初中数学竞赛专题：实数

初中数学竞赛专题：实数1．1实数的运算 1．1．1★计算：201320142014201420132013⨯-⨯．解析 将20142014及20132013分别分解为两数的积,得201420142014100002014201410001-⨯+=⨯, 201320132013100002013201310001=⨯+=⨯,所以,原式201320141000120142013100010⨯⨯-⨯⨯==． 评注一般地有101abab ab =⨯；1001abcdc abc =⨯；10001abcdabcd abcd =⨯；…1.1.2★计算：12324671421135261072135⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯．解析 原式()()12312227771351222777⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯25=． 1.1.3★计算：111122399100+++⨯⨯⨯．解析原式111111991122399100100100⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 评注 在做分数加减法运算时,根据特点,将其中一些分数适当拆开,使得拆开后有一些分数可以相互抵消,达到简化运算的目的,这种方法叫拆项法．本例中,我们把()11n n ⨯+拆成111n n -+,即有()11111n n n n =-⨯++． 其他常用的拆项方法如：(1)()11d n n d n n d=-⨯++()1111n n d d n n d ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⨯++⎝⎭⎢⎥⎣⎦或．它经常用于分母各因子成等差数列,且公差为d 的情形． (2)()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=⨯-⎢⎥⨯+⨯+⨯++⨯+⎢⎥⎣⎦．1.1.4★计算：11111111111854108180270378504648810990+++++++++． 解析原式111111136699121215151818212124=++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯111242727303033+++⨯⨯⨯ 111111336369⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111111391233033⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11110333399⎛⎫=-=⎪⎝⎭． 1.1.5★★计算：1111232349899100+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯．解析因为()()()()()1111122112k k k k k k k ⎛⎫=- ⎪ ⎪+++++⎝⎭,所以 原式11111111121223223342989999100⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭11149492129910019800⎛⎫=-=⎪⨯⨯⎝⎭． 1.1.6★★计算：111112123123412100+++++++++++++．解析因为()121121211n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++++⎝⎭, 所以 原式2222233445100101=++++⨯⨯⨯⨯119922101101⎛⎫=-= ⎪⎝⎭． 1.1.7★★设2221114834441004A ⎛⎫=⨯+++⎪---⎝⎭,求与A 最接近的正整数． 解析对于正整数3n ≥,有211114422n n n ⎛⎫=- ⎪--+⎝⎭, 所以2221114834441004A ⎛⎫=⨯+++⎪---⎝⎭111111481429856102⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+++-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦111111112123499100101102⎛⎫=⨯+++---- ⎪⎝⎭ 1111251299100101102⎛⎫=-⨯+++ ⎪⎝⎭．因为111141121299100101102992⎛⎫⨯+++<⨯<⎪⎝⎭,所以,与A 最接近的正整数为25． 1.1.8★★2008加上它的12得到一个数,再加上所得的数的13又得到一个数,再加上这次得数的14又得到一个数,…,依此类推,一直加到上一次得数的12008．最后得到数为 111342009200820092008111200820170362320082320082⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯⨯+=⨯⨯⨯⨯== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 1.1.9★计算：1111112233420122013++++⨯⨯⨯⨯．解析 因为111112233420122013++++⨯⨯⨯⨯1111112012112232012201320132013⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以120131111201212233420122013=++++⨯⨯⨯⨯． 1.1.10★计算：123420072008S =-+-++-．解析()()()()()()10041234200720081111004S =-+-++-=-+-++-=-共个1.1.11★★计算：1223341920⨯+⨯+⨯++⨯．解析 因为1121233⨯=⨯⨯⨯,()1232341233⨯=⨯⨯-⨯⨯, ()1343452343⨯=⨯⨯-⨯⨯, ……()119201920211819203⨯=⨯⨯-⨯⨯, 所以1223341920⨯+⨯+⨯++⨯()()111123234123192021181920333=⨯⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯ 119202126603=⨯⨯⨯=． 1.1.12★★计算：123234345282930⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯．解析123234345282930⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯()()1111234234512342829303127282930444=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ 1282930314188790=⨯⨯⨯⨯=． 1.1.13★★计算：21001111222++++． 解析设21001111222S =++++,则 21001011111122222S =++++, 所以10111122S S -=-, 故100122S =-． 评注一般地,对于求和：21n q q q ++++,我们常常采用如下方法,令21n S q q q =++++, 则21n n qS q q q q +=++++,于是11n S qS q +-=-,()1111n q S q q+-=≠-．1.1.14★★计算：2101111333++++．解析 设2101111333S =++++,则210111111133333S =++++,所以 1111133S S -=-,1031223S =-⨯． 1.1.15★计算：1111111111112319992199821999231998⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++-++++++⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 解析设111231999a =+++, 111231998b =+++, 则原式()()1111999a b a b a b =+-+=-=．1.1.16★★计算下列繁分数：111111111131355-----（2008个减号）．解析 先耐心地算几步,从中发现规律．可将355113用字母a 代替（这样可以得到更一般的结论）．自下而上逐步算出111a a a--=, 1111111a a a a a--=-=---, ()111111a a a -=+-=--． 由此可见,每计算3步,a 又重新出现,即3是一个周期．而200836691=⨯+,所以,原式111a a a -=-=．特别地,在355113a =时,得出本题的答案是1132421355355-=． 1.1.17★★比较1234248162n nnS =+++++与2的大小． 解析先将n S 中的每一个数拆成两数的差：13222=-,234424=-,345848=-,45616816=-,,112222n n n n n n -++=-． 所以,133445561222244881622n n n n n S -++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝2222nn +-<, 好2n S < 1.1.18★★★已知1166126713681469157010011651266136714681569a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯,问：a 的整数部分是多少？解析 我们只要估算出a 在哪两个相邻整数之间即可．1166126713681469157010011651266136714681569a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎛⎫=⨯ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎝⎭()()()()()116511266113671146811569110011651266136714681569⨯++⨯++⨯++⨯++⨯+⎛⎫=⨯ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎝⎭11651112661213671314681415691510011651266136714681569⨯++⨯++⨯++⨯++⨯+⎛⎫=⨯ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎝⎭ 1112131415110011651266136714681569++++⎛⎫=+⨯ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎝⎭100b =+．这里111213141510011651266136714681569b ++++⎛⎫=⨯⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎝⎭,下面进一步估计b 介于哪两个相邻整数之间．111213141511121314151001001165126613671468156911651265136514651565b ++++++++⎛⎫⎛⎫=⨯<⨯ ⎪ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎝⎭⎝⎭ ()1112131415100100211121314156565++++=⨯=<++++⨯,111213141510011651266136714681569b ++++⎛⎫=⨯ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎝⎭111213141510011691269136914691569++++⎛⎫>⨯ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎝⎭()1112131415100100111121314156969++++=⨯=>++++⨯． 所以,12b <<,101102a <<． 即a 的整数部分是101． 1.1.19★★在数210,310,410,510,610,710,810,910的前面分别添加“+”或“-”,使它们的和为1,你能想出多少种方法？ 解析这8个有理数的分母都是10,只要2,3,4,5,6,7,8,9这8个整数的代数和为10即可,而23944+++=,所以添加“+”或“-”后,正数的和应为()12744102⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．方法很多．如2345678911010101010101010+++++--=, 2345678911010101010101010-+++-++-=,2345678911010101010101010-+-+++-=, 2345678911010101010101010-++-+-+=, 2345678911010101010101010+-+--++=等． 1.1.20★★计算()()()()()()()()()()444444444476415642364316439643641164196427643564++++++++++．解析 因为()()()()()244222222226416641681648482424a a a a a a a a a a a a +=++-=+-=++-+⎡⎤⎡⎤=++-+⎣⎦⎣⎦,所以,原式等于()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()222222222222222222225494134174214254294334374414145494134174214254294334374+++++⋅++++++++++⋅+++++2241433714+==+． 1.1.21★★★求和：242424241231001111221331100100++++++++++++．解析因为()()()22422221111k k k k k k k k ++=+-=-+++,所以()()24111121111kk k k k k k ⎛⎫=- ⎪ ⎪++-+++⎝⎭, 原原式111111120111211212319910011001011⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦115050121010110101⎛⎫=-=⎪⎝⎭． 1.1.22★★已知21122221nn n n n a ++=--+,其中n 为正整数,证明：1220131a a a +++<．解析 注意到()()1121121212121n n n n n na ++==-----,所以122013a a a +++22320132014111111212121212121=-+-++-------201411121=-<-．1.1.23★★★求下列分式的值：222222129911005000220050009999005000+++-+-+-+． 解析 由于()()()222210010050001001001005000k k k k k k -+-+---+ ()()()222222210022100100k k k k k k-=+=+--+．由此, 原式2222222222199495150110050009999005000494900500051510050005050005000⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪-+-+-+-+-+⎝⎭⎝⎭99121992-=⋅+=．评注 对通项的分子分母同乘2,发现可以首尾配对是本题的关键．1.1.24★★设3333111112399S =++++,求4S 的整数部分． 解析对于2k =,3,,99,因为()()()32111112111k k k k k k k ⎛⎫<=- ⎪ ⎪-+-⎝⎭, 所以333111112399S <=++++11112299100⎛⎫<+- ⎪⨯⎝⎭54<, 于是有445S <<,故4S 的整数部分等于4．1.2实数与数轴1.2.1★数a 、b 在数轴上对应的点如图所示,试化简a b b a b a a ++-+--．解析 由图可知0a <,0b >,而且由于a 点离原点的距离比b 点离原点的距离大,因此0a b +<．我们有a b b a b a a ++-+--()()()a b b a b a a =-++-+---()2a b b a b a --+-+--b =．评注本题由图,即数轴上a 、b 两点的位置,“读”得0a <,0b >,0a b +<等条件,从而去掉绝对值符号,解决问题．1.2.2★已知3x <-,化简：321x +-+． 解析这是一个含有多层绝对值符号的问题,可从里往外一层一层地去绝对值符号．原式()321x =+++（因为10x +<）()3333x x =++=-+（因为30x +<）x x =-=-．1.2.3★若0x <,化简23x x x x---．解析因为0x <,所以30x -<,从而x x =-,()333x x x -=--=-, ()333x x x x --=---=, 2233x x x x x x -=--=-=-．因此,原式33xx -==-． 评注根据所给的条件,先确定绝对值符号内的代数式的正负,然后化去绝对值符号．若有多层绝对值符号,即在一个绝对值符号内又含有绝对值符号（如本题中的分子2x x -）,通常从最内层开始,逐层向外化去绝对值符号． 1.2.4★化简：3121x x ++-． 解析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号,则是很容易的事．例如,化简31x +,只要考虑31x +的正负,即可去掉绝对值符号．这里我们是分13x -≥是一个分界点．类似地,对于21x -而言,12x =是一个分界点．为同时去掉两个绝对值符号,我们把两个分界点13-和12标在数轴上,把数轴分为三个部分（如图所示）,即13x <-,1132x -<≤,12x ≥．32这样我们就可以分类讨论化简了． （1）当13x <-时,原式()()31215x x x =-+--=-； （2）当1132x -<≤时, 原式()()31212x x x =+--=+； （3）当12x ≥时,原式()()31215x x x =++-=． 即15,31131212,3215,2x x x x x x x x ⎧<-⎪⎪⎪++-=+<⎨⎪⎪⎪⎩-当时;当-≤时当≥时评注 解这类题目,可先求出使各个绝对值等于零的变量字母的值,即先求出各个分界点,然后在数轴上标出这些分界点,这样就将数成分几个部分,根据变量字母的这些取值范围分类讨论化简,这种方法又称为“零点分段法”． 1.2.5★设0a <,且ax a≤,试化简 12x x +--．解析 因为0a <,a a =-,所以1a a a a ==--．a x a≤,即1x -≤,所以 10x +≤,20x -<,因此()()1212x x x x +--=-+---⎡⎤⎣⎦123x x =--+-=-．1.2.6★★化简121x x --++． 解析先找零点．由10x -=得1x =．由120x --=即12x -=,得12x -=±, 从而1x =-或3x =．由10x +=得1x =-．所以零点共有1-,1,3三个．因此,我们应将数轴分成4个部分,即1x <-,11x -<≤,13x <≤,3x ≥．当1x <-时,原式()()121x x =---+-+⎡⎤⎣⎦11x x =----1122x x x =----=--．当11x -<≤时, 原式()12111x x x x =---++=--++1122x x x =+++=+．当13x <≤, 原式121x x =--++31x x =-++314x x =-++=．当3x ≥时,原式121x x =--++313122x x x x x =-++=-++=-．即原式22,1,22,114,1322,3x x x x x x x --<-⎧⎪+-<⎪=⎨<⎪⎪-⎩≤≤≥评注 由于本例中含又重绝对值,采用零点分段法时,不要忘了考虑12x --的零点．1.2.7★★若245134x x x +-+-+的值恒为常数,求x 满足的条件及此常数的值． 解析要使原式对任何数x 恒为常数,则去掉绝对值符号,化简合并时,必须使含x 的项相加为零,即x 的系数之和为零,故本题只有2530x x x -+=一种情况．因此必须有4545x x -=-且1331x x -=-．故x 应满足的条件是 450,310x x -⎧⎨-⎩≥≥ 解得1435x ≤≤．此时,原式()()2451347x x x =+---+=．1.2.8★★如果122y x x x =+-+-,且12x -≤≤,求y 的最大和最小值． 解析（1）当10x -<≤时,有122y x x x =+-+-()12223x x x x =++--=+,所以13y <≤． （2）当02x ≤≤时,有()12212232y x x x x x x x=+-+-=+---=-,所以13y -≤≤．综上所述,y 的最值是3,最小值是1-．1.2.9★★求代数式111213x x x ++-++的最小值．-11-13解析 设111213y x x x =++-++,根据绝对值的几何意义,我们知道y 表示数轴上对应x 的点到对应12、11-、13-的点的距离之和,下面分类讨论： 当12x ≥时,1325y x >+≥； 当13x -≤时,1225y x >-≥；当1312x -<<时,121325y x x -++=≥． 因此,当11x =-时,y 取最小值25．1.2.10★★如果m 为有理数,求代数式1356m m m m -+-++++的最小值． 解析分6m -≤,65m -<-≤,51m -<≤,13m <≤,3m >五个部分进行讨论．去掉绝对值符号,经过化简得到：当6m -≤时,原式47m =--,最小值为17； 当65m -<-≤时,原式25m =-+,最小值为15； 当51m -<≤时,原式15=,是一固定值； 当13m <≤时,原式215m =+,最小值大于15； 当3m >时,原式47m =+,最小值大于15． 综上所述,原代数式的最小值为15． 评注此题还可以用绝对值的向何意义求解．本题就是要在数轴上找一点x ,使它到6-、5-、1、3的距离之和最小．这一点显然应在5-与1之间（包括这两点）的任意一点,它到6-、5-、1、3的距离之和为15,就是要求的最小值．1.2.11★★已知1x ≤,1y ≤,且124k x y y y x =++++--,求k 的最大值和最小值．解析由题设条件知：11x -≤≤,11y -≤≤． 于是10y +≥,240y x --<．所以 （1）当0x y +≤时,有124k x y y y x =++++-- ()()124x y y y x =-+++---25y =-+,所以 37k ≤≤．（2）当0x y +≥时,有()12425k x y y y x x =+++---=+,所以 37k ≤≤．因此,k 的最大值是为7,最小值为3． 1.2.12★★已知26141y x x x =++--+,求y 的最大值．解析 首先使用“零点分段法”将y 化简,然后在各个取值范围内求出y 的最大值,再加以比较,从中选出最大者． 有三个分界点：3-,1,1-．（1）当3x -≤时,()()()261411y x x x x =-+--++=-,由于3x -≤,所以14y x =--≤,y 的最大值是4-．（2）当31x --≤≤时,()()()26141511y x x x x =+--++=+,由于31x --≤≤,所以45116x -+≤≤,y 的最大值是6．（3）当11x -≤≤时,()()()2614133y x x x x =+---+=-+,由于11x -≤≤,所以0336x -+≤≤,y 的最大值是6．（4）当1x ≥时,()()()261411y x x x x =++--+=-+,由于1x ≥,所以10x -≤,y 的最大值是0． 综上可知,当1x =-时,y 取得最大值为6． 1.2.13★★★设a b c d <<<,求x a x b x c x d -+-+-+-的最小值．解析 设a 、b 、c 、d 、x 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C 、D 、X ,则x a -表示线段AX之长,同理,x b -,x c -,x d -分别表示线段BX ,CX ,DX 之长,现要求x a -,x b -,x c -,x d -这和的值最小,就是要在数轴上找一点X ,使该点到A 、B 、C 、D 四点距离之和最小． 因为a b c d <<<,所以A 、B 、C 、D 的排列应如图所示：x所以当X 在B 、C 之间时,距离和最小,这个最小值为AD BC +,即()()d a c b -+-． 1.2.14★★a 、b 为有理数,且a b a b +=-,试求ab 的值． 解析当0a b +≥时,由a b a b a b +=+=-得b b =-,故此时0b =．当0a b +<时,由()a b a b a b a b +=-+=--=-,得a a -=,故此时0a =． 所以,不管是0a b +≥还是0a b +<,a 、b 中至少有一个为0,因此,0ab =．1.2.15★★若a 、b 、c 为整数,且19991a b c a -+-=,试计算c a a b b c -+-+-的值． 解析因为a 、b 、c 均为整数,则a b -,c a -也应为整数,且19a b -,99c a -为两个非负整数,和为1,所以只能是190a b-=且991c a-=,① 或者191a b -=且990c a -=．②由①有a b =且1c a =±,于是1b c c a -=-=；由②有c a =且1a b =±,于是1b c a b -=-=．无论①或②都有1b c -=且1a b c a -+-=,所以 2c a a b b c -+-+-=．1.2.16★★★将1,2,…,100这100个正整数任意分成50组,每组两个数,现将每组的两个数中任一个数记为a ,另一个数记为b ,代入代数式()12a b a b -++中进行计算,求出其结果,50组都代入后可求得50个值,求这50个值的和的最大值． 解析代数式()12a b a b -++的值就是a 、b 中的较大数,为保证所计算出的50个值之和最大,分组时不要把51,52,…,100这50个数中任两个分成一组即可． 对于任意一组中的两个数a 、b ,不妨设a b >,则代数式()()1122a b a b a b a b a -++=-++=． 于是这50个值之和与大数a 有关,所以,这50个值的和的最大值为51521003775+++=．1.2.17★★★设n 个有理数1x ,2x ,…,n x 满足()11,2,,i x i n <=,且121219nnx x x x x x +++=++++,求n 的最小值． 解析先估计n 的下界,由1i x <,及120n x x x +++≥,知12n n x x x >+++ 121919n x x x =++++≥,所以,20n ≥． 又当20n =时,取0.95,1,3,5,,19,0.95,2,4,6,,20,i i x i =⎧=⎨-=⎩ 满足已知条件,所以,正整数n 的最小值为20． 1.3实数的判定1.3.1★★证明循环小数2.61545454 2.6154=是有理数．解析要说明一个数是有理数,其关键要看它能否写成两个整数比的形式．设2.6154x =,①两边同乘以100得100261.54264.5454x ==．②②-①得99261.54 2.61258.93x =-=,所以258939900x =． 既然x 能写成两个整数比的形式,从而也就证明了 2.6154是有理数．1.3.2★★已知x 是无理数,且()()13x x ++是有理数,在上述假定下,分析下面四个结论是： （1）2x 是有理数； （2）()()13x x --是无理数； （3）()21x +是有理数； （4）()21x -是无理数． 哪些是正确的？哪些是错误的？ 解析取无理数2x =,这时()())13112x x ++==是有理数,而)2214x ==-,故结论（1）不正确．仍取2x =,仿上可知结论（3）不正确．由于()()()()221343438138x x x x x x x x x x --=-+=-+-=++-,且()()13x x ++是有理数,8x 是无理数,故()()13x x --是无理数,即结论（2）正确．同样,由()()()211362x x x x -=++--,知结论（4）正确． 1.3.3)111112225n n -个个是有理数．解析 要证明所给的数能表示成mn （m ,n 为整数,0n ≠）的形式,关键是要证明()1111n -个2225n 个是完全平方数．()11112225n n -个个()1111110222105n n n +-=++⨯+个个1110110110210599n n n -+--=⨯+⨯⨯+()2111101021020459nn n ++=-+⨯-+ ()()22111010102510599n n n =+⨯+=+, 所以)1131112225105nn n -=+个个． 因为105n +与3均为整数,)111112225n n -个个是有理数．1.3.4解析要证明一个实数为无限不循环小数是一件极难办到的事．由于有理数与无理数共同组成了实数集,且二者是矛盾的两个对立面,所以,判定一个实数是无理数时,常常采用反证法． ,pq（p 、q 是互质的正整数）,两边平方有 222p q =,①所以p 一定是偶数．设2p m =（m 是正整数）,代入①得2242mq =,222q m =,所以q 也是偶数．p 、q 均为偶数和p 与q 互质矛盾,,评注只要p 是质数就一定是无理数,这个结论的证明并不困难,请自行完成．1.3.5★★设n 是正整数,则n 必是完全平方数；反过来,如果n 是完全平方数,是有理数（而且是正整数）．解析第二个结论显然成立,,qp=（p 、q 为互质的正整数）,从而22np q =．①我们知道,任何一个平方数的质因数分解式中,每一个质因数的指数都是正偶数（反过来也成立）；而非平方（自然）数的质因数分解式中,至少有一个质因数的指数是奇数．由此可见,如果n 不是完全平方数,那么无论n 与2p 有无相同的质因数,在2np 的质因数分解式中,至少有一个质因数的指数是奇数,即2np 不是平方数．这样①式不可能成立．所以,n 是完全平方数． 评注本题是一个重要的结论,它可作为定理使用,读者应熟悉它．有了这个结论,可以立即断1.3.6★★设a 、b,解析由于负数不能开平方,故由题设知a 、b 都是非负整数．若0a =或0b =,易知结论成立．若a 、b 都是正整数,=两边平方得2b a =-+,2a b+-=．由所设a 、b,,从而a 是平方数,,是整数． 1.3.7★★求满足等式1的有理数x 、y ． 解析把原式两边立方,得())23251632y y y =++．因x 、y 是有理数,故231625,32y x y y ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩解得22x =,2y =或22x =-,2y =-,易检验它们都满足原式． 1.3.8★★求满足条件的正整数a 、x、y ． 解析将原式两边平方得ax y -+-显然,a -,,则x y +-是有理数,这与①式矛盾,无理数． 由①式变形为2x y a +-=．假设0x y a +-≠,-,设为()0k k ≠,k =,所以有k =,两边平方得262xy k =+,所以226xy k --．因为0k ≠,所以2,而26xy k --是有理数,矛盾．所以0x y a +-=0=．所以,6.x y a xy +=⎧⎨=⎩又因为0>,所以x y >,所以满足条件的正整数为：6x =,1y =,7a =或3x =,2y =,5a =．1.3.9★★若1122a b a b αα+=+（其中1a 、2a 、1b 、2b 为有理数,α为无理数）,则12a a =,12b b =,反之,亦成立．解析 设法将等式变形,利用有理数不能等于无理数来证明． 将原式变形为()1221b b a a α-=-．若12b b ≠,则2112a ab b α-=-． 因为α是无理数,而2112a ab b --是有理数,矛盾．所以必有12b b =,进而有12a a =． 反之,显然成立． 评注本例的结论是一个常用的重要运算性质．1.3.10★★设a 与b 是两个不相等的有理数,是有理数还是无理数,并说明理由． 解析是有理数,设其为A ,即A =．整理得a Ab +．由1.3.9题知a Ab =,1A =,即a b =,这与已知a b ≠是有理数错误,是无理数．评注本例并未给出确定结论,需要解题者自己发现正确的结论．解这样的问题时,可以先找到一个立足点,为有理数作为立足点,以其作为推理的基础．1.3.11★★★已知a 、b 是两个任意有理数,且a b <,求证：a 与b 之间存在着无穷多个有理数（即有理数集具有稠密性）． 解析只要构造出符合条件的有理数,题目即可被证明．因为a b <,所以22a a b b <+<,所以2a ba b +<<． 设12a ba +=,1a 显然是有理数（因为a 、b 为有理数）．因为1a b <,所以,同理可证112a b a b +<<．设122a ba +=,2a 显然也是有理数,依此类推,设12n n a b a ++=,n 为任意正整数,则有12n a a a a b <<<<<<,且n a 为理数,所以在a 和b 之间存在无穷多个有理数．1.3.12★★★已知在等式ax bS cx d+=+中,a 、b 、c 、d 都是有理数,x 是无理数,问： （1）当a 、b 、c 、d 满足什么条件时,S 是有理数； （2）当a 、b 、c 、d 满足什么条件时,S 是无理数． 解析（1）当0a c ==,0d ≠时,bS d=为有理数． 当0c ≠时,有()ax b a bc adS cx d c c cx d +-==+++, 所以,只有当0bc ad -=,即ad bc =时,S 为有理数． 故当0a c ==,且0d ≠；或0c ≠,且ad bc =时,S 为有理数． （2）当0c =,0d ≠,0a ≠时,a bS x d d=+为无理数． 当0c ≠时,有()a bc adS c c cx d -=++, 故只有当0bc ad -≠,即ad bc ≠时,S 为无理数． 所以,当0c =,0a ≠,0d ≠；或0c ≠,ad bc ≠,S 为无理数．1.3.13★★已知a 、b 是两个任意有理数,且a b <,问是否存在无理数α,使得a b α<<成立？ 解析因为a b <,10>,所以))11a b <,)1b a <+．①又因为a b b <=+,所以a b -,即)1b a +<． ②由①,②有)1b a <+,所以1b aa b +<<．取)122b ab a b α++-==()2a b b -=+因为b 、2a b -是有理数,且02a b -≠,所以2a bb -+,即存在无理数α,使得a b α<<成立．1.3.14b ,求4321237620b b b b +++-的值． 解析因为无理数是无限不循环小数,所以不可能把一个无理数的小数部分一位一位确定下来,这类涉及无理数小数部分的计算题,往往是先估计它的整数部分（这是容易确定的）,然后再寻求其小数部分的表示方法．因为91416<<,即34<<,33b =+,两边平方得21496b b =++,所以265b b +=．()()()()4324322222123762026366206620b b b b b b b b b b b b b +++-=+⋅+++-=+++-2552010=+-=．1.3.15★★已知：p 、q 是有理数,x =且满足30x px q -+=,试求p q -的值．解析将x =30x px q -+=,得 30p q -+=⎝⎭,化简,得(2420p p q --+=． 因为p 、q 都是有理数,则20,420p p q -=⎧⎨-+=⎩ 解方程组,得2,1.p q =⎧⎨=-⎩所以3p q -=．评注本题应用到了性质：若a 、b 为有理数,p 为无理数,00a bp a b +=⇔==．1.3.16★★若n 为正整数,求证：必为无理数． 解析只需证4322221n n n n ++++为非完全平方数．而这只要证明它位于两个相邻的正整数的平方之间即可． 因为()()()43224322432222212212n n n n n n nnn n n n n n ++++=+++++>++=+,又因为()2432432423222221232112221n n n n n n n n n n n n n n n ++++<++++=+++++=++, 所以()()222432222211n n n n n n n n +<++++<++．而()22n n +与()221n n ++是两个相邻的整数的完全平方数,它们之间一定没有完全平方数．因则对任意的正整数n ,数4322221n n n n ++++不可能是完全平方数,即数．1.3.17★★★若m 、n 是正整数,a 、d 是实数,问是否存在三个不的素数p 、q 、r ,满足a =a md =+a nd =+？解析 假设存在三个不同的素数p 、q 、r ,a a md +a nd +．其中,a 、d 为实数,m 、n 是正整数．消去a、d,得m=,n即(m n=-．①①式的两边立方,得()3333--=-．②m r n q m n p将①式中的,得(()3333mn m n m r n q m n p ----．但是是无理数,故上面等式有矛盾．因此,不存在在个不同的素数p 、q 、r ,满足a =a md =+a nd =+．1.3.18★★★★设n a 是2222123n ++++的个位数字,1n =,2,3,…,求证：0．123na a a a 是有理数．解析有理数的另一个定义是循环小数,即凡有理数都是循环小数,反之循环小数必为有理数．所以,要证1230.na a a a 是有理数,只要证它为循环小数．因此本题我们从寻找它的循环节入手．计算n a 的前若干个值,寻找规律：1,5,4,0,5,1,0,4,5,5,6,0,9,5,0,6,5,9,0,0,1,5,4,0,5,1,0,4,…．发 现：200a =,211a a =,222a a =,233a a =,…,于是猜想：20k k a a +=,若此式成立,说明120.na a a 是由20个数字组成循环节的循环小数,即120.0.15405104556095065900na a a =．下面证明20k k a a +=． 令()22212f n n =+++,当()()20f n f n +-是10的倍数时,表明()020f n +与()f n 有相同的个位数,而()()20f n f n +- ()()()2221220n n n =++++++()()2222102421220n n =+⋅++++．由前面计算的若干值可知：2221220+++是10的倍数,故20k k a a +=成立,所以120.na a a 是一个有理数．1.3.19★★已知x y +、x y -、xy 、xy均为有理数,如果它们中有三个数相等,求x 、y 的值． 解析依题意,0y ≠,否则xy无意义． 若x y x y +=-,则0y =,矛盾． 所以x y x y +≠-．若0x =,则由x y xy +=或x y xy -=都得到0y =,矛盾．所以0xy ≠． 因此,三个相等的代数式只能是：（1）x x y xy y +==或（2）x x y xy y-==． 由,0x xy y x ⎧=⎪⎨⎪≠⎩得211y y =⇒=±． 当1y =时,由（1）得x y x +=,矛盾；由（2）得1x x -=,矛盾．所以1y ≠． 当1y =-时,由（1）得1x x -=-,21x =,12x =． 由（2）得1x x +=-,21x =-,12x =-． 所以12x =±,1y =-．1.3.20★★★[]x 表示不超过实数x 的最大整数,令{}[]x x x =-．（1）找出一个实数x 满足{}11x x ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭；（2）证明：满足上述等式的x ,都不是有理数． 解析设[]x m =,{}x α=,1n x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,1x β⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,则m 、n 是整数,0α≤,1β<．由题设1αβ+=,所以11x m n m n xαβ+=+++=++, ()2110x m n x -+++=,(112x m n =++．令13m n ++=,则(132x =,再验证它满足 {}11x x ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭． （1）取x ,则1x =,于是{}2x,1x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭所以 {}11x x ⎧⎫+==⎨⎬⎩⎭． （2）设x m α=+,1n x β=+,其中m 、n 是整数,0α≤,1β<．则1αβ+=,11x m n x+=++．于是()2110x m n x -+++=,(112x m n =++．当()214m n ++=时,1x =±,均不满足{}11x x ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭． 当()214m n ++>时,若()2214m n k ++-=,其中k 为正整数,则()()114m n k m n k ++-+++=．由于11m n k m n k ++-<+++,且1m n k ++-与1m n k +++同奇偶,所以12,12m n k m n k ++-=-⎧⎨+++=-⎩或12,12m n k m n k ++-=⎧⎨+++=⎩均不可能．故()214m n ++-不是完全平方数,从而x 是无理数． 1.3.21★★★★设a 、b 是实数,对所有正整数()2n ≥,n n a b +都是有理数,证明：a b +是有理数． 解析由题意,22a b +,33a b +,44a b +,…都是有理数．而n n a b +有如下“递推关系”：()()()2211n n n n n n a b a b a b ab a b +++++=++-+,所以()()()443322a b a b a b ab a b +=++-+, ()()()554433a b a b a b ab a b +=++-+,从中解出a b +即可． 设x a b =+,y ab =,则有()()443322a b a b x a b y +=+-+, ()()554433a b a b x a b y +=+-+,消去y ,得()()()2224433a b a b a b x ⎡⎤++-+⎢⎥⎣⎦()()()()22553344a b a b a b a b =++-++．所以,当()()()22244330a b a b a b ++-+≠,即()0ab a b -≠时,()()()()()()()225533442224433a b a b a b a b x ababab++-++=++-+是有理数．当()0ab a b -=时,若a 、b 全为0,则结论成立；若a 、b 中恰有一个为0,不妨设0a =,则3322a b b a b+=+为有理数,从而a b b +=为有理数；若0a b -=,且a 、b 均不为0,则3322a b a b a b ab ++=+- ()()33222222a b a b a ba b +=--+++()33222a b a b +=+是有理数． 从而命题得证． 评注本题分析中给出的递推关系：()()()2211n n n n n n a b a b a b ab a b +++++=++-+非常重要．遇到涉及n n a b +类型的问题时,利用这一递推关系,可以帮助我们解题． 1.3.22★★★★设A 是给定的正有理数．（1）若A 是一个三边长都是有理数的直角三角形的面积,证明：一定存在3个正有理数x 、y 、z ,使得2222x y y z A -=-=；（2）若存在3个正有理数x 、y 、z ,满足2222x y y z A -=-=．证明：存在一个三边长都是有理数的直角三角形的三边长,a 、b 、c 都是有理数,且222a b c +=,12ab A =．若a b =,则222a c =,c a．这与a 、b 、c 都是有理数的假定矛盾,故a b ≠． 不妨设a b <,取2a b x +=,2c y =,2b az -=,则x 、y 、z 都是正有理数,且 ()2222142a b c x y ab A +--===, ()2222142c b a y z ab A ---===． （2）设三个正有理数x 、y 、z 满足2222x y y z A -=-=,则x y z >>．取a x z =-,b x z =+,2c y =,则a 、b 、c 都是正有理数,且()22222224a b x z y c +=+==,()221122ab x z =- ()()222212x y y z ⎡⎤=-+-⎣⎦ A =,即存在一个三边长a 、b 、c 都是正有理数的直角三角形,它的面积等于A ．。