一线三等角模型识别与应用
全等三角形——一线三等角模型
全等三角形——一线三等角模型一、一线三等角概念“一线三等角”指的是有三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
二、一线三等角的类型同侧：锐角 直角 钝角异侧：三、“一线三等角”的性质当∠1=∠2=∠3，且当等角所对的边相等时，则两个三角形全等. 如右图，若 CE=ED ，则△AEC ≌△BDE. 四、“一线三等角”的应用 1.适用于直角的情况例1：在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线l 经过点C ，且l AE ⊥于点E ，l BF ⊥于点F . （1）当直线l 绕点C 旋转到如图1的位置时，○1图中有几对相等的锐角？ ○2求证：AEC ∆≌CFB ∆； ○3试探究AE 、BF 、EF 之间的数量关系，并说明理由； （2）当直线l 绕点C 旋转到如图2的位置时，试探究AE 、BF 、EF 之间的数量关系，并说明理由； （3）当直线l 绕点C 旋转到如图3的位置时，试探究AE 、BF 、EF 之间的数量关系，不必说明理由.图1 图2 图3lFE B ACl FEB AC lFEBAC DCC A BDDC DBADB CAAB2.适用于锐角或钝角的情况例2：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CF ，BE ＝CD ， 若∠A ＝40°，则∠EDF 的度数为（ ）A. 75°B. 70°C. 65°D. 60°★演练题：（勾股定理）如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，点D 为斜边AB 上一点，连接CD ，过点A 作CD AE ⊥于点E .若︒=∠45BED ，4=AE ，则=AB ___________.练习1.如图，ABC ∆是等腰三角形，DE 过直角顶点A ，︒=∠=∠90E D ，则下列结论正确的个数有（ ） ○1AE CD =； ○221∠=∠； ○3︒=∠+∠9043； ○4BE AD =； ⑤DE=CD+BE. （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个2．（1）已知△ABC 是直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线l 经过点A ，分别从点B 、C 向直线l 作垂线，垂足分别为D 、E ．当点B ，C 位于直线l 的同侧时（如图1），易证△ABD ≌△CAE ．如图2，若点BC 在直线l 的异侧，其它条件不变，△ABD ≌△CAE 是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（2）变式一：如图3，△ABC 中，AB ＝AC ，直线l 经过点A ，点D 、E 分别在直线l 上，点B 、C 位于l 的同一侧，如果∠CEA ＝∠ADB ＝∠BAC ，求证：△ABD ≌△CAE ．（3）变式二：如图4，△ABC 中，依然有AB ＝AC ，若点B ，C 位于l 的两侧，如果∠BDA+∠BAC ＝180°，∠BDA ＝∠AEC ，求证：BD ＝CE+DE ．4321EB DC AEC DA。
一线三等角模型及其解法
一线三等角模型及其解法一线三等角模型是将一个图表分解为一线三等角形。
它是一种分解复杂图形的有效方法，可以帮助工程师了解复杂图表中可能存在的规律性和关系。
一、一线三等角模型的定义一线三等角模型是一种通过一条直线和三条重合线将数据进行分解的方法。
它的定义是：原有的数据经过分解、重构后，可以用一线三等角结构或等角三线结构图表示（即用三条线把一条线一分为三），以保证在某一范围内搜索达到最大或最小值。
二、一线三等角模型的特点1、合理性：一线三等角模型由来自原始数据的三角形组成，因此它可以合理地反映数据，以更容易地挖掘数据正确的值和规律。
2、比较性：由于一线三等角模型可以以图形的形式直观地表示数据的相互关系，因此它可以更清晰地显示不同数据之间的差异。
3、趋势性：一线三等角模型可以清楚地显示数据之间的变化趋势，它可以有效地预测某些情况下的发展前景。
三、一线三等角模型的解法1、根据图形上的定义，确定图形线条的表示方式；2、将数据或原始度量根据图形上的定义转换为图形内的点；3、利用拟合算法进行拟合，连接图形上的点与相关的定义；4、使用数学方程求解一线三等角模型，得出不同变量的比例关系及相应的数值；5、根据计算结果绘制图表，解释结果。
四、一线三等角模型的应用1、市场营销：一线三等角模型可以分析市场竞争，从而定位和优化品牌。
2、团队管理：一线三等角模型可以揭示团队的组织关系，以提高团队效率。
3、资源管理：一线三等角模型可以激发和有效地分配资源，以提高生产效率。
4、项目研究：一线三等角模型可以帮助分析市场需求情况，以及项目规划和实施情况。
5、战略管理：一线三等角模型可以提供组织战略发展的方向和衡量标准。
一线三等角模型证明过程
一线三等角模型证明过程1. 认识一线三等角模型说到一线三等角模型，嘿，别急，我们先来点背景知识。
想象一下，数学就像一座神秘的宝藏，里面埋藏着无数的秘密，而一线三等角模型就是其中一个闪闪发光的宝石。
这玩意儿，简单来说，就是把一个三角形分成三部分，然后看看它们之间的关系。
好比把一块美味的蛋糕切成三块，既有视觉的享受，又能品味其中的奥妙。
1.1. 什么是三等角首先，咱们得搞明白“三等角”是什么。
简单来说，就是一个三角形的三个角都是相等的，像极了三个好朋友一起吃冰淇淋，谁都不想多吃一点，公平得很。
这样的三角形叫做“等边三角形”，可别小看它，这可是一切三角形的王者，立马吸引了数学家的目光。
1.2. 一线三等角的妙用一线三等角模型可不仅仅是好看，它的用处可大着呢！比如，咱们在建筑设计、工程测量上，都能看到它的身影。
想象一下，建筑师用它来确保大楼的角度完美无瑕，真是既实用又充满艺术感啊。
2. 证明过程的步骤接下来，就让我们开启证明的旅程吧！首先，咱们得找到一个合适的三角形，当然，选择等边三角形最好，因为它的角度都是60度，简直是稳稳的让人安心。
然后，咱们在这个三角形的底边上画一条线，嘿，这可不是普通的线，它能将三角形分成三部分，每一部分都恰到好处。
2.1. 分割与重组接下来，咱们要用一种很神奇的方法，把这三部分重新组合。
就像把玩具拆散再组装成新的样子，数学的魅力在于这种变化。
我们把每一部分的角度和边长一一对应，最后，嘿，咱们会发现，它们都是相等的！这就像一场精彩的变魔术，大家都惊呼“哇，太神奇了！”2.2. 视觉化证明为了让这个证明更加直观，我们可以用图形来辅助。
画出一个大的等边三角形，再在底边上画出一条平行线，把它分割成几个小三角形。
然后，咱们来个巧妙的观察，发现这些小三角形也是等边的，角度完全相等，真是让人拍手叫绝！这就如同把同一颗星星用不同的角度观察，看到的却是不同的美。
3. 结论与应用最后，经过一番折腾，我们终于证明了一线三等角模型的奥秘。
一线三等角模型结论及证明
一线三等角模型结论及证明
摘要
一线三等角模型是几何学中的重要概念，它指的是在一个给定的直线上，存在三个等角，它们的夹角均为120度。
本文将详细阐述一线三等角模型的结论及证明，以及如何使用它来解决实际问题。
一、定义
一线三等角模型是几何学中的重要概念，它指的是在一个给定的直线上，存在三个等角，它们的夹角均为120度。
二、结论
一线三等角模型的结论如下：
1、如果在一条直线上有三个等角，则它们的夹角均为120度。
2、如果三条直线的夹角均为120度，则它们共线。
三、证明
1、证明一：假设在一条直线上有三个等角，设它们的夹角为α，β，γ，则有
α+β+γ=360°，由等角性质可知α=β=γ=120°，得证。
2、证明二：假设三条直线的夹角均为120°，设它们的夹角分别为α，β，γ，则有α+β+γ=360°，此时α=β=γ=120°，由此可知，三条直线共线，得证。
四、实际应用
一线三等角模型可以用来解决实际问题，比如，在建筑设计中，可以根据一线三等角模型设计出美观的建筑结构，如三角形的屋顶，具有特殊的视觉效果。
结论
一线三等角模型是几何学中的重要概念，它指的是在一个给定的直线上，存在三个等角，
它们的夹角均为120度。
本文详细阐述了一线三等角模型的结论及证明，并且给出了如何使用它来解决实际问题的实例。
用几何画板探究一线三等角相似模型
用几何画板探究一线三等角相似模型资料编号:202210161100 在学习相似三角形时,我们会遇到一种特殊的相似模型——一线三等角相似模型.这种模型常见于等腰三角形、等边三角形、矩形、正方形等图形中.在处理复杂的几何图形时,如果能从图形中识别出这种模型,将对问题的解决起到至关重要的作用.现在,我们借助于几何画板软件,来探究一线三等角相似模型及其应用.模型制作1. 打开几何画板软件,使用“线工具”任意画一条直线,在该直线上任取两点A、B,再任意画一条线段AD,依次选中点D、A、B（顺时针方向）,依次单击“变换”、“标记角度”.如图1所示.2.双击选中点B,单击选中点A,依次单击“变换”、“旋转”,将点A绕点B按标记角度DABBA.如图2、图3所示.旋转到点'A的位置,作直线'3. 在直线AB上任取一点P,连结DP,双击选中点P,单击点D,依次单击“变换”、“旋转”,将点D绕点P按标记角度DABPD,交直旋转到点'D的位置,作直线'线'BA于点C.如图4所示.4.选中点'D、点'A,依次单击“显示”、“隐藏点”.5.依次选中点P、A、D,依次单击“构造”、“三角形的内部”,用同样的方法构造△PBC的内部.如图5所示.6. 单击“标识工具”,单击点A,并向角内拖动鼠标,松开鼠标,标识DAB∠,用同样的方法标识DPC∠.如图6所示.∠、ABC7. 依次选中点P、B、C,依次单击“构造”、“线段”,此时,构造了△PBC.选中直线AB,依次单击“显示”、“线型”、“实线”;选中直线PC、BC，依次单击“显示”、“线型”、“细线”.如图7所示.8. 检查从第1步至第7步作图,完成作图.模型探索当点P在线段AB上时,拖动点D,使DAB∠分别为锐角、直角、钝角,得到图8、图9、图10三种不同类型的图形.其中,点P在线段AB上,PBC=∠,则△DAP∽△PBC.∠DPCDAP∠=模型证明证明:∵BPC=∠∠+DPCDPB∠∠∠=+ADPDAPDPB∠∠=DAPDPC∠∴ADP∠=BPC∠∵ADP∠BPC∠DAP∠=∠,PBC=∴△DAP∽△PBC.当点P在线段BA的延长线上时,如图11所示,由作图可知:=∠DABDPC∠=∠,此时△DAP∽△PBC仍然成立.证明略.ABE当点P在线段AB的延长线上时,如图12所示,由作图可知:=∠DPEDAB=∠∠,此时△DAP∽△PBC仍然成立.证明略.ABF像这样,两个相等的角的一边在同一直线上,另一边在该直线的同侧,如果与这两个角相等的第三个角的顶点在该直线上,角的两边分别与这两个角的非共线边（或该边所在直线）相交所形成的两个三角形相似.我们把包含这种基本图形的一类题目称为一线三等角相似模型.特别地,当点P 是线段AB 的中点时,△DAP ∽△PBC ∽△DPC .如图13所示.图 13证明:易证△DAP ∽△PBC∴BC APCP PD= ∴BCCPAP PD = ∵点P 是线段AB 的中点 ∴BP AP = ∴CBCPBP PD =∵PBC DPC ∠=∠ ∴△DPC ∽△PBC ∴△DAP ∽△PBC ∽△DPC . 模型应用例1.（1）问题:如图（1）,在四边形ABCD 中,点P 为AB 上一点,=∠=∠A DPC︒=∠90B .求证:BP AP BC AD ⋅=⋅.（2）探究:如图（2）,在四边形ABCD 中,点P 为AB 上一点,当B A DPC ∠=∠=∠θ=时,上述结论是否仍然成立?说明理由.（3）应用:请利用（1）（2）获得的经验解决问题:如图（3）,在△ABD 中,6=AB ,5==BD AD ,点P 以每秒1个单位长度的速度,由点A 出发,沿边AB 向点B 运动,且满足A DPC ∠=∠.设点P 的运动时间为t （秒）,当以点D 为圆心,以DC 为半径的圆与AB 边相切时,求t 的值.图（1)图 （2）CAB DP图 （3）CDABP（1）证明: ∵︒=∠=∠90A DPC21∠+∠=∠+∠=∠DPC A BPD ∴21∠=∠ ∵B A ∠=∠ ∴△APD ∽△BCP ∴BPADBC AP =∴BC AD BP AP ⋅=⋅. （2）成立.理由如下:∵θ=∠=∠A DPC21∠+∠=∠+∠=∠DPC A BPD ∴∴21∠=∠ ∵B A ∠=∠ ∴△APD ∽△BCP ∴BPADBC AP =∴BC AD BP AP ⋅=⋅. （3）设切点为E ,连结DE . ∴AB DE ⊥∵BD AD =,AB DE ⊥ ∴321==AB AE 在Rt △ADE 中,由勾股定理得:4352222=-=-=AE AD DE∴145,4=-=-==DC BD BC DCE CDABP易证:△APD ∽△BCP ∴BPADBC AP =∴BC AD BP AP ⋅=⋅. 由题意可知:t BP t AP -==6, ∴()156⨯=-t t解之得:5,121==t t经检验,1=t 和5=t 均符合题意.点评 对于第（3）问,我们可以利用几何画板进行动态分析.1. 打开几何画板,单击“点工具”,任意画一点A ,选中点A ,依次单击“变换”、“平移”,在弹出的对话框中选择“直角坐标”,修改水平方向的“固定距离”为6 cm,垂直方向的距离为0 cm,单击“平移”.如图14所示,将平移后的点的标签命名为B .2. 用同样的方法把点A 平移5 cm 得到点'A ,画线段'AA ,分别选中点A 、B ,线段'AA ,依次单击“构造”、“以圆心和半径绘圆（R ）”,画出两个圆,在上方的交点命名为D .如图15所示.图 15DA'BA3. 选中线段'AA 、点'A 、两个圆,依次单击“显示”、“隐藏对象”,构造△ABD .4. 依次选中点D 、A 、B ,依次单击“变换”、“标记角度”,标记角度DAB ∠.在线段AB 上任画一点P ,连结DP ,双击点P ,选中点D ,依次单击“变换”、“旋转”,将点D 绕点P 按标记角度DAB ∠旋转到点'D 的位置,作射线'PD ,交BD 边于点C ,隐藏射线'PD 和点'D ,构造线段PC .如图16、图17所示.5. 依次选中点D 、点C ,依次单击“构造”、“以圆心和圆周上的点绘圆（C ）”,画出一个圆.如图18所示.图 17图 18拖动点P ,观察⊙D 与AB 边的位置关系,可以发现点P 位于AB 边上两个不同的位置,都能使⊙D 与AB 边相切,如图19、图20所示,所以需要分为两种情况进行讨论.图 19图 20例2.（1）如图（1）,在△ABC 中,8,5===BC AC AB ,点P 、Q 分别在射线CB 、AC 上（点P 不与点C 、点B 重合）,且保持ABC APQ ∠=∠. ①若点P 在线段CB 上,且6=BP ,求线段CQ 的长;②若y CQ x BP ==,,求y 与x 之间的函数关系式,并写出函数的定义域;QABCP（2）如图（2）所示,正方形ABCD 的边长为5,点P 、Q 分别在直线CB 、DC 上（点P 不与点C 、点B 重合）,且保持︒=∠90APQ ,.当1=CQ 时,直接写出线段BP 的长.图 （1）QABCP图 （2）DABC解:（1）①∵6,8==BP BC ∴268=-=-=BP BC CP∵21∠+∠=∠+∠=∠APQ ABC APCABC APQ ∠=∠∴21∠=∠ ∵AC AB = ∴C B ∠=∠∵21∠=∠,C B ∠=∠ ∴△ABP ∽△PCQ ∴CQCQ BP PC AB 625,== ∴512=CQ ; ②分为两种种情况:当点P 在BC 边上时,x BP BC PC -=-=8 由①可知:△ABP ∽△PCQ ∴yxx CQ BP PC AB =-=85, 整理得:x x y 58512+-=（80<<x ）;当点P 在CB 的延长线上时,如图所示,8+=+=x BP BC PC 易证:△ABP ∽△PCQ∴yx CQ PC =+=8, 整理得:x x y 58512+=（0>x ）;（2）分为三种情况:①当点P 在BC 边上时,点Q 必在CD 边上.设x BP =,则x PC -=5 易证:△ABP ∽△PCQ ∴155,x x CQ BP PC AB =-=,整理得:0552=+-x x 解之得:255,25521+=-=x x ∴255-=BP 或255+=BP .如图1、图2所示; 图 1POQDABC图 2POQ DABC②当点P 在CB 的延长线上时,点Q 必在DC 的延长线上.如图3所示. 易证:△ABP ∽△PCQ∴15,x CQ PC =+= 整理得:0552=-+x x ,解之得:2535,253521--=+-=x x （舍去） ∴2535+-=BP ; 图 3图 4③当点P 在BC 的延长线上时,点Q 必在DC 的延长线上.如图4所示. 易证:△ABP ∽△PCQ ∴155,xx CQ BP PC AB =-= 整理得:0552=--x x ,解之得:2535,253521-=+=x x （舍去） ∴2535+=BP . 综上所述,线段BP 的长为2535+-或255-或255+或2535+. 点评 对于第（2）问,我们可以利用几何画板进行动态分析.1. 打开几何画板,单击“点工具”,任意画一点A ,选中点A ,依次单击“变换”、“平移”,在弹出的对话框中选择“直角坐标”,修改水平方向的“固定距离”为0 cm, 垂直方向的距离为5-cm,单击“平移”.如图21所示,将平移后的点的标签命名为B .2.选中点A、点B,依次单击“变换”、“平移”,修改水平方向“固定距离”为5 cm,垂直方向“固定距离”为0 cm,单击“平移”,将点A的对应点命名为D,点B的对应点命名为C.如图22所示.3.构造线段AD、直线DC、直线BC,在直线BC上任取一点P,构造线段AP,双击点P,选中点A,依次单击“变换”、“旋转”,修改“固定角度”为0.度,单击“旋90转”,得到点'A,作直线'PA,交直线CD于点Q,如图23、图24所示.4.选中点'A和直线'PA,依次单击“显示”、“隐藏对象”,构造线段PQ.5.依次选中点A、B、P,依次单击“构造”、“三角形的内部”,用同样的方法构造△PCQ的内部.如图25所示.6.选中点C、点Q,依次单击“度量”、“距离”,度量出线段CQ的长度,完成作图.在直线BC上拖动点P,观察CQ长度的变化,可以发现,当1CQ cm时,点P有四个不同的位置,对应四种不同的结果,分别如图26（1）、（2）、（3）、（4）所示.其中,当点P在BC边上时,有两个不同的位置满足条件.（1）（2）（3）图 26模型练习1. 如图所示,在矩形ABCD 中,由8个面积均为1的小正方形组成的L 形模板如图放置,则矩形ABCD 的周长为_________.GFEDCBA提示 设x DF =,则有x BC x CF BE x CD CE AB 3,,2======. 2. 【情景观察】如图（1）,将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开,得到△ABC 和△D C A ''.将△D C A ''的顶点'A 与点A 重合,并绕点A 按逆时针方向旋转,使点D ,()'A A ,B 在同一条直线上,如图（2）所示.观察图（2）可知:与BC 相等的线段是_________,=∠'CAC _________; 【问题探究】如图27所示,在△ABC 中,BC AG ⊥于点G ,以A 为直角顶点,分别以AB 、AC 为直角边,向△ABC 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ,过点E 、F 作射线GA 的垂线,垂足分别为P 、Q ,试探究EP 与FQ 之间的数量关系,并证明你的结论. 【拓展延伸】如图28所示,在△ABC 中,BC AG ⊥于点G ,分别以AB 、AC 为一边向△ABC 外作矩形ABME 和矩形ACNF ,射线GA 交EF 于点H .若kAF AC kAE AB ==,,试探究HE 与HF 之间的数量关系,并说明理由.（2）（1）BCC'A (A')C'A'DCBCABDAD图 27图 28提示 【问题探究】FQ EP =,如右图,只需证明△ABG ≌△EAP （EP AG =）,△ACG ≌△F AQ （FQ AG =）,就可完成证明.【拓展延伸】作AG FQ AG EP ⊥⊥,,如下页图 所示.易证:△ABG ∽△EAP ,△ACG ∽△F AQ∴k FQAGFA AC k EP AG EA AB ====, ∴kFQ AG kEP AG ==, ∴FQ EP =∴易证:△EHP ≌△FHQ ∴HF HE =.。
八年级上册数学-一线三等角模型及应用
第10讲 一线三等角模型及应用一、“一线三等角”的基本构图：321132CEB DDCBEll二、“一线三等角”的基本性质：1．如果∠1＝∠2＝∠3，那么∠D ＝∠CBE ，∠ABD ＝∠E ．2．如果图中△ABD 与△CEB 中有一组对应边相等，则有△ABD ≌△CEB ． 三、“一线三等角”的基本应用：本讲主要学习“一线三等角”与全等．对于八年级而言，“一线三等角”主要应用于导角证三角形的全等，最常见的是直角型“一线三等角”，其次是60°角和45°角及一般的角． 【方法技巧】用法：若一线三等角都具备则直接应用；若一线三等角不完全具备，则需要构造出一线三等角．【板块一】 直角型“一线三等角”——“三垂直”【知识导航】直角型“一线三等角”又称“三垂直”或“K ”形图，是“一线三等角”问题中最为常见的一种．认识“三垂直”模型：直线绕直角顶点旋转，由外到内，由一般到特殊．【例1】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，过点A 作直线l ,过B ，C 分别作BD ⊥l 于D ，CE ⊥l 于E ．（1）如图1，当直线l 在△ABC 的外部时，求证：DE ＝BD ＋CE ； （2）当直线l 在△ABC 的内部如图2所示时，求证：DE ＝BD －CE ；（3）当直线l 在△ABC 的内部如图3所示时，直接写出DE ，BD ，CE 三者之间的数量关系式为___________．lBBCBC图1 图2 图3【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 为BC 上一点，连接AE ，作AF ⊥AE 且AF ＝AE ，BF 交AC 于D ．（1）如图1，求证：点D 为BF 中点； （2）如图1，求证：BE ＝2CD ； （3）如图2，若BE CE ＝23，则ADCD＝____． 图2图1E CBAFDEBAC F针对练习11．（1）如图1，△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ，AC ⊥BC ，A （0，3），C （1，0），求点B 的坐标． （2）如图2，△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ，AC ⊥BC ，A （－1，0），C （1，3），求点B 的坐标．（3）如图3，△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ，AC ⊥BC ，B （2，2），C （4，－2），求点A 的坐标．图1图2图3【板块二】等边三角形中的“一线三等角”【例3】如图，△ABC 为等边三角形，D ，E ，F 分别AB ，BC ，AC 上的点，∠DEF =60°，BD =CE ，求证：BE=CFAB DFE C针对练习21．如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是BC，AC上的点BE，AD交于F，∠AFE＝60°．求证：AD＝BEEA B D F C。
[一线,模型,初中]“一线三等角”模型在初中数学中的应用
![[一线,模型,初中]“一线三等角”模型在初中数学中的应用](https://img.taocdn.com/s3/m/16e8df11bb4cf7ec4bfed0b4.png)
“一线三等角”模型在初中数学中的应用相似三角形在初中几何的教学中发挥着不可小觑的作用，在中考考题中常有涉及和渗透，笔者在初三的教学中发现掌握相似三角形的基本图形，对培养学生分析问题和解决问题的能力有一定的促进作用。
本文以相似三角形中的“一线三等角”这一基本图形为载体，研究这一基本图形背景下的相关题型，并进行了收集与整理，希望对学生灵活应用这一模型有所帮助。
一、弄清基本模型定义和解题原理二、应用举例1.在“动点问题”中的应用例1：如图2，正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，设BM的长为x cm，CN的长为y cm.求点M在BC上的运动过程中y的最大值。
分析：由图可知∠B=∠C=∠AMN=90°，Rt△ABM与Rt△MCN成“一线三等角”模型，所以Rt△ABM∽Rt△MCN，从而，所以，.所以y的最大值为。
【变式】如“例1”的条件，将问题改为“当BM=cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为 cm2.”分析：四边形ABCN的面积为，BC，AB的长都为1，是定值，只有CN在变化，要使四边形ABCN的面积最大，则CN最大，即转化为“例1”的问题.2.与反比例函数联手例2：（2015?孝感）如图3，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函数y=的图象上.若点B在反比例函数y=的图象上，则k的值为（）A.-4B.4C.-2D.2分析：看到反比例函数图像上的点A，并且要求的点B也在反比例函数图像上，从而联想反比例函数解析式中“k”的几何意义解决问题.过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D.根据“一线三等角”模型，很容易得到△ACO∽△ODB，从而==4，然后用反比例函数解析式中“k”的几何意义即可.3.在“直角三角形存在性问题”中的应用点的存在性问题始终是中考考查的热点和难点，对学生的思维能力和模型思想等基本数学素养有着较高的要求，所以一直困扰着学生.数学解题研究中一直很关注一题多解的研究，多一种解决问题的方法，能让学生步入考场有更多的选择，直角三角形的存在性问题多数教师在讲解的时候是引导学生利用解析式法“”和勾股定理解决.笔者在教学中发现，利用“一线三等角”模型解决直角三角形的存在性问题也是一种通用方法，即便这个点在抛物线上也能使用（当点在抛物线上时，利用勾股定理会出现四次情形，初中学生无法解决），能为学生解决这类问题提供了一种新的选择。
2024中考数学总复习冲刺专题：《一线三等角模型》通用版
《一线三等角模型》一、教材分析“一线三等角”是指三个相等角的顶点在同一直线上，其中两个角的一边与该直线重合，第三个角的两边均不与直线重合，这样会形成一组全等或相似三角形.根据等角的度数，此模型可分为锐角一线三等角、直角一线三等角和钝角一线三等角.“一线三等角”模型本质上是一个重要的基本几何模型，数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的表现形式，初中阶段的“一线三等角”模型是利用方程或函数等来表示数量之间的关系或变化规律.它一般不单独出现，通常与其他特殊图形结合，如等腰三角形、等边三角形、矩形、正方形，以及与翻折、坐标系结合等，从而考查这些图形的性质.因此“一线三等角”模型可以出现在选择题、填空题的最后一题，也可以出现在解答题的几何证明、综合题中，是一个使用频率高、综合性较强的模型.平时的训练中，需要提升自己的模型思想，提炼问题的基本图形，利用基本图形的性质特点来突破考题，在具体分析过程中，也要结合数形结合思想，如根据题干信息提炼图形的结构特点，然后结合图形，采用代数运算的方式探求深层信息，促进信息的融合、转化.二、核心素养分析2022年版义务教育数学课程标准希望学生在初中阶段形成模型观念、数据观念；数学学科核心素养也提到数学抽象和直观想象，逻辑推理和运算能力，数学模型和数据分析.因此在数学学习中，我们有必要及时归纳一些数学模型.“一线三等角”问题的核心思想就是模型思想，关键的解题途径是能从复杂图形中分离出此模型，把握基本图形并建立方程或函数，帮助我们塑造模型观念，增强数学能力，提高解题技巧，提升数学核心素养.三、学情分析本次教学设计的授课对象为九年级学生，学生已有与本课时内容相关的知识基础如下：①全等三角形的性质与判定；②相似三角形的性质与相似；③三角函数；④二元一次方程（组）.本课程适用于对中考几何题有一定解决能力并有待提升综合能力的学生，弥补和改善学生漏听或未听懂这部分知识的不足，旨在促进学生深入理解方法和思想，从复杂图形中分离出基本数学模型，对解决问题有化繁为简的效果.四、教学任务分析1.课堂教学目标（1）知识与技能：探索“一线三等角”的基本特征，并且能够在不同背景中认识和把握基本图形，能利用“一线三等角”模型解决相关计算和证明问题；能够构造“一线三等角”模型，解决较为复杂的几何问题.（2）过程与方法：通过观察分析，大胆猜想，探索“一线三等角”基本图形，培养学生合作交流、逻辑推理的能力；让学生在解决相关问题时感受几何基本模型对几何学习的重要性.（3）情感态度与价值观：在学习活动中积累对数学的兴趣，培养与同学的交往、合作意识，在动手动脑的过程中发展想象力，体会模型思想、转化思想、分类讨论思想和数形结合思想；提高解题技巧，提升数学核心素养.2.教学重点和难点（1）教学重点①识别“一线三等角”模型的基本特征，并应用“一线三等角”模型解决相关问题；②构造“一线三等角”模型，解决复杂的几何问题.（2）教学难点构造“一线三等角”模型，并解决较为复杂的几何问题.五、具体教学过程设计1、概述：引导学生回顾一线三等角模型的基本分类：1）全等篇:条件：∠1=∠CPD=∠2,结论：△ACP ≅△BPD 1）全等篇:条件：∠1=∠CPD=∠2,结论：△ACP ≅△BPD同侧锐角直角钝角异侧2）相似篇：条件：∠1=∠CPD=∠2,结论：△ACP∽△BPD同侧锐角直角钝角222111122222211111异侧3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，当∠1=∠2=∠3，且D是BC中点时.结论：△BDE∽△CFD∽△DFE.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.2、模块一三角齐见，模型自现——图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题.（一）典例精讲例1.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG=2，BG＝6，则BE的长为________．222111例1图例2图2.如图，△ABC中，∠B＝∠C＝30°，∠DEF＝30°，且点E为边BC的中点．将∠DEF绕点E旋转，在旋转过程中，射线DE与线段AB相交于点P，射线EF与射线CA相交于点Q，连结PQ．（1）如图1，当点Q 在线段CA 上时，①求证：△BPE ∽△CEQ ；②线段BE ，BP ，CQ 之间存在怎样的数量关系？请说明理由；（2）当△APQ 为等腰三角形时，求BPCQ的值．3、模块二模型隐藏，及时添补——模型隐藏，及时添补，图形中存在“一线二等角”，补上“一等角”构造模型解题；图形中只有直线上一个角，补上“二等角”构造模型解题.（一）知识铺垫找角、定线、构相似如果直线上只有1个角，该角通常是特殊角（30°、45°、60°），就考虑构造同侧型一线三等角，当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角与线段的关系，过C、D 两点作直线l 的垂线是必不可少的.两条垂线通常情况下是为了“量化”的需要。
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相似三角形基本模型——一线三等角模型
模型解读：
“一线三等角模型”图谱 (1)点P 在线段AB 上
锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角 以上有：△ACP ∽△BPD
(2)点P 在线段AB 延长线上
锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角 以上有：△ACP ∽△BPD 模型分析 三个相等的角的顶点在同一直线上，就会形成一组相似三角形，习惯上把该组相似三角形称为“一线三等角型”相似三角形。
典型示例 例1.如图，已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°,AC=BC=4
M 是边AB 的中点，E 、G 分别是边AC 、BC 上的一点，∠＝45°,AC 与MG 的延长线相交于点F
(1)在不添加字母和线段的情况下写出图中一定相似的三
角形，并证明其中的一对
(2)联结结EG ，当AE ＝3时，求EG 的长
(3)证明：△MEG ∽△AEM
例2.已知：如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90AB=8，AD=12，tanC=4
3 ，AM ∥DC ，E 、F 分别是线段AD AM 上的动点(点E 与A 、D 不重合)且∠FEM=∠AMB ，设DE=x
5.如图在△ABC 中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC ≌△DEF ，
将△DEF
与△ABC 重合在一起，△
ABC 不动，△DEF 运动，
并满足：点E 在边BC 上沿B 到C 的方向运动，且DE 始终经过点A ，EF 与AC 交于M 点．
(1)求证：△ABE∽△ECM；
(2)探究：在△DEF 运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由；
(3)当线段AM 最短时，求重叠部分的面积
6.已知在梯形ABCD 中，AD//BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2． (1)如图，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ． ①求证：△ABP ∽△DPC ②求AP 的长
(2)如果点P 在AD 边上移动(点P 与点A 、D 不重合)，且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么
①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求
y 关于x 的函数解析式，并写出x 取值范围
②当CE ＝1时，写出AP 的长
7．已知△ABC 中，角平分线BD ，CD 交于点D ，过D 作直线EF 交AB 于E ，交AC 于F ，且AE=AF (1)求证：AD⊥EF
(2)求证：∠BDC=1/2∠A+90°
(3)若CF=2，CD=4，BD=6，求BE 的长
8.等边△ABC 边长为6，P 为BC 边上一点，∠MPN =60°，且PM 、PN 分别于边AB 、AC 交于点E 、F . (1)如图1，当点P 为BC 的三等分点，且PE ⊥AB 时，判断△EPF 的形状； (2)如图2，若点P 在BC 边上运动，且保持PE ⊥AB ，设BP =x ，四边形AEPF 面积的y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (3)如图3，若点P 在BC 边上运动，且∠MPN 绕点P 旋转，当CF =AE =2时，求PE 的长.。