一线三等角模型资料讲解
几何模型：一线三等角模型
一线三等角模型一.一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。
二.一线三等角的分类全等篇同侧锐角直角钝角P异侧相似篇A同侧锐角直角钝角P异侧三、“一线三等角”的性质1.一般情况下，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，易得△AEC∽△BDE.2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图 3-1，若 CE=ED，则△AEC≌△BDE.3.中点型“一线三等角”如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.4.“中点型一线三等角“的变式(了解) 如图 3-3，当∠1=∠2 且1902BOC BAC ∠=︒+∠时，点 O 是△ABC 的心.可以考虑构造“一线三等角”.如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的心或旁心相关，1902BOC BAC ∠=︒+∠这是心的性质，反之未必是心.在图 3-4（右图）中，如果延长 BE 与 CF ，交于点 P ，则点 D 是△PEF 的旁心.5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明 ）图 3-5其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题四、“一线三等角”的应用1.“一线三等角”应用的三种情况.a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题.体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似坐标系中，要讲究“线”的特殊性如图 3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过 C、D 两点作直线 l 的垂线是必不可少的。
中考数学二轮复习《一线三等角模型》知识梳理及典例讲解课件
DF＝ AD＝2.∵
∠ADC＝90°，∴ ∠EDM＝180°－∠ADC＝
90°.∵ ∠M＝45°，∴
DM＝
＝3，EM＝
＝3
.∴ MF＝
DF＋DM＝5.∵ ∠PFE＝45°，∴ ∠AFG＋∠EFM＝180°－
∠PFE＝135°.∵ ∠FAG＝45°，∴ ∠AFG＋∠FGA＝180°－
∠FAG＝135°.∴ ∠FGA＝∠EFM.又∵ ∠FAG＝∠M＝45°，
∴ △AFG∽△MEF.∴
＝ ，即 ＝ .∴
AG＝ .
典例5图答案
强化练习
1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上.
典例4图答案
典例5 如图，正方形ABCD的边长为4，E是边CD上一点，且CE＝1，F
是AD的中点，对角线AC交BE于点N，P是线段BE上一点，连接EF，
PF，PF与AC相交于点G.若∠PFE＝45°，求AG的长.
解：如图，延长AD至点M，连接EM，使∠M＝45°.
∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，
＝CE.在Rt△ABC中，BC＝
＝2
，∴ BD＝BC－DC＝2 －2.∴ CE
＝2 －2.∴ AE＝AC－CE＝4－2 .③ 当AE＝DE时，∠EAD＝∠ADE
＝45°，∴ ∠AED＝90°.∴ DE⊥AC.∵ ∠CAD＝∠C＝45°，∴ AD＝CD.∴
AE＝ AC＝1.综上所述，当△ADE是等腰三角形时，AE的长为2或4－2
一线三等角模型及其解法
一线三等角模型及其解法一线三等角模型是将一个图表分解为一线三等角形。
它是一种分解复杂图形的有效方法，可以帮助工程师了解复杂图表中可能存在的规律性和关系。
一、一线三等角模型的定义一线三等角模型是一种通过一条直线和三条重合线将数据进行分解的方法。
它的定义是：原有的数据经过分解、重构后，可以用一线三等角结构或等角三线结构图表示（即用三条线把一条线一分为三），以保证在某一范围内搜索达到最大或最小值。
二、一线三等角模型的特点1、合理性：一线三等角模型由来自原始数据的三角形组成，因此它可以合理地反映数据，以更容易地挖掘数据正确的值和规律。
2、比较性：由于一线三等角模型可以以图形的形式直观地表示数据的相互关系，因此它可以更清晰地显示不同数据之间的差异。
3、趋势性：一线三等角模型可以清楚地显示数据之间的变化趋势，它可以有效地预测某些情况下的发展前景。
三、一线三等角模型的解法1、根据图形上的定义，确定图形线条的表示方式；2、将数据或原始度量根据图形上的定义转换为图形内的点；3、利用拟合算法进行拟合，连接图形上的点与相关的定义；4、使用数学方程求解一线三等角模型，得出不同变量的比例关系及相应的数值；5、根据计算结果绘制图表，解释结果。
四、一线三等角模型的应用1、市场营销：一线三等角模型可以分析市场竞争，从而定位和优化品牌。
2、团队管理：一线三等角模型可以揭示团队的组织关系，以提高团队效率。
3、资源管理：一线三等角模型可以激发和有效地分配资源，以提高生产效率。
4、项目研究：一线三等角模型可以帮助分析市场需求情况，以及项目规划和实施情况。
5、战略管理：一线三等角模型可以提供组织战略发展的方向和衡量标准。
几何模型：一线三等角模型 (最终版)
初中几何模型之“一线三等角模型”一.【一线三等角概念】“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。
二.【一线三等角的分类】2.1 全等篇_同侧A PA P锐角直角钝角2.2 全等篇_异侧PDPP锐角直角钝角2.3 相似篇_同侧DCA BPP锐角直角钝角2.4 相似篇_异侧PDPP锐角直角钝角三、【性质】1.相似，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，或者α=α2=α3易得△AEC∽△BDE.2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如下图，若 CE=ED，则△AEC≌△BDE.异侧结果同样。
3.中点型“一线三等角”——相似中多了一位兄弟如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE. 4.“中点型一线三等角“的变式(了解)如图 3-3，当∠1=∠2 且1902BOC BAC ∠=︒+∠时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”.5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明）图 3-5四、【“一线三等角”的应用】1.应用的三种情况.a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；b.图形中存在“一线二等角”，构造“一等角”模型解题；c.图形中只有直线上一个角，构造“二等角”模型解题.注意：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.2.适应场景：在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.3.构造步骤：找角、定线、构相似【引例】例 1如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行线，l1、l2之间的距离是21/5，l2、l3之间的距离是21/10，等边△ABC 的三个顶点分别在l1、l2、l3上，求△ABC 的边长．思路引导：【脑洞大开-三角构造】例 1 如图，四边形 ABCD 中,∠ABC=∠BAD=90°，∠ACD=45°，AB=3，AD=5.求 BC 的长.横向构造纵向构造斜向构造斜A相似构造：例 2 如图，△ABC 中,∠BAC=45°，AD⊥BC，BD=2，CD=3,求 AD 的长.纵向横向斜向一线三垂直的补形：角含半角补形练一练：1.如图，在△ABC 中，∠BAC=135°， AC= 2AB, AD⊥AC 交 BC 于点 D，若 AD = 2，求△ABC的面积思路提示：【中点型一线三等角】例1、如图，在Rt⊿ABC 中，AB = AC =2，∠A = 90°，现取一块等腰直角三角板，将45° 角的顶点放在BC 中点O 处，三角板的直角边与线段AB、AC 分别交于点E、F，设BE =x，CF = y，∠BOE = α( 45° ≤ α ≤ 90°) ．( 1) 试求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围;( 2) 试判断∠BEO 与∠OEF 的大小关系?并说明理由;( 3) 在三角板绕O 点旋转的过程中，⊿OEF 能否成为等腰三角形? 若能，求出对应x 的值; 若不能，请说明理由．例2．如图,△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90∘，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合。
一线三等角模型知识点总结
一线三等角模型知识点总结一、基本概念1.1 一线三等角模型的定义一线三等角模型是指在一个等腰三角形中，以等腰腰为底边的代表线和等腰角的代表角为模型，利用这一模型可以推导出等腰三角形各边的关系，以及解决相关的几何问题。
1.2 一线三等角模型的特点一线三等角模型是一个简单而重要的几何模型，它可以帮助我们快速理解和解决等腰三角形的各种问题。
通过运用这一模型，我们可以建立等腰三角形各边之间的关系，并进一步推导出相关的定理和公式。
二、基本公式在一线三等角模型中，我们可以得到以下基本公式：2.1 等腰三角形的边长关系设等腰三角形的底边为a，等腰腰为b，顶角为A，则根据正弦定理和余弦定理，可以得到以下关系：sinA = b/2RcosA = a/2R其中R为等腰三角形的外接圆半径。
2.2 一线三等角的关系在一线三等角模型中，等腰三角形的底边、等腰腰和顶角之间有如下关系：a/sinA = b/sin(180-2A) = 2R其中a、b和A分别表示等腰三角形的底边、等腰腰和顶角，R为等腰三角形的外接圆半径。
2.3 其他相关公式在一线三等角模型中，还可以得到一些其他相关的公式，如等腰三角形的高、底角和腰角之间的关系等。
三、模型的应用3.1 求解等腰三角形的各边长通过一线三等角模型，我们可以快速地求解等腰三角形的各边长。
例如，已知等腰三角形的底边和顶角，可以利用模型中的公式来计算等腰腰的长度，或者利用正弦定理和余弦定理来计算等腰三角形的底角和腰角。
3.2 证明等腰三角形的性质通过一线三等角模型，我们可以轻易地证明等腰三角形的一些性质，比如底角相等、底边中线等于高、底边中点到顶角的距离等于高等。
3.3 求解等腰三角形的外接圆半径一线三等角模型还可以应用于求解等腰三角形的外接圆半径。
通过等边三角形的顶角和底边之间的关系公式，我们可以轻松地计算出等腰三角形的外接圆半径。
3.4 解决相关的几何问题基于一线三等角模型的知识，我们还可以解决一系列与等腰三角形相关的几何问题，例如寻找最大面积的等腰三角形、构造等边三角形的等分线、证明某一线段是正三角形的边等。
专题02 全等模型-一线三等角(K字)模型(解析版)
专题02全等模型--一线三等角（K 字）模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K 字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角（K 型图）模型（同侧型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角直角一线三等角（“K 型图”）钝角一线三等角条件：A CED B ∠=∠=∠+CE=DE证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE⇒≅ 例1．（2023·江苏·八年级假期作业）探究：如图①，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD m ⊥于点D ，CE m ⊥于点E ，求证：ABD CAE ≌ ．应用：如图②，在ABC 中，AB AC =，,,D A E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC ∠=∠=∠．求出,DE BD 和CE 的关系．拓展：如图①中，若10DE =，梯形BCED 的面积______．【答案】探究：证明过程见详解；应用：DE BD CE =+，理由见详解；拓展：50【分析】探究：90BAC ∠=︒，AB AC =，可知ABC 是等腰直角三角形，BD m ⊥，CE m ⊥，可知90BDA AEC ∠=∠=︒，可求出BAD ACE ∠=∠，根据角角边即可求证；应用：AB AC =，,,D A E 三点都在(1)如图①，若AB AC ⊥，则BD 与AE 的数量关系为___________，CE 与AD 的数量关系为(2)如图②，判断并说明线段BD ，CE 与DE 的数量关系；(3)如图③，若只保持7BDA AEC BD EF cm ∠=∠==，，点A 在线段DE 上以2cm/s 的速度由点例3．（2022·陕西七年级期末）（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____．（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积．【答案】（1）7；（2）S△BCD＝8；（3）S△BCD＝6．【分析】(1)∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，据同角的余角相等，可得∠ACB＝∠D，由已知条件可证△ABC≌△CED，运动（D 不与B 、C 重合），连接AD ，作40ADE ∠=︒，DE 交线段AC 于E ．(1)当115BDA ∠=︒时，EDC ∠=_____︒，BAD ∠=_____︒，AED =∠_____︒；点D 从B 向C 运动时，BDA ∠逐渐变_____（填“大”或“小”）；(2)当DC 等于多少时，ABD DCE ≌△△，请说明理由；(3)在点D 的运动过程中，ADE V 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出BDA ∠的度数，若不可以，请说明理由．【答案】(1)25，25，65，小(2)当2DC =时，ABD DCE ≌△△，理由见解析；(3)当BDA ∠的度数为110︒或80︒时，ADE V 的形状是等腰三角形．【分析】（1）先求出ADC ∠的度数，即可求出EDC ∠的度数，再利用三角形的外角性质即可求出AED ∠的度数，根据点D 从B 向C 运动时，BAD ∠逐渐增大，而B ∠不变化，180B BAD BDA ∠+∠+∠=︒，即可得到答案；（2）根据全等三角形的判定条件求解即可；（3）先证明当ADE V 时等腰三角形，只存在AD ED =或AE DE =两种情况，然后分这两种情况讨论求解即可；【详解】（1）解：∵115BDA ∠=︒，∴18011565ADC ∠=︒-︒=︒，∵40ADE ∠=︒，∴25EDC ADC ADE ∠︒=∠-∠=，∵ADC ADE EDC B BAD ∠=∠+∠=∠+∠，∴25BAD EDC ∠=∠=︒，∴65AED EDC C ︒∠=∠+∠=；∵点D 从B 向C 运动时，BAD ∠逐渐增大，而B ∠不变化，180B BAD BDA ∠+∠+∠=︒，∴点D 从B 向C 运动时，BDA ∠逐渐变小，故答案为：25，25，65，小；（2）解：当2DC =时，ABD DCE ≌△△，理由：∵40B C ∠=∠=︒，∴140DEC EDC ∠+∠=︒，又∵40ADE ∠=︒，∴140ADB EDC ∠+∠=︒，∴ADB DEC ∠=∠，又∵2AB AC ==，∴()AAS ABD DCE ≌△△；（3）解：当BDA ∠的度数为110°或80°时，ADE V 的形状是等腰三角形，理由：∵40C ADE ∠=∠=︒，AED C EDC ∠=∠+∠，∴AED ADE ∠>∠，∴当ADE V 时等腰三角形，只存在AD ED =或AE DE =两种情况，模型2.一线三等角（K 型图）模型（异侧型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
中考数学“一线三等角”模型解析
中考数学“一线三等角”模型解析一、“一线三等角”模型定义两个相等的角一边在同一直线上，另一边在该直线的同侧或异侧，第三个与之相等的角的顶点在前一组等角的顶点所确定的线段上或线段的延长线上，该角的两边分别位于一直线的同侧或异侧，并与两等角两边相交，就会形成一组相似三角形，习惯上把该组相似三角形称为“一线三等角型”相似三角形 .二、“一线三等角”模型类型（1）点P 在线段AB 上，则有△ACP∽△BPD .①锐角一线三等角锐角一线三等角模型②直角一线三等角直角一线三等角模型③钝角一线三等角钝角一线三等角模型（2）点P 在线段AB 的延长线上，则有△ACP∽△BPD .①锐角一线三等角锐角一线三等角模型②直角一线三等角直角一线三等角模型③钝角一线三等角钝角一线三等角模型三、“一线三等角”模型常出现的题型1、等腰三角形中，在底边上作一角与底角相等；2、等腰梯形中上（下）底作一角与上（下）底角相等；3、矩形（正方形）；4、矩形和正方形的翻折（简称：一线三直角）；5、等边三角形的翻折；6、坐标系中的一线三直角包括已知相似比求点的坐标或直角三角形的讨论性问题 .四、典例解析（一）一线三等角模型——等腰三角形【例题1】如图，已知：在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = BC = 4 , 点M 是边AB 的中点，点E 、G 分别是边AC 、BC 上的一点，∠EMG = 45°，AC 与MG 的延长线相交于点F，（1）在不添加字母和线段的情况下写出图中一定相似的三角形，并证明其中的一对；（2）连接EG，当AE = 3 时，求EG 的长 .解析：（1）△AEM∽△BMG（一线三等角型）；△FEM∽△FMA（共角共边型）. （2）AE = 3 , CE = 1 ,由△AEM∽△BMG 可计算出BG = 8/3 ，则CG = 4/3 .在Rt△CEG 中，由勾股定理可得EG = 5/3 .另解：点M 是AB 的中点，恰好是“中点型一线三等角”，则有△AEM∽△BMG∽△MEG .对可解△AEM 由余弦定理可计算出ME = √5 ，由△AEM∽△MEG，可得AE/ME = ME/EG ,即3/√5 = √5/EG ,解得EG = 5/3 .（二）一线三等角模型——等腰梯形【例题2】已知在梯形ABCD 中，AD∥BC，AD < BC，且AD = 5 , AB = DC = 2 . （1）如图，点P 为AD 上的一点，且满足∠BPC = ∠A .①求证：△ABP∽△DPC；②求AP 的长 .（2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE = ∠A ，PE 交直线BC 于点E , 同时交直线DC 于点Q ，那么①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP = x , CQ = y , 求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE = 1 时，写出AP 的长 .解析：（1）①由等腰梯形同一底上两个底角相等+ 三角形内角和及平角（∠APD）等于180°，可证△ABP∽△DPC .②∵△ABP∽△DPC ，∴AP/DC = AB/PD ,∴AP/2 = 2/（5 - AP），解得AP = 1 或AP = 4 .（2）①建立y 关于x 的函数解析式，AP = x , DP = 5 - x , CQ = y , 则DQ = 2 = y , 易证：△ABP∽△DPQ，∴AB/PD = AP/DQ ,即2/（5 - x）= x/（2 + y）,∴y = -1/2 x^2 + 5x/2 - 2 ,定义域：由于点Q 在线段DC 的延长线上，故DQ > 2 , 即y + 2 > 2 ,∴y = -1/2 x^2 + 5x/2 - 2 > 0 , 即1 < x < 4 .②分类讨论点E 的位置如下：1、当点E 在线段BC 上时，CE = 1 , 过C 点作PQ 的平行线交AD 于点H ，由△ABP∽△DHC，∴AB/DH = AP/DC ,∴2/（5 - 1 - x）= x/2 ,解得x = 2 .2、当点E 在线段BC 的延长线上时，CE = 1 , 过点E 作CD 的平行线交AD 的延长线于点M ，由△ABP∽△MPE，∴AB/MP = AP/ME ,∴2/（5 + 1 - x）= x/2 ,解得x1 = 3 - √5 , x2 = 3 + √5 > 5 （舍去）.五、小结1、此次课程展示了相似模型“一线三等角型”在初中数学范围内常见的两种考题形式；2、从压轴题中的复杂图形提炼出基本图形、快速灵活运用基本结论、反思、拓展提高，通过知识间的串联，找出一些通性通法，来提高解题效率 .。
《一线三等角模型》课件
在建筑设计中，一线三 等角模型可防止建筑形 态过于普通化，同时保 证建筑的美学性与功能 性。
一线三等角模型的应用领域
室内设计
可以用于设计会议室、酒店等 场所。
建筑设计
可以用于设计公共建筑、景观 等。
家具设计
可以用于设计桌椅、灯具等家 具。
建模方法
1
建立坐标系
根据设计需求，建立二维坐标系。
2
构造一线三等角模型的形式
《一线三等角模型》PPT 课件
本PPT课件将介绍一线三等角模型的建模方法和应用，以及如何用Python实 现该模型。
什么是一线三等角模型？
1 基本概念
一条长度为1的线段在 平面上，等分成三段， 依次连接首尾得到一个 三角形，这即为一线三 等角模型。
2 特性
3 优点
等边、等角、狭长、占 用空间小、视觉上飘逸、 新颖。
上海环球金融中心 建筑设计
建筑主体外形线条流畅，中 心部分采用一线三等角模型 造型，整个建筑寓意成长、 挑战和超越。
实战演示
1
怎样运用Python实现一线三等角模型
介绍程序员如何使用Python语言进行一线三等角模型的建模和参数化，方便后 续分析应用。
2
ห้องสมุดไป่ตู้
实战演示案例
通过一线三等角模型和Python语言实现的案例，展示该模型方法和应用的可行 性。
总结
一线三等角模型的应用前景
这一模型的美学和实用性优点促进了其在设计领域中的广泛应用，未来发展前景广阔。
未来的研究与发展方向
未来的研究将着重在拓展该模型的应用领域，提高建模准确性和自动化程度。
在坐标系中，通过角平分线和圆心等方法构造出一线三等角模型。
3
几何模型一线三等角模型知识讲解
几何模型：一线三等型模角．一线三等角模型一.一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。
二.一线三等角的分类全等篇D D C D C C BA BAP P ABP同侧锐角直角钝角D DDAP A A B P PB BC C C异侧相似篇D D C D C C BA BA P P ABP同侧钝角直角锐角D DDAP A B PB APB C C C异侧三、“一线三等角”的性质BDE.∽△，易得△AEC一般情况下，如图 3-1，由∠1=∠2=∠31.BDE.AEC≌△当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图 3-1，若 CE=ED，则△2.3.中点型“一线三等角”中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且D 是 BC) 了解4.“中点型一线三等角“的变式(1??BOC?BAC90??时，点 O 是△ABC 的内心如图 3-3，当∠1=∠2 且.可以考虑构2造“一线三等角”.如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，1?BOC?90???BAC这是内心的性质，反之未必是内心.2在图 3-4（右图）中，如果延长 BE 与 CF，交于点 P，则点 D 是△PEF 的旁心.5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明）图 3-5其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题四、“一线三等角”的应用．1.“一线三等角”应用的三种情况.a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题.体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似坐标系中，要讲究“线”的特殊性如图 3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过 C、D 两点作直线 l 的垂线是必不可少的。
专题07 一线三垂直与一线三等角(解析版)
专题07一线三垂直与一线三等角一、基础知识回顾1）三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°2）1平角=180度二、模型的概述：1）一线三垂直模型[模型概述]只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过45°顶点作直线的垂线，构造三垂直，所得两个直角三角形全等。
根据全等三角形倒边，得到线段之间的数量关系。
基础构造1构造2一线三垂直模型一：如图AB⊥BC，AB=BC，CE⊥DE，AD⊥DE，则∆ABD≌∆BCE，DE=AD+EC证明：∵CE⊥DE，AD⊥DE，AB⊥BC∴∠CEB=∠ADB=∠ABC=90°∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°∴∠1=∠3在∆ABD和∆BCE中，∠1=∠3∠CEB=∠ADB=90°∴∆ABD≌∆BCE（AAS）∴AD=BE,EC=BDAB=BC则DE=BE+BD=AD+EC一线三垂直模型二：如图AB⊥BC，AB=BC，CE⊥DE，AD⊥DE，则∆ABD≌∆BCE，DE=AD-EC证明：∵CE⊥DE，AD⊥DE，AB⊥BC∴∠CEB=∠ADB=∠ABC=90°∴∠A+∠ABD=90°，∠ABD+∠CBE=90°∴∠A=∠CBE在∆ABD和∆BCE中，∠A=∠CBE∠CEB=∠ADB=90°∴∆ABD≌∆BCE（AAS）∴AD=BE,EC=BDAB=BC则DE=BE-BD=AD-EC一线三垂直其它模型1）图1，已知∠AOC=∠ADB=∠CED=90°，AB=DC，得∆ADB≌∆DEC2）图2，延长DE交AC于点F，已知∠DBE=∠ABC=∠EFC=90°，AC=DE，得∆ABC≌∆DBE图1图22）一线三等角模型[模型概述]三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
一线三等角类型：（同侧）已知∠A=∠CPD=∠B=∠α，CP=PD（异侧）已知∠EAC=∠ABD=∠DPC=∠α，CP=PD证明：以右图为例∵∠ACP+∠A+∠CPA=180°，∠DPB+∠CPD+∠CPA=180°而∠CAP=∠CPD=∠PBD=∠α∴∠ACP=∠DPB又∵CP=PD∴∆ACP≌∆BPD（AAS）【基础过关练】1．如下图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．DE=6cm，AD=9cm，则BE的长是（）A．6cm B．1.5cm C．3cm D．4.5cm【答案】C【分析】本题可通过全等三角形来求BE的长．△BEC和△CDA中，已知了一组直角，∠CBE和∠ACD同为∠BCE的余角，AC=BC，可据此判定两三角形全等；那么可得出的条件为CE=AD，BE=CD，因此只需求出CD 的长即可．而CD的长可根据CE即AD的长和DE的长得出，由此可得解．【详解】解：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，∴∠BCE+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°；∴∠ACD=∠CBE，又AC=BC，∴△ACD≌△CBE；∴EC=AD，BE=DC；∵DE=6cm，AD=9cm，则BE的长是3cm．故选C．【点睛】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（）A．3B．2C．94D．92【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B ＝∠C ，推出∠BAD ＝∠CDE ，根据线段垂直平分线的性质得到AD ＝ED ，根据全等三角形的性质得到CD ＝AB ＝9，BD ＝CE ，即可得到结论．【详解】解：∵AB ＝AC ＝9，∴∠B ＝∠C ，∵∠ADE ＝∠B ，∠BAD ＝180°﹣∠B ﹣∠ADB ，∠CDE ＝180°﹣∠ADE ﹣∠ADB ，∴∠BAD ＝∠CDE ，∵AE 的中垂线交BC 于点D ，∴AD ＝ED ，在△ABD 与△DCE 中，BAD CDE B C AD ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△DCE （AAS ），∴CD ＝AB ＝9，BD ＝CE ，∵CD ＝3BD ，∴CE ＝BD ＝3故选：A ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，属于基础题．3．如图，AC ＝CE ，∠ACE ＝90°，AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB ＝6cm ，DE ＝2cm ，则BD 等于（）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．4cm【答案】B 【分析】根据题意证明ABC CDE △≌△即可得出结论．【详解】解：∵AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，∴90ABC CDE ∠=∠=︒，∵∠ACE ＝90°，∴90ACB DCE ∠+∠=︒，∵90ACB BAC ∠+∠=︒，∴BAC DCE ∠=∠，在ABC 和CDE 中，90ABC CDE BAC DCE AC CE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎪⎨⎪⎪⎩＝，∴()ABC CDE AAS ≌，∴6cm AB CD ==，2cm BC DE ==，∴268cm BD BC CD =+=+=，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．4．如图，ABC 中，,90,(0,3),(1,0)AC BC ACB A C =∠=︒，则点B 的坐标为________．【答案】（4，1）【分析】如图，过点B 作BD ⊥x 轴于D ，根据点A 、点C 坐标可得OA 、OC 的长，根据同角的余角相等可得∠OAC =∠DCB ，利用AAS 可证明△OAC ≌△DC B ，根据全等三角形的性质可得BD =OC ，CD =OA ，即可求出OD 的长，进而可得答案．【详解】如图，过点B 作BD ⊥x 轴于D ，∵A （0，3），C （1，0），∴OA =3，OC =1，∵∠ACB =90°，∴∠OCA +∠DCB =90°，∵∠OAC +∠OCA =90°，∴∠OAC =∠DCB ，在△OAC 和△DC B 中，AOC CDB OAC DCB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OAC ≌△DC B ，∴BD =OC =1，CD =OA =3，∴OD =OC +CD =4，∴点B 坐标为（4，1）．故答案为：（4，1）【点睛】本题考查坐标与图形及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．5．如图，ABC 为等腰直角三角形AC BC =，若o −3，0)，o0，2)，则点B 的坐标为_________．【答案】(2，−1)【分析】过点B 作BT y ⊥轴于点T ．证明AOC CTB ≅ ，可得结论．【详解】解：如图中，过点B 作BT y ⊥轴于点T ．∵o −3，0)，o0，2)，∴3OA =，2OC =，∵90AOC ACB CTB ∠=∠=∠=︒，∴90ACO BCT ∠+∠=︒，90BCT CBT ∠+∠=︒，∴ACO CBT ∠=∠，在AOC 和CTB △中，===AOC CTB ACO CBT AC CB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴AOC CTB ≅ （AAS ），∴3AO CT ==，2BT CO ==，∴-1OT CT CO ==，∴（2，−1），故答案为：(2，−1)．【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．6．如图所示，ABC 中，,90AB AC BAC =∠=︒．直线l 经过点A ，过点B 作BE l ⊥于点E ，过点C 作CF l ⊥于点F ．若2,5==BE CF ，则EF =__________．【答案】7【分析】根据全等三角形来实现相等线段之间的关系，从而进行计算，即可得到答案；【详解】解：∵BE ⊥l ，CF ⊥l ，∴∠AEB =∠CFA =90°．∴∠EAB +∠EBA =90°．又∵∠BAC =90°，∴∠EAB +∠CAF =90°．∴∠EBA =∠CAF ．在△AEB 和△CFA 中∵∠AEB =∠CFA ，∠EBA =∠CAF ，AB =AC ，∴△AEB ≌△CFA ．∴AE =CF ，BE =AF ．∴AE +AF =BE +CF ．∴EF =BE +CF ．∵2,5==BE CF ，∴257EF =+=；故答案为：7．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的证明三角形全等．7．如图，一个等腰直角三角形ABC 物件斜靠在墙角处（∠O ＝90°），若OA ＝50cm ，OB ＝28cm ，则点C 离地面的距离是____cm ．∴90CDB AOB ∠=∠=︒∵ABC ∆是等腰直角三角形∴AB =CB ，90ABC ∠=︒∴90ABO CBD ∠+∠=︒又90CBD BCD ∠+∠=︒∴ABO BCD∠=∠在ABO ∆和BCD ∆中，AOB BDC ABO BCD AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ABO BCD AAS ∆≅∆∴28cmCD BO ==故答案为：28．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．8．如图，AB ＝BC ，AB ⊥BC ，AE ⊥BD 于F ，BC ⊥CD ，求证：EC ＝AB －CD ．【答案】见解析【分析】利用ASA 证明出△ABE ≌△BCD ，在通过等量代换进行解答．【详解】证明：∵AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，∴∠ABC ＝∠ACD ＝90°∴∠AEB ＋∠A ＝90°∵AE ⊥BD∴∠BFE ＝90°∴∠AEB ＋∠FBE ＝90°∴∠A ＝∠FBE ，又∵AB ＝BC ，∴△ABE ≌△BCD ，∴AB ＝BC ，BE ＝CD ，∴EC ＝BC －BE ＝AB －CD【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握三角形的判定定理，再利用等量代换的思想来间接证明．【提高测试】1．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 轴的负半轴和正半轴上，以AB 为边向上作正方形ABCD ，四边形OEFG 是其内接正方形，若直线OF 的表达式是y ＝2x ，则ABCDOEFG S S 正方形正方形的值为（）A ．43B ．85C ．169D ．94【答案】B【分析】根据正方形性质易得GBO FCG ≅ ，从而可得CG BO =、FC GB =，设OB =a ，BG =b ，可得F 点坐标为(,)a b a b -+，根据F 点在直线OF 上，可求出3a b =，然后即可根据正方形面积和勾股定理求出面积比．【详解】解：在正方形ABCD ，正方形OEFG 中，90OBG OGF GCF ∠=∠=∠=︒，FG OG =，∴90OGB GOB OGB CGF ∠+∠=∠+∠=︒，∴GOB CGF ∠=∠，在GBO 和△FCG 中，OBG GCF GOB FGC OG FG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴GBO FCG ≅ （AAS ）∴CG BO =、FC GB =，设CG BO a ==、FC GB b ==，∴BC BG CG a b =+=+，HF OB FC a b =-=-，∴点F 坐标为(,)a b a b -+，∵直线OF 的表达式是y ＝2x ，∴2()a b a b -=+，2．如图，AE ⊥AB ，且AE =AB ，BC ⊥CD ，且BC =CD ，EF =6，BG =3，DH =4，计算图中实线所围成的图形的面积S 是______．3．已知直线l 经过正方形ABCD 的顶点A ，过点B 和点D 分别作直线的垂线BM 和DN ，垂足分别为点M 、点N ，如果5BM =，3DN =，那么点M 和点N 之间的距离为_______．（1）如图1，过A 的直线与斜边BC 不相交时，直接写出线段EF 、BE 、CF 的数量关系是______；（2）如图2，过A 的直线与斜边BC 相交时，探究线段EF 、BE 、CF 的数量关系并加以证明；（3）在（2）的条件下，如图3，直线FA 交BC 于点H ，延长BE 交AC 于点G ，连接BF 、FG 、HG ，若AHB GHC ∠=∠，6EF CF ==，2EH FH =，四边形ABFG 的面积是90，求GHC 的面积．【答案】（1）数量关系为：EF =BE +CF ；（2）数量关系为：EF =BE -CF ．证明见详解；（3）S △GHC =15．【分析】（1）数量关系为：EF =BE +CF ．利用一线三直角得到∠BEA =∠AFC =90°，∠EBA =∠FAC ，再证△GHC =S △ACF -S △HCF -S △AGH 5．如图1所示，已知ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，直线m 经过点C ，过A 、B 两点分别作直线m 的垂线，垂足分别为E 、F ．（1）如图1，当直线m 在A 、B 两点同侧时，求证：EF AE BF =+；（2）若直线m 绕点C 旋转到图2所示的位置时（BF AE <），其余条件不变，猜想EF 与AE ，BF 有什么数量关系？并证明你的猜想；（3）若直线m 绕点C 旋转到图3所示的位置时（BF AE >）其余条件不变，问EF 与AE ，BF 的关系如何？直接写出猜想结论，不需证明．【答案】（1）见解析；（2）EF AE BF =-，理由见解析；（3）EF BF AE =-，理由见解析【分析】（1）先证得90AEC BFC ∠=∠=︒，EAC FCB ∠=∠，根据AAS 证EAC FCB △≌△，推出CE BF =，AE CF =即可；（2）类比（1）证得对应的两个三角形全等，由此可推出CE BF =，AE CF =，再根据EF CF CE =-即可得到EF AE BF =-；（3）类比（1）证得对应的两个三角形全等，由此可推出CE BF =，AE CF =，再根据EF CE CF =-即可得到EF BF AE =-．【详解】（1）证明：AE EF ⊥Q ，BF EF ⊥，90ACB ∠=︒，90AEC BFC ACB ∴∠=∠=∠=︒，90EAC ECA ∴∠+∠=︒，90ECA FCB ∠+∠=︒，EAC FCB ∴∠=∠，在EAC 和FCB 中，AEC CFB EAC FCB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EAC FCB AAS ∴△≌△，CE BF ∴=，AE CF =，∵EF CF CE =+，∴EF AE BF =+；（2）解：EF AE BF =-，理由如下：AE EF ⊥Q ，BF EF ⊥，90ACB ∠=︒，90AEC BFC ACB ∴∠=∠=∠=︒，90EAC ECA ∴∠+∠=︒，90ECA FCB ∠+∠=︒，EAC FCB ∴∠=∠，在EAC 和FCB 中，AEC CFB EAC FCB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EAC FCB AAS ∴△≌△，CE BF ∴=，AE CF =，∵EF CF CE =-，∴EF AE BF =-；（3）解：EF BF AE =-，理由如下：AE EF ⊥Q ，BF EF ⊥，90ACB ∠=︒，90AEC BFC ACB ∴∠=∠=∠=︒，90EAC ECA ∴∠+∠=︒，90ECA FCB ∠+∠=︒，EAC FCB ∴∠=∠，在EAC 和FCB 中，AEC CFB EAC FCB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EAC FCB AAS ∴△≌△，CE BF ∴=，AE CF =，∵EF CE CF =-，∴EF BF AE =-．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，主要涉及到了全等三角形的判定与性质，等量代换等知识点，难度不大，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．6．如图1，在平面直角坐标中，点()0,A m ，(),0B m ，()0,m C -，其中0m >，点P 为线段OA 上任意一点，连接BP ，CE BP ⊥于E ，AD BP ⊥于D ．（1）求证：AD BE =；（2）当3m =时，若点()3,0N -，请你在图1中连接CD ，EN 交于点Q ．求证：EN CD ⊥；（3）若将“点P 为线段OA 上任意一点”，改为“点P 为线段OA 延长线上任意一点”，其他条件不变，连接CD ，EN CD ⊥，垂足为F ，交y 轴于点H ，交x 轴于点N ，请在图2中补全图形，求点N 的坐标（用含m 的代数式表示）．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析，(),0m -【分析】（1）先根据点()0,A m ，(),0B m ，()0,C m -，得到OA OB OC m ===，则由三线合一定理得到，AB BC =，证明90ABC ∠= ，推出=CBE BAD ∠∠即可证明ABD BCE ≅ ，得到AD BE =；（2）先根据点()3,0N -，得到3OA OB OC ON ====，则6AC BN ==，再证明DAC EBN ∠=∠，即可利用SAS 证明DAC EBN ≅△△得到ACD BNE ∠=∠，再由NGF CGO ∠=∠，可以推出90NFG COG ∠=∠=o ，即CD EN ⊥；（3）同样先证明=CBE BAD ∠∠，推出ABD BCE ≅ ，得到AD BE =，即可得到CAD NBE ∠=∠，再由90NOH CFH ∠=∠=o ，OHN FHC ∠=∠，得到ACD BNE ∠=∠，则ACD BNE ≅△△，推出2AC BN m ==．【详解】证明：（1）如图1，∵点()0,A m ，(),0B m ，()0,C m -，∴OA OB OC m ===，∵OB AC ⊥，∴AB BC =，∵∠AOB =∠AOC =90°，∴45BAC BCA ABO CBO ∠=∠=∠=∠=o ，∴90ABC ∠= ，∵AD BP ⊥，CE BP ⊥，∴90ABC D CEB ∠=∠=∠=o∴90ABD CBE ABD BAD ∠+∠=∠+∠=o ，∴=CBE BAD ∠∠，∴()ABD BCE AAS ≅V V ，∴AD BE =；（2）如图2，由（1）得ABD BCE ≅ ，∴AD BE =，∵3m =，点()3,0N -，∴3OA OB OC ON ====，∴6AC BN ==，∵=CBE BAD ∠∠，45BAC CBO ∠=∠=o ，∴BAD BAC CBE CBO ∠-∠=∠-∠，∴DAC EBN ∠=∠，又∵BE =AD ，AC =BN ，∴()DAC EBN SAS ≅△△∴ACD BNE ∠=∠，∵NGF CGO ∠=∠，∴90NFG COG ∠=∠=o ，∴CD EN ⊥；（3）如图3，由（1）得OA OB OC m ===，AB BC =，45BAC CBO ∠=∠=o ，90ABC ∠= ，∵AD BP ⊥，CE BP ⊥，∴90ABC ADB CEB ∠=∠=∠=o ，∵90ABD CBE ABD BAD ∠+∠=∠+∠=o ，∴=CBE BAD ∠∠，∴()ABD BCE AAS ≅V V ，∴AD BE =，∵BAC BAD CBO CBE ∠+∠=∠+∠，∴CAD NBE ∠=∠，∵EN CD ⊥,x 轴y ⊥轴，∴90NOH CFH ∠=∠=o ，∵OHN FHC ∠=∠，∴ACD BNE ∠=∠，∴()ACD BNE AAS ≅△△∴2AC BN m ==，∴点N 的坐标为(),0m -．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．7．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()4,0，点B 为y 轴正半轴上的一个动点，以B 为直角顶点，AB 为直角边在第一象限作等腰Rt ABC ．(1)如图1，若3OB =，则点C 的坐标为______；(2)如图2，若4OB =，点D 为OA 延长线上一点，以D 为直角顶点，BD 为直角边在第一象限作等腰Rt BDE △，连接AE ，求证：AE AB ⊥；(3)如图3，以B 为直角顶点，OB 为直角边在第三象限作等腰Rt OBF ．连接CF ，交y 轴于点P ，求线段BP 的长度．在△ABO 和△BCH 中，CHB AOB BCH ABO BC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABO ≌△BCH （AAS ），∴CH =OB =3，BH =AO =4，∴OH =7，∴点C （3，7），故答案为：（3，7）；（2）过点E 作EF ⊥x 轴于F ，∴∠EFD =∠BDE =∠BOD =90°，∴∠BDO +∠EDF =90°=∠BDO +∠DBO ，∴∠DBO =∠EDF ，在△BOD 和△DFE 中，BOD EFD DBO EDF BD ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BOD ≌△DFE （AAS ），∴BO =DF =4，OD =EF ，∵点A 的坐标为（4，0），∴OA =OB =4，∴∠BAO =45°，8．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．【答案】（1）见解析（2）成立，证明见解析（3）△DEF为等边三角形，证明见解析【分析】（1）因为DE=DA+AE，故由全等三角形的判定AAS证△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE；（2）成立，仍然通过证明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD；（3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA=∠CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=60°，FB=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形．【详解】解：（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA=90°．∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE=90°．∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD．又AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE=AE+AD=BD+CE；（2）成立．证明如下：∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α．∴∠DBA=∠CAE．∵∠BDA=∠AEC=α，AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE=AE+AD=BD+CE；（3）△DEF为等边三角形．理由如下：由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA=∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°．∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．∴∠DBF=∠FAE．∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF（SAS）．∴DF=EF，∠BFD=∠AFE．∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°．∴△DEF为等边三角形．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定．中，9．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在ABC=+．∠=︒，AB ACBAC90=，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D，E．求证：DE BD CE（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D ，A ，E 三点都在直线l 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过ABC 的边AB ，AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，AH 是BC 边上的高．延长HA 交EG 于点I ．若7AEG S =△，则AEI S =△______．【答案】（1）见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）3.5【分析】（1）由条件可证明△ABD ≌△CAE ，可得DA =CE ，AE =BD ，可得DE =BD +CE ；（2）由条件可知∠BAD +∠CAE =180°-α，且∠DBA +∠BAD =180°-α，可得∠DBA =∠CAE ，结合条件可证明△ABD ≌△CAE ，同（1）可得出结论；（3）由条件可知EM =AH =GN ，可得EM =GN ，结合条件可证明△EMI ≌△GNI ，可得出结论I 是EG 的中点．【详解】解：（1）证明：如图1中，∵BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，∴∠BDA =∠CEA =90°，∵∠BAC =90°，∴∠BAD +∠CAE =90°，∵∠BAD +∠ABD =90°，∴∠CAE =∠ABD ，在△ADB 和△CEA 中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE =BD ，AD =CE ，∴DE =AE +AD =BD +CE ．（2）解：成立．理由：如图2中，∵∠BDA =∠BAC =α，∴∠DBA +∠BAD =∠BAD +∠CAE =180°-α，∴∠DBA =∠CAE ，10．如图，在ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA=115°时，∠EDC=______°，∠AED=______°；（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．【答案】（1）25°，65°；（2）2，理由见详解；（3）可以，110°或80°.【分析】（1）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；（2）当DC=2时，利用∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，求出∠ADB=∠DEC，再利用AB=DC=2，即可得出△ABD≌△DCE．（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形．【详解】解：（1）∵∠B=40°，∠ADB=115°，∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-115°-40°=25°，∵AB=AC，∴∠C=∠B=40°，∵∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=25°，∴∠DEC=180°-∠EDC-∠C=115°，∴∠AED=180°-∠DEC=180°-115°=65°；（2）当DC=2时，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，又∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ADB=∠DEC，又∵AB=DC=2，在△ABD和△DCE中，ADB DEC B C AB DC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ABD ≌△DCE （AAS ）；（3）当∠BDA 的度数为110°或80°时，△ADE 的形状是等腰三角形，∵∠BDA=110°时，∴∠ADC=70°，∵∠C=40°，∴∠DAC=70°，∴△ADE 的形状是等腰三角形；∵当∠BDA 的度数为80°时，∴∠ADC=100°，∵∠C=40°，∴∠DAC=40°，∴△ADE 的形状是等腰三角形．【点睛】本题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题．11．综合与探究：在平面直角坐标系中，已知A （0，a ），B （b ，0）且a ，b 满足（a ﹣3）2+|a ﹣2b ﹣1|＝0（1）求A ，B 两点的坐标（2）已知△ABC 中AB =CB ，∠ABC ＝90°，求C 点的坐标（3）已知AB ，试探究在x 轴上是否存在点P ，使△ABP 是以AB 为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，在ABC 中，AB BC =．（1）如图①所示，直线NM 过点B ，AM MN ⊥于点M ，⊥CN MN 于点N ，且90ABC ∠=︒．求证：MN AM CN =+．（2）如图②所示，直线MN 过点B ，AM 交MN 于点M ，CN 交MN 于点N ，且AMB ABC BNC ∠=∠=∠，则MN AM CN =+是否成立？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）MN AM CN =+仍然成立，理由见解析【分析】（1）首先根据同角的余角相等得到BAM CBN ∠=∠，然后证明()AMB BNC AAS ≅△△，然后根据全等三角形对应边相等得到AM BN =，BM CN =，然后通过线段之间的转化即可证明MN AM CN =+；（2）首先根据三角形内角和定理得到MAB CBN ∠=∠，然后证明()AMB BNC AAS ≅△△，根据全等三角形对应边相等得到MN MB BN =+，最后通过线段之间的转化即可证明MN AM CN =+．【详解】证明：（1）∵AM MN ⊥，⊥CN MN ，∴90AMB BNC ∠=∠=︒，∴90ABM BAM ∠+∠=︒，∵90ABC ∠=︒，∴90ABM CBN Ð+Ð=°，∴BAM CBN ∠=∠，在AMB 和BNC 中，AMB BNC BAM CBN AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AMB BNC AAS ≅△△，∴AM BN =，BM CN =，∵BN MB MN +=，∴MN AM CN =+；（2）MN AM CN =+仍然成立，理由如下：∵180AMB MAB ABM ABM ABC CBN ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒，∵AMB ABC ∠=∠，∴MAB CBN ∠=∠，在AMB 和BNC 中，AMB BNC BAM CBN AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AMB BNC AAS ≅△△，∴AM BN =，NC MB =，∵MN MB BN =+，∴MN AM CN =+．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，同角的与相等，三角形内角和定理等知识，解题的关键是根据同角的余角相等或三角形内角和定理得到BAM CBN ∠=∠．13．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：（1）如图1，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ，过点B 作BC ⊥AC 于点C ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ．由∠1+∠2＝∠2+∠D ＝90°，得∠1＝∠D ．又∠ACB ＝∠AED ＝90°，可以推理得到△ABC ≌△DAE ．进而得到AC ＝，BC ＝AE ．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；（2）如图2，∠BAD ＝∠CAE ＝90°，AB ＝AD ，AC ＝AE ，连接BC ，DE ，且BC ⊥AF 于点F ，DE 与直线AF 交于点G ．求证：点G 是DE 的中点；（深入探究）（3）如图，已知四边形ABCD 和DEGF 为正方形，△AFD 的面积为S 1，△DCE 的面积为S 2，则有S 1S 2（填“＞、＝、＜”）【答案】（1）DE ；（2）见解析；（3）=【分析】（1）根据全等三角形的性质可直接进行求解；（2）分别过点D 和点E 作DH ⊥FG 于点H ，EQ ⊥FG 于点Q ，进而可得∠BAF =∠ADH ，然后可证△ABF ≌△DAH ，则有AF =DH ，进而可得DH =EQ ，通过证明△DHG ≌△EQG 可求解问题；（3）过点D 作DO ⊥AF 交AF 于O ，过点E 作EN ⊥OD 交OD 延长线于N ，过点C 作CM ⊥OD 交OD 延长线于M ，由题意易得∠ADC =∠90°，AD =DC ，DF =DE ，然后可得∠ADO =∠DCM ，则有△AOD ≌△DMC ，△FOD ≌△DNE ，进而可得OD =NE ，通过证明△ENP ≌△CMP 及等积法可进行求解问题．【详解】解：（1）∵ABC DAE △≌△，∴AC DE =；（2）分别过点D 和点E 作DH ⊥FG 于点H ，EQ ⊥FG 于点Q ，如图所示：∴90DAH ADH ∠+∠=︒，∵90BAD ∠=︒，∴90BAF DAH ∠+∠=︒，∴BAF ADH ∠=∠，∵BC AF ⊥，∴90BFA AHD ∠=∠=︒，∵AB DA =，∴△ABF ≌△DAH ，∴AF =DH ，同理可知AF =EQ ，∴DH =EQ ，∵DH ⊥FG ，EQ ⊥FG ，∴90DHG EQG ∠=∠=︒，∵DGH EGQ∠=∠∴△DHG ≌△EQG ，∴DG =EG ，即点G 是DE 的中点；（3）12S S =，理由如下：如图所示，过点D 作DO ⊥AF 交AF 于O ，过点E 作EN ⊥OD 交OD 延长线于N ，过点C 作CM ⊥OD 交OD 延长线于M∵四边形ABCD 与四边形DEGF 都是正方形∴∠ADC =∠90°，AD =DC ，DF =DE∵DO ⊥AF ，CM ⊥OD ，∴∠AOD =∠CMD =90°，∠OAD +∠ODA =90°，∠CDM +∠DCM =90°，又∵∠ODA +∠CDM =90°，∴∠ADO =∠DCM ，∴△AOD ≌△DMC ，∴AOD DMC S S =△△，OD =MC ，同理可以证明△FOD ≌△DNE ，∴FOD DNE S S =△△，OD =NE ，∴MC =NE ，∵EN ⊥OD ，CM ⊥OD ，∠EPN =∠CMP ，∴△ENP ≌△CMP ，∴ENP CMP S S △△=，∵,ADF AOD FOD DCE DCM CMP DEN ENP S S S S S S S S =+=-++ ，∴DCE DCM DEN AOD FOD S S S S S =+=+ ,∴DCE ADF S S △△=即12S S =．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的两个锐角互余及等积法，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．14．已知：CD 是经过∠BCA 的顶点C 的一条直线，CA ＝CB ，E 、F 是直线CD 上两点，∠BEC ＝∠CFA ＝∠α．（1）若直线CD 经过∠BCA 的内部，∠BCD ＞∠ACD ．①如图1，∠BCA ＝90°，∠α＝90°，写出BE ，EF ，AF 间的等量关系：．②如图2，∠α与∠BCA 具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出∠α与∠BCA 的数量关系．（2）如图3．若直线CD 经过∠BCA 的外部，∠α＝∠BCA ，①中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明．【答案】（1）①EF =BE -AF ；②∠α+∠BCA =180°，理由见解析；（2）不成立，EF =BE +AF ，证明见解析【分析】（1）①求出∠BEC =∠AFC =90°,∠CBE =∠ACF ，根据AAS 证△BCE ≌△CAF ，推出BE =CF ，CE =AF 即可得出结论；②求出∠BEC =∠AFC ,∠CBE =∠ACF ，根据AAS 证△BCE ≌△CAF ，推出BE =CF ，CE =AF 即可得出结论;（2）求出∠BEC =∠AFC ，∠CBE =∠ACF ，根据AAS 证△BCE ≌△CAF ，推出BE =CF ，CE =AF 即可得出结论．【详解】（1）①EF 、BE 、AF 的数量关系：EF =BE -AF ，证明：当α=90°时，∠BEC =∠CFA =90°，∵∠BCA =90°,∴∠BCE ＋∠ACF =90°,∵∠BCE ＋∠CBE =90°，∴∠ACF =∠CBE ，∵AC =BC ,∴△BCE ≌△CAF ,∴BE =CF ,CE =AF ,∵CF =CE ＋EF ,∴EF =CF -CE =BE -AF ；②∠α与∠BCA 关系：∠α+∠BCA =180°当∠α+∠BCA =180°时，①中结论仍然成立;理由是：如题图2，∵∠BEC =∠CFA =∠α,180CBE BCE BEC ∠+∠+∠=︒,∠α+∠ACB =180°,ACB CBE BCE∴∠=∠+∠又∵ACB ACF BCE∠=∠+∠∴∠CBE =∠ACF ,在△BCE 和△CAF 中BEC CFA CBE ACF BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCE ≌△CAF (AAS),∴BE =CF ,CE =AF ，∴EF =CF -CE =BE -AF ;故答案为:∠α+∠BCA =180°；（2）EF 、BE 、AF 的数量关系:EF =BE +AF ，理由如下∵∠BEC =∠CFA =∠α,∠α=∠BCA ,又∵∠EBC +∠BCE ＋∠BEC =180°,∠BCE ＋∠ACF +∠ACB =180°,∴∠EBC ＋∠BCE =∠BCE ＋∠ACF∴∠EBC =∠ACF，在△BEC 和△CFA 中EBC FCA BEC CFA BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CFA (AAS )∴AF =CE ，BE =CF∵EF =CE +CF ,∴EF =BE ＋AF ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，证明△BCE ≌△CAF 是解题的关键．15．通过对数学模型“K 字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题：[模型呈现]如图1，90BAD ∠=︒，AB AD =，过点B 作BC AC ⊥于点C ，过点D 作DE AC ⊥于点E ．求证：BC AE =．[模型应用]如图2，AE AB ⊥且AE AB =，BC CD ⊥且BC CD =，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________________．[深入探究]如图3，90BAD CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AC AE =，连接BC ，DE ，且BC AF ⊥于点F ，DE 与直线AF 交于点G ．若21BC =，12AF =，则ADG △的面积为_____________．【答案】[模型呈现]见解析；[模型应用]50；[深入探究]63【分析】[模型呈现]证明ABC DAE △≌△，根据全等三角形的对应边相等得到BC AE =；[模型应用]根据全等三角形的性质得到3AP BG ==，6,4AG EP CG DH ====，3CG BG ==，根据梯形的面积公式计算，得到答案；[深入探究]过点D 作DP AG ⊥于P ，过点E 作EQ AG ⊥交AG 的延长线于Q ，根据全等三角形的性质得到12,12,,DP AF EQ AF AP BF AQ CF ======，证明DPG EQG ≌，得到.PG GQ =，进而求出AG ，根2故答案为：50；[深入探究]过点D 作DP 由[模型呈现]可知，AFB ∴12,DP AF EQ ===。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
PQ，设运动时间为t秒，△CPQ的面积为S．
? （1）求S关于t的函数表达式，并求出t为何值时，S取得最大值 ；
? （2）当S最大时，从以下①、②中任选一题作答，若两题都做只 以第①题计分．
? ①在抛物线y=x2+bx+c的对称轴l上，是否存在点F，使△FDQ为直角 三角形，
? 若存在,请直接写出所有y 符合条件的点Fy 的l 坐标；否则请说明理由．
B
y
C
D B
D
OA
x
O
A
E
2013一调22题
C'
D
CD
C' C
C
A
B A' A
B
D
A(A')
B
图1
图2
?（2）问题探究
?如图3，△ABC中， E
P
AG⊥BC于点G，以A
Q
F
为直角顶点，分别以
A
AB、AC为直角边，向
△ABC外作等腰 Rt△ABE和等腰 Rt△ACF，过点E、F
B
G
图3
E
C
P
作射线GA的垂线，垂
C
模型应用
? .如图，已知RtΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动 （不能到达B，C），过D作∠BAC=45°，DE交AC于E.
? (1）求证：ΔABD∽ΔDCE； ? (2）设BD=x，AE=y，求y关于x得函数关系式，并写出自变量x得取
值范围；
． ? (3）当ΔADE是等腰三角形时，求AE的长
? （5）请探索：是否存在这样的点E，使 得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在 OB上？若存在，求出点E的坐标；若不存 在，请说明理由．
? 3．如图，已知y1=k1x+k1（ k1≠0）与反比例函数 (k2≠0)的 图象交于点A、C，其中A点坐标 （1，1）． （1）求反比例函数的解析式； （2）根据图象写出在第一象限 内，当取何值时，y1＜y2？ （3）若一次函数y1=k1x+k1与x 轴交于B点，连接OA，求 △AOB的面积： （4）在（3）的条件下，在坐 标轴上是否存在点P，使△AOP 是等腰三角形？若存在，请写出 P点的坐标；若不存在，请说明 理由．
jA
足分别为P、Q. 试探究
EP与FQ之间的数量关
系，并证明你的结论.
B
P
? （3）拓展延伸
?
如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、
AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线 GA交EF于点H. 若AB= k AE，AC= k AF，试探究HE与HF 之间的数量关系，并说明理由.
? ①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式 ，并求出l的最大值；
? ②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动 ，正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时，直 接写出对应的点P的坐标.
模型拓展 一线三锐角
B
j
O
A
D
B
P
E C
E
B P
? （3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的
面积等于△ABC的面积的
1 4
时，求线段， AD ∥ BC ，AD=2 ，BC=4，点M是 AD 的中点，△MBC 是等边三角形 ．
? （1）求证：梯形ABCD 是等腰梯 形；
? （2）动点P、Q分别在线段BC和 MC上运动，且∠MPQ=60°保持 不变．设PC=x，MQ=y求y与x的 函数关系式.
A
E
BD
C
模型应用
? （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田10分）△ABC 中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B
? （1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E ，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．
? （2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转， DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重 合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证 明你的结论．
2013一调23题
? (11分)如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点
C的坐标为（6，0）．抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与AB边交
于点D．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
?
（Ⅱ）动点P从C出发，沿线段CB向终点B运动，同时动点Q从
A出发，沿线段AC向终点C运动，速度均为每秒1个单位长度，连接
E
H
F
A M
N
B
GC
图4
E
P
jA
B
P
模型应用
? （2012南充）19．矩形ABCD中，AB=2AD，E为AD的中点． EF⊥EC交AB于点F．连接FC.
? （1）求证：△AEF∽△DCE； ? （2）求tan∠ECF的值．
AF
B
E
D
C
? 已知：在矩形AOBC中，OB=3，OA=2． 分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建 立如图所示的平面直角坐标系．若点F是 边BC上的一个动点（不与B、C重合）， 过F点的反比例函数（k＞0）的图象与边 交于点E． （1）直接写出线段AE、BF的长（用含k 的代数式表示）；
一个特殊图形的应用 ——一线三等角模型
? 考试过程中学生若能遇到自己平时非常熟悉的题 型，快速找到解决问题的突破口，就能减轻思维量， 提高做题速度，缓解考试紧张情绪，取得理想的成绩 。因此，平时教学中模型的渗透就非常重要。
?一线三等角解题理念 : 有边相等证全等 ; 没边相等证相似 .
建立模型
? 2013一调13 如图，在平面直角坐标系中，直线y= -2x+2与 x轴、 y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形，曲线在第一象限经 过点D.则________．
A
D
B
A
D
B
Q
P
O
Cx
O
Cx
y
A
D
B
Q
P
O
Cx
yl
A
D
B
O 备用图
Cx
l
M
D
F
N
Q
? （2011河南）23. （11分）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物 线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8.
? （1）求该抛物线的解析式；
? （2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合） ，过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点 E.