新人教版八年级数学下册《十七章 勾股定理 17.1 勾股定理 利用勾股定理解决平面几何问题》教案_1
2024八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第3课时应用勾股定理解数学问题课件新版新人教版
出它的面积；
【解】△ABC如图①，S△ABC＝ .
探索创新：
(3)若△ABC三边的长分别为 a，2 a， a(a＞0)，请利
用图③中的正方形网格(每个小正方形的边长均为a)画出相
应的△ABC，并求出它的面积；
【解】△ABC如图②，可得
∵∠ABC＝120°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°， ∵∠AOB＝90°，
∴OB＝ a，
∴OF＝OB＋BF＝ ，OA＝OC＝ .
∴AC＝CE＝ a.
易得∠PFO＝∠OEM＝90°.
∵点P的坐标为(－2 ，3)，
∴ ＝3，即a＝2.
∴OE＝OC＋CE＝
＝3
（ − ） + 的最小值.
【解】如图，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作
ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C.则AE的长
即为代数式 + ＋ （ − ） + 的最小值.
过点A作AF⊥DE交ED的延长线于点F，得到长方形ABDF，
则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，∴EF＝ED＋DF＝3＋2＝5.
∴AE＝ ＋ ＝13，即 +
＋ （ − ） + 的最小值为13.
利用勾股定理探求格点三角形面积
11.[新考法 构图求面积法]问题背景：
在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为 ， ，
，求这个三角形的面积.
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个
∴∠CAD＝45°＝∠ACD.
∴AD＝CD＝2 cm.
2023-2024学年人教版八年级数学下册课件17.1 勾股定理第1课时 勾股定理
( D ) .
A.6
32
B.
5
18
C.
5
24
D.
5
图17.1-3
5.如图17.1-4，在Rt △ 中，∠ = 90∘ ，
∠ = 30∘ ，垂直平分斜边，交于点，是
垂足，连接.若 = 2，则的长是( C ) .
A.4
B.8
C.4 3
D.2 3
图17.1-4
6.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是
我国古代数学的骄傲.如图17.1-5所示的“赵爽弦图”是由
四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正
方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长
为，若 +
2
图17.1-5
= 21，小正方形的面积为5，则大正
2 41或6
9.已知直角三角形的两边长分别为8，10，则第三边长为_________.
10.如图17.1-7，已知△ 和△ 都是等腰直角
三角形，∠ = ∠ = 90∘ ，为边上一点，
求证：22 = 2 + 2 .
提示：证明△ ≌△ SAS ，得 = ．证
学习过程中，我们已经学会了运
用如图17.1-9所示的图形，验证
著名的勾股定理，这种根据图形
直观推论或验证数学规律和公式
图17.1-9
的方法，简称为“无字证明”．实际
上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规
律，它体现的数学思想是 ( C ) .
A.统计思想
B.分类思想
C.数形结合思想
轻松达标
1.在△ 中，∠，∠，∠的对应边分别是，，，若∠ = 90∘ ，
初中数学人教版八年级下册第十七章17.1勾股定理
初中数学·人教版·八年级下册——第十七章勾股定理17.1 勾股定理基础闯关全练拓展训练1.在△ABC中,∠C=90°,2∠A=∠B,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则a∶b∶c等于()A.1∶2∶1B.1∶√2∶1C.1∶√3∶2D.1∶2∶√3答案C设∠A=x°,则∠B=2x°,∵△ABC中∠C=90°,∴∠A+∠B=90°,即x°+2x°=90°,解得x=30,∴∠A=30°,∠B=60°,设a=1,∴c=2,由勾股定理得b=√c2-a2=√4-1=√3,∴a∶b∶c=1∶√3∶2.故选C.2.如图是由5个正方形和5个等腰直角三角形组成的图形,已知③号正方形的面积是1,那么①号正方形的面积是()A.4B.8C.16D.32答案C如图,根据勾股定理知④号正方形的边长为√12+12=√2,则②号正方形的边长为√(√2)2+(√2)2=2,⑤号正方形的边长为√22+22=2√2,则①号正方形的边长为√(2√2)2+(2√2)2=4,所以①号正方形的面积为4×4=16.故选C.3.(2016广西防城港期中)如图,长方体的长、宽、高分别为4cm,3cm,12cm,则BD'=.答案13cm解析连接BD,则BD=√42+32=5(cm),故BD'=√52+122=13(cm).4.(2016江西宜春高安期中)已知Rt△ABC中,∠C=90°,a+b=14cm,c=10cm,则Rt△ABC的面积等于.答案24cm2解析∵Rt△ABC中,∠C=90°,a+b=14cm,c=10cm,∴由勾股定理得a2+b2=c2,即(a+b)2-2ab=c2,∴196-2ab=100,即ab=48,则Rt△ABC的面积为1ab=24cm2.2能力提升全练拓展训练1.图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的.在Rt△ABC中,若直角边AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图乙所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长(图乙中的实线)是.答案76解析在题图乙的四个大直角三角形中,两直角边长分别为5,12,所以斜边长为13,所以这个风车的外围周长为4×13+4×6=76.2.(2014山东潍坊中考)我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,所以该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处.则问题中葛藤的最短长度是尺.答案25解析由题意可知葛藤绕圆柱五周到达点B,故先把圆柱平均分成五段,将最下边一段圆柱的侧面展开图画出,并连接其对角线,则该对角线的长即为每段的最短长度,为√32+42=5(尺),所以葛藤的最短长度为5×5=25尺,故答案为25.3.(2016山东聊城莘县期中)如图,已知直角△ABC的两直角边长分别为6,8,分别以其三边为直径向外作半圆,则图中阴影部分的面积为.答案24解析在Rt△ABC中,AC=6,BC=8,根据勾股定理得:AB=√AC2+BC2=10,则S阴影=S半圆AC+S半圆BC+S△ABC-S半圆AB=322π+12×42×π+12×6×8-522π=24.4.如图,在长方形ABCD中,AD=4,DC=3,将△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF(点A、B、E在同一直线上),连接CF,则CF=.答案5√2解析△AEF是由△ADC旋转得来的,可得△AEF≌△ADC,所以∠EAF=∠DAC,AF=AC.则△CAF是等腰直角三角形,所以CF=√FA2+CA2,又AC=√DA2+DC2=√42+32=5,所以CF=√52+52=5√2.三年模拟全练拓展训练1.(2016广东深圳翰林学校第一次月考,15,★★☆)如图,长方体的长为15cm,宽为10cm,高为20cm,点B到点C的距离为5 cm,一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从A点爬到B点,需要爬行的最短距离是.答案25cm解析(1)当长方形NFGC与长方形CGAD展开在一个面上时,AB=√BD2+AD2=√152+202=25(cm);(2)当长方形NMDC与长方形CDAG展开在一个面上时,AB=√AG2+BG2=√102+252=5√29(cm);(3)当长方形NCGF与长方形FGAE展开在一个面上时,AB=√AC2+BC2=√302+52=5√37(cm).因为25<5√29<5√37,所以蚂蚁需要爬行的最短距离是25cm.2.(2016河北保定模拟,23,★★☆)(1)如图①所示,分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2,S3表示,写出S1,S2,S3之间的关系(不必证明);(2)如图②,分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3表示,确定它们的关系并证明;(3)如图③,分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形,其面积分别用S1,S2,S3表示,确定它们的关系并证明.解析(1)S2+S3=S1.(2)S2+S3=S1.证明:S3=π8AC2,S2=π8BC2,S1=π8AB2,∵三角形ABC是直角三角形,∴AC2+BC2=AB2,∴S2+S3=π8(BC2+AC2)=π8AB2=S1,∴S2+S3=S1.(3)S2+S3=S1.证明:S1=√34AB2,S2=√34BC2,S3=√34AC2,∵三角形ABC是直角三角形,∴AC2+BC2=AB2,∴S2+S3=√34(BC2+AC2)=√34AB2=S1,∴S2+S3=S1.五年中考全练拓展训练1.(2016湖南株洲中考,8,★☆☆)如图,以直角三角形的边a、b、c为边,向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形,上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3的图形个数为()A.1B.2C.3D.4答案D根据勾股定理可得a2+b2=c2.(1)第一个图形中,首先根据等边三角形的面积的求法,表示出3个三角形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.(2)第二个图形中,首先根据圆的面积的求法,表示出3个半圆的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.(3)第三个图形中,首先根据等腰直角三角形的面积的求法,表示出3个等腰直角三角形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.(4)第四个图形中,首先根据正方形的面积的求法,表示出3个正方形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.故满足S1+S2=S3的图形个数为4.2.(2016浙江杭州中考,9,★☆☆)已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n(m<n),过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形.若这两个三角形都为等腰三角形,则()A.m2+2mn+n2=0B.m2-2mn+n2=0C.m2+2mn-n2=0D.m2-2mn-n2=0答案C根据题意画图,如图.在Rt△ABC中,n>m且△ABE和△AEC均为等腰三角形,∴AB=BE=m,则AE=EC=n-m,根据勾股定理可得AE=√2AB,即n-m=√2m,两边平方整理得,m2+2mn-n2=0,故选C.3.(2014广西钦州中考,12,★☆☆)如图,在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中,从A点到B点只能沿图中的线段走,那么从A点到B点的最短路程的走法共有()A.1种B.2种C.3种D.4种答案C根据题意得出最短路径如图所示,最短路程为√22+22+1=2√2+1,则从A点到B点的最短路程的走法共有3种.故选C.4.(2013四川雅安中考,17,★★☆)在平面直角坐标系中,已知点A(-√5,0),B(√5,0),点C在坐标轴上,且AC+BC=6,写出满足条件的所有点C的坐标.答案(0,2),(0,-2),(-3,0),(3,0)解析如图,①当点C位于y轴上时,设C(0,b).则√(√5)2+b2+√(√5)2+b2=6,解得b=2或b=-2,此时C(0,2)或C(0,-2).②当点C位于x轴上时,设C(a,0).则|-√5-a|+|a-√5|=6,即2a=6或-2a=6,解得a=3或a=-3,此时C(-3,0)或C(3,0).综上所述,满足条件的所有点C的坐标是(0,2),(0,-2),(-3,0),(3,0).核心素养全练拓展训练1.(2014浙江温州中考改编)勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感.他惊喜地发现:当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时,都可以用“面积法”来证明.下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程:将两个全等的直角三角形按图①所示方式摆放,其中∠DAB=90°.求证:a2+b2=c2.图①图②证明:连接DB,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b-a.∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=12b2+12ab,又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=12c2+12a(b-a),∴12b2+12ab=12c2+12a(b-a).∴a2+b2=c2.请参照上述证法,利用图②完成下面的证明.将两个全等的直角三角形按图②所示方式摆放,其中∠DAB=90°.求证:a2+b2=c2.证明:连接.∵S五边形ACBED=,又∵S五边形ACBED=,∴.∴a2+b2=c2.证明连接BD,过点B作DE边上的高BF,则BF=b-a,∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=12ab+12b2+12ab,又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=12ab+12c2+12a(b-a),∴12ab+12b2+12ab=12ab+12c2+12a(b-a),∴a2+b2=c2.2.如图,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x.(1)用含x的代数式表示AC+CE;(2)请问点C满足什么条件时,AC+CE的值最小?(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式√x2+4+√(12-x)2+9的最小值.解析(1)√(8-x)2+25+√x2+1.(2)当A、C、E三点共线时,AC+CE的值最小.(3)如图所示,作BD=12,过点B作AB⊥BD,过点D作ED⊥BD,且AB=2,ED=3,连接AE交BD于点C.设BC=x,AE的长即为代数式√x2+4+√(12-x)2+9的最小值.过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F,得长方形ABDF,则AB=DF=2,AF=BD=12.所以AE=√122+(3+2)2=13.即√x2+4+√(12-x)2+9的最小值为13.。
人教版八年级数学下册《勾股定理》勾股定理在实际生活中的应用
第二十一章 一元二次方程：本章主要是掌握配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程，并运用一元二次方程解决实际问题。本章重点是解一元二次方程的思路及具体方法。
（3）利用勾股定理等列方程； 本章的难点是解一元二次方程。
4.最后，就是冲刺阶段，也称为“备考篇”。在这一阶段，老师会将复习的主动权交给你自己。以前，学习的重点、难点、方法、思路都是以老师的意志为主线，但是，现在你要直接 、主动的研读《考试说明》，研究近年来的高考试题，掌握高考信息、命题动向。
小技巧 化非直角三角形为直角三角形 将实际问题转化为直角三角形模型
归纳小结
1、勾股定理： 如__果__直_角__三__角__形_的__两__直__角_边__长__分__别_为__a_,_b_,_斜_边__为__c.
那__么____________________________ 2、勾股定理有广泛的应用.
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第2课时 勾股定理在实际生活中的应用
教学目标 1．会用勾股定理解决简单的实际问题． 2．树立数形结合的思想．
勾股定理的应用
例1：一个门框的尺寸如图所示，一块长3m， 宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？ 为什么？
已知条件有哪些？
C
2m
A 1m B
1.木板能横着或竖着从门框通过吗？ 2.这个门框能通过的最大长度是多少？ 3.怎样判定这块木板能否通过木框？
3、学习反思：
____________________________ __________________ ____B
拓展迁移
在数轴上作出表示 20的点. 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?
人教版初中数学八下第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理 第2课时 勾股定理的应用
17.1 勾股定理 第2课时 勾股定理的应用
知识点 勾股定理的应用
1.如图，某公园有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角∠AOB而走“捷 径”，在草坪内走出了一条“路”AB.他们踩伤草坪，仅仅少走了（ A ）
A.4 m
B.6 m
C.8 m
D.10 m
第1题图
2.如图，一艘轮船以16 n mile/h的速度从港口A出发向东北方向航行，另一艘轮船以 12 n mile/h的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2 h后两船相距 （C）
第4题图
5.如图，若河岸的两边平行，河宽AC＝800 m，河岸上B，C两点之间的距离为600 m.一只船由河岸的A处沿直线方向开往对岸的B处，船的速度为200 m/min，求船从 A处到B处所需的时间.
答：船从A处到B处所需的时间为5 min.
7.（教材P25例2变式）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时， 梯子底端B到左墙脚C的距离为0.7 m，顶端A距离地面2.4 m.如果保持梯子底端位置 不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端A'距离地面2 m，求小巷的宽度.
答：小巷的宽度为2.2 m.
8.如图，在高为5 m，坡面长为13 m的楼梯表面铺地毯，则至少需要地毯（ A ） A.17 m B.18 m C.25 m D.26 m
9.如图，小明将一张长为20 cm，宽为15 cm的长方形纸（AE＞DE）剪去了一角，量 得AB＝3 cm，CD＝4 cm，则剪去的直角三角形的斜le
C.40 n mile
D.50 n mile
第2题图
3.已知一根竹子原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地， 抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度为 3.2 尺.
人教版八年级下册第十七章17.1勾股定理(教案)
其次，在实践活动和小组讨论中，学生们表现出了很高的热情，积极投入到讨论和实验操作中。但我也观察到，有些小组在讨论过程中容易偏离主题，讨论内容与勾股定理的实际应用关系不大。针对这个问题，我需要在今后的教学中加强对学生的引导，确保讨论主题紧扣教学内容，提高课堂效率。
此外，在课堂总结环节，虽然大部分学生能较好地掌握勾股定理的知识点，但仍有少数学生存在疑问。为了帮助这部分学生更好地消化吸收课堂内容，我计划在课后设置答疑时间，鼓励他们提出问题，并及时给予解答。
-对勾股数的理解和应用：学生需要掌握勾股数的概念，并能够找出勾股数，这对于数感和数学直觉有一定要求。
举例解释：
a.在证明过程的难点上，例如，使用面积法证明勾股定理时，学生可能会难以理解如何从一个大正方形中分割出四个相同的直角三角形和一个中间的小正方形，以及如何通过这些图形的面积关系得出勾股定理。
b.在解决复杂问题的难点上，如在一个不规则图形中识别出直角三角形并应用勾股定理，或者在一个实际问题中，如测量旗杆高度时，学生可能不知道如何将问题抽象为直角三角形的模型，并应用勾股定理。
c.在勾股数的应用上，例如，学生可能知道3、4、5是一组勾股数，但不知道如何找出其他勾股数，或不理解勾股数在建筑、工程等领域中的应用。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《勾股定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过直角三角形的情形？”比如，在篮球场地的角落，或是楼梯的形状。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索勾股定理的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
2024八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第2课时应用勾股定理解实际问题课件新版新人教版
【解】(1)如图，过点A作AE⊥CD于点E，
则∠AEC＝∠AED＝90°.
∵∠ACD＝60°，∴∠CAE＝90°－60°＝30°.
∴CE＝ AC＝
DE＝
km.∴AE＝
km，
km.
∴AE＝DE.∴△ADE是等腰直角三角形.∴AD＝
＋ ＝ ＝ AE＝ ×
度为x尺，则可列方程为( D )
A.x2－3＝(10－x)2
B.x2－32＝(10－x)2
C.x2＋3＝(10－x)2
D.x2＋32＝(10－x)2
【点拨】
如图，已知折断处离地面的高度为x尺，即AC＝x尺，
则AB＝(10－x)尺，BC＝3尺.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝
AB2，即x2＋32＝(10－x)2.故选D.
2.[2023·岳阳 新考向·传承数学文化]我国古代数学名著《九章
算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸，欲为
方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今
有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚
度CD达到7寸，则BC的长是( C )
A. 寸
B.25寸
C.24寸
D.7寸
选B.
4.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙
时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4
m.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶
端距离地面2 m，那么小巷的宽度为( C )
A.0.7 m
B.1.5 m
C.2.2 m
D.2.4 m
【点拨】
如图，BC＝2.4 m，AC＝0.7 m，DE＝
人教版八下数学17.1 课时3 利用勾股定理作图或计算教案+学案
人教版八年级下册数学第17章勾股定理17.1 勾股定理课时3 利用勾股定理作图或计算教案【教学目标】1．会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题；2．灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题．【教学重点】会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题.【教学难点】灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题．【教学过程设计】一、情境导入[过渡语] 上一节课,我们学会了利用勾股定理解决生活中的实际问题.本节课我们将继续研究勾股定理的综合运用.我们知道数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,你能在数轴上找到表示的点吗?表示的点呢?[设计意图] 在七年级时,学生只能找到数轴上的表示有理数的点,而对于表示像,这样的无理数的点却找不到.学习了勾股定理后,这样的问题就可以得到解决.由旧入新,开门见山导入新课.[过渡语]同学们,我们一起来欣赏一幅图片:这个美丽的图案是怎么画出来的呢?它依据的是什么数学知识?[设计意图] 以图案导入,在直观形象的图案欣赏中吸引了学生的注意力,加上巧妙设问,为新课的展开做好了铺垫.二、合作探究1.利用勾股定理证明HL定理[过渡语]让我们一起来探究下面的问题:在八年级上册中,我们曾经通过画图得到结论:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后,你能证明这一结论吗?师生共同画图,写出已知、求证.引导学生关注画图的过程,思考哪些元素相等.已知:如图所示,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AB=A'B',AC=A'C'.求证:Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.〔解析〕要证明Rt△ABC≌Rt△A'B'C',难以找到锐角对应相等,只有找第三边相等,发现可以根据勾股定理得到BC=,B'C'=,容易得到BC=B'C'.证明:在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,根据勾股定理,得:BC=,B'C'=.又AB=A'B',AC=A'C',∴BC=B'C'.∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).2.利用勾股定理在数轴上表示无理数思路一[过渡语]下面我们回到导入一的问题,一起来看:我们知道数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,你能在数轴上找到表示的点吗?表示的点呢?学生回忆以前的作法,并运用勾股定理计算,长为的线段是两条直角边的长都为1的直角三角形的斜边.学生尝试在数轴上找到表示的点.OB是以数轴的单位长度为边的正方形的对角线,以数轴的原点为圆心、OB长为半径画弧,交数轴正半轴于点A,则点A表示的数是.小组交流讨论:找到长为的线段所在的直角三角形.教师可指导学生寻找长为,……这样的包含在直角三角形中的线段.逐步引导学生得出,由于在数轴上表示的点到原点的距离为,所以只需画出长为的线段即可.设c=,两直角边为a,b,根据勾股定理得a2+b2=c2,即a2+b2=13,若a,b为正整数,则13必须分解为两个平方数的和,即13=4+9,a2=4,b2=9,则a=2,b=3.所以长为的线段是直角边长为2,3的直角三角形的斜边.学生在数轴上画出表示的点.教师根据巡视情况指导步骤如下:(1)在数轴上找到点A,使OA=3;(2)作直线l垂直于OA,在l上取一点B,使AB=2;(3)连接OB,以原点O为圆心、以OB为半径作弧,弧与数轴交于点C,则点C即为表示的点.学生自由作图,教师适当指导.利用勾股定理作出长为,,……的线段,按照同样方法,在数轴上画出表示,,……的点.[设计意图]利用勾股定理和数轴上的点表示实数,将数与形进一步联系在一起,渗透数形结合思想,加深对勾股定理、数轴和实数的理解.思路二引导学生观察图案发现:图形由若干个直角三角形形成,是根据我们所学的勾股定理来完成的.最后教师总结画图的方法:先构造出直角边长为1的等腰直角三角形,并以前一个三角形的斜边及长度为1的线段为直角边,以此向外画直角三角形,就可以得到问题中的图案了.提问:我们知道是两条直角边的长都为1的直角三角形的斜边的长,可是在数轴如何表示出?如何表示出呢?学生根据观察的结果思考在数轴上如何表示出,.教师根据情况指点.追问:你能在数轴上找出表示的点吗?学生讨论:利用勾股定理把长为的线段看成一个直角三角形的斜边,那么两条直角边长分别是哪两个正整数?学生发现()2=22+32后,尝试作图,教师讲解,师生再共同完成.作法:在数轴上找到点A,使OA=3;过点A作直线l垂直于OA,在l上取一点B,使AB=2,连接OB,以原点O为圆心、以OB为半径作弧,弧与数轴交于点C,则点C 即为表示的点.[设计意图]通过观察感知,讨论分析,规范作图,一步紧扣一步,让学生明白如何利用勾股定理在数轴上找到表示无理数的点.[知识拓展]在数轴上表示无理数时,将在数轴上表示无理数的问题转化为画长为无理数的线段问题.第一步:利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段(斜边)长的平方,注意一般其中两条线段的长是整数;第二步:以数轴原点为直角三角形斜边的顶点,构造直角三角形;第三步:以数轴原点为圆心,以斜边长为半径画弧,即可在数轴上找到表示该无理数的点.3.例题讲解(补充)如图所示,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2.求四边形ABCD的面积.学生讨论:如何构造直角三角形?比较发现:可以连接AC,或延长AB,DC交于F,或延长AD,BC交于E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单.解:延长AD,BC交于E,如图所示.∵∠A=60°,∠B=90°,∴∠E=30°.∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE==4.DE2=CE2-CD2=42-22=12,DE==2.∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE= AB·BE- CD·DE=6.[解题策略]不规则图形的面积,可转化为特殊图形求解,本题通过将图形转化为直角三角形的方法,把四边形面积转化为三角形面积之差.三、课堂小结师生共同回顾本节课所学主要内容:1.用勾股定理在数轴上表示无理数,构造长为无理数的线段放在直角三角形中,有时是直角边,有时是斜边.2.求不规则图形的面积,应用割补法把图形分解为特殊图形,四边形中常常通过作辅助线构造直角三角形,以利用勾股定理.【板书设计】17.1 勾股定理课时3 利用勾股定理作图或计算1．利用勾股定理证明HL定理2.利用勾股定理在数轴上表示无理数3.例题讲解例题．【教学反思】在课堂教学中注重数学与生活的联系,注重数学知识的应用,从学生认知规律和接受水平出发,循序渐进地引入新课,成功地引导学生会将长为无理数的线段看成一个直角三角形的斜边,再按照尺规作图的要求,在数轴上找出表示无理数的点.由于学生尺规作图的能力较差,学生在确定了作图思路之后,却难以按照尺规作图的步骤完成作图.教师指导在数轴上找出表示无理数的点,示范作图步骤.教学中,根据学生的基础情况,适当进行复习,帮助学生解决学习中的困难.人教版八年级下册数学第17章勾股定理17.1 勾股定理课时3 利用勾股定理作图或计算学案【学习目标】1．会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题；2.灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题．【学习重点】会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题.【学习难点】灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题．【自主学习】一、知识回顾1.我们知道数轴上的点与实数一一对应，有的表示有理数，有的表示无理数.你能在数轴上分别画出表示3,-2.5的点吗？2.求下列三角形的各边长.二、合作探究知识点1：勾股定理与数轴呢？(提示：可以构造直角三角形想一想 1.你能在数轴上表示出2的点吗？2作出边长为无理数的边，就能在数轴上画出表示该无理数的点.)2.长为13的线段能是这样的直角三角形的斜边吗,即是直角边的长都为正整数？3.13.(1)在数轴上找到点A,使OA=______;(2)作直线l____OA,在l上取一点B，使AB=_____;(3)以原点O为圆心，以______为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示______的点.要点归纳：利用勾股定理表示无理数的方法:（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.类似地，利用勾股定理可以作出长2,3,5为线段,形成如图所示的数学海螺.【典例探究】例1如图，数轴上点A所表示的数为a，求a的值.易错点拨:求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，因而所表示的数不是斜边长.【跟踪检测】1.如图，点A表示的实数是（）A. 3B. 5C. 3D.5--2.如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（）A.2B.5 1C.10 1D.53.你能在数轴上画出表示17的点吗？知识点2：勾股定理与网格综合求线段长【典例探究】第1题图第2题图例2 在如图所示的6×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，写出格点△ABC 各顶点的坐标，并求出此三角形的周长．方法总结:勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.例3 如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，求AB边上的高.方法总结:此类网格中求格点三角形的高的题，常用方法是利用网格求面积，再用面积法求高.【跟踪检测】1.如图是由4个边长为1的正方形构成的田字格，只用没有刻度的直尺在这个田字格中最多可以作出多少条长度为5的线段？2.如图，在5×5正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，画出一个三角形的长分别为2,2,10.知识点3：勾股定理与图形的计算【典例探究】例4 如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.方法总结:折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法:(1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)；(2)用已知线数或含x的代数式表示出其他线段长；(3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程；(4)解这个方程，从而求出所求线段长.变式题如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，求AM的长.【跟踪检测】1.如图，四边形ABCD中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求四边形ABCD 的面积．三、知识梳理利用勾股定理作图或计算在数轴上表示出无理数的点利用勾股定理解决网格中的问题通常与网格求线段长或面积结合起来利用勾股定理解决折叠问题及其他图形的计算通常用到方程思想四、学习中我产生的疑惑【学习检测】1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（）A.5B.6C.7D.25BA2.小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的2个单位长度的位置找一个点D，然后点D做一条垂直于数轴的线段CD，CD为3个单位第1题图第2题图第3题图长度，以原点为圆心，以到点C的距离为半径作弧，交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（）A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间3.如图，网格中的小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则AB边上的高为_______.4．边长分别为2cm和3cm的长方形的一条对角线长为_______cm．5．如果等腰直角三角形的斜边长为_______cm，那么这个三角形的面积是_______cm2．6. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为_______．7. 如图，A是数轴上一点，以OA为边长作正方形ABCO，以OB为半径作半圆交数轴于P1、P2两点．(1)当点A表示的数是1时，P1表示的数是_______，P2表示的数是_______；(2) 当点A表示的数是2时，P1表示的数是_______，P2表示的数是_______．8. 边长为3的正方形的一条对角线长是_______．9.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8cm，∠A=60°，∠ADC=150°，已知四边形ABCD的周长为32cm，求△BCD的面积．10. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，求重叠部分△AFC的面积.11.长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角，则梯子的顶端沿墙面升高了多少米?12.问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为5103a、、,求这个三角形的面积．王琼同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．(1)求△ABC的面积；a a a(a＞0)，请利用图②的正方形网格（每(2)若△ABC三边的长分别为5,22,17个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．图①图②13.如图所示,以数轴的单位长度线段为边作一个正方形,以表示数2的点为圆心,正方形对角线长为半径画半圆,交数轴于点A和点B,则点A表示的数是,点B表示的数是.14.如图所示,在Rt△AOB中,OB=1,AB=2,以原点O为圆心,OA为半径画弧,交数轴负半轴于点P,则点P表示的实数是.15.如图所示,4×4方格中每个小正方形的边长都为1.(1)直接写出图(1)中正方形ABCD的面积及边长;(2)在图(2)的4×4方格中,画一个面积为8的格点正方形(四个顶点都在方格的格点上),并把图(2)中的数轴补充完整,然后用圆规在数轴上表示实数.。
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“新基础”课堂教学设计
教学过程
教学
环节
教师活动学生活动设计意图
常规积累1.在Rt△ABC中，∠C=90°，
（1）角：∠A+∠B= .
（2）边： .
（3）边角关联：
①若∠A=45°，AC=2，则BC= .
AC与BC的数量关系为.
②若∠A=30°，BC=2，则AB= .
BC与AB的数量关系为.
2.回顾勾股定理：勾股定理是什么？什么时候
可用？用途是什么？
同桌互说，复习回顾.
从元素及元素关系梳理
直角三角形相关知识
将勾股定理知
识纳入原来的
知识系统，使
知识结构进一
步完整化，也
为后续研究做
好铺垫.
第一环节：知两边求第三边一个直角三角形，除了一个角为90°外，可以
添加条件可以求出边长.
1.结合下列直角三角形的图形进行编题，只需
将已知的两边标量在图形中.
追问1: 已知的两边还有没有其他的情况？
追问2：已知的量我们在图形中已经表示出来，
未知的的量我们该如何表示？请写出完整解
答.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，有两边长分别为
3和4，求另一边的长为 .
小结：知两边求第三边情况：
（1）解题格式及解题过程中的注意事项.
（2）解题关键：确定最长边（直角对边）
解题本质：三元方程代入已知两边转化为一
元方程
学生独立思考.
预设资源：
1.学生取的数值不够
简洁；
2.只考虑两直角边或
一直角边一斜边的一种
情况.
预设资源：没有考虑分
类.
解题格式：Rt△→勾股
定理→代入求值
注意事项：画图标量（已
知、未知），分类
从已知两直角
边，一直角边
一斜边和指向
不够清晰三个
角度让学生再
次巩固和掌握
勾股定理解决
问题的思路，
规范书写格
式.对问题解
决方法形成整
体认识，养成
较好的解题习
惯，渗透分类
思想和方程思
想.
一个直角三角形，除了一个角为90°外，还可
第二环节：知特殊角及一边以添加条件可以求出边长.
从特殊角度开始研究：
[教结构] 一角：∠A=30°，一边长为6，求两
边的长.
问题推进：
（1）6可能是哪条边的长？有几种情况？请结
合图形标记.
（2）标完量，你的困惑是什么？
（3）你是如何解决这一类问题？用到了哪些方
法和数学思想？
[用结构] 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠
A=45°，一条边为4，求另两边的长
小结：知一特殊角（30°/45°/60°）及一边求
边长情况：
（1）解题关键：角度推出两边关系
（2）解题思路：①转化为知两边求第三边情况；
②设元一边，利用两边关系表示另一边，代入
勾股定理，求解方程.
解题本质：三元方程通过“c=2a”或“a=b”
消元，代入已知边，转化为一元方程.
读题，标出可能的情况，
思考每种情况的解题思
路.
预设存在问题：
(1)没有将角度转化为
数量关系，无法往下推
进;
(2)没有想到设元;
(3)设元列方程存在问
题
(4)不会解方程......
快速识别，只需结合图
形标量，写出等量关系，
具体解答过程课后完
成.
通过较为开放
的题目设计，
让学生分类考
虑可能的情
况.通过问题
推进归纳方
式，引导学生
主动思考，提
炼方法.
通过特殊角
度，进一步得
到两边的关
系，结合勾股
定理的三边等
量关系，达到
消元求解目
的.
第三环节：一个直角三角形，除了一个角为90°外，还可
以添加条件可以求出边长.
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，
AB比AC长1，求AC和AB的长.
思考如何设元
先独立思考，讨论.
从知特殊角度
得到两边关系
知边
长之
间的
关系 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC比
AC长1，AC与AB的和为18，求三边的长.
小结：知边长之间关系求边长情况：
解题关键：设元，用同一元表示相关的边长，将三元方程转化为一元方程.
考虑如何设元，只
需在图形中标量，写出
等量关系，无需解答.
拓展到更一般
的两边关系、
三边关系，让
学生体会勾股
定理在“数”
方面的作用：
建立等量关
系，回归方程
本质.解决思
路为方程思
想，将三元方
程消元到一元
方程.
拓展环节: 联系实际，活学活用
学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系
在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出一段.请
你结合所学的知识提出一个解决这个问题的方
案，并与同伴们交流.
先独立思考，
再小组讨论.
抽离出直角三角形这个
基本模型.
此问题较开
放，可从两边
关系入手，也
可从角度入
手，较为综合
应用知识，让
学生体会勾股
定理有用性，
积极主动参与
教学活动.
小结本节课的收获：
基本知识：一个直角三角形，除了一个角为90°
外，还可以添加条件可以求出
边长. （when）
技能方法：在每种条件下,是如何求出边长，解
题关键是什么?（how）
数学思想：分类思想，方程思想（why）......
引导学生对数学知识和方法进行总结提
炼，提高学生利用数学思想方法解决问
题的能力.。