用显格式技术对复杂结构准静态加载的有限元模拟
ABAQUS显式算法在准静态问题模拟的应用
ABAQUS显式算法在准静态问题模拟的应用摘要：为了研究ABAQUS显式分析方法在准静态问题的适用性和准确性，本文通过使用ABAQUS显式分析方法对FRP-混凝土单剪试验进行数值模拟。
结果表明：数值模拟结果与试验结果相符，进而表明显式分析方法在处理准静态问题上具有适用性和准确性。
1.引言ABAQUS主要有两种求解模块[1]：ABAQUS/Standard和ABAQUS/Explicit，这两个模块均可进行准静态问题的模拟。
ABAQUS/Explicit显式求解方法是一个具有专门用途的分析求解模块，采用对时间变化的显式动力学有限积分，求解动力学方程。
其最初发展是为了模拟高速冲击问题，在这类问题的求解中，惯性发挥了主导性作用。
当求解动力平衡的状态时，非平衡力以应力波的形式在相邻的单元之间传播。
由于最小稳定时间增量一般是非常小的值，所以大多数问题需要大量的时间增量步。
该分析模块适用于求解分析复杂的接触问题、复杂的后屈服问题、材料退化以及高度非线性的准静态问题[2-4]。
在求解某些类型的准静态问题上，ABAQUS/Explicit求解方法比ABAQUS/Standard更容易收敛，同时占用相对较少的系统资源[5]。
基于此，本文对ABAQUS/Explicit显式算法的理论进行探讨，研究显式分析方法在准静态问题模拟方面的适用性和准确性。
2.算列分析本文将选取FRP-混凝土界面粘结单剪试验采用ABAQUS中的显式求解模块进行数值模拟，FRP-混凝土单剪试验是一个典型的准静态问题，通过使用显式分析方法模拟的结果与试验的结果进行对比，证明显式求解方法在分析准静态问题上的适用性和准确性。
有限元模型及网格划分如下图1所示。
模型中混凝土材料为C30，采用ABAQUS自带的混凝土损伤塑性模型[9]进行模拟。
混凝土单元和CFRP均采用八节点减缩积分实体单元C3D8R，混凝土与CFRP之间采用Tie绑定命令进行模拟，采用位移加载方式，加载速度为0.1mm/s。
ABAQUS显式算法的准静态加速分析方法研究
ABAQUS显式算法的准静态加速分析方法研究郭春红;陶忠;张品乐【摘要】为了获得基于ABAQUS显式算法的准静态加速分析方法,通过ABAQUS 显式算法对单片剪力墙在不同加载速度和不同质量放大系数条件下进行准静态加载模拟,并与隐式计算结果进行比较,得出加载速度和质量放大系数对计算精度的影响,并从能量角度分析质量放大系数对分析结果的影响.获得ABAQUS显式算法对准静态模拟的加速分析方法及建议.【期刊名称】《低温建筑技术》【年(卷),期】2015(037)008【总页数】3页(P73-75)【关键词】ABAQUS程序;显式算法;准静态加速分析【作者】郭春红;陶忠;张品乐【作者单位】昆明理工大学建筑工程学院, 昆明650500;昆明理工大学建筑工程学院, 昆明650500;昆明理工大学建筑工程学院, 昆明650500【正文语种】中文【中图分类】TU311.41ABAQUS是一套功能强大的基于有限元方法的工程模拟软件，它具备解决从相对简单的线性分析到极富挑战性的非线性模拟问题的能力。
它的两个主要模块是ABAQUS/Standard和 ABAQUS/Explicit，其中ABAQUS/Standard应用基于刚度的求解技术，具有无条件稳定性，但是对于接触或者材料复杂的分析问题，可能难以收敛，从而需要大量的迭代，其稳定步长通常比隐式的小 2～3个数量级［1］。
这时使用ABAQUS/Standard进行求解可能需要占用大量的磁盘空间和内存，分析代价非常昂贵。
而ABAQUS/Explicit应用显式积分求解技术，通过由前一增量步显式地前推动力学状态，确定解答是无需进行迭代的，从而较大节省磁盘空间和内存，适合进行高速动力学事件，复杂的接触问题，复杂的后屈服问题，高度非线性的准静态问题以及材料退化和失效问题的模拟，而弊端则是其条件稳定性，且影响其计算结果稳定性的因素较多［2］。
此前已有研究表明，显示分析方法能够解决材料失效和破坏导致的收敛问题的基础上，较为准确地模拟钢筋混凝土结构响应［3］。
有限元模拟技术在主体锻造工艺设计中的应用
有限元模拟技术在主体锻造工艺设计中的应用随着数字化技术的快速发展和现代工业的高度自动化，越来越多的制造企业采用计算机辅助设计和仿真技术来优化产品设计和生产工艺。
有限元模拟技术是一种广泛应用于材料力学问题和工艺仿真问题的高精度数值分析方法。
本文将介绍有限元模拟技术在主体锻造工艺设计中的应用。
一、有限元模拟技术基础有限元模拟技术是一种基于数值计算的工程仿真技术，用于解决各种连续介质的物理力学问题。
其主要思想是将整个分析区域划分成有限数量的小单元，每个小单元内的物理量被近似为常数，通过求解每个小单元的物理量，以达到对整体物理过程的分析和预测。
有限元模拟技术的应用范围十分广泛，如汽车、航空航天、电子等领域的产品设计和制造过程中，都是使用有限元模拟技术进行优化和预测。
二、主体锻造工艺设计中有限元模拟技术的应用主体锻造是指以锻造工艺为主要手段进行精密成形及加工。
在主体锻造工艺设计中，有限元模拟技术可以帮助工程师进行材料流动分析、变形仿真以及应力分布预测等，从而提高工厂的生产效率和降低制造成本。
1.材料流动分析在主体锻造过程中，材料流动状态对成品的形状和物理性能有着决定性作用。
有限元模拟技术可以对材料在压力和温度作用下的流动状态进行分析和预测，通过对材料的流动路径和速度的分析，设计师可以调整模具结构和加热方式，以便获得更优质的成品。
2.变形仿真主体锻造过程中，材料会受到外部压力和温度的作用，从而发生变形，这会直接影响到成品的精度和完整性。
有限元模拟技术可以帮助工程师对材料的变形进行仿真和分析，评估成品的形状、精度以及产生的缺陷类型和程度，以优化模具的形状和加热方式。
3.应力分布预测主体锻造过程中，材料在受到外部压力和温度作用时，会产生各种形式的应力，这会直接影响到成品的物理力学性能和耐久性。
有限元模拟技术可以帮助工程师对应力分布进行预测和分析，评估成品的可靠性和耐用性，并对模具结构和加热方式进行设计和改进。
三、总结随着数字化技术和自动化技术的不断发展，主体锻造工艺设计中的有限元模拟技术将得到更广泛的应用。
CAE有限元分析软件-abaqus介绍资料
单元 使用 Abaqus/CAE 能够为部件的区域指定相应的单元类型，并支持 Abaqus/Standard 和 Abaqus/Explicit 里面的全部单元类型，包括定义高级选项，如自适应网格和单元算法选项。 剖面 剖面管理器允许对梁截面进行创建、修改、复制、重命名和删除操作
蒙皮 三维部件的表面或二维部件的边，能用壳单元或者薄膜单元来覆盖，这些单元与下层的 实体单元共节点。 分析步骤 根据需要，用户可将全部的加载历史分割成多步，有相应的分析类型、载荷、边界条件、 接触等与之对应。 接触 接触模块允许在部件实例之间定义相互作用的关系以及约束。通过直观的界面操作可以 定义各种接触方式：如面面接触、自接触等，并定义机械接触或热接触的接触性质。约束有 许多形式一体、显示体、耦合和捆绑连接等。连接单元、界面热辐射、对流换热条件和弹性 地基也都可以在该模块中定义。 预设条件 施于模型上初始条件、加载过程和边界条件均可在载荷模块中定义，并在 CAE 中显示。
后处理
将云图、曲线、矢量等以显示、图片、动画的形式输出、还可以显示立体切片、透明及 半透明等形式
用户界面定制
根据用户不同需求进行个性化界面开发、方便用户进行流程化分析
结构分析
静态、准静态
各类工程结构、零件及装配件间的强度校核等
振动、模态分析
结构固有频率的提取、瞬态响应分析、DDAM、稳态响应分析、随机响应分析、复特 征值分析等
梁截面显示功能
网格划分工具 Abaqus/CAE 提供了复杂的分网工具、用户能够精确地创建各种一维、二维和三维网格。
无与伦比的 Abaqus 求解器
分析特性 Abaqus/CAE 允许 Abaqus 的分析特性定义在几何模型上，也能直接运用于导入的网格， 使得用户最大限度的灵活处理同时包括几何体和网格体的混合模型。 集合 集合包括针对几何体的几何集和针对导入网格体的节点集和单元集。当创建分析工作 时，任何与一个几何集相关的节点和单元将包括在对应的节点集和单元集中。 材料 能够为 Abaqus 的各种材料模型创建数据，并提供工具帮助你确定实验数据的精度。
转子叶片有限元网格生成方法及准静态分析
转子叶片有限元网格生成方法及准静态分析随着工程技术的不断发展，转子叶片在机械行业中发挥着越来越重要的作用。
转子叶片通常由同心圆、光滑曲线和复杂孔槽组成，其微细的结构使其制作困难，这对设计带来了挑战。
因此，研究转子叶片的有限元网格生成方法及准静态分析是提高转子叶片设计水平的
基础。
首先，转子叶片的有限元网格生成方法。
转子叶片的有限元网格生成方法的关键是建立有效的叶片几何模型。
当创建完整的几何模型后，有限元网格生成方法分为三个步骤:划分几何体、网格细化和网
格优化。
对于同心圆、光滑曲线和复杂孔槽，可以采用更加精确的封闭曲面划分方法，划分完成后利用有限元网格细化方法来改善网格结构，最后进行网格优化，以减少计算量。
其次，转子叶片的准静态分析。
准静态分析是指当叶片处于不均匀转动状况下，利用有限元网格的计算方法来研究叶片的受力状况，获得叶片的受力分布特征，从而推断出叶片的最佳设计参数。
准静态分析可以快速静态分析所有叶片，可以通过有限元方法精确计算叶片的力学特性。
转子叶片准静态分析的计算步骤分为自由因子计算，力学计算，质量计算，应力计算，等。
最后，本研究展示了如何应用有限元网格方法与准静态分析技术来研究转子叶片的力学特性，可以为转子叶片的设计提供有效的参考。
同时，转子叶片的有限元网格生成方法及准静态分析仍然存在一定的问题，如网格误差、受力计算精度等，这需要进一步完善和改进。
以上是本文关于转子叶片有限元网格生成方法及准静态分析的综述，希望能为转子叶片有限元网格生成方法及准静态分析的研究和应用提供帮助。
有限元期末考试题及答案
有限元期末考试题及答案一、选择题1. 有限元方法是一种数值分析方法，主要用于求解什么类型的数学问题？A. 线性代数方程B. 微分方程C. 积分方程D. 代数方程答案：B2. 在有限元分析中，单元的划分是基于什么原则？A. 单元数量B. 单元形状C. 问题域的几何特性D. 计算资源答案：C3. 下列哪项不是有限元分析中常用的单元类型？A. 三角形单元B. 四边形单元C. 六面体单元D. 圆形单元答案：D二、填空题4. 有限元方法中，______是指将连续的物理域离散成有限数量的小区域，这些小区域称为单元。
答案：离散化5. 在进行有限元分析时，通常需要定义材料属性，包括______、密度和弹性模量等。
答案：泊松比三、简答题6. 简述有限元方法的基本步骤。
答案：有限元方法的基本步骤包括：定义问题域、离散化问题域、选择单元类型、定义材料属性、构建全局刚度矩阵、施加边界条件、求解线性代数方程、提取结果。
7. 解释什么是有限元分析中的收敛性，并说明影响收敛性的因素。
答案：收敛性是指随着单元数量的增加，有限元分析结果逐渐接近真实解的性质。
影响收敛性的因素包括单元的类型、形状、大小以及网格的布局等。
四、计算题8. 假设有一个长度为2米的杆，两端固定，中间施加了一个向下的力F=1000N。
如果杆的材料是钢，其弹性模量E=210 GPa，泊松比ν=0.3，请计算杆的弯曲位移。
答案：首先，根据Euler-Bernoulli梁理论，可以写出弯曲位移的方程为：\[ w(x) = \frac{F}{384EI} L^3 \]其中，\( w(x) \) 是位移，\( F \) 是施加的力，\( L \) 是杆的长度，\( E \) 是弹性模量，\( I \) 是截面惯性矩。
对于一个矩形截面，\( I \) 可以表示为：\[ I = \frac{bh^3}{12} \]假设杆的截面宽度为b，高度为h，代入上述公式，可以计算出位移。
建筑结构分析中的有限元模拟方法探讨
建筑结构分析中的有限元模拟方法探讨导论：建筑结构分析是用来预测和评估建筑结构在不同荷载和环境条件下的行为和性能的一种工程计算方法。
在过去几十年里，有限元分析方法已经成为建筑结构分析的重要工具之一。
有限元模拟方法通过将连续结构离散化为有限个小元素，并通过数学计算模拟这些元素之间的相互作用，从而模拟和预测结构的行为和性能。
一、有限元模拟方法的基本原理有限元法是一种将连续体分割成有限数量的离散部分，利用小单元上的控制方程得到整个结构局部及整体性能的近似解的数值方法。
其中，有限元模拟方法主要包括以下几个基本步骤：1. 离散化：将结构分割为离散的有限元素，一般采用三角形、四边形单元，或者更复杂的六面体、四面体等多面体元素。
2. 建立单元方程：通过采用适当的数学方法，根据元素的形状和材料性质，建立方程来描述每个元素的力学性能，如应力、应变、位移等。
3. 装配方程：将单元方程装配成整个结构的方程组，利用单元方程和边界条件来求解结构的全局行为。
4. 边界条件：定义结构的边界条件，如支座约束、受力条件等。
这些边界条件对结构的行为和性能具有重要影响。
5. 求解方程：通过数值方法求解装配得到的结构方程，得到结构的应力、应变、位移等信息。
6. 后处理：根据求解得到的结果，进行结构的分析和评估，如应力的判断、变形的分析等。
二、有限元模拟方法的优势有限元模拟方法在建筑结构分析中具有以下几个优点：1. 精度：有限元模拟方法具备较高的精度，尤其是在考虑非线性和动力特性时能够更准确地模拟结构的行为。
2. 灵活性：有限元模拟方法可以适用于各种结构形式和荷载情况，包括静力、动力和非线性问题。
3. 经济性：有限元模拟方法可以有效地减少实际试验的数量和代价，节省了时间和资源。
4. 可视化：有限元模拟方法可以将结构的内部行为和应力分布可视化，有助于工程师更好地理解和评估结构的性能。
5. 效率：有限元模拟方法可以通过并行计算和高性能计算技术提高计算效率，快速得到结构的分析结果。
有限元仿真技术简介
有限元仿真技术简介（文章标题）有限元仿真技术简介1. 引言有限元仿真技术是一种广泛应用于工程和科学领域的数值计算方法，它可以在计算机上对复杂的物理系统进行建模和分析。
本文将简要介绍有限元仿真技术的原理、应用领域以及其优点和局限性。
2. 有限元分析的原理有限元分析的核心思想是将复杂的连续体划分为有限数量的小元素，然后根据元素的性质和相互之间的连接关系，利用数学方法近似解决变分原理。
通过在每个元素上选择合适的数学模型和适当的边界条件，可以得到物理系统的数值解。
3. 有限元仿真的应用领域有限元仿真技术在各个领域都有广泛的应用。
以下是几个常见的应用领域：3.1 机械工程在机械工程领域，有限元仿真可以用于材料力学、刚体力学和流体力学问题的分析。
在设计汽车零件时，可以使用有限元分析来预测材料的应力分布和变形情况，以确保设计的可靠性和安全性。
3.2 建筑工程在建筑工程领域，有限元仿真可以应用于结构分析、热传导和空气流动等问题。
通过对建筑结构进行有限元分析，可以评估结构的稳定性和强度，优化设计并提高建筑的效能和安全性。
3.3 航空航天工程在航空航天工程领域，有限元仿真可以用于飞机、火箭和卫星等复杂系统的设计和分析。
通过模拟力学和热力学行为，可以评估结构的性能和可靠性，并优化设计以提升工程效率。
4. 有限元仿真的优点有限元仿真技术具有许多优点，使其成为工程和科学领域中不可或缺的工具。
4.1 准确性有限元仿真可以提供高度准确的结果。
通过使用复杂的数学模型和离散化技术，可以更好地近似真实物理系统的行为，并生成准确的数值解。
4.2 灵活性有限元仿真方法非常灵活。
它可以适应各种不同的物理条件和边界条件，并支持对模型进行参数化研究和优化设计。
4.3 节省成本和时间相对于传统的试验方法，有限元仿真技术可以大大减少成本和时间。
通过在计算机上进行仿真，可以避免昂贵的实验设备和长时间的试验过程。
5. 有限元仿真的局限性然而，有限元仿真技术也有一些局限性需要注意。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
收稿日期:2001-01-16;修改稿收到日期:2001-08-10.作者简介:樊建平(1957-),男,硕士,副教授.第19卷第4期2002年11月 计算力学学报 Chinese Journal of Computational MechanicsV o l.19,N o.4N ov ember 2002文章编号:1007-4708(2002)04-0431-07用显格式技术对复杂结构准静态加载的有限元模拟樊建平, 章建军, 陈传尧(华中科技大学土木工程与力学学院,武汉430074)摘 要:在强非线性有限元分析中,当采用隐格式方法得不到预期结果时,显格式技术是解决问题的有效途径之一。
采用显格式分析方法,要解决两个问题,一是合理选择载荷作用时间;二是控制系统的惯性效应。
本文选用了5个时间历程函数,首先将它们应用于线性弹簧振子分析中,得到了响应的解析表达式并做了误差分析,通过作图的方式,显示了各函数动静模拟的优劣。
根据对线性弹簧振子的分析,得到了选择载荷作用时间的重要参数——线性系统的最小自然周期。
随后对带孔口的薄板平面应力问题做非线性有限元动静分析,得到了一些有价值的结论,可供工程应用参考。
关键词:显格式技术;准静态;时间历程;惯性效应;线性弹簧振子中图分类号:O 242.21 文献标识码:A1 引 言有限元分析有隐格式和显格式技术。
用隐格式技术处理强非线性问题,包括几何、材料和边界条件非线性,为了获得预期的结果,必须花费大量的时间。
正是由于这个原因,近若干年来,在准静态加载情况下,用显格式技术处理非线性有限元计算越来越受到人们的重视。
这一技术无须引入虚质量和虚阻尼,但有两个问题须妥善处理,一是合理地控制惯性效应,使之降低到最小程度;二是确定载荷的作用时间,通常是毫秒量级,使得整个结构的计算时间在可以接受的范围之内。
关于采用显格式技术计算准静态加载,早在20世纪70年代Zienkiew icz 的书中已有这种思想[1],Ho necker 在20世纪80年代末将这种动静模拟方法应用于金属薄板成型过程的有限元模拟[2],M attiasson 通过其研究指出[3],加载时间应控制在1-5m s 的范围内,与实际工况加载过程比较,数值模拟的加载速度可以有20-100倍的放大因子。
然而这些只是一些经验方法或是通过有限次实验所得到的结果。
时间历程函数形式对于有效地控制惯性效应是十分重要的,如文献[2]中不采用常斜率直线加载,而是用正弦函数加载。
近年来,不同的加载时间历程函数曲线已应用于显格式模拟技术,如文献[4]采用正矢函数(versed sine)加载;文献[5]采用圆滚函数(cycloidal)加载,本文也将讨论这两种时间历程函数。
尽管显格式技术已被一些研究者用来求解准静态问题,但合理地选取时间历程函数,有效地确定载荷作用时间或速度放大因子的合理范围,以保证将惯性效应维持在最低的水平并没有从理论上得到解决。
综合前人的工作并将其纳入理论框架内,对这一技术做进一步研究是很有必要的。
本文选用5个时间历程函数,首先将它们应用于线性弹簧振子研究,对于不同的时间历程函数,通过和准静态结果的比较,做误差分析以确定其优劣。
最后将其应用于非线性有限元分析中,通过做图显示和比较,得到了一些有价值的结果,可供今后在该领域的研究者参考。
2 线性弹簧振子动静分析对于准静态问题,其控制方程为Q (a )=P(1)其中P 是准静态外力矢量,Q 是内力矢量,分析的目的是对于给定的P ,求解结构中的位移a 。
对于动态问题,其控制方程为Md ・・+Cd ・+Q =F(2)其中d (t )是位移响应矢量,F 是动态加载矢量,t 是时间。
本文的目的就是采用显式时间积分方法求解方程(2),合理地选用加载历程矢量F 和载荷作用时间以控制系统的惯性效应,使之达到最小程度,通过(2)式求得的d 值趋近于a 值,以实现方程(1)的求解。
2.1 载荷作用时间对惯性效应的影响为了较好地理解动静模拟方法,首先研究线性弹簧振子。
假设振子的质量为M ,刚度为K ,受到载荷F (t )作用,它是时间的函数,其最大值为F 0,作用时间为S 。
线性弹簧振子动态响应x (t )的控制方程是Mx ・・(t )+K x (t )=F (t )(3)与此相对应的准静态问题控制方程是K $(t )=F (t )(4)如果通过求解方程(3)得到x (t )和求解方程(4)得到$,它们的绝对误差为e (t )=ûx (t )-$(t )û(5)在可以接受的范围之内,动静模拟方法的目的就达到了。
假设加载时间历程函数为常斜率直线形式F (t )=F 0tS (0≤t ≤S )(6)静态响应为K $(t )F 0=tS(7)而动态响应为 K x (t )F 0=t S -T 2P S sin2P t T(8)其中T =2PM /K 为振子的自然周期,在文后将会看到,这一参数对确定载荷作用时间非常重要。
图1给出3个不同的S 值的动态响应曲线,并和静态结果比较。
只要S 的取值足够大,其动态响应的结果趋近于对应的静态值,尽管还存在一定幅度的振荡。
2.2 加载历程函数对惯性效应的影响不同加载历程函数的动静模拟效果是不同的。
除上述常斜率直线加载历程函数外,这里再引进4个加载历程函数,研究其性态以求得到最佳模拟效果。
抛物线函数 F (t )=F 0t S 2(9)指数函数F (t )=F 0e t /S -1e -1(10)正矢函数 F (t )=F 021-cos P tS(11)圆滚函数 F (t )=FtS -12Psin 2P t S (12)文献[2]的研究结果表明,加载历程函数自身的光滑性对模拟结果将产生影响。
在t =0处,常斜率函数的一阶导数不连续;抛物线函数和正矢函数二阶导数不连续;圆滚函数三阶导数不连续;而指数函数的光滑性最好,它具有任意阶导数的连续性。
5个加载历程函数及其一阶导数由图2和图3给出。
对于上述加载历程函数求解控制方程(3),并利用零初始条件,在时间0≤t ≤S 范围内,其动态响应为抛物线函数 K x (t )F 0=1S 2t 2-T 22P 2cos 2P t T -1(13)指数函数 K x (t )F 0=A sin 2P tT +B cos 2P t T + 1e -1e t /S1+(T /2P S )2-1(14)432计算力学学报 第19卷 第4期樊建平,等:用显格式技术对复杂结构准静态加载的有限元模拟433其中 A =-2P S /T(e -1)[1+(2P S /T )2]・ B =1(e -1)[1+(2P S /T )2]正矢函数 2K x (t )F 0=1+1(2S /T )2-1cos 2P t T - 11-(T /2S )2cos P tS (15)圆滚函数 K x (t )F 0=t S +T 2P S 1(S /T )2-1sin 2P tT - 12P 11-(T /S )2sin P tS(16)图4(a )-(e )给出了S =5T 时上述5种函数的动态响应曲线,观察图形可见,圆滚函数、抛物线函数、正矢函数模拟效果好,而常斜率直线函数模拟效果差。
2.3 误差分析为了定量地描述各加载历程函数动静模拟的准确性,采用如下误差范数[L p ]p =1S ∫S[e (t )]p d t (17)其中p =1,2,∞是最为常用的。
p =2对应于最小二乘法,p =∞对应于Chebyshev 范数,即直接求得在时间范围0≤t ≤S 中误差的最大值,是最为简单的。
对于常斜率直线加载函数,其Chebyshev 范数为L ∞=F 0K T2P S(18)由此公式可见,误差与S /T 成反比。
选择载荷作用时间时,系统的自然周期是一基准参照时间,只要比值S /T 足够大,动静模拟的误差就可以控制在允许范围之内。
将(5)、(7)、(8)式代入(17)式可求得最小二乘范数为L 2=L∞221-T 4P S sin 4P S T1/2(19)比较(18)、(19)式可知,最小二乘范数要小于Chebyshev 范数。
为了充分暴露动静模拟的误差,对其它加载历程函数的误差分析均采用Cheby -shev 范数,结果如下抛物线函数L ∞=F 0K T P S2(20)指数函数L ∞=F 0K 1e -111+(2P S /T )2+e1+(2P S /T )2(21)正矢函数L ∞=F 0K T 24S 2-T2(22)圆滚函数L ∞=F 0K T 22P S (S -T )(23)图5给出了5个函数误差的曲线描述。
整体来说,抛物线函数误差最小,常斜率直线函数误差最大。
当S /T 超过5时,正矢函数和圆滚函数误差接近于抛物线函数,绝对误差均小于0.01,可以满足工程精度的要求。
3 二维弹塑性平面应力中的应用上述单自由度线性弹簧振子动静模拟技术可以直接推广到多自由度线性系统有限元分析,这是由于多自由度线性系统是求解代数或微分方程组,可通过求解本征值和本征矢的方法,将方程组解偶以得到形如方程(3)、(4)的形式。
对于多自由度非线性系统,由于系统的刚度随变形而变化,而刚度的变化就直接影响到系统的固有频率和自然周期,上述动静模拟技术仍然可用。
和线性系统相比,非线性要求比值S /T 更大一些。
建议首先取S /T =5,然后在范围5≤S /T ≤10内取值,直到计算结果收敛为止,或对一典型结构进行实验研究,以得到S /T 的精确值。
对于线性弹簧振子,很容易求得其自然周期T 值。
对于多自由度非线性结构,若结构的几何和边界约束简单,可以简化模型以得到T 的解析表达式。
一般情况下,须对结构首先做线性特征值分析,以得到系统的基频和最小自然周期。
现将上述动静模拟技术应用于二维平面应力问题,考虑一中心带圆孔的矩形板,上下边缘受位移u 2准静态拉伸。
由于对称性,仅取板的1/4研究,如图6所示。
其中L =360mm ,w =200mm ,d =100mm ,板的厚度t =1m m 。
板材为弹性-线性强434计算力学学报 第19卷 化的铝合金,其材料常数是:E =70GPa ,v =0.2,R s =243M Pa,E T =0.17GPa,Q =2700kg /m 3,板边缘上的最大位移u 2=26.5m m ,属大变形几何非线性和材料非线性问题。
有限元分析采用商用软件ANSYS 。
对计算结果讨论如下: 首先进行线性特征值有限元计算,得到头5阶固有频率为2102.2,2887.0,4774.9,5046.8,7141.1,选择基频为2102.2,其对应的最小自然周期为4.76×10-4,不妨取T =0.5毫秒。