一线三等角模型PPT课件
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精品一线三等角相似模型.ppt课件
• （3）当M点运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN？求此时x的 值．
如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，点P为BC边上一动点（不 与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B；
（1）求证：△ABP∽△PCM； （2）设BP=x，CM=y．求 y与x的函数解析式，并写出函数的取值范
A型
基本 8型 图形
K型
一线三等角是一个常见的相似模型，指的是有三 个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形， 这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
三角形基架
K型 矩形基架
梯形基架
毕达哥拉斯证法
赵爽弦图
K字型的一般形式
你能证明吗？
证明： 在ABC中 1 A ACB 180 又 2 DCE ACB 180
1 2 3 A DCE △ABC∽△CDE
1、如图，等边△ABC的边长为3
，点D是BC上一点，且BD=1，在
AC上取点E，使∠ADE=60度，AE
长为（ c ）
A. 3 B. 2
2
3
C.
7 3
D. 3
4
2.在矩形ABCD中,AB=4，BC=5，AF平 分∠DAE,EF⊥AE，
1.5 则CF= ______
∴ PM PC 5 PA AB 8
即
8x 5 58
39
∴BP= 8
A M
B
P
C
A
M
BP
CA MBPC5
• ∴BE= 3
【2014德州中考试题】 24．（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的 直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标； 若不存在，说明理由．
（2016呼市T9）如图，面积为24的正方形ABCD中，有一
如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，点P为BC边上一动点（不 与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B；
（1）求证：△ABP∽△PCM； （2）设BP=x，CM=y．求 y与x的函数解析式，并写出函数的取值范
A型
基本 8型 图形
K型
一线三等角是一个常见的相似模型，指的是有三 个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形， 这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
三角形基架
K型 矩形基架
梯形基架
毕达哥拉斯证法
赵爽弦图
K字型的一般形式
你能证明吗？
证明： 在ABC中 1 A ACB 180 又 2 DCE ACB 180
1 2 3 A DCE △ABC∽△CDE
1、如图，等边△ABC的边长为3
，点D是BC上一点，且BD=1，在
AC上取点E，使∠ADE=60度，AE
长为（ c ）
A. 3 B. 2
2
3
C.
7 3
D. 3
4
2.在矩形ABCD中,AB=4，BC=5，AF平 分∠DAE,EF⊥AE，
1.5 则CF= ______
∴ PM PC 5 PA AB 8
即
8x 5 58
39
∴BP= 8
A M
B
P
C
A
M
BP
CA MBPC5
• ∴BE= 3
【2014德州中考试题】 24．（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的 直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标； 若不存在，说明理由．
（2016呼市T9）如图，面积为24的正方形ABCD中，有一
相似三角形基本模型一线三等角精品PPT课件
△ABE∽ △ECF ∽ △AEF
A
D
A
D
F
B
E
C
F
B
E
C
A
△ABE∽ △ECF
F
（（2）1）点点E为E为BBCC上上任任意意一一点点若，∠若B= ∠∠CB==α,∠∠CA=E6F0°= ∠, ∠CA,则EF△=A∠BCE,则与△ EC△FA的B关E与系△还成EC立F吗的？关系还成立吗？
说明理由
B
α
α
B
E
α
C
点拨：要善于运用类比、迁移的数学方法 解决问题。
A
A
①
B
F
②
E
C
①
B
③
F
②
E
C
E为中点
D
A
F
①
α
B
α ②α
E
C
A
F
①
α
B
③
α②
α
E
C
1.矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使D与CB边上的点E 重合，若AD=10, AB= 8,
则EF=___5___
D
F
C
EE
A
点拨：要善于在复杂图形中寻找基本型。 B
A
E F
B
D
C
变式：已知：△ABC中，AB=AC, ∠BAC= 120°,D为BC的 中点， 且∠EDF =∠C, （1） 若BE·CF=48,则AB=__8___
（2）在（1）的条件下，若EF=m,
则S△DEF =___3__m__
A EH
F
P
B
D
点拨：联想基本模型，寻找 相关结论。
C
A
D
A
D
F
B
E
C
F
B
E
C
A
△ABE∽ △ECF
F
（（2）1）点点E为E为BBCC上上任任意意一一点点若，∠若B= ∠∠CB==α,∠∠CA=E6F0°= ∠, ∠CA,则EF△=A∠BCE,则与△ EC△FA的B关E与系△还成EC立F吗的？关系还成立吗？
说明理由
B
α
α
B
E
α
C
点拨：要善于运用类比、迁移的数学方法 解决问题。
A
A
①
B
F
②
E
C
①
B
③
F
②
E
C
E为中点
D
A
F
①
α
B
α ②α
E
C
A
F
①
α
B
③
α②
α
E
C
1.矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使D与CB边上的点E 重合，若AD=10, AB= 8,
则EF=___5___
D
F
C
EE
A
点拨：要善于在复杂图形中寻找基本型。 B
A
E F
B
D
C
变式：已知：△ABC中，AB=AC, ∠BAC= 120°,D为BC的 中点， 且∠EDF =∠C, （1） 若BE·CF=48,则AB=__8___
（2）在（1）的条件下，若EF=m,
则S△DEF =___3__m__
A EH
F
P
B
D
点拨：联想基本模型，寻找 相关结论。
C
《相似三角形之一线三等角》教学课件
《相似三角形之一线三等角》教学ppt课件2023-10-26CATALOGUE目录•引言•相似三角形基本概念•一线三等角定理及其应用•课堂活动与练习•总结与回顾01引言•相似三角形是初中数学的重要内容，而一线三等角是相似三角形的一种重要类型。
通过学习本课，学生能够深入理解相似三角形的性质和判定方法，提高数学思维和解决问题的能力。
课程背景课程目标学会如何利用一线三等角判定两个三角形相似；掌握一线三等角的定义和性质；培养学生的自主学习和合作学习能力。
通过案例分析，培养学生的数学思维和解决问题的能力；教学策略利用PPT课件引导学生逐步深入学习；采用讲解、示范、小组讨论等多种教学方法，帮助学生掌握知识；通过案例分析，让学生了解一线三等角的应用；组织课堂练习和小组讨论，加深学生对知识的理解和应用。
02相似三角形基本概念如果两个三角形三边对应成比例，那么这两个三角形相似。
定义如果$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$，那么$\bigtriangleup ABC\backsim \bigtriangleup DEF$。
数学符号表示相似三角形的定义相似三角形的性质对应角相等相似三角形对应角相等，可以用$\bigtriangleup ABC \backsim \bigtriangleup DEF$推出$\angle A =\angle E$，$\angle B = \angle F$，$\angle C = \angle D$。
对应边成比例相似三角形对应边成比例，可以用$\bigtriangleup ABC \backsim \bigtriangleup DEF$推出$\frac{a}{d} = \frac{b}{e} = \frac{c}{f}$。
定义法根据相似三角形的定义进行判断，即判断两个三角形三边对应成比例。
平行线法通过平行线构造相似三角形，即利用平行线的性质，将两个三角形放在平行线上，通过移动使得对应边成比例，从而证明两个三角形相似。
一线三等角课件
一 找准切入点，初识模型
例1：如图在⊿ABC中，点D，E分别在BC， AC上连接AD，DE，使∠ 1=∠B= ∠C. (1),请写出三个正确结论。
1
（2），若∠B= 45°， BC=2，点D在BC上运 动，（不与B,C重合） ①求CE的最大值； ②若⊿ADE为等腰三角形，求此时CE的长。
这就是“一线三等角” 模型，如图， 点G是线段FH上异于F和H的一点， 若∠ F=∠JGI =∠H，则⊿JFH∽⊿GHI。
旋转，当点E与点A重合时停止， ①∠PEF
的大小是否发生变化？
②写出从开始到停止，线段EF的中点所经过 的路线长。
• 例5 如图点P为正方形ABCD的边BC上一点，
以DP为边作正方形DPFG，
（1）求
证:FB∥AC
(2)当点P在CB的延长线上时， 上述结论是否成立？
（3）请说明当点P在CB的 延长线上运动时，点G的运 动路线。
两直角边分别能与AB，BC边相交于点E，F，连
接EF。
（1）
如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，
求此时PC的长。
• 例4 在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，
AP=1，将三角板的直角顶点房子P处，三角
板的两直角边分别能与AB，BC边相交于点E，
F，连接EF。
（2）将
三角板从（1）中点位置开始，绕点P顺时针
⊿BDF∽⊿CED∽⊿DEF
你还能得出其他结论吗？
FD平分∠BFE， ED平10，
BC=12，S⊿DEF= 1 S⊿ABC，求线段EF
的长。
4
2 弱化条件，构造模型
• 例4 在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，
AP=1，将三角板的直角顶点房子P处，三角板的
例1：如图在⊿ABC中，点D，E分别在BC， AC上连接AD，DE，使∠ 1=∠B= ∠C. (1),请写出三个正确结论。
1
（2），若∠B= 45°， BC=2，点D在BC上运 动，（不与B,C重合） ①求CE的最大值； ②若⊿ADE为等腰三角形，求此时CE的长。
这就是“一线三等角” 模型，如图， 点G是线段FH上异于F和H的一点， 若∠ F=∠JGI =∠H，则⊿JFH∽⊿GHI。
旋转，当点E与点A重合时停止， ①∠PEF
的大小是否发生变化？
②写出从开始到停止，线段EF的中点所经过 的路线长。
• 例5 如图点P为正方形ABCD的边BC上一点，
以DP为边作正方形DPFG，
（1）求
证:FB∥AC
(2)当点P在CB的延长线上时， 上述结论是否成立？
（3）请说明当点P在CB的 延长线上运动时，点G的运 动路线。
两直角边分别能与AB，BC边相交于点E，F，连
接EF。
（1）
如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，
求此时PC的长。
• 例4 在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，
AP=1，将三角板的直角顶点房子P处，三角
板的两直角边分别能与AB，BC边相交于点E，
F，连接EF。
（2）将
三角板从（1）中点位置开始，绕点P顺时针
⊿BDF∽⊿CED∽⊿DEF
你还能得出其他结论吗？
FD平分∠BFE， ED平10，
BC=12，S⊿DEF= 1 S⊿ABC，求线段EF
的长。
4
2 弱化条件，构造模型
• 例4 在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，
AP=1，将三角板的直角顶点房子P处，三角板的
一线三等角(公开课)ppt课件
A
D
A
E
E
B1
A 1
E
B
2
F
F
2
G
3C
D 3
G
C
2 1 B
D
A
E
1
2
B
F
3 C
D
3 C 7
典例解析 综合运用
例1：在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点， 且∠ADE=60°， BD=3，CE=2，则△ABC的边长为多少？
A
BD
E C
8
典例解析 综合运用
例2、如图，在平面直角坐标系中，o为坐标原点，B点坐标为（5，0） ，梯形OBCD中，CD∥OB，OD=BC=2，DC=3，∠DOB=60°，若点E、F分 别在线段DC、CB上
答：⊿ABE∽ ⊿ECF 理由：∵ ∠B=∠AEF=∠C=90°
A F
∴ ∠A+ ∠1＝90°， ∠2+ ∠1＝180°－ ∠AEF＝90 °
∴ ∠A＝∠2
1
2
B
E
C
∴ ⊿ABE∽ ⊿ECF
图1
2、如图，已知∠B=∠AEF=∠C=60°，图中有没有相似三角形？并说明理由
。
A
F
3、如图，已知∠B=∠AEF=∠C=120°，图中有没有相B 似
人教版数学九年级下
1
• 学习目标：
1、熟悉“一线三等角”的基本图形，并能解决相似中 的相关问题.
2、通过抽象模型，图形变换，变式类比等方法提高综 合解题能力.
• 学习重点：
运用“一线三等角”相似型的基本图形解题。
2
课前回顾
三角形相似的判定定理有哪些?
3
最新一线三等角模型PPT课件
结胸者
治法：泻热逐水，峻药缓攻。
3 x
y 1 x2 4 3 x2 4 3 x2 3 (0 x 3)
2
2
4
2021/3/10
（2）
3x
2
2
x
x2 4
3 x2 4
3
2
3 x 2 3x 2
2
3
13
13 2
2021/3/10
方法一：勾股定理； 方法二：证明D是AH中点。
PD DH CD CH PD AD CD CH DH AD
a
1
2a
2
2 2a 1 a
2 1
方法一： 一线三直角
注意：点坐标的正负号问题！
一线三等角在直角坐标系中的应用
2014年宝山一模18题
67
9 2
(9,9 3) 22
93
9
2
思考：若把 tan BAO
3 3
样？
改t为an BAO 1 2
，解法是否一
2021/3/10
2a
9 a9
2
9 2a
9
a
主证： 大便秘结 腹满硬痛
病机：燥实内阻，腑气壅滞。 治法：攻下实热，荡涤燥结。
潮热 谵语 (烦躁、心中懊憹) 手足漐漐汗出 反不能食 喘冒不能卧 脉沉迟
方药：大承气汤 枳实五枚：行 气 消 痞 厚朴半斤：宽 中 除 满 芒硝三合：软 坚 润 燥 大黄四两：泻 热 荡 实
鉴别: 三承气汤皆用于治疗阳明腑实证。 调胃承气汤重在泻热，故全身热毒内盛的证候 偏重者宜用； 小承气汤重在通腑，故腹部的实证表现为主者 宜用； 大承气汤泻热与通腑之力俱重，故全身热毒内 盛的证候和腹部的实证表现两组证候皆重者宜用之。
一线三等角模型ppt课件
一线三等角模型
2019
-
1
通俗地讲，一条直线上有三个相等的角一般就会存在相似的三角形！
什么是一线三等角？
如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠EDF=∠B，请问图中 是否有相似三角形？
相似三角形判定 定理一： 两角对应相等， 两三角形相似。
注意：对应边千万不要找错，相同的角 标记同一个符号会比较清晰！
2019 2
“一线三等角”模型 教学目标及重、难点
教学目标： 用“一线三等角”基本模型解决相似三角形中的相 关问题； 重点：掌握“一线三等角”基本模型； 难点： “一线三等角”基本图形的提炼、变式和运用。
特别是“一线三直角”辅助线的构造
2019 3
“一线三等角”模型按照角度的分类
锐角形一线三等角
中点型“一线三等角”模型
中点型： 至少有三 对相似三 角形
β
再次提醒：对应边和对应角千万不要找错！
2019
-
7
一线三直角在直角坐标系中的应用
2012年上海中考24题
1 t 2
4 2
t
2
1 t 2
4
2019
-
8
一线三直角巧求点坐标
尝试用上题中你总结的方法解答下题： 2011年宝山一模18题
方法二：两点 距离公式； 方法三：利用 互相垂直的一 次函数（针对 优等生，且此 法适用于任意 三角形翻折）
PD DH CD CH PD AD CD CH DH AD
3 x
2
3 x 2
2
BC 4
3
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13 2
PD PC AD PD 13 PC BC 2
15
2019
2019
-
1
通俗地讲，一条直线上有三个相等的角一般就会存在相似的三角形！
什么是一线三等角？
如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠EDF=∠B，请问图中 是否有相似三角形？
相似三角形判定 定理一： 两角对应相等， 两三角形相似。
注意：对应边千万不要找错，相同的角 标记同一个符号会比较清晰！
2019 2
“一线三等角”模型 教学目标及重、难点
教学目标： 用“一线三等角”基本模型解决相似三角形中的相 关问题； 重点：掌握“一线三等角”基本模型； 难点： “一线三等角”基本图形的提炼、变式和运用。
特别是“一线三直角”辅助线的构造
2019 3
“一线三等角”模型按照角度的分类
锐角形一线三等角
中点型“一线三等角”模型
中点型： 至少有三 对相似三 角形
β
再次提醒：对应边和对应角千万不要找错！
2019
-
7
一线三直角在直角坐标系中的应用
2012年上海中考24题
1 t 2
4 2
t
2
1 t 2
4
2019
-
8
一线三直角巧求点坐标
尝试用上题中你总结的方法解答下题： 2011年宝山一模18题
方法二：两点 距离公式； 方法三：利用 互相垂直的一 次函数（针对 优等生，且此 法适用于任意 三角形翻折）
PD DH CD CH PD AD CD CH DH AD
3 x
2
3 x 2
2
BC 4
3
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13 2
PD PC AD PD 13 PC BC 2
15
2019
一线三等角模型ppt(共22张PPT)
（11分）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8.
没边相等证相似.
若不存在，请说明理由．
若存在,请直接写出所有符合条件的点F的坐标；
（（21）01如2成图都①），(当本点小Q题在满E线分段10A分C)上，且HAP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE； 若（A2）B=根k据A图E，象A写C出= k在A第F，一试象探限究内H，E当与取H何F之值间时F的，数y1量＜关y2系？，并说明理由.
FQ之延伸
如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为
一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点
H. 若AB= k AE，AC= k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，
并说明理由. 有边相等证全等;
若存在,请直接写出所有符合条件的点F的坐标；
有边相等证全等;
（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图
中所有的相似三角形，并证明你的结论．
已知：在矩形AOBC中，OB=3，OA=2．分别以 OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的 平面直角坐标系．若点F是边BC上的一个动点（ 不与B、C重合），过F点的反比例函数（k＞0）的
一个特殊图形的应用——一线三等角模型
考试过程中学生若能遇到自己平时非常熟悉的题型，快 速找到解决问题的突破口，就能减轻思维量，提高做题速 度，缓解考试紧张情绪，取得理想的成绩。因此，平时教 学中模型的渗透就非常重要。
一线三等角解题理念: 有边相等证全等; 没边相等证相似.
建立模型
2013一调13 如图，在平面直角坐标系中，直线y= -2x+2与 x轴、 y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形，曲线在第一象限经 过点D.则________．
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至少有三
对相似三
β
角形
2020/5/25
再次提醒：对应边和对应角千万不要找错！
.
7
一线三直角在直角坐标系中的应用
2012年上海中考24题
1t 2
4
2
2
1t
t
2
4
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8
一线三直角巧求点坐标
尝试用上题中你总结的方法解答下题： 2011年宝山一模18题
方法二：两点 距离公式； 方法三：利用 互相垂直的一 次函数（针对 优等生，且此 法适用于任意 三角形翻折）
一线三等角模型
.
1
通俗地讲，一条直线上有三个相等的角一般就会存在相似的三角形！
什么是一线三等角？
如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠EDF=∠B，请问图中是 否有相似三角形？
相似三角形判定 定理一： 两角对应相等， 两三角形相似。
2020/5/25
注意：对应边千万不要找错，相同的角 标记同一个符号会比较清晰！
a
1
2a
2线三直角
注意：点坐标的正负号问题！
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9
一线三等角在直角坐标系中的应用
2014年宝山一模18题
67
9 2
(9,9 3) 22
93
9
2
思考：若把 tan BAO
3 3
样？
改t为an BAO
1 2
，解法是否一
2020/5/25
.
10
2a
9 a9
2
9 2a
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2
“一线三等角”模型 教学目标及重、难点
教学目标： 用“一线三等角”基本模型解决相似三角形中的相关问 题；
重点：掌握“一线三等角”基本模型；
难点： “一线三等角”基本图形的提炼、变式和运用。
特别是“一线三直角”辅助线的构造
2020/5/25
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3
“一线三等角”模型按照角度的分类
锐角形一线三等角
一
9
a
2
9 2
a9 2
2
9 2a 1
a 27 10
A'( 27 , 36) 55
2020/5/25
.
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一线三直角在几何综合题中的应用
2012年奉贤二模25题
构造一线三直角可以解决所有问题
.
12
（1）
2 45
2 45 2 2
3 45
32
26 1
5
3 45
2020/5/25
.
13
（2）
3x
2
2
线
三
直角形一线三等角
等
角
钝角形一线三等角
.
最特殊 考到概 率最大
4
总结解题规律 一线三角两相似：
60° 60° 60°
60°
60° 60°
.
5
“一线三等角”基本模型 以等腰三角形（含等边三角形）或等腰梯形为背景的一线三等角
注意：压轴题中出现射线、 直线要分类讨论！
.
6
中点型“一线三等角”模型
中点型：
x
x2 4
3
3 x2 4 2
3 x
y 1 x2 4 3 x2 4 3 x2 3 (0 x 3)
2
2
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2020/5/25
.
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（2）
3x
2
2
x
x2 4
3 x2 4
3
2
3 x 2 3x 2
2
3
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方法一：勾股定理； 方法二：证明D是AH中点。
PD DH CD CH PD AD CD CH DH AD
BC 4
PD PC AD PD PC 13 BC
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2020/5/25
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一线三等角压轴题（共同探讨解题方法和注意事项）
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一线三等角压轴题（共同探讨解题方法和注意事项）
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