2012文科数学回归教材 3导数
2012年高考数学试题分类汇编第三部分导数及其应用
第三部分导数及其应用（2012年广东卷理）12．曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为__________．(2012年安徽文)（17）（本小题满分12分）设定义在（0，+∞）上的函数1()(0)f x ax b a ax =++> （Ⅰ）求()f x 的最小值；（Ⅱ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为32y x =，求,a b 的值。
【解析】（I ）1()2f x ax b b b ax =++≥=+ 当且仅当11()ax x a==时，()f x 的最小值为2b + （II ）由题意得：313(1)22f a b a =⇔++= ① 2113()(1)2f x a f a ax a ''=-⇒=-= ② 由①②得：2,1a b ==-（2012重庆卷理）（8）设函数()f x 在R 上可导，其导函数为,()f x ，且函数,(1)()y x f x =-的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（A ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f（B ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f（C ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -（D ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f（2012重庆卷理）(16) （本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.） 设13()ln 1,22f x a x x x =+++其中a R ∈，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴.（Ⅰ） 求a 的值；（Ⅱ） 求函数()f x 的极值.(2012年重庆卷文)（8）设函数f （x ）在R 上可导，其导函数为f ′（x ），且函数f （x ）在x=-2处取得极小值，则函数y=xf ′（x ）的图像可能是(2012年重庆卷文)（17）(本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分。
高中数学回归课本(导数)
1 / 5回归课本(十四)导数一．考试内容：导数的概念.导数的几何意义.几种常见函数的导数.两个函数的和、差、积、商和导数.复习函数的导数.基本导数公式.利用导数研究函数的单调性和极值.函数的最大值和最小值.二．考试要求：(1)了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.(2)熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.(3)理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.三．基础知识:1.)(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商）000000()()()lim limx x x x f x x f x yf x y x x=∆→∆→+∆-∆''===∆∆. 2.瞬时速度00()()()lim limt t s s t t s t s t t tυ∆→∆→∆+∆-'===∆∆. 3.瞬时加速度00()()()lim limt t v v t t v t a v t t t∆→∆→∆+∆-'===∆∆. 4.)(x f 在),(b a 的导数()dy df f x y dx dx ''===00()()lim limx x y f x x f x x x∆→∆→∆+∆-==∆∆. 5. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.6.几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数）.(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='. (4) x x sin )(cos -='. (5) x x 1)(ln ='；e a xx a log 1)(log ='. (6) x x e e =')(; a a a xx ln )(='.7.导数的运算法则（1）'''()u v u v ±=±. （2）'''()uv u v uv =+.（3）'''2()(0)u u v uv v v v-=≠. 8.复合函数的求导法则设函数()u x ϕ=在点x 处有导数''()x u x ϕ=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ϕ=在点x处有导数，且'''x u x y y u =⋅，或写作'''(())()()x f x f u x ϕϕ=.9.常用的近似计算公式（当x 充小时）(1)x x 2111+≈+;x nx n 111+≈+； (2)(1)1()x x R ααα+≈+∈；x x-≈+111； (3)x e x+≈1； (4)x x l n ≈+)1(；(5)x x ≈sin （x 为弧度）；2 / 5(6)x x ≈tan （x 为弧度）； (7)x x ≈arctan （x 为弧度）10.判别)(0x f 是极大（小）值的方法当函数)(x f 在点0x 处连续时，（1）如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，则)(0x f 是极大值；（2）如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，则)(0x f 是极小值.四．基本方法和数学思想1.导数的定义：f(x)在点x 0处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim)(00000；2.根据导数的定义，求函数的导数步骤为：（1）求函数的增量 （2）);()(x f x x f y -∆+=∆(2)求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(; （3）取极限,得导数xy x f x ∆∆='→∆0lim )(;3.可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x 0处可导，那么函数y=f(x)在点x 0处连续；但是y=f(x)在点x 0处连续却不一定可导；4.导数的几何意义：曲线y ＝f （x ）在点P （x 0,f(x 0)）处的切线的斜率是).(0x f '相应地，切线方程是);)((000x x x f y y -'=-5.导数的应用：（1）利用导数判断函数的单调性：设函数y ＝f （x ）在某个区间内可导，如果,0)(>'x f 那么f(x)为增函数；如果,0)(<'x f 那么f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有,0)(='x f 那么f(x)为常数； （2）求可导函数极值的步骤：①求导数)(x f '；②求方程0)(='x f 的根；③检验)(x f '在方程0)(='x f 根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得最小值；（3）求可导函数最大值与最小值的步骤：①求y=f(x)在(a,b)内的极值；②将y=f(x)在各极值点的极值与f （a ）、f （b ）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值 6导数与函数的单调性的关系㈠0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。
2012届高考数学考前回归基础训练题——导数
实用文档2012届高考数学考前回归基础训练题——导数一、解答题1、已知函数()ln(1)(1),x f x a e a x =+-+(其中0a >) ,点1,12233(()),(,()),(,())A x f x B x f x C x f x 从左到右依次是函数()y f x =图象上三点,且2132x x x =+. (Ⅰ) 证明: 函数()f x 在R 上是减函数；(Ⅱ) 求证：⊿ABC 是钝角三角形;(Ⅲ) 试问,⊿ABC 能否是等腰三角形?若能,求⊿ABC 面积的最大值;若不能,请说明理由．2、设函数3221()231,0 1.3f x x ax a x a =-+-+<<（1）求函数)(x f 的极大值；（2）若[]1,1x a a ∈-+时，恒有()a f x a '-≤≤成立（其中()f x '是函数()f x 的导函数），试确定实数a 的取值范围．实用文档3、设21,x x 是函数)0(23)(223>-+=a x a x b x a x f 的两个极值点，且2||21=-x x . （Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）求b 的最大值.4、设函数()ln 1f x x px（Ⅰ）求函数()f x 的极值点；（Ⅱ）当p ＞0时，若对任意的x ＞0，恒有0)(≤x f ，求p 的取值范围；（Ⅲ）证明：).2,()1(212ln 33ln 22ln 2222222≥∈+--<+++n N n n n n nn5、设函数()2ln q f x px x x =--，且()2p f e qe e=--，其中e 是自然对数的底数.实用文档（1）求p 与q 的关系；（2）若()f x 在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围；（3）设2()e g x x=，若在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得0()f x ＞0()g x 成立，求实数p 的取值范围.6、设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围．实用文档7、已知函数c bx x ax x f -+=44ln )((x>0)在x = 1处取得极值c --3，其中a,b,c 为常数。
2012高考文科数学回归课本知识点以及对应习题例题
回归课本专题一 集合与常用逻辑用语、函数、导数（必1、选1－1）第1讲：集合与常用逻辑用语①集合：必1.P 1～P 12，子集的个数（P 7 例3）、补集的求法（P 11，例8）.②常用逻辑用语：选1－1，P 1～P 32，四种命题（P 8 图1.1－1）、全称命题及其否定（P 27）、特称命题及其否定（P 28）.排查卷：P 2，第2题，P 11，第8题.第2讲：函数的图象与性质：资料P 8，例2及训练，平移与对称、特殊点法.第3讲：基本初等函数及其应用：必1.P 15～P 107.①一次函数、二次函数、函数的单调性、奇偶性（P 25 4）、指数函数（P 51，公式，P 56，表）、对数函数（P 62，概念，P 65，公式，例4，P 66 换底公式，P 71，表，例7，P 75 ，B ，2）、幂函数（P 77，概念，图2.3－1，P 82 ，10，P 83 ，B ，3），②函数与方程：必1，P 87 ，概念，P 88 ，函数零点定理.排查卷：P 13 第9题.第4讲：导数及其应用：选1－1，P 77～P 120，①P 82，导数的概念，P 84，切线的斜率（导数的几何意义），P 86，导数的定义， ②P 90，导数公式，P 91，导数运算法则，③P 99，例2，求函数的单调区间，P 103，求函数的极值，P 106，求函数的最小值， P 107，第4题，P 108，B 组，第1题，排查卷：P 34，第19题.专题二 三角、解三角形，平面向量（必4，必5）第1讲：三角函数的图象与性质，必4，P 1～P 69，①三角函数的定义：必4，P 11，P 13，表1.2－1，P 14，公式一，②三角函数线：P 15～P 17，③平方关系与商关系：P 19，例6，P 20，练习2，④诱导公式：P 24，公式二、三、四，P 25，例2，P 26，公式五、六，P 27，例4， ⑤函数sin ,cos y x y x ==的图象与性质：图象P 31，函数的周期P 34，例2，奇偶性，单调性，P 37，P 38，例3，P 39，例5，⑥函数tan y x =的图象与性质：P 43～P 44，图1.4－10，⑦函数sin()y A x ωϕ=+的图象：函数图象的平移与伸缩，P 49～P 52，P 53，例1， P 55，第2题；振幅、周期、频率、相位、初相的概念，P 54，例2；应用，P 60，例1.排查卷：P 9，第6题.第2讲：三角变换与解三角形，必4，P 123～P 146，必5，P 1～P 24.①三角变换：公式()C αβ-，P 126，P 127，例2，公式()C αβ+，P 128，公式()(),S S αβαβ+-， P 128，公式()(),T T αβαβ+-，P 129，例3，P 130，例4，②二倍角公式：P 132，P 133，例5，例6，③辅助角公式：P 140，例3.④解三角形（必5）：正弦定理，P 2，余弦定理，P 6；应用，P 11，例1，P 13，例3，P 14，例5；三角形面积公式，P 16.排查卷：P 28，第16题.第3讲：平面向量：必4，P 73～P 118，①向量的概念，P 75，三角形法则与平行四边形法则，P 81，②向量的线性运算：P 88，例5，P 89，例7，③平面向量基本定理：P 94，④平面向量坐标运算：P 96，P 97，例4，例5，P 98，例6，⑤向量中点公式：P 99，例8，⑥数量积：P 103，P 104，例1，P 105，例3，例4，⑦向量的模，夹角：P 106，排查卷：P 6，第4题.专题三 数列，必5，P 27～P 67.第1讲：等差数列、等比数列：①数列的概念，P 28～P 31，例5，②等差数列，P 37，P 38，公式，例3，P 40，第1题，③等差数列前n 项和，P 43，公式，P 44，例2，例3，P 45，例4，④等比数列，P 49，概念，P 50，探究公式，P 51，例3，⑤等比数列前n 项和，P 55，公式，P 56，例1，排查卷：P 22，第13题，第2讲：数列列求和：P 61，第4题.排查卷：P 22，第13题，P 41，第21题.专题四 不等式（必5）、推理与证明（选1－2）第1讲：不等式：必5，P 71～P 103，①不等式的性质：P 73～P 74，②一元二次不等式及其解法：P 77，P 78，例1，例2，③二元一次不等式（组）与线性规划：P 83～P 84，例1，例2，④基本不等式：P 97，P 103，A 组，第、4题，排查卷：P 10，第7题.第2讲：推理与证明，选1－2，P 21～P 46，①归纳推理，P 23，例1，②类比推理，P 25，例3，③演练推理，P 31，例6，④直接证明之综合法：P 37，例3，⑤直接证明之分析法：P39，例4，⑥间接证明之反证法：P42，例7，，第10题.排查卷：P16专题五立体几何，必2，P1～P78.第1讲：空间几何体，P1～P35，①柱、锥、台、球的结构特征，P3～P9,②三视图与直观图，P12～P15，③表面积与体积，P24，例1，P26，思考、公式，P24，球的体积与表面积公式，，第5题.排查卷：P7第2讲：点、线、面之间的位置关系，P39～P78，①公理1～4，P41～P45，②直线与平面关系，P48，P49，例4，③平面与平面关系，P50，④直线与平面平行的证明与性质，P55（判定定理），P59（性质），⑤平面与平面平行的证明与性质，P57（判定定理），P60（性质），⑥直线与平面垂直的证明与性质，P65（判定定理），P70（性质），⑦平面与平面垂直的证明与性质，P69（判定定理），P71（性质），，第18题.排查卷：P32专题六解析几何，必2，P81～P144，选1－1，P31～P68，第1讲：直线与圆，必2，P81～P144，①直线的倾斜角、斜率，P82～P84，斜率公式，P85，例1，②直线与直线的平行与垂直，P87（平行），P88（垂直），③直线的方程的求法，P92（点斜式），P93，例1，P94（点截式），例2，P95（两点式），P96（截距式），P96，例3，P98（一般式），例5，④两直线的交点，P103，例1，⑤两点间的距离，P105，例3，⑥点到直线的距离公式，P107，例5，例6，⑦两条平行直线间的距离，P108，例7，公式（P110，B组，第3题），⑧圆的标准方程，P118，P119，例1，例2，⑨圆的一般方程，P121，P122，例4，⑩直线与圆的位置关系，P126，P127，例1，例2，○11圆与圆的位置关系，P129，例3，○12空间直角坐标（空间中两点距离公式），P134，P137，，第20题.排查卷：P38第2讲：圆锥曲线，选1－1，P31～P68，①椭圆的定义与标准方程，P32，P33，P34，例1，②椭圆的顶点（P38），离心率（P39），P40，例4，③双曲线的定义与标准方程，P45，P46，P47，例1，④双曲线的顶点（P49），渐近线（P50），离心率（P51），P51，例3，⑤抛物线的定义与标准方程（注意准线与焦点），P57，P58，⑥抛物线的顶点（P60），离心率（P60），P60，例3，排查卷：P5，第3题，P38，第20题.专题七概率（必3）、统计（必3）、统计案例（选1－2）、框图（必3）、流程图（选1－2）、复数（选1－2）第1讲：概率，必3，P107～P145，①概率与频率的关系，P112，②概率的性质，P120，③古典概型概率，P125，例1，④几何概型概率，P135，P136，例1，P137，例2，排查卷：P30，第17题.第2讲：统计，必3，P53～P100，统计案例，选1－2，P12～P19，①简单随机抽样（抽签法、随机数法），P56，②系统抽样，P58，③分层抽样，P60、P61，④频率分布直方图，P67，⑤茎叶图，P70，⑥众数、中位数、平均数，P72、P73，⑦标准差，P75，⑧两个变量的线性相关，P85（散点图），P86（正相关、负相关），⑨用最小二乘法求回归直线方程，P89，排查卷：P18，第11题.⑩残差（选1－2），P4，回归效果2R，P5，○1122列联表，P10、P11，P13，表1－11，第3讲：算法框图（必3，P1～P50），流程图（选1－2，P65～P83），复数（选1－2，P49～P63），①程序框图，必3，P6，循环结构中的“直到型”与“当型”，P12～P13，②算法案例：辗转相除法（P34），秦九韶算法（P37），P38，例2，进位制，P40，P41，例3，③流程图，选1－2，P66～P70，④结构图，选1－2，P74～P78，⑤复数的概念，选1－2，P50、P51，例，⑥复数的几何意义，P52、P53，⑦复数的加、减、乘、除运算，P57，例1，P58，例2，共轭复数，P59，P60，例4，排查卷：P1，第1题.。
2012年高考数学文科回归教材3 导数
岳阳县一中·2012届高三◆文科数学 第1页 共3页新课标——回归教材导数1.导数的背景:(1)切线的斜率;(2)瞬时速度.典例:一物体的运动方程是21s t t =-+,其中s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3t =时的瞬时速度为 5米/秒 .2.导函数的概念:如果函数()f x 在开区间(,)a b 内可导,对于开区间(,)a b 内的每一个0x ,都对应着一个导数()0f x ',这样()f x 在开区间(,)a b 内构成一个新的函数,这一新的函数叫做()f x 在开区间(,)a b 内的导函数,记作()()()00limlimx x f x x f x yf x y x x∆→∆→+∆-∆'='==∆∆,简称导数. 3.求()y f x =在0x 处的导数的步骤:(1)求函数的改变量()()00y f x x f x ∆=+∆-;(2)求平均变化率()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆ ;(3)取极限,得导数()00lim x y f x x →∆'=∆ . 4.导数的几何意义:函数()f x 在点0x 处的导数的几何意义,就是曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率,即曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率是()0f x ',相应地切线的方程是()()000y y f x x x -='-.特别提醒 :(1)在求曲线的切线方程时,要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线,还是过某点的切线:曲线上某点处的切线只有一条,而过某点的切线不一定只有一条,即使此点在曲线上也不一定只有一条;(2)在求过某一点的切线方程时,要首先判断此点是在曲线上,还是不在曲线上,只有当此点在曲线上时,此点处的切线的斜率才是0()f x '.典例:(1)P 在曲线323y x x =-+上移动,在点P 处的切线的倾斜角为α,则α∈3[0,)[,)24πππ ;(2)直线31y x =+是曲线3y x a =-的一条切线,则实数a 的值为 －3或1 ;(3)若函数321()22f x x x m =-+(m 为常数)图象上A 处的切线与30x y -+=的夹角为4π,则A 点的横坐标为160或;(数形结合,可知切线的倾斜角只能为0或900(舍去)) (4)曲线31y x x =++在点(1,3)处的切线方程是410x y --=;(5)已知函数322()43f x x ax x =-++,又'()y f x =的图象与x 轴交于(,0),(2,0),0k k k ->.①求a 的值;②求过点(0,0)的曲线()y f x =的切线方程（答:①1;②4y x =或358y x =）.5.导数的公式、法则:(1)常数函数的导数为0,即0C '=（C 为常数）;(2)()()1n n x nx n Q -'=∈,与此有关的常用结论:()112211,x x x x ''-⎛⎫⎛⎫='=-'= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3)11ln (sin )cos ;(cos )sin ;(),()ln ;(ln ),(log )x x x x x a x a x x x x e e a a a x x ''''''==-====(4)[()()]()()f x g x f x g x '''±=±;[()]()C f x Cf x ''= ;()()2()()()()[](()0)()f x g x f x g x g x f x g x g x ''-'=≠ 典例:(1)已知函数()m n f x mx -=的导数为3()8f x x '=,则n m =14;(2)函数2(1)(1)y x x =-+的导数为2321y x x '=+-;(3)若对任意x R ∈,3()4,(1)1f x x f '==-,则()f x 是4()2f x x =-.岳阳县一中·2012届高三◆回归教材 第2页 共3页6.多项式函数的单调性:(1)多项式函数的导数与函数的单调性: ①若()0f x '>,则()f x 为增函数;若()0f x '<,则()f x 为减函数;若()0f x '=恒成立,则()f x 为常数函数;若()f x '的符号不确定,则()f x 不是单调函数.②若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增,则()0f x '≥,反之等号不成立;若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递减,则()0f x '≤,反之等号不成立.典例:(1)函数32()(,,)f x x ax bx c a b c R =+++∈,当230a b -<时,()f x 的单调性是 增函数 ; (2)设0a >函数3()f x x ax =-在[1,)+∞上单调函数,则实数a 的取值范围03a <≤; (3)已知函数3()(f x x bx b =-+为常数）在区间(0,1)上单调递增,且方程()0f x =的根都在区间[2,2]-内,则b 的取值范围是[3,4]; (4)已知2()1f x x =+,42()22g x x x =++,设()()()x g x f x φλ=-,试问是否存在实数λ,使()x φ在(,1)-∞-上是减函数,并且在(1,0)-上是增函数？（答:4λ=）(2)利用导数求函数单调区间的步骤:(1)求()f x ';(2)求方程()0f x '=的根,设根为12,,n x x x ;(3)12,,n x x x 将给定区间分成n+1个子区间,再在每一个子区间内判断()f x '的符号,由此确定每一子区间的单调性.典例:设函数32()f x ax bx cx =++在1,1x =-处有极值,且(2)2f -=,求()f x 的单调区间.（答:递增区间（－1,1）,递减区间(),1,(1,)-∞-+∞）7、函数的极值:(1)定义:设函数()f x 在点0x 附近有定义,如果对0x 附近所有的点,都有0()()f x f x <,就说是0()f x 函数()f x 的一个极大值.记作y 极大值＝0()f x ,如果对0x 附近所有的点,都有0()()f x f x >,就说是0()f x 函数()f x 的一个极小值.记作y 极小值＝0()f x .极大值和极小值统称为极值.(2)求函数()y f x =在某个区间上的极值的步骤:（i ）求导数()f x ';（ii ）求方程()0f x '=的根0x ;（iii ）检查()f x '在方程()0f x '=的根0x 的左右的符号:“左正右负”⇔()f x 在0x 处取极大值;“左负右正”⇔()f x 在0x 处取极小值.特别提醒☹:(1)0x 是极值点的充要条件是0x 点两侧导数异号,而不仅是()0f x '＝0,()0f x '＝0是0x 为极值点的必要而不充分条件.(2)给出函数极大(小)值的条件,一定要既考虑0()0f x '=,又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化,否则条件没有用完,这一点一定要切记！典例:(1)函数23(1)1y x =-+的极值点是( C )A 、极大值点1x =-B 、极大值点0x =C 、极小值点0x =D 、极小值点1x =; (2)函数()3221f x x ax bx a x =+++=在处有极小值10,则a+b 的值为 －7 ;(3)已知32()f x x bx cx d =+++在区间[－1,2 ]上是减函数,那么b ＋c 有最 大 值152-.特别小结☹:三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的极值情况.记其导函数2()320f x ax bx c '=++=的判别式为2412b ac ∆=-,其图象对称轴为3bx a=-.则(1)若24120b ac ∆=-≤时,三次函数()f x 无极值,①当0a >时,()0f x '≥,()f x 在定义域上递增;②当0a <时,()0f x '≤,()f x 在定义域上递减. (2) 若24120b ac ∆=->时,记()0f x '=的两根为12x x <,则三次函数()f x 有极值,且 ①当0a >时,12()(),()()f x f x f x f x ==极大值极小值(简称为左大右小);岳阳县一中·2012届高三◆文科数学 第3页 共3页②当0a <时,12()(),()()f x f x f x f x ==极小值极在值(简称为左小右大);综上,三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠有极值的充要条件为24120b ac ∆=->.(3)三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠都有对称中心,其坐标为(,())33b bf a a--.典例:已知函数32()(6)1f x x ax a x =++++有极值,则实数a 的取值范围是63a a ><-或; 8.函数的最大值和最小值:(1)定义:函数()f x 在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”;函数()f x 在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”.(2)求函数()y f x =在[,a b ]上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数()y f x =在(,)a b 内的极值（极大值或极小值）;(2)将()y f x =的各极值与()f a ,()f b 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.典例:(1)函数3223125y x x x =--+在[0,3]上的最大值、最小值分别是5,15-;(2)用总长14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m.那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.（答:高为1.2米时,容积最大为395cm ）特别注意:(1)利用导数研究函数的单调性与最值（极值）时,要注意列表！(2)要善于应用函数的导数,考察函数单调性、最值(极值),研究函数的性态,数形结合解决方程不等式等相关问题.典例:(1)()f x '是()f x 的导函数,()f x '的图象如下图所示,则()f x 的图象只可能是( D )(2)图形M(如图所示)是由底为1，高为1的等腰三角形及 高为2和3的两个矩形所构成，函数S ＝S (a )(a ≥0)是图形 M 介于平行线y ＝0及y ＝a 之间的那一部分面积，则函数 S (a )的图象大致是 ( C )(3)方程3269100x x x -+-=的实根的个数为 1 ;(4)已知函数32()f x x ax x =--,抛物线2:C x y =,当(1,2)x ∈时,函数()f x 的图象在抛物线2:C x y =的上方,求a 的取值范围（答:1a ≤-）.(5)求证:1ln 1(0)x x x x x-≤≤->(构造函数法)。
浙江省2012届高考数学理二轮专题复习课件：第3课时 导数及其应用
①当a 0时，f (x) 0，x 1, 2，则f (x)是区间1, 2
上的增函数，所以m f 1 1- a.
②当a 0时，且x 0或x 2a 时，f (x) 0，从而f (x) 3
在区间[ 2a ， )上是增函数；当 0 x 2a 时，f (x)
3
3
0，从而f (x)在[0，2a ]上是减函数； 3
故f(x)分别在(0，-a)，(1，+∞)上单调递增，在(
-a,1)上单调递减．
②若a<-1，同上可得f(x)分别在(0,1)，(-a，+∞)上单调
递增，在(1，-a)上单调递减．
(2)存在a，使g(x)在[a，-a]上为减函数．
第十二页，编辑于星期日：十五点 二十二分。12
设h(x)=(-2x3+3ax2+6ax-4a2-6a)ex(x∈R)， 则h′(x)=[-2x3+3(a-2)x2+12ax-4a2]ex. 再设m(x)=-2x3+3(a-2)x2+12ax-4a2(x∈R)，则当g(x)在[a ，-a]上单调递减时，h(x)必在[a,0]上单调递减，所以h′(a)≤0. 由于ex>0，因此m(a)≤0. 而m(a)=a2(a+2)，所以a≤-2. 此时，如果g(x)在[a，-a]上为减函数，当且仅当f(x)在(1 ，-a]上为减函数，h(x)在[a,1]上为减函数，且 h(1)≥e f(1)．
第九页，编辑于星期日：十五点 二十二分。 9
又f ′(x)=3x2+2ax+b，由(1)知2a+b=0.
所以f ′(x)=3x2-bx+b.
依题意知，在[-2,1]上恒有f ′(x)≥0，
【经典实用】2012届高三数学第一轮第3单元导数及其应用
第13讲 │ 要点探究
[解答] (1)∵y′＝x2，∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k ＝ y′x＝2＝4.∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为
y－4＝4x－2，即 4x－y－4＝0. (2)设曲线 y＝13x3＋43与过点 P(2,4)的切线相切于点 Ax0，13x30＋43，则切线的斜率 k＝ y′x＝x0＝x20.∴切线方 程为 y－13x30＋43＝x20x－x0，即 y＝x20·x－23x30＋43.
第13讲 │ 要点探究
在例 2 中，第(1)小题中切线与曲线是否 还有其他公共点？
[解答]
由 4x－y－4＝0，
y＝13x3＋43，
消去 y，
得 x3－12x＋16＝0 即x－22x＋4＝0，∴x＝2 或 x＝
－4 代入 4x－y－4＝0，求得 y＝4 或 y＝－20.即公共点 为(2,4)(切点)和(－4，－20)．∴除切点外，还有一个交 点(－4，－20)．
[思路] 先判断原函数的类型，再套用公式求解．
第13讲 │ 要点探究
B [解析] 对于①，函数为指数函数，因此 3 x′＝
3xln3；
对于②
，
函
数
为对数
函
数
，
因此
log2x′＝
lnx ln2
′
＝
x·l1n2；对于③，函数为指数函数，因此ex′＝ex；对于④，
函数为幂函数，因此xa′＝axa－1；对于⑤，函数为三角函
第13讲 │ 规律总结
4．要区分“过某点”的切线和“在某点”的切线不同， “在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横 坐标处的导数值为切线的斜率，而对于“过某点”的切线， 则该点不一定是切点，要利用解方程组的思想求切线的 方程．
2012文科数学回归教材3导数,教学资料
2012文科数学回归教材3导数,教学资料新课标——回归教材导数1.导数的背景:(1)切线的斜率;(2)瞬时速度.典例:一物体的运动方程是,其中的单位是米,的单位是秒,那么物体在时的瞬时速度为5米/秒.2.导函数的概念:如果函数在开区间内可导,对于开区间内的每一个,都对应着一个导数,这样在开区间内构成一个新的函数,这一新的函数叫做在开区间内的导函数,记作,简称导数.3.求在处的导数的步骤:(1)求函数的改变量;(2)求平均变化率;(3)取极限,得导数.4.导数的几何意义:函数在点处的导数的几何意义,就是曲线在点处的切线的斜率,即曲线在点处的切线的斜率是,相应地切线的方程是.特别提醒在求曲线的切线方程时,要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线,还是过某点的切线:曲线上某点处的切线只有一条,而过某点的切线不一定只有一条,即使此点在曲线上也不一定只有一条;(2)在求过某一点的切线方程时,要首先判断此点是在曲线上,还是不在曲线上,只有当此点在曲线上时,此点处的切线的斜率才是.典例:(1)在曲线上移动,在点处的切线的倾斜角为,则;(2)直线是曲线的一条切线,则实数的值为－3或1;(3)若函数(为常数)图象上处的切线与的夹角为,则点的横坐标为;(数形结合,可知切线的倾斜角只能为0或900(舍去))(4)曲线在点处的切线方程是;(5)已知函数,又的图象与轴交于.①求的值;②求过点的曲线的切线方程（答:①1;②或）.5.导数的公式、法则:(1)常数函数的导数为0,即（为常数）;(2),与此有关的常用结论:;(3)(4);;典例:(1)已知函数的导数为,则;(2)函数的导数为;(3)若对任意,,则是.6.多项式函数的单调性:(1)多项式函数的导数与函数的单调性:①若,则为增函数;若,则为减函数;若恒成立,则为常数函数;若的符号不确定,则不是单调函数.②若函数在区间上单调递增,则,反之等号不成立;若函数在区间上单调递减,则,反之等号不成立.典例:(1)函数,当时,的单调性是增函数;(2)设函数在上单调函数,则实数的取值范围;(3)已知函数为常数）在区间上单调递增,且方程的根都在区间内,则的取值范围是;(4)已知,,设,试问是否存在实数,使在上是减函数,并且在上是增函数？（答:）(2)利用导数求函数单调区间的步骤:(1)求;(2)求方程的根,设根为;(3)将给定区间分成n+1个子区间,再在每一个子区间内判断的符号,由此确定每一子区间的单调性.典例:设函数在处有极值,且,求的单调区间.（答:递增区间（－1,1）,递减区间）7、函数的极值:(1)定义:设函数在点附近有定义,如果对附近所有的点,都有,就说是函数的一个极大值.记作＝,如果对附近所有的点,都有,就说是函数的一个极小值.记作＝.极大值和极小值统称为极值.(2)求函数在某个区间上的极值的步骤:（i）求导数;（ii）求方程的根;（iii）检查在方程的根的左右的符号:“左正右负”在处取极大值;“左负右正”在处取极小值.特别提醒是极值点的充要条件是点两侧导数异号,而不仅是＝0,＝0是为极值点的必要而不充分条件.(2)给出函数极大(小)值的条件,一定要既考虑,又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化,否则条件没有用完,这一点一定要切记！典例:(1)函数的极值点是(C)A、极大值点B、极大值点C、极小值点D、极小值点;(2)函数处有极小值10,则a+b的值为－7;(3)已知在区间－1,2]上是减函数,那么b＋c有最大值.特别小结三次函数的极值情况.记其导函数的判别式为,其图象对称轴为.则(1)若时,三次函数无极值,①当时,,在定义域上递增;②当时,,在定义域上递减.(2)若时,记的两根为,则三次函数有极值,且①当时,(简称为左大右小);②当时,(简称为左小右大);综上,三次函数有极值的充要条件为.(3)三次函数都有对称中心,其坐标为.典例:已知函数有极值,则实数的取值范围是;8.函数的最大值和最小值:(1)定义:函数在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”;函数在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”.(2)求函数在]上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值（极大值或极小值）;(2)将的各极值与,比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.典例:(1)函数在0,3]上的最大值、最小值分别是;(2)用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m.那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.（答:高为1.2米时,容积最大为）特别注意:(1)利用导数研究函数的单调性与最值（极值）时,要注意列表！(2)要善于应用函数的导数,考察函数单调性、最值(极值),研究函数的性态,数形结合解决方程不等式等相关问题.典例:(1)是的导函数,的图象如下图所示,则的图象只可能是(D)(2)图形M(如图所示)是由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两个矩形所构成，函数S＝S(a)(a≥0)是图形M介于平行线y＝0及y＝a之间的那一部分面积，则函数S(a)的图象大致是(C)(3)方程的实根的个数为1;(4)已知函数,抛物线,当时,函数的图象在抛物线的上方,求的取值范围（答:）.(5)求证:(构造函数法)。
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新课标——回归教材导数1.导数的背景:(1)切线的斜率;(2)瞬时速度.典例:一物体的运动方程是21s t t =-+,其中s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3t =时的瞬时速度为 5米/秒 .2.导函数的概念:如果函数()f x 在开区间(,)a b 内可导,对于开区间(,)a b 内的每一个0x ,都对应着一个导数()0f x ',这样()f x 在开区间(,)a b 内构成一个新的函数,这一新的函数叫做()f x 在开区间(,)a b 内的导函数,记作()()()00limlimx x f x x f x yf x y x x∆→∆→+∆-∆'='==∆∆,简称导数. 3.求()y f x =在0x 处的导数的步骤:(1)求函数的改变量()()00y f x x f x ∆=+∆-;(2)求平均变化率()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆;(3)取极限,得导数()00lim x y f x x →∆'=∆. 4.导数的几何意义:函数()f x 在点0x 处的导数的几何意义,就是曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率,即曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率是()0f x ',相应地切线的方程是()()000y y f x x x -='-.特别提醒 :(1)在求曲线的切线方程时,要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线,还是过某点的切线:曲线上某点处的切线只有一条,而过某点的切线不一定只有一条,即使此点在曲线上也不一定只有一条;(2)在求过某一点的切线方程时,要首先判断此点是在曲线上,还是不在曲线上,只有当此点在曲线上时,此点处的切线的斜率才是0()f x '.典例:(1)P 在曲线323y x x =-+上移动,在点P 处的切线的倾斜角为α,则α∈3[0,)[,)24πππ;(2)直线31y x =+是曲线3y x a =-的一条切线,则实数a 的值为 －3或1 ;(3)若函数321()22f x x x m =-+(m 为常数)图象上A 处的切线与30x y -+=的夹角为4π,则A 点的横坐标为160或;(数形结合,可知切线的倾斜角只能为0或900(舍去)) (4)曲线31y x x =++在点(1,3)处的切线方程是410x y --=;(5)已知函数322()43f x x ax x =-++,又'()y f x =的图象与x 轴交于(,0),(2,0),0k k k ->.①求a 的值;②求过点(0,0)的曲线()y f x =的切线方程（答:①1;②4y x =或358y x =）.5.导数的公式、法则:(1)常数函数的导数为0,即0C '=（C 为常数）;(2)()()1n n x nx n Q -'=∈,与此有关的常用结论:()112211,x x x x ''-⎛⎫⎛⎫='=-'= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3)11ln (sin )cos ;(cos )sin ;(),()ln ;(ln ),(log )x x x x x a x a x x x x e e a a a x x ''''''==-====(4)[()()]()()f x g x f x g x '''±=±;[()]()C f x Cf x ''=;()()2()()()()[](()0)()f x g x f x g x g x f x g x g x ''-'=≠ 典例:(1)已知函数()m n f x mx -=的导数为3()8f x x '=,则n m =14;(2)函数2(1)(1)y x x =-+的导数为2321y x x '=+-;(3)若对任意x R ∈,3()4,(1)1f x x f '==-,则()f x 是4()2f x x =-.岳阳县一中·2012届高三◆回归教材 第2页 共3页6.多项式函数的单调性:(1)多项式函数的导数与函数的单调性: ①若()0f x '>,则()f x 为增函数;若()0f x '<,则()f x 为减函数;若()0f x '=恒成立,则()f x 为常数函数;若()f x '的符号不确定,则()f x 不是单调函数.②若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增,则()0f x '≥,反之等号不成立;若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递减,则()0f x '≤,反之等号不成立.典例:(1)函数32()(,,)f x x ax bx c a b c R =+++∈,当230a b -<时,()f x 的单调性是 增函数 ; (2)设0a >函数3()f x x ax =-在[1,)+∞上单调函数,则实数a 的取值范围03a <≤; (3)已知函数3()(f x x bx b =-+为常数）在区间(0,1)上单调递增,且方程()0f x =的根都在区间[2,2]-内,则b 的取值范围是[3,4]; (4)已知2()1f x x =+,42()22g x x x =++,设()()()x g x f x φλ=-,试问是否存在实数λ,使()x φ在(,1)-∞-上是减函数,并且在(1,0)-上是增函数？（答:4λ=）(2)利用导数求函数单调区间的步骤:(1)求()f x ';(2)求方程()0f x '=的根,设根为12,,n x x x ;(3)12,,n x x x 将给定区间分成n+1个子区间,再在每一个子区间内判断()f x '的符号,由此确定每一子区间的单调性.典例:设函数32()f x ax bx cx =++在1,1x =-处有极值,且(2)2f -=,求()f x 的单调区间.（答:递增区间（－1,1）,递减区间(),1,(1,)-∞-+∞）7、函数的极值:(1)定义:设函数()f x 在点0x 附近有定义,如果对0x 附近所有的点,都有0()()f x f x <,就说是0()f x 函数()f x 的一个极大值.记作y 极大值＝0()f x ,如果对0x 附近所有的点,都有0()()f x f x >,就说是0()f x 函数()f x 的一个极小值.记作y 极小值＝0()f x .极大值和极小值统称为极值.(2)求函数()y f x =在某个区间上的极值的步骤:（i ）求导数()f x ';（ii ）求方程()0f x '=的根0x ;（iii ）检查()f x '在方程()0f x '=的根0x 的左右的符号:“左正右负”⇔()f x 在0x 处取极大值;“左负右正”⇔()f x 在0x 处取极小值.特别提醒☹:(1)0x 是极值点的充要条件是0x 点两侧导数异号,而不仅是()0f x '＝0,()0f x '＝0是0x 为极值点的必要而不充分条件.(2)给出函数极大(小)值的条件,一定要既考虑0()0f x '=,又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化,否则条件没有用完,这一点一定要切记！典例:(1)函数23(1)1y x =-+的极值点是( C )A 、极大值点1x =-B 、极大值点0x =C 、极小值点0x =D 、极小值点1x =; (2)函数()3221f x x ax bx a x =+++=在处有极小值10,则a+b 的值为 －7 ;(3)已知32()f x x bx cx d =+++在区间[－1,2 ]上是减函数,那么b ＋c 有最 大 值152-.特别小结☹:三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的极值情况.记其导函数2()320f x ax bx c '=++=的判别式为2412b ac ∆=-,其图象对称轴为3bx a=-.则(1)若24120b ac ∆=-≤时,三次函数()f x 无极值,①当0a >时,()0f x '≥,()f x 在定义域上递增;②当0a <时,()0f x '≤,()f x 在定义域上递减. (2) 若24120b ac ∆=->时,记()0f x '=的两根为12x x <,则三次函数()f x 有极值,且 ①当0a >时,12()(),()()f x f x f x f x ==极大值极小值(简称为左大右小);②当0a <时,12()(),()()f x f x f x f x ==极小值极在值(简称为左小右大);综上,三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠有极值的充要条件为24120b ac ∆=->.(3)三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠都有对称中心,其坐标为(,())33b bf a a--.典例:已知函数32()(6)1f x x ax a x =++++有极值,则实数a 的取值范围是63a a ><-或; 8.函数的最大值和最小值:(1)定义:函数()f x 在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”;函数()f x 在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”.(2)求函数()y f x =在[,a b ]上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数()y f x =在(,)a b 内的极值（极大值或极小值）;(2)将()y f x =的各极值与()f a ,()f b 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.典例:(1)函数3223125y x x x =--+在[0,3]上的最大值、最小值分别是5,15-;(2)用总长14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m.那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.（答:高为1.2米时,容积最大为395cm ）特别注意:(1)利用导数研究函数的单调性与最值（极值）时,要注意列表！(2)要善于应用函数的导数,考察函数单调性、最值(极值),研究函数的性态,数形结合解决方程不等式等相关问题.典例:(1)()f x '是()f x 的导函数,()f x '的图象如下图所示,则()f x 的图象只可能是( D )(2)图形M(如图所示)是由底为1，高为1的等腰三角形及 高为2和3的两个矩形所构成，函数S ＝S (a )(a ≥0)是图形 M 介于平行线y ＝0及y ＝a 之间的那一部分面积，则函数 S (a )的图象大致是 ( C )(3)方程3269100x x x -+-=的实根的个数为 1 ;(4)已知函数32()f x x ax x =--,抛物线2:C x y =,当(1,2)x ∈时,函数()f x 的图象在抛物线2:C x y =的上方,求a 的取值范围（答:1a ≤-）.(5)求证:1ln 1(0)x x x x x-≤≤->(构造函数法)。