人教高中A版必修一数学《第4章 4.1 第2课时 指数幂及运算》课件PPT模板
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人教A版高中数学必修第一册第4章4-2第2课时指数函数的图象和性质课件
发现规律 比较幂大小的方法 (1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指__数__函__数__的单调性来 判断． (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂__函__数__的单调性来 判断． (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中__间__量__来判断． (4)当底数含参数时，如比较a3，a2的大小时，要按底数a>1和0<a<1 两种情况分类讨论．
×
02
关键能力·合作探究释疑难
类型1 指数函数的图象 类型2 指数函数的图象的应用 类型3 利用指数函数的单调性比较大小
◆ 类型1 指数函数的图象 【例1】 如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图 象，则a，b，c，d与1的大小关系是( ) A．a＜b＜1＜c＜d
√B．b＜a＜1＜d＜c
[跟进训练]
2．(1)函数f (x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结
论正确的是( )
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0<a<1，b<0
D 由于f (x)在R上单调递减，所以0<a<1，
又0<f (0)<1，所以0<a－b<1＝a0，即－b>0，所以b<0，故选D．
(2)利用函数y＝f (x)＝2x的图象，作出下列各函数的图象： ①f (x－1)；②f (|x|)；③f (x)－1；④－f (x)；⑤|f (x)－1|． [解] 利用指数函数y＝2x的图象及变换作图法可作出所要作的函数 图象．如图所示．
①
②
③
④
⑤
反思领悟 指数函数图象问题的处理技巧 (1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点． (2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的奇偶性与单调性．奇偶性确定函数的对称情况，单调 性决定函数图象的走势．
人教A版必修一数学课件：2.1.1指数与指数幂的运算(第2课时指数幂及运算)(2).pptx
amn ＝n am(a>0，m，n∈N*，且 n>1)． (2)规定正数的负分数指数幂的意义是： a－mn ＝ 1m(a>0，m，n∈N*，且 n>1)；
an (3)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数 幂无意义．
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2
2．有理指数幂的运算性质 (1)ar·as＝(aar>＋0s ，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝(aa>rs0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝(>a0rb，r)b>0，r∈Q)． 3．无理数指数幂 无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有 理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．
解决此类问题的一般步骤是
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17
3.若将本例中条件改为x2＋x－2＝4，怎样求x＋x－1的值．
【解析】 ∵x2＋x－2＝4 ∴(x＋x－1)2－2＝4 ∴(x＋x－1)2＝6 ∴x＋x－1＝± 6.
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18
1．正确理解分数指数幂概念
对于分数指数幂概念的理解应注意以下问题：
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7
(1)此类问题应熟练应用 amn ＝n am(a>0，m， n∈N*，且 n>1)．当所求根式含有多重根号时， 要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出， 然后再用性质进行化简．
(2)分数指数幂是根式的另一种写法，分数指 数幂与根式可以相互转化．
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8
1.用分数指数幂表示下列各式． (1) a3 (a>0)；
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3
1．a48＝a12成立吗？ 【提示】 不一定．当 a≥0 时，a48＝a12，当 a<0， a12无意义，则 a48≠a12. 2．分数指数幂与整数指数幂的区别与联系是什 么？
an (3)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数 幂无意义．
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2．有理指数幂的运算性质 (1)ar·as＝(aar>＋0s ，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝(aa>rs0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝(>a0rb，r)b>0，r∈Q)． 3．无理数指数幂 无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有 理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．
解决此类问题的一般步骤是
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3.若将本例中条件改为x2＋x－2＝4，怎样求x＋x－1的值．
【解析】 ∵x2＋x－2＝4 ∴(x＋x－1)2－2＝4 ∴(x＋x－1)2＝6 ∴x＋x－1＝± 6.
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1．正确理解分数指数幂概念
对于分数指数幂概念的理解应注意以下问题：
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(1)此类问题应熟练应用 amn ＝n am(a>0，m， n∈N*，且 n>1)．当所求根式含有多重根号时， 要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出， 然后再用性质进行化简．
(2)分数指数幂是根式的另一种写法，分数指 数幂与根式可以相互转化．
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1.用分数指数幂表示下列各式． (1) a3 (a>0)；
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1．a48＝a12成立吗？ 【提示】 不一定．当 a≥0 时，a48＝a12，当 a<0， a12无意义，则 a48≠a12. 2．分数指数幂与整数指数幂的区别与联系是什 么？
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 课件(共21张PPT高一上学期数学 人教A版必修第一册
思
.
、
自研教材107-108页，导学案177-179页，课时练85-86页，思考
以下问题：
2
1.类比无理数的发现和确定过程，如何理解5 的意义？
2.无理数指数幂的含义是什么？
3.实数指数幂的运算性质是什么？与有理数指数幂的
运算性质有何区别？
4. 如何用a m , an 表示am-2n ？a1/2+a-1/2和a+a-1有怎样的联
过用连分数近似表示的方法得到,如
3.14159265=3+
1
1
0.14159265
≈3+
1
7+0.0625135
1 22
≈3+ = ,舍去 0.0625135,得到逼近的一个
7
7
1 22
有理数为 3+ = ,类似地,把 2化为连分数形式:1+
7
7
1
+
1
+
1
+
到 1 之间的无理数),舍去 r 得到逼近 2的一个有理数为
系？
高一数学组
海阔凭鱼跃，天高任鸟飞
展评
无理数指数幂
类比无理数的发现和确定过程，如何理解5
2
的意义？
每一个无理数都是一个定值，能够用数轴上的一个点表示.
的值呢？
那么，如果不用计算器，我们如何来估算
.
海阔凭鱼跃，天高任鸟飞
展评
小数位数相同的 2的过剩近似值与不足近似值的差是有规律的：
.
海阔凭鱼跃，天高任鸟飞
7-9
2+2+3-2 2
-2
1
=4 =4 = .
16
人教A版数学必修一指数与指数幂的运算(二).pptx
推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以 推广到有理数指数幂．有理指数幂的运算性质：
目 链 接
(1)ar·as＝__a_r_＋_s___(a＞0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝____a_rs___(a＞0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝___a_rb_r___(a＞0，b＞0，r∈Q)．
目
6．a3＋b3＝ ______________(a_＋__b_)_(_a_2－__a_b_＋__b_2_)________________________.
链 接
自测 自评
栏 目 链 接
自测 自评
栏
目
链
C
接
自测 自评
9 栏 目 链 接
栏 目 链 接
题型一分数指数幂与跟式的互化 例1将下列分数指数幂化为根式：
栏 目 链 接
基础 梳理
1．分数指数幂． (1)正的分数指数幂的意义 ______0_的__正__分__数__指__数__幂__等__于__0_,0_的__负__分__数__指__数__幂__没__有__意__义__．___．
2．规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数 栏
空白演示
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第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.1 指数函数
2.1.2 指数与指数幂的运算(二)
栏 目 链 接
1．理解分数指数幂的概念．
2．掌握根式与分数指数幂的互化．
栏
3．掌握有理数指数幂的运算．
目 链
4．掌握根式与分数指数幂的运算．
接
5．准确运用分数指数幂的运算性质进行计算．
基础 梳理
3．设a是无理数，aα(a＞0)是一个确定的实数．有理数指
高中数学必修第一册人教A版4.1.2《无理指数幂及实数指数幂的运算》名师课件
973
039
174
928
765
705
736
探究新知
2的过剩近似值
1.5
1.42
1.415
1.414 3
1.414 22
1.414 214
1.414 213 6
1.414 213 57
1.414 213 563
5
2
的过剩近似值
11.180 339 89
9.829 635 328
9.750 851 808
2
1
3
+ 2
1
3
=
1
3
1
3
, =
+
， 2
1
1
+
+
1
3
= .
1
3
1
2 3
1
3
, =
1
3
=
1
1
3
1
3
1
，3
1
3
1
3
1
3
= = = ，
.
，∴
1
3
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3
1
+ 3
1
3
= + + .
1
+ 3
=
1
3
+
1
3
+
1
3
方法归纳
指数幂等式的证明问题的解题思路与常用技巧
1
2
32
1
−2
所以 +
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探究新知
2的过剩近似值
1.5
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1.414 3
1.414 22
1.414 214
1.414 213 6
1.414 213 57
1.414 213 563
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的过剩近似值
11.180 339 89
9.829 635 328
9.750 851 808
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+ 2
1
3
=
1
3
1
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, =
+
， 2
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1
+
+
1
3
= .
1
3
1
2 3
1
3
, =
1
3
=
1
1
3
1
3
1
，3
1
3
1
3
1
3
= = = ，
.
，∴
1
3
1
3
1
+ 3
1
3
= + + .
1
+ 3
=
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3
+
1
3
+
1
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方法归纳
指数幂等式的证明问题的解题思路与常用技巧
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1
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所以 +
高中数学必修一(人教版)《4.1 指数》课件
根式的互化． 3.借助指数幂的运算性质对代数式化
4.掌握指数的运算性质，会利用整体代换 简或求值，培养数学运算素养.
的思想求值.
知识点一 根式的概念及其性质
(一)教材梳理填空
1．n次方根的概念： 一般地，如果 xn＝a，那么_x__叫做 a 的 n次方根 ，其中 n
定义 ＞1，且 n∈N *
a＞0 n 是奇数
[方法技巧] 根式化简应遵循的三个原则
(1)被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式． (2)被开方数是带分数的要化成假分数． (3)被开方数中不能含有分母；使用 ab＝ a· b(a≥0，b≥0)化简时，被开 方数如果不是乘积形式必须先化成乘积的形式．
【对点练清】
4
4
5
4
1．在① －42n，② －42n＋1，③ a4，④ a5(n∈N ，a∈R )中，一定有意义
3．实数指数幂的运算性质： (1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)． (2)(ar)s＝ ars (a＞0，r，s∈R)． (3)(ab)r＝ arbr (a＞0，b＞0，r∈R)．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)(－a4b2)·(－ab2)3＝a7b8.
()
(2)(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3.
指数幂
数幂
规定：a
m n
＝
＝____(a＞0，m，n∈N *，n＞1)
性质
0 的正分数指数幂等于 0 ,0 的负分数指数幂 没有意义
n
[微思考]
在分数指数幂与根式的互化公式
a
m n
＝
am中，为什么必须规
定 a>0?
n
m
提示：①若 a＝0,0 的正分数指数幂恒等于 0，即 am＝a n ＝0，无研究
4.掌握指数的运算性质，会利用整体代换 简或求值，培养数学运算素养.
的思想求值.
知识点一 根式的概念及其性质
(一)教材梳理填空
1．n次方根的概念： 一般地，如果 xn＝a，那么_x__叫做 a 的 n次方根 ，其中 n
定义 ＞1，且 n∈N *
a＞0 n 是奇数
[方法技巧] 根式化简应遵循的三个原则
(1)被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式． (2)被开方数是带分数的要化成假分数． (3)被开方数中不能含有分母；使用 ab＝ a· b(a≥0，b≥0)化简时，被开 方数如果不是乘积形式必须先化成乘积的形式．
【对点练清】
4
4
5
4
1．在① －42n，② －42n＋1，③ a4，④ a5(n∈N ，a∈R )中，一定有意义
3．实数指数幂的运算性质： (1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)． (2)(ar)s＝ ars (a＞0，r，s∈R)． (3)(ab)r＝ arbr (a＞0，b＞0，r∈R)．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)(－a4b2)·(－ab2)3＝a7b8.
()
(2)(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3.
指数幂
数幂
规定：a
m n
＝
＝____(a＞0，m，n∈N *，n＞1)
性质
0 的正分数指数幂等于 0 ,0 的负分数指数幂 没有意义
n
[微思考]
在分数指数幂与根式的互化公式
a
m n
＝
am中，为什么必须规
定 a>0?
n
m
提示：①若 a＝0,0 的正分数指数幂恒等于 0，即 am＝a n ＝0，无研究
4.1指数课件-高一数学人教A版必修一
2
(1)8 3 ，
(2)
(
16
－3
)4
81
2
83
2
(23 )3
3 2
23
22
4
(
16
)
3 4
(
2
4(
)
3 4
)
( 2)3
27
81
3
3
8
例3、用分数指数幂的情势表示下列各式：
(1)a 2 3 a 2 ; (2) a 3 a .
练习：a a a
2
a2 a3
2 2
a 3
8
a3
11
(a a 3 )2
an
4
例如，53
1
1
2
，a 3
1
1
4
53
3 54
2
a3
3 a2
3、0的正分数指数幂等于0，
0的负分数指数幂没有意义.
说明： (1)分数指数幂的意义只是一种规定，前面所举的例子只表示这种规 定的合理性； (2)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到 了有理数指数； (3)关于整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用，即对 任意有理数r，s，均有下面的性质：
a
2 1
a
2 1
.
a 2a 2
(1) 7
(2) 47
(3) 8
若a
0且a
1
1
7，求a 2
1
1
a 2及a 2
1
a 2的值.
a
解 ：∵ a 0且a 1 7， a
1
所 以(a 2
a
1 2
)2
a
人教A版必修一4.1指数课件
我们再规定，0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义.
分数指数幂是什么？
【问题1】
可以理解为
个 相乘吗？
不可以.显然
法，如
不是半个 相乘，它的实质是根式的另一种写
.在这样的规定下，根式与分数指数幂就是表示相同意义
=
的量，只是情势不同
【问题2】分数指数能约分吗？
因为在实数的定义里，两个数的
【4】 0的任何次方根都是0.记作： =
偶次方根结果是非负数，即任意实数
的偶次方是非负数.
什么是根式？
【定义】式子
叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
根指数
被开方数
根据n次方根的定义，
可得：
比如：
−
=，
= ,
= −
【1】
研究的一般性要求：
> , >
，
此时法则一定成立.
③
= > , ∈
【1】求下列各式的值.
(1)
【解】(1)
(2)
=
(2)
=
−
=
16
81
3
−
4
=
=
=
=
=
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幂
0 的负分数指数幂_没__有_意义
6
思考：在分数指数幂与根式的互化公式
m
an＝
n
am中，为什么必须规定
a>0?
提示：①若
a＝0,0
的正分数指数幂恒等于
0，即n
m
am＝an＝0，无研究
价值．
②若
a<0，amn＝n
3
am不一定成立，如(－2)2＝
2
－23无意义，故为了避
免上述情况规定了 a>0.
7
2．有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ ar＋s (a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ ars (a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝ arbr (a>0，b>0，r∈Q)． 3．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂 aα(a>0，α 是无理数)是一个确定的实数 ．有理 数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
a12＋a－12＝4 ―两―边―平―方→ 得a＋a－1的值 ―两―边―平―方→
得a2＋a－2的值
[解] (1)将a12＋a－12＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14. (2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.
25
1．在本例条件不变的条件下，求a－a－1的值． [解] 令a－a－1＝t，则两边平方得a2＋a－2＝t2＋2， ∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±8 3，即a－a－1＝±8 3. 2．在本例条件不变的条件下，求a2－a－2的值． [解] 由上题可知，a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±8 3×14＝±112 3.
12
03 巩固练习
根式与分数指数幂的互化 【例 1】 将下列根式化成分数指数幂的形式： (1) a a(a>0)；(2) 1 ；
3 x5 x22
(3)4 b－23－23(b>0)．
14
[解]
(1)原式＝
a·a12＝
a ＝ a ＝a . 3 2
3212
3 4
(2)原式＝ 3
1＝ x·x252 3
C.
1
45
D.5 4
B [425＝5 42＝5 16，故选B.]
10
3．已知 a>0，则 a－23等于( )
A. a3
B. 1 3 a2
C.
1 a3
D．－3 a2
B [a－23＝ 12＝ 1 .] a3 3 a2
11
4．(m12)4＋(－1)0＝________.
m2＋1 [(m12)4＋(－1)0＝m2＋1.]
2．解决较复杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化求解的“利 器”．
28
04 拓展延伸
1．思考辨析 (1)0 的任何指数幂都等于 0.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
26
解决条件求值的思路 1在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或 先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入 法求值. 2在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用.
27
1．对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方 便使用同底数幂的运算律．
1 1 1 1 －35
＝3 ＝ x ＝x ＝x . 4
9
9513
3 5
x·x5 x5
(3)原式＝ b ＝b ＝b .
－2314－23
－23×14×－23
1 9
15
根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数 指数
分数指
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用 有理数指数幂的运算性质解题．
2．已知 a＋ 1a的值，如何求a＋1a的值？反之呢？
提示：设 a＋ 1a＝m，则两边平方得a＋1a＝m2－2；反之若设a＋1a＝
n，则n＝m2－2，∴m＝
n＋2.即
a＋
1＝ a
n＋2.
24
【例 3】 已知 a12＋a－12＝4，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.
[思路点拨]
对代数式进行化简或求值．(重点) 化简或求值，培养数学运算素养.
4
02 新知探究
1．分数指数幂的意义 正分数指数幂 规定：amn＝_n__a_m_(a>0，m，n∈N*，且 n>1)
分数指 数幂
负分数指数幂 规定：a－mn＝a1mn＝__n_1_a_m_ (a>0，m，n∈N*，且 n>1)
0 的分数指数 0 的正分数指数幂等于_0_，
8
A [a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝ 1．下列运算结果中，正确的是 －a6≠(－a3)2＝a6；( a－1)0＝1，若
() A．a2a3＝a5
成立，需要满足a≠1，故选A.]
B．(－a2)3＝(－a3)2
C．( a－1)0＝1
D．(－a2)3＝a6
9
2．425等于(
)
A．25
B.5 16
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
第2课时 指数幂及运算
人教高中A版必修一数学课件
CONTENT
学习目标
新知探究
巩固练习
拓展延伸
01 学习目标
学习目标
核心素养
1.理解分数指数幂的含义，掌握根式 1.通过分数指数幂、运算性质的推
与分数指数幂的互化．(重点、难点) 导，培养逻辑推理素养．
2．掌握实数指数幂的运算性质，并能 2．借助指数幂的运算性质对代数式
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1．将下列根式与分数指数幂进行互化：
(1)a3·3 a2；(2) a－4b23 ab2(a>0，b>0)．
[解] (1)a3·3 a2＝a3·a23＝a3＋23＝a131.
(2) a－4b23 ab2＝ a－4b2·ab213
＝
a－4b2a13b23＝
a b －131
8 3
＝a b . －161
4 3
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利用分数指数幂的运算性质化简求解 【例 2】 化简求值：
18
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指数幂运算的常用技巧 1有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算. 2负指数幂化为正指数幂的倒数. 3底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然 后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质. 提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母 又含有负指数.
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2．(1)计算：2530＋2－2×241－12－(0.01)0.5；
3 (2)化简：
7
a2
a－3÷
3 a－8·3 a15÷
3 a－3· a－1(a>0)．
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指数幂运算中的条件求值 [探究问题] 1.a＋1a2 和a－1a2 存在怎样的等量关系？ 提示：a＋1a2＝a－1a2＋4.
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