27.2.1相似三角形的判定(第2课时)
27.2.1 第2课时 相似三角形的判定定理1,2
27.2.1 第2课时相似三角形的判定定理1,2在数学的奇妙世界中，相似三角形是一个非常重要的概念。
今天，咱们就来深入探讨一下 2721 第 2 课时中相似三角形的判定定理 1 和 2。
首先，咱们得明白啥是相似三角形。
简单说，就是形状相同但大小不一定一样的三角形。
那怎么判断两个三角形相似呢？这就用到咱们要讲的判定定理啦。
判定定理 1 说的是：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
为了更好地理解这个定理，咱们来举个例子。
比如说有三角形 ABC 和三角形 A'B'C'，AB 与 A'B'的比值等于 AC 与 A'C'的比值，而且角 A和角 A'相等。
这时候，咱们就可以断定三角形 ABC 和三角形 A'B'C'是相似的。
那这个定理有啥用呢？用处可大啦！在解决很多几何问题的时候，如果能发现两个三角形的边成比例并且夹角相等，就能很快得出它们相似的结论，进而可以利用相似三角形的性质来求解其他相关的问题。
比如说，已知一个三角形的边长和角度，又知道另一个三角形的两条边和它们的夹角，通过判定定理 1 确定它们相似，就能求出未知边的长度或者角度。
接下来，咱们再看看判定定理 2 。
它说的是：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
这个定理理解起来也不难。
比如说还是三角形 ABC 和三角形A'B'C'，AB 与 A'B'的比值、AC 与 A'C'的比值以及 BC 与 B'C'的比值都相等，那这两个三角形就是相似的。
在实际应用中，判定定理 2 能帮助我们在只知道三角形边长比例关系的情况下，迅速判断它们是否相似。
比如说，在一个复杂的图形中，给出了多个三角形的边长信息，通过计算边长的比例，就能利用判定定理 2 来找出相似的三角形，从而简化问题的解决过程。
27.2.1 第2课时 三边成比例的两个三角形相似
27.2.1 相似三角形的判定第2课时 三边成比例的两个三角形相似1．理解“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法；(重点)2．会运用“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题．一、情境导入我们现在判定两个三角形是否相似，必须要知道它们的对应角是否相等，对应边是否成比例．那么是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？在如图所示的方格上任画一个三角形，再画第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数．画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论？大家的结论都一样吗？二、合作探究探究点：三边对应成比例的两个三角形相似【类型一】 直接利用定理判定两个三角形相似在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，在Rt △EDF 中，∠F ＝90°，DF＝3，EF ＝4，则△ABC 和△EDF 相似吗？为什么？解析：已知△ABC 和△EDF 都是直角三角形，且已知两条边长，所以可利用勾股定理分别求出第三边的长，看对应边是否对应成比例．解：△ABC ∽△EDF .在Rt △ABC 中，AB ＝10，BC ＝6，∠C ＝90°，由勾股定理得AC ＝AB 2－BC 2＝102－62＝8.在Rt △DEF 中，DF ＝3，EF ＝4，∠F ＝90°，由勾股定理得ED ＝DF 2＋EF 2＝32＋42＝5.在△ABC 和△EDF 中，BC DF ＝63＝2，AC EF ＝84＝2，AB ED ＝105＝2，所以BC DF ＝AC EF ＝AB ED，所以△ABC ∽△EDF . 方法总结：利用三边对应成比例判定两个三角形相似时，应说明三角形的三边对应成比例，而不是两边对应成比例． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第2题【类型二】 网格中的相似三角形如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由．解析：首先由勾股定理，求得△ABC 和△DEF 的各边的长，即可得AB DE ＝AC DF ＝BC EF，然后由三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可判定△ABC 和△DEF 相似．解：△ABC 和△DEF 相似．由勾股定理，得AB ＝25，AC ＝5，BC ＝5，DE ＝4，DF＝2，EF ＝25，∵AB DE ＝AC DF ＝BC EF ＝254＝52，∴△ABC ∽△DEF . 方法总结：在网格中计算线段的长，运用勾股定理是常用的方法．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第8题 【类型三】 利用相似三角形证明角相等如图，已知ABAD ＝BC DE ＝AC AE，找出图中相等的角，并说明你的理由．解析：由AB AD ＝BC DE ＝AC AE，证明△ABC ∽△ADE ，再利用相似三角形对应角相等求解． 解：在△ABC 和△ADE 中，∵AB AD ＝BC DE ＝AC AE，∴△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，∠B ＝∠D ，∠C ＝∠E .方法总结：在证明角相等时，可通过证明三角形相似得到．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题 【类型四】 利用相似三角形的判定证明线段的平行关系如图，某地四个乡镇A ，B ，C ，D 之间建有公路，已知AB ＝14千米，AD ＝28千米，BD ＝21千米，BC ＝42千米，DC ＝31.5千米，公路AB 与CD 平行吗？说出你的理由．解析：由图中已知线段的长度，可求两个三角形的对应线段的比，证明三角形相似，得出角相等，通过角相等证明线段的平行关系．解：公路AB 与CD 平行．∵AB BD ＝1421＝23，AD BC ＝2842＝23，BD DC ＝2131.5＝23，∴△ABD ∽△BDC ，∴∠ABD ＝∠BDC ，∴AB ∥DC .方法总结：如果在已知条件中边的数量关系较多时，可考虑使用“三边对应成比例，两三角形相似”的判定方法． 【类型五】 利用相似三角形的判定解决探究性问题要制作两个形状相同的三角形教具，其中一个三角形教具的三边长分别为50cm ，60cm ，80cm ，另一个三角形教具的一边长为20cm ，请问怎样选料可使这两个三角形教具相似？想想看，有几种解决方案．解析：要使两个三角形相似，已知一个三角形的三边和另一个三角形的一边，则我们可以采用三边分别对应成比例的两个三角形相似来判定．解：①当长为20cm 的边长的对应边为50cm 时，∵50∶20＝5∶2，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm ，60cm ，80cm ，∴另一个三角形对应的三边分别为：20cm ，24cm ，32cm ；②当长为20cm 的边长的对应边为60cm 时，∵60∶20＝3∶1，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm ，60cm ，80cm ，∴另一个三角形对应的三边分别为：503cm ，20cm ，803cm ；③当长为20cm 的边长的对应边为80cm 时，∵80∶20＝4∶1，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm ，60cm ，80cm ，∴另一个三角形对应的三边分别为：12.5cm ，15cm ，20cm.∴有三种解决方案．方法总结：解答此题的关键在于分类讨论，当对应比不确定时，采用分类讨论的方法可避免漏解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题三、板书设计1．三角形相似的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似；2．利用相似三角形的判定解决问题．因为本课时教学过程中主要是让学生采用类比的方法先猜想出命题，然后证明猜想的命题是否正确．课堂上教师主要还是以提问的形式，逐步引导学生去证明命题．从课后作业情况看出学生对这节课的知识总体掌握得较好.。
27.2.1相似三角形的判定(第二课时)课件(共17张PPT)
You made my day!
A D
A'
B
C B'
C'
在△A'B'C'和△DBC中，
A'B＝ ' B'C'且C'＝C DB BC 但是△ A' B' C' 和△ DBC 显然不相似 .
两边对应成比例且其中一边的对角
对应相等的两个三角形不一定相似.
例1
根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并 说明理由： （1）AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝8cm．
探究
请同学们在一张方格纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它 的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角， 它们相等吗？这两个三角形相似吗？与邻座交流一下，看看是否有同 样的结论．
这两个三角形是相似的.
由此我们得到利用三边判定三角形相似的方法：
A
A'
AB BC CAk A'B' B'C' C'A'
2. 图中的两个三角形是否相似？为什么？
（1）
15
20
25
27
40
45
（2）
A
B
45
54
C 36 E 30
D
3.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别
为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两条边长应当是
多少？你有几种制作方案？
方案(1)
k1
2 4
1 2
解：设另外 两条边长分
A'B'＝12cm，B'C'＝18cm，A'C'＝24cm
九年级数学下册第二十七章相似27.2相似三角形27.2.1相似三角形的判定第2课时相似三角形判定定
2018-2019学年九年级数学下册第二十七章相似27.2 相似三角形27.2.1 相似三角形的判定第2课时相似三角形判定定理1，2同步练习（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年九年级数学下册第二十七章相似27.2 相似三角形27.2.1 相似三角形的判定第2课时相似三角形判定定理1，2同步练习（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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课时作业（九)[27。
2.1 第2课时相似三角形判定定理1，2］一、选择题1．有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，2，5,乙三角形木框的三边长分别为5,错误!，错误!,则甲、乙两个三角形( )A．一定相似 B．一定不相似C．不一定相似 D．无法判断2．图K－9－2中的四个三角形与图K－9－1中的三角形相似的是（)图K－9－1图K－9－23．如图K－9－3，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是( )图K－9－3A．①和②相似 B．①和③相似C．①和④相似 D．③和④相似4．已知线段AD，BC相交于点O，OB∶OD＝3∶1，若OA＝12 cm，OC＝4 cm,AB＝30 cm，则CD的长为（）A．5 cm B．10 cm C．45 cm D．90 cm5．如图K－9－4，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为( ）图K－9－4A．P1B．P2C．P3D．P46．一个钢筋三角架的三边长分别为20 cm,50 cm，60 cm，现在要做一个和它相似的钢筋三角架，而只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截两段（允许有余料）作为另两边,则不同的截法有( )链接听课例1归纳总结A．一种 B．两种C．三种 D．四种或四种以上二、填空题7．如图K－9－5，D是△ABC内的一点，连接BD并延长到点E,连接AD，AE，若错误!＝错误!＝错误!,且∠CAE＝29°，则∠BAD＝________°。
27.2.1 第2课时 三边成比例的两个三角形相似
27.2.1 相似三角形的判定第2课时三边成比例的两个三角形相似一、学习目标1．初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法的判定方法．2．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．二、重点、难点1．重点：掌握这种判定方法，会运用这种判定方法判定两个三角形相似．2．难点：（1）三角形相似的条件归纳、证明；（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似．三、课堂引入1．复习提问：(1) 两个三角形全等有哪些判定方法？(2) 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？(3) 全等三角形与相似三角形有怎样的关系？(4) 如图，如果要判定△ABC与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？2．（1）提出问题：首先，由三角形全等的SSS判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？3. 探究任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论。
（1）问题：怎样证明这个命题是正确的呢？（2）探求证明方法．（已知、求证、证明）如图27.2-4，在△ABC和△A′B′C′中，ACCACBBCBAAB''=''=''，求证△ABC∽△A′B′C′证明：4. 【归纳】三角形相似的判定方法1如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．三角形相似的判定方法1如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．四、例题讲解解：五.回顾与反思．(1)谈谈本节课你有哪些收获．六 . 当堂检测。
27.2.1相似三角形的判定(第二课时边边边)
E
A' DE ∽ A' B' C '
A' D DE A' E ∴ A' B' B' C ' A' C '
又
B'
A' E AC ∴ A' C ' A' C '
AB BC AC , A' D AB A' B' B' C ' A' C ' ∴ A' E AC 同理 DE BC
要制作两个形状相同的三角形框架，其中一 个三角形框架的三边长分别为4，6，8。另 一个三角形框架的一边长为2，它的另外两 条边长应当是多少？你有几种答案？
提示：三种选法，分别使另一个三角形的长
为2的边与长为4，6，8的边对应。
2:4=x:6=y:8 x:4=2:6=y:8 x:4=y:6=2:8
小结：
A B C ∽ A B C
1 1 1 2 2 2
AB BC AC 如图, 已知 ,求证：∠BAD=∠CAE. AD DE AE
A
AB BC AC 证明 : AD DE AE
∴Δ ABC∽Δ ADE
∴∠BAC=∠DAE
B
E
D
C
∴∠BAC━∠DAC=∠DAE━∠DAC
即∠BAD=∠CAE
∴
C'
A' DE ABC
∴
ABC ∽ A' B' C '
A’
A
B
C
B’
C’
三角形相似的判定定理1：如果两个三角形
的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.
九年级数学下册人教版27.2.1相似三角形的判定第二课时教学设计
-创设合作学习的氛围，鼓励学生之间相互分享解题思路和经验。
-培养学生倾听他人意见、批判性思考以及团队协作的能力。
3.培养学生自我评价和反思的习惯，使其在学习过程中不断调整和优化自己的学习策略。
-引导学生设立学习目标，定期进行自我检测和评估。
为了巩固本节课所学内容，检验学生对相似三角形判定的掌握程度，以及激发学生对几何学习的兴趣，我设计了以下作业：
1.基础作业：完成课本第27.2.1节后的练习题，包括判断题、选择题和填空题，以巩固相似三角形的判定方法及性质。
-这些练习题旨在帮助学生巩固基础知识，加强对判定方法的理解。
-鼓励学生在解题过程中总结规律，提高解题效率。
2.应用作业：选取两道综合性的应用题，要求学生运用相似三角形的判定方法解决实际问题。
-一道题目可以涉及实际生活中的问题，如测量距离、计算面积等。
-另一道题目可以是对学生思维具有挑战性的问题，鼓励学生进行深入思考和探究。
3.探究作业：布置一道探究性问题，要求学生在课后进行小组合作，共同完成。
-探究性问题可以涉及相似三角和面积关系等。
5.注重学习反馈，及时了解学生的学习情况，针对学生存在的问题进行针对性的辅导和指导。
-通过课堂提问、作业批改和阶段测试，了解学生的学习进度和掌握程度。
-根据学生的反馈，调整教学策略和方法，确保每位学生都能跟上教学进度。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在本节课的开始，我将通过一个与学生生活密切相关的实例来导入新课。例如，我会向学生展示一张地图，并提出问题：“如何根据地图上的比例尺来确定实际距离？”通过这个问题，引导学生回顾比例尺的概念，为新课的学习做好铺垫。接着，我会提出一个更具挑战性的问题：“在地图上，我们经常看到两个形状相似的三角形，那么如何判断这两个三角形是相似的呢？”由此引出本节课的主题——相似三角形的判定。
相似三角形的判定-完整版PPT课件
课程讲授
1 三边成比例的两个三角形相似
A′ A
B
C
B′
C′
AB A'B'
=
BC B'C'
= CA C'A'
△ABC∽△A'B'C'
课程讲授
1 三边成比例的两个三角形相似
问题2：运用所学知识，证明你的结论.
已知：如图，△ABC和△A'B'C'中，AB = BC = CA A'B' B'C' C'A'
BD BC DC 3 A
∴ △ABD∽△BDC， ∴∠ABD=∠BDC，
∴AB∥DC.
14 B
D
31.5 21
42
C
课堂小结
判定定理1
三边成比例的两个三角形相似．
相似三角形 的判定
判定定理2
两边成比例且夹角相等的两个三 角形相似．
练一练：如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，
要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（ C ）
A. AC AB
AD AE
B. AC BC
AD DE
C. AC AB
AD DE
D. AC BC
AD AE
随堂练习
1.已知△ABC的三边长分别为6 cm,7.5 cm,9 cm，△DEF的一 边长为4 cm，当另两边的长是下列哪一组时，这两个三角形
=
AB AD
=
BC DE
，
∴△ABC∽△ADE.
随堂练习
5.如图，已知AD·AC=AB·AE. （1）求证：△ADE∽△ABC;
证明：∵AD·AC=AB·AE，
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例3. 右图中 的两个三角 形相似吗？ 理由是什么？
练习：
1. 根据下列条件，判断ABC和A' B'C'是 否相似，并说明理由。
(1) AB 6, BC 8, AC 10,
A' B' 3, B'C' 4, A'C' 5. (2)AB 20, AC 10, A 40
B'
C'
又 AB BC AC , A' D AB ∴ A' E AC
A' B' B'C' A'C'
A'C' A'C'
∴ A' E AC 同理 DE BC
∴ A' DE ABC ∴ ABC ∽A' B'C'
（SSS）判定定理：如果两个三角形的三组对 应边的比相等,那么这两个三角形相似.
A
A'
证明：在线段A' B（' 或它的延长线
上）截取A' D AB，过点D再做
DE∥ B'C'交A'C'交于点E，可得 B
CD
E
A' DE ∽ A' B'C'
∴ A' D A' E A' B' A'C'
B'
C'
又 AB AC , A' D AB ∴ A' E AC
A' B' A'C'
改变k和∠A的值的大小,是否有同样的结论？
事实上我们经过探究发现有两边
及其夹角判定两个三角形相似的结论
如果两个三角形的两组对应 边的比相等，并且相应的夹角相 等，那么这两个三角形相似。 (SAS)
已知：在ABC和A' B'C'中，AA'BB'
AC , A A'C'
A'
求证: △ABC∽△ A' B'C'
C
X型
二、 三角形全等有哪几种简单的判 定方法呢？
SSS、SAS 、ASA(AAS)、HL
猜想？
有没有其他简单的办法判断 两个三角形相似呢？
三组对应
A
边的比相等 A’
B’
C’
B
C
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
是否有△ABC∽△A' B'C'？
• 探究2
任意画一个三角形，再画一个 三角形，使它的各边长都是原来三 角形各边长的k倍，度量这两个三 角形的对应角，它们相等吗？这两 个三角形相似吗？与同桌交流一下， 看看是否有同样的结论。
提示：三种选法，分别使另一个三角形的长 为2的边与长为4，6，8的边对应。
2:4=x:6=y:8
x:4=2:6=y:8
x:4=y:6=2:8
小结： 相似三角形的判定方法有几种？
1、定义判定法 比较复杂，烦琐 2、平行判定法 只能在特定的图形里面使用 3、边边边判定法（SSS） 4、边角边判定法（SAS）
简单地说:三组对应边比相等的两三角形相似.
A
A'
B
C B'
C'
A' B' B' C' A' C' k AB BC AC
ABC ∽A' B'C'
例1： 根据下列条件，判断ABC和A' B'C'是 否相似，并说明理由。
AB 3, BC 5, AC 6,
A' B' 6, B'C' 10, A'C' 12.
ABC ∽A' B'C'
例2：根据下列条件，判断△ABC和△A’B’C’ 是否相似，并说明理由。
AB=7， AC=14， ∠A＝60° A’B’＝3，A’C’＝6， ∠A’＝ 60°
解 ∵ AB/A’B’=7/3 AC/A’C’=14/6=7/3
∴ AB/A’B’= AC/A’C’ 又 ∠A＝ ∠A’＝60° ∴ △ABC∽△A`B`C`
已知：在ABC和A' B'C'中，AA' BB'
BC B'C'
AC , A'C'
求证: △ABC∽△ A' B'C'
A
A'
证明：在线段A' B（' 或它的延长线
上）截取A' D AB，过点D再做
DE∥ B'C'交A'C'交于点E，可得B
CD
E
A' DE ∽ A' B'C'
∴ A' D DE A' E A' B' B'C' A'C'
A'C' A'C'
∴ A' E AC 又A A'.
∴ A' DE ABC ∴ ABC ∽A' B'C'
(SAS)判定定理：如果两个三角形的两组
对应边的比相等，并且相应的夹角相
等，那么这两个三角形相似。
A
A'
B
C
A' B' A'C' , A A' AB AC
B'
C'
猜想？
类似于判定三角形全等的 SAS方法，我们能不能通过两边 及其夹角来判定两个三角形相似呢？
探究3
利用刻度尺和量角器画ABC和 A' B'C',使A A', AB 和 AC 都
A' B' A'C' 等于给定的k值，量出它们第三组对 应边BC和B'C'的长，它们的比值等 于k吗？另外两组角是否会相等呢？
解：∵
AB 3 1 , BC 5 1 , A' B' 6 2 B'C' 10 2
AC 6 1 A'C' 12 2
∴ AB BC AC A' B' B'C' A'C'
∴ ABC ∽A' B'C'
若：AB 3, BC 5, AC 6,
A' B' 6, B'C' 10, A'C' 14. 这两个三角形还是相似的吗？
A' B' 4, A'C' 6.A' 40
2.图中两个三角形是否相似？
B
相似
6
A
C5 E 10 3
E
2
34Leabharlann 相似不相似不相似
6
9
14
3. 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一 个三角形框架的三边长分别为4，6，8。另 一个三角形框架的一边长为2，它的别外两 条边长应当是多少？你有几种答案？
§27.2.1相似三角形的判定 （第2课时）
一、如何判断两三角形是否相似?
1.定义法:两三角形对应角相等，对应边的比相等的
两个三角形相似
2.平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两
边的延长线）相交，所构成的三角形与原
三角形相似。
A
D
E
D
E
A
∵ DE∥BC
∴ △ ADE ∽ △ ABC
B
A型
CB
作业：
P54页 习题27.2 第2题（1，2），第3题.