从数与运算谈关注能力培养的材料与策略(杭师大)
从提高学生运算能力的角度浅谈数学核心素养的培养
概括的说：核心素养是指学生借助学校教育所
形成的解决问题的素养与能力。
数学核心素养是具有数学基本特征的、适应个 人终身发展和社会发展需要的人的关键能力与 思维品质。 数学学科核心素养的内涵包括数学 核心知识、核心能力、核心品质等。 概括的说：数学核心素养是数学学习者在学习
数学或学习数学某一个领域所应达成的综合性
易知点M恰为 FB1 的中点，且 FB1 PB, 同理可知点N恰为 FA1
的中点，且 FA1 PA. ∴F,N,P,M四点在以FP 为直径的圆上，
FPN FMN B1BM FBP ,
FPA FBP.
同理可得 FPB FAP, PFA PFB.
一、数学核心素养的基本概念 核心素养是指学生应具备的、能够适应终身
发展和社会发展需要的必备品格与关键能力。
由此可得到如下三点：一是核心素养要适应和 满足两方面的需要，即学生终身发展的需要和 社会发展的需要； 二是核心素养包括品格与能力
三是核心素养指向素 两个方面，二者缺一不可； 养的核心，是必备的品格与关键的能力。
定理 从抛物线外一点P引抛物线的两条切
线PA,PB,切点分别为A,B,若F是抛物线的焦点，
则有 PFA PFB. 证法1如图，设抛物线的方程为 x2 2 py( p 0), 点P( x0 , y0 ), A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ),
则切线 PA : x1 x py py1 0,
p 2
p p2 y1 y0 y1 y0 2 4 p FP y1 2 p p y1 y0 2 2 p FP y1 2 p y0 p 2 y0 cos PFB , 同理 2 FP , FP ∴ PFA PFB.
如何提高学生的数字计算能力
如何提高学生的数字计算能力数字计算是数学学科的基础，对学生的数学能力和思维发展具有非常重要的影响。
因此，提高学生的数字计算能力是每位教育工作者的目标和责任。
本文将探讨一些有效的方法，以帮助学生提高他们的数字计算能力。
一、建立坚实的基础学生在数字计算方面的能力提高，首先需要建立起坚实的基础。
在学习数字计算之前，学生应该掌握基本的数学概念、运算符号和计算规则。
教师应该运用多种教学方法和教学资源，帮助学生逐步理解和消化这些基本概念。
二、培养数量感学生在数字计算中需要灵活运用各种算法和运算方法。
为了培养学生的数量感，可以通过一些游戏和活动来提高他们的感知能力。
例如，教师可以组织学生进行数独游戏，或者让学生在日常生活中进行一些数字统计和估算的练习。
三、多样化的练习除了课堂上的教学，学生还应该进行大量的练习，以巩固和提高他们的计算能力。
练习题应该设计不同难度和类型的题目，以逐步提高学生的计算水平。
同时，教师应该及时反馈学生的练习成绩，帮助他们找到自己的不足之处，并进行改进。
四、提供实践机会学生在数字计算中的能力提高，还需要通过实践机会来巩固和应用所学知识。
教师可以设计一些与实际生活和实际问题相关的任务，让学生运用数字计算的方法来解决问题。
例如，教师可以组织学生进行购物清单的编制和计算，或者让学生进行实地调查和数据分析。
五、培养解决问题的能力数字计算能力的提高，需要学生具备解决问题的能力。
教师应该培养学生的问题意识和解决问题的思维方式。
在课堂教学中，教师可以引导学生提出问题、分析问题并运用数字计算的方法解决问题。
六、激发学习兴趣学生对于数字计算的学习兴趣不同，教师应该根据学生的特点和兴趣设计教学内容和教学方法。
例如，教师可以通过数字游戏、数学竞赛等活动来激发学生的学习兴趣，提高他们的学习积极性。
总结起来，提高学生的数字计算能力是一项复杂而长期的任务，需要学生、教师和家长的共同努力。
通过建立坚实的基础、培养数量感、提供多样化的练习、提供实践机会、培养解决问题的能力，并激发学生的学习兴趣，我们相信每位学生的数字计算能力都会得到有效的提高。
例谈小学生数学关键能力的培养
例谈小学生数学关键能力的培养打开文本图片集数学核心素养是“学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备数学品格和关键数学能力”，关键数学能力包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析，而其中最为关键的就是数学抽象、逻辑推理和数学建模。
下面笔者举例，谈谈学生数学关键能力的培养。
1. 在知识形成过程中提高学生的抽象概括能力抽象性是数学最本质的特征之一，是数学活动最基本的思维方法，也是数学化活动的一般方法。
数学的一切活动，从概念到方法，实质上都是抽象的。
例如，在教学“平行线的认识”时，教师设计了平行线概念的抽象形成这一环节，并出示黑板、铁轨、百叶窗的图片。
师：在这些图中，你能找到没有相交在一起的两条直线吗？生1：黑板上下两条边没有相交在一起，左右两条边也没有相交在一起。
生2：两条铁轨没有相交在一起，百叶窗上两边的两条叶片也没有相交到一起。
师：找到的这些线都在同一个平面吗？生：在同一个平面。
师：在同一个平面内，现在看起来没有相交，如果把它们分别延长，还会相交吗？生：延长也不会相交。
师：那我们就可以说它们是永不相交。
黑板相对的两边、笔直的两条铁轨、不同位置的两条百叶窗叶片虽然用途不同、材料不同，但它们永远不相交的位置关系都相同，我们把这样的线叫平行线。
想一想，到底什么是平行线呢？总结：在同一平面内永不相交的两条直线叫作平行线。
在数学知识学习中，要注意去分析、研究、弄清它们是如何被抽象、概括出来的，学会摆脱具体内容，从各种概念、关系运算、定理结构中分析被扬弃的非本质属性是哪些，抽出的本质特征是什么，又是怎样去概括这些本质特征的。
通过这样注重知识形成过程的分析训练，便可以在学习活动中逐步提高学生的抽象概括能力。
2. 在追问数学本质中培养学生逻辑推理的能力推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。
推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。
怎样提高学生的运算能力
怎样提高学生的运算能力提高学生的运算能力是数学教育中非常关键的一环。
下面我将从教学方法、练习策略和激发学生学习兴趣等方面，详细介绍如何提高学生的运算能力。
一、教学方法1、启发式教学法：在解题过程中，引导学生思考，培养其发现问题和解决问题的能力。
教师可以引导学生发现运算规律、建立运算模型等。
2、差异化教学法：根据学生的不同能力和水平，采取不同教学策略，帮助学生突破难点。
对于运算能力较弱的学生，可以采取分步骤教学，逐渐提高其能力。
3、交互式教学法：教师与学生之间的互动是提高学生运算能力的重要方式。
教师可以通过提问、讨论和解释等方式，与学生进行积极互动，激发他们的思维能力。
4、探究式教学法：让学生通过自主学习和探究，培养他们对运算的理解和运用能力。
教师可以通过提供一些实际问题，让学生自主解决，培养学生的运算思维能力。
二、练习策略1、多角度练习：通过不同形式的题目，例如选择题、填空题、应用题等，让学生从不同角度思考问题，培养他们的灵活性和应变能力。
2、大量练习：通过大量的重复练习，加深学生对运算规律的理解，并提高他们的运算速度和准确性。
可以设计运算练习册，让学生进行课外练习。
3、错题集整理：学生做题时，总会出现一些错误。
教师可以让学生整理并归纳这些错误题目，加深他们对运算规律的理解和记忆，避免同样的错误再次出现。
4、不定期复习：在日常教学中，不定期进行运算知识的复习，以巩固学生的基础知识和运算能力。
每个月进行一次全面复习，回顾并巩固所学的内容。
三、激发学生学习兴趣1、生活化教学：将运算与生活中的问题结合起来，引导学生发现运算在日常生活中的应用。
通过实际例子，让学生理解运算与实际问题之间的联系。
2、趣味化教学：设计一些趣味性的运算题目，让学生在解题过程中感受到学习的乐趣。
可以设计一些游戏性质的运算活动，让学生在轻松的氛围中学习运算。
3、竞赛活动：组织数学竞赛或小组竞赛，通过与其他学生比较自己的运算能力，激发学生的学习积极性。
运算能力的培养
运算能力的培养有：
1.掌握基础知识：熟练掌握数学基础知识，例如加减乘除、幂运
算、因式分解、方程求解等，这是进行正确运算的前提条件。
2.理解运算规则：理解并掌握运算规则，例如先乘方后乘除、先
加减后乘除、括号内的运算优先等，这有助于避免计算错误。
3.细心审题：仔细审题，理解题目中的条件和问题，明确运算的
目的和步骤，避免因为粗心大意而导致的错误。
4.练习巩固：通过大量的练习来巩固和提升运算能力，例如进行
数学习题练习、数学竞赛等。
5.总结反思：在运算完成后，要对运算过程和结果进行总结反思，
找出错误的原因并加以纠正，同时也要总结成功的经验并加以保持。
6.培养好的运算习惯：良好的运算习惯是提高运算能力的重要保
障，例如认真审题、细心计算、规范书写、及时检查等。
7.结合实际应用：将数学运算应用到实际生活中，例如解决实际
问题、进行数据分析等，这有助于加深对运算意义的理解和应用能力的提升。
核心素养与小学数学之运算能力：运算能力培养的策略与途径
核心素养与小学数学之运算能力：运算能力培养的策略与途径广大数学教师积极实践，在训练运算技能方面积累了很多有效的经验，为学生运算能力的发展奠定了坚实的基础，但也发生了一些“熟而生笨”（李士锜，1999）、“熟而生厌”（李士倚，2000）的问题。
新时期，对于运算能力的追求，更重在“合理”“简洁”“高效”“创新”。
我们应站在“巨人的肩膀”上，传承精华，克服不足，删减过剩的基础训练，增加富有趣味性和思考性的活动，使过程性的操作与结构化的反省结合，计算与推理结合，切实地从教计算转向用计算教，通过形式多样的运算活动来发展学生的数学思维，激发创造力。
当然，“运算能力的培养是一个长期的任务，它要经历一个从简单到复杂、从具体到抽象、从单一到综合的反复训练、循环上升的活动过程”（黄翔，2012）。
实际教学中，要尊重学生的认知特点，结合不同阶段的教学内容，形成能力发展的序列，并通过常规的变式和非常规的变化落实到一次次高品质的课堂活动中去。
一、重视算理的教学在一个时期的运算教学中，单看重算法的掌握：一是强调既定程序，即所谓“通法”的反复操练﹔二是虽也涉及一些灵活、简省的计算，但其中的窍门不是学生发现的，而是通过分门别类地讲解与训练，归纳形成几个固定的招式。
在这样的情况下，“绝大部分儿童对于数学概念的真正含义很不理解，他们充其量只能成为演算成套复杂符号艺术的熟练技术员”（贝尔，1990）。
学生背负着沉重的记忆负担，刻板地执行算法，失去了思维的自由和自觉，何谈好奇心？何谈兴趣？又何谈运算能力呢？要弥补这样的缺失，让学生看到完整的数学，“除算法之外，至少还应包括如下两个方面：其一，从动态而言，算法都有其发现的过程﹔其二，从静态而言，算法都有其成立的必然性依据”（俞昕，2010）。
这就涉及算理的教学。
算理是运算的根本，算法是算理在具体问题中的应用和表现。
掌握了算理，就能更好地落实算法，尤其是有可能让学生自主发现和发明算法，自觉比较和整合算法，用深刻的算理去驾驭多变的算法，在丰富的算法中进一步加深对算理的认识，发展算法思想。
培养学生解决数学问题能力的五大策略
培养学生解决数学问题能力的五大策略数学作为一门重要的学科，对学生的逻辑思维和问题解决能力有着重要的培养作用。
然而，很多学生在面对数学问题时常常感到困惑和束手无策。
为了帮助学生培养解决数学问题的能力，教育界提出了一些有效的策略。
本文将介绍培养学生解决数学问题能力的五大策略。
一、培养逻辑思维能力逻辑思维是解决数学问题的基础。
通过培养学生的逻辑思维能力，可以帮助他们更好地理解问题、分析问题，并提出合理的解决方法。
在教学中，教师可以引导学生进行逻辑推理、分类整理和问题转化等练习，以提高学生的逻辑思维能力。
二、注重问题建模问题建模是将抽象的数学问题转化为具体的实际场景的过程。
通过培养学生对问题的建模能力，可以帮助他们更好地理解问题的背景和条件，并将其转化为数学问题。
在教学中，教师可以引导学生进行实际问题的建模练习，以提高学生的问题解决能力。
三、强化问题解决策略问题解决策略是解决数学问题的有效方法和思路。
通过教授学生一些常用的问题解决策略，如逆向思维、试错法、归纳法等，可以帮助学生更有针对性地解决问题。
在教学中，教师可以通过示范和练习，引导学生灵活运用各种策略解决数学问题。
四、培养合作学习能力合作学习是指学生在小组中互相合作、共同完成任务的学习方式。
通过合作学习，学生可以相互交流、互相激励，提高解决问题的能力。
在教学中，教师可以设计合作学习任务，引导学生合理分工、互相配合，共同解决数学问题。
五、提供足够的练习机会练习是培养学生解决数学问题能力的重要手段。
通过大量的练习，学生可以熟悉各种问题类型，掌握解决问题的方法和技巧。
在教学中，教师可以提供足够的练习机会，包括课堂练习、作业练习等，让学生进行反复的练习，从而提高解决问题的能力。
总结：通过培养逻辑思维能力、注重问题建模、强化问题解决策略、培养合作学习能力和提供足够的练习机会，可以有效地培养学生解决数学问题的能力。
教师应根据学生的实际情况，有针对性地开展相关教学活动，帮助学生养成良好的数学问题解决习惯，提升他们的数学学习能力。
2022版新课标核心素养关键词解读——”运算能力“主题研讨与教学分享
方法三：22×18≈20×18=360，22估成20，估小了，360＞350，一定能坐下。
方法四：22×18=396≈400，准确数算出来了，再取整就多余了。 教师再引导学生：比较方法二与方法四，笔算得到的准确数验证了一个因数估大，一个因数估小， 误差较小。 将方法一与方法三联系起来看，得出22×18的取值范围：360<22×18<440。
运算能力培养的教学建议
二、关注计算方式的选择 面临实际计算问题时，首先应该考虑要近似答案还是精确答案：
如果一个近似答案就足够了，那就估算；如果需要精确答案，那就还 要一次选择能够口算、笔算，是否用计算器算。
选择计算方法，应在确定了计算方式之后进行。
王老师要买190本《数学小词典》，每本3.80元。她带了800元， 够吗？应找回（或再付）多少元？
运算能力培养的教学建议
四、估算以解决实际问题为主，适当引导，加深认知
基于理论研究的实践告诉我们：1. 估算宜以解决实际问题为主，但也不排斥用于单纯计算 的检验与估计；2. 估算教学要以学生实际出发，但也不能处处迁就学生。
方法一：22×18≈22×20=440，18估成20 ，估大了，实际座位没有440个，不能肯定坐得下。
02 教学建议
运算能力培养的教学建议
一、传承有效的教学策略 （一）重视数与运算的概念教学，将算法归结为基本概念、基 本原理
例如：5个3加3个3等于8个3，5个3 减2个3等于3个3 。 这是浅显的数学事实，但却是乘法分配律归结为乘法运
算意义的具体化算理解释，用以理解。
运算能力培养的教学建议
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从数与运算谈关注能力
培养的材料与策略
杭州市上城区教育学院邵虹
经验能力
理解数与运算，发展数感和进行熟练的运算是小学数学教育的核心。
运算与应用几何统计
5%
20%
75%
背景如何理解它的含义？
学科核心能力
1989年全美教师理事会颁布的《学校数学课程与评
价标准》首次提出学科核心能力的思想，该思想很
快成为世界各国研制教育标准的共识。
数学核心能力是顺利完成数学活动所具备的而且直
接影响活动效率的一种个性心理特征，是数学活动
中表现比较稳定的心理特征。
从教育的角度看，在作为数学活动的数学教学中，教给学生的不是死记现成的材料，而是让学生自己独立发现，学会逻辑组织，并通过经验获得的数学材料。
JU JIAO SHU XUE CAI LIAO 聚焦数学材料
直观性材料——让学生理解数学意义 结构性材料——让学生认识数学本质 逻辑性材料——让学生探索数学规律 系统性材料——让学生建构数学体系
直观性学习材料
善用多种表征方式帮助学生理解数学意义。
常用的方式
有实物原型、直观模型、已有知识等。
直观模型指的是具有一定结构的操作材料和直观材料，
如小棒、计数器、长方形或圆形图、数直线。
在计算教
学中，直观性材料是帮助学生理解算理的重要方式。
直观性学习材料
20以内进位加法练习
——浙教版教材
1. 数形结合，认识坐标轴中的线
1. 数形结合，认识坐标轴中的线
移动的线坐标图中的折线
我的思考：
数学要研究的东西，基本上是数量关系和空间形式。
一是引导学生观察直角坐标图中的线，从数的角度刻画形，不
同的数对应不同长度的线，更容易理解数与数之间的关系；
二是变换线的位置与方向，判断线段的长度，让学生在头脑中
进行数与形的转化；
三是将不同方向的线进行连接，形成一条折线，并用两个纬度
（横轴与纵轴）来观察，得到一个加法算式，经历了一个数与
形的相互描述与刻画的过程。
2. 计算折线的长度，渗透函数思想
师：这些折线玩得可开心了，可是有两条调皮的折
线吵架了，红线说我比你长，绿线说你比我短，到
底谁长呢？请你猜一猜。
生1：我认为红线长。
生2：有可能绿线长。
生3：他们都错了。
我认为两条线是一样长的。
师：怎样来证明你的猜测是正确的？
生：把横线的长加竖线的长就是这条折线的长。
师：可以吗？每个小朋友独立算一算。
全班汇报。
红线9+5=14，绿线8+6=14。
师：通过计算，发现红线长度是9+5=14，绿色折线
长度是8+6=14。
所以两条折线的长度是相等的。
2. 计算折线的长度，渗透函数思想
我的思考：
函数思考是数学教学中的重要思想方法。
“寻找14号家庭的折线成员”环节，既是一个梳理和是14的20
以内进位加法的过程，又能让学生体会到在和的变化规律；
在“找正方形算式”一情境中，想象折线与直角坐标的组合，
变换出相应的长方形与正方形，感知数、算式与图形之间的内
在联系，使得数更加具体、形更加直观。
数与形的结合，还为学生提供了更多的数学之美的欣赏机会。
3. 创造折线图，寓理于算
独立练习：先独立计算以下4组式题，
然后选择其中一组，想象一下，这些
算式表示的折线会是怎么样的？用彩
色笔把折线表示出来。
3. 创造折线图，寓理于算
问卷调查：
8个教学班265名学生就“习题的趣味性、难易度、计算正确率和持续研究程度”做了一次调查，结果如下：
项目人数占总人数的比例认为本节课练习形式很有趣23990.2%
认为本节课练习难度不大22785.7%
计算正确率25897.4%愿意在课后继续研究此类问题23488.3%
观点：
运算教学目标，不仅仅局限于要求学生掌握正确的
计算方法和熟练的计算技能，重要的是为学生创造
广阔的思维空间，培养数学能力，发展思维品质。
观点：
从教育的角度看，在作为数学活动的数学教学中
，教给学生的不是死记现成的材料，而是让学生
自己独立发现，学会逻辑组织，并通过经验获得
的数学材料。
直观性学习材料
14×25＝？
10
4
205
直观性学习材料
直观性学习材料
0.15×3＝？
0.15
×3
0.45
直观性学习材料
1
4
2
4
34
44152535455
5
1415×＝120巧用直角坐标理解分数乘法算理
十个核心词：
•运算能力：根据运算法则和运算律正确地进行
运算的能力。
培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。
直观性学习材料巧设度量活动，感知小数产生的必要性
创造特殊米尺，体验小数计数单位的进率
直观性学习材料
小数是什么？
小数是一种特殊的分数，它等价于分母是10,100,1000……的分数。
小数是十进制记数向相反方向延伸的结果。
直观性学习材料
直观性学习材料
直观性学习材料
直观性学习材料
直观性学习材料
直观性学习材料通过图示直观，理解与等分数的意义和它们之间的关系。
1214能用加、减、乘、除的算式或其它多样化的方法表示这些关系。
讨论：
有人说，在学生没有掌握运算方法时让学生写出这些
算式没有什么意义，你认为呢？
依托、利用图形进行数学的思考和想象，学会从“数”
与“形”两个角度认识数学。
十个核心词：
•数感：理解数的意义；能用多种方法表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择恰当的算法；能估计运算结果，并对运算结果的合理性作出解释。
结构性学习材料
数学教学中材料的“结构”指相互关联的方式。
虽然呈
现的问题情景可能不同，但问题的内部表征是一样的，
让学生在经历问题探究的过程揭示数学知识的本质。
数学材料没有结构，探究活动就无法典型、深刻与精致，
教学目标就只能“点到”而非“达到”。
结构性学习材料
结构性学习材料
思考：
数与数、式与式的关系
培养数感，发展运算能力
结构性学习材料
41聚焦数学材料分享教学策略结构性学习材料
5 7 8
×4
2 0
3 2
2 8
2 3 1 2508×4
70×4
508×4 + 70×4
请估计每题的通过率
2009年三年级全国常模测试
题目1：计算42×25。
（目的是考查三年级学生是否掌握了两位数乘
两位数的法则
）
题目2：如图1，在34×12的竖式中，箭头所指的这一步表示的是（）。
3 4
× 1 2
A.10个34的和
B.12个34的和 6 8
C.1个34的和
D.2个34的和 3 4 0（本题考查学生是否理解两位数乘两位数的算理） 4 0 8
70.10%
43.09%
分析原因
提前学习竖式，未能真正内化，匆忙进行竖式“简化”教学。
现象二
练习形式单一，重视计算技巧训练，缺乏算理和算法的沟通。
现象三
教学中不够重视学生探索计算的过程，或者探索
时间较短，理解不到位。
现象一
结构性学习材料
物品开幕式道具参观门票
数量(个)175248
(学生208,家长40)
单价(元)1227
2 4 8
× 2 7
1 4 5 6
4 16
10 8
6 6 9 6
结构性学习材料
通法方法3方法1
方法2
通法
方法3
方法1
方法2
结构性学习材料
逻辑性学习材料
逻辑性学习材料，不仅在学习过程中体验到数学逻辑
特性，更为重要的是它符合学生认知发展特点。
逻辑性学习材料，存在一定内在层次性和关联性，学
习材料之间的素材基本相同，同时又具有一定的逻辑
性，有助于促进学生对数学知识和数学规律的理解。
逻辑性学习材料
逻辑性学习材料
逻辑性学习材料。