安培环路定理
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2安培环路定理
v µ0I v B 1 ⋅ d l1 = dα 2π
v B1
v B2
v d l1
r1
dα
v dl2
θ1
I
●
r2
2
o θ
L
v v µ0I B2 ⋅ dl2 = − dα 2π
v µ0I v B 1 ⋅ d l1 = dα 2π v v µ0I B2 ⋅ dl2 = − dα 2π
v B1
v B2
L1
L
µ0 I
0
（闭合回路包围电流） 闭合回路包围电流） 闭合回路不包围电流） （闭合回路不包围电流）
表明：沿闭合环路的线积分，等于穿过以闭合环路 表明：沿闭合环路的线积分， 为边界的所围曲面的所有电流的代数和乘以 为边界的所围曲面的所有电流的代数和乘以 代数和
µ0
如果闭合回路不在垂直长直电流平面内， 如果闭合回路不在垂直长直电流平面内， 情况又如何？ 情况又如何？
r r ∫ B ⋅ d l ≠ 0 说明稳恒磁场不是保守场
L
——磁场是“有旋场” 磁场是“有旋场” 磁场是
例：如图，流出纸面的电流为 2I ， 如图， 流进纸面的电流为 I ， 则下述各式中那一个是正确的? 则下述各式中那一个是正确的 r r r r (B) ∫ L 2 B ⋅ d l = µ 0 I (A) ∫ L B ⋅ d l = 2µ0 I r r r r (C) ∫ L B ⋅ d l = − µ0 I (D) ∫ L B ⋅ d l = − µ 0 I
如图， 如图，闭合曲线 L 不在垂直直电流的平面内
L
o
v dl||
v dl
v dl⊥
v v v dl = dl|| + dl⊥
L⊥
v B1
v B2
v d l1
r1
dα
v dl2
θ1
I
●
r2
2
o θ
L
v v µ0I B2 ⋅ dl2 = − dα 2π
v µ0I v B 1 ⋅ d l1 = dα 2π v v µ0I B2 ⋅ dl2 = − dα 2π
v B1
v B2
L1
L
µ0 I
0
（闭合回路包围电流） 闭合回路包围电流） 闭合回路不包围电流） （闭合回路不包围电流）
表明：沿闭合环路的线积分，等于穿过以闭合环路 表明：沿闭合环路的线积分， 为边界的所围曲面的所有电流的代数和乘以 为边界的所围曲面的所有电流的代数和乘以 代数和
µ0
如果闭合回路不在垂直长直电流平面内， 如果闭合回路不在垂直长直电流平面内， 情况又如何？ 情况又如何？
r r ∫ B ⋅ d l ≠ 0 说明稳恒磁场不是保守场
L
——磁场是“有旋场” 磁场是“有旋场” 磁场是
例：如图，流出纸面的电流为 2I ， 如图， 流进纸面的电流为 I ， 则下述各式中那一个是正确的? 则下述各式中那一个是正确的 r r r r (B) ∫ L 2 B ⋅ d l = µ 0 I (A) ∫ L B ⋅ d l = 2µ0 I r r r r (C) ∫ L B ⋅ d l = − µ0 I (D) ∫ L B ⋅ d l = − µ 0 I
如图， 如图，闭合曲线 L 不在垂直直电流的平面内
L
o
v dl||
v dl
v dl⊥
v v v dl = dl|| + dl⊥
L⊥
安培环路定理
I )=0
二、 环路定理的应用
1. 载流长直螺线管内的磁场
. . . . . . . . . . . . . a d b c B
∫ l B. dl = ∫abB . dl + ∫bc B . dl + ∫cd B . dl+ ∫daB . dl = ∫abB . dl + 0 + 0 + 0 = ∫abB dl cos 0
由几何关系得： 由几何关系得：
L
O
r dϕ = dl cos θ µoI B= 2 r π
.
I r dl
dϕ
P
r B
θ
r dl
∫ l B . dl = ∫l B cosθ
=
∫l B r dϕ
µoI µoI r dϕ = 2 π 2π r
=∫
∫0
2 π
d ϕ =µ o I
安培环路定理： 安培环路定理：磁感应强度矢量沿任意闭合 路径一周的线积分等于真空磁导率乘以穿过 穿过闭合 路径一周的线积分等于真空磁导率乘以穿过闭合 路径所包围面积的电流代数和 电流代数和。 路径所包围面积的电流代数和。
∫ l B . dl =µ Σ I
o
电流和回路绕行方向 构成右旋关系的取正值
电流 I 取负值 I
向 方 绕 行
I
向 行方
绕
I2
I1
I I
l2
I
l3
l1
(a) (a)
(b)
1
(b)
(c)
o
∫l B . dl = µ
∫l B . dl = 0
2
(I 1 I 2 )
(c)
∫l B . dl = µ
《大学物理》安培环路定理
根据安培环路定理得
B 2r
0
r2 R2
I
B
0I 2R
B
0 2
I R2
r
r
O
R
（r＜R） 载流圆柱体的磁场分布曲线
ll.7 安培环路定理
例4 载流螺绕环的磁场分布。 所谓螺绕环，就是将细导线N匝密绕在内径为R1，
外径为R2的圆环上（如图所示）。接通稳恒电流I， 求环内外的磁场分布。
解 在圆环轴线所在平面内，
b B dl d B dl 0
d
c B dl 0
ll.7 安培环路定理
b
LB dl a B dl B l
穿过矩形环路的电流强度： Ii I n l
安培环路定理：
B dl L
o Ii
B l 0I nl
B 0nI
ll.7 安培环路定理
例2 计算无限长载流圆柱体的磁场。设圆柱体 导线的半径为R，轴向电流I均匀地通过导线横截面。
取半径为r的圆周L为环路，
方向如图。
(1)当 r>R2 (2) 当 r<R1 (3)当R1<r<R2
B=0 B=0
R2 R1 r
环路 L 磁感应线
ll.7 安培环路定理
B dl B dl B2r 0 NI
L
L
B 0 NI 2r
0
B
0 NI
2r
0
r R1 R1 r R2
r R2
i 1
ll.7 安培环路定理
2．环路L不围绕电流I
B dl B' dl ' B cosdl B' cos 'dl '
0I 2r
rd
大学物理10.4安培环路定理及其应用Xiao
实验设备与材料
01
02
磁场测量仪
用于测量磁场强度和方向。
导线
用于产生电流，形成磁场。
03
电源
为导线提供电流。
04
磁力计
用于测量磁力大小。
实验步骤与操作
步骤2
连接电源，使导线通电，产生 电流。
步骤4
使用磁力计测量导线受到的磁 力大小。
步骤1
将导线绕制成一定形状，如圆 形或矩形，并固定在实验台上。
步骤3
02
安培环路定理的数学表达式为： ∮B·dl = μ₀I，其中B表示磁场强度， dl表示微小线段，I表示穿过曲线的 电流，μ₀表示真空中的磁导率。
安培环路定理的推导过程
安培环路定理的推导基于电磁场的基 本理论，通过应用高斯定理和斯托克 斯定理，结合电流连续性和电荷守恒 定律，逐步推导出安培环路定理。
大学物理10.4安培环路定理及其 应用
目 录
• 安培环路定理的概述 • 安培环路定理的应用场景 • 安培环路定理在实践中的应用 • 安培环路定理的实验验证 • 安培环路定理的扩展与思考
01 安培环路定理的概述
安培环路定理的定义
01
安培环路定理是描述磁场与电流 之间关系的物理定理，它指出磁 场对电流的作用力与电流分布及 路径有关。
03
电磁场仿真
安培环路定理是电磁场仿真的基础之一，通过仿真软件实现安培环路定
理的算法，可以模拟电机的电磁场行为，预测电机的性能，并为实际电
机设计提供理论依据。
电磁场仿真软件的安培环路定理实现
有限元法（FEM）
有限元法是一种常用的电磁场仿真方法，通过将连续的电磁场离散化为有限个小的单元，并应用安培环路定理进行求 解。这种方法可以处理复杂的几何形状和边界条件，得到高精度的仿真结果。
安培环路
B d l B d cos l Brd 0I 0 I d B dl rd 2π 2πr
d
l
I
dl
B
r
I r1
r2
l
B d l B d l 0 1 1 2 2 结论： d l 0 B
l
(3) 多电流情况
I1
B 0nI
无限长载流螺线管内部磁场处处相等 , 外部磁场为零.
2、求无限长载流圆柱导体内外的磁场。设圆柱体半 径为R，面上均匀分布的总电流为I。 I
解：沿圆周L的B环流为
(L )
R
I d l B 2 r 0 内 B
dB
P
dB d B
当 r R 时 , I I B 2 r I 内 0 0I B 2 r I 2 当 r R 时 , I r 内 2 R r2 I 0 B2 r I B r 0 2 2 R 2 R
d l I 0 B
l
R
l
I
B
若电流反向时，则：
I 0 l B dl 2πRl dl 0I
对任意形状的回路 B 0 I 2 r
I
l 2 I 0 B d l d 结论： B d l I 0 l 0 l 2 0I 0 I (2) 闭合曲线不包围长直电流： B2 B1 B2 2 π r2 2 π r1 B1 μ μ 0I 0I B d l1 d φ B dφ l2 d φ 1 2 d dl 2 π 2 π 2 dl1
dB1
解 1)对称性分析 2）选取回路 设：面电流密度为j
d dB
P
安培环路定理
安培环路定理
安培环路定理，又称为安培定理或安培第二定理，是电磁学中的一条重要定理，描述了由电流所产生的磁场的性质。
它是由法国物理学家安德烈-玛丽·安培在19世纪初提出的。
安培环路定理是基于麦克斯韦方程组中的一个方程，可以用来计算磁场的强度。
根据该定理，通过电流所形成的磁场的磁感应强度H，沿着任意封闭曲线所围成的面积S的总磁通量Φ，与该封闭曲线所围成的电流之间的关系为：
∮H·dl = ∫∫S B·dS = Φ
其中，H是磁场的强度，dl是沿着闭合曲线的微元路径元素，B是磁感应强度，dS是平面面元素，Φ是通过该曲线所围成的面积的磁通量。
安培环路定理本质上是一个积分方程，可以通过对曲线的路径和曲面的选择来灵活地应用。
根据闭合曲线的选择不同，可以得到更方便的计算磁场的方法。
通常情况下，选择封闭曲线为简单的几何形状，例如圆形、矩形或直线，可以大大简化计算的过程。
安培环路定理的应用广泛，可以用于解决与电流所产生的磁场相关的问题。
例如，在电磁铁中，可以利用安培环路定理计算铁芯的磁场分布；在电感器中，可以通过该定理计算电感量。
此外，还可以利用安培环路定理推导出其他电磁学中的重要定理，如磁场的叠加定理和比奥-萨伐尔定律等。
综上所述，安培环路定理是电磁学中的一条基本定理，描述了电流所产生的磁场的性质。
通过应用安培环路定理，可以方便地计算出磁场的强度和分布，解决各种与电流和磁场相关的问题，为电磁学的研究和应用提供了重要的理论基础。
安培环路定理
(1)管内:取L矩形回路 abcda
边在轴上，两边与轴平行,另
aP b
两个边垂直于轴。
LB dl Bab ab Bcd cd Bab ab
e
Q
f
0I 0nI ab
d
c
∞
B内 onI 其方向与电流满足右手螺旋.
(2)管外 :
取回路efbae同理可证，无限长直螺线管外任一点的磁场为
A(rQ )
0I 2
ln
r Q
r P
A(rP )
A(rQ
)
0I 2
ln
r Q
r
-I
r P
P
两式相加,得:
A(rP )
A(rQ )
0I 2
ln
rQ rP
rP rQ
0I 2
ln
rP rP
A(rP )
A(rQ )
0I 2
ln
r P
r P
若选Q点的矢势为零,则
A(rP )
0I 2
ln
r P
r P
例2.一无限长载流圆柱导体,半径为R, 电流I均匀分布
ldr
0I 2
l
ln
rQ r
A(rP ) A(rQ )
0I 2
ln
rQ rP
+I
Q
若选Q点的矢势为零,则
A(rp
)
0I 2
ln
rQ rP
r P
注意:若选Q点在无穷远处或导线
上,磁矢势将无意义.
讨论:两根平行的载流直导线,电流大 小相等方向相反,求磁矢势.
选Q点在两直线电流之间垂线的中点处.
A(rP )
B dS 0
安培环路定理
小结
s B dS s BdS cos
二、磁场的高斯定理
S B dS S BdS cos 0
三、安培环路定理
B dl
L
0
Ii
i
四、利用安培环路定理求磁场
自己总结几种常见磁场公式（长直、圆环或盘、螺线管等）
B1
μ0 Jr 2
a
B1
J
B2 b O M O
dJ
B2 dl B2 2π(d r) 0π(d r)2 J
B2
μ0 J(d 2
r)
M点磁感强度为 B = B1＋B2
B
B1
B2
μ0 Jd 2
方向垂直两轴线联线。从上式可见两轴联线上各点的
磁感强度B大小和方向均相同。
(2) 证明：设N为腔内任一点， 由安培环路定理分别求得
讨论： 如图所示一段导线可以用安培环路定理求出B吗？
B dl
L
θ1 θ2 / 4
L
0I
4a
cos1
cos
2
dl
0I 2 2 2a
4a 2
I
2
a L 1
0 2I
2
0I
☆ 安培环路定理只适用于闭合的载流导线（或无限
长），对于任意设想的一段载流导线不成立！！
⑤安培环路定理揭示了磁场的基本性质，磁场是涡旋 的，而电流是磁场涡旋的中心。磁场是无源有旋场， 是非保守场，故不能引入势能的概念。
μ 0
I
2πr
r
B
如图示，当 r 时R
作积分回路如图
则B沿该闭合回路的环流为：
B
l
dl
Bdl
l
2πrB B
μ 0
I
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无限长圆柱面电流，圆柱外磁场分布与电流集中在轴线上的 直线电流产生的磁场相同；圆柱内处处磁场为0。 B分布曲线为：
I
B
0 I 2R
R
1
r
B0
0 I 1 B 2r r
2
r
L
o
R
r
例 15.7 一环形载流螺绕环，匝数为
N ，螺绕环轴线半径为R ，通有电 流 I ，求管内磁感应强度。
分析对称性,作积分回路如图 计算环流
Bdl I
0 l
i
B
空间所有电流共同产生 在场中任取的一闭合线 L绕行方向上的任一线元 环路所包围的电流 与L套连的电流
L dl
I3
I1
Ii
L
I 2 dl
电流分布
比较
静电场
?
l
磁 场
E dl 0
l
Bdl I
0 i
i
电场有保守性，它是 保守场，或有势场.
环管内截面上宽为dr、高为h的一窄条面积通过的磁通量为：
0 NIh d Bhdr dr 2r
0 NIh R 1 0 NIh R2 dr ln 全部截面的磁通量为： d R 2 r 2 R1
2 1
本次课结束
课后作业
15.7 15.15
谢谢！
15.15 在长直导线近旁放一矩形线圈与其共面，线圈各边分别平 行和垂直于长直导线。线圈长度为l，宽为b，近边距长直导线距 离为a，长直导线中通有电流I。当矩形线圈中通有电流I1时，它受 到的磁力的大小和方向如何？它又受到多大的磁力矩？
磁场没有保守性，它是 非保守场，或无势场.
1 E d S qi 0 S
电力线起于正电荷,止于 负电荷。静电场是有源 场 .
BdS 0
S
磁力线闭合,无自由 磁荷.磁场是无源场.
例15.6：求无限长圆柱面电流的磁场分布。设圆柱面半径为 R ，面上均匀分布的总电流为 I。 解：圆柱内外的磁场是以中心轴线为对称分布的。 1.圆柱体内部 r < R 区域 选取半径为 r 的圆形环路， 由于圆柱体内部电流为零，即 所以圆柱面以内处处
B dl BdlCos
L
的投影，在d 很小的情况下， d I d 等于 所对的半径为r 的弧长 d l · P 即 dlCos rd r 0 I B dl Brd d L L 2 L 由于是沿闭合路径一周的积分， d 2 L B dl 0 I 沿任意包围I的闭合回路都成立。
. . . . . . .
. . . . . .. . . . r
R2
R1
. . . . . . . . .
再分析螺线管外部，由对 称性可知，B线也应该沿 同心圆周等值分布。取一 圆周回路半径为r
r
o
R
这时，圆周回路包围的总电流 Iint 0 根据安培环路定理 B dl B 2r 0 I int 0
§15.3安培环路定理
静电场:
E dl 0
l
磁
场:
Bdl ?
l
1.定理表述
磁感应强度沿闭合回路的线积分等于环路所包围 的电流代数和乘以 0。 数学表达式：
L
B dl 0 I int
1）安培环路定理是稳恒电流磁场的性质方 程（稳恒电流的回路必须闭合或伸展到）
B 0(r R)
1
I
int
0
I
R
2.圆柱体外一点r > R 区域 同样选取半径为 r 的圆形环路， 由于环路上各点 磁感应强度 大小相等，方向 与环路一致 B // dl
r
2
B dl B 2r 0 I
r
1 0 I 所以圆柱面以外r处 B 2r r
Bdl 2rB Bdl
l 2 r
r
o
R
利用安培环路定理求 B
B d l 2rB
l
0
NI
0 NI 0 NI . 内 B . . B 2r 2r .. . . 0 外 . . . N 0 NI n 0 nI 当R1、R2 R1 R2 B 2R 2R
I1 I 3 (2) 当 B d l 0时 , 环路上的磁感应强度
不一定为零.
l
I4
I2
(3)电流与环路成右旋关系时定为正;
Bdl I
0 l
i
0 ( I3 I2 )
l
(4) B d l 0 说明磁场为非保守场,不可以引入势
L
(5) 正确理解定理中各量的含义
L
B
因为 dlCos 为 dl 在 B 方向
安培环路定理为我们提供了求磁感应强度的另 一种方法。但利用安培环路定理求磁感应强度要求 磁场具有高度的对称性 。
利用高安培环路定理求磁感应强度的关健：根 据磁场分布的对称性，选取合适的闭合环路。
选取环路原则 (1)环路要经过所研究的场点。 (2)环路的形状、长度便于计算
所以，螺线管外处处磁感B为零，管外无磁场。
习题：15.10
如图所示，线圈均匀密绕在截面为长 方形的整个木环上，共有 N 匝，求通 入电流I后，环内外磁场的分布。
解：（1）选垂直于木环轴线而圆心在中轴 线的圆为安培环路可得：
r R2 0 B 0 NI R1 r R 2
h
R1
R2
(3)要求环路上各点 B 大小相等，或有一定规律，以 便于计算 B dl 和 0 I
L
Bdl I
0 l
iபைடு நூலகம்
在真空的稳恒磁场中，磁感应强度 B 在闭合曲线上的环流，等 于该闭合曲线所包围的电流的代数和与真空中的磁导率的乘积。 说明: (1)安培环路定理是稳恒电流磁场的性质方程。（稳恒电流 的回路必须闭合或伸展到）
2） B d l 0 说明磁场为非保守场
L
安培环路定理证明：
1.圆形积分回路
无 限 长 直 电 流
I
l
r
B
0 I 0 I B dl dl dl 0 I 2r 2r 2r l l
B＝？
Bdl I
0 L
2.任意积分回路 考虑载有恒定电流I的无限长直导线的磁场
解：线圈左边受力为
0 I I1l Fl Bl I1l 2a
方向向左，线圈右边受的力为 I I l Fr Bl I1l 0 1 2 (a b)
I1
I
a
b
l
方向向右。上下两边受的力大小相等、方向相反。
0 I I1lb 合力：F Fl Fr 2a(a b)