中考专题复习一《实数》

中考专题复习1--《实数》

考点一、实数的概念及分类

1、实数的分类

正有理数

有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数

无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：

（1）开方开不尽的数，如32,7等；

（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3

π

+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等

考点二、实数的倒数、相反数和绝对值

1、相反数

实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。

2、绝对值

一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

3、倒数

如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。

考点三、平方根、算数平方根和立方根

1、平方根

如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“a ±”。

2、算术平方根

正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a （a ≥0）

0≥a

==a a 2 ；注意a 的双重非负性：

-a （a <0） a ≥0

3、立方根

如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

考点四、科学记数法和近似数

1、有效数字

一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。

2、科学记数法

把一个数写做n

a 10?±的形式，其中101<≤a ，n 是整数，这种记数法叫做科学记数法。

考点五、实数大小的比较

1、数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 2、实数大小比较的几种常用方法

（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）求差比较：设a 、b 是实数，

,0b a b a >?>- ,0b a b a =?=-

b a b a

（3）求商比较法：设a 、b 是两正实数，

;1;1;1b a b

a

b a b a b a b a ?> （4）绝对值比较法：设a 、b 是两负实数，则b a b a 。 （5）平方法：设a 、b 是两负实数，则b a b a 2

2

。

考点六、实数的运算 （做题的基础，分值相当大）

1、加法交换律 a b b a +=+

2、加法结合律 )()(c b a c b a ++=++

3、乘法交换律 ba ab =

4、乘法结合律 )()(bc a c ab =

5、乘法对加法的分配律 ac ab c b a +=+)(

6、实数的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

1．（内蒙古赤峰市）正整数x 、y 满足（2x ﹣5）（2y ﹣5）=25，则x+y 等于（ ） A ．18或10 B ．18 C ．10 D ．26 【答案】A ．

【分析】易得（2x ﹣5）、（2y ﹣5）均为整数，分类讨论即可求得x 、y 的值即可解题．

【解析】∵xy 是正整数，∴（2x ﹣5）、（2y ﹣5）均为整数，∵25=1×25，或25=5×5，∴存在两种情况：①2x ﹣5=1，2y ﹣5=25，解得：x=3，y=15； ②2x ﹣5=2y ﹣5=5，解得：x=y=5； ∴x+y=18或10，故选 A ．

点睛：本题考查了整数的乘法，本题中根据25=1×25或25=5×5分类讨论是解题的关键． 考点：有理数的乘法；分类讨论．

2．（四川省自贡市）填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律m 的值为（ ）

A ．180

B ．182

C ．184

D ．186 【答案】C ．

【分析】利用已知数据的规律进而得出最后表格中数据，进而利用数据之间关系得出m 的值． 点睛：此题主要考查了数字变化规律，正确得出表格中数据是解题关键． 考点：规律型：数字的变化类．

3．（山东省淄博市）在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m ，再由乙猜这个小球上的数字，记为n ．如果m ，n 满足|m ﹣n|≤1，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（ ） A ．

38 B ．58 C ． 14 D ．1

2

【答案】B ．

【分析】画出树状图列出所有等可能结果，由树状图确定出所有等可能结果数及两人“心领神会”的结果数，根据概率公式求解可得．

点睛：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．

考点：列表法与树状图法；绝对值．

4．（山东省潍坊市）定义[x]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]=1，[﹣1.4]=﹣2，[﹣3]=﹣3．函数y=[x]的图象如图所示，则方程[]2

2

1x x =

的解为（ ）

．

A ．0或2

B ．0或2

C ．1或2-

D ．2或2- 【答案】A ．

【分析】根据新定义和函数图象讨论：当1≤x ≤2时，则

212x =1；当﹣1≤x ≤0时，则21

2

x =0，当﹣2

≤x ＜﹣1时，则

2

12

x =﹣1，然后分别解关于x 的一元二次方程即可． 点睛：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了实数的大小比较． 考点：解一元二次方程﹣因式分解法；实数大小比较；函数的图象；新定义；分类讨论．

5．（湖北省十堰市）如图，10个不同的正偶数按下图排列，箭头上方的每个数都等于其下方两数的和，如

123

a a a ，表示123a a a =+，则1a 的最小值为（ ）

A ．32

B ．36

C ．38

D ．40 【答案】D ．

【分析】由a 1=a 7+3（a 8+a 9）+a 10知要使a 1取得最小值，则a 8+a 9应尽可能的小，取a 8=2、a 9=4，根据a 5=a 8+a 9=6，则a 7、a 10中不能有6，据此对于a 7、a 8，分别取8、10、12检验可得，从而得出答案． 【解析】∵a 1=a 2+a 3=a 4+a 5+a 5+a 6=a 7+a 8+a 8+a 9+a 8+a 9+a 9+a 10=a 7+3（a 8+a 9）+a 10，∴要使a 1取得最小值，则a 8+a 9应尽可能的小，取a 8=2、a 9=4，∵a 5=a 8+a 9=6，则a 7、a 10中不能有6，若a 7=8、a 10=10，则

a 4=10=a 10

，

不

符

点睛：本题主要考查数字的变化类，根据题目要求得出a 1取得最小值的切入点是解题的关键． 考点：规律型：数字的变化类；最值问题．

6．（浙江省绍兴市）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）

A．84 B．336 C．510 D．1326

【答案】C．

【分析】类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数×37+百位上的数×27+十位上的数×7+个位上的数．

【解析】1×37+3×27+2×7+6=510，故选C．

点睛：本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．

考点：用数字表示事件；阅读型．

7．（湖南省永州市）我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：

根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log216=4，②log525=5，③log21

2

=﹣1．其中正确的是（）

A．①②B．①③C．②③D．①②③【答案】B．

【分析】根据指数运算和新的运算法则得出规律，根据规律运算可得结论．【解析】①因为24=16，所以此选项正确；

②因为55=3125≠25，所以此选项错误；

③因为2﹣1=1

2

，所以此选项正确；

故选B．

点睛：此题考查了指数运算和新定义运算，发现运算规律是解答此题的关键．考点：实数的运算；新定义．

8．（河北,）在数轴上标注了四段范围，如图，则表示的点落在（）

A．段①B．段②C．段③D．段④

【答案】C

【考点】估算无理数的大小；实数与数轴．

点睛：本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是计算出各数的平方．

9．（四川省宜宾市）规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．则下列说法正确的是．（写出所有正确说法的序号）

①当x=1.7时，[x]+（x）+[x）=6；

②当x=﹣2.1时，[x]+（x）+[x）=﹣7；

③方程4[x]+3（x）+[x）=11的解为1＜x＜1.5；

④当﹣1＜x＜1时，函数y=[x]+（x）+x的图象与正比例函数y=4x的图象有两个交点．

【答案】②③．

【分析】根据题意可以分别判断各个小的结论是否正确，从而可以解答本题．

④∵﹣1＜x＜1时，∴当﹣1＜x＜﹣0.5时，y=[x]+（x）+x=﹣1+0+x=x﹣1，当﹣0.5＜x＜0时，y=[x]+（x）+x=﹣1+0+x=x﹣1，当x=0时，y=[x]+（x）+x=0+0+0=0，当0＜x＜0.5时，y=[x]+（x）+x=0+1+x=x+1，

当0.5＜x＜1时，y=[x]+（x）+x=0+1+x=x+1，∵y=4x，则x﹣1=4x时，得x=

1

3

；x+1=4x时，得

x=1

3

；当x=0时，y=4x=0，∴当﹣1＜x＜1时，函数y=[x]+（x）+x的图象与正比例函数y=4x的图象

有三个交点，故④错误，故答案为：②③．

点睛：本题考查新定义，解答本题的关键是明确题意，根据题目中的新定义解答相关问题．

考点：两条直线相交或平行问题；有理数大小比较；解一元一次不等式组；新定义．

10．（四川省凉山州）古希腊数学家把1、3、6、10、15、21、…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，…，依此类推，第100个三角形数是．

【答案】5050．

【分析】设第n个三角形数为a n，分析给定的三角形数，根据数的变化找出变化规律“a n=1+2+…+n=

(1)

2

n n +”，依此规律即可得出结论． 【解析】设第n 个三角形数为a n ，∵a 1=1，a 2=3=1+2，a 3=6=1+2+3，a 4=10=1+2+3+4，…

∴a n =1+2+…+n=

(1)2n n +，将n=100代入a n ，得：a 100=100(1001)

2

+=5050，故答案为：5050． 点睛：本题考查了规律型中的数字的变化类，解题的关键是找出变化规律“a n =1+2+…+n=(1)

2

n n +”．

考点：规律型：数字的变化类；综合题．学科#网 11．（滨州）观察下列各式：

2111313=-?，211

2424

=-?

2113535=-? ……

请利用你所得结论，化简代数式

213?＋224?＋2

35

?＋…＋2(2)n n +（n ≥3且为整数），其结果为__________．

【答案】2352(1)(2)

n n

n n +++ ．

【分析】根据所列的等式找到规律2(2)n n +=112n n -+，由此计算213?＋224?＋2

35

?＋…＋2(2)n n +的值．

点睛：此题主要考查了数字变化类，此题在解答时，看出的是左右数据的特点是解题关键． 考点：分式的加减法；规律型；综合题．

12．（湖北省恩施州）如图，在6×6的网格内填入1至6的数字后，使每行、每列、每个小粗线宫中的数字不重复，则a ×c= ．

【答案】2．

【分析】粗线把这个数独分成了6块，为了便于解答，对各部分进行编号：甲、乙、丙、丁、戊、己，先从各部分中数字最多的己出发，找出其各个小方格里面的数，再根据每行、每列、每小宫格都不出现重复

的数字进行推算．

观察上图发现：第四列已经有数字2、3、4、6，缺少1和5，由于5不能在第二行，所以5在第四行，那么1在第二行；如下：

再看甲部分：已经有了数字1、3、4、5，缺少数字2、6，观察上图发现：2不能在第三列，所以2在第二列，则6在第三列的第一行，如下：

观察上图可知：第三列少1和4，4不能在第三行，所以4在第五行，则1在第三行，如下：

观察上图可知：第六列缺少1和2，1不能在第三行，则在第四行，所以2在第三行，如下：

再看戊部分：已经有了数字2、3、4、5，缺少数字1、6，观察上图发现：1不能在第一列，所以1在第二列，则6在第一列，如下：

观察上图可知：第一列缺少3和4，4不能在第三行，所以4在第四行，则3在第三行，如下：