【精准解析】山西省太原市2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题

2019～2020学年第一学期高二年级期末考试数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.命题“若1x =，则21x =”的逆否命题是（）A.若21x =，则1x =B.若1x ≠，则21x ≠C.若1x =，则21x ≠D.若21x ≠，则1x ≠【答案】D 【解析】【分析】根据原命题为：若p ，则q ；则其逆否命题为若q ⌝，则p ⌝；即可得到结果.【详解】命题“若1x =，则21x =”的逆否命题是：若21x ≠，则1x ≠.故选：D.【点睛】本题主要考查了原命题和逆否命题之间的关系，属于基础题,2.双曲线22194x y -=的实轴长为（）A.9B.6C.25D.4【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线实轴的概念，即可得到结果.【详解】由题意可知，双曲线22194x y -=的实轴长为296=.故选：B.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质，属于基础题.3.已知(1,1,2)a =- ，(1,,)b m n =-r ，若λa b =，则实数,m n 的值分别是（）A.1,2- B.1,2-- C.1,2D.1,2-【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量共线的坐标运算公式，即可求出结果.【详解】因为λa b = ，所以112m nλλλ=-⎧⎪-=⎨⎪=⎩，所以12m n =⎧⎨=-⎩.故选：A.【点睛】本题主要考查了空间向量共线的坐标运算，属于基础题.4.已知:p a b >，:q a c b c +>+，则p 是q 的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据不等式的性质可知a b a c b c >⇔+>+，再根据充分、必要条件的判断，即可得到结果.【详解】因为a b >，所以a c b c +>+，故p 是q 的充分条件；又a c b c +>+，所以a b >，所以p 是q 的必要条件；综上，p 是q 的充要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查了充分、必要条件的判断，属于基础题.5.已知椭圆22:1169x y C +=的左右焦点分别是12,F F ，过1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点则2ABF ∆的周长为（）A.B.16-C.8D.16【答案】D 【解析】【分析】根据椭圆的定义，即可求出结果.【详解】连接22,AF BF ，如下图所示：由椭圆的定义可知，12128,8AF AF BF BF +=+=，又222A AB B B F AF F =++∆，11AB AF BF =+，所以2ABF ∆的周长为16.故选：D.【点睛】本题主要考查椭圆定义的应用，属于基础题.6.已知命题“x R ∀∈，210x ax ++>”是假命题，则实数a 的取值范围为（）A.(,2]-∞- B.[2,)+∞ C.[2,2]- D.(,2][2,)-∞-+∞ 【答案】D 【解析】【分析】由题意可知，命题“x R ∃∈，210x ax ++≤”是真命题，再利用一元二次不等式的解集与判别式的关系即可求出结果.【详解】由于命题“x R ∀∈，210x ax ++>”是假命题，所以命题“x R ∃∈，210x ax ++≤”是真命题；所以240a ∆=-≥，解得(,2][2,)a ∈-∞-+∞ .故选：D.【点睛】本题考查了简易逻辑的判定、一元二次不等式的解集与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别是111,,A B CC AD 的中点，则异面直线1D N 与MP 所成角的大小是（）A.90︒B.60︒C.45︒D.30︒【答案】A 【解析】【分析】取1BB 中点K ，连接1A K ，则11//A K D N ，取1B K 的中点Q ，连接,MQ PQ ，由平行线的传递性可得1//MQ D N ，所以PMQ ∠即为所求异面直线1D N 与MP 所成角，然后再根据勾股定理即可得到结果.【详解】取1BB 中点K ，连接1A K ，则11//A K D N ，取1B K 的中点Q ，连接,MQ PQ ，则1//MQ A K ，所以1//MQ D N ，所以PMQ ∠即为所求异面直线1D N 与MP 所成角；如下图：设正方体的棱长为4，由勾股定理易知，2222229,24,5PQ PB BQ PM MQ =+===,所以222 PQ PM MQ =+,所以90PMQ ∠=︒，即异面直线1D N 与MP 所成角为90︒.故选：A.【点睛】本题主要考查了异面直线成角，这类问题的解题关键是找到两条异面直线中的一条的平行线进行平移，构造三角形，再利用正弦定理或者余弦定理解决，本题属于基础题.8.若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率是2，则椭圆22221x y a b +=的离心率是（）A.2B.2C.3D.3【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线的离心率关系可得222a b =，然后再根据椭圆的离心率为，即可求出结果.【详解】因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率是2，所以22232a b a +=，所以222a b =；因为椭圆22221x y a b +=，所以2==，故椭圆22221x y a b +=的离心率为2.故选：A.【点睛】本题主要考查了椭圆和双曲线的离心率的概念，属于基础题.9.已知(1,1,0)a =- ，(0,1,1)b =r ，(1,2,)c m =r，若,,a b c 共面，则实数m =（）A.1-B.3C.1D.2-【答案】B 【解析】【分析】利用空间向量共面的条件，设实数,x y ，使c xa yb =+，列出方程组，求出m 的值即可．【详解】因为向量,,a b c 共面，所以存在实数,x y 使得c xa yb =+，即()(1,2,),,m x x y y =-+，所以12x x y y m =⎧⎪-+=⎨⎪=⎩；解得1,3,3x y m ===．故选：B．【点睛】本题考查了空间向量的共面问题，属于基础题．10.已知直线l 与抛物线24x y =相交于,A B 两个不同点.若线段AB 的中点坐标为(1,2)，则直线l 的方程为（）A.20x y -= B.10x y -+= C.470x y -+= D.230x y -+=【答案】D 【解析】【分析】设()()1122,,A x y B x y ，，然后利用点差法，即可求出12AB k =，再根据点斜式即可求出结果.【详解】设()()1122,,A x y B x y ，，所以22211121212122122244444x y y y x xx x y y x x x y ⎧=-+⇒-=-⇒=⎨-=⎩又线段AB 的中点坐标为(1,2)，所以122x x +=，所以121212AB y y k x x -==-，所以直线l 的方程为()1122y x =-+，即230x y -+=.故选：D.【点睛】本题主要考查了直线和抛物线的位置关系，熟练掌握点差法是解题的关键.11.如图，把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，若点P 满足BP BA BC BD=-+，则2||BP = （）A.3B.42C.4D.632+【答案】A 【解析】【分析】取BD 的中点M ，根据正方形的特点和线面垂直的判定定理，可证BD ⊥平面AMC ，进而可得AC BD ⊥；又边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，可知AC BC AB ==；再根据向量的减法可得BP CA BD =+uu r uu r uu u r，再利用数量积和模的关系即可求出结果.【详解】取BD 的中点M ，连接MC MA ，，如下图所示：则MC BD AM BD ⊥⊥，，又MA MC M ⋂=，所以BD ⊥平面AMC ，所以AC BD ⊥，又边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，所以CM ⊥平面ABD ，所以AMC ∆为直角三角形，所以2221AC AM MC =+=，所以AC BC AB ==，又BP BA BC BD =-+，所以BP CA BD =+uu r uu r uu u r，所以()2222=+2=1+0+2=3BP CA BD CA CA BD BD =+⋅+uu r uu r uu u r uu r uu r uu u r uu u r .故选：A.【点睛】本题考查了直二面角的定义，线面垂直的判定定理，向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于中档题．12.已知点12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，点P 在双曲线C 右支上，且22()0PF OP OF ⋅+= ，直线1PF 的斜率为12，则双曲线C 的渐近线方程为（）A.y x =±B.y =C.2y x=±D.y =【答案】C 【解析】【分析】取2PF 的中点M ，连接OM ，由向量的加法法则22OP OF OM +=，进而20PF OM ⋅=u u u u r u u u u r ，即2PF OM ⊥，又1//OM PF ，所以12PF PF ⊥，在12Rt PF F ∆中，由题意易知2112PF PF =和2221212PF PF F F +=，再根据双曲线的性质，即可求出结果.【详解】取2PF 的中点M ，连接OM，如下图所示：由向量的加法法则，22OP OF OM +=，又()220PF OP OF ⋅+= ，所以20PF OM ⋅=u u u u r u u u u r，所以2PF OM ⊥，又1//OM PF ，所以12PF PF ⊥，又直线1PF 的斜率为12，所以在12Rt PF F ∆中，2112PF PF =，所以122PF PF =，又122PF PF a -=，所以2124PF a PF a ==,，在12Rt PF F ∆中，2221212PF PF F F +=，所以225c a =，又222c a b =+，所以224b a =，所以2ba=，所以双曲线C 的渐近线方程为2y x =±.故选：C.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义和平面向量的加法的几何意义，属于中档题.二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分）13.命题“,x R ∀∈sin 1x ≤”的否定是“”．【答案】x ∃R ∈，sin 1x >【解析】【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“,x R ∀∈sin 1x ≤”的否定是x ∃R ∈，sin 1x >14.已知()1,1,0a =r ，(0,1,1)b =r，若()a b a λ+⊥ ，则实数λ=_______.【答案】2-【解析】【分析】根据题意，可知()1,1,a b λλλ+=+r r，再根据垂直的数量积公式，即可求出结果.【详解】因为()1,1,0a =r ，(0,1,1)b =r，所以()1,1,a b λλλ+=+r r ，又()a b a λ+⊥，所以1+1++0=0λ，所以2λ=-.故答案为：2-.【点睛】本题主要考查了空间向量垂直的数量积公式的应用，属于基础题.15.已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点，P 为C 上一点，12PF F △的内心为点I ，过I 作平行于x 轴的直线分别交12,PF PF 于点,A B ，若椭圆C 的离心率12e =，则12PABPF F S S ∆∆=_____.【答案】49【解析】【分析】根据椭圆的离心率可知2a c =，根据椭圆的定义可知12PF F ∆的周长为()26a c c +=，设12PF F ∆的内切圆半径为r ，点(),P x y ，利用12121=2PF F S F F y c y pr ∆==（p 为12PF F ∆周长的一半），可得3y r =，再根据122PAB PF F Sy r S y ∆∆⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即可求出结果.【详解】设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为2c ，由题设12c a =，所以2a c =，由椭圆的定义可知，122PF PF a +=，122F F c =，12PF F ∆的周长为()26a c c +=，设12PF F ∆的内切圆半径为r ，点(),P x y .又121212PF F S F F y c y ∆==.设p 为12PF F ∆周长的一半，则123PF F S pr cr ∆==，所以3cr c y =，得3y r =，由题意可知，12PAB PF F ∆~∆得122PAB PF F Sy r S y ∆∆⎛⎫-= ⎪⎝⎭.所以1223439PAB PF F S r r S r ∆∆-⎛⎫== ⎪⎝⎭.故答案为：49.【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系和椭圆的性质，属于中档题.16.已知,A B 是抛物线24y x =上的两个不同动点，点(1,2)P ，若直线PA 和PB 的倾斜角互补，则线段AB 的中点的轨迹方程为__________.【答案】() 2,1y x =->【解析】【分析】设直线PA 的斜率为PA k ，直线PB 的斜率为PB k ，用斜率公式可分别表示PA k 和PB k ，根据倾斜角互补可知PA PB k k =-，设AB 的中点坐标为(),x y ，则()22212121212 2 2 288y y y y x x y y y x +-++=-===，，使用基本不等式求得1x >，进而求出结果．【详解】设直线PA 的斜率为PA k ，直线PB 的斜率为PB k ，()()1122,,,A x y B x y 则1112(1)1PA y k x x -=≠-，2222(1)1PB y k x x -=≠-，∵直线PA 和PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴PA PB k k =-．由()()1122,,,A x y B x y 在抛物线上，得2211224,4y x y x ==，∴12221222 111144y y y y -----＝，∴()1222y y +=-+，∴124y y +=-．设AB 的中点坐标为(),x y ，则()2221212121212 2 2 2288y y y y y y x x y y y x +-+++==-===，．由题意知，1200y y <<，，()()124y y -+-=>，∴124y y <，∴()212122 1624=188y y y y +--⨯>，即1x >，故线段AB 中点的轨迹方程为() 2,1y x =->．【点睛】本题主要考查了直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力，属于中档题．三、解答题（本题共5个小题，共48分）17.已知:p 函数y ax =是增函数，:q 方程2221(0)xy a a+=>表示焦点在x 轴上的椭圆，若()p q ∧⌝是真命题，求实数a 的取值范围.【答案】01a <≤【解析】【分析】命题:p 函数y ax =是增函数，利用一次函数的单调性可得0a >．命题:q 方程2221(0)x y a a+=>表示焦点在x 轴上的椭圆，可得1a >．由于()p q ∧⌝为真命题，可得p 为真命题，q 为假命题，由此即可求出结果．【详解】命题:p 函数y ax =是增函数，∴0a >；命题:q 方程2221(0)xy a a+=>表示焦点在x 轴上的椭圆，∴1a >；∵()p q ∧⌝为真命题，∴p 为真命题，q 为假命题．∴01a a >⎧⎨≤⎩，解得01a <≤．∴实数a 的取值范围是01a <≤．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一次函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(1,2)P 在抛物线C 上.（1）求点F 的坐标和抛物线C 的准线方程；（2）过点F 的直线l 与抛物线C 交于,A B 两个不同点，若AB 的中点为(3,2)M -，求OAB 的面积.【答案】（1）()1,0，1x =-；（2）【解析】【分析】（1）因为()1,2P 在抛物线C 上，可得2p =，由抛物线的性质即可求出结果；（2）由抛物线的定义可知1226AB x x =++=，根据点斜式可求直线AB 的方程为1y x =-+，利用点到直线距离公式求出高，进而求出面积.【详解】（1）∵()1,2P 在抛物线C 上，422p P ∴=∴=，，∴点F 的坐标为()1,0，抛物线C 的准线方程为1x =-；（2）设,A B 的坐标分别为()()1122,,x y x y ，，则1228AB x x =++=，1MF k =-，∴直线AB 的方程为1y x =-+，点O 到直线AB 的距离2d =，12OAB S AB d ∴=⋅=V .【点睛】本题主要考查了抛物线的基本概念，直线与抛物线的位置关系，属于基础题.19.已知三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，记1a AA = ，b AB = ，c AC =.（1）用,,a b c表示111,,AB A C BC ；（2）若11AB BC ⊥，11A C BC ⊥，求证：11AB AC =.【答案】（1）1AB a b =+u u u u r r r ，1A C c a =-u u u r r r ，1BC a c b =+-u u u u r r r r ；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据空间向量的加法和减法的运算法则，即可求出结果；（2）由题意可知，0,0a c a b ⋅=⋅=r r r r，由11AB BC ⊥，可得220a b b c -+⋅=r r r r ；同理由11A C BC ⊥可得220c a b c --⋅=r r r r，即可证明结果.【详解】（1）11AB AA AB a b =+=+u u u u r u u u r u u u r r r ，11A C AC AA c a =-=-u u u r u u u r u u u r r r ，111BC AC AB AA AC AB a c b =-=+-=+-u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r r ；（2）证明：∵1AA ⊥底面ABC ，∴1,AA AC AA AB ⊥⊥，∴0,0a c a b ⋅=⋅=r r r r,()()110AB BC a b a c b ⊥∴+⋅+-=r r r r rQ ，，22220a b a c b c a b b c -+⋅+⋅=-+⋅∴=r r r r r r r r r r，()()221100A C BC c a a c b c a b c ⊥∴-⋅+-=∴--⋅=r r r r r r r r rQ ，，，22b c ∴=r r ，b c ∴=r r ，即11AB AC =【点睛】本题主要考查了空间向量的加法（减法）运算法则，以及空间向量数量积的应用，属于基础题.说明：请考生在两个小题中任选一题作答.20.已知点P 是菱形ABCD 所在平面外一点，PA PD ==2PB AB BD ===，（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）求二面角A PB C --的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）7-【解析】【分析】（1）因为ABCD 是菱形，可得OB AD OB ⊥=，，进而证明1OP AD OP ⊥=，，在由勾股定可证明OP OB ⊥，根据线面垂直的判定定理可证OP ⊥平面ABCD ，再根据面面垂直的判定定理，即可证明结果；（2）根据题意建立空间直角坐标系O xyz -，再利用空间向量的坐标运算公式求出二面角A PBC --的余弦值.【详解】（1）证明：设O 是AD 的中点，连接,OP OB ，∵ABCD 是菱形，2,AB BD OB AD OB ==∴⊥=，∴PA PD ==1OP AD OP ⊥=，，∴2224PB OP OB OP OB =+=∴⊥,，又OB AD D =I ∴OP ⊥平面ABCD ，又OP ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）由（1）得OB AD OP OA OP OB ⊥⊥⊥,,，以点O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，OB 的方向为y 轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系O xyz -，则()()()()1,0,0,0,3,0,2,3,0,0,0,1A B C P -设()111,,m x y z =是平面PAB 的一个法向量，则m PA m AB ⎧⊥⎨⊥⎩，∴1111030x z x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩令13x =3,1,3m =，设()222,,n x y z =是平面PBC 的一个法向量，则n PC n BC ⎧⊥⎨⊥⎩ ，∴222223020x z x ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，令23z =(3n =，∴27cos ,==7m n m n m n⋅<>⋅u r ru r r u r r 又二面角A PB C --为钝二面角，∴二面角A PB C --的余弦值77-.【点睛】本题主要考查了线面垂直和面面垂直判定定理的应用，同时考查了空间向量在求二面角中的应用，属于基础题.21.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，60BAD ︒∠=，F 是BC 中点，PA PD =，PA PD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD .（1）求证：DF ⊥平面PAD ；（2）求二面角A PB F --的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）7-【解析】【分析】（1）设2AB a =，则CF a =，由余弦定理可知223DF a =，再根据勾股定理可证DF BC ⊥，由题意易知DF AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，再根据面面垂直的性质定理即可证明结果；（2）根据题意建立空间直角坐标系O xyz -，再利用空间向量的坐标运算公式求出二面角A PB F --的余弦值.【详解】（1）证明：设2AB a =，则CF a =，由题意得22222222cos 42cos 603DF CD CF CD CF DCF a a a a =+-⋅∠=+-︒=，22224DF CF CD a ∴+==，DF BC ∴⊥，ABCD ∴是菱形，//AD BC DF AD∴∴⊥，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，∴DF ⊥平面PAD（2）由（1）得DF AD ⊥，以点D 为坐标原点，DA的方向为x 轴的正方向，DF 的方向为y 轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系D xyz -，设2AB a =，则()()()()2,0,0,,3,0,0,3,0,,0,A a B a a F a P a a 设()111,,m x y z =是平面PAB 的一个法向量，则m PA m AB ⎧⊥⎨⊥⎩ ，∴1111030ax az ax ay -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩令13x =3,1,3m =，设()222,,n x y z =是平面PBF 的一个法向量，则n PF n BF ⎧⊥⎨⊥⎩ ，∴2222300ax ay az ax ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，令23z =(3n =，∴27cos ,==7m n m n m n⋅<>⋅u r ru r r u r r 又二面角A PB F --为钝二面角，∴二面角A PB F --的余弦值77-.【点睛】本题主要考查了面面垂直性质定理的应用，同时考查了空间向量在求二面角中的应用，属于基础题.说明请考生在两个小题中任选一题作答.22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为33，其右焦点F 到直线30x y -+=的距离为22（1）求椭圆C 的方程；（2）若过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，,A B 是1l 与椭圆C 的两个交点，,C D 是2l 与椭圆C 的两个交点，,M N 分别是线段,AB CD 的中点，试判断直线MN 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点.请说明理由.【答案】（1）22132x y +=；（2）直线MN 过定点3,05⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题意得3c a=⎪=⎪⎩，求出,a b ，即可求出椭圆方程；（2）设直线1l 的方程为1x my =+，①当0m ≠时，联立方程组221132x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简可得122122432432m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩，进而求出2232,3232m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理可得22232,3232m m N m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，进而求出()2531MN m k m =-，求出直线MN 的方程，求出必过的定点3,05⎛⎫ ⎪⎝⎭；②当0m =时，易知直线MN 过定点3,05⎛⎫ ⎪⎝⎭；综上即可求出结果.【详解】解：（1）由题意得3c a =⎪=⎪⎩，∴a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴椭圆C 的方程为22132x y +=；（2）由（1）得()10F ，，设直线1l 的方程为1x my =+，点,A B 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，①当0m ≠时，由221132x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2232440m y my ++-=，∴122122432432m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩，∴2232,3232m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭同理，由2211132x y mx y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得22232,3232m m N m m ⎛⎫⎪++⎝⎭()222222225323233313232MNm mm m m k m m m m +++==--++∴直线MN 的方程为()253531m y x m ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，过定点3,05⎛⎫ ⎪⎝⎭；②当0m =时，则直线1l 的方程为()()11,00,0x M N =,,，∴直线MN 过定点3,05⎛⎫ ⎪⎝⎭综上，直线MN 过定点3,05⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了椭圆的性质，以及直线与椭圆的位置关系的应用，属于中档题.23.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 到直线30x y -+=的距离为，P ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，,A B 是1l 与椭圆C 的两个交点，,C D 是2l 与椭圆C 的两个交点，,M N 分别是线段,AB CD 的中点试，判断直线MN 是否过定点？若过定点求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）22132x y +=；（2）直线MN 过定点3,05⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题意得221413a b =⎪+=⎪⎩，求出,a b ，即可求出椭圆方程；（2）设直线1l 的方程为1x my =+，①当0m ≠时，联立方程组221132x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简可得122122432432m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩，进而求出2232,3232m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理可得22232,3232m m N m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，进而求出()2531MN m k m =-，求出直线MN 的方程，求出必过的定点3,05⎛⎫ ⎪⎝⎭；②当0m =时，易知直线MN 过定点3,05⎛⎫ ⎪⎝⎭；综上即可求出结果.【详解】解：（1）由题意得221413a b =⎪+=⎪⎩，∴a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴椭圆C 的方程为22132x y +=；（2）由（1）得()10F ，，设直线1l 的方程为1x my =+，点,A B 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，①当0m ≠时，由221132x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2232440m y my ++-=，∴122122432432m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪÷=-⎪+⎩，∴2232,3232m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭同理，由2211132x y m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得22232,3232m m N m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭()222222225323233313232MN m m m m m k m m m m +++==--++∴直线MN 的方程为()253531m y x m ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，过定点3,05⎛⎫ ⎪⎝⎭；②当0m =时，则直线1l 的方程为()()11,00,0x M N =,,，∴直线MN 过定点3,05⎛⎫ ⎪⎝⎭综上，直线MN 过定点3,05⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了椭圆的性质，以及直线与椭圆的位置关系的应用，属于中档题.。