一线三等角模型的研究
一线三等角模型及其解法
一线三等角模型及其解法一线三等角模型是将一个图表分解为一线三等角形。
它是一种分解复杂图形的有效方法，可以帮助工程师了解复杂图表中可能存在的规律性和关系。
一、一线三等角模型的定义一线三等角模型是一种通过一条直线和三条重合线将数据进行分解的方法。
它的定义是：原有的数据经过分解、重构后，可以用一线三等角结构或等角三线结构图表示（即用三条线把一条线一分为三），以保证在某一范围内搜索达到最大或最小值。
二、一线三等角模型的特点1、合理性：一线三等角模型由来自原始数据的三角形组成，因此它可以合理地反映数据，以更容易地挖掘数据正确的值和规律。
2、比较性：由于一线三等角模型可以以图形的形式直观地表示数据的相互关系，因此它可以更清晰地显示不同数据之间的差异。
3、趋势性：一线三等角模型可以清楚地显示数据之间的变化趋势，它可以有效地预测某些情况下的发展前景。
三、一线三等角模型的解法1、根据图形上的定义，确定图形线条的表示方式；2、将数据或原始度量根据图形上的定义转换为图形内的点；3、利用拟合算法进行拟合，连接图形上的点与相关的定义；4、使用数学方程求解一线三等角模型，得出不同变量的比例关系及相应的数值；5、根据计算结果绘制图表，解释结果。
四、一线三等角模型的应用1、市场营销：一线三等角模型可以分析市场竞争，从而定位和优化品牌。
2、团队管理：一线三等角模型可以揭示团队的组织关系，以提高团队效率。
3、资源管理：一线三等角模型可以激发和有效地分配资源，以提高生产效率。
4、项目研究：一线三等角模型可以帮助分析市场需求情况，以及项目规划和实施情况。
5、战略管理：一线三等角模型可以提供组织战略发展的方向和衡量标准。
“一线三等角”问题的探究和拓展——以2022年中考数学安徽卷第14题为例
一线三等角 问题的探究和拓展以2022年中考数学安徽卷第14题为例安徽省安庆市宿松县东洪初级中学 曹喜荣 (邮编:246524)摘 要 一线三等角是几何证明中重要的数学模型,本文以2022年中考题为例进一步探讨一线三等角问题,有利于增强学生的几何直观能力,提升学生的数学核心素养.关键词 一线三等角;初中数学;几何模型 ‘义务教育数学课程标准(2022年版)“指出,学业水平考试要 坚持素养立意,凸显育人导向.2022年安徽省中考数学卷第14题是基于 一线三等角 模型的问题,体现 立足基础,源于教材,联系实际,突出能力,强调应用,着意素养 的命题思路.试题以教材习题素材为蓝本进行综合㊁创新㊁改造,引领教师在教学中要注重对教材内容的理解以及在理解的基础上的适度拓展,既提升教材的价值,又拓展学生的思维,培养学生的能力,发展学生数学素养.以该题为例,分析试题立意,进行解法探究,感悟用好教材的方法.1试题及其解答图1如图1,四边形A B C D是正方形,点E 在边A D 上,әB E F 是以E 为直角顶点的等腰直角三角形,E F ,B F 分别交C D 于点M ,N ,过点F 作A D 的垂线交A D 的延长线于点G .连接D F ,请完成下列问题:(1)øF D G =.(2)若D E =1,D F =22,则MN =.受篇幅所限,本文仅讨论题(1).分析观察发现,在直线A D 上出现了三个相等的直角:øA =øB E F =øG ,结合题设易证全等三角形,这是 一线三等角 数学模型应用的典型范例.解析 由题意可得,因为øA B E +øB E A=øB E A +øF E G =90ʎ,同角的余角相等,得øA B E =øF E G .又因为øA =øG =90ʎ,E B =E F ,所以әB E A ɸәE F G A A S .从而B A =E G ,A E =G F .又四边形A B C D 是正方形,B A =A D .得到G D =E G -E D =B A -E D =A D -E D =A E =GF ,所以әDG F 是等腰直角三角形.所以øF D G =45ʎ.说明 一线三等角 是指在一条直线上出现了三个相等的角,在这种情况下,综合性几何题往往就会利用全等以及等腰三角形的性质作为出题和解题的一种形式.2 教材原题溯源本题以沪科版义务教育教科书八年级‘数学“上册第15章轴对称图形与等腰三角形 第140页练习第7题素材为母题,兼顾知识㊁能力㊁思想方法等方面的考查,呈现形式贴近学生,符合学生认知规律.(沪科版教材八年级上册第140页第7题)已知:如图2,在әA B C 中,A B =A C ,点D ㊁E 分别在边B C ㊁A C 上,A D =A E ,若øB A D =30ʎ,求øE D C 的度数.解析 设øE D C =x ,øB =øC =y ,图2则øA E D =øE D C +øC =x +y ,又因为A D =A E ,所以øA D E =øA E D=x +y .则øA D C =øA D E+øE D C =2x +y .又øA D C =øB +øB A D ,所以2x +y =y +30ʎ,解得x =15ʎ,所以øE D C 的度数是15ʎ.注 该题主要考查等腰三角形的性质,当øA D E =øB 时就构造了 一线三等角 模型,熟练掌握该模型的相关特点,可以在解题过程中判定全等三角形㊁相似三角形等几何关系,从而提升学生的数学思维能力.3 模型拓展应用552023年第3期中学数学教学图3拓展1 如图3,D ,E 是直线l 上的两个动点(D ,A ,E 三点互不重合)F 为øB A C 内一点,且әA B F 和әA C F 均为等边三角形,连接F D ,F E ,B D ,C E .若øB D A =øA E C =øB A C ,求证:D F =E F .解析 因为øB D A =øA E C =øB A C ,øB D A +øA B D +øB A D =øB A D +øB A C+øC A E =180ʎ,所以øA B D =øC A E .因为әA B F 和әA C F 均为等边三角形,所以øA B F =øC A F =60ʎ,F B =A B =A F =A C ,所以øD B A +øA B F =øC A E +øC A F ,即øD B F =øE A F .在әA D B 和әC E A中,øA B D =øC A E ,øB D A =øA E C ,A B =C A ,所以әA D B ɸәC E A (A A S ),即B D =A E .在әD B F 和әE A F 中,F B =F A ,øD B F =øE A F ,B D =A E ,所以әD B F ɸәE A F (S A S ),所以D F =E F .注 此题直接给出了 一线三等角 模型的条件,熟悉该模型可在复杂的几何图形中迅速搭建证明思路,实现在等边三角形中的应用.图4在全等三角形之外, 一线三等角 在三角形相似证明中也有充分的应用.拓展2 如图4,在等腰三角形或等边三角形中,ø1=ø2=ø3,可根据三角形内角和及补角得到另一组等角,可得同一三角形中两阴影部分三角形相似.拓展3 如图5,әD E F 的三个顶点分别在等边әA B C 的三条边上,B C =4,øE D F =90ʎ,D ED F=3,则D F 长度的最小值是.解析 由t a nøE F D =D ED F=3,可得图5øE F D =60ʎ,因为әA B C 是等边三角形,所以øA =øC=60ʎ,A B =B C =A C =4,由三角形内角和得øA F E +øA E F =180ʎ-øA =120ʎ,又øA F E +øD F C =180ʎ-øE F D =120ʎ,所以øA E F =øD F C ,可得әA E F ʐәC F D ,所以C D A F =D FE F=c o s øE F D =12,设C D =a ,则A F =2a ,C F =A C -A F =4-2a ,过点F 作F H ʅC D 于点H ,在R t әD F H 中,C H =C F c o s øC =2-a ,F H =C F s i n øC =23-3a ,所以DH =C D -C H=a -(2-a )=2a -2,在R t әD F H 中,D F 2=DH 2+F H 2=(2a -2)2+(23-3a )2=7a 2-20a +16=7(a -107)2+127,所以D F 2的最小值为127,D F 最小值为2217.注 在该题中,单纯运用几何知识难以求出最值,需要串联知识,借助函数的工具.运用一线三等角模型易证三角形相似,在此基础上建立函数关系式便很快突破了难点,解决了问题;提升学生的几何直观能力,根据题设条件特点及图形特征,运用基本结论解决问题的技能是几何教学的重难点之一,也是学生解题需要掌握的基本能力.4 总结2022年版义务教育数学课程标准希望学生在初中阶段形成模型观念㊁数据观念;数学学科核心素养也包括数学抽象和直观想象,逻辑推理和运算能力,数学模型和数据分析.在初中数学教学中,及时归纳如 一线三等角 等数学模型,注重培养学生的模型观念,有利于增强学生的数学能力,提升学生的数学核心素养.参考文献[1] 史宁中.‘义务教育数学课程标准(2022年版)“的修订与核心素养[J ].教师教育学报,2022,9(3):92-96.[2] 孔凡哲,史宁中.中国学生发展的数学核心素养概念界定及养成途径[J ].教育科学研究,2017(6):5-11.(收稿日期:2023-04-11)65中学数学教学2023年第3期。
初二《全等三角形》数学模型之“一线三等角”模型
初二《全等三角形》数学模型之“一线三等角”模型.doc在初中数学中，全等三角形是一个重要的知识点，其中有许多模型。
掌握好这些模型，对于研究几何和提高成绩都有帮助。
今天我要介绍的是“一线三等角”模型。
这个模型贯穿初中几何的始终，也是相似三角形一个非常重要的知识点。
一线三等角”是指三个相等的角的顶点在同一条直线上。
例如，如果在直线AB上，有∠1=∠2=∠3，那么这就是一个“一线三等角”模型。
对于这个模型，我们可以得到以下性质：1.只要题目中满足“一线三等角”的条件，三角形必相似。
2.如果题目中还有对应边相等的条件，那么三角形就必全等。
一线三等角”模型常见的背景图形包括正方形、等边三角形、等腰三角形等等。
例如，正方形ABCD中，有一个直角的顶点在边AB上。
又如，等腰直角三角形ABC中，有一个45°角的顶点在边AB上。
下面以一个例题来说明如何运用“一线三等角”模型：已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD＋CE。
解析：因为BD⊥直线m，CE⊥直线m，所以有∠BDA＝∠CEA＝90°。
又因为∠BAC＝90°，所以∠BAD＋∠CAE＝90°。
又∠BAD＋∠ABD＝90°，所以∠CAE＝∠ABD。
因为AB＝AC，所以△ADB≌△CEA，从而AE＝BD，AD＝CE。
因此，XXX。
如果将条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝a，其中a为任意锐角或钝角。
请问结论DE＝BD＋CE是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由。
一线三等角模型结论及证明
一线三等角模型结论及证明
摘要
一线三等角模型是几何学中的重要概念，它指的是在一个给定的直线上，存在三个等角，它们的夹角均为120度。
本文将详细阐述一线三等角模型的结论及证明，以及如何使用它来解决实际问题。
一、定义
一线三等角模型是几何学中的重要概念，它指的是在一个给定的直线上，存在三个等角，它们的夹角均为120度。
二、结论
一线三等角模型的结论如下：
1、如果在一条直线上有三个等角，则它们的夹角均为120度。
2、如果三条直线的夹角均为120度，则它们共线。
三、证明
1、证明一：假设在一条直线上有三个等角，设它们的夹角为α，β，γ，则有
α+β+γ=360°，由等角性质可知α=β=γ=120°，得证。
2、证明二：假设三条直线的夹角均为120°，设它们的夹角分别为α，β，γ，则有α+β+γ=360°，此时α=β=γ=120°，由此可知，三条直线共线，得证。
四、实际应用
一线三等角模型可以用来解决实际问题，比如，在建筑设计中，可以根据一线三等角模型设计出美观的建筑结构，如三角形的屋顶，具有特殊的视觉效果。
结论
一线三等角模型是几何学中的重要概念，它指的是在一个给定的直线上，存在三个等角，
它们的夹角均为120度。
本文详细阐述了一线三等角模型的结论及证明，并且给出了如何使用它来解决实际问题的实例。
一线三等角模型特征及结论
一线三等角模型特征及结论好嘞，咱们来聊聊“一线三等角模型”，这个听起来高大上的名词其实也没那么复杂。
就像一碗热腾腾的面条，虽然看起来简单，但其中却藏着不少讲究。
咱们先说说这“一线三等角”是个啥。
简单来说，就是在某些情况下，我们可以把事情简化成一条线和三个角。
这听起来是不是有点像数学课上学的那些东西？但实际上，它在很多领域里都能派上用场，比如说设计、分析，甚至日常生活中也能找到它的身影。
想象一下，你和朋友们一起去泡温泉，那个水雾缭绕的地方，大家围坐在一起，谈笑风生。
这时候，气氛就像那一条线，大家都聚在这条线上，享受着温暖。
而那些欢声笑语，正是那三个角，分别代表着不同的情感、不同的观点。
你看，一个简单的场景，运用这个模型，就能让我们更好地理解和分析这个过程。
这就是“一线三等角”的魅力所在，能把复杂的事情，变得简单又生动。
再说说这个模型的特征。
这条线就代表着一个核心主题或者主线，围绕着这个主题，大家可以展开不同的讨论。
就像我们在聊天的时候，始终围绕着一个话题，有时候跑偏了，但大家又会很自然地拉回来。
这种核心的连结，让人觉得踏实，也让讨论有了方向。
这三个角嘛，分别代表着不同的视角。
比如说，一个角可能是乐观的，一个是现实的，还有一个可能是有点悲观的。
每个角都有它的价值，咱们不能只看一个角度，这样就会错过很多精彩的细节。
可能有人会想，这种模型有什么用呢？嘿嘿，别急，接下来咱们就来看看它的实际应用。
想想看，在工作中，我们常常需要开会讨论项目。
这个时候，一条主线就是项目的目标，而三个角可以代表不同团队的反馈和建议。
大家围绕着这个目标，分享各自的想法，碰撞出火花，真是热闹得很。
经过这样的讨论，最后能形成一个更完善的方案，让大家都心服口服，简直就像是团队合作的缩影。
在学习上，咱们也能用这个模型。
想象你在复习一门课程，主线就是你要掌握的知识点，而那些角度则可以是不同的例题、应用和理论。
换个角度看问题，会让你豁然开朗，原来原本的难题竟然也能迎刃而解。
全等典型模型：“一线三等角”模型
全等典型模型：“一线三等角”模型本文介绍了三角形证明中的“一线三等角”和“三垂直”两种典型模型。
其中，“一线三等角”模型的题型特征是图形的某条线段上出现三个相等的角，解题方法是只要再出现一组等边，就可以证明两个三角形全等；“三垂直”模型的题型特征是图形的某条线段上出现三个直角，解题方法也是只要再出现一组等边，就可以证明两个三角形全等。
此外，本文还给出了两种变化图形：交叉型和L型。
例题1中，给出了一个△ABC，AB=AC=2，∠B=40º，点D在线段BC上运动，连接AD，作∠ADE=40º，DE交线段AC于点E。
题目要求当∠BDA=115°时，求∠EDC和∠AED；线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由。
例题2中，给出了一个长方形ABCD，E在AD上，且EF⊥EC，EF=EC，DE=2，长方形的周长为16，求AE的长。
例题3中，给出了一个△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过B、C作过A点的直线的垂线，垂足为D、E。
题目要求证明△AEC≌△BDA，并求出ED的长。
已知在△ABC中，如图①，∠BAC=90°，且AB=AC。
直线m经过点A，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E。
现需证明DE=BD+CE。
证明：首先，连接BE、CD，如图②所示。
由于AB=AC，∠BAC=90°，因此△ABC为等腰直角三角形，即AB=BC=AC。
又因为BD⊥m，CE⊥m，所以BD和CE分别是△ABC的高，且BD=AB-AD，CE=AC-AE。
将BD和CE代入DE=BD+CE中，得到DE=(AB-AD)+(AC-AE)，即DE=AB+AC-(AD+AE)。
接下来，我们来证明XXX。
由于XXX，XXX，所以∠ADE=∠XXX°，∠AED=∠ABC。
一线三等角几何模型在数学解题中的探究
2021年17期61扫描二维码，获取更多本文相关信息引 言数学模型是指把一种事物的特征和关系高度概括抽象，用数学中独有的语言描述出来的结构[1]。
数学模型对学生学习数学提出了更高的要求，加之新课程标准要求教师培养学生的数学敏感度和符号、空间、集合、运算等观念、思想和能力，因此，数学模型成为数学教学的重中之重。
教师在教学中应善于从整体出发，重点讲授建立数学模型和求解的过程，引导学生领会其中的模型思想。
一、引导拓展探究2011年江苏省盐城市的一道中考题引发了教师的思考。
教师在教学一线三等角几何模型时可以将这道问题呈现给学生，然后让学生展开相应的探究，最后进行拓展延伸。
整个过程中，教师需要引导学生逐渐深入，使学生对这一模型的理解呈螺旋式的上升趋势，进而逐渐一线三等角几何模型在数学解题中的探究陈丽冰（福建省莆田渠桥第二中学，福建莆田 351142）摘 要：数学在初中教育中占据着非常重要的地位，几何是数学最基本的研究内容之一。
因此，初中数学教师要注重培养学生的几何思维和几何能力。
近年来，一种几何基本模型随着江苏省的一道中考题受到了人们的广泛关注——一线三等角几何模型。
本文将从以下三点阐述一线三等角几何模型在数学解题中的运用。
关键词：初中数学；几何模型；一线三等角；解题探究中图分类号：G 427 文献标识码：A 文章编号：2095-9192(2021)17-0061-02图1 图2掌握这个模型，题目如下所示：将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开，得到△ABC 和△A'C'D ，如图1所示，将△A'C'D 的顶点A'与点A 重合，并绕点A 按逆时针方向旋转，使点D 、A （A'）、B 在同一条直线上，如图2所示。
观察图2可知：与BC 相等的线段是 _________，∠CAC'=_________°。
问题探究：如图3，△ABC 中，AG ⊥BC于点G ，以A为直角顶点，分别以AB 、AC 为直角边，向△ABC 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ，过点E 、F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P 、Q ，试探究EP 与FQ 之间的数量关系，并证明你的结论。
专题02 全等模型-一线三等角(K字)模型(解析版)
专题02全等模型--一线三等角（K 字）模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K 字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角（K 型图）模型（同侧型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角直角一线三等角（“K 型图”）钝角一线三等角条件：A CED B ∠=∠=∠+CE=DE证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE⇒≅ 例1．（2023·江苏·八年级假期作业）探究：如图①，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD m ⊥于点D ，CE m ⊥于点E ，求证：ABD CAE ≌ ．应用：如图②，在ABC 中，AB AC =，,,D A E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC ∠=∠=∠．求出,DE BD 和CE 的关系．拓展：如图①中，若10DE =，梯形BCED 的面积______．【答案】探究：证明过程见详解；应用：DE BD CE =+，理由见详解；拓展：50【分析】探究：90BAC ∠=︒，AB AC =，可知ABC 是等腰直角三角形，BD m ⊥，CE m ⊥，可知90BDA AEC ∠=∠=︒，可求出BAD ACE ∠=∠，根据角角边即可求证；应用：AB AC =，,,D A E 三点都在(1)如图①，若AB AC ⊥，则BD 与AE 的数量关系为___________，CE 与AD 的数量关系为(2)如图②，判断并说明线段BD ，CE 与DE 的数量关系；(3)如图③，若只保持7BDA AEC BD EF cm ∠=∠==，，点A 在线段DE 上以2cm/s 的速度由点例3．（2022·陕西七年级期末）（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____．（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积．【答案】（1）7；（2）S△BCD＝8；（3）S△BCD＝6．【分析】(1)∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，据同角的余角相等，可得∠ACB＝∠D，由已知条件可证△ABC≌△CED，运动（D 不与B 、C 重合），连接AD ，作40ADE ∠=︒，DE 交线段AC 于E ．(1)当115BDA ∠=︒时，EDC ∠=_____︒，BAD ∠=_____︒，AED =∠_____︒；点D 从B 向C 运动时，BDA ∠逐渐变_____（填“大”或“小”）；(2)当DC 等于多少时，ABD DCE ≌△△，请说明理由；(3)在点D 的运动过程中，ADE V 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出BDA ∠的度数，若不可以，请说明理由．【答案】(1)25，25，65，小(2)当2DC =时，ABD DCE ≌△△，理由见解析；(3)当BDA ∠的度数为110︒或80︒时，ADE V 的形状是等腰三角形．【分析】（1）先求出ADC ∠的度数，即可求出EDC ∠的度数，再利用三角形的外角性质即可求出AED ∠的度数，根据点D 从B 向C 运动时，BAD ∠逐渐增大，而B ∠不变化，180B BAD BDA ∠+∠+∠=︒，即可得到答案；（2）根据全等三角形的判定条件求解即可；（3）先证明当ADE V 时等腰三角形，只存在AD ED =或AE DE =两种情况，然后分这两种情况讨论求解即可；【详解】（1）解：∵115BDA ∠=︒，∴18011565ADC ∠=︒-︒=︒，∵40ADE ∠=︒，∴25EDC ADC ADE ∠︒=∠-∠=，∵ADC ADE EDC B BAD ∠=∠+∠=∠+∠，∴25BAD EDC ∠=∠=︒，∴65AED EDC C ︒∠=∠+∠=；∵点D 从B 向C 运动时，BAD ∠逐渐增大，而B ∠不变化，180B BAD BDA ∠+∠+∠=︒，∴点D 从B 向C 运动时，BDA ∠逐渐变小，故答案为：25，25，65，小；（2）解：当2DC =时，ABD DCE ≌△△，理由：∵40B C ∠=∠=︒，∴140DEC EDC ∠+∠=︒，又∵40ADE ∠=︒，∴140ADB EDC ∠+∠=︒，∴ADB DEC ∠=∠，又∵2AB AC ==，∴()AAS ABD DCE ≌△△；（3）解：当BDA ∠的度数为110°或80°时，ADE V 的形状是等腰三角形，理由：∵40C ADE ∠=∠=︒，AED C EDC ∠=∠+∠，∴AED ADE ∠>∠，∴当ADE V 时等腰三角形，只存在AD ED =或AE DE =两种情况，模型2.一线三等角（K 型图）模型（异侧型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
专题07 探索“一线三等角”模型(解析版)
专题07 探索“一线三等角〞模型【常见图形】【典例解析】【例1】〔2021·广东高州期中〕如图1，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BD ⊥DE ，AE ⊥DE ，垂足分别为D 、E ．〔这几何模型具备“一线三直角〞〕如下列图1：〔1〕①请你证明：△ACE ≌△CBD ；②假设AE ＝3，BD ＝5，求DE 的长；〔2〕迁移：如图2：在等腰Rt △ABC 中，且∠C ＝90°，CD ＝2，BD ＝3，D 、E 分别是边BC ，AC 上的点，将DE 绕点D 顺时针旋转90°，点E 刚好落在边AB 上的点F 处，那么CE ＝．〔不要求写过程〕【答案】〔1〕①见解析；②DE =8；〔2〕CE =1.【解析】〔1〕证明：∵BD ⊥DE ，AE ⊥DE ，∴∠E =∠D =90°．∵∠ACB =90°，∴∠1=∠2，在△ACE 与△CBD 中，12E B AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△CBD ；②解：同〔1〕，得△ACE ≌△CBD ，∴CE =BD =5，AE =CD =3，∴DE =CE +CD =5+3=8．(2)过F 作FM ⊥BC 于M ，那么∠FMB =∠FMD =90°，∵∠C =90∘，AC =BC ，∴∠B =∠A =45°，∴∠MFB =∠B =45°，∴BM =MF ，∵DE ⊥DF ，∴∠EDF =∠FMD =∠C =90°，∴∠CED+∠CDE=90∘,∠CDE+∠FDM=90°，∴∠CED=∠FDM，在△CED和△MDF中，CED MDFC FMDDE DF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CED≌△MDF，∵CD=2，BD=3，∴DM=CE，CD=FM=2=BM，∴CE=DM=3−2=1，故答案为1.【例2】〔2021·四川巴州期末〕某建筑测量队为了测量一栋居民楼ED的高度，在大树AB与居民楼ED之间的地面上选了一点C，使B，C，D在一直线上，测得大树顶端A的视线AC与居民楼顶端E的视线EC的夹角为90°，假设AB=CD=12米，BD=64米，请计算出该居民楼ED的高度．【答案】见解析.【解析】解：由题意可知：∠B=∠CDE=∠ACE=90°∴∠ACB+∠DCE=90°∴∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC∴∠DCE=∠BAC又AB=CD∴△ABC≌△CDE∴DE=BC，∴BC=DE=BD－CD=64-12=52故该居民楼ED的高度为52米.【例3】〔2021·潮州市潮安区月考〕问题背景：〔1〕如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE＝BD＋CE．拓展延伸：〔2〕如图2，将〔1〕中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA ＝∠AEC＝∠BAC．请写出DE、BD、CE三条线段的数量关系．〔不需要证明〕实际应用：〔3〕如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为(－2，0)，点A的坐标为(－6，3)，请直接写出B点的坐标．【答案】见解析.【解析】〔1〕证明：∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°∵∠BAC＝90°∴∠BAD＋∠CAE＝90°∵∠BAD＋∠ABD＝90°∴∠CAE＝∠ABD在△ADB和△CEA中，ABD CAEADB CEA AB CA∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB≌△CEA∴AE＝BD，AD＝CE∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE即：DE＝BD＋CE〔2〕数量关系：DE＝BD＋CE理由如下：在△ABD中，∠ABD=180°-∠ADB-∠BAD，∵∠CAE=180°-∠BAC-∠BAD，∠BDA=∠AEC，∴∠ABD=∠CAE，在△ABD和△CAE中，ABD CAEBDA AEC AB CA∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ABD≌△CAE∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AD+AE=BD+CE；〔3〕解：过A作AE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴于F，由〔1〕可知，△AEC≌△CFB，∴CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，∴OF=CF-OC=1，∴点B的坐标为B〔1，4〕．【例4】〔2021·广东广州月考〕如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是___________．【答案】50.【解析】解：∵∠EAF+∠BAG=90°，∠EAF+∠AEF=90°，∴∠BAG=∠AEF，在△AEF和△BAG中，90F AGBAEF BAGAE AB∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△BAG，〔AAS〕同理△BCG≌△CDH，∴AF=BG=3，AG=EF=6，GC=DH=4，BG=CH=3，∵梯形DEFH的面积=12(EF+DH)•FH=80，S△AEF=S△ABG=12AF•AE=9，S△BCG=S△CDH=12CH•DH=6，图中实线所围成的图形的面积：80-2×9-2×6=50，故答案为：50．【例5】〔2021·曲阜月考〕如图，点P(2m－1，6m－5)在第一象限角平分线OC上，－直角顶点P在OC上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，那么OA＋BO＝______________【答案】2【解析】解：作过PPE⊥y轴于E，PF⊥x轴于F，根据题意得：PE=PF，∴2m-1=6m-5，∴m=1，∴P〔1，1〕，∵∠EPF=90°，∵∠BP A=90°，PE=PF=1，∴∠EPB =∠FP A ，在△BEP 和△AFP 中，90PEB PFA PE PF EPB FPA ∠∠︒⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝＝，∴△BEP ≌△AFP 〔ASA 〕，∴BE =AF ，∴OA +OB =OF +AF +OE -BE =OF +OE ，∵P 〔1，1〕，∴OE =OF =1，∴OA +OB =2．故答案为：2．【习题专练】1.〔2021·广东英德期末〕〔1〕如图1，：在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，BD l ⊥，CE l ⊥垂足分别为点D 、E ．证明：①CAE ABD ∠=∠；②DE BD CE =+．图1〔2〕如图2，将〔1〕中的条件改为：在ABC ∆中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在l 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？如成立，请你给出证明；假设不成立，请说明理由．图2〔3〕如图3，过ABC ∆的边AB 、AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，AH 是BC 边上的高，延长HA 交EG 于点I ，求证：I 是EG 的中点．图3【答案】见解析【解析】解：〔1〕①∵BD ⊥l ，CE ⊥l∴∠BDA =∠CEA =90°∵∠BAC =90°∴∠BAD +∠CAE =90°∵∠BAD +∠ABD =90°∴∠CAE =∠ABD②在△ADB和△CEA中，ABD CAEBDA CEA AB AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB≌△CEA∴AE=BD，AD=CE∴DE=AE+AD=BD+CE；〔2〕成立：DE=BD+CE证明如下：∵∠BDA=∠BAC=α∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α∴∠DBA=∠CAE在△ADB和△CEA中，ABD CAEBDA CEA AB AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB≌△CEA∴AE=BD、AD=CE∴DE=AE+AD=BD+CE；〔3〕过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N ∴∠EMI=GNI=90°由〔1〕和〔2〕的结论可知EM=AH=GN∴EM=GN在△EMI和△GNI中，GIH EIM EM GNGHI EMI ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△EMI≌△GNI∴EI=GI∴I是EG的中点．2.〔2021·湖北武汉月考〕如图，A点的坐标为〔0，3〕，B点的坐标为〔〕，D为x轴上的一个动点，AE⊥AD，且AE=AD，连接BE交y轴于点M〔1〕假设D点的坐标为〔〕，求E点的坐标:〔2〕求证:M为BE的中点〔3〕当D点在x 轴上运动时，探索:OMBD为定值【答案】见解析.【解析】解：(1)过E点作EF⊥y轴于F，∵AD⊥AE，EF⊥AF∴∠AOD=∠AFE=90°∵∠DAO+∠EAF=90°，∠EAF+∠AEF=90°∴∠DAO=∠AEF在△AOD和△EF A中，DAO AEFAOD AFEAD AE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOD≌△EF A(AAS)∴EF=OA=3 AF=OD=5∴OF=AF-OA=5-3=2即E(3,-2)(2)D点有3个位置根据题意：AE=AD，∠AEF+∠DAO=90°，又∵∠AEF+∠EAF=90°，∴∠AEF=∠DAO∴△AOD≌△EF A∴OB=EF，∠BOM=∠EMF=90°∴△BOM≌△EFM(AAS)∴BM=EM=12 BE.(3)根据(2)可知，D点在可以在3个位置，当D点如下列图的位置时，过D作直线a⊥x轴于D，过A作AG⊥a于G，由(2)知△BOM≌△EFM，∴EF=OB，由(1)知△AOD≌△EF A即：EF=OA =OB，AF=OD∴OF=AF-OA=OD-OB，∵OM=12OF=12BD∴OMBD=12，当D在另外两个位置时，同理可证：OMBD=12.3.〔2021·黑龙江齐齐哈尔期中〕观察推理：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，点A、B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D、E．〔1〕求证：△AEC≌△CDB；〔2〕类比探究：如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，连接B′C，求△AB′C的面积；〔3〕拓展提升：如图3，∠E=60°，EC=EB=4cm，点O在BC上，且OC=3cm，动点P从点E沿射线EC 以2cm/s速度运动，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．要使点F恰好落在射线EB 上，求点P运动的时间．【答案】见解析.【解析】解：(1)∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠DCB=90°，∵BD⊥l，AE⊥l，∴∠AEC=∠BDC=90°，∴∠EAC＋∠ACE=90°，∴∠EAC=∠DCB，∵AC=BC，∴△AEC≌△CDB；(2)过B’作B'D⊥AC于D，由旋转知，AB’=AB，∠B’AB=90°，∠B′AC＋∠BAC=90°，又∠B＋∠CAB=90°，∴∠B=∠B'AC，∴△B’AD≌△AB′D，∴B′D=AC=6，△AB ′C 的面积=6×6÷2=18；(3)由旋转知，OP =OF ，∵△BCE 是等边三角形，∴∠CBE =∠BCE =60°∴∠OCP =∠FBO =120°，∠CPO ＋∠COP =60°，∵∠POF =120°，∴∠COP ＋∠BOF =60°，∴∠CPO =∠BOF ，在△BOF 和△PCO 中，∠OBF =∠PCO =120°,∠BOF =∠CPO ，OF =OP ∴△BOF ≌△PCO ，∴CP =OB ，∵EC =BC =4cm ，OC =3cm ，∴OB =BC -OC =1，∴CP =1，∴EP =CE ＋CP =5，点P 运动的时间为：5÷秒.4.〔2021·三台县月考〕王强同学用10块高度都是2cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板()AC BC,ACB 90∠==，点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．【答案】见解析．【解析】解：由题意得：AC =BC ，∠ACB =90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE∴∠ADC =∠CEB =90°∴∠BCE =∠DAC 在△ADC 和△BCE 中，ADC CEB DAC BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB由题意得：AD =CE =6，CD =BE =14，∴DE =CD +CE =20答：两堵木墙之间的距离为20cm ．5．〔2021·舞钢市月考〕小强为了测量一幢楼的高度AB ，在旗杆CD 与楼之间选定一点P 〔如图〕．测得视线PC 与地面所成的夹角∠DPC =36°，视线P A 与地面所成的夹角∠APB =54°，旗杆的高度CD 是10米，量得P 到楼底距离PB 也是10米，量得旗杆与楼之间距离为DB =25米，小强计算出了楼高，(旗杆与楼都和地面垂直〕请问楼高AB 是_____________米．【答案】15.【解析】解：由题意，得：∠D =90°，∠DPC =36°，∴∠PCD =180°－90°－36°=54°，∵∠APB =54°，∴∠APB =∠PCD ，在△APB 和△PCD 中，∵∠APB =∠PCD ，PB =CD =10米，∠ABP =∠D =90°，∴△APB ≌△PCD ，∴AB =DP ，∵DB =25米，PB =10米，∴DP =15米，即AB =15米．故答案为：15．6.〔2021·海口市月考〕在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，①求证：ADC ≌CEB △；②求证：DE AD BE =+；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，〔1〕中的结论②还成立吗？假设成立，请给出证明；假设不成立，说明理由．【答案】见解析．【解析】证明：〔1〕①∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠ADC =∠BEC =90°，∵∠ACB =90°，∴∠ACD +∠BCE =90°，∠DAC +∠ACD =90°，∴∠DAC =∠BCE ，又∵AC =BC ，∴△ADC ≌△CEB ；②∵△ADC ≌△CEB ，∴CD =BE ，AD =CE ，∵DE =CE +CD ，∴DE =AD +BE ；〔2〕DE =AD +BE 不成立，DE =AD －BE ，理由如下：∵BE ⊥MN ，AD ⊥MN ，∴∠ADC =∠BEC =90°，∴∠EBC +∠ECB =90°，∵∠ACB =90°，∴∠ECB +∠ACE =90°，∴∠ACD =∠EBC ，又∵AC =BC ，∴△ADC ≌△CEB ，∴AD =CE ，CD =BE ，∵DE =CE －CD ，∴DE =AD －BE ．7.〔2021·齐齐哈尔市期中〕综合与探究如图，等腰直角ABC ∆中，BC AC =，90ACB ∠=︒，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点B 坐标为()0,1，点C 坐标为()3,0.〔1〕过点A 作AD x ⊥轴，求OD 的长及点A 的坐标；〔2〕连接OA ，假设P 为坐标平面内异于点A 的点，且以O 、P 、C 为顶点的三角形与OAC ∆全等，请直接写出满足条件的点P 的坐标；〔3〕5OA =，试探究在x 轴上是否存在点Q ，使OAQ ∆是以OA 为腰的等腰三角形？假设存在，请直接写出点Q 的坐标；假设不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：〔1〕∵点B坐标为〔0，1〕，点C坐标为〔3，0〕∴OB=1，OC=3∵∠ACB=90°，∠ADC=90°∴∠CAD=∠BCO又AC=BC，∠ADC=∠COB=90°∴△ACD≌△CBO∴CD=OB=1，AD=OC=3∴OD=OC+CD=4.∴点A坐标为〔4,3〕.〔2〕①△OP1C≌△OAC时，此时P1〔4，-3〕②△OP2C≌△OAC时，此时P2〔-1,3〕③△OP3C≌△OAC时，此时P3〔-1,-3〕〔3〕①当以点A为顶点时，且OA是腰Q1〔8,0〕，AQ1=AO②当以点O为顶点时，且OA是腰的锐角三角形时，即OQ2=OA=5∴点Q2的坐标为〔5,0〕；③当以点O为顶点时，且OA是腰的钝角三角形时，即OQ3=OA=5∴点Q3的坐标为〔-5,0〕.。
建构数学模型 深化解题策略——以“一线三等角全等”模型为例
技法点拨互成60°角的大小相等的两个水平恒力F 作用下，经过一段时间，物体获得的速度为v ，在力的方向上获得的速度分别为v 1、v 2，总位移为s 。
W 合=3Fs =12mv 2v 1=v2W 分=Fs cos30°=14mv 2≠12mv 12=16mv 2可见本题中对力所在的方向使用动能定理是错误的，能量依旧不能分解。
这是不是说明例题1的做法只是个例、巧合，完全没有可取之处呢？也不尽然，经典统计力学的“能量均分定理”告诉我们分子在每个自由度上都具有相同的平均动能。
由此可见，能量在某些情况下是可以分解的。
对比例题1、例题2以及能量均分定理可以发现，例题1和能量均分定理中都是在直角坐标系中进行分解，而例题2可以看做是在一个斜坐标系中分解。
似乎动能能否分方向使用是由分解坐标系的选取决定的，以下我们就直接证明直角坐标系和斜坐标系中是否能够使用。
1.直角坐标W 合=Fs =12mv 2W x =F x s x =Fs cos 2θ=12mv x 2=12mv 02cos 2θW y =F y s y =Fs sin 2θ=12mv y 2=12mv 02sin 2θ由于v 02cos 2θ+v 02sin 2θ=v 02，可以得到W 合=W x +W y ，同理空间直角坐标系中也可以得到同样的结论，所以在直角坐标系中动能定理是可以分方向使用的。
2.斜坐标系W 合=Fs =12mv 2W x =F x s x =Fs cos 2θ=12mv x 2=12mv 02cos 2θW y =F y s y =Fs cos 2α=12mv y 2=12mv 02cos 2α此时v 02cos 2θ+v 02cos 2α≠v 02，W 合≠W x +W y ，同理在空间斜坐标系可以得到一样的结论。
所以，在斜坐标系中动能定理不能分方向使用。
根据上面的证明，我们会发现只有在直角坐标系中动能定理分方向使用才成立，而且这只是在直角坐标系中数学计算恰好和动能定理计算相同，不能证明能量可以分解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.考题赏析
精选课件
17
精选课件
18
精选课件
19
4.问题推广
• 推广1：如图1，已知四边形ABCD中， ∠B=∠C， AF、DE分别是∠BAD与∠CDA的 平分线。
• 结论：△ABF∽△ECD。
精选课件
20
推广2：
已知：已知四边形ABCD中，∠B=∠C， AF、DE 分别是∠BAD与∠CDA的平分线，且E，F重合。
“一线三等角”模型的研究
合肥市包河区 汪洪潮 2016年2月29日
精选课件
1
精选课件
2
变化
精选课件
3
精选课件
4
精选课件
5
精选课件
6
精选课件
7
精选课件
8
• 加画两条垂线一线三等角又和四边形中的半角 模型联系在一起了
• 所以说，中点这个位置精选有课件点特殊
9
• 四、一线三等角的常见构图（以等腰三角 形为例）。
A．∠ADE＝20° B．∠ADE＝30° C．∠ADE＝1/2∠ADC D．∠ADE＝1/3∠ADC
• ∠ADC=360°-3∠A=3(120°-∠A)
• ∠ADE=120°-∠A
精选课件
24
5.应用举例
精选课件
25
应用举例2.
精选课件
26
应用举例3.
精选课件
27
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
结论：（1）△ABE∽△ECD∽△DEA； （2）BE=CE； （3）BE2=AB×CD。
精选课件
21
推广3：如果一个四边形有一组对角相等，那么 我们称它为半对角相等的四边形.如图1中的四 边形ABCD，其中∠B=∠D。解决下列问题：
精选课件
22考题赏析：精选件232015年第8题
8．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，点E在 边AB上，∠AED＝60°，则一定有（ ）
精选课件
10
• A与E重合时如图所示
精选课件
11
• 也可以在射线上 •
精选课件
12
• 点D也可以在线段BC外面
精选课件
13
精选课件
14
五、具体案例
1.如图，B、E、C在同一直线上，且 ∠B=∠C=∠AED=90°。你能得出哪些结论？如 果E为BC中点呢？
精选课件
15
2.常见类型
精选课件
16