2补码加减法运算详解
二进制减法运算法则补码
二进制减法运算法则补码
二进制减法的运算法则与补码表示密切相关，补码是一种表示有符号整数的方法，可以简化二进制减法运算。
以下是二进制减法的运算法则以及如何使用补码进行减法运算的步骤：
1. 二进制减法法则：
在二进制减法中，我们可以将减法转化为加法，通过求差的补码来实现。
具体做法是将被减数取其补码（反码加1），然后将减数加上被减数的补码。
这等效于执行两个二进制数的加法运算。
2. 使用补码进行二进制减法：
a. 将减法问题转化为加法问题：要计算A -B，首先求B 的补码（将B 的每个位取反后加1）得到-B。
b. 将-B 与A 相加：将-B 与A 相加，即计算A + (-B)。
c. 忽略最高位的进位：在结果中，忽略最高位的进位。
如果进位发生，表示减法结果为负数。
d. 如果结果最高位为1，表示结果为负数：如果结果最高位为1，则表示减法结果为负数，需要将结果取反并加1，得到最终结果。
使用补码进行二进制减法的好处在于，它允许在计算机中用相同的硬件逻辑来执行加法和减法操作，从而简化了运算逻辑。
举例说明：
假设要计算5 - 3（即0101 - 0011）：
1. 求3 的补码：0011 的补码是1101。
2. 将1101 与0101 相加，得到0101 + 1101 = 10010（忽略最高位的进位）。
3. 结果最高位为1，表示结果为负数，因此需要将结果取反并加1，得到最终结果：0110，即6。
需要注意的是，二进制减法中的借位操作可以通过使用补码来避免，从而简化运算过程。
这在计算机系统中非常有用，因为计算机可以使用硬件逻辑来执行补码加法，进而实现减法运算。
计算机系统 补码加减法运算
进位
A + B= 01010
3. 反码加减法的硬件配置
A、B 均 n+1 位
1. 移码表示法
定义 [x]移 = 2n + x（2n＞x ≥ 2n）
x 为真值，n 为 整数的位数
移码在数轴上的表示
0
2n 2n+1–1
+ [B]补 = 1 . 1 0 1 1
– 0.0101
[A]补 + [B]补 = 1 0 . 0 1 1 0 = [A + B]补 0.0110
∴A+B= 0.0110
例 ３.19 设 A = –9，B = –5
求 [A+B]补 解： [A]补 = 1 0 1 1 1
+ [B]补 = 1 1 0 1 1
+ [-B]补 = 1 0 1 0 1
[A]移 + [-B]补 = 1 0 0 0 0
3. 移码加减法的硬件配置
A、B 均 n+1 位
3.2.2 加减法运算的溢出处理(补码运算） 当运算结果超出机器数所能表示的
范围时，称为溢出。显然，两个异号数 相加或两个同号数相减，其结果是不会 溢出的。仅当两个同号数相加或者两个 异号数相减时，才有可能发生溢出的情 况，一旦溢出，运算结果就不正确了， 因此必须将溢出的情况检查出来。 今以4位二进制补码正整数加法运算为 例说明如下：
101101
⑥-14+1= -13 10010
+00001 10011
在上例中，①、②、⑤和⑥得出正确结 果，③和④为溢出。
•今以fA,fB表示两操作数(A、B)的符号位， fS为结果的符号位。符号位fA、fB直接参 与运算，它所产生的进位以Cf表示。在 以2n+1为模的运算中符号位有进位，并不 一定表果C=Cf, 运算结果正确，其中C为数值最高位的 进位，Cf为符号位的进位。如果C≠Cf， 则为溢出，所以溢出条件=C Cf。例3.11 中的③和④即为这种情况。其逻辑电路 见图3.2。
二进制减法运算法则补码
二进制减法运算法则补码摘要：一、二进制减法运算法则简介1.二进制减法的基本概念2.补码表示法在二进制减法中的重要性二、补码表示法1.补码的定义与性质2.补码的加法和减法运算三、二进制减法运算法则1.借位运算2.还原运算3.溢出处理四、实际应用与举例1.计算机中二进制减法的实现2.常见减法运算的例子正文：一、二进制减法运算法则简介在计算机科学中，二进制减法运算法则是一种基本的运算方法。
然而，由于二进制数只有0 和1 两个数码，没有明确的减法概念。
为了解决这个问题，我们引入了补码表示法，将减法转换为加法运算，从而实现二进制减法。
二、补码表示法补码表示法是一种将二进制数的表示方法与运算规则统一起来的方法。
它的主要特点是将负数的表示与正数的表示用相同的位数表示，只是在最高位添加一个符号位。
在补码表示法中，0 表示正数，1 表示负数。
在进行加法和减法运算时，我们可以直接将两个数的补码相加，无需考虑符号位。
三、二进制减法运算法则在补码表示法的基础上，我们可以将二进制减法转换为加法运算。
具体来说，我们可以将减数取反（符号位除外）后加到被减数上。
这个过程被称为借位运算。
接着，我们需要对结果进行还原运算，即将符号位与其它位进行合并。
最后，我们需要处理溢出情况，将溢出位丢弃或者向高位进位。
四、实际应用与举例在计算机中，二进制减法运算法则通过硬件电路实现。
我们可以通过编程来观察和验证这一运算法则。
例如，我们设被减数为1011（十进制数11），减数为1101（十进制数13）。
首先，我们对这两个数进行补码表示，得到1011（正数）和1110（负数）。
接着，我们对这两个补码进行相加，得到10000。
由于结果的符号位为0，说明这是一个正数，即1011-1101 的结果为10000（十进制数16）。
总之，二进制减法运算法则在补码表示法的支持下，通过借位、还原和溢出处理等步骤，实现了二进制数的减法运算。
补码加减法运算
[-y]补=0.0110
[x]补 + [-y]补
[x-y]补
计算机组成原理
1.0 0 1 1 0.0 1 1 0 1.1 0 0 1
∴x －y = - 0.0111
6
溢出及与检测方法
1.概念
在定点小数机器中,数的表示范围为|ｘ|<1。在运算过程中如出现大于1
的现象,称为 “溢出”。
下溢
上溢
机器定点小数表示
T通常采用一个 “与非”门或一 个“或非”门的 时间延迟来作为 度量单位。
20
(1)对一位全加器(FA)来说，Si的时间延迟为6T(每级异或门延迟3T)； Ci＋1的时间延迟为5T。
Ci+1
Si
≥1
=1
&
&
=1
计算机组成原理
Ci
Ai Bi
21
(2)n位行波进位加法器的延迟时间ta为： 考虑溢出检测时，有： ta＝n·2T＋9T＝(2n＋9)T
发生溢出的原因，是因为运算结果超出编码所能表示的数字大小。 两个正数相加: 结果大于机器所能表示的最大正数，称为上溢； 两个负数相加：结果小于机器所能表示的最小负数，称为下溢。
计算机组成原理
7
例：x=+0.1011, y=+0.1001, 求x+y。
解：
[x]补=0.1011
[y]补=0.1001
计算机组成原理
补码加减法运算
2020年5月26日
计算机组成原理
1
补码加减法运算
1.原码加/减法运算
加法规则： 先判符号位，若相同，绝对值相加，结果符号不变; 若不同，则作减
法， |大| - |小|，结果符号与|大|相同。 减法规则：
二进制减法运算法则补码
二进制减法运算法则补码摘要：一、二进制减法运算法则简介1.二进制减法的基本概念2.补码表示法在二进制减法中的作用二、补码表示法详解1.补码的定义和表示方法2.补码的加法和减法规则3.补码的转换方法三、二进制减法运算法则补码的实际应用1.加减法混合运算的处理2.溢出情况的处理3.实际运算例子的演示正文：一、二进制减法运算法则简介在计算机科学中，二进制减法运算法则是计算机进行数值计算的基本方法之一。
在进行二进制减法运算时，我们需要使用补码表示法来表示数字，以便计算机能够正确地进行计算。
二、补码表示法详解补码表示法是一种将数字的符号位和数值位合并在一起的表达方式。
在补码表示法中，最高位（左边第一位）表示数字的符号位，0 表示正数，1 表示负数。
数值位的计算方法是：将二进制数的位数减去1，然后取反，最后加1。
例如，对于8 位的二进制数，最高位是符号位，剩余7 位是数值位。
在补码表示法中，加法和减法的规则是：1.加法：将两个数的补码相加，如果结果的符号位为0，则表示结果为正数，否则表示结果为负数。
2.减法：将减数的补码取反加1，然后与被减数的补码相加。
如果结果的符号位为0，则表示结果为正数，否则表示结果为负数。
在计算机中，我们可以通过硬件电路或软件程序来实现补码的转换。
例如，对于8 位二进制数的补码转换，我们可以使用以下公式：补码= 反码+ 1三、二进制减法运算法则补码的实际应用在实际的应用中，我们常常需要进行加减法混合运算。
例如，计算10 - 5，我们可以先将10 和5 的补码转换为反码，然后进行加法运算，最后将结果转换为补码。
当进行加减法运算时，可能会出现溢出的情况。
例如，计算10 - 5 时，如果结果的位数超过了原数的位数，就需要进行溢出处理。
在计算机中，我们可以使用溢出标志位来表示是否发生了溢出。
以下是二进制减法运算法则补码的一个实际运算例子：假设我们有两个8 位的二进制数A 和B，它们的补码分别为：A = 10010101（131）B = 11001111（159）我们想要计算A - B，按照二进制减法运算法则，我们需要先将B 的补码取反加1，得到反码：B 的反码= 00110010 + 1 = 00110011（101）然后，我们将A 和B 的反码相加：A +B 的反码= 10010101 + 00110011 = 101010101由于结果的位数超过了8 位，我们需要进行溢出处理。
补码的运算原理
补码的运算原理
补码是计算机中用于表示负数的一种方式。
在计算机中，所有的数都是二进制的，但是如何表示负数呢？最常见的方式是使用补码，它可以将减法转化为加法来实现。
在补码系统中，最高位（即最左边的一位）为符号位，0表示正数，1表示负数。
对于正数而言，它的补码就是它本身；而对于负数，它的补码是将它的绝对值按位取反，再加1。
在补码系统中，加法的运算原理如下：
1. 将两个数的补码对齐，即使它们的位数不同，也要在较短的数前面补0。
2. 从最低位开始，逐位相加（不考虑进位），如果两个数在某一位上的和为0或2，则该位的和为0，否则为1。
3. 如果最高位的进位是1，那么说明计算结果为负数，需要将结果的补码变回原码。
例如，计算-2+3的结果。
首先要将-2和3转化为它们的补码： -2的补码为11111110，3的补码为00000011
将它们对齐：
11111110
+00000011
--------
逐位相加得到：
11111101
最高位有进位，说明结果为负数，将结果的补码变回原码，得到-5。
因此，补码的运算原理是将减法转化为加法来实现，同时要注意将计算结果的补码变回原码。
二进制负数计算方式
二进制负数计算方式
二进制负数计算方式是指在二进制数中表示负数，并进行加减乘除运算的方式。
在二进制数中，负数通常使用补码表示。
其计算方式如下：
1. 求补码
对于一个负数，其补码就是其对应正数的反码加1。
例如，-5的补码为11111011。
2. 加减运算
在二进制补码运算中，加法和减法的运算方式是相同的。
将两个补码的二进制位相加（或相减），并且舍弃最高位进位（或借位），得到的结果即为运算结果。
例如，-5+3的结果为-2，其补码为11111110。
3. 乘法运算
在二进制补码运算中，乘法运算需要注意乘积的位数。
将两个补码进行乘法运算，然后对乘积的低位进行截取即可得到正确结果。
例如，-5*3的结果为-15，其补码为11110001，对低4位进行截取即可得到正确的结果。
4. 除法运算
在二进制补码运算中，除法运算需要注意商和余数的符号。
将被除数和除数的补码进行除法运算，然后将商和余数的符号按照被除数和除数的符号规则确定即可得到正确结果。
例如，-5/3的商为-1，余数为-2，其补码分别为11111111和11111110，根据被除数和除数的符号规则，商为负数，余数为负数，即得到正确结果。
二进制负数计算方式是计算机运算中的基础知识，掌握其运算方式对于编写高效的计算机程序非常重要。
补码加减法运算(计算机组成原理)课件
补码加减法运算在计算机中的局限性
符号位处理
在补码加减法中，符号位需要单独处理，增加了计算的复杂性。
对负数运算的支持有限
虽然补码表示法可以处理负数，但对于某些复杂的负数运算（如乘 除法），可能需要额外的处理方法。
缺乏直观性
补码表示法和人类常用的十进制表示法不同，导致初学者难以理解 。
04
补码加减法运算的 实例分析
对于计算机专业的学生和研究者来说 ，掌握补码加减法是学习计算机组成 原理和深入了解计算机体系结构的基 础。在此基础上，可以进一步探索其 他数值表示和运算方法。
在实际应用中，如何优化补码加减法 的运算速度和精度，以及如何将其更 好地应用于各种不同领域，是值得进 一步研究的问题。同时，随着量子计 算等新型计算技术的发展，数值运算 的方法和原理也可能会发生变化，需 要保持关注和学习。
溢出及其处理
溢出的概念
在进行补码加减法运算时，如果结果超出了数据类型的表 示范围，就会产生溢出。溢出会导致计算结果的错误。
溢出的判断
判断是否溢出可以通过检查运算结果的符号位和最高位（进位） 来实现。如果符号位和最高位（进位）不同，则说明产生了溢出
。
溢出的处理
处理溢出的方法有多种，包括检测溢出后进行相应的处理、采用 有符号数乘除法等方法。在实际应用中应根据具体情况选择合适
补码加法运算的实例
假设有两个补码表示的二进制数X和Y，其中X=+1010，Y=-0101，则X+Y=+1010+(0101)=+0101，因为结果的符号位为0，所以结果为正数，即X+Y=+5。
补码的减法运算
补码减法运算的规 则
在进行补码减法运算时，首先 将减数取反加1得到相应的正 数，然后将这个正数与被减数 相加，最后根据结果的符号位 确定结果的符号，正数符号位 为0，负数符号位为1。
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[x]补 ＋[ y ] 补 0. 1 0 1 1 1. 1 0 1 1
解:
[x]补＝0.1011,
[ x ＋y ] 补
计算机组成原理
1 0. 0 1 1 0
所以
x＋y＝0.0110
4
3.补码减法
补码减法运算的公式： [ x －y ] 补＝[ x ] 补－[ y ] 补＝[ x ] 补＋[ －y ] 补
V ＝C f ⊕C o
其中Cf为符号位产生的进位,Co为最高有效位产生的进位。 此逻辑表达式也可用异或门实现。 V＝C1⊕Co 判断电路
c0 x0 y0 c1 x1 y1
FA
z0
V
FA
z1
11
计算机组成原理
(3)双符号位法 一个符号位只能表示正、负两种情况，当产生溢出时，符号位的含义就 会发生混乱。如果将符号位扩充为两位(Sf1、Sf2)，其所能表示的信息量将 随之扩大，既能判别是否溢出，又能指出结果的符号。 双符号位法也称为“变形补码”或“模4补码” 。 定点小数变形补码定义： 0 x<1 -1 x<0 0 x<2 n -2 x<0 n （mod 2
机器定点小数表示 发生溢出的原因，是因为运算结果超出编码所能表示的数字大小。 两个正数相加: 结果大于机器所能表示的最大正数，称为上溢； 两个负数相加：结果小于机器所能表示的最小负数，称为下溢。
计算机组成原理 7
例：x=+0.1011, y=+0.1001,
解： [x]补=0.1011 [x]补 + [y]补 [x+y]补
两数差的补码等于两数补码之差
公式证明： 只要证明[–y]补＝ –[y]补, 上式即得证。 证明：
∵ [x＋y]补＝[x]补＋[ y]补 (mod 2)
令
∴ 故
y = －x
[0]补 ＝[x]补 + [ －x]补 [－x]补＝－[ x]补 (mod 2)
减法运算化为加法完成。关键是求[-Y]补
计算机组成原理 5
计算机组成原理
2
2.补码加法运算 补码加法的公式: [ x ] 补＋[ y ] 补＝[ x ＋y ] 补
(mod 2)
特点：不需要事先判断符号，符号位与码值位一起参加运算。 符号位相加后若有进位，则舍去该进位数字。 在模2意义下,任意两数的补码之和等于该两数之和的补码。 这是补码加法的理论基础。 补码加法的特点： （1）符号位要作为数的一部分一起参加运算； （2）在模2的意义下相加，即大于2的进位要丢掉。 其结论也适用于定点整数。
0. 1 0 0 1 1. 0 1 0 0
[x]补
1. 0 0 1 1
+
[y]补
[x+y]补
1. 0 1 0 1
0. 1 0 0 0
(1)单符号位检测方法1 设两数符号位分别为 S1、S2 和数符号位 SC 溢出逻辑表达式为：
x 0 y 0
FA
z 0
V ＝S 1 S 2 S c + S 1 S 2 S c
判断电路
计算机组成原理
判断 电路
V
9
（2）单符号位检测方法2 符号位进位Cf，最高位进位Cn
0 .1 0 1 0 1 + 0 .0 1 0 0 0 0 .1 1 1 0 1
C f = 0 ，C n = 0
1 .1 0 1 0 1 + 1 .1 1 0 0 0 1 1 .0 1 1 0 1
C f = 1 ，C n = 1
计算机组成原理 3
例: 解:
x＝0.1001, y＝0.0101, 求 x＋y。
[x]补＝0.1001, [x]补 ＋ [y]补 [ x ＋y ] 补 [y]补＝0.0101 0. 1 0 0 1 0. 0 1 0 1 0. 1 1 1 0
所以
x＋y＝＋0.1110
例: x＝＋0.1011,
y＝－0.0101, 求 x＋y。
解：
[x]补=1.0011
+ [x]补 [-y]补 [x-y]补
[y]补=1.1010
1.0 0 1 1 0.0 1 1 0 1.1 0 0 1
[-y]补=0.0110
∴x －y理
溢出及与检测方法
1.概念 在定点小数机器中,数的表示范围为|ｘ|<1。在运算过程中如出现大于1 的现象,称为 “溢出”。 下溢 上溢
求x+y。
[y]补=0.1001 0. 1 0 1 1 0. 1 0 0 1 1. 0 1 0 0
0 .1 0 1 0 1 + 0 .0 1 0 0 0 0 .1 1 1 0 1
正常结果
两个正数相加的结果成为负数，这显然是错误的。 例：x= -0.1101, y= -0.1011,
解： [x]补=1.0011 [x]补 1. + [y]补 1. [x+y]补 0.
求x+y。
[y]补=1.0101 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0
1 .1 0 1 0 1 + 1 .1 1 0 0 0 1 1 .0 1 1 0 1
正常结果
8
两个负数相加的结果成为正数，这同样是错误的。
计算机组成原理
2.溢出的检测方法
[x]补
+ [y]补 [x+y]补
0. 1 0 1 1
0 .1 0 1 0 1 + 0 .1 1 0 0 0
1 .0 0 1 0 1 + 1 .1 1 0 0 0 1 0 .1 1 1 0 1
C f = 1 ，C n = 0
10
1 .0 1 1 0 1
C f = 0 ，C n = 1
计算机组成原理
从上面例中看到： 当最高有效位有进位而符号位无进位时,产生上溢； 当最高有效位无进位而符号位有进位时,产生下溢。 （简单地说是正数相加为负数或负数相加为正数则产生溢出） 故溢出逻辑表达式为：
计算机组成原理
补码加减法运算
2018年10月11日
计算机组成原理 1
补码加减法运算
1.原码加/减法运算 加法规则： 先判符号位，若相同，绝对值相加，结果符号不变; 若不同，则作减 法， |大| - |小|，结果符号与|大|相同。
减法规则：
两个原码表示的数相减，首先将减数符号取反，然后将被减数与符号取 反后的减数按原码加法进行运算。
例: 解:
x＝＋0.1101, y＝＋0.0110, 求 x－y。
[x]补＝0.1101 [ y]补＝0.0110 [ -y]补＝1.1010 [x]补 ＋[-y]补 [ x －y ] 补 0.1 1 0 1 1.1 0 1 0 1 0.0 1 1 1
∴ x－y＝＋0.0111
例：
x= -0.1101，y= -0.0110，求x-y=?