小学数学竞赛：组合的基本应用(一).教师版解题技巧 培优 易错 难

1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力； 通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等．一、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作mn C ．一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数nm P 可分成以下两步：第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法；第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m mP 种排法． 根据乘法原理，得到m m mn n m P C P =⋅．因此，组合数12)112321⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅L L m mn nm m P n n n n m C P m m m （）（（）（）（）．这个公式就是组合数公式．二、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n n C C -=(m n ≤)这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n mn C -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =． 规定1n n C =，01nC =．知识要点教学目标7-5-1.组合的基本应用（一）模块一、组合之计算问题【例 1】 计算：⑴ 26C ，46C ；⑵ 27C ，57C ．【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答【解析】 ⑴ 226622651521P C P ⨯===⨯，4466446543154321P C P ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯ ⑵ 227722762121P C P ⨯===⨯，557755765432154321P C P ⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯ 【小结】注意到上面的结果中，有2466C C =，2577C C =．【答案】⑴ 2615C =，4615C =⑵ 2721C =，5721C =【例 2】 计算：⑴ 198200C ；⑵ 5556C ；⑶ 981001001002C C -．【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答【解析】 ⑴ 21982001982200200200200222001991990021P C C C P -⨯=====⨯； ⑵ 15556551565656561156561P C CC P -=====；⑶ 2981002100100100100221009922122494821P C C C P ⨯-=-⨯=-=-=⨯． 【答案】⑴19900 ⑵56 ⑶ 4948．【巩固】 计算：⑴ 312C ；⑵ 9981000C ；⑶ 2288P C -．【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答【解析】 ⑴ 312121110220321C ⨯⨯==⨯⨯⑵ 998210001000100099949950021C C ⨯===⨯⑶ 2288878756282821P C ⨯-=⨯-=-=⨯． 【答案】⑴ 312220C =⑵ 9981000499500C = ⑶ 228828P C -=．模块二、组合之体育比赛中的数学【例 3】 某校举行排球单循环赛，有12个队参加．问：共需要进行多少场比赛？ 【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 因为比赛是单循环制的，所以，12个队中的每两个队都要进行一场比赛，并且比赛的场次只与两个队的选取有关而与两个队选出的顺序无关．所以，这是一个在12个队中取2个队的组合问题．由组合数公式知，共需进行21212116621C ⨯==⨯(场)比赛．【答案】21266C =【巩固】 芳草地小学举行足球单循环赛，有24个队参加．问：共需要进行多少场比赛？ 【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答例题精讲【解析】由组合数公式知，共需进行2242423276 21C⨯==⨯(场)比赛．【答案】224276C=【例 4】六个人传球，每两人之间至多传一次，那么最多共进行次传球．【考点】组合之基本运用【难度】2星【题型】填空【关键词】迎春杯，三年级，初赛，7题【解析】本题是一道比赛场数计数问题，“每两个人之间至多传一次”，让6个人最多次地传球，则是5＋4＋3＋2＋1＝15（次）.但要看是否可以传回去，在传递过程中两人是否重复.15条线，代表传球15次，根据一笔画问题，行不通，应减少奇数点的个数，共有6个奇数点，应该去掉两条直线，也就是去掉4个奇数点，还剩下2个奇数点，就可以传递回来了.所以答案为5＋4＋3＋2＋1－2＝13（次）.AB C DEF【答案】13次【例 5】一批象棋棋手进行循环赛，每人都与其他所有的人赛一场，根据积分决出冠军，循环赛共要进行78场，那么共有多少人参加循环赛？【考点】组合之基本运用【难度】2星【题型】解答【解析】从若干人中选出2人比赛，与选出的先后顺序无关，这是一个组合问题．依题意，假设有n个人参加循环赛，应该有217821⋅-==⨯n n nC （），所以17821312⋅-=⨯=⨯n n（），所以13n=，即一共有13人参加循环赛．【答案】13n=【例 6】某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成4个小组，每组4人，分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生的4个第1名进行2场半决赛和2场决赛，确定1至4名的名次．问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？【考点】组合之基本运用【难度】2星【题型】解答【解析】第一阶段中，每个小组内部的6个人每2人要赛一场，组内赛266515 21C⨯==⨯场，共8个小组，有158120⨯=场；第二阶段中，每个小组内部4人中每2人赛一场，组内赛24436 21C⨯==⨯场，共4个小组，有6424⨯=场；第三阶段赛224+=场．根据加法原理，整个赛程一共有120244148++=场比赛．【答案】148【例 7】有8个队参加比赛，采用如下图所示的淘汰制方式．问在比赛前抽签时，可以得到多少种实质不同的比赛安排表？【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答【解析】(法1)先选4人，再考虑组合的方法．8选4有4870C=种组合，其中实质不同的有一半，即70235÷=种；对每一边的4个人，共有实质性不同的2423C÷=种，所以，可以得到3533315⨯⨯=种实质不同的比赛安排表．(法2)先考虑所有情况，再考虑重复情况首先是8!87654321=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯考虑到实质相同：1、2；3、4；5、6；7、8；一、二；三、四；A、B，以上7组均可交换，即每一种实际上重复计算了72次，答案为：78!2315÷=．【答案】315模块三、组合之数字问题【例 8】从分别写有1、3、5、7、9的五张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的乘法题，问：⑴有多少个不同的乘积？⑵有多少个不同的乘法算式？【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答【解析】⑴要考虑有多少个不同乘积．由于只要从5张卡片中取两张，就可以得到一个乘积，所以，有多少个乘积只与所取的卡片有关，而与卡片取出的顺序无关，所以这是一个组合问题．由组合数公式，共有225522541021PCP⨯===⨯(个)不同的乘积．⑵要考虑有多少个不同的乘法算式，它不仅与两张卡片上的数字有关，而且与取到两张卡片的顺序有关，所以这是一个排列问题．由排列数公式，共有255420P=⨯=(种)不同的乘法算式．【答案】⑴2510C=⑵2520P=【巩固】9、8、7、6、5、4、3、2、1、0这10个数字中划去7个数字，一共有多少种方法？【考点】组合之基本运用【难度】2星【题型】解答【解析】相当于在10个数字选出7个划去，一共有10×9×8×7×6×5×4÷（7×6×5×4×3×2×1）=10×9×8÷（3×2×1）=120种．【答案】120【巩固】从分别写有1、2、3、4、5、6、7、8的八张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的加法题，有多少种不同的和？【考点】组合之基本运用【难度】2星【题型】解答【解析】228822872821PCP⨯===⨯(种)．【答案】2828C=【例 9】有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片各5张，且每种颜色的卡片上分别标有1，2，3，4，5，从这些卡片中取出5张，要求1、2、3、4、5各一张，但四种颜色都要有，求共有________种取法？【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，4年级，第14题【解析】四种颜色都有，则有两个数是同一种颜色即可，其它三个数字和三种颜色一一对应。

21543!240C C⨯⨯=种【答案】240种【例 10】在1~100中任意取出两个不同的数相加，其和是偶数的共有多少种不同的取法？【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答【解析】两个数的和是偶数，通过前面刚刚学过的奇偶分析法，这两个数必然同是奇数或同是偶数，而取出的两个数与顺序无关，所以是组合问题．从50个偶数中取出2个，有25050491225 21C⨯==⨯(种)取法；从50个奇数中取出2个，也有25050491225 21C⨯==⨯(种)取法．根据加法原理，一共有122512252450+=(种)不同的取法．【小结】在本题中，对两个数的和限定了条件．不妨对这个条件进行分类，如把和为偶数分成两奇数相加或两偶数相加．这样可以把问题简化．【答案】2450【巩固】从19、20、……、93、94这76个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答【解析】19、20、……、93、94中有38个奇数，38个偶数，从38个数中任取2个数的方法有：2 383837703 21C⨯==⨯(种)，所以选法总数有：70321406⨯=(种)．【答案】1406【例 11】一个盒子装有10个编号依次为1，2，3，L，10的球，从中摸出6个球，使它们的编号之和为奇数，则不同的摸法种数是多少？【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答【解析】10个编号中5奇5偶，要使6个球的编号之和为奇数，有以下三种情形：⑴5奇1偶，这时对奇数只有1种选择，对偶数有5种选择．由乘法原理，有155⨯=(种)选择；⑵3奇3偶，这时对奇数有3554310 321C⨯⨯==⨯⨯(种)选择，对偶数也有3554310321C⨯⨯==⨯⨯(种)选择．由乘法原理，有1010100⨯=(种)选择；⑶1奇5偶，这时对奇数有5种选择，对偶数只有1种选择．由乘法原理，有515⨯=(种)选择．由加法原理，不同的摸法有51005110++=(种)．【答案】⑴5⑵100⑶110【例 12】用2个1，2个2，2个3可以组成多少个互不相同的六位数？用2个0，2个1，2个2可以组成多少个互不相同的六位数？【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答【解析】先考虑在6个数位上选2个数位放1，这两个1的顺序无所谓，故是组合问题，有266515 21C⨯==⨯(种)选法；再从剩下的4个数位上选2个放2，有24436 21C⨯==⨯(种)选法；剩下的2个数位放3，只有1种选法．由乘法原理，这样的六位数有156190⨯⨯=(个)．在前一问的情况下组成的90个六位数中，首位是1、2、3的各30个．如果将3全部换成0，这30个首位是0的数将不是六位数，所以可以组成互不相同的六位数903060-=(个)．【答案】60【例 13】 从1，3，5，7，9中任取三个数字，从2，4，6，8中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，一共可以组成多少个数？【考点】组合之基本运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 整个过程可以分三步完成：第一步，从1，3，5，7，9中任取三个数字，这是一个组合问题，有35C 种方法；第二步，从2，4，6，8中任取两个数字，也是一个组合问题，有24C 种方法；第三步，用取出的5个数字组成没有重复数字的五位数，有55P 种方法．所以总的个数为：3255457200C C P ⨯⨯=（个）．【答案】7200【例 14】 从0、0、1、2、3、4、5这七个数字中，任取3个组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？（这里每个数字只允许用1次，比如100、210就是可以组成的，而211就是不可以组成的）．【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】陈省身杯，五年级 【解析】 若三位数不含有0，有54360⨯⨯=（个），若含有一个0，有54240⨯⨯=（个），若含有两个0，有5（个），所以共有60405105++=（个）． 【答案】105【例 15】 用2个1，2个2，2个3可以组成多少个互不相同的六位数？用2个0，2个1，2个2可以组成多少个互不相同的六位数？【考点】组合之基本运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 先考虑在6个数位上选2个数位放1，这两个1的顺序无所谓，故是组合问题有2615C =种选法；再从剩下的4个数位上选2个放2，有246C =种选法；剩下的2个数位放3，只有1种选法．由乘法原理，这样的六位数有156190⨯⨯=个．在前一问的情况下组成的90个六位数中，首位是1、2、3的各30个．如果将3全部换成0，这30个首位是0的数将不是六位数，所以可以组成互不相同的六位数903060-=个．【答案】60【巩固】 用两个3，一个2，一个1，可以组成多少个不重复的4位数？ 【考点】组合之基本运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 这道题由于3有2个，是其中最特殊的，所以从它入手．先从四位数的4个数位中选择2个来放3，有246C =种选法；然后剩下的两个数位放1和2，有2种放法；根据乘法原理，共有6212⨯=种不同的方法，所以可以组成12个不重复的四位数．【答案】12。