一线三等角模型资料讲解
几何模型：一线三等角模型
一线三等角模型一.一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。
二.一线三等角的分类全等篇同侧锐角直角钝角P异侧相似篇A同侧锐角直角钝角P异侧三、“一线三等角”的性质1.一般情况下，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，易得△AEC∽△BDE.2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图 3-1，若 CE=ED，则△AEC≌△BDE.3.中点型“一线三等角”如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.4.“中点型一线三等角“的变式(了解) 如图 3-3，当∠1=∠2 且1902BOC BAC ∠=︒+∠时，点 O 是△ABC 的心.可以考虑构造“一线三等角”.如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的心或旁心相关，1902BOC BAC ∠=︒+∠这是心的性质，反之未必是心.在图 3-4（右图）中，如果延长 BE 与 CF ，交于点 P ，则点 D 是△PEF 的旁心.5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明 ）图 3-5其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题四、“一线三等角”的应用1.“一线三等角”应用的三种情况.a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题.体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似坐标系中，要讲究“线”的特殊性如图 3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过 C、D 两点作直线 l 的垂线是必不可少的。
中考数学二轮复习《一线三等角模型》知识梳理及典例讲解课件
DF＝ AD＝2.∵
∠ADC＝90°，∴ ∠EDM＝180°－∠ADC＝
90°.∵ ∠M＝45°，∴
DM＝
＝3，EM＝
＝3
.∴ MF＝
DF＋DM＝5.∵ ∠PFE＝45°，∴ ∠AFG＋∠EFM＝180°－
∠PFE＝135°.∵ ∠FAG＝45°，∴ ∠AFG＋∠FGA＝180°－
∠FAG＝135°.∴ ∠FGA＝∠EFM.又∵ ∠FAG＝∠M＝45°，
∴ △AFG∽△MEF.∴
＝ ，即 ＝ .∴
AG＝ .
典例5图答案
强化练习
1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上.
典例4图答案
典例5 如图，正方形ABCD的边长为4，E是边CD上一点，且CE＝1，F
是AD的中点，对角线AC交BE于点N，P是线段BE上一点，连接EF，
PF，PF与AC相交于点G.若∠PFE＝45°，求AG的长.
解：如图，延长AD至点M，连接EM，使∠M＝45°.
∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，
＝CE.在Rt△ABC中，BC＝
＝2
，∴ BD＝BC－DC＝2 －2.∴ CE
＝2 －2.∴ AE＝AC－CE＝4－2 .③ 当AE＝DE时，∠EAD＝∠ADE
＝45°，∴ ∠AED＝90°.∴ DE⊥AC.∵ ∠CAD＝∠C＝45°，∴ AD＝CD.∴
AE＝ AC＝1.综上所述，当△ADE是等腰三角形时，AE的长为2或4－2
一线三等角模型及其解法
一线三等角模型及其解法一线三等角模型是将一个图表分解为一线三等角形。
它是一种分解复杂图形的有效方法，可以帮助工程师了解复杂图表中可能存在的规律性和关系。
一、一线三等角模型的定义一线三等角模型是一种通过一条直线和三条重合线将数据进行分解的方法。
它的定义是：原有的数据经过分解、重构后，可以用一线三等角结构或等角三线结构图表示（即用三条线把一条线一分为三），以保证在某一范围内搜索达到最大或最小值。
二、一线三等角模型的特点1、合理性：一线三等角模型由来自原始数据的三角形组成，因此它可以合理地反映数据，以更容易地挖掘数据正确的值和规律。
2、比较性：由于一线三等角模型可以以图形的形式直观地表示数据的相互关系，因此它可以更清晰地显示不同数据之间的差异。
3、趋势性：一线三等角模型可以清楚地显示数据之间的变化趋势，它可以有效地预测某些情况下的发展前景。
三、一线三等角模型的解法1、根据图形上的定义，确定图形线条的表示方式；2、将数据或原始度量根据图形上的定义转换为图形内的点；3、利用拟合算法进行拟合，连接图形上的点与相关的定义；4、使用数学方程求解一线三等角模型，得出不同变量的比例关系及相应的数值；5、根据计算结果绘制图表，解释结果。
四、一线三等角模型的应用1、市场营销：一线三等角模型可以分析市场竞争，从而定位和优化品牌。
2、团队管理：一线三等角模型可以揭示团队的组织关系，以提高团队效率。
3、资源管理：一线三等角模型可以激发和有效地分配资源，以提高生产效率。
4、项目研究：一线三等角模型可以帮助分析市场需求情况，以及项目规划和实施情况。
5、战略管理：一线三等角模型可以提供组织战略发展的方向和衡量标准。
几何模型：一线三等角模型 (最终版)
初中几何模型之“一线三等角模型”一.【一线三等角概念】“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。
二.【一线三等角的分类】2.1 全等篇_同侧A PA P锐角直角钝角2.2 全等篇_异侧PDPP锐角直角钝角2.3 相似篇_同侧DCA BPP锐角直角钝角2.4 相似篇_异侧PDPP锐角直角钝角三、【性质】1.相似，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，或者α=α2=α3易得△AEC∽△BDE.2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如下图，若 CE=ED，则△AEC≌△BDE.异侧结果同样。
3.中点型“一线三等角”——相似中多了一位兄弟如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE. 4.“中点型一线三等角“的变式(了解)如图 3-3，当∠1=∠2 且1902BOC BAC ∠=︒+∠时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”.5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明）图 3-5四、【“一线三等角”的应用】1.应用的三种情况.a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；b.图形中存在“一线二等角”，构造“一等角”模型解题；c.图形中只有直线上一个角，构造“二等角”模型解题.注意：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.2.适应场景：在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.3.构造步骤：找角、定线、构相似【引例】例 1如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行线，l1、l2之间的距离是21/5，l2、l3之间的距离是21/10，等边△ABC 的三个顶点分别在l1、l2、l3上，求△ABC 的边长．思路引导：【脑洞大开-三角构造】例 1 如图，四边形 ABCD 中,∠ABC=∠BAD=90°，∠ACD=45°，AB=3，AD=5.求 BC 的长.横向构造纵向构造斜向构造斜A相似构造：例 2 如图，△ABC 中,∠BAC=45°，AD⊥BC，BD=2，CD=3,求 AD 的长.纵向横向斜向一线三垂直的补形：角含半角补形练一练：1.如图，在△ABC 中，∠BAC=135°， AC= 2AB, AD⊥AC 交 BC 于点 D，若 AD = 2，求△ABC的面积思路提示：【中点型一线三等角】例1、如图，在Rt⊿ABC 中，AB = AC =2，∠A = 90°，现取一块等腰直角三角板，将45° 角的顶点放在BC 中点O 处，三角板的直角边与线段AB、AC 分别交于点E、F，设BE =x，CF = y，∠BOE = α( 45° ≤ α ≤ 90°) ．( 1) 试求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围;( 2) 试判断∠BEO 与∠OEF 的大小关系?并说明理由;( 3) 在三角板绕O 点旋转的过程中，⊿OEF 能否成为等腰三角形? 若能，求出对应x 的值; 若不能，请说明理由．例2．如图,△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90∘，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合。
一线三等角模型知识点总结
一线三等角模型知识点总结一、基本概念1.1 一线三等角模型的定义一线三等角模型是指在一个等腰三角形中，以等腰腰为底边的代表线和等腰角的代表角为模型，利用这一模型可以推导出等腰三角形各边的关系，以及解决相关的几何问题。
1.2 一线三等角模型的特点一线三等角模型是一个简单而重要的几何模型，它可以帮助我们快速理解和解决等腰三角形的各种问题。
通过运用这一模型，我们可以建立等腰三角形各边之间的关系，并进一步推导出相关的定理和公式。
二、基本公式在一线三等角模型中，我们可以得到以下基本公式：2.1 等腰三角形的边长关系设等腰三角形的底边为a，等腰腰为b，顶角为A，则根据正弦定理和余弦定理，可以得到以下关系：sinA = b/2RcosA = a/2R其中R为等腰三角形的外接圆半径。
2.2 一线三等角的关系在一线三等角模型中，等腰三角形的底边、等腰腰和顶角之间有如下关系：a/sinA = b/sin(180-2A) = 2R其中a、b和A分别表示等腰三角形的底边、等腰腰和顶角，R为等腰三角形的外接圆半径。
2.3 其他相关公式在一线三等角模型中，还可以得到一些其他相关的公式，如等腰三角形的高、底角和腰角之间的关系等。
三、模型的应用3.1 求解等腰三角形的各边长通过一线三等角模型，我们可以快速地求解等腰三角形的各边长。
例如，已知等腰三角形的底边和顶角，可以利用模型中的公式来计算等腰腰的长度，或者利用正弦定理和余弦定理来计算等腰三角形的底角和腰角。
3.2 证明等腰三角形的性质通过一线三等角模型，我们可以轻易地证明等腰三角形的一些性质，比如底角相等、底边中线等于高、底边中点到顶角的距离等于高等。
3.3 求解等腰三角形的外接圆半径一线三等角模型还可以应用于求解等腰三角形的外接圆半径。
通过等边三角形的顶角和底边之间的关系公式，我们可以轻松地计算出等腰三角形的外接圆半径。
3.4 解决相关的几何问题基于一线三等角模型的知识，我们还可以解决一系列与等腰三角形相关的几何问题，例如寻找最大面积的等腰三角形、构造等边三角形的等分线、证明某一线段是正三角形的边等。
专题02 全等模型-一线三等角(K字)模型(解析版)
专题02全等模型--一线三等角（K 字）模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K 字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角（K 型图）模型（同侧型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角直角一线三等角（“K 型图”）钝角一线三等角条件：A CED B ∠=∠=∠+CE=DE证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE⇒≅ 例1．（2023·江苏·八年级假期作业）探究：如图①，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD m ⊥于点D ，CE m ⊥于点E ，求证：ABD CAE ≌ ．应用：如图②，在ABC 中，AB AC =，,,D A E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC ∠=∠=∠．求出,DE BD 和CE 的关系．拓展：如图①中，若10DE =，梯形BCED 的面积______．【答案】探究：证明过程见详解；应用：DE BD CE =+，理由见详解；拓展：50【分析】探究：90BAC ∠=︒，AB AC =，可知ABC 是等腰直角三角形，BD m ⊥，CE m ⊥，可知90BDA AEC ∠=∠=︒，可求出BAD ACE ∠=∠，根据角角边即可求证；应用：AB AC =，,,D A E 三点都在(1)如图①，若AB AC ⊥，则BD 与AE 的数量关系为___________，CE 与AD 的数量关系为(2)如图②，判断并说明线段BD ，CE 与DE 的数量关系；(3)如图③，若只保持7BDA AEC BD EF cm ∠=∠==，，点A 在线段DE 上以2cm/s 的速度由点例3．（2022·陕西七年级期末）（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____．（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积．【答案】（1）7；（2）S△BCD＝8；（3）S△BCD＝6．【分析】(1)∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，据同角的余角相等，可得∠ACB＝∠D，由已知条件可证△ABC≌△CED，运动（D 不与B 、C 重合），连接AD ，作40ADE ∠=︒，DE 交线段AC 于E ．(1)当115BDA ∠=︒时，EDC ∠=_____︒，BAD ∠=_____︒，AED =∠_____︒；点D 从B 向C 运动时，BDA ∠逐渐变_____（填“大”或“小”）；(2)当DC 等于多少时，ABD DCE ≌△△，请说明理由；(3)在点D 的运动过程中，ADE V 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出BDA ∠的度数，若不可以，请说明理由．【答案】(1)25，25，65，小(2)当2DC =时，ABD DCE ≌△△，理由见解析；(3)当BDA ∠的度数为110︒或80︒时，ADE V 的形状是等腰三角形．【分析】（1）先求出ADC ∠的度数，即可求出EDC ∠的度数，再利用三角形的外角性质即可求出AED ∠的度数，根据点D 从B 向C 运动时，BAD ∠逐渐增大，而B ∠不变化，180B BAD BDA ∠+∠+∠=︒，即可得到答案；（2）根据全等三角形的判定条件求解即可；（3）先证明当ADE V 时等腰三角形，只存在AD ED =或AE DE =两种情况，然后分这两种情况讨论求解即可；【详解】（1）解：∵115BDA ∠=︒，∴18011565ADC ∠=︒-︒=︒，∵40ADE ∠=︒，∴25EDC ADC ADE ∠︒=∠-∠=，∵ADC ADE EDC B BAD ∠=∠+∠=∠+∠，∴25BAD EDC ∠=∠=︒，∴65AED EDC C ︒∠=∠+∠=；∵点D 从B 向C 运动时，BAD ∠逐渐增大，而B ∠不变化，180B BAD BDA ∠+∠+∠=︒，∴点D 从B 向C 运动时，BDA ∠逐渐变小，故答案为：25，25，65，小；（2）解：当2DC =时，ABD DCE ≌△△，理由：∵40B C ∠=∠=︒，∴140DEC EDC ∠+∠=︒，又∵40ADE ∠=︒，∴140ADB EDC ∠+∠=︒，∴ADB DEC ∠=∠，又∵2AB AC ==，∴()AAS ABD DCE ≌△△；（3）解：当BDA ∠的度数为110°或80°时，ADE V 的形状是等腰三角形，理由：∵40C ADE ∠=∠=︒，AED C EDC ∠=∠+∠，∴AED ADE ∠>∠，∴当ADE V 时等腰三角形，只存在AD ED =或AE DE =两种情况，模型2.一线三等角（K 型图）模型（异侧型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
中考数学“一线三等角”模型解析
中考数学“一线三等角”模型解析一、“一线三等角”模型定义两个相等的角一边在同一直线上，另一边在该直线的同侧或异侧，第三个与之相等的角的顶点在前一组等角的顶点所确定的线段上或线段的延长线上，该角的两边分别位于一直线的同侧或异侧，并与两等角两边相交，就会形成一组相似三角形，习惯上把该组相似三角形称为“一线三等角型”相似三角形 .二、“一线三等角”模型类型（1）点P 在线段AB 上，则有△ACP∽△BPD .①锐角一线三等角锐角一线三等角模型②直角一线三等角直角一线三等角模型③钝角一线三等角钝角一线三等角模型（2）点P 在线段AB 的延长线上，则有△ACP∽△BPD .①锐角一线三等角锐角一线三等角模型②直角一线三等角直角一线三等角模型③钝角一线三等角钝角一线三等角模型三、“一线三等角”模型常出现的题型1、等腰三角形中，在底边上作一角与底角相等；2、等腰梯形中上（下）底作一角与上（下）底角相等；3、矩形（正方形）；4、矩形和正方形的翻折（简称：一线三直角）；5、等边三角形的翻折；6、坐标系中的一线三直角包括已知相似比求点的坐标或直角三角形的讨论性问题 .四、典例解析（一）一线三等角模型——等腰三角形【例题1】如图，已知：在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = BC = 4 , 点M 是边AB 的中点，点E 、G 分别是边AC 、BC 上的一点，∠EMG = 45°，AC 与MG 的延长线相交于点F，（1）在不添加字母和线段的情况下写出图中一定相似的三角形，并证明其中的一对；（2）连接EG，当AE = 3 时，求EG 的长 .解析：（1）△AEM∽△BMG（一线三等角型）；△FEM∽△FMA（共角共边型）. （2）AE = 3 , CE = 1 ,由△AEM∽△BMG 可计算出BG = 8/3 ，则CG = 4/3 .在Rt△CEG 中，由勾股定理可得EG = 5/3 .另解：点M 是AB 的中点，恰好是“中点型一线三等角”，则有△AEM∽△BMG∽△MEG .对可解△AEM 由余弦定理可计算出ME = √5 ，由△AEM∽△MEG，可得AE/ME = ME/EG ,即3/√5 = √5/EG ,解得EG = 5/3 .（二）一线三等角模型——等腰梯形【例题2】已知在梯形ABCD 中，AD∥BC，AD < BC，且AD = 5 , AB = DC = 2 . （1）如图，点P 为AD 上的一点，且满足∠BPC = ∠A .①求证：△ABP∽△DPC；②求AP 的长 .（2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE = ∠A ，PE 交直线BC 于点E , 同时交直线DC 于点Q ，那么①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP = x , CQ = y , 求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE = 1 时，写出AP 的长 .解析：（1）①由等腰梯形同一底上两个底角相等+ 三角形内角和及平角（∠APD）等于180°，可证△ABP∽△DPC .②∵△ABP∽△DPC ，∴AP/DC = AB/PD ,∴AP/2 = 2/（5 - AP），解得AP = 1 或AP = 4 .（2）①建立y 关于x 的函数解析式，AP = x , DP = 5 - x , CQ = y , 则DQ = 2 = y , 易证：△ABP∽△DPQ，∴AB/PD = AP/DQ ,即2/（5 - x）= x/（2 + y）,∴y = -1/2 x^2 + 5x/2 - 2 ,定义域：由于点Q 在线段DC 的延长线上，故DQ > 2 , 即y + 2 > 2 ,∴y = -1/2 x^2 + 5x/2 - 2 > 0 , 即1 < x < 4 .②分类讨论点E 的位置如下：1、当点E 在线段BC 上时，CE = 1 , 过C 点作PQ 的平行线交AD 于点H ，由△ABP∽△DHC，∴AB/DH = AP/DC ,∴2/（5 - 1 - x）= x/2 ,解得x = 2 .2、当点E 在线段BC 的延长线上时，CE = 1 , 过点E 作CD 的平行线交AD 的延长线于点M ，由△ABP∽△MPE，∴AB/MP = AP/ME ,∴2/（5 + 1 - x）= x/2 ,解得x1 = 3 - √5 , x2 = 3 + √5 > 5 （舍去）.五、小结1、此次课程展示了相似模型“一线三等角型”在初中数学范围内常见的两种考题形式；2、从压轴题中的复杂图形提炼出基本图形、快速灵活运用基本结论、反思、拓展提高，通过知识间的串联，找出一些通性通法，来提高解题效率 .。
《一线三等角模型》课件
在建筑设计中，一线三 等角模型可防止建筑形 态过于普通化，同时保 证建筑的美学性与功能 性。
一线三等角模型的应用领域
室内设计
可以用于设计会议室、酒店等 场所。
建筑设计
可以用于设计公共建筑、景观 等。
家具设计
可以用于设计桌椅、灯具等家 具。
建模方法
1
建立坐标系
根据设计需求，建立二维坐标系。
2
构造一线三等角模型的形式
《一线三等角模型》PPT 课件
本PPT课件将介绍一线三等角模型的建模方法和应用，以及如何用Python实 现该模型。
什么是一线三等角模型？
1 基本概念
一条长度为1的线段在 平面上，等分成三段， 依次连接首尾得到一个 三角形，这即为一线三 等角模型。
2 特性
3 优点
等边、等角、狭长、占 用空间小、视觉上飘逸、 新颖。
上海环球金融中心 建筑设计
建筑主体外形线条流畅，中 心部分采用一线三等角模型 造型，整个建筑寓意成长、 挑战和超越。
实战演示
1
怎样运用Python实现一线三等角模型
介绍程序员如何使用Python语言进行一线三等角模型的建模和参数化，方便后 续分析应用。
2
ห้องสมุดไป่ตู้
实战演示案例
通过一线三等角模型和Python语言实现的案例，展示该模型方法和应用的可行 性。
总结
一线三等角模型的应用前景
这一模型的美学和实用性优点促进了其在设计领域中的广泛应用，未来发展前景广阔。
未来的研究与发展方向
未来的研究将着重在拓展该模型的应用领域，提高建模准确性和自动化程度。
在坐标系中，通过角平分线和圆心等方法构造出一线三等角模型。
3
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PQ，设运动时间为t秒，△CPQ的面积为S．
? （1）求S关于t的函数表达式，并求出t为何值时，S取得最大值 ；
? （2）当S最大时，从以下①、②中任选一题作答，若两题都做只 以第①题计分．
? ①在抛物线y=x2+bx+c的对称轴l上，是否存在点F，使△FDQ为直角 三角形，
? 若存在,请直接写出所有y 符合条件的点Fy 的l 坐标；否则请说明理由．
B
y
C
D B
D
OA
x
O
A
E
2013一调22题
C'
D
CD
C' C
C
A
B A' A
B
D
A(A')
B
图1
图2
?（2）问题探究
?如图3，△ABC中， E
P
AG⊥BC于点G，以A
Q
F
为直角顶点，分别以
A
AB、AC为直角边，向
△ABC外作等腰 Rt△ABE和等腰 Rt△ACF，过点E、F
B
G
图3
E
C
P
作射线GA的垂线，垂
C
模型应用
? .如图，已知RtΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动 （不能到达B，C），过D作∠BAC=45°，DE交AC于E.
? (1）求证：ΔABD∽ΔDCE； ? (2）设BD=x，AE=y，求y关于x得函数关系式，并写出自变量x得取
值范围；
． ? (3）当ΔADE是等腰三角形时，求AE的长
? （5）请探索：是否存在这样的点E，使 得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在 OB上？若存在，求出点E的坐标；若不存 在，请说明理由．
? 3．如图，已知y1=k1x+k1（ k1≠0）与反比例函数 (k2≠0)的 图象交于点A、C，其中A点坐标 （1，1）． （1）求反比例函数的解析式； （2）根据图象写出在第一象限 内，当取何值时，y1＜y2？ （3）若一次函数y1=k1x+k1与x 轴交于B点，连接OA，求 △AOB的面积： （4）在（3）的条件下，在坐 标轴上是否存在点P，使△AOP 是等腰三角形？若存在，请写出 P点的坐标；若不存在，请说明 理由．
jA
足分别为P、Q. 试探究
EP与FQ之间的数量关
系，并证明你的结论.
B
P
? （3）拓展延伸
?
如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、
AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线 GA交EF于点H. 若AB= k AE，AC= k AF，试探究HE与HF 之间的数量关系，并说明理由.
? ①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式 ，并求出l的最大值；
? ②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动 ，正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时，直 接写出对应的点P的坐标.
模型拓展 一线三锐角
B
j
O
A
D
B
P
E C
E
B P
? （3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的
面积等于△ABC的面积的
1 4
时，求线段， AD ∥ BC ，AD=2 ，BC=4，点M是 AD 的中点，△MBC 是等边三角形 ．
? （1）求证：梯形ABCD 是等腰梯 形；
? （2）动点P、Q分别在线段BC和 MC上运动，且∠MPQ=60°保持 不变．设PC=x，MQ=y求y与x的 函数关系式.
A
E
BD
C
模型应用
? （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田10分）△ABC 中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B
? （1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E ，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．
? （2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转， DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重 合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证 明你的结论．
2013一调23题
? (11分)如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点
C的坐标为（6，0）．抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与AB边交
于点D．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
?
（Ⅱ）动点P从C出发，沿线段CB向终点B运动，同时动点Q从
A出发，沿线段AC向终点C运动，速度均为每秒1个单位长度，连接
E
H
F
A M
N
B
GC
图4
E
P
jA
B
P
模型应用
? （2012南充）19．矩形ABCD中，AB=2AD，E为AD的中点． EF⊥EC交AB于点F．连接FC.
? （1）求证：△AEF∽△DCE； ? （2）求tan∠ECF的值．
AF
B
E
D
C
? 已知：在矩形AOBC中，OB=3，OA=2． 分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建 立如图所示的平面直角坐标系．若点F是 边BC上的一个动点（不与B、C重合）， 过F点的反比例函数（k＞0）的图象与边 交于点E． （1）直接写出线段AE、BF的长（用含k 的代数式表示）；
一个特殊图形的应用 ——一线三等角模型
? 考试过程中学生若能遇到自己平时非常熟悉的题 型，快速找到解决问题的突破口，就能减轻思维量， 提高做题速度，缓解考试紧张情绪，取得理想的成绩 。因此，平时教学中模型的渗透就非常重要。
?一线三等角解题理念 : 有边相等证全等 ; 没边相等证相似 .
建立模型
? 2013一调13 如图，在平面直角坐标系中，直线y= -2x+2与 x轴、 y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形，曲线在第一象限经 过点D.则________．
A
D
B
A
D
B
Q
P
O
Cx
O
Cx
y
A
D
B
Q
P
O
Cx
yl
A
D
B
O 备用图
Cx
l
M
D
F
N
Q
? （2011河南）23. （11分）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物 线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8.
? （1）求该抛物线的解析式；
? （2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合） ，过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点 E.