2020高考数学(理)全真模拟卷1(解析版)
2020年高考数学（理）模拟考试（解析版）
2020年⾼考数学（理）模拟考试（解析版）2020年⾼考模拟考试理科数学本试卷共4页，23⼩题，满分150分，考试⽤时120分钟。
⼀、选择题：本题共12⼩题，每⼩题5分，共60分。
在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的。
1.已知集合，则=A. B.C. D.1.C 由题意得，，则．故选C．2.设复数z满⾜，z在复平⾯内对应的点为(x，y)，则A. B.C. D.2.C 则．故选C．3.已知，则A. B.C. D.3.B 则．故选B．4.古希腊时期，⼈们认为最美⼈体的头顶⾄肚脐的长度与肚脐⾄⾜底的长度之⽐是（≈0.618，称为黄⾦分割⽐例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美⼈体的头顶⾄咽喉的长度与咽喉⾄肚脐的长度之⽐也是．若某⼈满⾜上述两个黄⾦分割⽐例，且腿长为105cm，头顶⾄脖⼦下端的长度为26 cm，则其⾝⾼可能是A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm4.B 设⼈体脖⼦下端⾄肚脐的长为x cm，肚脐⾄腿根的长为y cm，则，得．⼜其腿长为105cm，头顶⾄脖⼦下端的长度为26cm，所以其⾝⾼约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm．故选B．5.函数f(x)=在[—π，π]的图像⼤致为A. B.C. D.5.D 由，得是奇函数，其图象关于原点对称．⼜．故选D．6.我国古代典籍《周易》⽤“卦”描述万物的变化．每⼀“重卦”由从下到上排列的6个⽘组成，⽘分为阳⽘“——”和阴⽘“——”，如图就是⼀重卦．在所有重卦中随机取⼀重卦，则该重卦恰有3个阳⽘的概率是A. B. C. D.6.A 由题知，每⼀⽘有2中情况，⼀重卦的6⽘有情况，其中6⽘中恰有3个阳⽘情况有，所以该重卦恰有3个阳⽘的概率为=，故选A．7.已知⾮零向量a，b 满⾜=2，且（a–b ）b，则a与b的夹⾓为A. B. C. D.7.B 因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹⾓为，故选B．8.如图是求的程序框图，图中空⽩框中应填⼊A. A = B. A =C. A = D. A =8.A 执⾏第1次，是，因为第⼀次应该计算=，=2，循环，执⾏第2次，，是，因为第⼆次应该计算=，=3，循环，执⾏第3次，，否，输出，故循环体为，故选A．9.记为等差数列的前n 项和．已知，则A. B.C. D.9.A 由题知，，解得，∴，故选A．10.已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的⽅程为A. B.C. D.10.B 法⼀：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．所求椭圆⽅程为，故选B．法⼆：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，⼜互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆⽅程为，故选B．11.关于函数有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间（,）单调递增③f(x)在有4个零点④f(x)的最⼤值为2其中所有正确结论的编号是A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③11.C 为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有⼀个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，⼜为偶函数，的最⼤值为，故④正确．综上所述，①④正确，故选C．12.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球⾯上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三⾓形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为A. B. C. D.12.D 解法⼀:为边长为2的等边三⾓形，为正三棱锥，，⼜，分别为、中点，，，⼜，平⾯，平⾯，，为正⽅体⼀部分，，即，故选D．解法⼆:设，分别为中点，，且，为边长为2的等边三⾓形，⼜中余弦定理，作于，，为中点，，，，，⼜，两两垂直，，，，故选D.⼆、填空题：本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分。
2020年高考全真模拟卷理科数学01(含解析)
．2020年高考全真模拟卷（1）数学（理）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{|03}A x x =<<，{|1}B x x =≤，则A B =U （ ） A ．(,1]-∞B ．(,3)-∞C ．(0,1]D ．(1,3)2．设复数z 满足13iz z +=，则||z =（ ）A ．10B C D3．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为x 甲、x 乙标准差分别为σ甲、σ乙，则( )A ．x x <甲乙，σσ<甲乙B ．x x <甲乙，σσ>甲乙C ．x x >甲乙，σσ<甲乙D ．x x >甲乙，σσ>甲乙4．从1，2，3，4，5这五个数字中随机选择两个不同的数字，则它们之和为偶数的概率为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．455．双曲线()2210mx ny mn +=<的渐近线于圆()2259x y -+=相切，且该双曲线过点2,2P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则该双曲线的虚轴长为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8 6．已知346log 15,log 20,log 30a b c ===，则( ) A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>7．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1cos 2a C cb +=，22()12bc a +-=，则ABC V 的面积为（ ）A ．1B C ．2D ．8．函数ln ||cos ()sin x xf x x x⋅=+在[,0)(0,]ππ-U 的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为点P 在正方形1111D C B A 上，且1,A C 到P 的距离分别为2,，则直线CP 与平面11BDD B 所成角的正切值为( )A B C ．12D ．1310．已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若方程()13f x =在区间()0,π内的解为()1212,x x x x <，则()12sin x x -=（ ）A ．13-B ．12-C ．D ．11．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，点00(2p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点（A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为（ ）A ．24y x =B ．28y x =C ．212y x =D ．216y x =12．已知函数21()(2)e x f x x x -=-，若当1x > 时，()10f x mx m -++≤有解，则m 的取值范围为（ ）A ．1m £B ．1m <-C ．1m >-D ．m 1≥二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在 ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若60A =o ，a bc =2，则sinBsinC =_______．14．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，点00(2p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点（A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为 ．15．平行四边形ABCD 中，△ABD 是腰长为2的等腰直角三角形，90ABD ∠=︒，现将△ABD 沿BD 折起，使二面角A BD C --大小为23π，若,,,A B C D 四点在同一球面上，则该球的表面积为_____． 16．若存在[]1,2a ∈，使得关于x 的方程22()()a a t x a x+-=有四个不等的实数根，则实数t 的取值范围是_______．三、解答题：（本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）记首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()12331nnn n S a +⋅=- ．（1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）若()29(1)log n n n b a =-⋅，求数列{}n b 的前2n 项和．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ，PB PD ⊥．（1）证明：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若PB PC =，E 为棱CD 的中点，90PEA ∠=︒，2BC =，求二面角B PA E --的余弦值．19．（本小题满分12分）某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为2：1．监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同．（1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过n （*n N ∈）次．在抽样结束时，已取到的黄色单车以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望．20．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的半焦距为c ，圆222:O x y c +=与椭圆C 有且仅有两个公共点，直线2y =与椭圆C 只有一个公共点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知动直线l 过椭圆C 的左焦点F ，且与椭圆C 分别交于,P Q 两点，试问：x 轴上是否存在定点R ，使得RP RQ ⋅u u u v u u u v为定值?若存在，求出该定值和点R 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数()(1)ln f x x x =-，3()ln eg x x x =--． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅰ）令()()()(0)h x mf x g x m =+>两个零点1212,()x x x x <，证明：121ex e x +>+．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的普通方程是πtan (π)2y x αα=<<，曲线1C 的参数方程是cos sin x a a y a ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程是2sin b ρθ=．（1）写出l 及1C 的极坐标方程； （2）已知12a =，1b =，l 与1C 交于,O M 两点，l 与2C 交于,O N 两点，求22||||||OM OM ON +的最大值．23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 已知函数()|3||1|f x x x =+-- ． （Ⅰ）解关于x 的不等式()1f x x +≥ ；（Ⅰ）若函数()f x 的最大值为M ，设0,0a b >>，且(1)(1)a b M ++=，求+a b 的最小值．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{|03}A x x =<<，{|1}B x x =≤，则A B =U （ ） A ．(,1]-∞ B ．(,3)-∞C ．(0,1]D ．(1,3)【答案】B【解析】Q 集合{|03}A x x =<<，{|1}B x x =≤，(){|3},3A B x x =<=-∞U ，故选B ． 2．设复数z 满足13iz z +=，则||z =（ ）A ．10B C D【答案】A【解析】13iz z +=，1131313101010i z i i +===+-，||10z =，故选A ． 3．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为x 甲、x 乙标准差分别为σ甲、σ乙，则( )A ．x x <甲乙，σσ<甲乙B ．x x <甲乙，σσ>甲乙C ．x x >甲乙，σσ<甲乙D ．x x >甲乙，σσ>甲乙【答案】C【解析】由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知x x >甲乙，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故σσ<甲乙．故选．4．从1，2，3，4，5这五个数字中随机选择两个不同的数字，则它们之和为偶数的概率为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】B【解析】从1，2，3，4，5这五个数字中，随机抽取两个不同的数字，基本事件总数n =C 52=10，这两个数字的和为偶数包含的基本事件个数m =C 22+C 32=4，∴这两个数字的和为偶数的概率为p =m n=410=0．4，故选B ．5．双曲线()2210mx ny mn +=<的渐近线于圆()2259x y -+=相切，且该双曲线过点P ⎛ ⎝⎭，则该双曲线的虚轴长为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8 【答案】D【解析】双曲线221(0)mx ny mn +=<0=． 圆22:(5)9E x y -+=的圆心(5,0)，半径3r =．Q 渐近线与圆22:(5)9E x y -+=相切，∴3=，即16||9||m n =，①该双曲线过点P ，45414n m ∴+=，② 解①②可得19n =，116m =-，双曲线221916y x -=，该双曲线的虚轴长为8，故选D ． 6．已知346log 15,log 20,log 30a b c ===，则( ) A ．a b c >> B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】A【解析】依题意，33334444log 15log 3log 51log 5,log 20log 4log 51log 5a b ==+=+==+=+，6666log 30log 6log 51log 5c ==+=+，由3log y x =，4log y x =，6log y x =的图象如图：可得346log 5log 5log 5>>，故a b c >>，故选A ．7．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1cos 2a C cb +=，22()12bc a +-=，则ABC V 的面积为（ ）A ．1BC ．2D ．【答案】B【解析】1cos 2a C c b +=Q ，由正弦定理得：1sin cos sin sin sin()2A C CB AC +==+， 1sin cos sin sin cos cos sin 2A C C A C A C ∴++=+，sin 0C ≠，解得1cos 2A =，且()0,A π∈，即3A π=，又22222cos 2312b c a bc bc A bc bc +-+=+==，4bc =，1sin 2ABC S bc A ∆==B ．8．函数ln ||cos ()sin x xf x x x⋅=+在[,0)(0,]ππ-U 的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为ln ||cos ()()sin x xf x f x x x⋅-=-=-+，所以()f x 为奇函数，关于原点对称，故排除A ，又因为()10f ±=，()02f π±=，()03f π>，()0f π<，故排除B 、C ，故选D ．9．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为点P 在正方形1111D C B A 上，且1,A C 到P 的距离分别为2,，则直线CP 与平面11BDD B 所成角的正切值为( )A B C ．12D ．13【答案】A【解析】易知AB =1C P ，在直角1CC P ∆中，可计算12C P ==；又1112,4A P A C ==，所以点P 是11A C 的中点；连接AC 与BD 交于点O ，易证AC ⊥平面11BDD B ，直线CP在平面11BDD B 内的射影是OP ，所以CPO ∠就是直线CP 与平面11BDD B 所成的角，在直角CPO ∆中，tan 2CO CPO PO ∠==．10．已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若方程()13f x =在区间()0,π内的解为()1212,x x x x <，则()12sin x x -=（ ）A ．13- B ．12-C ．D ． 【答案】D 【解析】242x k πππ-=+Q 382k x ππ∴=+，即函数()f x 的对称轴为382k x ππ=+，()13f x =Q 在区间()0,π内的解为()1212,x x x x <，12328x x π+∴=，2134x x π∴=-，()12sin x x ∴-113sin 2cos 244x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又因为12x x <，2134x x π=-，所以1388x ππ<<， 所以120,42x ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以1cos 243x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()12sin 3x x -=-，故选D ． 11．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F，点00(2p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点（A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为（ ）A ．24y x =B ．28y x =C ．212y x =D ．216y x =【答案】C【解析】抛物线C ：22(0)y px p =>，其焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程2p x =-，因为点(002p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线上一点，所以02pMF x =+，AB 所在直线2p x =， 设MD AB ⊥于D ，则02p MD x =-，因为5sin 7MFA ∠=，所以57MD MF =，即005272px p x -=+， 整理得03x p =，所以(3M p ，将M点代入到抛物线方程，得(223p p =⨯，0p >，解得6p =，所以抛物线方程为212y x =，故选C ．12．已知函数21()(2)e x f x x x -=-，若当1x > 时，()10f x mx m -++≤有解，则m 的取值范围为（ ）A ．1m £B ．1m <-C ．1m >-D ．m 1≥【答案】C【解析】由题意，函数21()(2)ex f x x x -=-，则导数21()(2)ex f x x -'=-，所以函数()f x 在上递减，在)+∞上递增，当2x >时，()0f x >，又由(1)1f =-，1f <-，(2)0f =，当1x > 时，()10f x mx m -++≤有解，即函数()y f x =和(1)1y m x =--的图象有交点，如图所示， 又因为在点(1,(1))f 的切线的斜率为(1)1f '=-，所以1m >-．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在 ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若60A =o ，a bc =2，则sinBsinC =_______． 【答案】34【解析】因为60A =o ，a bc =2，所以2sin sin sin A B C =，所以23(24sinBsinC ==，故答案为：34．14．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，点00(2p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点（A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为 ．【答案】212y x =【解析】抛物线C ：22(0)y px p =>，其焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程2p x =-，因为点(002p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线上一点，所以02p MF x =+，AB 所在直线2px =，设MD AB ⊥于D ，则02p MD x =-，因为5sin 7MFA ∠=，所以57MD MF =，即005272px p x -=+， 整理得03x p =，所以(3M p ，将M点代入到抛物线方程，得(223p p =⨯，0p >，解得6p =，所以抛物线方程为212y x =．15．平行四边形ABCD 中，△ABD 是腰长为2的等腰直角三角形，90ABD ∠=︒，现将△ABD 沿BD 折起，使二面角A BD C --大小为23π，若,,,A B C D 四点在同一球面上，则该球的表面积为_____． 【答案】20π【解析】由题意，取AD ，BC 的中点分别为12,O O ，过1O 作面ABD 的垂线与过2O 作面BCD 的垂线，两垂线交点O 即为所求外接球的球心，取BD 中点E ，连结12,O E O E ，则12O EO ∠即为二面角A BD C --的平面角，又由121O E O E ==，连接OE ，在Rt △1O OE中，则1OO =Rt △1O OA中，1O A ，得OAR OA ==，所以球面积为24S R =π=20π．16．若存在[]1,2a ∈，使得关于x 的方程22()()a a tx a x+-=有四个不等的实数根，则实数t 的取值范围是_______．【答案】( 【解析】由22()||a a t x a x +-=，得3223,0()(),0x ax x a a t x a x x ax x ⎧->+=-=⎨-+<⎩，令33,0(),0x ax x f x x ax x ⎧->=⎨-+<⎩，当0x >时，2()3f x x a '=-，当x ∈时，()0f x '<，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0f x '>， ()f x ∴在上为减函数，在⎫+∞⎪⎪⎭上为增函数； 当0x <上，2()3f x x ax '=-+，当(,x ∈-∞时，()0f x '<，当x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x ∴在(,-∞上为减函数，在⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上为增函数，则332()min f x f a a ==-=． 作出函数()f x 的图象，如图：由图可知，要是关于x 的方程22()||a a tx a x +-=有四个不等的实数根，则需2()y a a t =+与()y f x =的图象有四个不同交点，则322()0a a a t <+<，即存在[]1,2a ∈，有3229a t a a >+，令()3229ag a a a=+，则()322(1)'0a a g a a a -+…， ()g a ∴在[]1,2上为增函数，则()(1)min g a g ==，又0t <，∴实数t的取值范围是(，故答案为：(9-． 三、解答题：（本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）记首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()12331nnn n S a +⋅=- ．（1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）若()29(1)log n n n b a =-⋅，求数列{}n b 的前2n 项和．【解析】（1）依题意，11213n n nS a +⎛⎫=-⎪⎝⎭，1211213n n n S a +++⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 两式相减可得，()21111303n n n a a +++⎛⎫--= ⎪⎝⎭，故213n n a a ++=， 而1222S 3a =，故213a a =，故数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列． （2）由（1）可13,n n a -=所以()()2212991(1)log (1)log 3(1)(1)4nnn n n n b a n -=-⋅=-⋅=⋅-⋅-， 故2122221211(1)(22)(1)(21)(43)44n n n n b b n n n --⎡⎤+=⋅-⋅-+-⋅-=-⎣⎦， 记数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，则22111(15943)424n T n n n =+++⋯+-=-．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ，PB PD ⊥．（1）证明：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若PB PC =，E 为棱CD 的中点，90PEA ∠=︒，2BC =，求二面角B PA E --的余弦值． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ⊥BC ． ∵平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD =BC ，CD 平面ABCD ，∴CD ⊥平面PBC ，∴CD ⊥PB ．∵PB ⊥PD ，CD ∩PD =D ，CD 、PD 平面PCD ，∴PB ⊥平面PCD ．∵PB平面P AB ，∴平面P AB ⊥平面PCD ．（2）设BC 中点为O ，连接,PO OE ，,PB PC PO BC =∴⊥Q ，又面PBC ⊥面ABCD ，且面PBC I 面ABCD BC =，所以PO ⊥面ABCD ．以O 为坐标原点，OC u u u v的方向为x 轴正方向，OC u u u v 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．由（1）知PB ⊥平面PCD ，故PB ⊥112PC PO BC ∴==，设AB a =，可得()()()0,0,1,1,,0,1,,0,1,0,0,2a P E A a B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭所以1,,1,2,,0,22a a PE EA ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u uu v 由题得0PE EA =⋅u u u v u u u v，解得a =所以()()(),1,,BA PA EA ==--=-u u u v u u u v u u u v设(),,n x y z =r 是平面PAB 的法向量，则00n PA n BA ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r，即00x z ⎧-+-=⎪⎨=⎪⎩，可取()1,0,1n =-r ．设(),,m x y z r =是平面PAE 的法向量，则00m PA m EA ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r，即020x z x ⎧-+-=⎪⎨-+=⎪⎩，可取()m =．则cos ,6n m n m n m ⋅==-r r r r r r ，所以二面角A PB C --的余弦值为-．19．（本小题满分12分）某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为2：1．监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同．（1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过n （*n N ∈）次．在抽样结束时，已取到的黄色单车以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望． 【解析】(I) 因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为13，用X 表示“抽取的5辆单车中蓝颜色单车的个数”，则X 服从二项分布，即X ～153B （，），所以抽取的5辆单车中有2辆是蓝颜色单车的概率3225218033243P C ＝＝⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (2) ξ的可能取值为：0，1，2，…，n ．()103P ξ==，()2121339P ξ==⨯=，()221233P ξ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，……，()121133n P n ξ-⎛⎫=-=⋅⎪⎝⎭， ()23nP n ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭．所以ξ的分布列为：ξ的数学期望为：()2312121212121231333333333n nE n n L ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅++-⨯⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， (1) ()()2311221212121212213333333333n nn E n n n ξ-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⨯⋅++-⨯⋅+-⨯⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ． (2)(1)－(2)得：()2311121212121221213333333333333n n n n E n n n ξ-+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅+⨯--⨯⋅-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L2311212121212133333333333n nE ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ， 2312222233333n n E ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 22133213n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=- 2213n ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以2223nE ξ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．20．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的半焦距为c ，圆222:O x y c +=与椭圆C 有且仅有两个公共点，直线2y =与椭圆C 只有一个公共点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知动直线l 过椭圆C 的左焦点F ，且与椭圆C 分别交于,P Q 两点，试问：x 轴上是否存在定点R ，使得RP RQ ⋅u u u v u u u v为定值?若存在，求出该定值和点R 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22184x y +=（2）在x 轴上存在点5,02R ⎛-⎫ ⎪⎝⎭，使得·RP RQ u u u v u u u v 为定值74- 【解析】(1)依题意，得2c b ==，则222448a b c =+=+=，故椭圆的标准方程为22184x y +=．()2①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()2y k x =+，代人椭圆C 的方程，可得()2222218880k k x x k +++-=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则2122821k x x k -+=+，21228821k x x k -=+， 设(),0R m ，则()()1122,,RP RQ x m y x m y =--u u u r u u u rg g()()1212x m x m y y =--+=()()()122112224x m x k x x x m x +--+++⎡⎤⎣⎦()()22222228288421211k k k m k m k k k --++=+-++()2222284821m m k m k +++-=+，若()2222284821m m k m k +++-+为定值，则22812842m m m -=++，解得52m =-， 此时()222228487214mm k m k +++-=-+，R 点的坐标为5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭．②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =-，代人22184x y +=，得2x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩不妨设((,2,P Q --，若5,02R ⎛-⎫ ⎪⎝⎭，则11,,22RP RQ ⎛⎛== ⎝⎝u u u r u u u r ，74RP RQ =-u u ur u u u r g ．综上所述，在x 轴上存在点5,02R ⎛-⎫⎪⎝⎭，使得RP RQ u u u r u u u r g 为定值74-．21．（本小题满分12分）已知函数()(1)ln f x x x =-，3()ln eg x x x =--． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅰ）令()()()(0)h x mf x g x m =+>两个零点1212,()x x x x <，证明：121ex e x +>+． 【解析】（Ⅰ）由题意，函数()(1)ln f x x x =-，则1()ln 1f x x x=+-'，且()01f '=， 当01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当1x ≥时，()0f x '≥，函数()f x 单调递增；所以函数()f x 在(0,1)上单调递减，在[1,)+∞上单调递增． （Ⅰ）由3()(1)ln ln h x m x x x x e=-+--有两个零点， 由11()(1ln )1h x m x x x-'=++-且0m >可知 当01x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减； 当1x ≥时，()0h x '≥，函数()h x 单调增；即()h x 的最小值为3(1)10h e=-<， 因此当1x e =时，1113(1)2()(1)(1)(1)0m e e h m e e e e e-+-=--+---=>，可知()h x 在1(,1)e 上存在一个零点；当x e =时，3()(1)10h e m e e e=-+-->，可知()h x 在(1,)e 上也存在一个零点， 因此211x x e e -<-，即121x e x e+>+．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的普通方程是πtan (π)2y x αα=<<，曲线1C 的参数方程是cos sin x a a y a ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程是2sin b ρθ=．（1）写出l 及1C 的极坐标方程； （2）已知12a =，1b =，l 与1C 交于,O M 两点，l 与2C 交于,O N 两点，求22||||||OM OM ON +的最大值．【解析】（1）把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入tan y x α=得πtan tan (π)2θαα=<<， 所以l 的极坐标方程是π(,π)2θαρα=∈<<R ， 1C 的普通方程是2220x y ax +-=，其极坐标方程是2cos a ρθ=．（2）1C ：cos ρθ=，2C ：2sin ρθ=，θα=分别代入1C ，2C 得||cos OM α=-，||2sin ON α=．所以22π2||||||2cos 2cos sin 1cos 2sin 22)14OM OM ON αααααα+=-=+-=-+． 因为ππ2α<<，所以7ππ3π2444α-<-<-，则当7π8α=时，π3π242α-=-πsin(2)14α-+1，所以22||||||OM OM ON +1． 23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 已知函数()|3||1|f x x x =+-- ． （Ⅰ）解关于x 的不等式()1f x x +≥ ；（Ⅰ）若函数()f x 的最大值为M ，设0,0a b >>，且(1)(1)a b M ++=，求+a b 的最小值．【解析】（Ⅰ）由题意(3)(1),34,3()(3)(1),3122,31(3)(1),14,1x x x x f x x x x x x x x x x ----<--<-⎧⎧⎪⎪=+---≤≤=+-≤≤⎨⎨⎪⎪+-->>⎩⎩，21 当3x <-时，41x -+≥，可得5x ≤-，即5x ≤-；当31x -≤≤时，221x x ++≥，可得1x ≥-，即11x -≤≤； 当1x >时，41x +≥，可得3x ≤，即13x <≤．综上，不等式()1f x x +≥的解集为(,5][1,3]-∞--U ．（Ⅰ）由（Ⅰ）可得函数()f x 的最大值4M =，且14ab a b +++=， 即23()()2a ba b ab +-+=≤，当且仅当a b =时“=”成立，可得2(2)16a b ++≥，即2a b +≥，因此+a b 的最小值为2．。
2020年高考理科数学模拟试题含答案及解析5套)
绝密 ★ 启用前2020年高考模拟试题（一）理科数学时间：120分钟 分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a ，b 都是实数，那么“22a b>”是“22a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．抛物线22(0)x py p =>的焦点坐标为（ ）A ．,02p ⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,08p ⎛⎫⎪⎝⎭C ．0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8p ⎛⎫ ⎪⎝⎭此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号3．十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，则行车路线共有（ ） A ．24种B ．16种C ．12种D ．10种4．设x ，y 满足约束条件36020 0,0x y x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩---≤≥≥≥，则目标函数2z x y =-+的最小值为（ ）A ．4-B ．2-C ．0D ．25．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为（ ）A ．5B ．34C ．41D ．526． ()()()()sin ,00,xf x x x=∈-ππU 大致的图象是（ ） A ． B ． C ． D ．7．函数()sin cos (0)f x x x ωωω=->在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值不可能为（ ）A ．14B ．15C ．12D ．348．运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数ay x =，()0,x ∈+∞是增函数的概率为（ ）A ．35B ．45C ．34D ．37开始输出y结束是否3x =-3x ≤22y x x=+1x x =+9．已知A ，B 是函数2xy =的图象上的相异两点，若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（ ） A ．(),1-∞-B ．(),2-∞-C ．(),3-∞-D ．(),4-∞-10．在四面体ABCD 中，若AB CD ==，2AC BD ==，AD BC ==体ABCD 的外接球的表面积为（ ） A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π11．设1x =是函数()()32121n n n f x a x a x a x n +++=--+∈N 的极值点，数列{}n a 满足11a =，22a =，21log n n b a +=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018b b b b b b ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦L =（ ） A ．2017B ．2018C ．2019D ．202012．已知函数()()e exx af x a =+∈R 在区间[]0,1上单调递增，则实数a 的取值范围（ ） A ．()1,1- B ．()1,-+∞ C ．[]1,1-D ．(]0,+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13．命题“00x ∃>，20020x mx +->”的否定是__________．14．在ABC △中，角B 2π3C =，BC =，则AB =__________．15．抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且满足4AFBF =，点O 为原点，则AOF △的面积为__________．16．已知函数()()2cos 2cos 0222x xxf x ωωωω=+>的周期为2π3，当π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，函数()()g x f x m=+恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是__________．三、解答题：共70分。
2020年高考数学(理)模拟试题(新课标Ⅰ卷)(解析版)
秘密★启用前2020年普通高等学校统一招生考试终极押题卷（全国新课标Ⅰ）理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()M P SB ．()M P SC ．()U MP C SD ．()U MP C S【答案】C【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可．【解析】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是U C S 的子集，则阴影部分所表示的集合是()U MP C S 故选：C ．【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．2. 在复平面内，复数21z i=-对应的点到直线1y x =+的距离是( )A ．12B ．22C ．2D ．1【答案】B 【解析】22(1)11(1)(1)i i i i i +==+--+ 所以复数21i -对应的点为(1,1)，点(1,1)到直线y ＝x ＋1的距离为＝221112211-+=+，故选B. 3. 2.5PM 是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即 2.5PM 日均值在35g μ/3m 以下空气质量为一级，在3575gg μμ/3m 空气量为二级，超过75g μ/3m 为超标．如图是某地5月1日至10日的 2.5PM （单位：g μ/3m )的日均值折线图，则下列说法不正确的是（ ）A. 这天中有天空气质量为一级B. 从日到日 2.5PM 日均值逐渐降低C. 这天中 2.5PM 日均值的中位数是D. 这天中 2.5PM 日均值最高的是5月日【答案】C【分析】认真观察题中所给的折线图，对照选项逐一分析，求得结果.【解析】这10天中第一天，第三天和第四天共3天空气质量为一级，所以A 正确； 从图可知从日到日日均值逐渐降低，所以B 正确； 从图可知，这天中日均值最高的是5月日，所以D 正确； 由图可知，这天中日均值的中位数是，所以C 不正确；故选C.【点睛】该题考查的是有关利用题中所给的折线图，描述对应变量所满足的特征，在解题的过程中，需要逐一对选项进行分析，正确理解题意是解题的关键.4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．2π3B ．4π3C ．2πD ．25π【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体由两个同底的圆锥拼接而成，圆锥的底面半径1r =，高2h =，所以该几何体的体积为()214π2π1233V =⨯⨯⨯⨯=，故选B ．5．下列函数中同时具有性质:“①最小正周期是π,②图象关于π3x =对称,③在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数”的函数是( )A. πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B. πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. πsin 26x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由①最小正周期是π=2ω⇒，排除C,由②图象关于π3x =对称，当π3x =时，函数取得最大值或最小值，排除D,由③在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，对于A,,,2,,sin(2),63622663x x y x ππππππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∈-∴-∈-∴=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦在上为增函数，满足条件.对于B,[],,20,,cos(2),633363x x y x πππππππ⎡⎤⎡⎤∈-∴+∈∴=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦在上为减函数，不满足条件.故选A.6. 执行下面的程序框图，如果输入1a =，1b =，则输出的S =（ ）A ．7B ．20C ．22D ．54【答案】B 【解析】1,1,0,0,2,2,3,2,7,5,8,4,20,13,21,620.a b s k a b k s a b k a b k =================初始值第一次循环:s 第二次循环:第三次循环:s ，输出s故选：B7. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,+∞上单调递增，则（ ）A ．()()()0.633log 132f f f -<-<B ．()()()0.6332log 13f f f -<<- C ．()()()0.632log 133f f f <-<- D ．()()()0.6323log 13f f f <-<【答案】C【解析】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=，有0.63322log 13log 273<<<=，又由()f x 在()0,+∞上单调递增，则有()()()0.632log 133f f f <-<-，故选C ．8.多项式()834132x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为（ ）A ．1280-B ．4864C ．4864-D ．1280【答案】A【解析】根据二项式的展开式，可以得到第一个括号里出33x 项，第二个括号里出1x项，或者第一个括号里出4x，第二个括号里出21x ，具体为()231742688C C 11322x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦，化简得到21280x -，故选A ．9．在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若27b =，3c =，2B C =，则cos2C 的值为（ ） A ．73B ．59C ．49D ．74【答案】B【解析】由正弦定理可得：sin sin b cB C=，即sin sin 22sin cos 2772cos cos sin sin sin 33b B C C C C C c C C C =====⇒=，∴275cos22cos 12199C C =-=⨯-=，故选B ．10．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若126PF PF a +=，且12PF F △的最小内角为30︒，则C 的离心率为（ ）A ．2B ．32C ．3D ．62【答案】C【解析】因为1F ，2F 是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上一点，且满足126PF PF a +=， 不妨设P 是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知122PF PF a -=， 所以122F F c =，14PF a =，22PF a =，a c <，212PF F F ∴<，2PF ∴为12PF F △最小边，12PF F ∴△的最小内角1230PF F ∠=︒，根据余弦定理， 2222121121122cos PF F F PF F F PF PF F =+-∠，即222344162242a c a c a =+-⨯⨯⨯， 222330c ca a ∴-+=，3c a ∴=，所以3ce a==，故选C ． 11. 某人5次上班图中所花的时间（单位：分钟）分别为,,9,10,11x y ，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x y -=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】这是一道最新数学素养考题的体现，据题意有2220(10)(10)8x y x y +=⎧⎨-+-=⎩，按一般同学的常规思路解出,x y ，导致运算量大而出错，其实由点到直线的距离公式知：x y -=22x y -⨯代表直线20x y +=与圆22(10)(10)8x y -+-=的交点到直线0x y -=的距离的2倍，所以x y -=2222242x y r -==⨯=。
2020年高考新课标(全国卷1)理科数学模拟试题(附参考答案)
2020年高考新课标数学（理科）模拟试题（全国卷1）考试时间：120分钟 满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、以下判断正确的个数是（ ）①相关系数r r ,值越小，变量之间的相关性越强；②命题“存在01,2<-+∈x x R x ”的否定是“不存在01,2≥-+∈x x R x ”；③“q p ∨”为真是“p ”为假的必要不充分条件；④若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程是08.023.1ˆ+=x y. A ．4 B ．2 C.3 D ．12、已知集合{}|12A x x =-<，12|log 1B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，则AB =A ．{}|04x x <<B ．{}|22x x -<<C ．{}|02x x <<D ．{}|13x x << 3、设,a b 是非零向量，则“存在实数λ，使得=λa b ”是“||||||+=+a b a b ”的A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4、 已知正三角形ABC 的顶点()()3,1,1,1B A ，顶点C 在第一象限，若点()y x ,在ABC ∆的内部，则y x z +-=的取值范围是 A.()2,31- B.()2,0 C.()2,13- D.()31,0+5、在如图的程序框图中，()i f x '为()i f x 的导函数，若0()sin f x x =，则输出的结果是A ．sin xB ．cos xC ．sin x -D ．cos x - 6、使函数)2cos()2sin(3)(θθ+++=x x x f 是偶函数，且在]4,0[π上是减函数的θ的一个值是 A ．6π B ．3π C ．34π D ．67π7、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足121a a ==，21n n S a +=-，则下列命题错误的是( ) A.21n n n a a a ++=+B.13599100a a a a a ++++=…C.2469899a a a a a ++++=…D.12398100100S S S S S ++++=-… 8、如图阴影部分1C 是曲线x y =与x y =所围成的封闭图形，A 是两曲线在第一象限的交点，以原点O 为圆心，OA 为半径作圆，取圆的第一象限的扇形OCAB 部分图形为2C ，在2C 内随机选取m 个点，落在1C 内的点有n 个，则运用随机模拟的方法得到的π的近似值 A 、m n 23 B 、n m 3 C 、m n 3 D 、nm329、某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：① 三棱锥的体积为16② 三棱锥的四个面全是直角三角形,③ 3所有正确的说法 A 、① B 、①② C 、②③ D 、①③10、已知双曲线)0,(12222＞b a by a x =-的左、右顶点分别为B A ,,右焦点为F ,过点F 且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于N M ,两点,P 为直线l 上的一点，当APB ∆的外接圆面积达到最小值时,点P 恰好在M (或N )处,则双曲线的离心率为A.2B.3C.2D.511、将边长为5的菱形ABCD 沿对角线AC 折起，顶点B 移动至B 处，在以点B '，A ，C ，为顶点的四面体AB 'CD 中，棱AC 、B 'D 的中点分别为E 、F ，若AC ＝6，且四面体AB 'CD 的外接球球心落在四面体内部，则线段EF 长度的取值范围为（ ）A ．14,232⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ B ．14,42⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．()3,23D ．()3,412、已知函数()21ln (1)(0)2x ax a f a x x a =-+-+>的值域与函数()()f f x 的值域相同，则a 的取值范围为（ ） A. (]0,1B. ()1,+∞C. 40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020高考理科数学仿真模拟卷01(解析版)
精品文档2020 年 4 月开学摸底考（新课标卷）高三数学（理）（考试时间：120 分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．测试范围：高中全部内容．一、选择题（本大题共12 小题，每小题 5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合A2, 1,0,1,2 ，B x | y x ，则A I B（）A．1,2B．0,1,2C．2,1D．2, 1,02．已知复数z a i a R 是纯虚数，则a的值为（）2i11C．2D．2A ．B．223．已知 a 3ln2， b2ln3 ， c3ln 2 ，则下列选项正确的是（）A ．B．C．D．4．已知函数f (x)1），则 y= f (x) 的图象大致为（x ln x 1A ．B ．C ．D ．uuuvuuuv1uuuvuuuvuuuv ，ABAC ，则（）5．在 ABC中， D 为 BC 上一点， E 是 AD 的中点，若 BDDC CE31B ．17D ．7A ．3C ．6366．已知数列 { a n } 满足 a 1 1， a 21 ，若 a n a n 1 2a n 1 3a n 1an 1n 2, nN * ，则数列 { a n } 的通3项 a n（）1B ．1C ．1D ．1 A ． n12n 12n 1 123n 17．已知函数f ( x) 2sin(x)(06,) 的图象经过点 ( , 2) 和 ( 2, 2) .若函数263g( x)f ( x) m 在区间 [,0] 上有唯一零点，则实数 m 的取值范围是（ ）2A ． ( 1,1]B ． { 1}U(1,1]2 2 C ． (1,1]D ． { 2} U(1,1]28．已知 A3,2 ，若点 P 是抛物线 y 28x 上任意一点，点 Q 是圆 (x2) 2 y 2 1上任意一点，则PAPQ 的最小值为 ()A ． 3B ． 4C ． 5D ． 69．如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为A ．B．C．D．10．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x1, x2 , x3, x4，大圆盘上所写的实数分别记为y1, y2 , y3 , y4,如图所示 .将小圆盘逆时针旋转i i1,2,3,4次，每次转动90，记T i i 1,2,3,4 为转动 i次后各区域内两数乘积之和，例如 T1x1 y2x2 y3x3 y4x4 y1.若 x1 +x2+x3x40 ， y1 +y2 +y3 +y40 ，则以下结论正确的是A ．T1, T2,T3,T4中至少有一个为正数B．T1,T2, T3,T4中至少有一个为负数C．T1, T2,T3,T4中至多有一个为正数D．T1,T2, T3,T4中至多有一个为负数11．已知集合A={1 ， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9），在集合 A 中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为，现将组成的三个数字按从小到大排成的三位数记为（），按从大到小排成的三位数记为D（）（例如＝219，则（）＝129，D（）＝921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，则输出 b 的值为（）A ． 792B． 693C． 594D． 49512．如下图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E、F分别为棱BB1， CC1的中点，点 O 为上底面的中心，过 E、 F、 O 三点的平面把正方体分为两部分，其中含 A1的部分为 V1，不含 A1的部分为 V2，连接 A1和 V2的任一点 M ，设A1M与平面A1B1C1D1所成角为，则 sin 的最大值为（）．A ．2B．2 5C．2 6D．2 62556二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13．已知函数 f x ln 1 x2x 1 ， f a 4 ，则 f a________．14．已知随机变量X 服从正态分布N 2,1 ，若P X a 2 P X 2a 3 ，则a__________ ．精品文档15．已知双曲线x2y2中， A1 , A2是左、右顶点， F 是右焦点，B是虚轴的上端点．若在2b2 1(a 0,b 0)a线段 BF 上（不含端点）存在不同的两点P i (i 1,2)uuuuv uuuuv，使得 PA i 1PA i 2 0 ，则双曲线离心率的取值范围是____________.16．四面体 A BCD 中，AB底面 BCD ，AB BD 2 ，CB CD 1 ，则四面体A BCD 的外接球的表面积为______三、解答题（本大题共 6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1n 1满足 b n 2n a n.17（．本小题满分12 分）已知数列a n的前n项和S n a n 2 n N *，数列b n2（Ⅰ）求证：数列b n是等差数列，并求数列a n的通项公式；（Ⅱ）设 c nn n1c n的前n项和为T n，求满足T n124n N *的 n 的最大nn a n，数列2n 1 a n 163值 .18．（本小题满分12 分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买 2 台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000 元，在延保的两年内可免费维修 2 次，超过2 次每次收取维修费2000 元；方案二：交纳延保金10000 元，在延保的两年内可免费维修 4 次，超过 4 次每次收取维修费1000 元.某医院准备一次性购买 2 台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50 台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0123台数5102015以这 50 台机器维修次数的频率代替 1 台机器维修次数发生的概率，记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（1）求 X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？19．（本小题满分 12分）如图，在四棱柱ABCD A1 B1C1 D1中，侧棱A1 A 底面ABCD，AB AC ，AB 1，AC AA12，AD CD5，且点 M 和N分别为B1C和D1D 的中点.（1）求证：MN / /平面ABCD；（ 2）求二面角D1AC B1的正弦值；（ 3）设E为棱A1B1上的点，若直线NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为1，求线段A1E的长. 320．（本小题满分12 分）已知 A x1 , y1 , B x2 , y2是抛物线 C : x2 2 py p 0 上不同两点.（ 1）设直线l : y py x 1，且直线 l : yp与 y 轴交于点M，若A, B两点所在的直线方程为恰好平44分AFB，求抛物线 C 的标准方程.（ 2）若直线AB与x轴交于点P，与y轴的正半轴交于点Q，且y1 y2p2，是否存在直线AB ，使得4113PA PB PQ？若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分12 分）已知函数 f x ln x 1 x2ax a R ， g x e x3 x2x .22（1）讨论f x的单调性；（ 2）定义：对于函数 f x ，若存在x0，使f x0x0成立，则称x0为函数f x 的不动点.如果函数F x f x g x 存在不动点，求实数 a 的取值范围.请考生在第22、 23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10 分）选修4-4：坐标系与参数方程x 3t x 2 2cos 在直角坐标系 xOy 中，直线l的参数方程为（ t 为参数），曲线 C1的参数方程为2siny3t y（为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为 2 3cos2sin．（1）分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设直线l交曲线C1于O，A两点，交曲线C2于O，B两点，求| AB |的长．23．（本小题满分10 分）选修4-5：不等式选讲已知 a 0， b0， c 0 设函数 f (x)x b x c a ， x R（ I ）若a b c1，求不等式 f ( x)5的解集；（ II ）若函数 f(x) 的最小值为1，证明：149（ a b c ）a b b c18c a一、选择题（本大题共12 小题，每小题 5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合A2,1,0,1,2 ，B x | y x ，则A I B（）A．1,2B．0,1,2C．2,1D．2,1,0【答案】 D【解析】因为A2, 1,0,1,2, B x x0，所以 AI B2,1,0.故选 D.2．已知复数z a i a R是纯虚数，则 a 的值为（）2i1B．1C．2D．2A ．2 2【答案】 A【解析】 Q z a i a i2i2a 1 2ai 是纯虚数2i2i2i552a151，解得： a2a 本题正确选项： A0253．已知 a 3ln2 ， b 2ln3， c3ln 2 ，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．【答案】 D【解析】，，，∵ 6π＞0，∴ a， b， c 的大小比较可以转化为的大小比较．设 f（ x），则f′（x），当 x＝ e 时， f′（ x）＝ 0，当 x＞ e 时， f′（x）＞ 0，当 0＜ x＜ e 时， f′（ x）＜ 0∴ f （x）在（ e， +∞）上， f（ x）单调递减，∵ e＜ 3＜π＜ 4∴，∴ b＞c＞a，故选：D．14．已知函数 f (x)，则y= f (x)的图象大致为（）x ln x1A．B．C．D．【答案】 A【解析】由于f11220，排除 B 选项.2112ln 1 ln 222由于 f e2, f e22， f e f e2，函数单调递减，排除C选项.e2e23由于 f e10021010 ，排除D选项.故选A.e100uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv 5．在ABC中，D为BC上一点，E是AD的中点，若BDDC，CE1 AB AC ，则31B．17D．7A ．3C．636【答案】 B 精品文档（）精品文档uuur 1 uuur uuuruuur1 uuur1 uuur 1 uuur1 uuur【解析】 CE 3 CB CAAC3 CB3 CA3 CD 3CA ，因为 E 是 AD 的中点， 所以1 1 ， 1 1 ，解得1 , 5 ， 1 .故选 B.3 2 3 22636．已知数列 { a n } 满足 a 1 1， a 21 ，若 a nan 12a n 13a n 1an 1n 2, n N * ，则数列 { a n } 的通3项 a n（ ）1111A．2n 1B ．2n 1C ．3n 1D ．2n 1 1【答案】 B【解析】 a n a n 12a n a n 1 3a n 1 a n 1 , 1 2 3 , 1 1 2(11 ) ,an 1an 1a nan 1a na nan 111则an 1a n 2 ,数列 11 是首项为 2，公比为2 的等比数列，11a na n 1a n an 11122n 12n ，利用叠加法，a n 1 a n1 ( 1 1 ) ( 1 1 ) ...... ( 1 1 ) 1 222 .......2n 1 ，a 1a 2a 1a 3a 2a n an 11 2n 1 2n 1 ，则 a n 1 1 .选 B.a n 2 12n7．已知函数f ( x)2sin( x)(06,) 的图象经过点 ( ,2)和(2, 2) .若函数2 63g( x)f ( x) m 在区间 [2 ,0] 上有唯一零点，则实数m 的取值范围是（）A ． ( 1,1]B ． { 1}U(1,1]2 2C ． (1,1]D ． { 2} U( 1,1]【答案】 D【解析】由题意得21N，得T，故24k2，因为0 6 ，36k T ，kT22k 1k N ，所以2.由f62sin32 ，得2k，因为2，故，所以326f x2sin2x，从而当 x,052x，令 t2x，则由题意得6时，626662sint m 0在 t 5,上有唯一解，故由正弦函数图象可得m1或1m16222，解得62m21,1故选D.8．已知A 3,2，若点P是抛物线y28x 上任意一点，点Q 是圆(x2) 2y21上任意一点，则PA PQ 的最小值为()A ． 3B． 4C． 5D． 6【答案】 B【解析】抛物线 y28x 的焦点F 2,0，准线l：x 2 ，圆 (x 2) 2y21的圆心为F 2,0，半径r 1 ，过点 P 作PB垂直准线l，垂足为 B ，由抛物线的定义可知PB PF |，则 PA PQ PA PF r PA PB1，当 A,P,B三点共线时PA PB 取最小值 3 2 5，PA PQ PA PB 1 5 1 4．即有 PA PQ 取得最小值4，故选 B．9．如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为A．B．C．D．【答案】 D【解析】提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设 5 个区域依次为,分 4 步进行分析：，对于区域，有 5 种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有 4 种颜色可选；，对于区域，与区域相邻，有 3 种颜色可选；，对于区域，若与颜色相同，区域有3种颜色可选，若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选，则区域有种选择，则不同的涂色方案有种，其中，区域涂色不相同的情况有：，对于区域，有 5 种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有 4 种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有 2 种颜色可选；，对于区域，若与颜色相同，区域有2种颜色可选，若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有1种颜色可选，则区域有种选择，不同的涂色方案有种，区域涂色不相同的概率为,故选 D．10．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x1, x2 , x3 , x4，大圆盘上所写的实数分别记为y1, y2 , y3 , y4,如图所示 .将小圆盘逆时针旋转i i 1,2,3,4 次，每次转动90，记 T i i 1,2,3,4为转动i次后各区域内两数乘积之和，例如T1x1 y2x2 y3x3 y4x4 y1.若 x1 +x2 +x3x40 ，y1 +y2 +y3 +y40 ，则以下结论正确的是A ．T1, T2,T3,T4中至少有一个为正数B．T1,T2, T3,T4中至少有一个为负数C．T1, T2,T3,T4中至多有一个为正数D．T1,T2, T3,T4中至多有一个为负数【答案】 A【解析】根据题意可知：（x1+ x2+x3x4）（ y1 +y2 +y3 +y4）>0,又（ x1 +x2 + x3x4）（ y1+y2 +y3 +y4）去掉括号即得：（ x1 +x2 +x3x4）（ y1 +y2 +y3 +y4）= T1T2T3T4>0,所以可知 T1 ,T2 ,T3, T4中至少有一个为正数，故选A11．已知集合A={1 ， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9），在集合 A 中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为，现将组成的三个数字按从小到大排成的三位数记为（），按从大到小排成的三位数记为D（）（例如＝219，则（）＝129，D（）＝921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，则输出 b 的值为（）A ． 792B． 693C． 594D． 495【答案】 D【解析】试题分析： A，如果输出的值为792，则，不满足题意．B，如果输出的值为693，则，，不满足题意．C，如果输出的值为594，则，不满足题意．D ，如果输出的值为495，则，，满足题意．故选D．12．如下图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E、F分别为棱BB1， CC1的中点，点 O 为上底面的中心，过 E、 F、 O 三点的平面把正方体分为两部分，其中含 A1的部分为 V1，不含A1的部分为 V2，连接 A1和 V2的任一点 M ，设A1M与平面 A1 B1C1D1所成角为，则 sin 的最大值为（）．A ．2B．2 5C．2 6D．2 62556【答案】 B【解析】连接EF，因为 EF//面 ABCD, 所以过 EFO 的平面与平面ABCD 的交线一定是过点O且与EF平行的直线，过点O 作 GH //BC 交 CD 于点 G,交 AB 于 H 点，则 GH //EF,连接 EH，FG,则平行四边形 EFGH 为截面，则五棱柱 A1B1 EHA D1C1 FGD 为 V1，三棱柱EBH -FCG为 V2，设M点为 V2的任一点，过M 点作底面 A1 B1C1D1的垂线，垂足为N，连接A1N ,则MA1N即为A1M与平面A1B1C1D1所成的角，所以MN,要使α的正弦最大，必须 MN 最大，A1M最小，当点 M 与点 H 重合时符合MA1 N =α，因为sinα=A1M题意，故 sin α的最大值为MN=HN=25,故选B A1M A1H5二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13．已知函数 f x ln 1 x2x 1 ， f a 4 ，则 f a________．【答案】2【解析】因为 f x f x ln 1 x2x 1 ln 1 x2x 1 ln 1 x2x22 2 ，f a f a 2 ，且 f a 4 ，则 f a 2 .故答案为-214．已知随机变量X 服从正态分布N 2,1 ，若P X a 2 P X 2a 3 ，则a__________ ．【答案】 1【解析】由正态分布的性质可得正态分布的图像对称轴为X 2 ，a22a3a 1.故答案为1．结合题意有：22,15．已知双曲线x2y20,b 0)中， A1 , A2是左、右顶点， F 是右焦点，B是虚轴的上端点．若在22 1(aa b线段 BF 上（不含端点）存在不同的两点P (i 1,2)uuuuv uuuuv ，使得PA i 1 PA i 2 0 ，则双曲线离心率的取值范围是i____________.【答案】2，512【解析】设 c 为半焦距，则F c,0 ，又 B 0,b ，所以 BF : bxcy bc 0，uuuur uuuur以 A 1 A 2 为直径的圆的方程为e O ： x2y 2 a 2 ，因为 PA i 1 PA i 2 0 ，i1,2 ，所以 e O 与线段 BF 有两个交点（不含端点） ，bcac 4 3a 2c 2a4e 4 3e 21 0 所以b 2c 2即2a 2，故，c 2e 2 2b a解得 2 e5 1.故填2，5 1.2216．四面体A BCD 中， AB 底面 BCD ， AB BD2 ， CB CD 1 ，则四面体A BCD 的外接球的表面积为 ______【答案】 4【解析】如图，在四面体A BCD 中， AB 底面 BCD ， ABBD 2， CB CD 1，可得BCD 90 ，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1， 1，2 ，则长方体的对角线长为1212 ( 2) 2 2，则三棱锥 A BCD 的外接球的半径为 1．其表面积为 412 4 ．故答案为： 4 ．三、解答题（本大题共6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分 12 分）1 n 1b n 满足 b n 2n a n .已知数列a n 的前 n 项和 S na n2 n N * ，数列2（Ⅰ）求证：数列b n 是等差数列，并求数列a n 的通项公式；（Ⅱ）设 c nn n1c n 的前 n 项和为 T n ，求满足 T n124 n N * 的 n 的最大nn a n，数列 2 n 1 a n 163值 .n 1【解析】 (Ⅰ ) Q S n a n12 n N ，2n 21n 1当 n2时，S n 1 12 ，a nS nS n 1anan 1an 12，2化为 2n a n 2n 1 a n 11，Q b n2n a n , b nb n 1 1 ，即当 n 2时 , b n b n 1 1 ，令 n 1 ,可得 Sa 1 2 a ,即 1.a 11112又 b 1 2a 1 1 , 数列 b n 是首项和公差均为 1 的等差数列 .于是 b n1 n 1 1 nna nn2 a n ，n .2( Ⅱ)由( Ⅰ )可得c nn n 12 nn n nn 12n 12n 12n 1112n 1 2n 1 1 2,2n 1 2n 1 1T n1111 111242 11 23 1...1 2n 1 12 1,221222n2n 1 163可得 2n 164 26 ， n 5 ，因为 n 是自然数，所以 n 的最大值为 4.18．（本小题满分 12 分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2 台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金 7000 元，在延保的两年内可免费维修2 次，超过 2 次每次收取维修费2000 元；方案二：交纳延保金 10000 元，在延保的两年内可免费维修4 次，超过 4 次每次收取维修费 1000元 . 某医院准备一次性购买2 台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0 1 2 3台数5 10 20 15以这 50 台机器维修次数的频率代替1 台机器维修次数发生的概率， 记 X 表示这2 台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（ 1）求 X 的分布列；（ 2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？【解析】（Ⅰ） X 所有可能的取值为0，1， 2，3， 4，5， 6，P X 0 1 11， P X11 1 21，PX211212 3 ，1010100105255551025P X 3 1 3212211，P X 42 2 3127 ，101055505510525P X 52326， P X339，5106101002510∴ X 的分布列为X012345611311769 P2525502525100 100（Ⅱ）选择延保一，所需费用Y1元的分布列为：Y170009000110001300015000P 1711769 100502525100EY117700011900071100061300091500010720（元）.100502525100选择延保二，所需费用Y2元的分布列为：Y2100001100012000P 6769 10025100EY26710000611000910420 （元）. 1002512000100∵ EY EY，∴该医院选择延保方案二较合算.19．（本小题满分12 分）如图，在四棱柱ABCD A1 B1C1 D1中，侧棱 A1 A底面ABCD，AB AC ，AB 1，AC AA12， AD CD5，且点M和N分别为B1C和D1D的中点 .（1）求证：MN / /平面ABCD；（ 2）求二面角 D1AC B1的正弦值；（ 3）设 E 为棱 A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为1，求线段 A1E 的长. 3【解析】如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A(0,0,0),B(0,1,0), C (2,0,0), D (1, 2,0) ，又因为 M , N 分别为B1C和 D1D 的中点，得M 1,1,1 , N (1, 2,1). 2r uuuur5,0 ，（Ⅰ）证明：依题意，可得n (0,0,1) 为平面ABCD的一个法向量，MN0,2 uuuur r由此可得，MN n 0，又因为直线 MN 平面 ABCD ，所以 MN / / 平面 ABCD精品文档urur uuuurn 1 AD 1 0（Ⅱ），设n 1( x, y, z) 为平面 ACD 1 的法向量，则 { uruuur ，即n 1 ACx 2 y 2z 0ur(0,1,1)，{，不妨设 z1，可得 n 12xuuruur uuuruuur( x, y, z) 为平面 ACB 1n 2 AB 1 0 (0,1,2)y 2z 0设n 2的一个法向量，则 { uur uuur 0，又 AB 1，得 { ，不妨设n 2 AC2x 0uurz 1，可得 n 2(0, 2,1)，ur uurur uurn 1 n 210ur uur310 ，因此有 cos n 1 , n 2uruur，于是sin n 1, n 2n 1 n 21010所以二面角 D 1AC B 1 的正弦值为310 .uuur uuuur10uuur（Ⅲ）依题意，可设A 1EA 1B 1，其中[0,1] ，则 E(0, ,2) ，从而 NE( 1,2,1) ，r (0,0,1) 为平面 ABCD 的一个法向量，由已知得又 nuuur r uuur r 1 1NE n2cos NE ,n uuur r，整理得43 0 ，( 1)2 ( 2)2 12NE n 3又因为[0,1] ，解得7 2 ，所以线段 A 1E 的长为7 2 .20．（本小题满分 12 分）已知 Ax 1 , y 1 , B x 2 , y 2 是抛物线 C : x 2 2 py p 0 上不同两点 .（ 1）设直线 l : ypy x 1，且直线 l : yp 与 y 轴交于点 M ，若 A, B 两点所在的直线方程为恰好平44分 AFB ，求抛物线 C 的标准方程 .（ 2）若直线 AB 与 x 轴交于点 P ，与 y 轴的正半轴交于点 Q ，且 y 1 y 2p 2 ，是否存在直线 AB ，使得411 3 AB 的方程；若不存在，请说明理由.PAPB？若存在，求出直线PQ【解析】（1）设 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2, M 0, px 22 py2px 2p0 ，，由 {，消去 y 整理得 x24y x 14p 2 8 p 0p则 { x 1 x 2 2 p ， ∵直线 y AFB ， ∴ k AF k BF0 ，平分x 1x 2 2 p 4∴y1p y 2 p，即：x 11px 2 1 pp x 1 x 24 44421 0 ，x 1x 2x 1x 24 x 1 x 2∴ p4 ，满足0 ，∴抛物线 C 标准方程为 x 2 8y ．（ 2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为零，设直线 AB 的方程为： ykxb(k0， b0) ，y kx b4p 2 k 2 8 pb 02pkx2pb0， ∴{x 1x 2 2 pk由 { 2 ，得 x 2 ，x 2 pyx 1x 22 pb2 22pb 2∴y 1 y 2x 1 ?x 2b 2 ，4p 22p 2p∵y 1 y 2p 2 ， ∴ b 2 p 2 ， ∵ b 0 ， ∴ b p ．442∴直线 AB 的方程为： ykxp．2AB ，使得11 3PQPQ 假设存在直线PBPQ ，即PA3 ，PAPB作 AA x 轴， BB x 轴，垂足为A 、B ，∴ PQPQOQ OQ pp p y 1 y 2 2 2 ，PAPB AABB·y 1y 22 y 1y 2∵ y 1 y 2 k x 1 x 2 p 2pk 2p ， y 1y 2p 2，PQ PQ p 2pk 2 p21 ∴PAPB2·p 24k2，由4k22 3 ，得 k，4211 3 1 x p ． 故存在直线 AB ，使得PB，直线 AB 方程为 yPAPQ2 221 ．（本小题满分12 分）已知函数 f xln x1 x2 ax a R ， g xe x 3 x 2x .22（ 1）讨论 f x的单调性；（ 2）定义：对于函数f x ，若存在 x 0 ，使 f x 0x 0 成立，则称 x 0 为函数f x 的不动点 .如果函数F x f x g x 存在不动点，求实数a 的取值范围 .【解析】 (1) fx 的定义域为 0,x 2 ax 1， f xx 0 ，x对于函数 yx 2 ax 1 0 ，①当a 2 4 0 时，即 2 a 2 时， x 2 ax 1 0 在 x 0 恒成立 .fx 2 ax10,恒成立 .f x 在 0,为增函数；xx0 在②当0 ，即 a 2 或 a 2 时，当 a2 时，由 f x0 ，得 xaa 24或xa a 24，0aa 2 4 aa 2 4 ，222 2f x 在 0,aa 2 4 为增函数， aa 2 4 , a a 2 4 减函数 .222aa 2 4 , 为增函数，2当 a2x2ax 10,恒成立，时，由 f x0 在xf x 在 0,为增函数。
2020高考理科数学全真模拟试题含答案
b<a<c 且 20cos 2 A =3(cot A
2
4
tan A )。求 sin2A 的值。
4
19、(14 分) 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PD
平面 ABCD ，且 PD=AB=a ，E 是 PB 的中点。
(I ) 求异面直线 PD、AE 所成的角；
(II ) 在平面 PAD 内求一点 F，使得 EF 平面 PBC；
M N=(M N) (N M) 。设 A={y|y=x 2 3x, x R}，B={y|y= 2 x, x R}，则
A B=
(A)( 9 , 0]
4
9 ] (0, + )
4
(B)[ 9 , 0)
4
(C)( , 9 ) [0, + )
4
(D)( ,
第 II 卷 (非选择题，共 90 分)
二、填空题： (本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分) 把答案填在
1、lg8+3lg5 的值为
(A) 3
(B) 1
(C)1
(D)3
2、若 a>b>0 ，则下列不等式中总成立的是
(A) b b 1
a a1
(B)a 1 b 1
a
b
(C)a 1 b 1
b
a
(D ) 2a b a a 2b b
3、设 p: x< 1 或 x>1 ，q: x< 2 或 x>1 ，则 p 是 q 的
分配方案的种数为
(A)168
(B)84
(C)56
11、已知定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(x)=
f(0)=2 ，则 f(1)+f(2)+ …+f(2005)+f(2006)=
2020高考理科数学仿真模拟卷01(解析版)Word版
2020年4月开学摸底考（新课标卷）高三数学（理）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合2,1,0,1,2A =--，{}|B x y == ）A ．1,2B ．0,1,2C ．2,1--D ．2,1,0--2．已知复数()2z a R i=∈+是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．2-B ．2C ．2-D 23=2ln3b =3ln c π= ） A ．a >b >cB ．c >a >bC ．c >b >aD ．b >c >a4．已知函数()ln 1f x x x =--，则的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．D E AD 若，3CE AB AC μ=+， ） A ．3B ．3-C ．6D ．76-6．已知数列满足，23a =，若()*1111232,n n n n n a a a a a n n N -+-++=⋅≥∈，则数列的通项（ ）A ．12n - B ．21n- C ．13n - D ．121n -+7．已知函数()2sin()(06,)2f x x ωϕωϕ=+<<<的图象经过点(,2)6和(,2)3-.若函数[,0]2-上有唯一零点，则实数m ）A B ．{1}(,]22--C ．(,1]2-D8．已知A 3,2P y 8x =上任意一点，点是圆(x 2)y 1-+=上任意一点，则A ．3B ．4C ．5D ．69．如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A,C 区域涂色不相同的概率为( )A ．17B ．27C ．37D ．4710．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，如图所示.将小圆盘逆时针旋转1,2,3,4i i =次，每次转动901,2,3,4i T i =为转动i 11223344112341234论正确的是A BC D11．已知集合A ={1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A 中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为a ，现将组成a 的三个数字按从小到大排成的三位数记为I （a ），按从大到小排成的三位数记为D （a ）（例如a ＝219，则I （a ）＝129，D （a ）＝921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，则输出b 的值为（ ）A ．792B ．693C ．594D ．49512．如下图，在正方体中，点E F 、分别为棱点O 为上底面的中心，其中含的部分为，不含的部分为，连接和的M 与平面所成角为α，则 ）．A 2B 5C 5D 6二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数()()ln1f x x =+，4f a =，则f a -=________．14X 2,1N ，若223P X a P X a ≤-=≥+，则a =__________．15．已知双曲线221(0,0)a b a b-=>>中，是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在BF ，使得0PA PA ⋅=，则双曲线离心率的取值范围是____________.16AB ⊥的表面积为______三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知数列a 的前n 项和()1*12N n n n S a n -⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭，数列b 满足2b a =.（Ⅰ）求证：数列b 是等差数列，并求数列a 的通项公式；（Ⅱ）设()()21n nc n a n a =-+-，数列c 的前n 项和为n()*N 63n T n <∈的n 的最大值.18．（本小题满分12分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X 表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数． （1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？19．（本小题满分12分）如图，在四棱柱中，侧棱底面ABCD ，AB AC ⊥，1AB =，，且点M 和的中点.（1（2）求二面角的正弦值；（3E 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为3，求线段的长.20．（本小题满分12分）已知,,,A x y B x y 是抛物线:20C x py p =>上不同两点.（1）设直线:4l y =与y M 两点所在的直线方程为，且直线:4l y =恰好平AFB ∠.（2AB 与x 轴交于点P ，与y ，且124py y =，是否存在直线AB ，使得AB .21．（本小题满分12分）已知函数()()2ln 2f x x x ax a R =++∈，()22x g x e x x =+-. （1）讨论f x 的单调性；（2）定义：对于函数f x ，若存在00成立，则称f x 的不动点.如果函数F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，y ⎧⎪⎨=⎪（t 为参数），曲线的参数方程为2sin y θ⎧⎨=⎩，x 曲线的极坐标方（1）分别求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2，A ，B 两点，求23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲（I 的解集；（II 118a b b c c a++≥+++一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合2,1,0,1,2A =--，{}|B x y == ）A ．1,2B ．0,1,2C ．2,1--D ．2,1,0--【答案】D【解析】因为2,1,0,1,2A =-- ,0B x x =≤，所以2,1,0AB =-- .故选D.2．已知复数()2z a R i=∈+是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．2-B ．2C ．2-D 2【答案】A【解析】()()21222255a i a az i i i i ++-===+++-是纯虚数210520a a +⎧=⎪⎪∴⎨-⎪≠⎪，解得：2a =-本题正确选项：A3=2ln3b =3ln c π= ） A ．a >b >c B ．c >a >b C ．c >b >a D ．b >c >a【答案】D 【解析】a6π=ln22，b 6π=ln33，c 6π=lnππ，∵6π＞0，∴a ，b ，c 的大小比较可以转化为ln22，ln33，lnππ的大小比较．设f （x ）=lnx x，则f ′（x ）=1−lnx x 2，当x ＝e 时，f ′（x ）＝0，当x ＞e 时，f ′（x ）＞0，当0＜x ＜e 时，f ′（x ）＜0 ∴f （x ）在（e ，+∞）上，f （x ）单调递减，∵e ＜3＜π＜4∴ln33＞lnππ＞ln44=ln22，∴b ＞c ＞a ，故选：D ．4．已知函数()ln 1f x x x =--，则的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由于01112ln 1ln 2222f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭---，排除B 选项. 由于()()22,23f e f e e e ==--，()2f e f e >，函数单调递减，排除C 选项. 由于()1001000101f ee=>-，排除D 选项.故选A. 5．D E AD 若λ，3CE AB AC μ=+， ） A ．3B ．3-C ．6D ．76-【答案】B【解析】()1111133333CE CB CA AC CB CA CD CA μμμ+⎛⎫⎛⎫=-+=+--=+-- ⎪ ⎪E AD 中点， 所以32=，32μ--=，解得,26λμ==- ，3λμ+=-.故选B. 6．已知数列满足，23a =，若()*1111232,n n n n n a a a a a n n N -+-++=⋅≥∈，则数列的通项（ ）A ．12n - B ．21n- C ．13n - D ．121n -+【答案】B【解析】 ,a a a += ,2()a a a a -=-, 则1211n n a a a a +-=- ,数列11a a ⎧⎫-⎨⎬是首项为2，公比为2的等比数列， 1222n n a a --=⨯= ，利用叠加法，21()()......()122.......2n a a a a a a a -+-+-++-=++++ ， 1212121n a -==-- ，则21n n a =-.选B. 7．已知函数()2sin()(06,)2f x x ωϕωϕ=+<<<的图象经过点(,2)6和(,2)3-.若函数[,0]2-上有唯一零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．B ．{1}(,]22--C ．(,1]2-D 【答案】D【解析】由题意得362k T ⎛⎫-=+ ⎪得21T k =+，故42k Tω==+，因为06ω<<，k N ∈，由2sin 2f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得232k ϕπ+=+，因为2ϕ<，故6ϕ=，所以()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，从而当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2666x -≤+≤，令26t x =+，则由题意得2sin 0t m -=,t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有唯一解，故由正弦函数图象可得12=-或222-<≤，解得21,1m ∈-⋃-.故选D8．已知A 3,2P y 8x =(x 2)y 1-+=上任意一点，则A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】抛物线8y x =的焦点2,0F ，准线l ：2x =-，圆(2)1x y -+=的圆心为2,0F ，半径1r =，P PB B∴当4，故选B．9．如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A,C区域涂色不相同的概率为()A．17B．27C．37D．47【答案】D【解析】提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设5个区域依次为A,B,C,D,E,分4步进行分析：①，对于区域A，有5种颜色可选；②，对于区域B与A区域相邻，有4种颜色可选；③，对于区域E，与A,B区域相邻，有3种颜色可选；④，对于区域D,C，若D与B颜色相同，C区域有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，C区域有2种颜色可选，则区域D,C有3+2×2=7种选择，则不同的涂色方案有5×4×3×7=420种， 其中，A,C 区域涂色不相同的情况有： ①，对于区域A ，有5种颜色可选；②，对于区域B 与A 区域相邻，有4种颜色可选； ③，对于区域E 与A,B,C 区域相邻，有2种颜色可选；④，对于区域D,C ，若D 与B 颜色相同，C 区域有2种颜色可选， 若D 与B 颜色不相同，D 区域有2种颜色可选，C 区域有1种颜色可选， 则区域D,C 有2+2×1=4种选择， 不同的涂色方案有5×4×2×4=240种，∴A,C 区域涂色不相同的概率为p =240420=47 ,故选D ．10．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，如图所示.将小圆盘逆时针旋转1,2,3,4i i =次，每次转动901,2,3,4T i =为转动i 论正确的是A B C 1234 D 1234 【答案】A【解析】根据题意可知：>0,1234,1234A11．已知集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为a，现将组成a的三个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a＝219，则I（a）＝129，D（a）＝921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，则输出b的值为（）A．792 B．693 C．594 D．495【答案】D【解析】试题分析：A，如果输出的值为792，则a=792，I（a）=279，D（a）=972，b=D（a）−I（a）= 972−279=693，不满足题意．B，如果输出的值为693，则a=693,，I（a）=369，D（a）=963，b=D（a）−I（a）=963−369=594，不满足题意．C，如果输出的值为594，则a=594，I（a）=459，D（a）=954，b=D（a）−I（a）=954−459=495，，不满足题意．D ，如果输出的值为495，则a =495，，I （a ）=459，D （a ）=954，b =D （a ）−I （a ）=954−459=495，满足题意．故选D ．12．如下图，在正方体中，E F 、O 其中含的部分为，不含的部分为，连接和的M 与平面所成角为α，则 ）．A2B 5C5D 6【答案】B【解析】连接EF ，因为EF //面ABCD,所以过EFO 的平面与平面ABCD 的交线一定是过点O 且与EF 平行的直线，过点O 作GH //BC 交CD 于点G,交AB 于H 点，则GH //EF,连接EH ，FG,则平行四边形EFGH 为截面，则五棱柱为，三棱柱EBH -FCG 为，设M 点为的任一点，过M 点作底面1111的垂线，垂足为N ，连接,则即为与平面所成的角，所以=α，因为sinα=A M,要使α的正弦最大，必须MN 最大，最小，当点M 与点H 重合时符合题意，故sinα的最大值为=A M AH5故选B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数()()ln1f x x =+，4f a =，则f a -=________．2-【解析】因为()()()()22f x f x lnx 1lnx 1ln 122x x +-=+++=+-+=，f a f a 2∴+-=，且f a 4=，则f a 2-=-.故答案为-214X 2,1N ，若223P X a P X a ≤-=≥+a =． 【答案】12X =结合题意有：2,12a =⇒=.故答案为1．15．已知双曲线221(0,0)a b a b-=>>中，是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在BF ，使得0PA PA ⋅=，则双曲线离心率的取值范围是____________.【答案】c,0F c，又0,B b，所以，以x y a+=，因为0PA PA⋅=所以BF，所以ab a<>⎩即422422302c a c ac a⎧-+<⎨>，故4223102e ee⎧-+<⎨>，2故填.16AB⊥的表面积为______AB⊥1，11．414ππ⨯=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列a 的前n 项和()*12N n n S a n ⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭，数列b 满足2b a =.（Ⅰ）求证：数列b 是等差数列，并求数列a 的通项公式；（Ⅱ）设()()21n n c n a n a =-+-，数列c 的前n 项和为n ()*N 63n T n <∈的n 的最大值.【解析】 (Ⅰ) ()12n n S a n N +⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭，1112n n S a --⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，111n n n n n a S S a a --⎛⎫∴=-=-++ ⎪⎝⎭，化为221a a =+，2,1b a b b =∴=+2n ≥,，可得,即12a =. 又,∴数列n b 是首项和公差均为1的等差数列. 于是1112b n n a =+-⋅==，2n na ∴=.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得()1121n n n n c n n n n +=+⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()11211221212121n n n n ++⎛⎫==- ⎪----⎝⎭, 223121...2121212121n n n T +⎡⎤∴=-+-++-⎢⎥-----⎣⎦1212163n +⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭, 可得5n <因为n 是自然数，所以n 的最大值为4.18．（本小题满分12分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X 表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？【解析】X 0，1，2，3，4，5，6，()01010100P X ==⨯=，()1210525P X ==⨯⨯=，()225551025P X ==⨯+⨯⨯=， ()32210105550P X ==⨯⨯+⨯⨯=，()425510525P X ==⨯+⨯⨯=， ()5251025P X ==⨯⨯=，()61010100P X ==⨯=， X（Ⅱ）选择延保一，所需费用元的分布列为：170009000110001300015000100502525100EY =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯.21000011000120001042010025100EY =⨯+⨯+⨯=（元）. ∵，∴该医院选择延保方案二较合算.19．（本小题满分12分）如图，在四棱柱中，侧棱ABCD AB AC ⊥，1AB =，，且点M 和的中点.（1（2）求二面角的正弦值；（3E 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为3，求线段的长. A ，又因为分别为和的中点，得1,,1,(1,2,1)MN ⎛⎫- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）证明：依题意，可得0,,0MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由此可得，0MN n ⋅=（Ⅱ），设(,,)n x y z =为平面的法向量，则1110{0n AD n AC ⋅=⋅=，即{20x =1z =1(0,1,1)n =， 设(,,)n x y z =则210{0n AB n AC ⋅=⋅=，又(0,1,2)AB =，得{，1z =可得(0,2,1)n =-， 1212n n =-⋅31010= 所以二面角11D AC B --的正弦值为10 （Ⅲ）依题意，可设A E A B λ=(1,2,1)NE λ=-+， 又2(1)NE n==⋅-430λλ+-=又因为所以线段20．（本小题满分12分）已知,,,A x yB x y是抛物线:20C x py p=>上不同两点.（1）设直线:4l y=与y M两点所在的直线方程为，且直线:4l y=恰好平AFB∠.（2AB与x轴交于点P，与y，且124py y=，是否存在直线AB，使得AB.【解析】（1）设()()1122A x,y,B x,y,M0,4⎛⎫⎪，由x2{1pyy x==-y x2px2p0-+=，则124p80{x x2x x2ppp∆=->+==，∵直线y4=平分AFB∠，∴，∴12y y440x x--+=，即：1212x1x1x xp44210x x4x x----+⎛⎫+=-+=⎪，∴x8y=．（2ABAB，由2{x 2py =，得x 2pkx 2pb 0--=， ∴124p k 80{x x 2x x 2pb pkpb ∆=+>+==-， ∴()222121222pb x x y y ?b -===，∵12p y y 4=， ∴2p b 4=， ∵b 0>， ∴b 2=． AB y kx 2=+． ABAA x ⊥BB x ⊥∵1212y y k x x p 2pk p +=++=+，12p y y 4=， 4k 2=±， AB AB y x 22=±+． 21．（本小题满分12分）已知函数()()2ln 2f x x x ax a R =++∈，()22x g x e x x =+-.（1）讨论f x 的单调性；（2）定义：对于函数f x ，若存在成立，则称f x 的不动点.如果函数F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围.【解析】 (1)f x 的定义域为()()()10,0x ax f x x x，+++∞=>'， 对于函数10y x ax =++≥， ①当40a ∆=-≤10x ax ++≥. ()10x ax f x x ++∴=≥'在0,+∞恒成立.f x ∴在0,+∞为增函数；由0f x >，2222f x ∴在⎛ ⎝⎭为增函数，⎝⎭减函数.2a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭为增函数， ()10x ax f x x++=>'在0,+∞恒成立， f x ∴在0,+∞为增函数。
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备战2020高考全真模拟卷1数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2019·内蒙古高三月考（理））集合U =R ，{}2|4120A x x x =--≤，则U C A =（ ） A ．()2,6-B ．()6,2-C ．()(),26,-∞-⋃+∞D ．()(),62,-∞-+∞U【答案】C 【解析】 【分析】求出A 中不等式的解集确定出A ，根据全集U ＝R ，求出A 的补集即可． 【详解】依题意，{}{}2|4120|26A x x x x x =--≤=-≤≤，故()(),26,U C A -∞-⋃=+∞，故选：C . 【点睛】此题考查了补集的运算及一元二次不等式的解法，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．（2020·辽宁高三期末（理））复数5iz i=+上的虚部为（ ） A ．526B ．526i C ．526- D ．526i -【答案】A 【解析】 【分析】 化简得到152626z i =+计算虚部得到答案. 【详解】()515262626i i z i -==+，所以5i z i =+的虚部为526. 故选：A 【点睛】本题考查了复数虚部的计算，属于简单题. 3．（2019·河南高三月考）已知51log 83a =，51log 814b =，0.013c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<【答案】D 【解析】 【分析】利用指数对数的运算性质以及对数函数的单调性即可判断出大小关系. 【详解】由5log 21a =<，5log 31b =<，1c >， 又55log 2log 3<，所以a b c <<， 故选：D . 【点睛】本题考查了指数、对数的运算性质以及对数函数的单调性，需熟记对数的运算性质，属于基础题. 4．（2019·四川高三月考（理））我国古代数学名著《九章算术》中，割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2x x +=确定x 的值，类似地32323+++L 的值为（ ）A ．3B ．131+ C ．6D ．22【答案】A 【解析】 【分析】通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可． 【详解】解：令32323(0)m m +++⋯=>， 则两边平方得，则232323m +++⋯=， 即232m m +=，解得，3,1m m ==-舍去． 故选：A ． 【点睛】本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道中档题．5．（2020·河南高三月考）“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，己知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A ．165B ．185C ．10D ．325【答案】B 【解析】 【分析】边长为3的正方形的面积S 正方形＝9，设阴影部分的面积为S 阴，由几何概型得8002000S S =阴正方形，由此能估计阴影部分的面积． 【详解】解：为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内， 则边长为3的正方形的面积S 正方形＝9， 设阴影部分的面积为S 阴，∵该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分， ∴8002000S S =阴正方形， 解得S 阴800800189200020005S =⨯=⨯=正方形， ∴估计阴影部分的面积是185．故选：B ． 【点睛】本题考查阴影面积的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6．（2019·辽宁高三期中（理））函数()mf x x x=-（其中m R ∈）的图象不可能．．．是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C 【解析】 【分析】由(),0,0m x x m xf x x m x x x x ⎧->⎪⎪=-=⎨⎪--<⎪⎩，再分类讨论当0m >时，当0m =时，当0m <时，函数对应的单调性，再逐一判断即可得解. 【详解】解：由(),0,0m x x m xf x x m x x x x ⎧->⎪⎪=-=⎨⎪--<⎪⎩，则当0m >时，函数()f x 在()0,∞+为增函数，在(,-∞为减函数，在()为增函数，即选项D 满足题意；当0m =时，函数()f x 在()0,∞+为增函数，在(),0-∞为减函数，即选项A 满足题意； 当0m <时，函数()f x 在(),0-∞为减函数，在(为减函数，在)+∞为增函数，即选项B 满足题意， 即函数()mf x x x=-（其中m R ∈）的图像不可能是选项C ， 故选：C. 【点睛】本题考查了分段函数的图像，重点考查了分段函数的单调性，属基础题.7．已知边长为2的正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，连接BE ,则=u u u r u u u rg BE EA （ ） A ．-2 B ．-1C ．1D ．2【答案】B 【解析】 【分析】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立直角坐标系，标出各个对应点坐标，计算·BE EA u u u v u u u v得到答案.【详解】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立直角坐标系 则(0,0)A ，(2,0)B (0,1)E(2,1)BE =-u u u v (0,1)EA =-u u u v ·1BE EA =-u u u v u u u v故答案选B 【点睛】本题考查了向量的乘积，建立坐标系可以简化运算.8．（2019·河北高三期末（理））执行如图所示的程序框图，则输出的a 值为（ ）A ．3-B ．13C ．12-D ．2【答案】D 【解析】 【分析】由题知，该程序是利用循环结构计算，输出变量a 的值，可发现周期为4，即可得到2020i =，2a =，2021i =，此时输出2a =.【详解】1i =，3a =-.2i =，12a =-.3i =，13a =.4i =，2a =.5i =，3a =-.可发现周期4，2020i =，2a =，2021i =. 此时输出2a =. 故选：D 【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构和条件结构，周期是4是解决本题的关键，属于简单题. 9．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3是a 2与a 6的等比中项，S 3＝3，则S 8＝（ ） A ．36 B ．42C ．48D ．60【答案】C 【解析】 【分析】设出等差数列的等差d ，根据a 3是a 2与a 6的等比中项，S 3＝3，利用等比数列的性质和等差数列的前n 项和的公式化简得到关于等差数列首项和公差方程组，求出方程组的解集即可得到首项和公差，然后再利用等差数列的前n 项和的公式求出S 8即可 【详解】设公差为d （d ≠0），则有21111()(5)(2)32332a d a d a d a d ⎧++=+⎪⎨⋅+⋅=⎪⎩， 化简得：()11201d a d a d ⎧+=⎨+=⎩，因为d ≠0，解得a 1＝-1，d ＝2， 则S 8＝-8872⨯+⨯2＝48． 故选：C ． 【点评】此题考查运用等差数列的前n 项和的公式及等比数列的通项公式化简求值，意在考查公式运用，是基础题．10．（2019·陕西高二期末（理））已知点F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，过F 作垂直于长轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，若以AB 为直径的圆过坐标原点O ，则该椭圆的离心率为（ ） ABCD【答案】C 【解析】 【分析】设椭圆的焦距为()20c c >，计算出22b AB a =，可得出2b c a=，可得出关于a 、c 所满足的等式，即可求出该椭圆离心率的值. 【详解】设椭圆的焦距为()20c c >，离心率为e ，则222c a b =-，点F 的坐标为(),0c ，将x c =代入椭圆方程得22221c y a b +=，2222221y c b b a a ∴=-=，2b y a ∴=±，22bAB a∴=，由于以AB 为直径的圆过坐标原点O ，则2AB c =，可得2b c a=，即2b ac =，即220c ac a +-=，等式两边同时除以2a 得210e e +-=，01e <<Q ，解得e =.. 故选：C. 【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，解题的关键就是要得出关于a 、b 、c 的齐次等式，考查计算能力，属于中等题.11．（2020·辽宁高三期末（理））已知椭圆22221x y a b+=()0a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，I 为12PF F ∆的内心，且1221IPF IF F IPF S S S λ∆∆∆=-，若椭圆的离心率为e ，则λ=（ ） A ．1eB ．2eC ．eD ．2e【答案】A 【解析】 【分析】设12PF F ∆内切圆的半径为r ，根据题意化简得到1212F F PF PF λ=+，代入数据计算得到答案. 【详解】设12PF F ∆内切圆的半径为r 则1112IPF S r PF ∆=⋅，2212IPF S r PF ∆=⋅，121212IF F S r F F ∆=⋅· ∵1221IPF IF F IPF S S S λ∆∆∆=-，∴112211222r PF r F F r PF λ⋅=⋅-⋅整理得1212F F PF PF λ=+.∵P 为椭圆上的点，∴22c a λ⋅=，解得1eλ=.故选：A 【点睛】本题考查了椭圆离心率相关问题，根据面积关系化简得到1212F F PF PF λ=+是解得的关键. 12．（2020·陕西高三月考（理））设函数()f x 的定义域为R ，满足()()22f x f x +=，且当(]0,2x ∈时，()194f x x x =+-．若对任意(],x m ∈-∞，都有()23f x ≥-，则m 的取值范围是（ ） A ．215⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，B ．163⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，C ．184⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，D ．194⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，【答案】D 【解析】 【分析】利用对勾函数求得()f x 在(]0,2x ∈的最小值，再()()22f x f x +=得图象向右移动2个单位，其函数值扩大2倍，从而求解. 【详解】当(]0,2x ∈时，()194f x x x =+-的最小值是1,4-由()()22f x f x +=知当(]2,4x ∈时，()()19224f x x x =-+--的最小值是1,2- 当(]4,6x ∈时，()()19444f x x x =-+--的最小值是1,- 要使()23f x ≥-，则()1924443x x -+-≥--， 解得：194x ≤或16.3x ≥故选D. 【点睛】本题考查对勾函数和()()22f x f x +=的图象平移和函数值的倍数关系，属于难度题.第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。