一线三等角模型
三角形全等几何模型(一线三等角)(人教版)(学生版) 2024-2025学年八年级数学上册专项突破
专题12.11三角形全等几何模型（一线三等角）第一部分【知识点归纳】【知识点一】一线三直角模型1.基本图形题型特征：如图1，在直线BC上出现三个直角，如图中∠B=∠ACE=∠D=90°图1图2图3解题方法：只要题目再出现一组等边（AB=CD或BC=DE或CA=CE），可证△ABE≌△ECD（AAS 或ASA）结论延伸1：如图2，两个直角三角形在直线两侧时，同样成立结论延伸2：图1中连接AE，得到如图3，可得以下结论：（1）四边形ABDE为直角梯形；AB+DE=BC（上底+下底=高）【知识点二】一线三等角模型图4图5题型特征：如图4，图形的某条线段上出现三个相等的角，如图中∠B=∠ACE=∠D解题方法：只要题目再出现一组等边（BA=CD或BC=DA或CA=DC），必证△ABC≌△CDE（AAS或ASA）结论延伸：如图5，两个三角形在直线两侧时，同样成立第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】直接用“一线三直角”模型求值或证明【例1】（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥，BE MN ⊥，垂足分别为D E 、．（1）求证：ADC CEB ≌；（2）若3cm =AD ，5cm BE =，求四边形ABED 的面积．【变式1】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，小虎用10块高度都是3cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC BC =，90ACB ∠=︒），点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE 的长度为（）A ．30cmB ．27cmC ．21cmD ．10cm【变式2】（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为BC 上一点，连接AD ．过点B 作BE AD ⊥于点E ，过点C 作CF AD ⊥交AD 的延长线于点F ．若5BE =，2CF =，则EF 的长度为．【题型2】直接用“一线三等角”模型求值或证明【例2】（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）已知ABC 是直角三角形，90BAC AB AC ∠=︒=，，直线l 经过点A ，分别过点B 、C 向直线l 作垂线，垂足分别为D 、E（1）如图a ，当点B 、C 位于直线l 的同侧时，证明：ABD CAE≌（2）如图b ，锐角ABC 中，AB AC =，直线l 经过点A ，点D 、E 分别在直线l 上，点B ，C 位于l 的同一侧，如果CEA ADB BAC ∠=∠=∠，请找到图中的全等三角形，并写出线段ED EC 、和DB 之间的数量关系【变式1】（21-22八年级上·浙江温州·期中）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝9，点E 在边AC 上，AE 的中垂线交BC 于点D ，若∠ADE ＝∠B ，CD ＝3BD ，则CE 等于（）A ．3B ．2C ．94D ．92【变式2】（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，在ABC 中，AB AC =，AB BC >，点D 在边BC 上，且2CD BD =，点E 、F 在线段AD 上．CFD BED BAC ∠=∠=∠，ABC 的面积为18，则ABE 与CDF 的面积之和．【题型3】构造“一线三直角”模型求值或证明【例3】（23-24八年级上·山西吕梁·期末）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系问题情境：如图1，三角形纸片ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =.将点C 放在直线l 上，点A ，B 位于直线l 的同侧，过点A 作AD l ⊥于点D初步探究：（1）在图1的直线l 上取点E ，使BE BC =，得到图2，猜想线段CE 与AD 的数量关系，并说明理由；（2）小颖又拿了一张三角形纸片MPN 继续进行拼图操作，其中90MPN ∠=︒，MP NP =.小颖在图1的基础上，将三角形纸片MPN 的顶点P 放在直线l 上，点M 与点B 重合，过点N 作NH l ⊥于点H .如图3，探究线段CP ，AD ，NH 之间的数量关系，并说明理由【变式1】（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，906AC AB BD ABD BC ==∠=︒=，，，则BCD △的面积为（）A ．9B ．6C ．10D ．12【变式2】（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，过点C 作CD AC ⊥，且CD AC =，连接BD ，若92BCD S = ，则BC 的长为．【题型4】“一线三直（等）角”模型的延伸与拓展【例4】如图，A 点的坐标为（0，3），B 点的坐标为（-3.0），D 为x 轴上的一个动点，AE ⊥AD ，且AE=AD ，连接BE 交y 轴于点M（1）若D点的坐标为（-5.0），求E点的坐标:（2）求证:M为BE的中点（3）当D点在x轴上运动时，探索:OMBD为定值【变式1】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形ABCD中，则该长方形中空白部分的面积为（）A．54B．60C．100D．110【变式2】已知：四边形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=90°，三角形ABC的面积为1，则线段AC的长度是.第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2021·四川南充·中考真题）如图，90BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠内部一条射线，若AB AC =，BE AD ⊥于点E ，CF AD ⊥于点F ．求证：AF BE =．【例2】（2023·重庆·中考真题）如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠= ，AB AC =，点D 为BC 上一点，连接AD ．过点B 作BE AD ⊥于点E ，过点C 作CF AD ⊥交AD 的延长线于点F ．若4BE =，1CF =，则EF 的长度为．2、拓展延伸【例1】（22-23八年级下·河南洛阳·期中）综合与实践数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究．（1）操作发现：如图甲，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，且AB AC =，直线l 经过点A ．小华分别过B 、C 两点作直线l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．易证ABD CAE △△≌，此时，线段DE 、BD 、CE 的数量关系为：；（2）拓展应用：如图乙，ABC 为等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，已知点C 的坐标为(2,0)-，点B 的坐标为(1,2)．请利用小华的发现直接写出点A 的坐标：；（3）迁移探究：①如图丙，小华又作了一个等腰ABC ，AB AC =，且90BAC ∠≠︒，她在直线l 上取两点D 、E ，使得BAC BDA AEC ∠=∠=∠，请你帮助小华判断（1）中线段DE 、BD 、CE 的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由；②如图丁，ABC 中，2AB AC =，90BAC ∠≠︒，点D 、E 在直线l 上，且BAC BDA AEC ∠=∠=∠，请直接写出线段DE 、BD 、CE 的数量关系．【例2】（22-23八年级上·广东惠州·期中）如图1，90ACB AC BC AD CE BE CE ∠==⊥⊥，，，，垂足分别为D ，E ．（1）若 2.5cm 1.7cm AD DE ==，，求BE 的长．（2）在其它条件不变的前提下，将CE 所在直线变换到ABC 的外部（如图2），请你猜想AD DE BE ，，三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AC BC =，D ，C ，E 三点在同一条直线上，并且有BEC ADC BCA α∠=∠=∠=，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．。
几何模型：一线三等角模型知识讲解
几何模型：一线三等角模型一线三等角模型一.一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。
二.一线三等角的分类全等篇同侧锐角直角钝角P异侧相似篇A同侧锐角直角钝角异侧三、“一线三等角”的性质1.一般情况下，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，易得△AEC ∽△BDE.2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图 3-1，若 CE=ED ，则△AEC ≌△BDE.3.中点型“一线三等角”如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.4.“中点型一线三等角“的变式(了解) 如图 3-3，当∠1=∠2 且1902BOC BAC ∠=︒+∠时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”.如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，1902BOC BAC ∠=︒+∠这是内心的性质，反之未必是内心.在图 3-4（右图）中，如果延长 BE 与 CF ，交于点 P ，则点 D 是△PEF 的旁心.5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明 ）图 3-5其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题四、“一线三等角”的应用1.“一线三等角”应用的三种情况.a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题.体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似坐标系中，要讲究“线”的特殊性如图 3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过 C、D 两点作直线 l 的垂线是必不可少的。
初三相似三角形几何模型-一线三等角
相似三角形几何模型——一线三等角【模型讲解】模型一：一线三直角图一 图二90;B ACE D ABC CDE ∠=∠=∠=∆∆如图一、二，已知：结论：（1）∽（2）AB DE=BC CD模型二：一线三等角图三 图四 ;B ACE D ABC CDE ABC CDE ACEα∠=∠=∠=∆∆∆∆∆如图三、四，已知：结论：（1）∽（2）AB DE=BC CD（3）当C 为BD 中点时，∽∽【典型例题】1.△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC =∠EDF =90°，△EDF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合，将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．（1）如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP=AQ 时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；（3）在（2）的条件下，BP=2，CQ=9，则BC 的长为_______．2．如图，已知AB BD ⊥，CD BD ⊥.（1）若9AB =，4CD =，10BD =，请问在BD 上是否存在点P ，使以P ，A ，B 三点为顶点的三角形与以P ，C ，D 三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP 的长；若不存在，请说明理由；（2）若9AB =，4CD =，12BD =，请问在BD 上存在几个点使以三点为顶点的三角形与以P ，C ，D 三点为顶点的三角形相似？并求BP 的长.3．如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（点P不与点A，B重合），连接PD，将线段PD 绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF.（1）求∠PBE的度数；（2）若△PFD∽△BFP，求APAB的值.4．感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，CE=4，则DE的长为______．5.如图，点B 在线段AC 上，点D 、E 在AC 同侧，90A C ∠=∠=︒，BD BE ⊥，AD BC =．若3AD =，5CE =，点P 为线段AB 上的动点，连结DP ，作PQ DP ⊥，交直线BE 于点Q ．（1）当点P 与A ，B 两点不重合时，求DP PQ的值； （2）当点P 从A 点运动到AC 的中点时，求线段DQ 的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）6．如图，在ABC △中，点D E 、分别在边BC AC 、上，连接AD DE 、，且B ADE C ∠=∠=∠．（1）证明：BDA CED △∽△；（2）若45,2B BC ∠=︒=，当点D 在BC 上运动时（点D 不与B C 、重合），且ADE △是等腰三角形，求此时BD 的长．。
几何模型：一线三等角模型
一线三等角模型一.一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。
二.一线三等角的分类全等篇同侧锐角直角钝角P异侧相似篇A同侧锐角直角钝角P异侧三、“一线三等角”的性质1.一般情况下，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，易得△AEC ∽△BDE.2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图 3-1，若 CE=ED ，则△AEC ≌△BDE.3.中点型“一线三等角”如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.4.“中点型一线三等角“的变式(了解) 如图 3-3，当∠1=∠2 且1902BOC BAC ∠=︒+∠时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”.如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，1902BOC BAC ∠=︒+∠这是内心的性质，反之未必是内心.在图 3-4（右图）中，如果延长 BE 与 CF ，交于点 P ，则点 D 是△PEF 的旁心.5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明 ）图 3-5其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题四、“一线三等角”的应用1.“一线三等角”应用的三种情况.a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题.体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似坐标系中，要讲究“线”的特殊性如图 3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过 C、D 两点作直线 l 的垂线是必不可少的。
一线三等角模型特征及结论
一线三等角模型特征及结论好嘞，咱们来聊聊“一线三等角模型”，这个听起来高大上的名词其实也没那么复杂。
就像一碗热腾腾的面条，虽然看起来简单，但其中却藏着不少讲究。
咱们先说说这“一线三等角”是个啥。
简单来说，就是在某些情况下，我们可以把事情简化成一条线和三个角。
这听起来是不是有点像数学课上学的那些东西？但实际上，它在很多领域里都能派上用场，比如说设计、分析，甚至日常生活中也能找到它的身影。
想象一下，你和朋友们一起去泡温泉，那个水雾缭绕的地方，大家围坐在一起，谈笑风生。
这时候，气氛就像那一条线，大家都聚在这条线上，享受着温暖。
而那些欢声笑语，正是那三个角，分别代表着不同的情感、不同的观点。
你看，一个简单的场景，运用这个模型，就能让我们更好地理解和分析这个过程。
这就是“一线三等角”的魅力所在，能把复杂的事情，变得简单又生动。
再说说这个模型的特征。
这条线就代表着一个核心主题或者主线，围绕着这个主题，大家可以展开不同的讨论。
就像我们在聊天的时候，始终围绕着一个话题，有时候跑偏了，但大家又会很自然地拉回来。
这种核心的连结，让人觉得踏实，也让讨论有了方向。
这三个角嘛，分别代表着不同的视角。
比如说，一个角可能是乐观的，一个是现实的，还有一个可能是有点悲观的。
每个角都有它的价值，咱们不能只看一个角度，这样就会错过很多精彩的细节。
可能有人会想，这种模型有什么用呢？嘿嘿，别急，接下来咱们就来看看它的实际应用。
想想看，在工作中，我们常常需要开会讨论项目。
这个时候，一条主线就是项目的目标，而三个角可以代表不同团队的反馈和建议。
大家围绕着这个目标，分享各自的想法，碰撞出火花，真是热闹得很。
经过这样的讨论，最后能形成一个更完善的方案，让大家都心服口服，简直就像是团队合作的缩影。
在学习上，咱们也能用这个模型。
想象你在复习一门课程，主线就是你要掌握的知识点，而那些角度则可以是不同的例题、应用和理论。
换个角度看问题，会让你豁然开朗，原来原本的难题竟然也能迎刃而解。
几何模型：一线三等角模型 (最终版)
初中几何模型之“一线三等角模型”一.【一线三等角概念】“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。
二.【一线三等角的分类】2.1 全等篇_同侧A PA P锐角直角钝角2.2 全等篇_异侧PDPP锐角直角钝角2.3 相似篇_同侧DCA BPP锐角直角钝角2.4 相似篇_异侧PDPP锐角直角钝角三、【性质】1.相似，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，或者α=α2=α3易得△AEC∽△BDE.2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如下图，若 CE=ED，则△AEC≌△BDE.异侧结果同样。
3.中点型“一线三等角”——相似中多了一位兄弟如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE. 4.“中点型一线三等角“的变式(了解)如图 3-3，当∠1=∠2 且1902BOC BAC ∠=︒+∠时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”.5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明）图 3-5四、【“一线三等角”的应用】1.应用的三种情况.a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；b.图形中存在“一线二等角”，构造“一等角”模型解题；c.图形中只有直线上一个角，构造“二等角”模型解题.注意：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.2.适应场景：在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.3.构造步骤：找角、定线、构相似【引例】例 1如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行线，l1、l2之间的距离是21/5，l2、l3之间的距离是21/10，等边△ABC 的三个顶点分别在l1、l2、l3上，求△ABC 的边长．思路引导：【脑洞大开-三角构造】例 1 如图，四边形 ABCD 中,∠ABC=∠BAD=90°，∠ACD=45°，AB=3，AD=5.求 BC 的长.横向构造纵向构造斜向构造斜A相似构造：例 2 如图，△ABC 中,∠BAC=45°，AD⊥BC，BD=2，CD=3,求 AD 的长.纵向横向斜向一线三垂直的补形：角含半角补形练一练：1.如图，在△ABC 中，∠BAC=135°， AC= 2AB, AD⊥AC 交 BC 于点 D，若 AD = 2，求△ABC的面积思路提示：【中点型一线三等角】例1、如图，在Rt⊿ABC 中，AB = AC =2，∠A = 90°，现取一块等腰直角三角板，将45° 角的顶点放在BC 中点O 处，三角板的直角边与线段AB、AC 分别交于点E、F，设BE =x，CF = y，∠BOE = α( 45° ≤ α ≤ 90°) ．( 1) 试求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围;( 2) 试判断∠BEO 与∠OEF 的大小关系?并说明理由;( 3) 在三角板绕O 点旋转的过程中，⊿OEF 能否成为等腰三角形? 若能，求出对应x 的值; 若不能，请说明理由．例2．如图,△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90∘，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合。
一线三等角模型
几何模型04——一线三等角一、一线三等角（45度）基本图形：例1.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C（2，0）．设点P为线段OB的中点，连接PA，PC，若∠CPA ＝∠ABO，求m的值．解：作OD＝OC＝2，连接CD．则∠PDC＝45°，如图，由y＝﹣x+m可得A（m，0），B（0，m）．所以OA＝OB，则∠OBA＝∠OAB＝45°．当m＜0时，∠APC＞∠OBA＝45°，所以，此时∠CP A＞45°，故不合题意．所以m＞0．因为∠CP A＝∠ABO＝45°，所以∠BP A+∠OPC＝∠BAP+∠BP A＝135°，即∠OPC＝∠BAP，则∠PCD∠∠APB，所以＝，即＝，解得m＝12．例2.如图，∠ABC中，AB＝3，∠B＝45°，以点A为直角顶点作等腰Rt∠ADE，点D在BC上，点E在AC上，若CE＝2，求CD的长解：过点E作EF与CD交于点F，使∠EFD＝45°，过点E作EG∠CD，∠∠B＝∠ADE＝45°，∠∠BAD＝∠EDF，∠∠ABD∠∠DFE，∠，∠∠ADE是等腰直角三角形，∠DE＝AD，∠AB＝3，∠DF＝3，∠∠EFD＝45°，∠AED＝45°，∠∠EFC＝∠DEC＝135°，∠∠EFC∠∠DEC，∠，∠EC＝2，∠EC2＝FC•CD＝FC•（3+FC），∠（2）2＝FC（3+FC），∠FC2+3FC﹣20＝0，解得：FC＝﹣5（舍）或2．∠CD＝DF+FC＝2+3＝5练习1.已知：点A（0，4），B（0，﹣6），C为x轴正半轴上一点，且满足∠ACB ＝45°，求OC提示：练习2.如图，一次函数y＝x+4与坐标轴分别交于A，B两点，点P，C分别是线段AB，OB上的点，且∠OPC＝45°，PC＝PO，求点P的坐标．二、一线三等角（60度）基本图形：例3.如图，正∠ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，∠APD＝60°，BP＝1，2D3C ，则∠ABC的边长为．解：设∠ABC的边长为x，∠∠ABC是等边三角形，∠∠DCP＝∠PBA＝60°．∠∠APC＝∠APD+∠DPC＝∠BAP+∠ABP，∠APD＝60°，∠∠BAP＝∠CPD．∠∠ABP∠∠CPD．∠，∠＝．∠x＝3．即∠ABC的边长为3．练习3.如图，∠ABC为等边三角形，D是BC边上一点，在AC边上取一点F，使CF＝BD，在AB上取一点E，使BE＝DC，则∠EDF＝．三、一线三垂直基本图形：例4.（1）如图1，∠ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，AC∠BC，点A（0，3），C（1，0），求点B的坐标；（2）如图2，∠ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，AC∠BC，点A（﹣1，0），C（1，3），求点B的坐标；（3）如图3，∠ABC为等腰直角三角形，AC＝AB，AC∠AB，点B（2，2），C （4，﹣2），求点A的坐标．解：（1）如图，作BD∠x轴于D点，∠BD∠x轴于D点，∠∠AOC＝∠CDB＝90°，∠∠ACB＝90°，∠∠ACO+∠BCD＝90°，∠∠ACO+∠OAC＝90°，∠∠OAC＝∠BCD，在∠AOC和∠CDB中，，∠∠AOC∠∠CDB（AAS），∠CD＝AO，OC＝BD，∠点C（1，0），A（0，3），∠OC＝1，BD＝1，CD＝3，∠OD＝4，∠点B的坐标为（4，1）；（2）如图2，过点C作直线l∠x轴，作AE∠l于E，BF∠l于F，∠∠ACB是等腰直角三角形，∠AC＝BC，∠AEC＝∠ACB＝∠BFC＝90°，∠∠ACE+∠EAC＝90°，∠ACE+∠BCF＝90°，∠∠EAC＝∠BCF，在∠AEC和∠CFB中，，∠∠AEC∠∠CFB（AAS），∠AE＝CF＝3，BF＝EC＝2，∠EF＝5，∠点B的坐标为（4，1）；（3）如图3，过点A作直线l∠y轴，过点B作BE∠l于点E，过点C作CF∠l 于点F∠BE∠l，CF∠l，∠∠BEA＝∠CF A＝90°＝∠BAC，∠∠BAE+∠CAF＝90°＝∠BAE+∠ABE，∠∠ABE＝∠CAF，在∠ABE和∠CAF中，，∠∠ABE∠∠CAF（AAS），∠BE＝AF，CF＝BE，设点A（m，n），∠点B（2，2），C（4，﹣2），∠2﹣n＝4﹣m，n+2＝2﹣m，∠m＝1，n＝﹣1，∠点A的坐标为（1，﹣1）练习4.如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B，最终荡到最高点C处，若∠AOC＝90°，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为（）A．4米B．4.5米C．5米D．5.5米例5.已知直线l1：y＝﹣x+4与x、y轴分别交于点A、B，直线l2过点B，且与l1的夹角等于45°，如图2，求直线l2的函数表达式．解：由y＝﹣x+4得，OB＝4，OA＝3，作∠BAC＝90°，交l2于C，作CD∠OA于D，∠∠ABC＝45°，∠可得∠BAC是等腰直角三角形，由上知：∠AOB∠∠CDA，∠AD＝OB＝4，CD＝OA＝3，∠OD＝OA+AD＝7，∠C（7，3），设l2的解析式是：y＝kx+b，∠，∠，∠y＝﹣x+4，练习5.如图，将边长为5的正方形OACD放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点D的横坐标为3，求A的坐标．练习6.如图，在∠ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝90°，直线l1∠l2∠l3，l1与l2之间的距离为1，l2与l3之间的距离等于2，且l1、l2、l3分别经过点A、B、C，则边AC的长为．练习7.如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ∠EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为（）A．6 B．2C．3 D．4例6.如图，直角梯形ABCD中，AD∠BC，AB∠BC，AD＝3，BC＝5，将腰DC 绕点D逆时针方向旋转90°至DE，连接AE，求∠ADE的面积解：过点D作DG垂直于BC于G，过E作EF垂直于AD交AD的延长线于F，∠∠EDF+∠CDF＝90°，∠CDF+∠CDG＝90°，∠∠EDF＝∠CDG，又∠∠EFD＝∠CGD＝90°，DE＝DC，∠∠EDF∠∠CDG（AAS），∠EF＝CG，∠CG＝BC﹣BG＝5﹣3＝2，∠EF＝2，∠S∠ADE＝×AD×EF＝×3×2＝3．练习8.如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E，A，B 三点共线，AB＝4，则阴影部分的面积是．练习8.已知，如图，Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC上一点，CE∠AD 于E，若CE＝2，则S∠BEC＝．例6.如图，已知点A（2，3）和点B（0，2），点A在反比例函数y＝的图象上，作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点C，求点C的坐标解：如图，过B作BF∠AC于F，过F作FD∠y轴于D，过A作AE∠DF于E，则∠ABF为等腰直角三角形，易得∠AEF∠∠FDB，设BD＝a，则EF＝a，∠点A（2，3）和点B（0，2），∠DF＝2﹣a＝AE，OD＝OB﹣BD＝2﹣a，∠AE+OD＝3，∠2﹣a+2﹣a＝3，解得a＝，∠F（，），设直线AF的解析式为y＝k'x+b，则，解得，∠y＝3x﹣3，解方程组，可得或，∠C（﹣1，﹣6），练习9.如图，已知点A（3，3），点B（0，2），点A在二次函数y＝x2+bx﹣9的图象上，作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交二次函数图象于点C，则点C的坐标为．练习10.如图，已知抛物线y＝x2+2x﹣3过点A（1，0），B（0，﹣3），与x轴交于另一点C．若在第三象限的抛物线上存在点P，使∠PBC为以点B为直角顶点的直角三角形，求点P的坐标；解：过点P作PD∠y轴，垂足为D，令y＝0，得x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，∠点C（﹣3，0），∠B（0，﹣3），∠∠BOC为等腰直角三角形，∠∠CBO＝45°，∠PB∠BC，∠∠PBD＝45°，∠PD＝BD．∠可设点P（x，﹣3+x），则有﹣3+x＝x2+2x﹣3，∠x＝﹣1，∠P点坐标为（﹣1，﹣4）；四、一线三等角（普通角度）例7.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝，点P在第三象限的直线AB上，点C在点A上方的y轴上，连接PC、BC，PC交x轴于点N，且tan∠APC＝，设点P的横坐标为t，∠ABC的面积为S，求S与t的函数关系；解：过点A作EA∠AB交PC于点E，过E点作EG∠y轴，垂足为G，过点P作PF∠y轴，垂足为F，∠∠P AE＝90°，∠∠P AF+∠EAG＝90°，∠∠P AF+∠APF＝90°，∠∠APF＝∠EAG，∠∠EGA＝∠AFP＝90°，∠∠AEG∠∠P AF，∠tan∠APC＝，∠＝＝，设P（t，），则PF＝﹣t，AF＝﹣，∠AG＝＝﹣，EG＝＝﹣，∠点A的坐标为：（0，2），∠E（），设PE的解析式为：y＝ax+b，由P（t，），E（）可得：，解得：，∠C（0，2﹣），∠AC＝2﹣﹣2＝﹣，∠BO＝4，∠S＝＝﹣t，练习11.如图，在∠ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C 重合），点D，F分别在边AB，AC上，且满足∠DEF＝∠B．（1）求证：∠BDE∠∠CEF；（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．五、课后练习1.如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF．已知AG∠GF，AC＝，则AB的长为（）A．B．2B．C．D．2．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME∠AM，ME交AD的延长线于点E，若AB＝12，BM＝5，则DE的长为（）A．B．18B．C．D．3.如图所示，已知∠ABC中，∠BAC＝45°，AD∠BC于D，BD＝2，CD＝3，试求AD的长．4.如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y＝的图象上，对角线AC 与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A（1，1），∠ABC＝60°，则k的值是．5.在直角坐标系中，点A是抛物线y＝x2在第二象限上的点，连接OA，过点O 作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC．如图，当点A 的横坐标为﹣时，则点B的坐标为．6.已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED．求证：AE平分∠BAD．7.如图，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A（4，4）若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD＝90°，连OD，求∠AOD的度数；。
专题02 全等模型-一线三等角(K字)模型(解析版)
专题02全等模型--一线三等角（K 字）模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K 字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角（K 型图）模型（同侧型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角直角一线三等角（“K 型图”）钝角一线三等角条件：A CED B ∠=∠=∠+CE=DE证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE⇒≅ 例1．（2023·江苏·八年级假期作业）探究：如图①，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD m ⊥于点D ，CE m ⊥于点E ，求证：ABD CAE ≌ ．应用：如图②，在ABC 中，AB AC =，,,D A E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC ∠=∠=∠．求出,DE BD 和CE 的关系．拓展：如图①中，若10DE =，梯形BCED 的面积______．【答案】探究：证明过程见详解；应用：DE BD CE =+，理由见详解；拓展：50【分析】探究：90BAC ∠=︒，AB AC =，可知ABC 是等腰直角三角形，BD m ⊥，CE m ⊥，可知90BDA AEC ∠=∠=︒，可求出BAD ACE ∠=∠，根据角角边即可求证；应用：AB AC =，,,D A E 三点都在(1)如图①，若AB AC ⊥，则BD 与AE 的数量关系为___________，CE 与AD 的数量关系为(2)如图②，判断并说明线段BD ，CE 与DE 的数量关系；(3)如图③，若只保持7BDA AEC BD EF cm ∠=∠==，，点A 在线段DE 上以2cm/s 的速度由点例3．（2022·陕西七年级期末）（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____．（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积．【答案】（1）7；（2）S△BCD＝8；（3）S△BCD＝6．【分析】(1)∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，据同角的余角相等，可得∠ACB＝∠D，由已知条件可证△ABC≌△CED，运动（D 不与B 、C 重合），连接AD ，作40ADE ∠=︒，DE 交线段AC 于E ．(1)当115BDA ∠=︒时，EDC ∠=_____︒，BAD ∠=_____︒，AED =∠_____︒；点D 从B 向C 运动时，BDA ∠逐渐变_____（填“大”或“小”）；(2)当DC 等于多少时，ABD DCE ≌△△，请说明理由；(3)在点D 的运动过程中，ADE V 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出BDA ∠的度数，若不可以，请说明理由．【答案】(1)25，25，65，小(2)当2DC =时，ABD DCE ≌△△，理由见解析；(3)当BDA ∠的度数为110︒或80︒时，ADE V 的形状是等腰三角形．【分析】（1）先求出ADC ∠的度数，即可求出EDC ∠的度数，再利用三角形的外角性质即可求出AED ∠的度数，根据点D 从B 向C 运动时，BAD ∠逐渐增大，而B ∠不变化，180B BAD BDA ∠+∠+∠=︒，即可得到答案；（2）根据全等三角形的判定条件求解即可；（3）先证明当ADE V 时等腰三角形，只存在AD ED =或AE DE =两种情况，然后分这两种情况讨论求解即可；【详解】（1）解：∵115BDA ∠=︒，∴18011565ADC ∠=︒-︒=︒，∵40ADE ∠=︒，∴25EDC ADC ADE ∠︒=∠-∠=，∵ADC ADE EDC B BAD ∠=∠+∠=∠+∠，∴25BAD EDC ∠=∠=︒，∴65AED EDC C ︒∠=∠+∠=；∵点D 从B 向C 运动时，BAD ∠逐渐增大，而B ∠不变化，180B BAD BDA ∠+∠+∠=︒，∴点D 从B 向C 运动时，BDA ∠逐渐变小，故答案为：25，25，65，小；（2）解：当2DC =时，ABD DCE ≌△△，理由：∵40B C ∠=∠=︒，∴140DEC EDC ∠+∠=︒，又∵40ADE ∠=︒，∴140ADB EDC ∠+∠=︒，∴ADB DEC ∠=∠，又∵2AB AC ==，∴()AAS ABD DCE ≌△△；（3）解：当BDA ∠的度数为110°或80°时，ADE V 的形状是等腰三角形，理由：∵40C ADE ∠=∠=︒，AED C EDC ∠=∠+∠，∴AED ADE ∠>∠，∴当ADE V 时等腰三角形，只存在AD ED =或AE DE =两种情况，模型2.一线三等角（K 型图）模型（异侧型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
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全等三角形的性质与判定
模型初探——“一线三等角”同侧
• 如图，已知AC⊥CF，EF⊥CF，AB⊥BE，AB=BE.证明：∆ABC≌∆BEF.
找准“桥梁”，利用“同角或等角的余角相等”这个判定
模型初探——“一线三等角”同侧
• 如图，已知∠ADB=∠BAC=∠AEC，AB=BE.证明：∆ABD≌∆CAE.
模型初探——“一线三等角”异侧
• 如图，已知AC⊥AP，DB⊥AP，DP⊥PC，PC=DP.证明：∆APC≌∆BDP.
模型初探——“一线三等角”异侧
• 如图，已知∠EAC=∠DBA=∠DPC，PC=DP.证明：∆APC≌∆BDP.
E
典例练习
总结与回顾
1、由“一线三等角”基本图形搭建桥梁可以得到全等三角形； 2、学习几何最重要是学会归纳一些简单的基本图形，学会从复杂的图形里提炼基本图形，并将其作为解决问 题的手段和方法；
一线三等角模型
初中数学
陈坡本科学士学位 健坤潇湘高级中学
学习目标： 1.熟悉“一线三等角”的基本图形，并能解决全等中的问题； 2.通过抽象模型、图形变换等方法提高综合解题能力。 学习重点： 运用“一线三等角”相似型的基本图形解题。
目录
1 全等三角形的性质与判定
2 模型初探 3 典例练习 4 总结与回顾