2补码加减法运算
采用变形补码后数的表示： • 任何小于1的正数： 两个符号位都是“0”，即 00.x1x2...xn; • 任何大于-1的负数：两个符号位都是“1”，即 11.x1x2…xn
x0
FA
z0
y0
判断
V
电路
判断电路
9
（2）单符号位检测方法2
符号位进位Cf，最高位进位Cn
0 .1 0 1 0 1
1 .1 0 1 0 1
+ 0 .0 1 0 0 0
+ 1 .1 1 0 0 0
0 .1 1 1 0 1
Cf = 0，Cn = 0
0 .1 0 1 0 1 + 0 .1 1 0 0 0
1 1 .0 1 1 0 1
Cf = 1，Cn = 1
1 .0 0 1 0 1 + 1 .1 1 0 0 0
1 .0 1 1 0 1
Cf = 0，Cn = 1
1 0 .1 1 1 0 1
Cf = 1，Cn = 0
计算机组成原理
10
从上面例中看到： 当最高有效位有进位而符号位无进位时,产生上溢； 当最高有效位无进位而符号位有进位时,产生下溢。 （简单地说是正数相加为负数或负数相加为正数则产生溢出）
[x+y]补
0. 1 0 1 1 0. 1 0 0 1 1. 0 1 0 0
(1)单符号位检测方法1
设两数符号位分别为 S1、S2 和数符号位 SC
溢出逻辑表达式为：
V＝S1 S2 Sc + S1 S2 Sc
计算机组成原理
[x]补 1. 0 0 1 1 + [y]补 1. 0 1 0 1
[x+y]补 0. 1 0 0 0
0 .1 0 1 0 1
[x]补 + [y]补
0. 1 0 1 1 0. 1 0 0 1
+ 0 .0 1 0 0 0
[x+y]补 1. 0 1 0 0
0 .1 1 1 0 1
两个正数相加的结果成为负数，这显然是错误的。
正常结果
例：x= -0.1101, y= -0.1011, 求x+y。
解：
[x]补=1.0011
计算机组成原理
补码加减法运算
2020年5月12日
计算机组成原理
1
补码加减法运算
1.原码加/减法运算
加法规则： 先判符号位，若相同，绝对值相加，结果符号不变; 若不同，则作减
法， |大| - |小|，结果符号与|大|相同。 减法规则：
两个原码表示的数相减，首先将减数符号取反，然后将被减数与符号取 反后的减数按原码加法进行运算。
故溢出逻辑表达式为： V＝Cf⊕Co
其中Cf为符号位产生的进位,Co为最高有效位产生的进位。
此逻辑表达式也可用异或门实现。
判断电路
V＝C1⊕Co
c0
计算机组成原理
x0 y0
FA
z0
V
c1
x1 y1
FA
z1
11
(3)双符号位法 一个符号位只能表示正、负两种情况，当产生溢出时，符号位的含义就
会发生混乱。如果将符号位扩充为两位(Sf1、Sf2)，其所能表示的信息量将
其结论也适用于定点整数。
计算机组成原理
3
例: x＝0.1001, y＝0.0101, 求 x＋y。
解:
[x]补＝0.1001, [y]补＝0.0101
[x]补 ＋ [y]补
[x＋y ]补
0. 1 0 0 1 0. 0 1 0 1 0. 1 1 1 0
所以
x＋y＝＋0.1110
例: x＝＋0.1011, y＝－0.0101, 求 x＋y。
发生溢出的原因，是因为运算结果超出编码所能表示的数字大小。 两个正数相加: 结果大于机器所能表示的最大正数，称为上溢； 两个负数相加：结果小于机器所能表示的最小负数，称为下溢。
计算机组成原理
7
例：x=+0.1011, y=+0.1001, 求x+y。
解：
[x]补=0.1011
[y]补=0.1001
计算机组成原理
2
2.补码加法运算
补码加法的公式:
[ x ]补＋[ y ]补＝[ x＋y ]补
(mod 2)
特点：不需要事先判断符号，符号位与码值位一起参加运算。 符号位相加后若有进位，则舍去该进位数字。
在模2意义下,任意两数的补码之和等于该两数之和的补码。 这是补码加法的理论基础。
补码加法的特点： （1）符号位要作为数的一部分一起参加运算； （2）在模2的意义下相加，即大于2的进位要丢掉。
公式证明： 只要证明[–y]补＝ –[y]补, 上式即得证。
证明：
∵
令
∴
故
[x＋y]补＝[x]补＋[ y]补 y = －x
(mod 2)
[0]补 ＝[x]补 + [ －x]补
[－x]补＝－[ x]补
(mod 2)
减法运算化为加法完成。关键是求[-Y]补
计算机组成原理
5
例: x＝＋0.1101, y＝＋0.0110, 求 x－y。
[-y]补=0.0110
[x]补 + [-y]补
[x-y]补
计算机组成原理
1.0 0 1 1 0.0 1 1 0 1.1 0 0 1
∴x －y = - 0.0111
6
溢出及与检测方法
1.概念
在定点小数机器中,数的表示范围为|ｘ|<1。在运算过程中如出现大于1
的现象,称为 “溢出”。
下溢
上溢
机器定点小数表示
解: 例：
[x]补＝0.1101 [ y]补＝0.0110 [ -y]补＝1.1010
[x]补 ＋[-y]补 [x－y]补
0.1 1 0 1 1.1 0 1 0 1 0.0 1 1 1
x= -0.1101，y= -0.0110，求x-y=?
∴ x－y＝＋0.0111
解： [x]补=1.0011
[y]补=1.1010
解:
[x]补＝0.1011, [y]补＝1.1011
[x]补
0. 1 0 1 1
＋[y]补
1. 1 0 1 1
[x＋y]补 1 0. 0 1 1 0
计算机组成原理
所以
x＋y＝0.0110
4
3.补码减法
补码减法运算的公式：
[ x －y ]补＝[ x ]补－[ y ]补＝[ x ]补＋[－y ]补
两数差的补码等于两数补码之差
[y]补=1.0101
1 .1 0 1 0 1
[x]补 + [y]补
1. 0 0 1 1 1. 0 1 0 1
+ 1 .1 1 0 0 0
[x+y]补 0. 1 0 0 0
1 1 .0 1 1 0 1
两个负数相加的结果成为正数，这同样是错误的。
计算机组成原理
正常结果
8
2.溢出的检测方法
[x]补 + [y]补
随之扩大，既能判别是否溢出，又能指出结果的符号。
双符号位法也称为“变形补码”或“模4补码” 。 定点小数变形补码定义：
x
[x]补=
4+x
0 x<1 -1 x<0
（mod 4)
字长n+2定点整数，变形补码定义：
[x]补=
x 2n+2+ x
n
0 x<2
（mod 2 n+2
)
-2 nx<0
计算机组成原理
12
2补码加减法运算详解
[x]补 ＋[ y ] 补 0. 1 0 1 1 1. 1 0 1 1
解:
[x]补＝0.1011,
[ x ＋y ] 补
计算机组成原理
1 0. 0 1 1 0
所以
x＋y＝0.0110
4
3.补码减法
补码减法运算的公式： [ x －y ] 补＝[ x ] 补－[ y ] 补＝[ x ] 补＋[ －y ] 补
V ＝C f ⊕C o
其中Cf为符号位产生的进位,Co为最高有效位产生的进位。 此逻辑表达式也可用异或门实现。 V＝C1⊕Co 判断电路
c0 x0 y0 c1 x1 y1
FA
z0
V
FA
z1
11
计算机组成原理
(3)双符号位法 一个符号位只能表示正、负两种情况，当产生溢出时，符号位的含义就 会发生混乱。如果将符号位扩充为两位(Sf1、Sf2)，其所能表示的信息量将 随之扩大，既能判别是否溢出，又能指出结果的符号。 双符号位法也称为“变形补码”或“模4补码” 。 定点小数变形补码定义： 0 x<1 -1 x<0 0 x<2 n -2 x<0 n （mod 2
机器定点小数表示 发生溢出的原因，是因为运算结果超出编码所能表示的数字大小。 两个正数相加: 结果大于机器所能表示的最大正数，称为上溢； 两个负数相加：结果小于机器所能表示的最小负数，称为下溢。
计算机组成原理 7
例：x=+0.1011, y=+0.1001,
解： [x]补=0.1011 [x]补 + [y]补 [x+y]补
两数差的补码等于两数补码之差
公式证明： 只要证明[–y]补＝ –[y]补, 上式即得证。 证明：
计算机补码的减法计算公式
计算机补码的减法计算公式在计算机中，补码是一种表示负数的方法，它可以简化负数的运算，并且可以避免负数的溢出问题。
补码的减法计算公式是计算机中常用的一种减法运算方法，它能够准确地计算出两个数的差值。
下面我们来详细介绍一下计算机补码的减法计算公式。
1. 补码的表示方法。
在计算机中，补码是一种用来表示负数的方法。
在补码中，正数的补码和原码相同，而负数的补码是其绝对值的原码按位取反，然后再加1。
比如，-5的原码是10000101，那么它的补码就是11111011。
这样的表示方法可以简化负数的运算，并且可以避免负数的溢出问题。
2. 补码的减法运算规则。
在计算机中，补码的减法运算规则是非常简单的。
首先，我们需要将减数的补码取反，然后再加1，得到减数的补码。
然后，将被减数的补码和减数的补码相加，得到结果的补码。
最后，将结果的补码转换成原码，就得到了最终的差值。
3. 补码的减法计算公式。
补码的减法计算公式可以用如下的步骤来表示：Step 1: 将减数的补码取反，然后加1，得到减数的补码。
Step 2: 将被减数的补码和减数的补码相加，得到结果的补码。
Step 3: 将结果的补码转换成原码，得到最终的差值。
举个例子来说明补码的减法计算公式。
假设我们要计算7-3的差值。
首先，我们需要将3的补码取反，然后加1，得到-3的补码为11111101。
然后，我们将7的补码和-3的补码相加，得到结果的补码为00000100。
最后，我们将结果的补码转换成原码，得到最终的差值为4。
4. 补码的减法计算实例。
下面我们来举一个更加复杂的例子来说明补码的减法计算公式。
假设我们要计算-5-3的差值。
首先，我们需要将3的补码取反，然后加1，得到-3的补码为11111101。
然后，我们将-5的补码和-3的补码相加，得到结果的补码为11111010。
最后，我们将结果的补码转换成原码，得到最终的差值为-8。
5. 补码的减法计算注意事项。
在进行补码的减法计算时，需要注意一些细节问题。
二进制减法运算法则补码
二进制减法运算法则补码
二进制减法的运算法则与补码表示密切相关，补码是一种表示有符号整数的方法，可以简化二进制减法运算。
以下是二进制减法的运算法则以及如何使用补码进行减法运算的步骤：
1. 二进制减法法则：
在二进制减法中，我们可以将减法转化为加法，通过求差的补码来实现。
具体做法是将被减数取其补码（反码加1），然后将减数加上被减数的补码。
这等效于执行两个二进制数的加法运算。
2. 使用补码进行二进制减法：
a. 将减法问题转化为加法问题：要计算A -B，首先求B 的补码（将B 的每个位取反后加1）得到-B。
b. 将-B 与A 相加：将-B 与A 相加，即计算A + (-B)。
c. 忽略最高位的进位：在结果中，忽略最高位的进位。
如果进位发生，表示减法结果为负数。
d. 如果结果最高位为1，表示结果为负数：如果结果最高位为1，则表示减法结果为负数，需要将结果取反并加1，得到最终结果。
使用补码进行二进制减法的好处在于，它允许在计算机中用相同的硬件逻辑来执行加法和减法操作，从而简化了运算逻辑。
举例说明：
假设要计算5 - 3（即0101 - 0011）：
1. 求3 的补码：0011 的补码是1101。
2. 将1101 与0101 相加，得到0101 + 1101 = 10010（忽略最高位的进位）。
3. 结果最高位为1，表示结果为负数，因此需要将结果取反并加1，得到最终结果：0110，即6。
需要注意的是，二进制减法中的借位操作可以通过使用补码来避免，从而简化运算过程。
这在计算机系统中非常有用，因为计算机可以使用硬件逻辑来执行补码加法，进而实现减法运算。
计算机系统 补码加减法运算
进位
A + B= 01010
3. 反码加减法的硬件配置
A、B 均 n+1 位
1. 移码表示法
定义 [x]移 = 2n + x（2n＞x ≥ 2n）
x 为真值，n 为 整数的位数
移码在数轴上的表示
0
2n 2n+1–1
+ [B]补 = 1 . 1 0 1 1
– 0.0101
[A]补 + [B]补 = 1 0 . 0 1 1 0 = [A + B]补 0.0110
∴A+B= 0.0110
例 ３.19 设 A = –9，B = –5
求 [A+B]补 解： [A]补 = 1 0 1 1 1
+ [B]补 = 1 1 0 1 1
+ [-B]补 = 1 0 1 0 1
[A]移 + [-B]补 = 1 0 0 0 0
3. 移码加减法的硬件配置
A、B 均 n+1 位
3.2.2 加减法运算的溢出处理(补码运算） 当运算结果超出机器数所能表示的
范围时，称为溢出。显然，两个异号数 相加或两个同号数相减，其结果是不会 溢出的。仅当两个同号数相加或者两个 异号数相减时，才有可能发生溢出的情 况，一旦溢出，运算结果就不正确了， 因此必须将溢出的情况检查出来。 今以4位二进制补码正整数加法运算为 例说明如下：
101101
⑥-14+1= -13 10010
+00001 10011
在上例中，①、②、⑤和⑥得出正确结 果，③和④为溢出。
•今以fA,fB表示两操作数(A、B)的符号位， fS为结果的符号位。符号位fA、fB直接参 与运算，它所产生的进位以Cf表示。在 以2n+1为模的运算中符号位有进位，并不 一定表果C=Cf, 运算结果正确，其中C为数值最高位的 进位，Cf为符号位的进位。如果C≠Cf， 则为溢出，所以溢出条件=C Cf。例3.11 中的③和④即为这种情况。其逻辑电路 见图3.2。
补码的加减及溢出判断、加法器
补码的加减及溢出判断、加法器补码的加减法：加法：整数： [A]补 + [B]补 = [A+B]补（mod 2^(n+1)）⼩数： [A]补 + [B]补 = [A+B]补（mod 2）减法：整数： [A-B]补 = [A]补 + [-B]补（mod 2^(n+1)）⼩数： [A-B]补 = [A]补 + [-B]补（mod 2）补码加法运算溢出判断三种⽅法：［⽅法⼀］Xf、Yf分别两个数的符号位,Zf为运算结果符号位。
当Xf =Yf =0（两数同为正）,⽽Zf=1(结果为负)时,负溢出；当出现Xf =Yf =1（两数同为负）,⽽Zf=0（结果为正），正溢出.［⽅法⼆］（就是下⽂加法器⾥的溢出标志OF判断：OF=Cn (异或) Cn-1）Cs表⽰符号位的进位，Cp表⽰最⾼数值位进位，⊕表⽰异或。
若 Cs⊕Cp =0 ，⽆溢出；若 Cs⊕Cp =1 ，有溢出。
［⽅法三］⽤变形补码进⾏双符号位运算（正数符为00,负数符号以11）若运算结果的符号位为"01",则正溢；若结果双符号为10,则负溢出；若结果的双符号位为00或11，⽆溢出加法器：溢出标志OF：OF=Cn (异或) Cn-1符号标志SF：SF=Fn-1零标志ZF=1 当且仅当F=0；进位/借位标志CF：CF=Cout (异或) SUB / CF=Cout (异或)Cin做加法时，主要判断是否溢出⽆符号加法溢出条件：CF=1带符号加法溢出条件：OF=1带符号溢出判断: （ OF=1 ）(1) 最⾼位和次⾼位的进位不同(2) 和的符号位和加数的符号位不同。
补码加减法运算
[-y]补=0.0110
[x]补 + [-y]补
[x-y]补
计算机组成原理
1.0 0 1 1 0.0 1 1 0 1.1 0 0 1
∴x －y = - 0.0111
6
溢出及与检测方法
1.概念
在定点小数机器中,数的表示范围为|ｘ|<1。在运算过程中如出现大于1
的现象,称为 “溢出”。
下溢
上溢
机器定点小数表示
T通常采用一个 “与非”门或一 个“或非”门的 时间延迟来作为 度量单位。
20
(1)对一位全加器(FA)来说，Si的时间延迟为6T(每级异或门延迟3T)； Ci＋1的时间延迟为5T。
Ci+1
Si
≥1
=1
&
&
=1
计算机组成原理
Ci
Ai Bi
21
(2)n位行波进位加法器的延迟时间ta为： 考虑溢出检测时，有： ta＝n·2T＋9T＝(2n＋9)T
发生溢出的原因，是因为运算结果超出编码所能表示的数字大小。 两个正数相加: 结果大于机器所能表示的最大正数，称为上溢； 两个负数相加：结果小于机器所能表示的最小负数，称为下溢。
计算机组成原理
7
例：x=+0.1011, y=+0.1001, 求x+y。
解：
[x]补=0.1011
[y]补=0.1001
计算机组成原理
补码加减法运算
2020年5月26日
计算机组成原理
1
补码加减法运算
1.原码加/减法运算
加法规则： 先判符号位，若相同，绝对值相加，结果符号不变; 若不同，则作减
法， |大| - |小|，结果符号与|大|相同。 减法规则：
计算机原理(岳乡成)补码加减法运算(公开课)
范围，计算结果错误，就是所谓的溢出。
如何判断两个数在补码运算中是否会产生溢出： 判断的方法：双进位溢出判断法。 说明：使用这方法，要引入两个符号cs和cs+1，cs用来表示参加运算 的两个有符号数中数值位的最高位是否有向符号位进位的情况，有 进位，则cs=1，否则cs=0。Cs+1用来表示符号位是否有向更高位进位 的情况，有进位，则cs+1=1，否则cs+1=0。通过判断cs与cs+1的状态来 判断是否产生溢出，如果cs与cs+1相同（即cs与cs+1同时为0，或同时 为1），则不产生溢出；如果cs与cs+1相异（即cs和cs+1一个为0，一个 为1），则产生溢出。
计算机组成原理
9
计算机组成原理
3
2.补码减法
补码减法运算的规则：
[ x －y ]补＝[ x ]补－[ y ]补＝[ x ]补＋[－y ]补(mod 2n)
两数差的补码等于两数补码之差
减法运算化为加法完成。关键是求[-Y]补
计算机组成原理
4
例： 解：
x= -0.1101，y= -0.0110，求x-y=? [x]补=1.0011 + [y]补=1.1010 [-y]补=0.0110
计算机组成原理
第三章复习1 补码加减法运算及溢 出的判断
计算机组成原理
1
1.补码加法运算 补码加法的规则: [ x ] 补＋[ y ] 补＝[ x ＋y ] 补
(mod 2n)
任意两数的补码之和等于该两数之和的补码，这是补码加法的理论基础。
补码加法的特点： （1）符号位要作为数的一部分一起参加运算； （2）在模2的意义下相加，即符号位之前多出的位为模，做丢失处理。
2补码加减法运算
[x]补=00.1100 [x]补 + [y]补
[y]补=11.1000 1 1. 0 1 0 0 1 1. 1 0 0 0 1 0. 1 1 0 0 符号位出现“10”，表示已溢出，负溢出。即结果小于-1
0. 1 0 0 1 1. 0 1 0 0
[x]补
1. 0 0 1 1
+
[y]补
[x+y]补
1. 0 1 0 1
0. 1 0 0 0
(1)单符号位检测方法1 设两数符号位分别为 S1、S2 和数符号位 SC 溢出逻辑表达式为：
x 0 y 0
FA
z 0
V ＝S 1 S 2 S c + S 1 S 2 S c
0 .1 0 1 0 1 + 0 .1 1 0 0 0
1 .0 0 1 0 1 + 1 .1 1 0 0 0 1 0 .1 1 1 0 1
Cf = 1，Cn = 0
10
1 .0 1 1 0 1
Cf = 0，Cn = 1
计算机组成原理
从上面例中看到： 当最高有效位有进位而符号位无进位时,产生上溢； 当最高有效位无进位而符号位有进位时,产生下溢。 （简单地说是正数相加为负数或负数相加为正数则产生溢出） 故溢出逻辑表达式为：
Si 0 1 1 0 1 0 0 1
输出 Ci＋1 0 0 0 1 0 1 1 1
Si Ci+1 FA Ci
Ai
Bi
一位全加器
17
逻辑方程
Si Ai Bi Ci
Ci 1 Ai Bi ( Ai Bi )Ci
补码加减法运算(计算机组成原理)课件
补码加减法运算在计算机中的局限性
符号位处理
在补码加减法中，符号位需要单独处理，增加了计算的复杂性。
对负数运算的支持有限
虽然补码表示法可以处理负数，但对于某些复杂的负数运算（如乘 除法），可能需要额外的处理方法。
缺乏直观性
补码表示法和人类常用的十进制表示法不同，导致初学者难以理解 。
04
补码加减法运算的 实例分析
对于计算机专业的学生和研究者来说 ，掌握补码加减法是学习计算机组成 原理和深入了解计算机体系结构的基 础。在此基础上，可以进一步探索其 他数值表示和运算方法。
在实际应用中，如何优化补码加减法 的运算速度和精度，以及如何将其更 好地应用于各种不同领域，是值得进 一步研究的问题。同时，随着量子计 算等新型计算技术的发展，数值运算 的方法和原理也可能会发生变化，需 要保持关注和学习。
溢出及其处理
溢出的概念
在进行补码加减法运算时，如果结果超出了数据类型的表 示范围，就会产生溢出。溢出会导致计算结果的错误。
溢出的判断
判断是否溢出可以通过检查运算结果的符号位和最高位（进位） 来实现。如果符号位和最高位（进位）不同，则说明产生了溢出
。
溢出的处理
处理溢出的方法有多种，包括检测溢出后进行相应的处理、采用 有符号数乘除法等方法。在实际应用中应根据具体情况选择合适
补码加法运算的实例
假设有两个补码表示的二进制数X和Y，其中X=+1010，Y=-0101，则X+Y=+1010+(0101)=+0101，因为结果的符号位为0，所以结果为正数，即X+Y=+5。
补码的减法运算
补码减法运算的规 则
在进行补码减法运算时，首先 将减数取反加1得到相应的正 数，然后将这个正数与被减数 相加，最后根据结果的符号位 确定结果的符号，正数符号位 为0，负数符号位为1。
补码的加减运算
数字逻辑概论华中科技大学罗杰补码的加减运算加减运算是计算机中最基本的运算。
加减运算可以用原码、补码、BCD码等各种码制进行。
补码运算可以把减法转换为加法，现代计算机中均采用补码进行加减运算。
◆假设X和Y均为正数，则补码的运算规则如下：[ X ]补+ [ Y ]补= [ X+Y ]补（mod M）两个数的补码之和等于两数之和的补码。
[ X ]补-[ Y ]补= [ X ]补+ [ -Y ]补= [ X-Y ]补（mod M）两个数的补码之差等于两数之差的补码。
◆注意：参与运算的操作数均为补码，运算的结果仍然以补码表示。
运算时，符号位和数值位按同样的规则参加运算，结果的符号位由运算得出。
补码总是对确定的模而言，如果运算结果超过了模，则应将模（即进位）丢掉才能得到正确结果。
求15 –13 = ？(用补码)0000110100001111(15)(13)( 2 )000000100000111111110011+(15)补(-13)补( 2)补1进位111000000101111舍弃进位∵(15–13)补= (15 )补–(13)补= (15 )补+ (–13)补直接做减法运算转换为补码做加法运算◆注意：在进行二进制补码的加法运算时，被加数与加数的位数要相等，即让两个二进制数补码的符号位对齐。
两个二进制数的补码要采用相同的位数表示。
求13 –15 = ？(用补码)1111000100001101+(13)补(-15)补(-2)补0进位00011111110010∵（13-15 )补= (13 )补+ (–15)补求–13 –15 = ？(用补码)1111000111110011+(-13)补(-15)补(-28)补0进位11011100100111因为（-13-15 )补= (-13 )补+ (–15)补1舍弃进位求125+58 = ？(用补码)0011101001111101+(125)补( 58)补(183)补进位111101101111因为（125+58 )补= (125)补+ (58)补错误原因是:8位有符号数所能表示的补码数的最大值为127.这里，183 > 127，导致结果错误。