四川省成都市龙泉二中2017届高三(下)入学数学试卷(文科)(解析版)

2016-2017学年四川省成都市龙泉二中高三（下）入学数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，则集合A可能是（）A．{1，2}B．{x|x≤1}C．{﹣1，0，1}D．R2．复数的共轭复数是（）A．B．C．﹣i D．i3．函数y=的值域为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）C．{y|y≠﹣1，y∈R} D．{y|y≠﹣2，y∈R}4．下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件C．命题“∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“已知A，B为一个三角形两内角，若A=B，则sinA=sinB”的否命题为真命题5．已知函数f（x）=sin（2x+α）在时有极大值，且f（x﹣β）为奇函数，则α，β的一组可能值依次为（）A．B．C．D．6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出y 的值为（）A．2 B．7 C．8 D．1287．函数y=x+sin|x|，x∈[﹣π，π]的大致图象是（）A．B．C．D．8．已知双曲线的左焦点为F，直线x=2与双曲线E相交于A，B两点，则△ABF的面积为（）A．12 B．24 C． D．9．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积是（）A．2 B．3C．3+2 D．310．若A为不等式组表示的平面区域，则当a从﹣2连续变化到1时，则直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为（）A．1 B．C．D．11．已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（）A．B．C．D．12．利用计算机产生120个随机正整数，其最高位数字（如：34的最高位数字为3，567的最高位数字为5）的频数分布图如图所示，若从这120个正整数中任意取出一个，设其最高位数字为d（d=1，2，…，9）的概率为P，下列选项中，最能反映P与d的关系的是（）A．P=lg（1+）B．P=C．P=D．P=×二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．13．函数y=的值域是．14．过原点O作圆x2+y2﹣6x﹣8y+20=0的两条切线，设切点分别为M，N，则线段MN的长为．15．椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率是，则的最小值为．16．设0＜α＜＜β＜π，sinα=，则sinβ的值为．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设数列{a n}的前n项和S n满足：S n=na n﹣2n（n﹣1），等比数列{b n}的前n 项和为T n，公比为a1，且T5=T3+2b5．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）求数列的前n项和为M n．18．甲、乙两位射击运动员，在某天训练中已各射击10次，每次命中的环数如下：甲7 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙9 5 7 8 7 6 8 6 7 7（Ⅰ）通过计算估计，甲、乙二人的射击成绩谁更稳；（Ⅱ）若规定命中8环及以上环数为优秀，请依据上述数据估计，在第11次射击时，甲、乙两人分别获得优秀的概率．19．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面BFDE；（Ⅱ）求四棱锥P﹣BFDE的体积．20．已知函数f（x）=e x﹣x2﹣ax．（I）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的最大值．21．已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a．（a∈R）（I）试确定函数f（x）的零点个数；（II）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．参考公式：（e t﹣x）'=﹣e t﹣x（t为常数）请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=2．（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣2a|，a∈R．（1）若不等式f（x）＜1的解集为{x|1＜x＜3}，求a的值；（2）若存在x0∈R，使f（x0）+x0＜3，求a的取值范围．2016-2017学年四川省成都市龙泉二中高三（下）入学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，则集合A可能是（）A．{1，2}B．{x|x≤1}C．{﹣1，0，1}D．R【考点】子集与真子集．【分析】集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，则故A⊆B，进而可得答案．【解答】解：∵集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，故A⊆B，故A答案中{1，2}满足要求，故选：A2．复数的共轭复数是（）A．B．C．﹣i D．i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，然后求出共轭复数，即可．【解答】解：复数===i，它的共轭复数为：﹣i．故选C3．函数y=的值域为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）C．{y|y≠﹣1，y∈R} D．{y|y≠﹣2，y∈R}【考点】函数的值域．【分析】由题意可得x=log2，即＞0，解得即可．【解答】解：y==﹣1+，则y+1=，则2x﹣1=，则2x=1+，则x=log2，∴＞0，解的y＞﹣1或y＜﹣2，故选：B．4．下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件C．命题“∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“已知A，B为一个三角形两内角，若A=B，则sinA=sinB”的否命题为真命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】写出命题的否命题判断A；由两直线垂直与系数的关系求得m判断B；写出特称命题的否定判断C；由充分必要条件的判定方法判断D．【解答】解：命题“若x2=1，则x=1的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，故A错误；由1×1﹣m2=0，得m=±1，∴“m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充分不必要条件，故B错误；命题“∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，故C错误；由三角形中，A=B⇔a=b⇔sinA=sinB，得：命题“已知A，B为一个三角形两内角，若A=B，则sinA=sinB”的否命题为真命题，故D正确．故选：D．5．已知函数f（x）=sin（2x+α）在时有极大值，且f（x﹣β）为奇函数，则α，β的一组可能值依次为（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的对称性．【分析】通过函数的极大值判断选项中α的值，通过f（x﹣β）为奇函数，判断β值即可．【解答】解：因为函数f（x）=sin（2x+α）在时有极大值，所以函数f（x）=sin（+α）=1， +α=2kπ+，k∈Z，所以，当k=0时，．因为函数f（x）=sin（2x+α），f（x﹣β）为奇函数，即函数f（x）=sin（2x﹣2β+）是奇函数，所以﹣2β+=kπ，k∈Z，当k=0时，．α，β的一组可能值依次：．故选D．6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出y 的值为（）A．2 B．7 C．8 D．128【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求y=的值，从而得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求y=的值，若x=1不满足条件x≥2，y=8输出y的值为8．故选：C．7．函数y=x+sin|x|，x∈[﹣π，π]的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象；正弦函数的图象．【分析】本题考查的是函数的图象问题．在解答时，首先应将函数去绝对值转化为分段函数．再利用导数分析在不同区间段上的变化规律即可获得问题的解答．【解答】解：由题意可知：，当0≤x≤π时，∵y=x+sinx，∴y′=1+cosx≥0，所以函数y=x+sinx在[0，π]上为增函数；又由sinx≥0[0，π]上恒成立，故函数y=x+sinx[0，π]上在y=x的上方；当﹣π≤x＜0时，∵y=x﹣sinx，∴y′=1﹣cosx≥0，所以函数y=x+sinx在[0，π]上为增函数；又由sinx≤0[﹣π，0]上恒成立，故函数y=x+sinx[﹣π，0]上在y=x的下方；又函数y=x+sin|x|，x∈[﹣π，π]，恒过（﹣π，﹣π）和（π，π）两点，所以A 选项对应的图象符合．故选A．8．已知双曲线的左焦点为F，直线x=2与双曲线E相交于A，B两点，则△ABF的面积为（）A．12 B．24 C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的左焦点，求出AB坐标，然后求解三角形的面积．【解答】解：双曲线的左焦点为F（﹣2，0），直线x=2与双曲线E相交于A，B两点，则A（2，3），B（2，﹣3），则△ABF的面积为：6×4=12．故选：A．9．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积是（）A．2 B．3C．3+2 D．3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图．【解答】解：由三视图可知，这个四棱锥的侧面都是直角三角形，正方形的边长为2sin45°=，故四棱锥的高为：=3，直角三角形的直角边为=，则其侧面积为：S=2×××3+2×××=3+；故选D．10．若A为不等式组表示的平面区域，则当a从﹣2连续变化到1时，则直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为（）A．1 B．C．D．【考点】简单线性规划．【分析】先由不等式组画出其表示的平面区域，再确定动直线x+y=a的变化范围，最后由三角形面积公式解之即可．【解答】解：如图，不等式组表示的平面区域是△AOB ，动直线x +y=a （即y=﹣x +a ）在y 轴上的截距从﹣2变化到1．知△ADC 是斜边为3的等腰直角三角形，△EOC 是直角边为1等腰直角三角形，所以区域的面积S 阴影=S △ADC ﹣S △EOC =×3×﹣×1×1= 故答案为：D ．11．已知P 为抛物线y 2=4x 上一个动点，Q 为圆x 2+（y ﹣4）2=1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】抛物线的应用．【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P 到准线的距离等于点P 到焦点的距离，进而问题转化为求点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P ，Q ，F 三点共线时P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F 的距离减去圆的半径．【解答】解：抛物线y 2=4x 的焦点为F （1，0），圆x 2+（y ﹣4）2=1的圆心为C （0，4），根据抛物线的定义可知点P 到准线的距离等于点P 到焦点的距离，进而推断出当P ，Q ，F 三点共线时P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的焦点距离之和的最小为：，故选C ．12．利用计算机产生120个随机正整数，其最高位数字（如：34的最高位数字为3，567的最高位数字为5）的频数分布图如图所示，若从这120个正整数中任意取出一个，设其最高位数字为d（d=1，2，…，9）的概率为P，下列选项中，最能反映P与d的关系的是（）A．P=lg（1+）B．P=C．P=D．P=×【考点】频率分布直方图．【分析】利用排除法，即可判断．【解答】解：当d=5时，其概率为P==，对于B，P=，对于C，P=0，对于D，P=，故B，C，D均不符合，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．13．函数y=的值域是[0，] ．【考点】函数的值域．【分析】函数y=的几何意义是点（﹣2，0）与点（x，）连线的斜率，利用数形结合求解．【解答】解：函数y=的几何意义是点（﹣2，0）与点（x，）连线的斜率，作图如右图，直线n的斜率为0，直线m的斜率为；故函数y=的值域是[0，]，故答案为：[0，]．14．过原点O作圆x2+y2﹣6x﹣8y+20=0的两条切线，设切点分别为M，N，则线段MN的长为4．【考点】圆的切线方程．【分析】先求出圆心坐标和半径，直角三角形中使用边角关系求出cos∠OCM，二倍角公式求出cos∠MCN，三角形MCN中，用余弦定理求出|MN|．【解答】解：圆x2+y2﹣6x﹣8y+20=0 可化为（x﹣3）2+（y﹣4）2 =5，圆心C（3，4）到原点的距离为5．故cos∠OCM=，∴cos∠MCN=2cos2∠OCM﹣1=﹣，∴|MN|2=（）2+（）2+2×（）2×=16．∴|MN|=4．故答案为：415．椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率是，则的最小值为．【考点】椭圆的简单性质；基本不等式．【分析】直接利用椭圆的离心率，求出a，b的关系代入表达式，通过基本不等式求出表达式的最小值．【解答】解：因为椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率是，所以a=2c，所以4b2=3a2，=，当且仅当a=时取等号．所以的最小值为．故答案为：．16．设0＜α＜＜β＜π，sinα=，则sinβ的值为．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】先根据α，β的范围确定α+β的取值范围，再由题中所给sinα、cos（α+β）求出sin（α+β）与cosα的值，最后将β表示为（α+β﹣α）后运用两角和与差的正弦公式可得答案【解答】解：0＜α＜＜β＜π，sinα=，∴＜α+β＜，∴cosα=，cos（α+β）=﹣，∴sinβ=sin（α+β﹣α）=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=×﹣（﹣）×=，故答案为：三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设数列{a n}的前n项和S n满足：S n=na n﹣2n（n﹣1），等比数列{b n}的前n 项和为T n，公比为a1，且T5=T3+2b5．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）求数列的前n项和为M n．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（I）由T5=T3+2b5，化为b4=b5，可得a1=1．由S n=na n﹣2n（n﹣1），利用递推关系可得：n≥2，a n=na n﹣（n﹣1）a n﹣1﹣4（n﹣1），化为a n﹣a n﹣1=4，利用等差数列的通项公式可得a n．（II），利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可证明．【解答】解：（I）∵T5=T3+2b5，∴T3+b4+b5=T3+2b5，∴b4=b5，∴a1=1．∵S n=na n﹣2n（n﹣1），∴n≥2，S n﹣1=（n﹣1）a n﹣1﹣2（n﹣1）（n﹣2），∴n≥2，a n=na n﹣（n﹣1）a n﹣1﹣4（n﹣1），即n≥2时，有a n﹣a n﹣1=4，∴{a n}为等差数列，公差为4，首项为1，∴a n=4n﹣3．（II），∴=，n≥1时，易知M n为递增数列，∴，即．18．甲、乙两位射击运动员，在某天训练中已各射击10次，每次命中的环数如下：甲7 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙9 5 7 8 7 6 8 6 7 7（Ⅰ）通过计算估计，甲、乙二人的射击成绩谁更稳；（Ⅱ）若规定命中8环及以上环数为优秀，请依据上述数据估计，在第11次射击时，甲、乙两人分别获得优秀的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）先求出平均数，再求出方差，由＜，知乙比甲的射击成绩更稳．（Ⅱ）由题意得：甲运动员获得优秀的概率为，乙运动员获得优秀的概率为．【解答】解：（Ⅰ）∵x甲=，x乙=（9+5+7+8+7+6+8+6+7+7）=7，7﹣7）2+（8﹣7）2+（7﹣7）2+（9﹣7）2+（5﹣7）2+（4﹣7）2+∴S2甲= [（（9﹣7）2+（10﹣7）2+（7﹣7）2+（4﹣7）2]=4，= [（9﹣7）2+（5﹣7）2+（7﹣7）2+（8﹣7）2+（7﹣7）2+（6﹣7）2+（8﹣7）2+（6﹣7）2+（7﹣7）2+（7﹣7）2]=1.2，∵＜，∴乙比甲的射击成绩更稳．（Ⅱ）由题意得：在第11次射击时，甲运动员获得优秀的概率为p1==，乙运动员获得优秀的概率为p2=．19．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面BFDE；（Ⅱ）求四棱锥P﹣BFDE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连接EF交BD于O，连接OP，在正方形ABCD中，点E是AB中点，点F是BC中点，可得EF⊥OP，又EF⊂平面BFDE，即可证得平面PBD⊥平面BFDE；（Ⅱ）由（Ⅰ）的证明可知平面POD⊥平面DEF，进一步得到∠OPD=90°，作PH ⊥OD于H，则PH⊥平面DEF，求出PH的值，则答案可求．【解答】（Ⅰ）证明：连接EF交BD于O，连接OP．在正方形ABCD中，点E是AB中点，点F是BC中点，∴BE=BF，DE=DF，∴△DEB≌△DFB，∴在等腰△DEF中，O是EF的中点，且EF⊥OD，因此在等腰△PEF中，EF⊥OP，从而EF⊥平面OPD，又EF⊂平面BFDE，∴平面BFDE⊥平面OPD，即平面PBD⊥平面BFDE；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）的证明可知平面POD⊥平面DEF，可得，，，PD=2，由于，∴∠OPD=90°，作PH⊥OD于H，则PH⊥平面DEF，在Rt△POD中，由OD•PH=OP•PD，得．又四边形BFDE的面积，∴四棱锥P﹣BFDE的体积．20．已知函数f（x）=e x﹣x2﹣ax．（I）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的最大值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出f′（x）由f′（0）=1﹣a=2，求得a=﹣1．得到f（x）=e x﹣x2+x，再由f（0）=1求得b值；（Ⅱ）由题意f′（x）≥0，即e x﹣2x﹣a≥0恒成立，∴a≤e x﹣2x恒成立．令h （x）=e x﹣2x，利用导数求其最小值得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=e x﹣x2﹣ax，∴f′（x）=e x﹣2x﹣a，则f′（0）=1﹣a．由题意知1﹣a=2，即a=﹣1．∴f（x）=e x﹣x2+x，则f（0）=1．于是1=2×0+b，b=1．（Ⅱ）由题意f′（x）≥0，即e x﹣2x﹣a≥0恒成立，∴a≤e x﹣2x恒成立．设h（x）=e x﹣2x，则h′（x）=e x﹣2．∴当x∈（﹣∞，ln2）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数；当x∈（ln2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数．∴h（x）min=h（ln2）=2﹣2ln2．∴a≤2﹣2ln2，即a的最大值为2﹣2ln2．21．已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a．（a∈R）（I）试确定函数f（x）的零点个数；（II）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．参考公式：（e t﹣x）'=﹣e t﹣x（t为常数）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的零点个数即可；（Ⅱ）要证x1+x2＜2，只需证x1＜2﹣x2，只需证f（x1）＞f（2﹣x2），即要证f （2﹣x2）＜0，令h（x）=﹣xe2﹣x﹣（x﹣2）e x，根据函数的单调性证明即可；【解答】解：（I）由g（x）=0得a=（2﹣x）e x，令g（x）=（2﹣x）e x，函数f（x）的零点个数即直线y=a与曲线g（x）=（2﹣x）e x的交点个数，∵g'（x）=﹣e x+（2﹣x）e x=（1﹣x）e x，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由g'（x）＞0得x＜1，∴函数g（x）在（﹣∞，1）单调递增，由g'（x）＜0得x＞1，∴函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，∴当x=1时，函数g（x）有最大值，g（x）max=g（1）=e，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又当x＜2时，g（x）＞0，g（2）=0，当x＞2时g（x）＜0，∴当a＞e时，函数f（x）没有零点；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当a=e或a≤0时，函数f（x）有一个零点；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当0＜a＜e时，函数f（x）有两个零点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（II）证明：函数f（x）的零点即直线y=a与曲线g（x）=（2﹣x）e x的交点横坐标，不妨设x1＜x2，由（I）知x1＜1，x2＞1，得2﹣x2＜1，∵函数g（x）=（2﹣x）e x在（﹣∞，1）上单调递增，∴函数f（x）=﹣g（x）+a在（﹣∞，1）单调递减，要证x1+x2＜2，只需证x1＜2﹣x2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴只需证f（x1）＞f（2﹣x2），又f（x1）=0，即要证f（2﹣x2）＜0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵由a=g（x2）得，（x2＞1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令h（x）=﹣xe2﹣x﹣（x﹣2）e x，则h'（x）=（1﹣x）（e x﹣e2﹣x），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当x＞1时，e x＞e2﹣x，h'（x）＜0，即函数h（x）在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）＜h（1）=0，∴当x2＞1时，f（2﹣x2）＜0，即x1+x2＜2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣证法二：由（Ⅰ）知，a＞0，不妨设x1＜1＜x2，设F（x）=f（x）﹣f（2﹣x）（x＞1），则F（x）=（x﹣2）e x+xe2﹣x，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣F'（x）=（1﹣x）（e2﹣x﹣e x），易知y=e2﹣x﹣e x是减函数，当x＞1时，e2﹣x﹣e x＜e﹣e=0，又1﹣x＜0，得F'（x）＞0，所以F（x）在（1，+∞）递增，F（x）＞F（1）=0，即f（x）＞f（2﹣x）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由x2＞1得f（x2）＞f（2﹣x2），又f（x2）=0=f（x1），所以f（2﹣x2）＜f（x1），由g（x）=（2﹣x）e x在（﹣∞，1）上单调递增，得f（x）=﹣g（x）+a在（﹣∞，1）单调递减，又2﹣x2＜1，∴2﹣x2＞x1，即x1+x2＜2，得证．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣】请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=2．（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C参数方程消去参数θ，能求出曲线C的方程，由ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出直线l的直角坐标方程．（2）设曲线C上的点为（，sinθ），利用点到直线的距离公式能求出曲线C上的点到直线l的距离的最大值．【解答】解：（1）曲线C参数方程为（θ为参数），消去参数θ，得曲线C的方程为，直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=2．即=2，整理，得ρcosθ+ρsinθ=4，∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，直线l的直角坐标方程为x+y﹣4=0．（2）设曲线C上的点为（，sinθ），∴曲线C上的点到直线l的距离：．∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣2a|，a∈R．（1）若不等式f（x）＜1的解集为{x|1＜x＜3}，求a的值；（2）若存在x0∈R，使f（x0）+x0＜3，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）由不等式f（x）＜1求得2a﹣1＜x＜2a+1，再根据不等式f（x）＜1的解集为{x|1＜x＜3}，可得2a﹣1=1，且2a+1=3，求得a的值．（2）令g（x）=f（x）+x=|x﹣2a|+x=，可得g（x）的最小值为2a，根据题意可得2a＜3，由此求得a的范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|x﹣2a|，a∈R，∴不等式f（x）＜1 即|x﹣2a|＜1，求得2a﹣1＜x＜2a+1．再根据不等式f（x）＜1的解集为{x|1＜x＜3}，可得2a﹣1=1，且2a+1=3，求得a=1．（2）令g（x）=f（x）+x=|x﹣2a|+x=，故g（x）=f（x）+x的最小值为2a，根据题意可得2a＜3，a＜，故a的范围是（﹣∞，）．2017年4月21日。