中考专题复习一《实数》

中考专题复习1--《实数》考点一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。

2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。

零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。

正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

考点三、平方根、算数平方根和立方根1、平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。

一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

正数a 的平方根记做“a ±”。

2、算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

a （a ≥0）0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥03、立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

考点四、科学记数法和近似数1、有效数字一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。

2、科学记数法把一个数写做na 10⨯±的形式，其中101<≤a ，n 是整数，这种记数法叫做科学记数法。

考点五、实数大小的比较1、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

2、实数大小比较的几种常用方法（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（2）求差比较：设a 、b 是实数，,0b a b a >⇔>- ,0b a b a =⇔=-b a b a <⇔<-0（3）求商比较法：设a 、b 是两正实数，;1;1;1b a bab a b a b a b a <⇔<=⇔=>⇔> （4）绝对值比较法：设a 、b 是两负实数，则b a b a <⇔>。

（5）平方法：设a 、b 是两负实数，则b a b a <⇔>22。

考点六、实数的运算 （做题的基础，分值相当大）1、加法交换律 a b b a +=+2、加法结合律 )()(c b a c b a ++=++3、乘法交换律 ba ab =4、乘法结合律 )()(bc a c ab =5、乘法对加法的分配律 ac ab c b a +=+)(6、实数的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

1．（内蒙古赤峰市）正整数x 、y 满足（2x ﹣5）（2y ﹣5）=25，则x+y 等于（ ） A ．18或10 B ．18 C ．10 D ．26 【答案】A ．【分析】易得（2x ﹣5）、（2y ﹣5）均为整数，分类讨论即可求得x 、y 的值即可解题．【解析】∵xy 是正整数，∴（2x ﹣5）、（2y ﹣5）均为整数，∵25=1×25，或25=5×5，∴存在两种情况：①2x ﹣5=1，2y ﹣5=25，解得：x=3，y=15； ②2x ﹣5=2y ﹣5=5，解得：x=y=5； ∴x+y=18或10，故选 A ．点睛：本题考查了整数的乘法，本题中根据25=1×25或25=5×5分类讨论是解题的关键． 考点：有理数的乘法；分类讨论．2．（四川省自贡市）填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律m 的值为（ ）A ．180B ．182C ．184D ．186 【答案】C ．【分析】利用已知数据的规律进而得出最后表格中数据，进而利用数据之间关系得出m 的值． 点睛：此题主要考查了数字变化规律，正确得出表格中数据是解题关键． 考点：规律型：数字的变化类．3．（山东省淄博市）在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m ，再由乙猜这个小球上的数字，记为n ．如果m ，n 满足|m ﹣n|≤1，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（ ） A ．38 B ．58 C ． 14 D ．12【答案】B ．【分析】画出树状图列出所有等可能结果，由树状图确定出所有等可能结果数及两人“心领神会”的结果数，根据概率公式求解可得．点睛：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．考点：列表法与树状图法；绝对值．4．（山东省潍坊市）定义[x]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]=1，[﹣1.4]=﹣2，[﹣3]=﹣3．函数y=[x]的图象如图所示，则方程[]221x x =的解为（ ）．A ．0或2B ．0或2C ．1或2-D ．2或2- 【答案】A ．【分析】根据新定义和函数图象讨论：当1≤x ≤2时，则212x =1；当﹣1≤x ≤0时，则212x =0，当﹣2≤x ＜﹣1时，则212x =﹣1，然后分别解关于x 的一元二次方程即可． 点睛：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了实数的大小比较． 考点：解一元二次方程﹣因式分解法；实数大小比较；函数的图象；新定义；分类讨论．5．（湖北省十堰市）如图，10个不同的正偶数按下图排列，箭头上方的每个数都等于其下方两数的和，如123a a a ，表示123a a a =+，则1a 的最小值为（ ）A ．32B ．36C ．38D ．40 【答案】D ．【分析】由a 1=a 7+3（a 8+a 9）+a 10知要使a 1取得最小值，则a 8+a 9应尽可能的小，取a 8=2、a 9=4，根据a 5=a 8+a 9=6，则a 7、a 10中不能有6，据此对于a 7、a 8，分别取8、10、12检验可得，从而得出答案． 【解析】∵a 1=a 2+a 3=a 4+a 5+a 5+a 6=a 7+a 8+a 8+a 9+a 8+a 9+a 9+a 10=a 7+3（a 8+a 9）+a 10，∴要使a 1取得最小值，则a 8+a 9应尽可能的小，取a 8=2、a 9=4，∵a 5=a 8+a 9=6，则a 7、a 10中不能有6，若a 7=8、a 10=10，则a 4=10=a 10，不符点睛：本题主要考查数字的变化类，根据题目要求得出a 1取得最小值的切入点是解题的关键． 考点：规律型：数字的变化类；最值问题．6．（浙江省绍兴市）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）A．84 B．336 C．510 D．1326【答案】C．【分析】类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数×37+百位上的数×27+十位上的数×7+个位上的数．【解析】1×37+3×27+2×7+6=510，故选C．点睛：本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．考点：用数字表示事件；阅读型．7．（湖南省永州市）我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log216=4，②log525=5，③log212=﹣1．其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【答案】B．【分析】根据指数运算和新的运算法则得出规律，根据规律运算可得结论．【解析】①因为24=16，所以此选项正确；②因为55=3125≠25，所以此选项错误；③因为2﹣1=12，所以此选项正确；故选B．点睛：此题考查了指数运算和新定义运算，发现运算规律是解答此题的关键．考点：实数的运算；新定义．8．（河北,）在数轴上标注了四段范围，如图，则表示的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④【答案】C【考点】估算无理数的大小；实数与数轴．点睛：本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是计算出各数的平方．9．（四川省宜宾市）规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．则下列说法正确的是．（写出所有正确说法的序号）①当x=1.7时，[x]+（x）+[x）=6；②当x=﹣2.1时，[x]+（x）+[x）=﹣7；③方程4[x]+3（x）+[x）=11的解为1＜x＜1.5；④当﹣1＜x＜1时，函数y=[x]+（x）+x的图象与正比例函数y=4x的图象有两个交点．【答案】②③．【分析】根据题意可以分别判断各个小的结论是否正确，从而可以解答本题．④∵﹣1＜x＜1时，∴当﹣1＜x＜﹣0.5时，y=[x]+（x）+x=﹣1+0+x=x﹣1，当﹣0.5＜x＜0时，y=[x]+（x）+x=﹣1+0+x=x﹣1，当x=0时，y=[x]+（x）+x=0+0+0=0，当0＜x＜0.5时，y=[x]+（x）+x=0+1+x=x+1，当0.5＜x＜1时，y=[x]+（x）+x=0+1+x=x+1，∵y=4x，则x﹣1=4x时，得x=13；x+1=4x时，得x=13；当x=0时，y=4x=0，∴当﹣1＜x＜1时，函数y=[x]+（x）+x的图象与正比例函数y=4x的图象有三个交点，故④错误，故答案为：②③．点睛：本题考查新定义，解答本题的关键是明确题意，根据题目中的新定义解答相关问题．考点：两条直线相交或平行问题；有理数大小比较；解一元一次不等式组；新定义．10．（四川省凉山州）古希腊数学家把1、3、6、10、15、21、…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，…，依此类推，第100个三角形数是．【答案】5050．【分析】设第n个三角形数为a n，分析给定的三角形数，根据数的变化找出变化规律“a n=1+2+…+n=(1)2n n +”，依此规律即可得出结论． 【解析】设第n 个三角形数为a n ，∵a 1=1，a 2=3=1+2，a 3=6=1+2+3，a 4=10=1+2+3+4，…∴a n =1+2+…+n=(1)2n n +，将n=100代入a n ，得：a 100=100(1001)2+=5050，故答案为：5050． 点睛：本题考查了规律型中的数字的变化类，解题的关键是找出变化规律“a n =1+2+…+n=(1)2n n +”．考点：规律型：数字的变化类；综合题．学科#网 11．（滨州）观察下列各式：2111313=-⨯，2112424=-⨯2113535=-⨯ ……请利用你所得结论，化简代数式213⨯＋224⨯＋235⨯＋…＋2(2)n n +（n ≥3且为整数），其结果为__________．【答案】2352(1)(2)n nn n +++ ．【分析】根据所列的等式找到规律2(2)n n +=112n n -+，由此计算213⨯＋224⨯＋235⨯＋…＋2(2)n n +的值．点睛：此题主要考查了数字变化类，此题在解答时，看出的是左右数据的特点是解题关键． 考点：分式的加减法；规律型；综合题．12．（湖北省恩施州）如图，在6×6的网格内填入1至6的数字后，使每行、每列、每个小粗线宫中的数字不重复，则a ×c= ．【答案】2．【分析】粗线把这个数独分成了6块，为了便于解答，对各部分进行编号：甲、乙、丙、丁、戊、己，先从各部分中数字最多的己出发，找出其各个小方格里面的数，再根据每行、每列、每小宫格都不出现重复的数字进行推算．观察上图发现：第四列已经有数字2、3、4、6，缺少1和5，由于5不能在第二行，所以5在第四行，那么1在第二行；如下：再看甲部分：已经有了数字1、3、4、5，缺少数字2、6，观察上图发现：2不能在第三列，所以2在第二列，则6在第三列的第一行，如下：观察上图可知：第三列少1和4，4不能在第三行，所以4在第五行，则1在第三行，如下：观察上图可知：第六列缺少1和2，1不能在第三行，则在第四行，所以2在第三行，如下：再看戊部分：已经有了数字2、3、4、5，缺少数字1、6，观察上图发现：1不能在第一列，所以1在第二列，则6在第一列，如下：观察上图可知：第一列缺少3和4，4不能在第三行，所以4在第四行，则3在第三行，如下：观察上图可知：第三行第五列少6，第四行第五列少3，如下：所以，a=2，c=1，ac=2；②当6在第一行，4在第二行时，那么第二行第二列就是6，如下：再看甲部分：已经有了数字1、3、5、6，缺少数字2、4，观察上图发现：2不能在第三列，所以2在第2列，4在第三列，如下：观察上图可知：第五列缺少数字3和6，6不能在第三行，所以6在第四行，则3在第三行，如下：观察上图可知：第六列缺少数字1和2，2不能在第四行，所以2在第三行，则1在第四行，如下：观察上图可知：第三行缺少数字1和5，1和5都不能在第一列，所以此种情况不成立；综上所述：a=2，c=1，a×c=2；故答案为：2．点睛：本题是六阶数独，比较复杂，关键是找出突破口，先推算出一个区域或者一行、一列，再逐步的进行推算．考点：规律型：数字的变化类；综合题．学科#网13．（贵州省六盘水市）计算1+4+9+16+25+…的前29项的和是．【答案】8555．【分析】根据每一项分别是12、22、32、42、52可找到规律，整理可得原式关于n的一个函数式，即可解题．点睛：本题考查了学生发现规律并且整理的能力，本题中整理出原式关于n的解析式是解题的关键．考点：有理数的加法；规律型；综合题．14．（四川省乐山市）高斯函数[x]，也称为取整函数，即[x]表示不超过x的最大整数．例如：[2.3]=2，[﹣1.5]=﹣2．则下列结论：①[﹣2.1]+[1]=﹣2；②[x]+[﹣x]=0；③若[x+1]=3，则x的取值范围是2≤x＜3；④当﹣1≤x＜1时，[x+1]+[﹣x+1]的值为0、1、2．其中正确的结论有（写出所有正确结论的序号）．【答案】①③．【分析】根据[x]表示不超过x的最大整数，即可解答．【解析】①[﹣2.1]+[1]=﹣3+1=﹣2，正确；②[x]+[﹣x]=0，错误，例如：[2.5]=2，[﹣2.5]=﹣3，2+（﹣3）≠0；③若[x+1]=3，则x的取值范围是2≤x＜3，正确；④当﹣1≤x＜1时，0≤x+1＜2，﹣1＜﹣x+1≤1，[x+1]+[﹣x+1]的值为2，故错误．故答案为：①③．点睛：本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是明确[x]表示不超过x的最大整数．考点：有理数的混合运算；新定义．15．（四川省成都市）实数a，n，m，b满足a＜n＜m＜b，这四个数在数轴上对应的点分别为A，N，M，B（如图），若2BN=AN•AB，则称m为a，b的“大黄金数”，n为a，b的“小黄金数”，AM=BM•AB，2当b﹣a=2时，a，b的大黄金数与小黄金数之差m﹣n= ．【答案】4．【分析】先把各线段长表示出来，分别代入到2BN=AN•AB中，列方程组；两式相减后AM=BM•AB，2再将b﹣a=2和m﹣n=x整体代入，即可求出．点睛：本题考查了数轴上两点的距离，同时也进一步考查了数学中的阅读理解能力；做好此题的关键是能正确表示数轴上两点的距离：若A表示x A、B表示x B，则AB=|x B﹣x A|；本题还运用了整体代入的思想，这种思想在数学中经常运用，要熟练掌握．考点：实数与数轴；整体代入．16．（四川省宜宾市）规定：log a b（a＞0，a≠1，b＞0）表示a，b之间的一种运算．现有如下的运算法则：log a n n a ．log N M=log log n n M N（a ＞0，a ≠1，N ＞0，N ≠1，M ＞0）． 例如：log 223=3，log 25=1010log 5log 2，则100log 1000= ． 【答案】32． 点睛：本题考查了实数的运算，这是一个新的定义，利用已知所给的新的公式进行计算．认真阅读，理解公式的真正意义；解决此类题的思路为：观察所求式子与公式的联系，发现1000与100都与10有关，且都能写成10的次方的形式，从而使问题得以解决． 考点：实数的运算；新定义．17．（广东茂名）为了求1+3+32+33+…+3100的值，可令M=1+3+32+33+…+3100，则3M=3+32+33+34+…+3101，因此，3M ﹣M=3101﹣1，所以M=，即1+3+32+33+…+3100=，仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是 ． 【答案】 【考点】 有理数的乘方．【分析】 根据题目信息，设M=1+5+52+53+…+52015，求出5M ，然后相减计算即可得解．解答： 解：设M=1+5+52+53+ (52015)则5M=5+52+53+54 (52016)两式相减得：4M=52016﹣1，则M=．故答案为．点睛： 本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键．18．（广东东莞）观察下列一组数：，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是 ．【答案】【考点】 规律型：数字的变化类．点睛： 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，得出规律，利用规律，解决问题是解答此题的关键．19．（湖南省张家界市）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1，记为21i =-，这个数i 叫做虚数单位，把形如a bi +（,a b 为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加、减，乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：()()()()253251372i i i i -++=++-+=+ ()()()21212221213i i i i i i i +⨯-=⨯-+⨯-=+-++=+；根据以上信息，完成下列问题：（1）填空：3i =_________，4i =___________；（2）计算：()()134i i +⨯-；（3）计算：232017i i i i ++++．【答案】（1）﹣i ，1；（2）7﹣i ；（3）i ．【分析】（1）把i 2=﹣1代入求出即可；（2）根据多项式乘以多项式的计算法则进行计算，再把i 2=﹣1代入求出即可；（3）先根据复数的定义计算，再合并即可求解．点睛：本题考查了整式的混合运算，复数的定义，能读懂题意是解此题的关键，主要考查了学生的理解能力和计算能力，难度适中．考点：实数的运算；新定义；阅读型．20．（云南省）观察下列各个等式的规律： 第一个等式：222112--=1，第二个等式：223212-- =2，第三个等式：224312--=3… 请用上述等式反映出的规律解决下列问题：（1）直接写出第四个等式；（2）猜想第n 个等式（用n 的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的．【答案】（1）225412--=4；（2）22(1)12n n +--=n ．点睛：本题考查规律型：数字的变化类，解答本题的关键是明确题目中式子的变化规律，求出相应的式子． 考点：规律型：数字的变化类；规律型．学科#网21．（四川省内江市）观察下列等式： 第一个等式：122211132222121a ==-+⨯+⨯++； 第二个等式：2222232111322(2)2121a ==-+⨯+⨯++； 第三个等式：3332342111322(2)2121a ==-+⨯+⨯++； 第四个等式：4442452111322(2)2121a ==-+⨯+⨯++； 按上述规律，回答下列问题：（1）请写出第六个等式：a 6= = ；（2）用含n 的代数式表示第n 个等式：a n = = ；（3）a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6= （得出最简结果）；（4）计算：a 1+a 2+…+a n ．【答案】（1）666221322(2)+⨯+⨯，67112121-++；（2）221322(2)n n n +⨯+⨯，1112121n n +-++；（3）1443；（4）11223(21)n n ++-+． 【分析】（1）根据已知4个等式可得；（2）根据已知等式得出答案；（3）利用所得等式的规律列出算式，然后两两相消，计算化简后的算式即可得；（4）根据已知等式规律，列项相消求解可得．点睛：本题主要考查数字的变化，解题的关键是根据已知等式得出等式的变化规律及列项相消法求解． 考点：规律型：数字的变化类；综合题．22．（安徽省）【阅读理解】 我们知道，(1)1232n n n +++++=，那么2222123n ++++结果等于多少呢？在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22，…；第n 行n 个圆圈中数的和为n n n n n +++个，即2n .这样，该三角形数阵中共有(1)2n n +个圆圈，所有圆圈中数的和为2222123n ++++．．【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n ﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n ﹣1，2，n ），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为 ，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为22223(123)n ++++== ，因此，2222123n ++++= ．【解决问题】 根据以上发现，计算：222212320171232017++++++++的结果为 ． 【答案】【规律探究】2n+1，(1)(21)2n n n ++，(1)(21)6n n n ++；【解决问题】1345．【分析】【规律探究】将同一位置圆圈中的数相加即可，所有圈中的数的和应等于同一位置圆圈中的数的和乘以圆圈个数，据此可得，每个三角形数阵和即为三个三角形数阵和的13，从而得出答案；【解决问题】原式=12017(20171)(220171)612017(20171)2⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+=13×（2017×2+1）=1345，故答案为：1345．点睛：本题主要考查数字的变化类，阅读材料、理解数列求和的具体方法得出规律，并运用规律解决实际问题是解题的关键．考点：规律型：数字的变化类；综合题．23．（重庆）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=pq．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最佳分解，所以F（12）=34．（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）57．【分析】（1）根据题意可设m=2n，由最佳分解定义可得F（m）=mm=1；（2）根据“吉祥数”定义知（10y+x）﹣（10x+y）=18，即y=x+2，结合x的范围可得2位数的“吉祥数”，求出每个“吉祥数”的F（t），比较后可得最大值．值是57．点睛：本题主要考查实数的运算，理解最佳分解、“吉祥数”的定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键．考点：实数的运算；新定义．。