27.2.1相似三角形的判定2
27.2.1 第2课时 相似三角形的判定定理1,2
27.2.1 第2课时相似三角形的判定定理1,2在数学的奇妙世界中，相似三角形是一个非常重要的概念。
今天，咱们就来深入探讨一下 2721 第 2 课时中相似三角形的判定定理 1 和 2。
首先，咱们得明白啥是相似三角形。
简单说，就是形状相同但大小不一定一样的三角形。
那怎么判断两个三角形相似呢？这就用到咱们要讲的判定定理啦。
判定定理 1 说的是：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
为了更好地理解这个定理，咱们来举个例子。
比如说有三角形 ABC 和三角形 A'B'C'，AB 与 A'B'的比值等于 AC 与 A'C'的比值，而且角 A和角 A'相等。
这时候，咱们就可以断定三角形 ABC 和三角形 A'B'C'是相似的。
那这个定理有啥用呢？用处可大啦！在解决很多几何问题的时候，如果能发现两个三角形的边成比例并且夹角相等，就能很快得出它们相似的结论，进而可以利用相似三角形的性质来求解其他相关的问题。
比如说，已知一个三角形的边长和角度，又知道另一个三角形的两条边和它们的夹角，通过判定定理 1 确定它们相似，就能求出未知边的长度或者角度。
接下来，咱们再看看判定定理 2 。
它说的是：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
这个定理理解起来也不难。
比如说还是三角形 ABC 和三角形A'B'C'，AB 与 A'B'的比值、AC 与 A'C'的比值以及 BC 与 B'C'的比值都相等，那这两个三角形就是相似的。
在实际应用中，判定定理 2 能帮助我们在只知道三角形边长比例关系的情况下，迅速判断它们是否相似。
比如说，在一个复杂的图形中，给出了多个三角形的边长信息，通过计算边长的比例，就能利用判定定理 2 来找出相似的三角形，从而简化问题的解决过程。
27.2.1 第2课时 三边成比例的两个三角形相似
27.2.1 相似三角形的判定第2课时 三边成比例的两个三角形相似1．理解“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法；(重点)2．会运用“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题．一、情境导入我们现在判定两个三角形是否相似，必须要知道它们的对应角是否相等，对应边是否成比例．那么是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？在如图所示的方格上任画一个三角形，再画第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数．画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论？大家的结论都一样吗？二、合作探究探究点：三边对应成比例的两个三角形相似【类型一】 直接利用定理判定两个三角形相似在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，在Rt △EDF 中，∠F ＝90°，DF＝3，EF ＝4，则△ABC 和△EDF 相似吗？为什么？解析：已知△ABC 和△EDF 都是直角三角形，且已知两条边长，所以可利用勾股定理分别求出第三边的长，看对应边是否对应成比例．解：△ABC ∽△EDF .在Rt △ABC 中，AB ＝10，BC ＝6，∠C ＝90°，由勾股定理得AC ＝AB 2－BC 2＝102－62＝8.在Rt △DEF 中，DF ＝3，EF ＝4，∠F ＝90°，由勾股定理得ED ＝DF 2＋EF 2＝32＋42＝5.在△ABC 和△EDF 中，BC DF ＝63＝2，AC EF ＝84＝2，AB ED ＝105＝2，所以BC DF ＝AC EF ＝AB ED，所以△ABC ∽△EDF . 方法总结：利用三边对应成比例判定两个三角形相似时，应说明三角形的三边对应成比例，而不是两边对应成比例． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第2题【类型二】 网格中的相似三角形如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由．解析：首先由勾股定理，求得△ABC 和△DEF 的各边的长，即可得AB DE ＝AC DF ＝BC EF，然后由三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可判定△ABC 和△DEF 相似．解：△ABC 和△DEF 相似．由勾股定理，得AB ＝25，AC ＝5，BC ＝5，DE ＝4，DF＝2，EF ＝25，∵AB DE ＝AC DF ＝BC EF ＝254＝52，∴△ABC ∽△DEF . 方法总结：在网格中计算线段的长，运用勾股定理是常用的方法．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第8题 【类型三】 利用相似三角形证明角相等如图，已知ABAD ＝BC DE ＝AC AE，找出图中相等的角，并说明你的理由．解析：由AB AD ＝BC DE ＝AC AE，证明△ABC ∽△ADE ，再利用相似三角形对应角相等求解． 解：在△ABC 和△ADE 中，∵AB AD ＝BC DE ＝AC AE，∴△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，∠B ＝∠D ，∠C ＝∠E .方法总结：在证明角相等时，可通过证明三角形相似得到．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题 【类型四】 利用相似三角形的判定证明线段的平行关系如图，某地四个乡镇A ，B ，C ，D 之间建有公路，已知AB ＝14千米，AD ＝28千米，BD ＝21千米，BC ＝42千米，DC ＝31.5千米，公路AB 与CD 平行吗？说出你的理由．解析：由图中已知线段的长度，可求两个三角形的对应线段的比，证明三角形相似，得出角相等，通过角相等证明线段的平行关系．解：公路AB 与CD 平行．∵AB BD ＝1421＝23，AD BC ＝2842＝23，BD DC ＝2131.5＝23，∴△ABD ∽△BDC ，∴∠ABD ＝∠BDC ，∴AB ∥DC .方法总结：如果在已知条件中边的数量关系较多时，可考虑使用“三边对应成比例，两三角形相似”的判定方法． 【类型五】 利用相似三角形的判定解决探究性问题要制作两个形状相同的三角形教具，其中一个三角形教具的三边长分别为50cm ，60cm ，80cm ，另一个三角形教具的一边长为20cm ，请问怎样选料可使这两个三角形教具相似？想想看，有几种解决方案．解析：要使两个三角形相似，已知一个三角形的三边和另一个三角形的一边，则我们可以采用三边分别对应成比例的两个三角形相似来判定．解：①当长为20cm 的边长的对应边为50cm 时，∵50∶20＝5∶2，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm ，60cm ，80cm ，∴另一个三角形对应的三边分别为：20cm ，24cm ，32cm ；②当长为20cm 的边长的对应边为60cm 时，∵60∶20＝3∶1，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm ，60cm ，80cm ，∴另一个三角形对应的三边分别为：503cm ，20cm ，803cm ；③当长为20cm 的边长的对应边为80cm 时，∵80∶20＝4∶1，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm ，60cm ，80cm ，∴另一个三角形对应的三边分别为：12.5cm ，15cm ，20cm.∴有三种解决方案．方法总结：解答此题的关键在于分类讨论，当对应比不确定时，采用分类讨论的方法可避免漏解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题三、板书设计1．三角形相似的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似；2．利用相似三角形的判定解决问题．因为本课时教学过程中主要是让学生采用类比的方法先猜想出命题，然后证明猜想的命题是否正确．课堂上教师主要还是以提问的形式，逐步引导学生去证明命题．从课后作业情况看出学生对这节课的知识总体掌握得较好.。
27.2.1相似三角形的判定平行相似(2)
三角形相似的判定（2）
回顾 一、平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段 成比例. （关键要能熟练地找出对应线段）
二、要熟悉该定理的几种基本图形
A B C D E F C D B A E F
三、注意该定理在三角形中的应用
l1 l2 l1
l2
E
A D B E C
l3 l4
你还能画出其 他图形吗？
D B A
即： 在△ABC中， 如果DE∥BC， E 那么△ADE∽△ABC
C
延伸
X型
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边 的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。
D
A
E
即： 如果DE∥BC， 那么△ADE∽△ABC 你能证明吗？
M
B
N
C
平行于三角形一边的直线与其它两边(或延长线)相交, 相似 所得的三角形与原三角形________.
l5
D
A B
l3 l4
C
Hale Waihona Puke l5推论：平行于三角形一边的直线截其他 两边（或两边的延长线），所得的对 应线段成比例.
如图,DE//BC,且D是边AB的中点,DE交AC于E, △ADE与△ABC有什么关系?说明理由. 相似
证明:在△ADE与△ABC中 ∠A= ∠A
∵ DE//BC ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C AD AE 1 ∴D、E是AB、AC的中点 AB AC 2 ∴DE是△ABC的中位线 DE 1 BC 2
D
B
AE DE ,即
50 DE . AC BC 50 30 70 50 70 所以, DE 43.75( cm ). 50 30
27.2.1.相似三角形判定(2)--定理(类比SSS、SAS)
C B’
证明:在△ ABC 的边 AB(或延长线)上截取A/D=AB, 过点D作DE∥BC 交A/C/于点E,则△A/DE∽△A/B/C/ AD AE . AB AC AB AC 又 A A 又 ，AD AB, AB AC ∴△A/DE≌△ABC（SAS) AE AC / / / ∴△ABC∽△ A BC , AC AC
AE AC.
三角形相似的判定定理2： 如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且夹角相等,那么这两个三角形相似.
即：两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
A’ A B C B’ C’
AB AC k AB AC ΔABC∽ΔABC. A A
A’ A
D E C’
C B’
证明:在△ ABC 的边 AB(或延长线)上截取A/D=AB, 过点D作DE∥BC 交A/C/于点E,则△A/DE∽△A/B/C/
AD DE AE . AB BC AC AB BC AC 又 ，AD AB, AB BC AC DE BC AE AC , , BC BC AC AC DE BC, AE AC.
例 1：
试判定△ABC与A’B’C’是否相似，并说明理由。 (1) AB＝6 cm， BC＝8 cm，AC＝10 cm A’B’＝18 cm，B’C’＝24 cm，A’C’＝30 cm (2) ∠A＝45°， AB=12cm，
AC=15cm ∠A’＝45°，A’B’＝16cm，A’C’＝
20cm
例2
①4:2=5:x=6:y ②4:x=5:2=6:y ③4:x=5:y=6:2
4
5 6
2
检测二
如图， △ ABC中，AB=12，AC=15， D为AB上的一点，且AD= 2 AB，在AC 3 上取一点E，使以A、D、E为顶点的三 6.4 角形和△ ABC相似，则AE 等于 10或。
27.2.1相似三角形的判定(第二课时)课件(共17张PPT)
You made my day!
A D
A'
B
C B'
C'
在△A'B'C'和△DBC中，
A'B＝ ' B'C'且C'＝C DB BC 但是△ A' B' C' 和△ DBC 显然不相似 .
两边对应成比例且其中一边的对角
对应相等的两个三角形不一定相似.
例1
根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并 说明理由： （1）AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝8cm．
探究
请同学们在一张方格纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它 的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角， 它们相等吗？这两个三角形相似吗？与邻座交流一下，看看是否有同 样的结论．
这两个三角形是相似的.
由此我们得到利用三边判定三角形相似的方法：
A
A'
AB BC CAk A'B' B'C' C'A'
2. 图中的两个三角形是否相似？为什么？
（1）
15
20
25
27
40
45
（2）
A
B
45
54
C 36 E 30
D
3.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别
为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两条边长应当是
多少？你有几种制作方案？
方案(1)
k1
2 4
1 2
解：设另外 两条边长分
A'B'＝12cm，B'C'＝18cm，A'C'＝24cm
27.2.1 相似三角形的判定课件2(新人教版九年级下)
AB 8 1 A ' B ' 16 2
AC 15 1 A ' C ' 30 2
AB AC A' B ' A'C '
（ 2）
AB 10 5 0.625 A ' B ' 16 8
AC 16 0.625 A'C ' 25.6
BC 8 0.625 B ' C ' 12.8
过点D作DE∥BC交AC于点E.
△ADE∽△ABC ∴AD:AB=AE:AC=DE:BC, ∵AD=A`B`∴AD:AB=A`B`:AB 又A`B`:AB=B`C`:BC=C`A`:CA ∴DE:BC=B`C`:BC,EA:CA=C`A`:CA.
D
B` A
C`
E
因此DE=B`C`,EA=C`A`.
∴△ADE≌△A`B`C` ∴△A`B`C`∽△ABC
中， ∠ B'=30°，A'B'=10cm， A'C' =8cm。 这两个三角形一定相似吗？试着画画看．
不一定相似
例1
根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由： （1）∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，
要使两三角形相似， 不改变AC的长， A'C'的长应当改为 多少？
∠A=∠A' ∴△ABC∽△A'B'C'
AB BC AC 0.625 A' B ' B 'C ' A'C '
∴△ABC∽△A'B'C'
原创1：27.2.1 相似三角形的判定（2）
∵
ABC∽ A' B'C'
例2
根据下列条件，判断△ABC和△A’B’C’是否相似，并说明理由。
AB=7， AC=14， ∠A＝60° A’B’＝3，A’C’＝6， ∠A’＝ 60°
解 ∵ AB/A’B’=7/3AC/A’C’=14/6=7/3 ∴ AB/A’B’= AC/A’C’又 ∠A＝ ∠A’＝60° ∴ △ABC∽△A`B`C`
∴ △ ADE ∽ △ ABC
X型
C
∵ ∵
∵
A型 A
D
E
B
C
∵ DE∥BC
∴ △ ADE ∽ △ ABC
AD
AE
=
AB
AC
AD
AE
=
DB
EC
DE =
BC
X型
D
E
A
B
பைடு நூலகம்
C
∵ DE∥BC
∴ △ ADE ∽ △ ABC
AD
AE
DE
=
=
AB
AC
BC
二、 三角形全等有哪几种简单的判定方法呢？
SSS、SAS 、ASA(AAS)、HL
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的 夹角相等，那么这两个三角形相似。(SAS)
4.(SAS)判定定理：
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等， 那么这两个三角形相似。
（两组对应边比相等，且夹角相等的两三角形相似.）
A
A'
B
C
B'
C'
∵ A' B' A' C' , A A' AB AC
2.图中两个三角形是否相似？
27.2.1相似三角形的判定
∵AB＝2，BC＝2 2，AC＝2 5，FE＝2，DE＝ 2，
DF＝ 10，
∴
DABE＝
2＝ 2
2，BECF＝2 2 2＝
2，DACF＝2
5＝ 10
2.
∴ DABE＝BECF＝DACF，∴△ABC∽△DEF.
感悟新知
知识点 5 边角关系判定三角形相似定理
知5－讲
1. 相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个
感悟新知
知识点 1 相似三角形
知1－讲
1. 定义：如果在两个三角形中，三个角分别相等，三条边 成比例，那么这两个三角形相似.
感悟新知
如图27.2-1，在△ ABC 和△ A′B′C′中，
知1－讲
∠ A= ∠ A′，∠ B= ∠ B′，∠ C= ∠ C′， △ABC
AB BC AC k,
↔ ∽△A′B′C′.
感悟新知
知2－练
3-1. 如图，l1 ∥ l2 ∥ l3，AB=3，AD=2，DE=4，EF=9， 求BC，BF 的长.
感悟新知
解：∵ l1∥l2∥l3, ∴ ABBC＝ADDE.
∵
AB＝3，AD＝2，DE＝4,
∴
3 BC
＝24，
解得 BC＝6.
知2－练
∵ l1∥l2∥l3,
∴
BF EF
＝
AB AC
第27章 相似
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
学习目标
1 课时讲解
2 课时流程
逐点 导讲练
相似三角形 平行线分线段成比例 平行线截三角形相似的定理 三边关系判定三角形相似定理 边角关系判定三角形相似定理 角的关系判定三角形相似定理 直角三角形相似的判定
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C
AD AE FB EC ， AB AC BC AC
∵四边形DEFB是平行四边形，
（平行于三角形一边的直线截其它两边 所得的对应线段成比例）
DE FB
DE AD BC AB AD AE DE AB AC BC
∴△ADE∽△ABC.
归纳
知识要点
A型
平行于三角形一边的定理
A
D
E
C
直觉告诉我们，△ADE与△ABC相似．
我们通过相似的定义证明这个结论．
先证明两个三角形的对应角相等．
在△ADE与△ABC中，∠A＝∠A ∵DE∥BC ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C 再证明两个三角形的对应边的比相等． 过点E作EF∥AB，EF交BC于点F． 在 BFED中，DE＝BF，DB＝EF D 2 1 B F C E A
∵AD＝BD＝ ∴AD＝EF
1 AB 2
1 AD AE DE ， AB AC BC = 2
这样，我们证明了△ADE和△ABC的
又∠A＝∠1，∠2＝∠C ∴△ADE≌△EFC ∴AE＝EC＝ 1 AC 2 1 DE＝FC＝BF＝ BC
∴△ADE∽△ABC.
1 对应角相等，对应观察图形，进一步想 △ADE与△ABC是否存在着相似关系．
证明：过点E作EF//AB，交BC于点F
A
在△ADE与△ABC中，∠A= ∠A. ∵ DE//BC， ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C， AD AE . AB AC ∵DE//BC,DF//AB
B
D
E
F
AD DE 70 AB BC 80 AD 7 AD 55 8
E
AD 7 55 385
∴梯子长AB=AD+BD=385+55=440cm
C
平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线) 相似 相交,所得的三角形与原三角形________.
“A”型
A D B
（图1）
∠A = ∠A,∠B = ∠ADE,∠C = ∠AED.
AB AD
=
AC AE
=
BC DE
D B
A E C
DE ∥ BC
27.2相似三角形
27.2.1相似三角形的判定（第2课时）
活动2
如图，在△ABC中， 点D是边AB的中点， DE∥BC，DE交AC 于点E ，△ADE与 B △ABC有什么关系？
平行于三角形一边的直线和其他两边 相交，所构成的三角形与原三角形相似.
A
你还能画出其 他图形吗？
B
D
E C
即在△ABC中， 如果DE∥BC， 那么△ADE∽△ABC
三、探究新知
练一练
知 识 点 一
判 定 三 角 形 相 似 的 定 理
1如图， 、如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三 AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B C 角形一共有（ ） 距墙80cm，梯上点D 距墙70cm，BD长 A． 1对．求梯子的长． B．2对 55cm C． 3对 D． 对； BC AC, 解： DE 4 AC, ∽∆ABC DE//BC, ADE
复习回顾
平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比 相等.
平行线分线段成比例定理的推论
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两 边的延长线)，所得的对应线段的比相等. l l l l A D l E l
1
1
D B
E C
l2
A B
l2
l3
C
l3
如果△ ABC∽ △ADE,那么你能找 出哪些角的关系？边呢？
“X”型
D O E
E C
B （图2） C
思考:有没有其他简单的办法判断两个三角形相似?
它们相似，相似比为
2
如图,在△ABC中， DE//BC, DE分别交AB于D，交 AC于E ，△ADE与△ABC有什么关系?说明理由. 相似
证明:在△ADE与△ABC中，∠A= ∠A. ∵ DE//BC，
A
D
F
AD AE . ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C， AB AC 过E作EF//AB交BC于F， AE BF 则 . B AC BC ∵ 四边形DBFE是平行四边形， ∴DE=BF， AE DE AD AE DE ， ， AC BC AB AC BC ∴△ADE∽△ABC.