案】（1）122n n b +=-；（2）122n n a n +=-【解析】【分析】（1）根据题意可求得数列{}2n b +的首项和公比，利用等比数列通项公式可得数列{}2n b +的通项公式，即可得到n b ；（2）由n b 利用累加法得到2n ≥时的n a ，验证1n =时成立，即可得到n a .【详解】解：（1）由1,n n n a a b +-=且1232,4,10a a a ===得：1212b a a =-=，2326b a a =-=所以124b +=，228b +=又因为数列{2}n b +为等比数列，所以可知其首项为4，公比为2.故112422n n n b -++=⋅=，所以122n n b +=-.（2）由1n n n a a b +-=，122n 2)n n n a a -∴-=-≥（.∴ 11222n n n a a ----=-，则22322n n n a a ----=-，，22122a a -=-，累加得232(222)2(1)n n a n -=+++--，23(2222)22n n a n ∴=++++-+12(21)222221n n n n +-=-+=--. 又12a =满足上式∴122.n n a n +=-【点睛】本题主要考查是等比数列通项公式的应用，基本量的计算，以及利用累加法求通项，利用累加法时最后要注意验证1n =时是否成立，考查学生的计算能力，是中档题. 19.如图，几何体ABCDFE 中，ABC ∆，DFE ∆均为边长为2的正三角形，且平面//ABC 平面DFE ，四边形BCED 为正方形.（1）若平面BCED ⊥平面ABC ，求几何体ABCDFE 的体积；（2）证明：平面//ADE 平面BCF .【答案】（183；（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据题意证出FG ⊥平面BCED ，故所求的几何体的体积等于三棱锥F BCED -的体积的2倍，运算求得结果；（2）先证明AO 和FG 平行且相等，可得四边形AOFG 为平行四边形，可得AG OF ，再证DE BC ∥，利用平面和平面平行的判定定理，证得平面ADE ∥平面BCF .【详解】（1）取BC 的中点O ，ED 的中点G ，连接,,,AO OF FG AG .因为AO BC ⊥，且平面BCED ⊥平面ABC ，所以AO ⊥平面BCED ，同理FG ⊥平面BCED ，又因为3AO FG ==所以1834323ABCDFE V =⨯⨯⨯=. （2）证明：设平面AGF 平面ABC AP =，AP BC P =因为平面ABC ∥平面DFE ，所以AP FG ，因为FG ED ⊥，ED BC ∥，所以⊥AP BC ，即P 与O 重合，所以FG AO =所以四边形AOFG 为平行四边形，所以AG OF ，AG ⊂平面ADE ,OF ⊄平面ADE ,OF 平面ADE ,又DE BC ∥同理可得BC ∥平面ADE ，OF BC O ⋂=,,OF BC ⊂平面BCF ，所以平面ADE ∥平面BCF ；【点睛】本题主要考查平面和平面平行的判定定理的应用，用分割法求柱体、锥体的体积，考查学生的空间想象能力，以及逻辑推理能力，属于中档题.20.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为2,0)，四条直线x a =±，y b =±所围成的区域面积为（1）求C 的方程；（2）设过(0,3)D 的直线l 与C 交于不同的两点,A B ，若以弦AB 为直径的圆恰好经过原点O ，求直线l 的方程.【答案】（1）2213x y +=；（2）3y =+ 【解析】【分析】（1）由题意知c 、面积以及222a c b -=列出方程组，即可求出C 的方程；（2）根据题意设出直线方程，与椭圆联立，利用韦达定理，且OA OB ⊥根据向量数量积列出关系式，求出斜率，即可得直线l 的方程.【详解】（1）依题意得22222223,2..c a b ab a b a b c ⎧=⎪⎧=⎪=⇒⎨⎨-=⎩⎪-=⎪⎩， 解得223,1a b ==， ∴椭圆C 的方程为2213x y +=． （2）易知直线l 的斜率存在，并设直线方程为3y kx =+，将其代入2213x y +=， 化简得22(13)18240k x kx +++=，设()11,A x y 、()22,B x y ， 22(18)96(13)0k k ∴∆=-⨯+>283k ⇒>， 且1212221824,1313k x x x x k k+=-=++， 依题意可知OA OB ⊥，0OA OB ∴⋅=，即12120x x y y +=⇒ 1212(3)(3)0x x kx kx +++=21212(1)3()90k x x k x x ∴++++=将1212221824,1313k x x x x k k+=-=++代入上式得 222224(1)54901313k k k k+-+=++ 化简得2333k =，所以11k =± 故所求的直线方程为113y x =±+.【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力.综合性强，是中档题.21.根据有关资料预测，某市下月1—14日的空气质量指数趋势如下图所示.，根据已知折线图，解答下面的问题：（1）求污染指数的众数及前五天污染指数的平均值；（保留整数）（2）为了更好发挥空气质量监测服务人民的目的，监测部门在发布空气质量指数的同时，也给出了出行建议，比如空气污染指数大于150时需要戴口罩，超过200时建议减少外出活动等等.如果某人事先没有注意到空气质量预报，而在1—12号这12天中随机选定一天，欲在接下来的两天中（不含选定当天）进行外出活动.求其外出活动的两天期间.①恰好都遭遇重度及以上污染天气的概率；②至少有一天能避开重度及以上污染天气的概率.附：空气质量等级参考表：AQI (0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,250] (250,500]【答案】（1）众数为157，平均值为194；（2）①14；②34【解析】【分析】（1）根据折线图可知知道众数，利用平均数计算公式可以算出平均值；（2）①根据折线图，12天中只有1日、11日、12日3天满足题意，根据古典概型概率公式即可得；②法一从事件的对立面入手结合①即可得；法二分两种情况（i）连续两天都避开重度及以上污染；（ii）恰有一天有重度及以上污染，求出概率，在求和即可.【详解】（1）众数为157，共出现3次.前五天污染指数平均值为214+275+243+157+80969=19455≈，（2）①在2月1日—12日这12天中，只有在1日、11日、12日3天时，其接下来的两天才会遭遇重度及以上污染天气，故：所求的概率为31124 P==②法1：由①知，“此人外出期间其接下来的两天期间都避不开重度及以上污染”，对应的到达日期为：1日、11日、12日.所以所求的概率为131=44 P=-法2：根据题意，事件“此人接下来的两天至少有1天能避开空气重度及以上污染”，包括两种情况：（i）连续两天都避开重度及以上污染；由折线图易知，在3日、4日、7日、8日、9日时，其接下来的两天都能避开重度及以上污染天气此时，所求的概率为512P=，（ii）恰有一天有重度及以上污染由折线图易知，在2日、5日、6日、10日时，其接下来的两天恰有一天能避开重度及以上污染天气 此时，所求的概率为41=123P =故所求的概率为1533124P =+=. 【点睛】本题主要考查的是众数，平均数的计算，以及古典概型的概率计算，同时考查学生对折线图的理解和应用，考查学生的分析问题解决问题的能力，是基础题.22.已知函数()f x 满足:①定义为R ；②2()2()9x x f x f x e e+-=+-. （1）求()f x 的解析式；（2）若12,[1,1]x x ∀∈-；均有()()21122(2)61x a x x f x -+-+-成立，求a 的取值范围； （3）设2(),(0)()21,(0)f x xg x x x x >⎧=⎨--+≤⎩，试求方程[()]10g g x -=的解.【答案】（1）()3x f x e =-（2）[3,7]-（3）3-，(1-+、ln3，ln(3ln 4)+、1- 【解析】【分析】（1）利用构造方程组法即可求得()f x 的解析式;（2）根据不等式,构造函数2()(2)6x x a x ϕ=-+-+与()()()13x F x x e =--.根据不等式恒成立可知满足min max ()()x F x ϕ≥.求得(),F x '()F x ''.通过判断()F x ''的符号可判断()F x '的单调性,由其单调性可得()0min F x '>,进而可知()F x 为单调递增函数,即可求得max ()F x .再根据min max ()()x F x ϕ≥及二次函数性质,可得a 的取值范围;（3）根据()g x 的解析式,画出函数图像.并令()T g x =,则方程变为()1g T =.解得T 的值.即可知()2g x =-、()0g x =及()ln 4g x =.结合函数图像及解析式,即可求得对应方程的解.【详解】（1）2()2()9x x f x f x e e +-=+-,…① 所以2()2()9x x f x f x e e ---+=+-即1()2()29x x f x f x e e-+=+-…② 由①②联立解得:()3x f x e =-.（2）设2()(2)6x x a x ϕ=-+-+,()()()1333x x x F x x e e xe x =--=+--,依题意知:当11x -≤≤时,min max ()()x F x ϕ≥ ()()33x x x x F x e e xe xe '+=-+=-+又()(1)0x F x x e ''=-+<在(1,1)-上恒成立,所以()F x '在[1,1]-上单调递减()(1)30min F x F e ∴'='=->()F x ∴在[1,1]-上单调递增,max ()(1)0F x F ∴==(1)70(1)30a a ϕϕ-=-≥⎧∴⎨=+≥⎩, 解得:37a -≤≤实数a 的取值范围为[3,7]-.（3）()g x 的图象如图所示：令()T g x =,则()1g T =1232,0,ln 4T T T ∴=-==当()2g x =-时有1个解3-,当()0g x =时有2个解：(12)-+、ln3,当()ln 4g x =时有3个解:ln(3ln 4)+、12(1ln 2)--.g g x-=的解分别为：故方程[()]10+、1-3-,(1-+、ln3,ln(3ln4)【点睛】本题考查了构造方程组法求函数解析式,二次求导的方法判断函数的单调性与最值,在定区间上恒成立问题的解法,换元法解复合函数与方程的应用,综合性强,属于难题.。
河北省衡水市2021届新高考数学五模考试卷含解析
河北省衡水市2021届新高考数学五模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A 【解析】 【分析】可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论. 【详解】由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的， 丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的； 假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的， 乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立， 所以可以断定值班人是甲. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.2．622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含3x 项的系数为（ ） A ．60- B ．12-C ．12D ．60【答案】B 【解析】 【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于3，求出r 的值，即可求得含3x 项的系数． 【详解】622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()663166222rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭， 令633r -=，得1r =，可得含3x 项的系数为()16212C ⨯-=-.本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．3．已知1F 、2F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点A 、B ，过点B 作x 轴的垂线，垂足恰为1F ，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 B ．3C ．23D ．5【答案】B 【解析】 【分析】设点B 位于第二象限，可求得点B 的坐标，再由直线2BF 与直线by x a=垂直，转化为两直线斜率之积为1-可得出22b a的值，进而可求得双曲线C 的离心率.【详解】设点B 位于第二象限，由于1BF x ⊥轴，则点B 的横坐标为B x c =-，纵坐标为B B b bcy x a a=-=，即点,bc B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由题意可知，直线2BF 与直线b y x a =垂直，222BF bcb a a kc a b-==-=-，222b a ∴=， 因此，双曲线的离心率为2222213c a b b e a a a+===+=. 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解答的关键就是得出a 、b 、c 的等量关系，考查计算能力，属于中等题. 4．若直线不平行于平面，且，则（ ）A ．内所有直线与异面B ．内只存在有限条直线与共面C ．内存在唯一的直线与平行D ．内存在无数条直线与相交【分析】通过条件判断直线与平面相交，于是可以判断ABCD 的正误. 【详解】根据直线不平行于平面，且可知直线与平面相交，于是ABC 错误，故选D.【点睛】本题主要考查直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，难度不大.5．2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A ，医生乙只能分配到医院A 或医院B ，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有( ) A ．18种 B ．20种 C ．22种 D ．24种【答案】B 【解析】 【分析】分两类：一类是医院A 只分配1人，另一类是医院A 分配2人，分别计算出两类的分配种数，再由加法原理即可得到答案. 【详解】根据医院A 的情况分两类：第一类：若医院A 只分配1人，则乙必在医院B ，当医院B 只有1人，则共有2232C A 种不同 分配方案，当医院B 有2人，则共有1222C A 种不同分配方案，所以当医院A 只分配1人时， 共有2232C A +122210C A =种不同分配方案；第二类：若医院A 分配2人，当乙在医院A 时，共有33A 种不同分配方案，当乙不在A 医院， 在B 医院时，共有1222C A 种不同分配方案，所以当医院A 分配2人时， 共有33A +122210C A =种不同分配方案； 共有20种不同分配方案. 故选：B 【点睛】本题考查排列与组合的综合应用，在做此类题时，要做到分类不重不漏，考查学生分类讨论的思想，是一6．设抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离为1d ，到直线:34120l x y ++=的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ） A ．2 B ．153C ．163D ．3【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】分析：题设的直线与抛物线是相离的，12d d +可以化成1211d d ++-，其中11d +是点P 到准线的距离，也就是P 到焦点的距离，这样我们从几何意义得到121d d ++的最小值，从而得到12d d +的最小值.详解：由2434120y xx y ⎧=⎨++=⎩①得到2316480y y ++=，25612480∆=-⨯<，故①无解， 所以直线34120x y ++=与抛物线是相离的. 由121211d d d d +=++-，而11d +为P 到准线1x =-的距离，故11d +为P 到焦点()1,0F 的距离， 从而121d d ++的最小值为F 到直线34120x y ++=3=，故12d d +的最小值为2，故选A.点睛：抛物线中与线段的长度相关的最值问题，可利用抛物线的几何性质把动线段的长度转化为到准线或焦点的距离来求解.7．已知集合2{|1}A x x =<,2{|log 1}B x x =<，则 A ．{|02}A B x x ⋂=<< B ．{|2}A B x x ⋂=< C ．{|2}A B x x ⋃=< D ．{|12}A B x x =-<<U【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】因为2{|1}{|11}A x x x x =<=-<<,2{|log 1}{|02}B x x x x =<=<<,所以{|01}A B x x =<<I ,{|12}A B x x =-<<U ,故选D ．A ．10,10⎛⎫⎪⎝⎭B ．()10,10,10骣琪??琪桫C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()10,+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数()()g x f x x =-,利用导数研究函数的单调性，即可得到结论. 【详解】设()()g x f x x =-,则函数的导数()()1g x f x ''=-,()1f x Q '<，()0g x '∴<，即函数()g x 为减函数,(1)1f =Q ,(1)(1)1110g f ∴=-=-=，则不等式()0<g x 等价为()(1)g x g <，则不等式的解集为1x >,即()f x x <的解为1x >，22(1)1f g x g x Q <，由211g x >得11gx >或11gx <-，解得10x >或1010x <<, 故不等式的解集为10,(10,)10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.故选:B .【点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性，根据函数的单调性解不等式，考查学生分析问题解决问题的能力,是难题.9．在精准扶贫工作中，有6名男干部、5名女干部，从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作，则不同的选法共有( ) A ．60种 B ．70种 C ．75种 D ．150种【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分别计算“从6名男干部中选出2名男干部”和“从5名女干部中选出1名女干部”的取法数，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，从6名男干部中选出2名男干部，有2615C =种取法， 从5名女干部中选出1名女干部，有155C =种取法，则有15575⨯=种不同的选法； 故选：C ． 【点睛】10．复数z 满足()113z i i -=-，则复数z 等于（） A ．1i - B ．1i +C ．2D ．-2【答案】B 【解析】 【分析】通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可. 【详解】复数z 满足()1132z i i -=-=， ∴()()()2121111i z i i i i +===+--+， 故选B. 【点睛】本题主要考查复数的基本运算，复数模长的概念，属于基础题．11．如图，已知直线:l ()()10y k x k =+>与抛物线2:4C y x =相交于A ，B 两点，且A 、B 两点在抛物线准线上的投影分别是M ，N ，若2AM BN =，则k 的值是（ ）A ．13B ．23C ．23D ．2【答案】C 【解析】 【分析】直线()()10y k x k =+>恒过定点()10P -，，由此推导出12OB AF =，由此能求出点B 的坐标，从而能求出k 的值． 【详解】设抛物线2:4C y x =的准线为:1l x =-，直线()()10y k x k =+>恒过定点()10P -，，由2AM BN =，则2FA FB =， 点B 为AP 的中点、连接OB ，则12OB AF =， ∴OB BF =，点B 的横坐标为12， ∴点B 的坐标为1,22B ⎛⎫⎪⎝⎭，把1,22B ⎛⎫⎪⎝⎭代入直线()()10y k x k =+>， 解得223k =， 故选：C ．【点睛】本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用，属于中档题. 12．复数12iz i=+的共轭复数在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】由复数除法运算求出z ，再写出其共轭复数，得共轭复数对应点的坐标．得结论． 【详解】(12)22112(12)(12)555i i i i z i i i i -+====+++-，2155z i =-，对应点为21(,)55-，在第四象限． 故选：D. 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，考查复数的几何意义．掌握复数的运算法则是解题关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省衡水市2021届新高考数学一模考试卷含解析
河北省衡水市2021届新高考数学一模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设0.380.3log 0.2,log 4,4a b c ===，则（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b a c <<【答案】D 【解析】 【分析】结合指数函数及对数函数的单调性,可判断出10a -<<,1b <-,1c >,即可选出答案. 【详解】 由0.30.310log 4log 13<=-,即1b <-, 又8881log 0.125log 0.2log 10-=<<=,即10a -<<,0.341>,即1c >,所以b a c <<. 故选:D. 【点睛】本题考查了几个数的大小比较,考查了指数函数与对数函数的单调性的应用,属于基础题. 2．已知函数()xf x e b =+的一条切线为(1)y a x =+，则ab 的最小值为（ ） A ．12e-B ．14e-C ．1e-D ．2e-【答案】A 【解析】 【分析】求导得到'()xf x e =，根据切线方程得到ln b a a =，故2ln ab a a =，设()2ln g x x x =，求导得到函数在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()12min g x g e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，计算得到答案. 【详解】()x f x e b =+，则'()x f x e =，取0x e a =，()0a >，故0ln x a =，()0f x a b =+.故(ln 1)a b a a +=+，故ln b a a =，2ln ab a a =.设()2ln g x x x =，()()'2ln 2ln 1g x x x x x x =+=+，取()'0g x =，解得12x e -=.故函数在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()12min 12g x g e e -⎛⎫==- ⎪⎝⎭.故选：A . 【点睛】本题考查函数的切线问题，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 3．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()330f x f x --+-=，若()11f =，()22f =-，则()()()()1232020f f f f ++++=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】首先判断出()f x 是周期为6的周期函数，由此求得所求表达式的值. 【详解】由已知()f x 为奇函数，得()()f x f x -=-， 而()()330f x f x --+-=， 所以()()33f x f x -=+， 所以()()6f x f x =+，即()f x 的周期为6.由于()11f =，()22f =-，()00f =， 所以()()()()33330f f f f =-=-⇒=，()()()4222f f f =-=-=， ()()()5111f f f =-=-=-， ()()600f f ==.所以()()()()()()1234560f f f f f f +++++=， 又202063364=⨯+， 所以()()()()1232020f f f f ++++=()()()()12341f f f f +++=.故选：C 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.4．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=== 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为 （ ）A ．2116B ．32C ．2516D ．3【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】分析：由题意可得ABD △为等腰三角形，BCD 为等边三角形，把数量积AE BE ⋅分拆，设(01)DE tDC t =≤≤，数量积转化为关于t 的函数，用函数可求得最小值。
2021届河北衡水密卷新高考仿真考试(十二)数学(文)试题
2021届河北衡水密卷新高考仿真考试（十二）数学（文科）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}2|1?1,|20?A x x B x x x =-<<=--<,则()R A B =A. (]1,0-B. [)1,2-C. [)1,2D. (]1,2 【答案】C【解析】【分析】 求出与,B 中不等式的解集确定出,B ，求出A 的补集，找出补集与,B 的公共部分，能求出结果．【详解】{}{}{}2|11,|20|12,A x x B x x x x x =-<<=--<=-<< {}|1,1,R A x x x 或=≤-≥则(){}|12,R A B x x ⋂=≤<故选C.【点睛】本题考查补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2.已知1a >，则“log log a a x y <”是“2x xy <”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】 通过对数函数的单调性和举反例，并借助充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】因为1a >，所以由log log a a x y <，得0x y <<，所以0x y -<，2()0x xy x x y -=-<，所以2x xy <，则充分性成立；当1,2x y =-=-时，2x xy <，但是log ,log a a x y 无意义，故必要性不成立.综上，已知1a >，则“log log a a x y <”是“2x xy <”的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.若想说明一个式子不成立，可以采用举反例法，给出一个反例即可.3.已知函数()()22g x f x x =-是奇函数，且()12f =，则()1f -=（ ） A. 32- B. 1- C. 32 D. 74【答案】A【解析】【分析】因为()12f =，所以可令12x =，求出12g ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值，再利用()g x 为奇函数，可求出12g ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，从而求出()1f -. 【详解】令12x =，()11124g f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 因为()12f =，所以1172244g ⎛⎫=-=⎪⎝⎭， 令12x =-，则()11124g f ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，()11124f g ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，因为()g x 是奇函数，所以117224g g ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()7131442f -=-+=-． 故选：A. 【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，考查特殊值法解题，属于中档题.4.已知α是第一象限角，sinα=2425，则tan 2α=（ ） A. 43- B. 43 C. 34- D. 34【答案】D【解析】【分析】由题意首先求得tan2α的取值范围，然后结合二倍角公式和同角三角函数基本关系得到关于tan 2α的方程，解方程即可确定tan 2α的值.【详解】∵α是第一象限角，sinα2425=，∴2kπ<α<2kππ2+，k ∈Z ， ∴kπ2α<<kππ4+，k ∈Z ， ∴0<tan 2α<1，∴sinα＝2sin 2αcos 2222sin cos 2tan 24222225sin cos 1tan 222ααααααα===++， 整理得：12tan 22α-25tan 2α+12＝0，解得tan 423α=（舍去）或tan 2α=34．故选D ． 【点睛】本题主要考查二倍角公式的应用，同角三角函数基本关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.设向量()2,2a =，b 与a 的夹角为34π，且2a b ⋅=-，则b 的坐标为（ ） A. ()0,1-B. ()1,0-C. ()0,1-或(1,0)-D. 以上都不对【答案】C【解析】【分析】 设向量(),b x y =，根据向量的数量积的运算和夹角公式，得到关于,x y 的方程组，即可求解.【详解】设向量(),b x y =，则222a b x y ⋅=+=-，即1x y +=- ①，又3cos 4||||a ba b π⋅=⋅，即2-=221x y +=②． 由①②，得10x y =-⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=-⎩，故()0,1b =-或()1,0b =-． 故选：C. 【点睛】本题主要考查了的坐标表示，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.6.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1112n n a S a +＝，＝， 则n S ＝( )A. 12n -B. 13()2n -C. 12()3n - D. 112n -【答案】B 【解析】【分析】利用公式1n n n a S S -=-计算得到11323,2n n n nS S S S ++==，得到答案.【详解】由已知1112n n a S a +==，，1n n n a S S -=- 得()12n n n S S S -=-，即11323,2n n n n S S S S ++==，而111S a ==，所以13()2n n S -=.故选B.【点睛】本题考查了数列前N 项和公式的求法，利用公式1n n n a S S -=-是解题的关键.7.已知α为锐角，则32tan tan 2αα+的最小值为（）A. 1B. 2 【答案】D【解析】【分析】方法一：根据α为锐角，可知tan 0α>，再对32tan tan 2αα+化简，可得3132tan tan tan 22tan αααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式即可求出结果； 方法二：根据α为锐角，可知sin 0α>，cos 0α>，再利用同角基本关系和二倍角关系对32tan tan 2αα+化简，可得31sin 3cos 2tan tan 22cos sin αααααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式即可求出结果. 【详解】方法一：∵α为锐角，∴tan 0α>，∴()231tan 31312tan 2tan tan tan 22tan 2tan 2ααααααα-⎛⎫+=+=+≥⨯= ⎪⎝⎭当且仅当3tan tan αα=，即tan α=3πα=时等号成立． 方法二：∵α为锐角，∴sin 0α>，cos 0α>， ∴22232sin 3cos 24sin 3cos 2sin 3cos 2tan tan 2cos sin 22sin cos 2sin cos αααααααααααααα+++=+==1sin 3cos 12cos sin 2αααα⎛⎫=+≥= ⎪⎝⎭ 当且仅当sin 3cos cos sin αααα=，即3πα=时，等号成立． 【点睛】本题主要考查了三角函数同角的基本关系和二倍角公式应用，以及基本不等式在求最值中的应用. 8.已知,a b 是两条异面直线,直线c 与,a b 都垂直,则下列说法正确的是（ ）A. 若c ⊂平面α，则a α⊥B. 若c ⊥平面α，则//a α,//b aC. 存在平面α，使得c α⊥,a α⊂,//b aD. 存在平面α，使得//c a ,a α⊥,b a ⊥【答案】C【解析】【分析】在A 中，a 与α相交、平行或a ⊂α；在B 中，a ，b 与平面α平行或a ，b 在平面α内；在C 中，由线面垂直性质得：存在平面α，使得c ⊥α，a ⊂α，b ∥α；在D 中，a ∥b ，与已知a ，b 是两条异面直线矛盾．【详解】由a ，b 是两条异面直线，直线c 与a ，b 都垂直，知：在A 中，若c ⊂平面α，则a 与α相交、平行或a ⊂α，故A 错误；在B 中，若c ⊥平面α，则a ，b 与平面α平行或a ，b 在平面α内，故B 错误；在C 中，由线面垂直的性质得：存在平面α，使得c ⊥α，a ⊂α，b ∥α，故C 正确；在D 中，若存在平面α，使得c ∥α，a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b ，与已知a ，b 是两条异面直线矛盾，故D 错误． 故选C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断,还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断.9.已知两点(,0),(,0)(0)A a B a a ->,若曲线22230x y y +--+=上存在点P ，使得090APB ∠=,则正实数a 的取值范围为（ ）A. (0,3]B. [1,3]C. [2,3]D. [1,2] 【答案】B【解析】把圆的方程22230x y y +--+=化为22((1)1x y -+-=，以AB 为直径的圆的方程为222x y a +=，若曲线22230x y y +--+=上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则两圆有交点，所以121a a -≤≤+，解得13a ≤≤ ，选B.10.在区间[0，2]上随机取一个数x ，使sin 2x π≥的概率为（ ） A. 13 B. 12 C. 23 D. 34【答案】A【解析】【分析】先求解出sin 22x π≥的结果，运用几何概型求出概率【详解】在区间[]02，上随机取一个数x ，使sin 2x π≥ 则2323x πππ≤≤解得2433x ≤≤ ∴所求概率4213323P -== 故选A【点睛】本题主要考查了几何概型，先根据题意求出不等式的解集，然后运用几何概型求出概率，较为基础．11.如图，已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >），过右顶点A 作一条渐近线的垂线交另一条渐近线于点B ，若3OB OA =，则双曲线的离心率为（ ）23332 3 332【答案】C【解析】【分析】根据题意得：直线AB 的方程为()a y x a b =--，由()b y x a a y x a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，求得点B 的坐标，再根据3OB OA =求解.【详解】设点(),B x y 在渐近线b y x a =-上， 易知直线AB 的方程为()a y x a b=--， 由()b y x a a y x a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得322222a x a b a b y a b ⎧=⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩，因为OB OA =， 所以223OB OA =， 即2232222223a a b a a b a b ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 化简得()2422223a a b a b +=-， 解得223a b 或222a b =， 所以22222413c b e a a ==+=或3，所以e =由图可知1b a >，即e >故e = 故选：C ．【点睛】本题主要考查双曲线简单几何性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12.已知函数()()2ln 1f x x x =++，若对于[]1,2x ∈-，()22229ln 4f x ax a +-<+恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. 212a -<<B. 11a -<<C. 22a +>或22a <D. 2222a +<<【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性与单调性，把不等式()22229ln 4f x ax a +-<+对于[]1,2x ∈-恒成立，转化为22223x ax a +-<对于[]1,2x ∈-恒成立，结合二次函数的图象与性质，即可求解.【详解】由题意，函数()()2ln 1f x x x =++的定义域为R ， 且()()()()22()ln 1ln 1f x x x x x f x -=-+-+=++=所以函数()f x 是R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增， 又由()()29ln 43ln 13x f +=++=， 所以不等式()22229ln 4f x ax a+-<+对于[]1,2x ∈-恒成立， 等价于22223x ax a +-<对于[]1,2x ∈-恒成立，即2222223223x ax a x ax a ⎧+-<⎨+->-⎩①②对于[]1,2x ∈-恒成立． 令()22223g x x ax a =+--，则()()221222022410g a a g a a ⎧-=---<⎪⎨=-++<⎪⎩，解得a >或a < 令()22223h x x ax a =+-+，令222230x ax a +-+=，则当2248120a a ∆=+-<时，即11a -<<时，满足②式子；当2248120a a ∆=+-=，即1a =±时，不满足②式；当2248120a a ∆=+->，即1a <-或1a >时，由()2112230h a a -=--+>，()2244230h a a =+-+>， 且1a -<-或2a ->，知不存在a 使②式成立．综上所述，实数a的取值范围是1a -<<． 故选：A.【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及函数与方程的综合应用，着重考查转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知i 为虚数单位，复数3i 2ia +的实部与虚部相等，则实数a =_______． 【答案】3-【解析】【分析】化简复数为322ai--，利用复数的实部与虚部相等，即可求出a．【详解】因为()3332222a i ia i aii++==--，由题意知322a=-，解得3a=-．故答案为：3-.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．14.执行如图所示的程序框图，则输出的n的值为_______．【答案】2017【解析】【分析】由三角函数的性质，可得sin12naπ=+的周期为4T=，得到各项依次为2，1，0，1，2，1，0，1，…，结合判断条件，即可求解.【详解】由三角函数性质，可得sin12naπ=+的周期为242Tππ==，可得各项依次为2，1，0，1，2，1，0，1，…，执行程序框图，1n=，2s=；2n=，3s=；3n=，3s=；4n =，4s =；…；2016n =，2016s =；2017n =，2018s =，不满足判断框中的条件，退出循环， 此时输出的2017n =． 故答案为：2017.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中结合三角函数的图象与性质，求得计算的周期性是解答的关键，着重考查推理与运算能力.15.某工厂为了解某车间生产的每件产品的净重（单位：克）情况，从中随机抽测了200件产品的净重，所得数据均在[]96,106内，将所得数据按[)96,98，[)98,100，[)100,102，[)102,104，[]104,106分成五组，其频率分布直方图如图所示，且五个小矩形的高构成一个等差数列，则在抽测的200件产品中，净重在区间[)98,102内的产品件数是_______．【答案】100 【解析】 【分析】设公差为t ，根据矩形的高为等差数列以及矩形的面积和为1可建立关于公差的等量关系，从而解出t ，进而解出,b d ，即可求出产品件数.【详解】由题意可知0.050，a ，b ，c ，d 构成等差数列，设公差为t ，由小矩形的面积之和为1，可得()0.05021a b c d ++++⨯=， 即0.0500.5a b c d ++++=，所以5450.0500.52t ⨯⨯+⨯=，解得0.025t =， 所以0.0500.02520.100b =+⨯=，0.0500.02540.150d =+⨯=， 所以净重在[)98,102内的频率为()()20.1000.15020.5b d +⨯=+⨯=， 则净重在区间[)98,102内的产品件数为2000.5100⨯=． 故答案为：100.【点睛】本题考查频率分布直方图和数列的综合应用，考查频率分布直方图频数的求法以及等差数列求和，属于中档题.16.在平面直角坐标系xOy中，()1,2P是双曲线()222210,0x yaba b-=>>的一条渐近线l上的一点，1F、2F分别为双曲线的左、右焦点，若1290F PF∠=，则双曲线的左顶点到直线l的距离为_______．【解析】【分析】求得直线l的方程为2y x=，由1290F PF∠=可求得c的值，进而可得出a、b的值，然后利用点到直线的距离公式可求得结果.【详解】由于点P在双曲线的渐近线l上，则2ba=，所以，直线l的方程为2yx=，在12Rt PF F中，原点O为线段12F F的中点，所以1212FO cFP==，又OP==c=，又22252c a bbaa⎧=+=⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，所以1a=，2b=，双曲线的左顶点的坐标为()1,0-，该点到直线l的距离为5d==．.【点睛】本题考查双曲线渐近线相关的问题，结合题意求得a、b、c的值是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在ABC中，E是BC的中点，3AC=，AE=2213cos7cos60ABE AEB∠-∠-=．（1）求AB；（2）求C．【答案】（1（2）3π．【解析】【分析】（1）先根据同角三角函数平方关系化简，再根据正弦定理化边，即得结果； （2）设EC m =，根据余弦定理列式，即得m ，回代即得结果. 【详解】（1）∵2213cos 7cos 60ABE AEB ∠-∠-=， ∴()()22131cos 71cos ABE AEB -∠=-∠，即2213sin 7sin ABE AEB ∠=∠ABE AEB ∠=∠，=，又AE =AB =（2）设EC m =，则2BC m =，由余弦定理，得22979413cos 23232m m C m m+-+-==⨯⨯⨯⨯，∴2m =， ∴9471cos 2322C +-==⨯⨯，∵()0,C π∈，∴3C π=．【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.18.某网红直播平台为确定下一季度的广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x （单位：万元）和收益y （单位：万元）的数据如下表：用两种模型①y bx a =+，②bxy ae =分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由. （2）残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除： (i )剔除的异常数据是哪一组？(ii )剔除异常数据后，求出（1）中所选模型的回归方程； (iii )广告投入量18x =时，(ii )中所得模型收益的预报值是多少？附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-. 【答案】（1）模型①，理由见解析；(2)(i )是3月份的数据； (ii )ˆ38.04yx =+； (iii )62.04万元. 【解析】 【分析】（1）根据残差图中体现出的残差点分布，结合其均匀程度以及带状区域的宽窄，即可分析比较； （2）(i )根据题意，结合残差图，即可求得3月份的数据异常，应该剔除；(ii )根据已知数据和3月份的数据，结合ˆb和ˆa 的计算公式，即可求得结果； (iii )令18x =，代入(ii )中所求回归直线方程，即可求得结果.【详解】（1）应该选择模型①，因为模型①的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中， 且模型①的带状区域比模型②的带状区域窄， 所以模型①的拟合精度高，回归方程的预报精度高. （2）(i )剔除异常数据是3月份的数据，即()6,31.8； (ii )剔除异常数据，即3月份的数据后，得()17667.25x =⨯⨯-=，()130631.829.645y =⨯⨯-=511464.24631.81273.44i ii x y==-⨯=∑，52213646328ii x==-=∑.51522151273.4457.229.64206.4ˆ332857.27.268.85i ii ii x yx ybxx ==--⨯⨯====-⨯⨯-∑∑，29.6437.28.04ˆˆa y bx =-=-⨯=. 所以y 关于x 的回归方程为ˆ38.04yx =+. (iii )把18x =代入(i )中所求回归方程得3188.046.ˆ204y=⨯+=， 故预报值为62.04万元.【点睛】本题考查残差分析、回归直线方程的求解，以及利用回归方程进行数据预测，属综合中档题. 19.如图，三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，平面ABC ⊥平面BCGF ，2CB GF =，BF CF =.(Ⅰ)求证：AB CG ⊥；(Ⅱ)若ABC ∆和梯形BCGF 3，求三棱锥G ABE -的体积.【答案】（I ）证明见解析；（II ）13G ABE V -=. 【解析】 【分析】（Ⅰ）取BC 的中点为D ，连结DF ，可证明四边形CDFG 为平行四边形，得//CG DF ，由等腰三角形的性质得DF BC ⊥，可得CG BC ⊥，由面面垂直的性质可得CG ⊥平面ABC ，从而可得结果；（Ⅱ）由三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，且2CB GF =，可得2AC EG =，由此2ACG AEG S S ∆∆=，1122G ABE B AEG B ACG G ABC V V V V ----===.根据面积相等求得棱锥的高，利用棱锥的体积公式可得结果.【详解】（Ⅰ）取BC 的中点为D ，连结DF .由ABC EFG -是三棱台得，平面//ABC 平面EFG ，∴//BC FG . ∵2CB GF =， ∴//CD GF ，∴四边形CDFG 为平行四边形，∴//CG DF . ∵BF CF =，D 为BC 的中点， ∴DF BC ⊥，∴CG BC ⊥.∵平面ABC ⊥平面BCGF ，且交线为BC ，CG ⊂平面BCGF ， ∴CG ⊥平面ABC ，而AB 平面ABC ，∴CG AB ⊥.（Ⅱ）∵三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，且2CB GF =， ∴2AC EG =，∴2ACG AEG S S ∆∆=， ∴1122G ABE B AEG B ACG G ABC V V V V ----===. 由（Ⅰ）知，CG ⊥平面ABC .∵正ABC ∆，∴2BC =，1GF =.∵直角梯形BCGF∴()122CG +⋅=CG =∴11112233G ABE G ABC ABC V V S CG --∆==⋅⋅⋅=.【点睛】本题主要考查面面垂直证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直以及棱锥的体积，属于中档题. 解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.20.已知抛物线1C ：22y px =（0p >）的焦点是椭圆2C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点，且两条曲线相交于点23⎛⎝． （1）求椭圆2C 的方程；（2）过椭圆2C 右顶点的两条直线1l ，2l 分别与抛物线1C 相交于点A ，C 和点B ，D ，且12l l ⊥，设M 是AC 的中点，N 是BD 的中点，证明：直线MN 恒过定点．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）由抛物线过点可求p 得出椭圆焦点求出c ，利用椭圆过点联立方程即可求解；（2）设直线1l ：12x k y =+，直线2l ：22x k y =+，联立椭圆方程，根据根与系数的关系及中点坐标公式可求出中点的坐标，利用斜率公式写出直线MN 的斜率，写出直线MN 的方程，根据12l l ⊥即可求解.【详解】（1）∵23⎛⎝在抛物线1C 上，∴2223p =⨯，解得2p =，∴抛物线1C 的焦点坐标为()1,0，则221a b -=①易知2222231a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎝⎭+=②，∴由①②可得2243a b ⎧=⎨=⎩，∴椭圆2C 的方程为22143x y +=．（2）设直线1l ：12x k y =+，直线2l ：22x k y =+，由2142y x x k y ⎧=⎨=+⎩，得21480y k y --=， 设()11,A x y ，()22,C x y ，则1214y y k +=， ∴12M y k =，则2122M x k =+，即()21122,2M k k +，同理得()22222,2N k k +，∴直线MN 的斜率()()212212212212222MN k k k k k k k -==++-+， 则直线MN 的方程为()211121222y k x k k k -=--+， 即()1212121y x k k k k =--⎡⎤⎣⎦+，∵12l l ⊥，∴12111k k ⋅=-，即121k k =-， ∴直线MN 的方程为()1214y x k k =-+，即直线MN 恒过定点()4,0．【点睛】本题主要考查了抛物线、椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，直线的方程，考查了运算能力，属于中档题.21.已知函数()()ln xf x xe a x x =-+，a R ∈.（1）当a e =时，求()f x 的单调区间； （2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）(,)e +∞ 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）记t=lnx +x ，通过讨论a 的范围，结合函数的单调性以及函数的零点的个数判断a 的范围即可． 【详解】（1）定义域为：()0,+∞， 当a e =时，()()()1'x x xe e f x x+-=.∴()f x 在()0,1时为减函数；在()1,+∞时为增函数.（2）记ln t x x =+，则ln t x x =+在()0,+∞上单增，且t R ∈.∴()()ln xf x xe a x x =-+()t e at g t =-=.∴()f x 在0x >上有两个零点等价于()t g t e at =-在t R ∈上有两个零点.①在0a =时，()tg t e =在R 上单增，且()0g t >，故()g t 无零点；②在0a <时，()'tg t e a =-在R 上单增，又()010g =>，1110a g e a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故()g t 在R 上只有一个零点；③在0a >时，由()'0tg t e a =-=可知()g t 在ln t a =时有唯一的一个极小值()()ln 1ln g a a a =-.若0a e <<，()1ln 0g a a =->最小，()g t 无零点；若a e =，0g =最小，()g t 只有一个零点；若a e >时，()1ln 0g a a =-<最小，而()010g =>，由于()ln xf x x=在x e >时为减函数，可知：a e >时，2a e e a a >>.从而()20ag a e a =->，∴()g x 在()0,ln a 和()ln ,a +∞上各有一个零点.综上讨论可知：a e >时()f x 有两个零点，即所求a 的取值范围是(),e +∞.【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=． （1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线3C 是过坐标原点且倾斜角为α的直线，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是曲线3C 与2C 的交点，且点A ，B 均异于坐标原点O ，AB =，求α的值． 【答案】（1）1C ：()2224x y -+=，2C ：()2224x y +-=；（2）34π． 【解析】 【分析】（1）根据22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩，消去参数ϕ即可；由4sin ρθ=得到24sin ρρθ=，再将222,sin x y y ρρθ+==代入上式求解.（2）由（1）得，曲线1C 极坐标方程4cos ρθ=，设()1,A ρα，()2,B ρα，由124sin cos AB ρραα=-=-=.【详解】（1）因为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩，消去参数ϕ，得()2224x y -+=，所以曲线1C 的普通方程是()2224x y -+=； ∵4sin ρθ=， ∴24sin ρρθ=，又因为222,sin x y y ρρθ+==∴曲线2C 的直角坐标方程为()2224x y +-=．（2）由（1）得，曲线1C ：()2224x y -+=，其极坐标方程为4cos ρθ=，由题意设()1,A ρα，()2,B ρα，则124sin cos 4AB πρρααα⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭ ∴sin 14πα⎛⎫-=± ⎪⎝⎭， ∴42k ππαπ-=+（k ∈Z ）， ∴34k παπ=+（k ∈Z ）， ∵0απ<<， ∴34πα=． 【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程和直角坐标方程的转化以及弦长公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()f x x =．（1）解关于x 的不等式()()212f x f x --+<；（2）存在0x ∈R ，使得不等式()()()00212f x f x a f a -++<--，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；（2）3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭． 【解析】【分析】（1）原不等式可化为212x x --+<，作出函数2y x =-与1y x =+的图象，利用数形结合法求解. （2）原不等式可化为00212x x a a -++<--，利用绝对值三角不等式转化为122a a --+>，再变形为()()12112a a +--++>，利用（1）的结论求解.【详解】（1）原不等式可化为212x x --+<， 作出函数2y x =-与1y x =+的图象如图所示，当212x x --+=时，12x =-， ∵直线12y x =-与21y x =+的斜率相等， ∴结合图象可知，原不等式的解集为1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． （2）原不等式可化为00212x x a a -++<--， ∵()()0000222x x a x x a a -++≥--+=+， ∴212a a +<--，即122a a --+>，上式可化为()()12112a a +--++>，由（1）得112a +<-，解得32a <-， 故a 的取值范围为3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.。
2021届河北衡中同卷新高考仿真考试(五)数学(文)试题
2021届河北衡中同卷新高考仿真考试（五）文科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一､选择题1.设集合{|2}A x Z x =∈≤，2{|1}B y y x ==-，则A B ⋂的子集个数为（ ）A. 4B. 8C. 16D. 32 【答案】C【解析】分析：求出集合A,B ，得到A B ⋂，可求A B ⋂的子集个数 详解：{}{|2}{|22}2,1,0.1,2A x Z x x Z x =∈≤=∈-≤≤=--，2{|1}{|1},B y y x y y ==-=≤ {}2,1,0,1,A B ∴⋂=--A B ⋂的子集个数为4216.=故选C.点睛：本题考查集合的运算以及子集的个数，属基础题.2.已知复数z 满足(4)1i z i +=+，则z 的虚部为（ ）A. i -B. iC. 1-D. 1【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算可得z ，再根据复数的概念可得答案.【详解】(4)1i z i +=+， 141i z i i+∴+==-， 3z i ∴=--，∴复数z 的虚部为1-.故选：C .【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的概念，属于基础题.3.如图是某学校高三年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y 关于测试序号x 的函数图象，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图象，给出下列结论：①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；②二班成绩不够稳定，波动程度较大；③三班成绩虽然多次低于年级平均水平，但在稳步提升.其中错误的结论的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】看图分析，①比较一班与年级平均成绩的大小；②看二班的成绩波动；③看三班的平均成绩，以及增减性，即可得到答案.【详解】由图可知，一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好，故①正确；二班的成绩有时高于年级整体成绩，有时低于年级整体成绩，特别是第六次成绩远低于年级整体成绩，可知二班成绩不稳定，波动程度较大，故②正确；三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，只有第六次高于年级整体成绩，但在稳步提升，故③正确.∴错误结论的个数为0.故选：A .【点睛】本题考查对图象的分析、理解与应用，可从函数值的大小关系，波动情况，增减性等方面分析，属于容易题.4.我们从这个商标中抽象出一个图像如图，其对应的函数可能是()A. ()211f x x =- B. ()211f x x =+ C. ()11f x x =- D. ()11f x x =-【答案】D【解析】【分析】由图像分析得函数为偶函数，排除法即可. 【详解】由图像得函数的定义域为{}1x x ≠±，排除B,C. 由1()02f > 排除A.故选：D.【点睛】本题考查的是利用函数的图像分析判断出函数是偶函数的问题，属于基础题.5.已知正项等比数列{}n a 中，354a a =，且467,1,a a a +成等差数列，则该数列公比q 为（ ） A. 14 B. 12 C. 2 D. 4【答案】C【解析】【分析】结合等差中项的性质，将已知条件转化为1,a q 的形式，由此求得q 的值.【详解】由于467,1,a a a +成等差数列，所以()64721a a a +=+，所以()64735214a a a a a ⎧+=+⎨=⎩，即()5361112411214a q a q a qa q a q ⎧+=+⎪⎨⋅=⎪⎩，解得11,24a q ==.故选：C【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查等差中项的性质，属于基础题.6.已知函数()x x f x e e -=-（e 为自然对数的底数），若0.50.7a -=，0.5log 0.7b =，0.7log 5c =，则（ ）A. ()()()f b f a f c <<B. ()()()f c f b f a <<C. ()()()f c f a f b <<D. ()()()f a f b f c << 【答案】D【解析】【分析】先比较,,a b c 的大小关系，再根据()x x f x e e -=-单调性，比较函数值的大小，即可求解.【详解】因为0.50.71a -=>，01b <<，0c <，∴a b c >>又()f x 在R 上是单调递减函数，故()()()f a f b f c <<.故选:D .【点睛】本题考查了指数幂和对数值的大小关系，以及指数函数的单调性，属于中档题.7.设1tan 2α=，4cos()((0,))5πββπ+=-∈，则tan 2()αβ-的值为（ ） A. 724-B. 524-C. 524D. 724【答案】D【解析】【分析】利用倍角公式求得tan2α的值，利用诱导公式求得cos β的值，利用同角三角函数关系式求得sin β的值，进而求得tan β的值，最后利用正切差角公式求得结果. 【详解】1tan 2α=，22tan 4tan21tan 3ααα==-， ()4cos cos 5πββ+=-=-，()(0,βπ∈， 4cos 5β∴=，3sin 5β=，3tan 4β=， ()43tan2tan 734tan 2431tan2tan 24134αβαβαβ---===++⨯，故选：D.【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目.8.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ､N 分别为AC ，A 1B 的中点，则下列说法错误的是（ ）A. MN ∥平面ADD 1A 1B. MN ⊥ABC. 直线MN 与平面ABCD 所成角为45°D. 异面直线MN 与DD 1所成角为60°【答案】D【解析】【分析】连结BD ，1A D ，可得1//MN A D ，再对每个选项简单分析，即可求得答案.【详解】如图，连结BD ，1A D ，由M ，N 分别为AC ，1A B 的中点知 1//MN A D ，对A ，由1//MN A D ，从而MN ∥平面ADD 1A 1，A 正确；对B ，由AB ⊥面11ADD A ，可得AB ⊥1A D ，又1//MN A D ，得MN AB ⊥，B 正确；对C ，由1//MN A D ，直线MN 与平面ABCD 所成角为145A DA ∠=︒，C 正确；对D ，由1//MN A D ，直线MN 与DD 1所成角为11A DD ∠45=︒，D 错误；故选：D .【点睛】本题考查了线面平行，线线垂直的证明，线面角、异面直线所所的角的求法，属于基础题.9.过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于（ ） A. 23 B. 43 C. 13 D. 213 【答案】B【解析】【分析】因为圆心在弦AC 的中垂线上，所以设圆心P 坐标为（a ，-2），再利用222r AP BP =+，求得1a =，确定圆的方程.又直线过定点Q ，则可以得到弦长最短时圆心与直线的定点Q 与弦垂直，然后利用勾股定理可求得弦长.【详解】解：设圆心坐标P 为（a,-2），则r 2＝()()()()2222132422a a -++=-++，解得a=1，所以P （1，-2）.又直线过定点Q （-2，0），当直线PQ 与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长22l=2r -PQ =225-13=43∴直线20x ay ++=被圆截得的弦长为43．故选B ．10.已知线段4AB E F =,,是AB 垂直平分线上的两个动点，且||2,EF =AE BF ⋅的最小值（ ）A. 5-B. 3-C. 0D. 3【答案】A【解析】【分析】以AB 中点O 为原点，建立直角坐标系，可得()2,AE m =，()2,2BF m =--，利用向量的坐标表示即可求解.【详解】以AB 中点O 为原点，如图建立直角坐标系：则()2,0A -，()2,0B ，不妨设E 在F 的上方，则()0,E m ，()0,2F m -，()2,AE m =，()2,2BF m =--，()2242155AE BF m m m ⋅=-+-=--≥-.故选：A【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示，解题的关键是建立恰当的直角坐标系，属于基础题. 11.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，P 是双曲线上在第一象限内的点，直线PO 、2PF 分别交双曲线C 左、右支于另一点M 、N ，122PF PF =，且260MF N ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】 利用定义求出14PF a =，22PF a =，根据双曲线的对称性可得12MFPF 为平行四边形，从而得出1260F PF ∠=，在12F PF ∆内使用余弦定理可得出a 与c 的等量关系，从而得出双曲线的离心率. 【详解】由题意，122PF PF =，122PF PF a -=，14PF a ∴=，22PF a =.连接1MF 、2MF ，根据双曲线的对称性可得12MF PF 为平行四边形，260MF N ∠=，1260F PF ∴∠=，由余弦定理可得2224164242cos60c a a a a =+-⋅⋅⋅，c ∴=，c e a∴== 故选B.【点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的等式，从而求出e 的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于e 的等式，最后解出e 的值.12.如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. 30πB. 41πC. 30πD. 64π【答案】B【解析】【分析】 根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O ABCD -，正方体的棱长为4，利用球的几何性质求解即可.【详解】根据三视图得出，该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O ABCD -，正方体的棱长为4，A ､D 为棱的中点，根据几何体判断：球心应该在过A ､D 的平行于底面的中截面上，设球心到截面BCO 的距离为x ，则到AD 的距离为4x -， ∴222(22)R x =+，2222(4)R x =+-，解得出：32x =，22341()824R =+=， 该多面体外接球的表面积为：2441R ππ=.故选：B .【点睛】本题综合考查了空间几何体的性质，空间思维能力，构造思想，本题的关键是镶嵌在常用的几何体中解决，找出线段之间的关系求得即可.二､填空题13.命题“000,sin cos 2x R a x x ∃∈+≥”为假命题，则实数a 的取值范围是____________．【答案】(【解析】试题分析：由题命题“,sin cos 2x R a x x a ∀∈+<<<<”为真命题，则2a <a 的取值范围是(考点：命题的否定14.在数列{a n }中，a 1=1，a 2=5，a n +2=a n +1-a n (n ∈N +)，则S 2020=_______.【答案】9【解析】【分析】先根据递推关系式归纳出周期，再根据周期求结果.【详解】∵11a =，25a =，∴321514a a a =-=-=，∴432451a a a =-=-=-，∴543145a a a =-=--=-，∴654514a a a =-=-+=-，∴765451a a a =-=-+=，∴876145a a a =-=+=，∴周期T =6，因123456154(1)(5)(4)0a a a a a a +++++=+++-+-+-=，所以每个周期的和都为0，因此202012343360154(1)9S a a a a =++++⨯=+++-=故答案为：9【点睛】本题考查数列周期，考查基本分析求解能力，属基础题.15.设抛物线C ：y 2=2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，点A 为抛物线C 上一点，以F 为圆心，F A 为半径的圆交l 于B ､D 两点，若∠BFD =120°，∆ABD 的面积为3，则p =_______. 【答案】2 【解析】【分析】 根据,BFD BF FD ∠=,可得30BDF DBF ∠=∠=，进而表示出,,,FR BR DF DR ,从而表示出BD 及圆的半径，再利用抛物线的定义求得A 到准线l 的距离，利用三角形的面积求出p 的值. 【详解】解：令抛物线的准线l 与x 轴交于R ,∵120BFD ∠=，2BF DF AF p ===，∴30BDF DBF ∠=∠=，又∵FR p =，∴2BF DF AF p ===，||23BD =，∴A 到准线l 的距离2d AF p ==， ∴211||22323322ABD S d BD p ∆=⨯⨯=⨯⨯==， 解得2p ，负值舍去. 故答案为：22【点睛】此题考查了抛物线的基本性质，圆锥曲线的位置关系，圆的方程等问题，综合性强，考查了学生推理运算能力，属于中档题.16.黎曼函数（Riemannfunction ）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，黎曼函数定义在[]0,1上，其定义为：()[]1,,0,0,10,1q q x p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩当都是正整数，是不可以再约分的真分数当或者上的无理数，若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()20f x f x +-=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，则103310f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______. 【答案】730- 【解析】 【分析】由已知得到()f x 关于()1,0对称，结合奇函数性质可确定()f x 为周期是4的周期函数，进而将所求式子化简为23310f f ⎛⎫⎛⎫-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；由黎曼函数的解析式可确定23f ⎛⎫ ⎪⎝⎭和310f ⎛⎫⎪⎝⎭的值，代入求得结果. 【详解】由()()20f x f x +-=知：()f x 关于()1,0对称又()f x 为奇函数，图象关于原点对称 ()f x ∴为周期函数，周期4T=103212111731031031031030f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-+=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：730-【点睛】本题考查函数奇偶性、对称性和周期性的综合应用问题，涉及到新定义运算的求解；关键是能够通过熟练掌握周期性与对称性的关系，即两个相邻的对称轴（对称中心）之间距离为半个周期.三､ 解答题17.共享单车又称为小黄车，近年来逐渐走进了人们的生活，也成为减少空气污染，缓解城市交通压力的一种重要手段．为调查某地区居民对共享单车的使用情况，从该地区居民中按年龄用随机抽样的方式随机抽取了21人进行问卷调查，得到这21人对共享单车的评价得分统计填入茎叶图，如下所示（满分100分）：（1）找出居民问卷得分的众数和中位数； （2）请计算这21位居民问卷的平均得分；（3）若在成绩为70~80分的居民中随机抽取3人，求恰有2人成绩超过77分的概率． 【答案】（1）众数为99，中位数为88；（2）88（3）310【解析】 【分析】（1）由茎叶图中的数据，结合众数，中位数的定义即可得出答案；（2）由茎叶图中的数据，结合平均数的定义，即可得出这21位居民问卷的平均得分； （3）由古典概型的概率公式求解即可.【详解】（1）依题意，居民问卷得分的众数为99，中位数为88； （2）依题意，所求平均得分76521334578991516171818191919808821-----+++++++++++++++++=（3）依题意，从5人中任选3人，可能的情况为()73,74,75，()73,74,78，(73,74,79)，(73,75,78)，(73,75,79)，(73,78,79)，(74,75,78)，(74,75,79)，(74,78,79)，(75,78,79)，其中满足条件的为3种，故所求概率310P =； 【点睛】本题主要考查了由茎叶图计算众数，中位数，平均数以及利用古典概型概率公式计算概率，属于中档题.18.函数f (x )=Asin (ωx +ϕ)(A >0，ω>0，0<ϕ<π)的部分图象如图所示，又函数g (x )=f (x +8π).（1）求函数g (x )的单调增区间；（2）设ABC 的内角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，又c 3C 满足g (C )= -1，若sinB =2sinA ，，求∆ABC 的面积. 【答案】（1）,,2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦；（23【解析】 【分析】（1）根据图象最值确定A ，根据半个周期确定ω，根据最小值点确定ϕ，再根据诱导公式化简g (x )，最后根据余弦函数性质求单调增区间；（2）先求C ，再根据正弦定理化边的关系，结合余弦定理解得1a =，2b =，最后根据三角形面积公式求结果.【详解】（1）由函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象可得2A =，5288T ππ=-，即T π=，则22T πω==，又函数图像过点,28π⎛⎫⎪⎝⎭，则2282k ππϕπ⨯+=+，即2,4k k Z πϕπ=+∈，又0ϕπ<<，即4πϕ=，即()2sin(2)4f x x π=+，则()2sin[2()]2cos 284g x x x ππ=++=由222k x k πππ-≤≤，k Z ∈，得2k x k πππ-≤≤，k Z ∈，所以函数()g x 的单调增区间为,,2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦（2）由()1g C =-，得1cos 22C =-，因为02C <<π，所以02C π<<， 所以223C π=，3C π=，又sin 2sin B A =，由正弦定理得2ba=①. 又3c =，由余弦定理，得2222cos3ca b ab π=+-，即223a b ab +-=②.由①②解得1a =，2b =. 所以ABC 的面积为113sin 12sin 2232ab C π=⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查由图象确定三角函数解析式、余弦函数性质、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查综合分析求解能力，属中档题.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2AB BC CD DA ====，1PA =，120BAD ∠=，E 为BC 的中点.（1）求证：AE ⊥平面PAD ；（2）若F 为CD 的中点，求点D 到平面PEF 的距离.【答案】（1）详见解析（2）1313【解析】 【分析】(1) 连接AC 由条件知四边形ABCD 为菱形，根据角度关系得到ABC ∆为正三角形，根据几何关系得到AE BC ⊥，PA AE ⊥，进而得到线面垂直；（2）AC 交EF 于点G ，连接PG ,DE ,则G 为EF 的中点，通过其中的几何关系，勾股定理得到PEF S ∆，11,24DEF CDE BCD S S S ∆∆∆==由等体积得到P DEF D PEF V V --=,得13139133h ⨯⨯=⨯⨯，进而求得结果. 【详解】（1）如图，连接AC .由条件知四边形ABCD 为菱形，且120BAD ∠=， ∴60BAC ∠=，∴ABC ∆为正三角形. ∵E 为BC 的中点，∴AE BC ⊥. 又∵AD BC ∥，∴AE AD ⊥.又∵PA ⊥底面ABCD ，AE ⊂底面ABCD ，∴PA AE ⊥. ∵PA AD A ⋂=，∴AE ⊥平面PAD . （2）设AC 交EF 于点G ，连接PG ,DE ,则G 为EF 的中点.易知AE AF =，则Rt PAE Rt PAF ∆≅∆，∴PE PF =，∴PG EF ⊥. 连接BD .∵2AB BC CD DA ====,1PA =,∴BD =3342AG AC ==,∴12EF BD =PG ==∴124PEF S EF PG ∆=⋅=. 1124DEF CDE BCD S S S ∆∆∆=== 113sin12042BC CD ⨯⨯⨯=. 设点D 到平面PEF 的距离为h ，又PA ⊥底面ABCD ，由P DEF D PEF V V --=,得11133h =，解得h =故点D 到平面PEF . 【点睛】这个题目涉及到点面距离的求法，点面距可以通过建立空间直角坐标系来求得点面距离，或者寻找面面垂直，再直接过点做交线的垂线即可;当点面距离不好求时，还可以等体积转化.20.在直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，1AF ，1BF 的中点分别为E ，F ，OEF 的周长为．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设2ABF 的重心为G ，若||6OG =，求直线l 的方程．【答案】（Ⅰ）2212x y +=（Ⅱ）10x ++=或10x +=【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意可得1112EF AF =，1112FF BF =，21||2OF BF =，根据OEF 的周长求出a ，根据离心率得到c ，再求出b ，从而得到椭圆的方程；（Ⅱ）设l 的方程为1x my =-，与椭圆联立得到12y y +，12y y ⋅，从而得到重心G 的坐标，根据||6OG =，得到关于m 的方程，解得m 的值，得到直线l 的方程.【详解】（Ⅰ）∵2c e a ==，∵a = 连接2AF ，2BF ，∵E ，O 分别为1AF ，12F F 的中点，∴1112EF AF =，21||2OE AF =， 同理1112FF BF =，21||2OF BF = ∴OEF 的周长为()1122122AF BF AF BF a +++==a =1c =又222b ac =-，∴1b =，∴椭圆C的标准方程为2212x y +=（Ⅱ）∵l 过点1(1,0)F -且斜率不为0，∴可设l 的方程为1x my =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，由22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210m y my+--= ∴12222m y y m +=+，12212y y m ⋅=-+ ∴()12122422x x m y y m +=+-=-+，又∵2(1,0)F ，∴12121,33x x y y G +++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()()22222,3232m m G m m ⎛⎫-⎪ ⎪++⎝⎭∴||32OG m ==+ 632m =+，解得m = ∴直线l 的方程为10x ++=或10x +=.【点睛】本题考查椭圆的定义求椭圆的标准方程，直线与椭圆的交点，两点间距离公式，属于中档题. 21.已知函数()(1)ln f x x x =- （1）求()f x 的单调性；（2）若不等式()xxe f x x ae ≥+在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()f x 在(0,1)上单调递减，在()1,+∞上单调递增（2）1,e⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）对()f x 求导，分别讨论x 不同范围下()f x '的正负，可求出()f x 的单调性. （2）对条件变形得到()x x a f x e ≤-在(0,)+∞上恒成立，所以等价于min(())x x a f x e≤-，令()x xg x e =，得到()g x 的单调性和()f x 单调性相同，所以函数在1x =处取得最小值，代入1x =即可求出结果.【详解】解：（1）由()(1)ln f x x x =-，知1()ln 1f x x x=+-' 当01x <<时，ln 0x <，110x -<，1ln 10x x+-<，此时()0f x '< 当1x >时，ln 0x >，110x ->，1ln 10x x+->，此时()0f x '>∴()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增（2）不等式()x xe f x x ae ≥+等价于()x x a f x e≤-令()x x g x e =，则1()xx g x e '-=，当01x <<时，()0g x '>，当1x >时，()0g x '< ∴()x xg x e=在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减又∵()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，∴()x xy f x e=-在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，即()x x y f x e=-在1x =处取得最小值1e -∴1a e ≤-，故实数a 的取值范围是1,e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数求恒成立问题，考查分类讨论和拆分的方法，属于中档题.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122x a t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数，a R ∈）.在以坐标原点为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2223cos 24sin 3ρθρθ+=.（1）若点()2,0A 在直线l 上，求直线l 的极坐标方程；（2）已知0a >，若点P 在直线l 上，点Q 在曲线C 上，且||PQa 的值.【答案】（1cos sin 0θρθ+-= （2）a =【解析】 【分析】（1）利用消参法以及点()2,0A 求解出l 的普通方程，根据极坐标与直角坐标的转化求解出直线l 的极坐标方程；（2）将Q的坐标设为()cos αα，利用点到直线的距离公式结合三角函数的有界性，求解出||PQ 取最小值时对应a 的值.【详解】（1）消去参数t 得l0y +-=， 将()2,0A 代入，可得1a =0y +-= 所以lcos sin 0θρθ+-=（2）C 的直角坐标方程为2213y x +=直线l0(0)y a +-=> 设Q的直角坐标为()cos αα∵P 在直线上，∴||PQ 的最小值为Q 到直线l 的距离()d α的最小值()d α=∵0a >，∴当4πα=，sin 14πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时||PQ即||22=，∴a =【点睛】本题考查直线的参数方程、普通方程、极坐标方程的互化以及根据曲线上一点到直线距离的最值求参数，难度一般.（1）直角坐标和极坐标的互化公式：cos ,sin x y ρθρθ==；（2）求解曲线上一点到直线的距离的最值，可优先考虑将点的坐标设为参数方程的形式，然后再去求解.23.()1解不等式2x 1x 23-++≥；()2设a ，b ，c 0>且不全相等，若abc 1=，证明：()()()222a b c b c a c a b 6+++++>．【答案】（1）][2,0,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭；（2）详见解析. 【解析】 【分析】()1通过讨论x 的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可； ()2根据不等式的性质证明即可．【详解】解：()1原不等式等价于()()x 22x 1x 23≤-⎧---+≥⎨⎩或()()1222123x x x ⎧-<<⎪⎨⎪--++≥⎩或()()122123x x x ⎧≥⎪⎨⎪-++≥⎩， 解得：x 2≤-或2x 0-<≤或2x 3≥， 故原不等式的解集是][2,0,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭； ()2证明：22b c 2bc +≥，c 0>，abc 1=，()22a b c 2abc 2∴+≥=，同理()22b c a2abc 2+≥=，()22c ab 2abc 2+≥=，又a ，b ，c 0>且不全相等， 故上述三式至少有1个不取“=”， 故()()()222ab c b c a c a b +++++222222a b a c b c b a c a c b =+++++()()()222222a b c b c a c a b 6=+++++>．【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道基础题．。
2021届河北衡水密卷新高考仿真考试(十)数学(文)试题
2021届河北衡水密卷新高考仿真考试（十）文科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知函数y =A ，则A R（ ）A. {0}{1}xx x x ≤⋃≥∣∣ B. {0}{1}xx x x <⋃>∣∣ C. {01}xx ≤≤∣ D. {01}xx <<∣ 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的定义求出函数的定义域A ，然后再求其在实数集中的补集． 【详解】由题意2{|0}{|0A x x x x x =-≥=≤或1}x ≥，所以{|01}RA x x =<<．故选：D ．【点睛】本题考查集合的祉集运算，确定集合A 中的元素是解题关键． 2.已知复数z 满足2(1i)(3i)z +=+，则||z =（ ）C. 52D. 8【答案】C 【解析】 【分析】先根据复数的乘除法求出复数z 的代数形式，然后再求出||z 即可． 【详解】∵2(1)(3)z i i +=+，∴2(3)86(86)(1)(43)(1)711(1)(1)i i i i z i i i i i i i +++-====+-=-+++-， ∴22||7(1)5052z =+-==． 故选C ．【点睛】本题考查复数的运算和复数模的求法，解题的关键是正确求出复数的代数形式，属于基础题． 3.甲、乙两个几何体的三视图如图所示（单位相同），记甲、乙两个几何体的体积分别为1V ，2V ，则（ ）A. 122V V >B. 222V V =C. 12163V V -=D. 12173V V -=【答案】D 【解析】由甲的三视图可知，该几何体为一个正方体中间挖掉一个长方体，正方体的棱长为8，长方体的长为4，宽为4，高为6，则该几何体的体积为318446416V =-⨯⨯=；由乙的三视图可知，该几何体为一个底面为正方形，边长为9，高为9的四棱锥，则该几何体的体积为219992433V =⨯⨯⨯=.∴12416243173V V -=-=点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.4.执行如图的程序框图，如果输出的S=3，则输入的t=（ ）A. 1-B. 3-C. 1或3D. 1或3-【答案】C 【解析】 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用判断条件计算并输出变量S 的值，根据S 的值，分类讨论即可得答案．【详解】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用判断条件计算并输出变量S 的值， 由于输出的S=3，则当t≥1时，可得：4t-t 2=3，解得：t=3或1， 当t ＜1时，可得：3t=3，解得t=1（舍去）． 故选C ．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1231112a a a ++=，22a =，则3S =（ ） A. 8 B. 7C. 6D. 4【答案】A【分析】根据等比数列的性质，得到13123322123132221111a a a a a S a a a a a a a a +++++=+==，结合题中数据，即可得出结果.【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1231112a a a ++=，22a =， 则13123321231322111124a a a a a S a a a a a a a +++++=+===,则38S =. 故选A【点睛】本题考查等比数列的性质，熟记等比数列的性质即可，属于常考题型.6.已知函数||2()2x f x x =+，设21(log )3m f =，0.1(7)n f -=，()4log 25p f =，则m ，n ，p 的大小关系为（ ） A. m p n >> B. p n m >>C. p m n >>D. n p m >>【答案】C 【解析】 【分析】先由函数奇偶性的概念判断函数()f x 的奇偶性，再得到其单调性，确定21log 3，0.17-，4log 25的范围，即可得出结果.【详解】因为()22xf x x =+，所以()222()2()xxf x x x f x --=+-=+=，因此()22xf x x =+为偶函数，且易知函数()f x 在()0,∞+上单调递增，又()221log log 31,23=∈，()0.170,1-∈，()42log 25log 52,3=∈， 所以0.1421log 25log 73->>， 因此p m n >>. 故选C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用，熟记函数性质即可，属于常考题型.7.已知曲线sin(2)6y x π=+向左平移(0)ϕϕ>个单位，得到的曲线()y g x =经过点(,1)12π-，则（ ） A. 函数()y g x =的最小正周期2T π=B. 函数()y g x =在1117,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C. 曲线()y g x =关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D. 曲线()y g x =关于直线6x π=对称【答案】C 【解析】 【分析】根据左右平移和112g π⎛⎫-= ⎪⎝⎭可求得()g x 解析式；根据余弦型函数的最小正周期、单调性和对称轴、对称中心的判断方法依次判断各个选项即可.【详解】由题意知：()()sin 2sin 2266g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭则sin 2112g πϕ⎛⎫-== ⎪⎝⎭222k πϕπ∴=+，k Z ∈ ()cos 26g x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭()g x 最小正周期22T ππ==，可知A 错误； 当1117,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[]22,36x πππ+∈，此时()g x 单调递减，可知B 错误； 当23x π=时，3262x ππ+=且3cos 02π=，所以2,03π⎛⎫⎪⎝⎭为()g x 的对称中心，可知C 正确； 当6x π=时，262x ππ+=且cos02π=，所以,02π⎛⎫⎪⎝⎭为()g x 的对称中心，可知D 错误. 本题正确选项：C【点睛】本题考查图象平移变换、余弦型函数的周期性、单调性、对称性的相关问题.判断余弦型函数的单调性和对称性的关键是能够通过整体对应的方式，结合余弦函数的图象来进行判断.8.函数()4x xe ef x x-+=的图像为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】由()()4x xe ef x f x x -+-=-=-，得()f x 的图象关于原点对称，当0x >时，得()0f x >，对选项分析判断即可.【详解】由()()4x xe ef x f x x -+-=-=-，得()f x 的图象关于原点对称，排除C,D.当0x >时，得()0f x >，排除B. 故选A【点睛】本题考查了函数图像的识别，利用了函数的奇偶性等性质，属于基础题.9.我国明代伟大数学家程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明”意思是：九节竹的盛米容积成等差数列，其中的“三升九”指3.9升，则九节竹的中间一节的盛米容积为（ ） A. 0.9升 B. 1升C. 1.1升D. 2.1升【答案】B 【解析】 【分析】先根据“下头三节三升九，上梢四节贮三升”列方程组，解方程组求得2,a d 的值，进而求得5a 的值.【详解】依题意得12367893.93a a a a a a a ++=⎧⎨+++=⎩，故2781.31.5a a a =⎧⎨+=⎩，即22256211a d a d a d +++=+ 2.611 1.5d =+=，解得0.1d =-，故523 1.30.31a a d =+=-=升.故选B.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查等差数列通项的性质，属于基础题.10.已知函数112,1()2,1x x x f x x --⎧≥=⎨<⎩，若()2(22)2f x f x x -≥-+，则实数x 的取值范围是（ ）A. [2,1]-B. [1,)+∞C. RD. (,2][1,)-∞-+∞【答案】D 【解析】 【分析】由函数112,1()2,1x x x f x x --⎧≥=⎨<⎩，的表达式即可判断f （x ）是关于x=1对称的函数，利用单调性可得x 的不等式求解即可．【详解】由题画出函数112,1()2,1x x x f x x --⎧≥=⎨<⎩的图像如图所示，故222121xx x --≤-+- ，即2231x x x -≤-+ ，解得x 的取值范围是(,2][1,)-∞-+∞故选 D【点睛】本题考查函数的对称性和单调性，考查绝对值不等式的解法，考查计算能力是基础题 11.若正四棱柱1111ABCD A B C D -31AB =，则直线1AB 与1CD 所成的角为（ ） A. 30 B. 45C. 60D. 90【答案】C【解析】 【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB 1与CD 1所成的角．【详解】∵正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为3，AB ＝1，∴AA13=， 以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A （1，0，0），B 1（1，1，3），C （0，1，0），D 1（0，0，3）， 1AB =（0，1，3），1CD =（0，﹣1，3）， 设直线AB 1与CD 1所成的角为θ， 则cosθ11111244AB CD AB CD ⋅===⋅⋅，又0︒<θ90︒≤ ∴θ＝60°，∴直线AB 1与CD 1所成的角为60°． 故选C ．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查空间想象能力，是中档题．12.已知直线:30l x a --=与圆()(22:334C x y -++=交于点M ，N ，点P 在圆C 上，且3MPN π∠=，则实数a 的值等于（ ）A. 2或10B. 4或8C. 622±D. 623±【答案】B 【解析】 【分析】由圆的性质可得出圆心C 到直线l 的距离，再由点到直线的距离公式可求出实数a 的值.【详解】由π3MPN ∠=可得2π23MCN MPN ∠=∠=. 在MCN △中，2CM CN ==，π6CMN CNM ∠=∠=，可得点(3C ，到直线MN，即直线:0l x a -=的距离为π2sin 16=.1=，解得4a =或8.故选B.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离.在直线与圆的问题中，结合相关的几何性质求解可使解题更简便.第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.三棱锥S-ABC 中，SA ，SB ，SC 两两垂直，且SA=3，SB=4，SC=5，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为______． 【答案】50π 【解析】 【分析】利用三线垂直联想长方体，结合长方体外接球直径为其体对角线长，容易求解．【详解】由SA ，SB ，SC 两两垂直，以SA ，SB ，SC为长方体同一顶点出发的三条棱构造长方体， 则长方体外接球直径2R 为长方体体对角线长R =，504504S ππ∴=⨯=表， 故答案为50π．【点睛】此题考查了三棱锥外接球问题，考查了构造长方体解决问题的方法，属于中档题． 14.若3sin()5πα+=-，则cos =α__________. 【答案】45± 【解析】()3sin 5πα+=-3sin 5α∴=故利用平方和为1，可知4cos 5α=±15.已知向量,a b 满足1a b ⋅=-，()23a a b -=，则a =______________. 【答案】1 【解析】 【分析】首先根据向量的数量积的运算律求出2a ，再根据2a a =计算可得；【详解】解：因为()23a a b -=， 所以223a a b -= 又1a b =- 所以21a = 所以21a a ==故答案为：1【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算，属于基础题. 16.函数()2211f x x x x =----的所有零点之和等于______．【答案】2 【解析】 【分析】令()0f x =，利用换元法可解得方程的根，即得函数的零点.【详解】令()22110f x x x x =----=，则()21120x x ----=.设10t x =-≥，则220t t --=，解得1t =-(舍去)或2t =. 所以12t x =-=，解得1x =-或3x =.所以函数()f x 有两个零点1,3-，它们之和等于13 2.-+=【点睛】本题考查函数的零点，通过解方程()0f x =来求函数()f x 的零点.三、解答题（本大题共6小题，共70分.其中22、23为选考题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a=bcosC+csinB ． （1）求B ；（2）求y=sinA-2sinC 的取值范围．【答案】（1）B=π4；（2）（-12，2）． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得cosBsinC=sinCsinB ，由sinC≠0，可求cosB=sinB ，结合范围0＜B ＜π，可求B 的值．（2）利用三角函数恒等变换的应用，利用余弦函数的图象和性质可求其取值范围． 【详解】（1）由正弦定理得：sinA=sinBcosC+sinCsinB ， 即sin （B+C ）=sinBcosC+sinCsinB ， 故cosBsinC=sinCsinB ， 因为sinC≠0， 所以cosB=sinB ， 因为0＜B ＜π， 所以B=π4； （2）因为B=π4，所以y=sinA-2sinC=sin （3π4-C ）-2sinC=sin 3π4cosC-cos 3π4sinC-2sinC =2cosC ，又因为0＜C ＜3π4，且y=2cosC 在（0，3π4）上单调递减，所以y=sinA-2sinC 的取值范围是（-12，2）．【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角函数恒等变换的应用，余弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.十八大以来，我国新能源产业迅速发展.以下是近几年某新能源产品的年销售量数据：（1）请画出上表中年份代码x 与年销量y 的数据对应的散点图，并根据散点图判断：y ax b =+与2y cx d =+中哪一个更适宜作为年销售量y 关于年份代码x 的回归方程类型；（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程，并预测2019年某新能源产品的销售量（精确到0.01）.参考公式：121()()ˆ()nii i nii tt y y btt ==--=-∑∑，ˆˆˆybt a =+ 参考数据：5522113,22.84,11,()10,()374i i i i x y t x x t t =====-=-=∑∑55211()()134.90,()()849.10,iiii i i i i x x y y tt y y t x ==--=--==∑∑其中【答案】（1）见解析（2）79.59万个 【解析】 【分析】（1）以年份代码x 为x 轴,以年销量y 为y 轴,作散点图，根据散点图，2y c x d =+更适宜作为年销售量y关于年份代码x 的回归方程；（2）利用最小二乘法求出y 关于x 的回归方程为22.27 2.13y x =-,再利用回归方程预测2019年某新能源产品的销售量.【详解】（1）以年份代码x 为x 轴,以年销量y 为y 轴,作散点图，根据散点图，2y c x d =+更适宜作为年销售量关于年份代码的回归方程； （2）依题意22.84,11y t ==，()()()51521849.10 2.27374iii ii t t y y c t t ==--==≈-∑∑22.84 2.2711 2.13d y c t =-⋅=-⨯=-22.27 2.13 2.27 2.13y t x =-=-所以y 关于x 的回归方程为22.27 2.13y x =-令6x =，22.276 2.1379.59y =⨯-=， 故预测2019年新能源产品的销售量为79.59万个.【点睛】本题主要考查散点图，考查利用最小二乘法求回归方程，考查利用回归方程进行预测，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11BB C C ，E 是1CC 的中点，1BC =，12BB =，2AB =，160BCC ∠=︒．（1）证明：1B E AE ⊥； （2）若11A BAB D =，求三棱锥1D AA E -的体积．【答案】（1）见证明；（2）16D AAE V -= 【解析】 【分析】(1)要证线线垂直，可先证线面垂直，要证线面垂直，又要先从已知的线面垂直和勾股定理中得到线线垂直. (2)三棱锥1D AA E -中，以1AA D △为底面，则底面积和高易求，则体积可得. 【详解】(1)证明：连接BE .因为在BCE 中，1BC =，1111122CE CC BB ===，160BCC ∠=︒,所以BCE 是等边三角形，1BE =．因为在11B C E △中，1111B C EC ==，11=120B C E ∠︒， 所以2211111112cos1203B E EC B C EC B C =+-⨯⨯︒=． 在1BB E △中，11=1,3,2BE B E BB ==， 所以1B E BE ⊥.又AB ⊥平面11BB C C 且1B E ⊂平面11BB C C ， 所以1B E AB ⊥. 又ABBE B =，所以1B E ⊥平面ABE ，因为AE ⊂平面ABE ， 所以1B E AE ⊥．（2）由11A BAB D =知D 为1A B ，1AB 的中点.由AB ⊥平面11BB C C ，可得1AB BB ⊥， 所以111122244AA D S AB BB ∆=⨯⋅==.在平面11BB C C 内过点E 作1EH BB ⊥于点H . 又AB EH ⊥，1ABBB B ，所以EH ⊥平面11ABB A .在1Rt BB E △中，由11EH BB BE B E =，可得EH =，即点E 到平面1AA D .所以三棱锥1D AA E -的体积11113D AA E E AA D AA D V V S --∆==⨯=． 【点睛】本题考查立体几何中的垂直证明和体积计算.空间几何体中直线、平面之间的平面与垂直的证明，一般思路是利用转化的思想，在线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)之间进行转化.求三棱锥的体积首先要选择恰当的底面和高，使底面积和高容易求得，再利用1=2V S h 锥底求体积.20.已知1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右焦点，点1,2P ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上，且12PF F △的面积为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）设过点1F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求22F A F B ⋅的取值范围.【答案】（1）2212x y +=；（2）71,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【解析】 【分析】(1)由点P 的坐标和12PF F △的面积列出方程组求出,a b 的值即可. (2)考虑直线l 的斜率不存在的情况，当直线l 的斜率存在时，设():1l y kx =+，与椭圆方程联立，设()11,A x y ，()22,B x y ，由数量积的坐标运算结合根与系数的关系把所求数量积表示为k 的函数，然后求其取值范围.【详解】(1)由椭圆C经过点1,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且12PF F △的面积为2，得 221112a b +=，且12222c ⨯⨯=,即1c =. 又2221a b c -==，解得22a =，21b =. 所以椭圆C的方程为2212x y +=.（2）由（1）知()11,0F -，()21,0F .设()11,A x y ，()22,B x y . 若直线l 的斜率不存在，可得点,A B 的坐标为1,,1,22⎛⎛--- ⎝⎭⎝⎭，则227=2F A F B . 当直线l 的斜率存在时，设():1l y k x =+，代入椭圆方程得()()2222124210k xk x k +++-=.则()()422168121k kk∆=-+-2880k =+>恒成立.所以2122412k x x k +=-+，()21222112k x x k-=+. 所以()()221212=11F A F B x x y y --+()()()()21212=1111x x kx x --+++()()()2221212=111k x x k x x k ++-+++22271791222(12)k k k -==-++. 又20k ≥，则()2227971,22221F A F B k ⎡⎫=-∈-⎪⎢+⎣⎭. 综上可知，22F A F B 的取值范围为71,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查椭圆的综合问题，椭圆中的取值范围问题.解题的一般思路是：联立直线与椭圆方程，由根与系数的关系进行整体代换和运算，由函数的性质求取值范围. 21.已知函数3()f x x ax =+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()()ln g x f x x x =-在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有零点，求a 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）114ln 2,ln 222⎡⎤-+--⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）先求导，对a 分类讨论，利用导函数的正负可得f （x ）的单调性.（2）将已知进行转化，得到3ln 0x ax x x +-=在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，分离参数a ，构造函数，求导求得值域，可得a 的范围.【详解】（1）因为()3f x x ax =+，所以()23f x x a ='+.①当0a ≥时，因为()230f x x a '=+≥，所以()f x 在R 上单调递增；②当0a <时，令()0f x '>，解得x <x >.令()0f x '<，解得x <<， 则()f x在,3⎛-∞-⎝⎭，,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；在,33⎛- ⎝⎭上单调递减. （2）因为()()ln g x f x x x =-，所以()3ln g x x ax x x =+-，()()ln g x f x x x =-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，等价于关于x 的方程()0g x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，即3ln 0x ax x x +-=在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解. 因为3ln 0x ax x x +-=，所以2ln a x x =-+.令()2ln h x x x =-+，则()21212x h x x x x=-'-=-+.令()0h x '<，122x ≤≤，解得22x <≤；令()0h x '>，122x ≤≤，解得122x ≤<，则()h x,22⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递减，在1,22⎡⎢⎣⎭上单调递增， 因为2111ln 222h ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1ln24--，()222ln24ln2h =-+=-+，所以()115224h h ⎛⎫-=⎪⎝⎭152ln2204->->， 则()()min 24ln2h x h ==-+，()max 12h x h ==-+⎝⎭11ln222=--， 故a 的取值范围为114ln2,ln222⎡⎤-+--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与零点问题，考查了函数的最值的求法，考查了等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.已知函数()2123f x x x =+--，()1g x x x a =++-. （l ）求()1f x ≥的解集；（2）若对任意的R t ∈，R s ∈，都有()()g s f t ≥.求a 的取值范围. 【答案】(1)34x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭；(2){3x a ≥或}5a ≤-. 【解析】试题分析：（1）首先利用零点讨论法求出在不同范围内的不等式组，进一步解不等式组求出结论，直接根据函数的恒成立问题进一步建立，对任意的t R ∈，s R ∈，都有()()g s f t ≥，可得()()min max g x f x ≥，进一步求出参数的取值范围.试题解析：（1）∵函数()2123f x x x =+--，故()1f x ≥，等价于21231x x +--≥，令210x +=，解得12x =-，令230x -=，解得32x =，则不等式等价于：()1 221321x x x ⎧<-⎪⎨⎪----≥⎩①，或132221(32)1x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+--≥⎩②，或3 221(23)1x x x ⎧>⎪⎨⎪+--≥⎩③，解①求得x ∈∅，解②求得33 24x ≥≥，解③求得32x >，综上可得，不等式的解集为3{|}4x x ≥.（2）若对任意的t R ∈，s R ∈，都有()()g s f t ≥，可得()()min max g x f x ≥，∵函数()212321234f x x x x x =+--≤+-+=，∴()4max f x =，∵()111g x x x a x x a a =++-≥+-+=+，故()1min g x a =+，∴14a +≥，∴14a +≥或14a +≤-，求得3a ≥或5a ≤-，故所求的a 的范围为{|3a a ≥或5}a ≤-．点睛：本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 23.已知极点与坐标原点O 重合，极轴与x 轴非负半轴重合，M 是曲线2:sin C ρθ=上任一点，点P 满足3OP OM =.设点P 的轨迹为曲线Q .（1）求曲线Q 的平面直角坐标方程；（2）已知曲线Q 向上平移1个单位后得到曲线N ，设曲线N 与直线:x tl y t =-⎧⎨=⎩（t 为参数）相交于A ，B 两点，求OA OB +值.【答案】（1）()2239x y +-=；（2）【解析】 【分析】(1) 设(,)P ρθ，求出点M 的极坐标为(,)3ρθ.把点(,)3M ρθ代入曲线C 即得曲线Q 的极坐标方程，再化成直角坐标方程即可.(2)求出l 的参数方程，再利用直线参数方程t 的几何意义求解. 【详解】（1）设(),P ρθ，∵3OP OM =，点M 的极坐标为,3ρθ⎛⎫⎪⎝⎭. 把点,3M ρθ⎛⎫⎪⎝⎭代入曲线C ，得2sin 3ρθ=，即曲线Q 的极坐标方程为：6sin ρθ=.∵26sin ρρθ=，∴226x y y +=，∴()2239x y +-=，∴曲线Q 的平面直角坐标系下的方程为()2239x y +-=.（2）曲线Q 向上平移1个单位后曲线N 的方程为()2249x y +-=.l的参数方程化为：2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.两方程联立得270t -+=，∴12t t +=127t t ⋅=，∴1212OA OB t t t t +=+=+=【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标方程互化，考查直线参数方程t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.。
2021届河北衡水金卷新高考模拟试卷(五)数学(理)试题
2021届河北衡水金卷新高考模拟试卷（五）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合()(){}120A x x x =+-<，{}13B x x =<<，则AB =（ ）． A. {}12x x << B. {}23x x << C. {}13x x -<< D. {}11x x -<< 【答案】A【解析】【分析】化简集合A ，根据集合的交集运算即可求解.【详解】()(){}120(1,2)A x x x =+-<=-，{}13B x x =<< (1,2)A B ∴=故选：A【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合的交集，属于容易题.2.已知()1i 3i z -=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）．A. 3B. 3iC. 3-D. 3i - 【答案】C【解析】【分析】根据复数的运算，求出复数z ，写出复数的虚部即可.【详解】()1i 3i z -=+,23(3)1123i i i z i i i+-+∴=+=+=--, ∴ z 的虚部为-3,故选：C【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，复数的概念，属于容易题.3.已知角()02παα≤<终边上一点的坐标为7π7πsin,cos 66⎛⎫ ⎪⎝⎭，则α=（ ）． A. 5π6 B. 7π6 C. 4π3 D. 5π3【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的定义求tan α，结合角的范围写出角即可. 【详解】由诱导公式知，71sin sin()sin 6662ππππ=+=-=-，7πcos cos()cos 6662πππ=+=-=-，所以角()02παα≤<终边上一点的坐标为1(,2-， 故角的终边在第三象限，所以tan α=由02πα≤<知，43πα=故选：C 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，特殊角的三角函数，属于容易题.4.各项均不相等的等差数列{}n a 的前5项的和55S =-，且3a ，4a ，6a 成等比数列，则7a =（ ）．A. 14-B. 5-C. 4-D. 1- 【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的求和公式及通项公式，解方程即可求出.【详解】因为55S =-， 所以154552a d ⨯+=-， 即121a d +=-，因为3a ，4a ，6a 成等比数列，所以2436()a a a =，即2(1)1(13)d d -+=-⨯-+，解得1d =-或0d =（数列各项不相等，舍去），所以734145a a d =+=--=-，故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了运算能力，属于中档题. 5.设a 、b 、c 依次表示函数()121f x x x =-+，()12log 1g x x x =-+，()112xh x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的零点，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）． A. a b c <<B. c b a <<C. a c b <<D. b c a << 【答案】D【解析】【分析】 根据题意可知，12121,log ,()2x y x y x y ===的图象与1y x =-的图象的交点的横坐标依次为,,a b c ，作图可求解. 【详解】依题意可得，12121,log ,()2x y x y x y ===的图象与1y x =-的图象交点的横坐标为,,a b c ，作出图象如图：由图象可知，b c a <<，故选：D【点睛】本题主要考查了幂函数、指数函数、对数函数的图象，函数零点，数形结合的思想，属于中档题. 6.已知α是给定的平面，设不在α内的任意两点M ，N 所在的直线为l ，则下列命题正确的是（ ）A. 在α内存在直线与直线l 异面B. 在α内存在直线与直线l 相交C. 在α内存在直线与直线l 平行D. 存在过直线l 的平面与α平行【答案】A【解析】【分析】利用M 、N 是不在α内的任意两点，可得直线l 与平面α平行或相交，进而可判断直线与平面内直线的位置关系.【详解】M 、N 是不在α内任意两点，则直线l 与平面α平行或相交，若l 与平面α平行，则在α内不存在直线与直线l 相交，所以B 错误：若直线l 与平面α相交，则不存在过直线l 的平面与α平行，所以D 错误：若直线l 与平面α相交，则在α内都不存在直线与直线l 平行，所以C 错误；不论直线l 与平面α平行还是相交.在α内都存在直线与直线l 异面，所以A 正确.故选：A .【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系，属于基础题.7.()322x x --的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）．A. 9B. 9-C. 3D. 3- 【答案】D【解析】【分析】变形()32332(2)(1)x x x x --=--，根据二次展开式的通项公式求解即可. 【详解】()32332(2)(1)x x x x --=--,∴含4x 的项为032212121212034333333(1)(2)(1)(2)3C x C x C x C x C x C x x ⋅-+-⋅-+-⋅=-，故选：D【点睛】本题主要考查了二项展开式，二项展开式的系数，考查了运算能力，属于中档题.8.如图是某一无上盖几何体的三视图，则该几何体的表面积等于（ ）．A. 63πB. 57πC. 48πD. 39π【答案】C【解析】【分析】 由已知中的三视图可得:该几何体为圆柱中挖去一个圆锥，画出直观图，数形结合可得答案.【详解】该几何体直观图为底面半径为3，高为4的圆柱中挖去一个圆锥，如图所示，该几何体的表面积为222323433448S ππππ=⋅+⋅⋅+⋅+=,故选：B【点睛】本题主要考查了圆柱的表面积，圆锥的表面积，简单几何体的三视图，属于中档题.9.有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，随机取出3个，则取出的球的编号互不相同的概率是（ ）．A. 47B. 37C. 27D. 17【答案】A【解析】【分析】先求出基本事件总数3856n C ==，取出的编号互不相同包含的基本事件个数1118643332c c c m A ==,由此能求出取出的编号互不相同的概率.【详解】有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，随机取出3个,基本事件总数3856n C ==， 取出的编号互不相包含的基本事件个数1118643332c c c m A ==， 则取出的编号互不相同的概率是324567m p n ===， 故选：A 【点睛】本题主要考查了概率的求法，查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题.10.设双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，与圆222x y a +=相切的直线1PF 交双曲线C 于点P （P 在第一象限），且212PF F F =，则双曲线C 的离心率为（ ）． A. 103 B. 53 C. 32 D. 54【答案】B【解析】【分析】先设PF 1与圆相切于点M ,利用|PF 2|= |F 1F 2|,及直线PF 1与圆x 2 + y 2 = a 2相切，可得a ，c 之间的关系，从而可求双曲线的离心率的值.【详解】设PF 1与圆相切于点M ,如图，因为212PF F F =，所以12PF F △为等腰三角形，N 为1PF 的中点， 所以1114F M PF =， 又因为在直角1F MO 中，2222211F MFO a c a =-=-， 所以1114F M b PF == ①， 又12222PF PF a c a =+=+ ②，222c a b =+ ③，由①②③可得2222c a c a +⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 即为4()c a c a -=+，即35c a =， 解得53c e a ==， 故选：B【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，双曲线的简单几何性质，属于中档题.11.已知函数()1sin cos ,4f x x x x ωωω⎛⎫=+>∈ ⎪⎝⎭R ，若()f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ω的取值范围是（ ）． A. 15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 15,44⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 1,24⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A【解析】【分析】化简函数为())4f x x πω=+，由题意利用正弦函数的图象的对称性和周期性，求得ω的取值范围. 【详解】因为()sin cos )4f x x x x πωωω=+=+ 1,4x ω⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭R ， 若()f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭, 则1222πππω⋅-， 即124ω<≤， 由42x k ππωπ+=+得对称轴方程4,k x k Z ππω+=∈,所以42k πππω+≤且(1)4k πππω++≥，k Z ∈，解得152,24k k k Z ω+≤≤+∈, 当0k =时，1524ω≤≤，满足124ω<≤， 故ω的取值范围是1524ω≤≤， 故选：A【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性和周期性，属于中档题.12.设函数()()ln 2f x x k =++，函数()y g x =的图象与211x y e -=+的图象关于直线1x =对称．若实数1x ，2x 满足()()12f x g x =，且122x x -有极小值2-，则实数k 的值是（ ）．A. 3B. 2C. 1D. 1-【答案】B【解析】【分析】先求出()y g x =，根据()()12f x g x t ==得122x x -，构造函数122()x x h t -=，利用导数求极小值即可建立方程，求解即可.【详解】设(,)P x y 为函数()y g x =的图象上任意一点，则关于直线1x =对称点为(2,)P x y '-在函数211x y e -=+的图象上，所以212211xx y e e --=+=+，即()21xe y g x =+=，令()()12f x g x t ==，则21t x e k -=-，22ln(1)x t =-，所以212222ln(1)2()t x x e t k h t --=---=， 则22()2(1)1t h t e t t -'=->-， 令()0h t '=，得2t =，当12t <<时，()0h t '<，函数()h t 为减函数，当2t <时，()0h t '>，函数()h t 为增函数，所以当2t =，()h t 有极小值(2)222h k =-=-，解得2k =，故选：B【点睛】本题主要考查了函数的对称性，利用导数求函数的极小值，根据极小值求参数，属于难题. 二、填空题：13.已知1a →=，2b →=，且2a b a →→→⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，则向量a →与b →的夹角为______． 【答案】2π3【解析】【分析】 根据向量夹角公式及向量的数量积运算性质即可求解.【详解】212a b a a b a a b →→→→→→→→⎛⎫⋅-=⋅-=⋅-=- ⎪⎝⎭, 1a b →→∴⋅=-，11cos ,22a a ba b b →→→→→→⋅⋅-<>===-， 0,a b π→→≤<>≤，2,3a b π→→∴<>=， 故答案为：2π3 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算性质，向量的夹角公式，属于中档题.14.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()21n n a S n *-=∈N ，则4a =______． 【答案】8【解析】【分析】根据数列和与通项之间的关系，可证明{}n a 为等比数列，求出n a ，即可求出4a .【详解】1n =时，11121a S a -==2n ≥时，21n n a S -=，1121n n a S ---=，两式相减得：120n n a a --=，即12n n a a -=，所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n n a ()n *∈N ， 3428a ∴==，故答案为：8【点睛】本题主要考查了等比数列的证明，等比数列的通项公式，递推关系式，属于中档题.15.焦点为F 的抛物线2:4C x y =的准线与坐标轴交于点A ，点P 在抛物线C 上，则PA PF 的最大值为______．【解析】【分析】 根据抛物线定义转化为||||PA MP 取最大值，利用三角函数知直线AP 倾斜角最大时，即直线与抛物线相切时，||||PAMP取最大值，联立方程利用判别式为0即可求解.【详解】根据题意，过P做PM与准线垂直，垂足为M，如图：设MPA PAFθ∠=∠=则||||1||||cosPA PAPF MPθ==若||||PAPF取得最大值，必有cosθ取得最小值，则θ取得最大值，此时AP与抛物线相切,设直线AP的方程为(1)y k x=+联立24(1)y xy k x⎧=⎨=+⎩消去y得：22(1)4k x x+=即224210x xk⎛⎫+-+=⎪⎝⎭由224240k⎛⎫∆=--=⎪⎝⎭，解得：1k=或1k=-（舍去），由tan1kθ==，0θπ≤<知，4πθ=，所以||||PAPF22=，2【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，直线与抛物线相切，直线的倾斜角、斜率，属于中档题.16.如图，在平行四边形ABCD 中，60BAD ∠=︒，22AB AD ==，E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △，设M 为线段1A C 的中点．则在ADE 翻折过程中，给出如下结论：①当1A 不在平面ABCD 内时，//MB 平面1A DE ； ②存在某个位置，使得1DE A C ⊥； ③线段BM 的长是定值；④当三棱锥1C A DE -体积最大时，其外接球的表面积为13π3． 其中，所有正确结论的序号是______．（请将所有正确结论的序号都填上） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①取DC 的中点N ，连接NM 、NB ，；MN ∥A 1D ，NB ∥DE ，所以面MNB ∥面A 1DE ，所以MB ∥面A 1DE ； ②用反证法，假设存在某个位置，使DE ⊥A 1C ，在△CDE 中，由勾股定理易知，CE ⊥DE ，再由线面垂直的判定定理可知，DE ⊥面A 1CE ，所以DE ⊥A 1E ，与已知相矛盾；③由①可知，可得MN 、NB 和∠MNB 均为定值，在△MNB 中，由余弦定理可知，MB 2＝MN 2+NB 2﹣2MN •NB cos ∠MNB ，所以线段BM 的长是定值；④当体积最大时，平面1A DE ⊥平面BCDE ，可得EC ⊥平面1A DE ，设外接球球心为O ,半径为R ,根据球的性质可知22211R OO O E =+，即可求出半径，计算球的表面积.【详解】①取DC 的中点N ，连接NM 、NB ，如图，则MN ∥A 1D ，NB ∥DE ，且MN ∩NB ＝N ，A 1D ∩DE ＝D ，所以面MNB ∥面A 1DE ，所以MB ∥面A 1DE ，即①正确； 且MN ＝11A D 2＝定值；NB ∥DE ，且NB ＝DE ＝定值，所以∠MNB ＝∠A 1DE ＝定值， ②假设存在某个位置，使DE ⊥A 1C ．由AB ＝2AD ＝2，∠BAD ＝60°可求得DE ＝1，3CE =，所以CE 2+DE 2＝CD 2，即CE ⊥DE ，因为A 1C ∩CE ＝C ，所以DE ⊥面A 1CE ，因为A 1E ⊂面A 1CE ，所以DE ⊥A 1E ，与已知相矛盾，即②错误；③由①可知，MN ∥A 1D 且MN ＝11A D 2＝定值；NB ∥DE ，且NB ＝DE ＝定值，所以∠MNB ＝∠A 1DE ＝定值，由余弦定理得，MB 2＝MN 2+NB 2﹣2MN •NB cos ∠MNB ，所以BM 的长为定值，即③正确；④当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，三棱锥1C A DE -体积最大，此时因为EC DE ⊥,DE 是平面1A DE 与平面DEC 的交线，所以EC ⊥平面1A DE ，设正三角形1A DE 中心为1O ,棱锥外接球球心为O ,半径为R ，则OE OC =，设NB 与EC 交于Q ，连接OQ ，1O E ，如图：易知1//OO EC ，1OQ O E =，由题意可知1A DE △为边长为1的等边三角形，3CE =, 则有12331323O E =⨯⨯=,11322OO QE EC ===，所以22222113313(()3212R OO O E =+=+=，故球的表面积为21343S R ππ==，即④正确. 故答案为：①③④．【点睛】本题考查空间中线面的位置关系，理清翻折前后不变的数量关系和位置关系，以及熟练运用线面平行或垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查学生的空间立体感和逻辑推理能力，属于难题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：17.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()cos 4cos a B c b A =-． （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）若4b =，点M 在线段BC 上，且2AB AC AM →→→+=，AM →=，求ABC 的面积．【答案】（Ⅰ）1cos 4A =【解析】 【分析】（Ⅰ）根据正弦定理转化为三角函数化简即可求解；（Ⅱ）2AB AC AM →→→+=两边平方化简可得c ，代入三角形面积公式即可求解.【详解】（Ⅰ）因为()cos 4cos a B c b A =-， 由正弦定理得：()sin cos 4sin sin cos A B C B A =-，即sin cos sin cos 4sin cos A B B A C A +=，可得sin 4sin cos C C A =， 在ABC 中，sin 0C ≠，所以1cos 4A =． （Ⅱ）∵2AB AC AM →→→+=，两边平方得：22224AB AB AC AC AM →→→→→+⋅+=，由4b =，AM →=1cos 4A =， 可得：212416464c c +⋅⋅+=⨯，解得2c =或4c =-（舍）．又sin A ==ABC 的面积14224S =⨯⨯⨯= 【点睛】本题主要考查了正弦定理，数量积的运算，三角形面积公式，属于中档题.18.某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价x （单位：元/件）及相应月销量y （单位：万件），对近5个月的月销售单价i x 和月销售量()1,2,3,4,5i y i =的数据进行了统计，得到如下表数据：（Ⅰ）建立y 关于x 的回归直线方程；（Ⅱ）该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为7元/件时，其月销售量达到18万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问：（Ⅰ）中得到的回归直线方程是否理想？（Ⅲ）根据（Ⅰ）的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价x 为何值时（销售单价不超过11元/件），公司月利润的预计值最大？参考公式：回归直线方程ˆˆybx a =+，其中1221ˆni ii nii x y nxyb xnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-． 参考数据：51392i ii x y==∑，521502.5i i x ==∑．【答案】（Ⅰ） 3.240ˆy x =-+（Ⅱ）可以认为所得到的回归直线方程是理想的．（Ⅲ）该产品单价定为8.75元时，公司才能获得最大利润 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据参考数据由回归系数公式计算ˆb，再由ˆˆa y bx =-计算ˆa ，即可写出回归直线方程； （Ⅱ）由回归直线方程预测7x =时的估计值，检测即可知是否理想； （Ⅲ）写出销售利润，利用二次函数求最值即可. 【详解】（Ⅰ）因为()11110.5109.59105x =++++=，()1568101185y =++++=． 所以23925108ˆ 3.2502.5510b-⨯⨯==--⨯，所以()ˆ8 3.21040a=--⨯=， 所以y 关于x 的回归直线方程为： 3.240ˆyx =-+． （Ⅱ）当7x =时，ˆ 3.274017.6y=-⨯+=，则17.6180.40.5-=<， 所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的．（Ⅲ）设销售利润为M ，则()()()5 3.240511M x x x =--+<≤23.256200M x x =-+-，所以8.75x =时，M 取最大值，所以该产品单价定为8.75元时，公司才能获得最大利润．【点睛】本题主要考查了线性回归方程，利用线性回归方程解决实际问题，二次函数求最值，属于中档题.19.如图，已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，1π3B BA ∠=．（Ⅰ）证明：11B C AC ⊥；（Ⅱ）若平面11ABB A ⊥平面ABC ，M 为11A C 的中点，求1B C 与平面1AB M 所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）226【解析】 【分析】（Ⅰ）根据等边三角形可知1B D AB ⊥，CD AB ⊥，可得AB ⊥平面1B CD ，进而可求1B C ⊥平面1ABC ，即可求证11B C AC ⊥；（Ⅱ）以D 为原点，DB 为x 轴，DC 为y 轴，1DB 为z 轴建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式计算即可.【详解】证明：（Ⅰ）取AB 中点D ，连接1B D ，CD ，1BC ．如图，∵三棱柱的所有棱长均为2，1π3B BA ∠=， ∴ABC 和1ABB △是边长为2的等边三角形，且11B C BC ⊥． ∴1B D AB ⊥，CD AB ⊥．∵1B D ，CD ⊂平面1B CD ，1⋂=B D CD D ， ∴AB ⊥平面1B CD ．∵1B C ⊂平面1B CD ，∴1AB B C ⊥． ∵AB ，1BC ⊂平面1ABC ，1AB BC B =，∴1B C ⊥平面1ABC ， ∴11B C AC ⊥．（Ⅱ）∵平面11ABB A ⊥平面ABC ，且交线为AB ， 由（Ⅰ）知1B D AB ⊥， ∴1B D ⊥平面ABC ．则DB ，1DB ，DC 两两垂直，则以D 为原点，DB 为x 轴，DC 为y 轴，1DB 为z 轴， 建立空间直角坐标系．则()0,0,0D ，()1,0,0A -，(13B ，()3,0C ，(13,3C -，(13A -∵M 为11A C 的中点，∴3332M ⎛- ⎝，∴(13,3B C →=-，(13AB →=，1332AM →⎛=- ⎝，设平面1AB M 的法向量为(),,n x y z =，则130133022AB n x z AM n x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取1z =，得()3,3,1n →=--． 设1B C 与平面1AB M 所成的角为α，则1143226sin 613B C nB C nα→→→→⋅===⋅⋅∴1B C 与平面1AB M 所成角的正弦为13． 【点睛】本题主要考查了线线、线面垂直的判定与性质，线面角的向量求法，考查了空间想象力及运算能力，属于中档题.20.已知函数()()()22ln f x a x ax x a =++-∈R ．（Ⅰ）当0a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）设()2323g x x x =-，若(]10,1x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）310x y --=（Ⅱ）1a ≥- 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义求出斜率，写出切线方程；（Ⅱ） 由题意问题转化为求()()12min min f x g x ≥，利用导数分别求函数的最小值，建立不等关系即可求解.【详解】（Ⅰ）当0a =时，()22ln f x x x =-，()14f x x x'=-， 则()12f =，()13f '=，故曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为310x y --=． （Ⅱ）问题等价于(]10,1x ∀∈，[]20,1x ∃∈，()()12min min f x g x ≥．由()2323g x x x =-得()222g x x x '=-， 由()2220g x x x '=-≥得01x ≤≤，所以在[]0,1上，()g x 是增函数，故()()min 00g x g ==．()f x 定义域为()0,∞+，而()()()()()22121221122x a x a x ax f x a x a x x x++-⎡⎤++-⎣⎦'=++-==． 当2a ≤-时，()0f x '<恒成立，()f x 在(]0,1上是减函数， 所以()()()min 12101f x f a a ==+≥⇒≥-，不成立； 当2a >-时，由()0f x '<，得102x a <<+；由()0f x '>，得12x a >+，所以()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭单调递减，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭单调递减．若112a >+，即21a -<<-时，()f x 在(]0,1是减函数， 所以()()()min 12101f x f a a ==+≥⇒≥-，不成立； 若1012a <≤+，即1a ≥-时，()f x 在12x a =+处取得最小值， ()()min 111ln 222f x f a a a ⎛⎫==++- ⎪++⎝⎭， 令()()()11ln 212h a a a a =++-≥-+， 则()()()221130222a h a a a a +'=+=>+++在[)1,-+∞上恒成立， 所以()h a 在[)1,-+∞是增函数且()()min 10h a h =-=， 此时()min 102f x f a ⎛⎫=≥⎪+⎝⎭成立，满足条件．综上所述，1a ≥-．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，利用导数研究函数的最小值，转化思想，属于难题. 21.点(),M x y 与定点()1,0F 的距离和它到直线4x =的距离的比是常数12． （Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过坐标原点O 的直线交轨迹C 于A ，B 两点，轨迹C 上异于A ，B 的点P 满足直线AP 的斜率为32-． （ⅰ）求直线BP 的斜率； （ⅱ）求ABP △面积的最大值．【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）（ⅰ）12（ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用已知条件可得等式，化简可得曲线C 的轨迹方程;（Ⅱ）（ⅰ）设点()11,A x y ，则点()11,B x y --,利用点差法即可求解；（ⅱ）由题意转化为2ABP OAP S S =△△，由弦长公式及点到直线的距离求出2ABP OAP S S =△△，利用二次函数求最值即可.【详解】12=，两边平方并化简得223412x y +=，即点M 的轨迹C 的方程为：22143x y +=．（Ⅱ）（ⅰ）设点()11,A x y ，则点()11,B x y --，满足2211143x y +=， ①设点()22,P x y ，满足2222143x y +=， ②由①－②得：()()()()12121212043x x x x y y y y -+-++=，∵121232AP y y k x x -=-=--，1212BP y y k x x +=+，∴121212BP y y k x x +==+．（ⅱ）∵A ，B 关于原点对称， ∴2ABP OAP S S =△△，设直线3:2AP y x m =-+，代入曲线22:143x y C +=化简得：223330x mx m -+-=，设()11,A x y ，()22,P x y ，由>0∆得：212m <，12x x m +=，21233m x x -=，12AP x =-==， 点O到直线AP 的距离d =，∴1222ABP OAPS S AP d m ==⨯⨯⋅==△△，∴ABPS ==△，当26m =时，∴ABP S △取到最大值【点睛】本题主要考查了椭圆的轨迹方程，点差法，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积，属于难题.（二）选考题：[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），将曲线1C 向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到曲线2C ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线1C 、2C 的极坐标方程；（Ⅱ）射线():0OM θαρ=≥分别与曲线1C 、2C 交于点A ，B （A ，B 均异于坐标原点O ），若AB =α的值．【答案】（Ⅰ）2cos ρθ=．2sin ρθ=．（Ⅱ）()π2π12k k α=+∈Z 或()5π2π12k k α=+∈Z ． 【解析】 【分析】（1）化参数方程为普通方程，再利用公式222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=化极坐标方程； （2）根据极坐标的极径的意义可知12AB ρρ=-，化简即可求解. 【详解】（Ⅰ）∵()221cos 1cos 11sin sin x x x y y y ϕϕϕϕ=+-=⎧⎧⇒⇒-+=⎨⎨==⎩⎩． ∵222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=．因曲线1C 是圆心为()1,0，半径为1的圆，故曲线2C 的直角坐标方程为()2211x y +-=．∴曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=．（Ⅱ）设()1,A ρα，()2,B ρα，则12π2sin cos 4AB ρρααα⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭所以π1sin 42α⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，因为π2π2π2k k α<<+，所以()ππ2π46k k α-=±∈Z ． 所以()π2π12k k α=+∈Z 或()5π2π12k k α=+∈Z ． 【点睛】本题主要考查了参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，极径的几何意义，属于中档题.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()()0,0f x x a x b a b =-++>>．（Ⅰ）当1a b ==时，解不等式()2f x x <+；（Ⅱ）若()f x 的值域为[)2,+∞，证明：111211a b ab++≥++． 【答案】（Ⅰ）{}02x x <<．（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）分区间讨论去掉绝对值号即可求解； （Ⅱ）根据绝对值不等式可得2a b +=，变形()()114a b +++=，利用基本不等式即可求证.【详解】（Ⅰ）当1a b ==时，不等式为112x x x -++<+，当1x <-时，不等式化为2223x x x -<+⇒>-，此时不等式无解； 当11x -≤<时，不等式化为220x x <+⇒>，故01x <<；当1x ≥时，不等式化为222x x x <+⇒<，故12x ≤<． 综上可知，不等式的解集为{}02x x <<．（Ⅱ）()f x x a x b a b =-++≥+，∵()f x 的值域为[)2,+∞，且0a >，0b >，故2a b +=． 故()()11111111111411a b a b ab a b ab⎛⎫++=+++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭ 11112411b a a b ab++⎛⎫=+++ ⎪++⎝⎭21221124a b ⎛⎛⎫≥++=+= ⎪ +⎝⎭⎝（当且仅当1a b ==时取等号）． 【点睛】本题主要考查了分类讨论解不等式，基本不等式的运用，属于中档题.。
2021届河北衡水密卷新高考模拟试卷(十三)文科数学
2021届河北衡水密卷新高考模拟试卷（十三）数学试卷（文科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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一、选择题（共12小题）.1.已知集合2{|6}=0A x x x --≤，函数()=(1)f x ln x -的定义域为集合B ，则AB =（ ）A.[21]-， B. [21)-， C. [1]3， D. (13]，【答案】B 【解析】 【分析】求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可.【详解】解：∵{|23}A x x =-≤≤，=10{|}{|}1B x x x x >=<- ∴21[)AB ＝﹣，.故选：B .【点睛】本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的定义域，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题.2.已知i 为虚数单位,复数Z 131ii-=+,则其共轭复数z 的虚部为（ ） A. 2 B. ﹣2C. 2iD. ﹣2i【答案】A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由共轭复数的概念得答案. 【详解】解：∵z ()()()()1311312111i i i i i i i ---===--++-, ∴12z i =-+,则共轭复数z 的虚部为2. 故选：A .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题. 3.已知向量()1,1a =-，(),2b x =，且a b ⊥，则a b +的值为（ ）A.B.C. D.【答案】D 【解析】【详解】由a b ⊥得20a b x ⋅=-=，解得2x =． ∴(3,1)a b +=，∴23110a b +=+=．选D ．4.现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A.12B.13C.16D.112【答案】B 【解析】 【分析】求得基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=， 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为13m p n ==，故选B. 【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.5.甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中； 乙预测说：我不会获奖，丙获奖 丙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丁预测说：乙的猜测是对的成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是（） A. 甲和丁 B. 乙和丁 C. 乙和丙 D. 甲和丙 【答案】B 【解析】 【分析】从四人的描述语句中可以看出，乙、丁的表述要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，再进行判断 【详解】若乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，推出矛盾．故乙、丙预测不成立时，推出获奖的是乙和丁 答案选B【点睛】真假语句的判断需要结合实际情况，作出合理假设，才可进行有效论证 6.设函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01<x <时，()4x f x =，则5(2019)2f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭（ ）A. 2-B. 2C. 4D. 6【答案】A 【解析】 【分析】利用周期性得到5122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭及()()20191f f =，再利用奇偶性得到12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值从而得到要求的函数值的和．【详解】因为()f x 的周期为2，所以5122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且()()20191f f =， 由()f x 为奇函数，则11222f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()11f f -=-，但()()11f f -=， 故()()110f f -==，故()5201922f f ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，选A ．【点睛】一般地，对于定义在R 的奇函数()f x ，如果其周期为T ，那么02T f ⎛⎫=⎪⎝⎭．另外，对于奇函数、周期函数的求值问题，应利用周期性将所求的值归结为给定区间上的求值问题． 7.已知m ,n ,l 是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是（ ） A. 若m ⊂α,n ⊂α,l ⊂β,m ∥l ,n ∥l ,则α∥β B. 若m ∥α,n ∥α,m ∥β,n ∥β,则α∥β C. 若m ⊂α,m ∩n ＝A ,l ⊥m ,l ⊥n ,l ⊥β,则α∥β D. 若m ∥n ,m ⊥α,n ⊥β,则α∥β 【答案】D 【解析】 分析】在A 中,α与β相交或平行；在B 中,α与β相交或平行；在C 中,α与β相交或平行；在D 中,由面面平行的判定定理得α∥β.【详解】解：由m ,n ,l 是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,知： 在A 中,若m ⊂α,n ⊂α,l ⊂β,m ∥l ,n ∥l ,则α与β相交或平行,故A 错误； 在B 中,若m ∥α,n ∥α,m ∥β,n ∥β,则α与β相交或平行,故B 错误； 在C 中,若m ⊂α,m ∩n ＝A ,l ⊥m ,l ⊥n ,l ⊥β,则α与β相交或平行,故C 错误； 在D 中,若m ∥n ,m ⊥α,n ⊥β,则由面面平行的判定定理得α∥β,故D 正确.故选：D .【点睛】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.8.已知函数f （x ）=﹣sinωx （ω＞0）的最小正周期为π,则该函数图象（ ） A. 关于点（6π,0）对称 B. 关于直线x 6π=对称 C. 关于点（3π,0）对称 D. 关于直线x 3π=对称【答案】A 【解析】 【分析】由两角和的余弦函数公式可得f （x ）＝2cos （ωx 6π+）,利用周期公式可求ω的值,进而根据余弦函数的图象和性质即可求解.【详解】解：f （x ）=﹣sin ωx ＝2cos （ωx 6π+）, ∵f （x ）的最小正周期为T 2πω==π,∴ω＝2,∴f （x ）＝2cos （2x 6π+）, ∴f （6π）＝2cos 2π=0,可得函数关于点（6π,0）对称,故A 正确,B 错误,f （3π）＝2cos56π=可得C 错误,D 错误. 故选：A .【点睛】本题主要考查了两角和的余弦函数公式,周期公式,余弦函数的图象和性质,考查了函数思想,属于基础题.9.已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上一点M （x 0,4）到焦点F 的距离|MF |54=x 0,则p ＝（ ） A. 2 B. 4C. 1D. 5【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的定义可知,|MF |＝x 02p+,与已知条件结合,得x 0＝2p ①；把点M 的坐标代入抛物线方程可得42＝2p •x 0②,结合①②即可解出p 的值.【详解】解：由抛物线的定义可知,|MF |＝x 02p +, ∵|MF |54=x 0, ∴x 0524p +=x 0,即x 0＝2p ①,∵点M （x 0,4）在抛物线y 2＝2px 上, ∴42＝2p •x 0②,由①②解得,p ＝2或﹣2（舍负）, 故选：A .【点睛】本题考查抛物线的定义,考查学生的分析能力和运算能力,属于基础题. 10.已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ） A. ,1a e b ==- B. ,1a e b == C. 1,1a e b -== D. 1,1a e b -==-【答案】D 【解析】 【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ． 【详解】详解：ln 1,xy ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ．【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系． 11.已知sin 2cos 5sin 2cos αααα+=-，则21cos sin 22αα+=（ ）A. 25-B. 3C. 3-D.25【答案】D 【解析】 【分析】将已知等式弦化切，求得tan 3α=， 21cos sin 22αα+分母用22cos sin αα+代替，弦化切后，将tan 3α=代入即可得结果. 【详解】因为sin 2cos 5sin 2cos αααα+=-，所以tan 25tan 3tan 2ααα+=⇒=-，22221cos sin cos cos sin 22cos sin ααααααα++=+ 21tan 1321tan 195αα++===++，故选D.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．12.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，点(4，1)在双曲线上，则该双曲线的方程为A. 2214x y -=B. 221205x y -=C. 221123y x -=D. 2218x y -=【答案】C 【解析】 【分析】根据离心率可得一个方程，结合双曲线过点(4，1)得另一个方程，联立可得.，所以c a ①；因为点(4，1)在双曲线上，所以221611a b-=②；因为222c a b =+③；联立①②③可得2212,3a b ==，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线方程的求解，根据已知条件建立方程组是求解的关键，注意隐含关系的挖掘使用.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知x ,y 满足203010y x x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩,则14y x --的取值范围是_____.【答案】51,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】首先画出平面区域,根据14y x --的几何意义求范围. 【详解】解：不等式组对应的平面区域如图：14y x --的几何意义是过（4,1）和区域内的点的直线的斜率,所以最大值是过A （﹣3,﹣4）与（4,1）连接的直线斜率为415347--=--, 最小值是过B （3,2）与（4,1）连接的直线斜率为21134-=--, 所以14y x --的取值范围是51,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：51,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了简单线性规划的问题解答,关键是正确画出平面区域以及明确目标函数的几何意义.属于基础题.14.某中学从甲乙丙3人中选1人参加全市中学男子1500米比赛,现将他们最近集训中的10次成绩（单位：秒）的平均数与方差制成如表的表格：根据表中数据,该中学应选_____参加比赛. 【答案】乙 【解析】 【分析】根据题意,分析可得三人中乙的平均数最小且方差最小,由平均数、方差的统计意义分析可得答案. 【详解】解：根据题意,由图中的表格：甲的平均数高于乙和丙的平均数,而甲乙的方差小于丙的方差,则三人中乙的平均数最小且方差最小,故应该选乙参加比赛； 故答案为：乙【点睛】本题考查平均数、方差的统计意义,属于基础题. 15.如图，在ABC 中,D 是边BC 上一点，AB =2AD AC=,1cos 3BAD ∠=，则sin C =_________.【答案】33【解析】 【分析】设2AC =，利用余弦定理求得BD ，然后在ABC 中利用正弦定理可求得sin C 的值. 【详解】由题意不妨取2AC =,则2AB AD ==且13cos BAD ∠=, 由余弦定理，可得22262BD AB AD AB AD cos BAD =+-⋅⋅∠=,2sin 3BAD ∠=,由正弦定理得sin 6sin AD BAD B BD ⋅∠==，从而sin 3sin AB B C AC ⋅==. 3【点睛】此题主要考查解三角形中余弦定理、正弦定理方面等知识的综合应用，属于中档题.根据题目中的条件“AB =22AD AC =”，可有多种方法假设，比如：设()20AC t t =>，则2AB AD t ==；或者取2AC =,则有AD AB =，…，代入余弦定理、正弦定理进行运算，注意在取值时候要按照题目所给的比例合理进行，更要注意新引入参数t 的范围.16.如图,圆锥型容器内盛有水,水深3dm ,水面直径23dm 放入一个铁球后,水恰好把铁球淹没,则该铁球的体积为________dm【答案】125π【解析】 【分析】通过将图形转化为平面图形，然后利用放球前后体积等量关系求得球的体积.【详解】作出相关图形，显然3AH =,因此30ACH ∠=，因此放球前()211=33=33V ππ⋅⋅，球O 与边1A C 相切于点M ，故OM r =，则2OC r =，所以13CH r =，113A H r=,所以放球后()2321=33=33V r r r ππ⋅⋅，而12+=V V V 球，而34=3V r π球，解得12=5V π球.【点睛】本题主要考查圆锥体积与球体积的相关计算，建立体积等量关系是解决本题的关键，意在考查学生的划归能力，计算能力和分析能力.三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） （一）必考题：共60分.17.在等差数列{a n }中,已知a 1+a 3＝12,a 2+a 4＝18,n ∈N *. （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求a 3+a 6+a 9+…+a 3n .【答案】（1）a n ＝3n ,n ∈N *（2）()292n n + 【解析】 【分析】（1）依题意a 1+a 3＝12,a 2+a 4＝18,两式相减得d ＝3,将d ＝3代入一式可得a 1,则通项公式可求.（2）因为数列{a n }是等差数列,所以数列{a 3n }也是等差数列,且首项a 3＝9,公差d '＝9,则其前n 项和可求. 【详解】解：(1)因为{a n }是等差数列,a 1+a 3＝12,a 2+a 4＝18,所以1122122418.a d a d +=⎧⎨+=⎩，1122122418.a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得d ＝3,a 1＝3.则a n ＝3+（n ﹣1）×3＝3n ,n ∈N *. (2)a 3,a 6,a 9,…,a 3n 构成首项为a 3＝9,公差为9的等差数列. 则()()236931991922n a a a a n n n n n ++++=+-⨯=+.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式,等差数列的前n 项和公式,等差数列的定义等,考查分析解决问题的能力和计算能力,属于基础题.18.如图,四边形ABCD 是直角梯形,AB ＝2CD ＝2PD ＝2,PC 2=,且有PD ⊥AD ,AD ⊥CD ,AB ∥CD.（1）证明：PD ⊥平面ABCD ； （2）若四棱锥P ﹣ABCD 的体积为12,求四棱锥P ﹣ABCD 的表面积. 【答案】（1）证明见解析；（2）53222【解析】 【分析】（1）推导出PD ⊥CD ,PD ⊥AD ,由此能证明PD ⊥平面ABCD. （2）由PD ⊥面ABCD ,四棱锥P ﹣ABCD 的体积为12,求出AD ＝1,由PD ⊥AB ,AB ⊥AD ,得AB ⊥平面P AD ,AB ⊥P A ,P A 2=由此能求出四棱锥P ﹣ABCD 的表面积.【详解】解：（1）证明：在△PCD 中,PD ＝1,CD ＝1,PC =∵12+122=,∴∠PDC ＝90°,即PD ⊥CD ,又PD ⊥AD ,AD ∩CD ＝D ,∴PD ⊥平面ABCD. （2）由（1）得PD ⊥面ABCD , V P ﹣ABCD ()111322AB CD AD PD =⨯⨯+⨯⨯=, ∴AD ＝1,∵PD ⊥AB ,AB ⊥AD ,PD ∩AD ＝D ,∴AB ⊥平面P AD ,∴AB ⊥P A ,∴P A =由题意得BC ＝PC =PB ==,△PBC 中,由余弦定理得cos ∠PCB 12==-.∴∠PCB ＝120°,∴S △PCB 11202sin =︒=122PABS=⨯=S △P AD ＝S △PCD 111122=⨯⨯=,()1312122ABCD S =+⨯=,∴四棱锥P ﹣ABCD 的表面积S 52=+. 【点睛】本题考查线面垂直的证明,考查四棱锥的表面积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.19.将某产品投入甲、乙、丙、丁四个商场进行销售，五天后，统计了购买该产品的所有顾客的年龄情况以及甲商场这五天的销售情况如频率发布直方图所示：甲商场五天的销售情况 销售第x 天 1 2 3 4 5 第x 天的销量y 1113121514（1）试计算购买该产品的顾客的平均年龄；（2）根据甲商场这五天的销售情况，求x 与y 的回归直线方程ˆˆy bx a =+. 参考公式：回归直线方程ˆˆybx a =+中，()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆa y bx =-.【答案】（1）38.5（2）453ˆ55yx =+ 【解析】 【分析】（1）根据平均值公式计算平均值.（2）根据公式计算回归直线方程ˆˆy bx a =+. 【详解】（1）购买该产品的顾客的平均年龄为：27.50.01532.50.04537.50.07542.50.06547.50.02538.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（2）1234535x ++++== 1113121514135y ++++==()()()12122222(13)(1113)(23)(1313)(33)(1213)(43)(1513)(53)(1413)4(13)(23)(33)(43)(53)5niii ni i x x y y b x x ==--=---+--+--+--+--==-+-+-+-+-∑∑453ˆ13355ay bx =-=-⨯= 回归方程为：453ˆ55yx =+ 【点睛】本题考查了平均值的计算，线性回归方程，意在考查学生的计算能力. 20.已知函数()21xf x e x x =---.（1）求函数()y f x ='的单调区间；（2）函数()()21g x x a x =-+-，求()()g x f x =的解的个数.【答案】（1）函数()y f x ='在(),ln 2-∞上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，（2）(]{},01a ∈-∞⋃时，()()g x f x =有1个解，当()()0,11,a ∈⋃+∞时，()()g x f x =有2个解.【解析】 【分析】 （1）求出fx 和()f x ''，然后可得答案；（2）令()()()h x g x f x =-，则()xh x a e '=-，然后分0a ≤和0a >两种情况讨论，分别求出()h x 的单调性，然后结合()h x 的函数值即可得出答案.【详解】（1）由()21xf x e x x =---，得()21xf x e x '=--，故()2xf x e ''=-，令()0f x ''>，解得ln 2x >，令()0f x ''<，解得ln 2x <，故函数()y f x ='在(),ln 2-∞上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增； （2）令()()()1xh x g x f x ax e =-=+-，则()xh x a e '=-，若0a ≤，则()0h x '<，()h x 在R 上单调递减，而()00h =，故()h x 有1个零点， 若0a >，可得(),ln x a ∈-∞时，()0h x '>，()ln ,x a ∈+∞时，()0h x '<，∴()h x 在(),ln a -∞上单调递增，在()ln ,a +∞上单调递减， ∴()()max ln 1ln h x h a a a a ==-+， 令()1ln t a a a a =-+，则()ln t a a '=，当()0,1a ∈时，()0t a '<，当()1,a ∈+∞时，()0t a '>， ∴()t a 在0,1上单调递减，在1,上单调递增，而()10t =，故()()0,11,a ∈⋃+∞时，()max 0h x >，()h x 有2个零点， 当1a =时，()max 0h x =，()h x 有1个零点， 综上，(]{},01a ∈-∞⋃时，()()g x f x =有1个解， 当()()0,11,a ∈⋃+∞时，()()g x f x =有2个解.【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题.21.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的四个顶点围成的菱形的面积为()1,0.（1）求椭圆的方程；（2）若M ，N 为椭圆上的两个动点，直线OM ，ON 的斜率分别为1k ，2k ，当1234k k =-时，MON △的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2【解析】 【分析】（1）由题设条件，列出方程组，结合222a b c =+，求得22,a b 的值，即可求解.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，当直线MN 的斜率存在时，设方程为y kx m =+，联立方程组，结合根与系数的关系和弦长公式，及三角形的面积公式，求得三角形的面积；当直线MN 的斜率不存在时，结合椭圆的对称性和三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）由椭圆22221x y a b+=四个顶点围成的菱形的面积为()1,0，可得2ab =，1c =，即221ab a b ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得24a =，23b =， 故椭圆的方程为22143x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，当直线MN 的斜率存在时，设方程为y kx m =+，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 可得，()2223484120k x kmx m +++-=， 则()()222264434412k m km∆=-+-()2248430k m =-+>，即2243m k <+，且122834km x x k -+=+，212241234m x x k-=+，所以12MN x x =-===又由点O 到直线MN的距离d =所以12MON S MN d =△=又因为12121234y y k k x x ==-， 所以()22121112k x x km x x m x x +++222228334412434km km m k k m k -⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=+=--+，化简整理可得22243m k =+，满足>0∆，代入222MCNmS ===△， 当直线MN 的斜率不存在时，由于1234k k =-，考虑到OM ，ON 关于x轴对称，不妨设12k =，22k =-，则点M ，N的坐标分别为2M ⎭，2N -⎭，此时12MON S ==△ 综上可得，MON △【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为()1,0，曲线C 的参数方程是244x m y m ⎧=⎨=⎩（m 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线lcos +104πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求11MA MB+. 【答案】（1）:10l x y --=，2:4C y x =；（2）1.【解析】 【分析】（1）cos +104πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得cos sin 10ρθρθ--=，然后可得直线l 的直角坐标方程为：10x y --=，消去244x m y m⎧=⎨=⎩中的m 可得曲线C 的普通方程；（2）直线l参数方程为122x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入方程24y x =可得280t --=，然后可得12t t +=，128t t =-，然后利用121211t t MA MB t t -+=求解即可. 【详解】（1cos +104πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得cos sin 10ρθρθ--= 因为x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以直线l 的直角坐标方程为：10x y --=.曲线C 的参数方程是244x m y m⎧=⎨=⎩（m 为参数），消去参数m ，转换为普通方程为24y x =；（2）直线l的参数方程为122x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入方程24y x =可得280t --=， 设其根为12,t t，则有12t t +=128t t =-，所以12121118t t MA MB t t -+====.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程与普通方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，直线参数方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中等题型. 23.已知函数()31f x x m x m =---- （1）若1m =，求不等式()1f x <的解集.（2）对任意的x ∈R ，有()()2f x f ≤，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）{}3x x <（2）11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）当1m =时，()14f x x x =---34251431x x x x >⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<⎩，，，，然后分段解不等式即可. （2）由绝对值的三角不等式可得()max 21f x m =+，对任意的x ∈R ，有()()2f x f ≤，即21312m m m++-≤-，令()2131f m m m=++-15211 223153m mm mm m⎧-<-⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，，，，()2g m m=-，利用()f m，()g m在同一坐标系中的图象求解即可.【详解】（1）当1m=时，()14f x x x=---34251431xx xx>⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<⎩，，，因为()1f x<，所以25114xx-<⎧⎨≤≤⎩或1x<所以3x<，所以不等式的解集为：{}3x x<；（2）因为()()313121x m x m x m x m m----≤----=+所以()max21f x m=+，因为任意的x∈R，有()()2231f x f m m≤=---，所以21231m m m+≤---，即21312m m m++-≤-，设()2131f m m m=++-15211223153m mm mm m⎧-<-⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，，，，()2g m m=-，()f m，()g m在同一坐标系中的图象如下：所以11 23m-≤≤，所以实数m的取值范围为：11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法和利用绝对值的三角不等式求最值、考查了数形结合思想和分类讨论思想，属于中档题.。
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2021届河北衡水密卷新高考仿真考试（五）数学（文科）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知集合{|||1,},{1,2,3}A x x x Z B =∈=，则A B 为（ ）A. {}1-B. {}1C. {1,0,1}-D. ∅【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A ，再求AB .【详解】解：由||1x 得，11x -， 因为x ∈Z ，所以{1,0,1}A =-， 因为{1,2,3}B =，所以{}1A B ⋂=， 故选：B【点睛】此题考查了集合的交集运算，考查绝对值不等式，属于基础题. 2.设i 是虚数单位，若复数1z ii=+，则z 的共轭复数为（ ）A.1122i + B. 112i +C. 112i -D.1122i - 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的四则运算化简z ，再得出z 的共轭复数. 【详解】(1)111(1)(1)222i i i z i i i -+===++-1122z i ∴=- 故选：D【点睛】本题主要考查了复数的除法以及求共轭复数，属于基础题. 3.下列函数中，值域是R 且是奇函数的是（ ） A. 31y x =+ B. sin y x = C. 3y x x =- D. 2x y =【答案】C 【解析】 【分析】根据基本函数的值域及其奇偶性一一分析选项中的函数即可.【详解】A 项中，31y x =+的值域是R ，但不是奇函数；B 项中，sin y x =的值域是[]1,1-，是奇函数；C 项中，3y x x =-的值域是R ，且是奇函数；D 项中，2x y =的值域是()0,∞+，不是奇函数. 故选：C.【点睛】本题主要考查基本函数的值域和奇偶性，属于简单题. 4.向量(3,),(1,2)a m b ==，若()a b b +⊥，则m =（ ） A. 4- B. 32-C. 0D. 6【答案】A 【解析】 【分析】由题意利用两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，求出m 的值． 【详解】解：向量(3,),(1,2)a m b ==，()(4a b ∴+=，2)m +，若()a b b +⊥，则()(4a b b +=，2)(1m +，2)4240m =++=， 则4m =-， 故选：A ．【点睛】本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，属于基础题．5.已知,x y R ∈，命题“若220x y +=，则0x =或0y =”的原命题，逆命题，否命题和逆否命题这四个命题中，真命题个数为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 【解析】 【分析】根据四种命题真假性的相互关系，判断出真命题的个数.【详解】由于220x y +=，则0x y ==，所以原命题为真命题，其逆否命题也是真命题.否命题为“若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠”，如220,1,0x y x y ==+≠，所以否命题为假命题，故逆命题也是假命题. 所以真命题的个数为2. 故选：B【点睛】本小题主要考查四种命题的真假性的判断，属于基础题.6.2019年被誉为“5G 商用元年”．6月，5G 商用牌照正式发放；9月，5G 套餐开启预约；11月，5G 套餐公布；12月，5G 手机强势营销．据统计2019年网络上与“5C ”相关的信息量总计高达6875.4万条．从下面的2019年全网信息走势图中可以看到，下列哪个选项是错误的（ ）A. 相关活动是5G信息走势的关键性节点B. 月均信息量超过600万条C. 第四季度信息量呈直线增长态势D. 月信息量未出现持续下降态势【答案】B【解析】【分析】根据信息量走势图的信息，对选项进行逐一分析判断，得出答案.【详解】A. 由图可知6月，9月，12月都是图象的走势变化的关键点，所以判断正确.B. 2019年与“5G”相关的信息量高达6875.4万条，则月均信息量不超过600万条，所以判断不正确.C. 由图可知10月、11月、12月的信息量呈直线增长态势，所以判断正确.D. 由图可知月信息量未出现连续几个月持续下降态势，所以判断正确.故选：B.【点睛】本题考查对图表信息的处理，关键是读懂图表，属于基础题.7.椭圆22217x yb+=，过原点O3的直线与椭圆交于C，D，若||4CD=，则椭圆的标准方程为（）A.22174x y+= B.22173x y+=C.22176x y+= D.222177x y+=【答案】D【解析】 【分析】先利用直线斜率和弦长求出C 点的坐标，然后将点C 代入椭圆方程，解出2b ，从而得到椭圆方程. 【详解】由题意可知，直线CD 的方程为3y x =，直线倾斜角为3π， 不妨设C 点在第一象限，则2OC =，因此可得(1,3)C ，又点C 在椭圆22217x y b +=上，所以22137172b b +=⇒=， 所以椭圆的标准方程为222177x y +=，故选：D.【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求法，结合了直线与弦长等相关知识，难度不大.8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（ ）A.43B.83C. 4D. 8【答案】B 【解析】 【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求几何体的体积.【详解】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：如图所示的三棱锥， 所以11822222323V =⨯⨯=， 故选：B【点睛】此题考查三视图和直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，属于基础题.9.定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且[0,1]x ∈时，()21x f x =-，则()2log 8f =（ ） A. 1- B. 1C. 7D. 12-【答案】A 【解析】 【分析】由题可得2(log 8)(3)(1)f f f ==-，然后结合奇偶性，即可利用解析式求出答案. 【详解】(1)(1)f x f x +=-，2(log 8)(3)(1)f f f ∴==-，又()f x 是奇函数，且[]0,1x ∈时，()21xf x =-，1(1)(1)211f f ∴-=-=-+=-， 2(log 8)1f ∴=-，故选：A.【点睛】本题综合考查了函数奇偶性和对称性的应用，考查简单的指、对数计算，难度不大.10.点P 在函数ln y x =的图象上，若满足到直线y x a =+2的点P 有且仅有3个，则实数a 的值为（ ） A. 1 B. 3-C. 2D. 22-【答案】B 【解析】 【分析】利用导数求得函数ln y x =导数为1处的切点坐标，根据点到直线的距离公式列方程，由此求得a 的值.【详解】对于函数ln y x =，定义域为()0,∞+，'1y x =在()0,∞+上为减函数，令'11y x==，解得1x =，故函数ln y x=导数为1处的切点坐标为1,0A ，点1,0A 到直线0x y a -+=的距离为122a +=，解得1a =或3a =-.结合图象可知，要使满足到直线y x a =+的距离为2的点P 有且仅有3个，则1a =不符合，所以3a =-. 故选：B【点睛】本小题主要考查利用导数求与切线有关的问题，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 11.重庆誉为“桥都”，数十座各式各样的大桥横跨长江、嘉陵江两岸，其中朝天门长江大桥是世界第一大拱桥，其主体造型为：桥拱部分（开口向下的抛物线）与主桁（图中粗线）部分（可视为余弦函数一个周期的图象）相结合．已知拱桥部分长552m ，两端引桥各有190m ，主桁最高处距离桥面89.5m ，则将下列函数等比放大后，与主桁形状最相似的是（ ）A. 20.45cos3y x = B. 24.5cos3y x =C. 30.9cos 2y x = D. 39cos2y x = 【答案】A 【解析】 【分析】设余弦函数为()cos f x A wx =，结合三角函数的图象与性质，求得()c 89.52466os f x x π=，再结合选项，即可求解.【详解】设主桁（图中粗线）部分对应的余弦函数为()cos f x A wx =， 可得函数的周期为5521902932T =+⨯=，即2932466w ππ==， 又由289.5A =，解得89.52A =， 所以函数的解析式为()c 89.52466os f x x π=， 按1:100的比例等比变换，可得()co 89.5100200s 466f x x π=， 对比选项，可得与函数20.45cos 3y x =相似.故选：A.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，求得函数的解析式是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力.12.若P 是双曲线2222:1(,0)x y C a b a b -=>在第一象限上一点，12,F F 为双曲线C 的左右焦点，22PF b =，,02a Q ⎛⎫⎪⎝⎭到直线12,PF PF 距离相等，则双曲线C 的离心率为（ ） A.53B.32C.43D.54【答案】D 【解析】 【分析】先根据双曲线的定义得122PF b a =+，22PF b =，再,02a Q ⎛⎫⎪⎝⎭到直线12,PF PF 距离相等得Q 在12F PF ∠的角平分线上，在根据等面积法，有12=F PQ F PQS S222a b b +22ac a c +=-，化简即可求解.【详解】如图，由双曲线的定义得12=2PF PFa -，22PFb =，所以122PF b a =+，又因为,02a Q ⎛⎫⎪⎝⎭到直线12,PF PF 距离相等， 所以Q 在12F PF ∠的角平分线上，即12F PQ F PQ ∠=∠，所以1211221sin 22212sin 2F PQ F PQ F P PQ F PQ S a bS b F P PQ F PQ ⋅∠+==⋅∠， 另一方面，设P 到12F F 的距离为d ，则1212122122F PQ F PQ a QF d c S aS QF d c ⋅+==⋅-， 所以222a b b +22a c a c +=-，整理得54a c =，所以54c e a ==. 故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，注重利用定义和合理的转化问题是关键，是中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．16题第一空2分，第二空3分．13.若变量x ，y 满足约束条件1031010x y x y x y +-≤⎧⎪-+⎨⎪--⎩，则23z x y =+的最大值为__________．【答案】3 【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域，23z x y =+，即233zy x =-+，z 表示直线在y 轴截距的3倍， 根据图象知，当直线过点()0,1，即0,1x y ==时，z 最大为3. 故答案为：3.【点睛】本题考查了线性规划问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图象是解题的关键. 14.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2,1,7a b c ===，则BC 边上的高为________． 3【解析】 【分析】先利用余弦定理求出角C ，然后利用面积法可求出BC 边上的高.【详解】解：由余弦定理得，2224171cos 242a b c C ab +-+-===-，213sin 1sin 14C C =-=-=设BC 边上的高为h ，则11sin 22BC h ab C ⋅=, 所以sin 3sin 2ab C h b C a ===, 3【点睛】此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，属于基础题.15.《九章算术》商功章中研究了一个粮仓的容积计算问题．假设该粮仓近似于由如图的直角梯形以底边AB为轴旋转而成的几何体（图中长度单位为米），则该粮仓能容纳的体积为________立方米．【答案】21π 【解析】 【分析】由题意可知此几何体是由一个圆柱和一个圆锥组合而成的，其体积是两个几何体的体积之和.【详解】解：由题意可知，此几何体是底面半径为3，高为2的圆柱和底面半径为3，高为1的圆锥组合而成的， 所以其体积为22132+31=213πππ，故答案为：21π【点睛】此题考查求组合体的体积，利用了圆柱和圆锥的体积公式，属于基础题.16.已知()4sin 3cos f x x x =+，()f x 向右平移(0)ααπ<<个单位后为奇函数，则tan α=________，若方程()0f x m -=在[,]απ上恰有两个不等的根，则m 的取值范围是________．【答案】 (1). 34 (2). 24,55⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】化简函数()5sin()f x x ϕ=+，其中3tan 4ϕ=，根据三角函数的图象变换和三角函数的性质，求得αϕ=，求得3tan tan 4αϕ==，把方程()0f x m -=在[,]απ上恰有两个不等的根，转化为函数()y f x =与y m =在[,]απ上的图象有两个不同的交点，结合三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】由题意，函数()4sin 3cos 5sin()f x x x x ϕ=+=+，其中3tan 4ϕ=， 因为()f x 向右平移α个单位后，可得()5sin[()]5sin()g x x x αϕαϕ=-+=-+， 又由()5sin()g x x αϕ=-+为奇函数，所以,k k Z ϕαπ-=∈，即,k k Z αϕπ=-∈， 又因为0απ<<，所以αϕ=，所以3tan tan 4αϕ==. 由方程()0f x m -=在[,]απ上恰有两个不等的根，即方程()f x m =在[,]απ上恰有两个不等的根，即函数()y f x =与y m =在[,]απ上的图象有两个不同的交点， 因为[,]x απ∈，即[,]x ϕαϕπϕ+∈++， 又由3tan tan 14αϕ==<，且0απ<<，且αϕ=，所以02παϕ<+<， 所以当2x πϕ+=，函数()f x 取得最大值，最大值为5；当x ϕπϕ+=+，即x π=，函数()f x 取得最小值，最小值为3-； 当x ϕαϕ+=+，即x αϕ==，函数()34244sin 3cos 43555f ϕϕϕ+=⨯+⨯==，要使得函数()y f x =与y m =在[,]απ上的图象有两个不同的交点，则2455m ≤<，即实数m 的取值范围是24,55⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故答案为：34，24,55⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的化简，三角函数的图象与性质，以及函数与方程的综合应用，着重考查转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12461,4a S S S =+=． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a n +的前n 项和n T ． 【答案】（1）12n n a ；（2）n T (1)212nn n +=-+. 【解析】 【分析】（1）首先判断公比不为1，再由等比数列的求和公式，解方程可得公比，进而得到所求通项公式； （2）可得12n n a n n -+=+，由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和． 【详解】解：（1）若公比1111,2166q a a a =+=，不成立；则()()()2461111,1411111a a a q q q q q q q≠-+-=---- 由于正项等比数列，210q -≠，所以()2241411q qq ++=++，所以42340q q --=所以24q =，解得2q或2q =-（舍去）所以12n na ；（2）()1122(12)n n T n -=+++++++(1)212n n n +=-+【点睛】本题考查等比数列和等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，以及方程思想和化简运算能力，属于中档题．18.在中华人民共和国成立70周年，国庆期间三大主旋律大片，集体上映，拉开国庆档电影大幕．据统计《我和我的祖国》票房收入为31.71亿元，《中国机长》票房收入为29.12亿元，《攀登者》票房收入为10.98亿元．已知某城市国庆后统计得知大量市民至少观看了一部国庆档大片，在观看的市民中进行随机抽样调查，抽样100人，其中观看了《我和我的祖国》有49人，《中国机长》有46人，《攀登者》有34人，统计图表如下．（1）计算a ，b ，c ；（2）在恰好观看了两部大片的观众中进行分层抽样访谈，抽取总数为7人． （i ）写出各组中抽取人数；（ii ）访谈中有2人表示后面将要看第三部，求这2人中要观看的都是《我和我的祖国》的概率．【答案】（1）966a cb =⎧⎪=⎨⎪=⎩；（2）（i ）3，2，2；（ii ）121. 【解析】【分析】（1）根据题意列出方程组，解方程组即可得到答案. （2）（i ）首先求出抽样比，再每层抽取即可. （ii ）利用古典概型求概率即可.【详解】（1）由题知：274463044918434a b a c b c +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩，解得：966a c b =⎧⎪=⎨⎪=⎩.（2）（i ）记同时观看了《机长》和《祖国》的为A 组，共有9人， 同时观看了《机长》和《攀登者》为B 组，共有6人， 同时观看《祖国》和《攀登者》为C 组，共有6人. 抽样比719663==++所以A 组抽取3人，设为123,,A A A ，B 组抽取2人，设为12,B B ，C 组抽取2人，设为12,C C .（ii ）在抽样的7人中，没有观看《祖国》的有2人，为12,B B . 从7人中选2人共有12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，11A C ，12A C ，23A A ，21A B ，22A B ，21A C ，22A C ，31A B ，32A B ，31A C ，32A C ，12B B ，11B C ，12B C ，21B C ，22B C ，12C C ，共21种，则2人都没有观看《我和我的祖国》的只有12B B 一种，概率是121. 【点睛】本题主要考查古典概型，同时考查了分层抽样，考查了学生分析问题的能力，属于简单题. 19.正三棱柱111ABC A B C -中，D 为1CC 中点，2AB =．（1）求证：平面1ADB ⊥平面11ABB A ； （2）若AD 与平面11ABB A 所成角为4π，求四棱锥1A BCDB -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】 【分析】（1）取1AB 和11A B 中点,E F ，连接1,,DE EF FC ，根据等腰三角形的性质，证得1DE AB ⊥，在线面垂直的性质，证得1AA DE ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得DE ⊥面11ABB A ，进而证得平面1ADB ⊥平面11ABB A ；（2）由（1），得到AD 与平面11ABB A 所成角，即为4EAD π∠=，进而求得1132A BCDB A BCB V V --=，再利用三棱锥的体积公式，求得1A BCB V -，即可求解.【详解】（1）取1AB 中点E ，连接DE ，取11A B 中点F ，连接1,EF FC ， 由于是正棱柱，1CC ⊥面111A B C ，从而11CC FC ⊥ 由于D1CC 中点，1111,CC AC CC B C ⊥⊥，所以1AD B D ==1AD B D =，在1AB D ∆中，因为E 为1AB 的中点，所以1DE AB ⊥又因为E ，F 分别为111,AB A B 中点，所以1//EF DC 且1EF DC =， 则四边形1EFC D 为平行四边形，所以1//DE FC ，由正棱柱111ABC A B C -，可得1AA ⊥面111A B C ，所以11AA FC ⊥，所以1AA DE ⊥， 又由11AA AB A =，所以DE ⊥面11ABB A ，又因为DE ⊂面1ADB ，所以平面1ADB ⊥平面11ABB A .（2）由（1）知DE ⊥面11AA B B ，可得AD 与平面11ABB A 所成角，即为4EAD π∠=，又由1DE FC ==AD ==1CD CC ==所以11(222)2322BCDB S =+⋅⋅=，11222222BCB S =⋅⋅=， 则1132A BCDB A BCB V V --=， 又由而11111112222363323A BCBC ABB ABB V V S CF --==⋅=⋅⋅⋅⋅=， 所以1236632A BCDB V -=⋅=【点睛】本题主要考查了平面与平面垂直的判定与证明，以及四棱锥的体积的计算，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理利用几何体的体积公式求解是解答的关键，着重考查推理与计算能力.20.已知圆22:(3)8C x y +-=和动圆22:()8P x a y -+=交于A ，B 两点． （1）若直线AB 过原点，求a ；（2）若直线AB 交x 轴于Q ，当PQC △面积最小时，求||AB ． 【答案】（1）3a =±；（214【解析】 【分析】（1）由圆C 和动圆P 交于A ，B 两点，得到42PC <,解得a 的范围，再由两圆相减，求得公共弦直线方程，根据直线AB 过原点，即可求得实数a 的值； （2）由公共弦的直线方程，求得点Q 的坐标，求得PQCS 取最小值时a 的值，得到AB 额方程，再结合圆的弦长公式，即可求解.【详解】（1）由圆22:(3)8C x y +-=和动圆22:()8P x a y -+=，可得圆心坐标分别为(0,3),(,0)C P a ，半径都是r =因为圆22:(3)8C x y +-=和动圆22:()8P x a y -+=交于A ，B 两点，可得圆心距小于半径之和，PC <即229a +<，解得a <<又由两圆相减，可得公共弦直线2:692AB y ax a -+=-+， 因为直线AB 过原点，可得29a =，解得3a =±，检验成立， 所以实数a 的值为3±.（2）由直线2:692AB y ax a -+=-+， 令0y =，即292ax a -+=，解得192Q x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即19((),0)2Q a a- 则1919||22PQ a a a a a⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭，所以139||3922PQCSPQ a a=⋅=+≥当且仅当3a =±时取得等号，且满足(a ∈， 此时直线:AB y x =±，又由圆心到直线距离为d =，所以弦长为=【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记圆与圆的位置关系，以及直线与圆的弦长公式，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题. 21.已知21()cos 2f x x x x k =-+--． （1）若()f x 的一条切线为y x =，求此时的k ； （2）求使得()0f x >有解的最大整数k ． 【答案】（1）1k =-；（2）0. 【解析】 【分析】（1）若设切点横坐标为t ，则()1f t '=，化简得sin 0t t -=，通过构造函数得0t =，从而可得切点坐标为(0,0)，再将切点坐标代入函数式中可得k 的值；（2）()0f x >等价于21cos 2x x x k -+->，要使得21cos 2x x x k -+->有解，即求21()cos 2h x x x x =-+-的最大值，而()1sin ,()1cos 0h x x x h x x '''=-++=-+≤，所以()h x '单减，通过赋值得到()h x '在2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭有唯一零点0x ，进而有()200001()cos 2h x h x x x x ≤=-+-，然后利用导数求()0h x 范围即可.【详解】解：（1）设切点横坐标为t ，()1sin 1,sin 0f t t t t t '=-++=-=()sin ,()cos 10g x x x g x x '=-=-≤，所以()g x 恒单减，而()00g =所以0t =，从而()00f =得1k =- （2）由题意，要使得21cos 2x x x k -+->有解，即求21()cos 2h x x x x =-+-的最大值 ()1sin ,()1cos 0h x x x h x x '''=-++=-+≤，从而()h x '单减，而22220,12022333h h πππππ⎛⎫⎛⎫''=->=+-<-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()h x '在2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭有唯一零点0x ，所以()h x 在()0,x -∞单增，()0,x +∞单减 则()200001()cos 2h x h x x x x ≤=-+-，而()0001sin 0h x x x '=-++= 所以()()2000011sin 1sin cos 2h x x x x =-+++- ()2220000001111sin 1cos 2cos 1cos cos cos 222x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=-++-=--+-=-⎣⎦⎣⎦ 由于0021,,cos ,0232x x ππ⎛⎫⎛⎫∈∈-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()200113cos 10,224h x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，所以整数k 最大值为0．【点睛】此题考查导数的几何意义及综合应用，通过导数研究函数的单调性、零点等，属于较难题.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑． 选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为：cos sin x t y t αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）．在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为()2[0,]ρθπ=∈，直线l 与曲线C 交于两不同的点M ，N ．（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程，并求α的范围； （2）求MN 中点P 轨迹的参数方程． 【答案】（1）sin cos x y ααα⋅-⋅=；224(0)x y y +=≥；50,,66ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭；（2）2sin cos 3x y ααα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数，50,,66ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭. 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法求得直线l 的普通方程.根据极坐标和直角坐标转化公式，求得曲线C 的直角坐标方程，结合图象求得α的范围.（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，根据根与系数关系求得P 点对应的参数P t ，将P t 代入直线l 的参数方程，求得P 轨迹的参数方程.【详解】（1）由cos ,sin ,3x t y t αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩①②，sin cos αα⨯-⨯①②得 直线l 的普通方程为：sin cos x y ααα⋅-⋅=； 由2ρ=，两边平方得224x y +=，由于[0,]θπ∈，所以曲线C 的直角坐标方程为：224(0)x y y +=≥， 直线l 过A ⎛ ⎝，倾斜角α，与曲线C 有两个公共点，由图可知在直线过()()2,0,2,0C B -时为临界情况，AB AC k k ==，所以倾斜角50,,66ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.（2）直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程：2124423sin 0,3sin 3323P t t t t t αα+⋅+=== ， 将P t 代入直线l 的参数方程并化简得到中点P 轨迹的参数方程：223cos 232333x y ααα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（α为参数，50,,66ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭）. 【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线参数的运用，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23.已知对于任意1x -，不等式3(1)13x x ++成立．（1）求证：对于任意1x -，4(1)14x x ++；（2）若0a >，0b >，求证：443()4a b a a b ++．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由1x -得10x +≥，然后给不等式3(1)13x x ++同乘以1x +，化简后再利用放缩法可得结论；（2）利用分析法可得只需4114b b a a ⎛⎫+≥+⋅ ⎪⎝⎭成立即可，再结合（1）得到的结论可证明. 【详解】解：（1）因为1x ≥-，所以10x +≥因为3(1)13x x ++，所以32(1)(1)(13)(1)14314x x x x x x x ++≥++=++≥+， 所以原不等式成立；（2）欲证443()4a b a a b +≥+ 只需43414a b a b a a +⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭ 4114b b a a ⎛⎫⇐+≥+⋅ ⎪⎝⎭（*） 由于,0a b >，所以01b a >>-， 由（1）知取b x a=时（*）式成立，从而原不等式得证． 【点睛】此题考查不等式的证明，考查分析法证明不等式，属于中档题.。