云南省昆明市高一数学下学期期末考试试题(含解析)

云南省昆明市高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,2,3,4}A =，{2,3,4,5}B =，则A B 中元素的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】 求出A ∩B 即得解.【详解】由题得A ∩B={2,3,4},所以A ∩B 中元素的个数是3. 故选：C【点睛】本题主要考查集合的交集的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.2.已知向量(3,4)a =，(1,2)b =，则2b a -=（ ） A. (1,0)- B. (1,0) C. (2,2) D. (5,6)【答案】A 【解析】 【分析】利用数乘向量和向量的减法法则计算得解. 【详解】由题得2(2,4),2(1,0)b b a =∴-=-. 故选：A【点睛】本题主要考查数乘向量和向量的减法的坐标运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.3.下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（ ） A. 21y x =+ B. 1y x=C. 22x xy -=+D. e x y =【答案】D【分析】利用奇函数偶函数的判定方法逐一判断得解.【详解】A.函数的定义域为R,关于原点对称，2()1()f x x f x -=+=,所以函数是偶函数； B.函数的定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称. 1()()f x f x x-=-=-,所以函数是奇函数； C.函数的定义域为R,关于原点对称，()22()xx f x f x --=+=,所以函数是偶函数； D. 函数的定义域为R,关于原点对称，()()xf x e f x --=≠，()()x f x e f x --=≠-，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数. 故选：D【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判断，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.4.在等差数列{}n a 中，11a =，513a =，则数列{}n a 的前5项和为（ ） A. 13 B. 16C. 32D. 35【答案】D 【解析】 【分析】直接利用等差数列的前n 项和公式求解. 【详解】数列{}n a 的前5项和为1555)(113)3522a a +=+=（. 故选：D【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.5.已知直线l 经过点(1,0)，且与直线 2 0x y +=垂直，则l 的方程为（ ） A. 2 10x y +-= B. 210x y --= C. 220x y +-= D. 220x y --=【答案】D【分析】设直线的方程为20x y c -+=，代入点（1,0）的坐标即得解. 【详解】设直线的方程为20x y c -+=， 由题得2002c c -+=∴=-，. 所以直线的方程为220x y --=. 故选：D【点睛】本题主要考查直线方程的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.6.若直线y b =+与圆221x y +=相切，则b =（ ）A. B. C. 2±D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离等于圆的半径即可求解. 【详解】由题得圆的圆心坐标为（0,0）， 1,2b =∴=±. 故选：C【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.7.己知某三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，则该三棱锥的体积为（ ）A. 22B.23C. 22D. 23【答案】B【解析】【分析】先找到三视图对应的几何体原图，再求几何体的体积.【详解】由题得三视图对应的几何体原图是如图所示的三棱锥A-BCD，所以几何体的体积为1122233 323V=⋅⋅⋅=故选：B【点睛】本题主要考查三视图找到几何体原图，考查三棱锥体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.8.已知函数()tan f x x =，则下列结论不正确的是（ ） A. 2π是()f x 的一个周期 B. 33()()44f f ππ-= C. ()f x 的值域为R D. ()f x 的图象关于点(,0)2π对称【答案】B 【解析】 【分析】利用正切函数的图像和性质对每一个选项逐一分析得解.【详解】A ．()tan f x x =的最小正周期为π，所以2π是()f x 的一个周期，所以该选项正确； B. 33()1,()1,44f f ππ-==-所以该选项是错误的； C. ()tan f x x =的值域为R ，所以该选项是正确的； D. ()tan f x x =的图象关于点(,0)2π对称,所以该选项是正确的.故选：B【点睛】本题主要考查正切函数的图像和性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.9.已知0a >，且1a ≠，把底数相同的指数函数()xf x a =与对数函数()log a g x x =图象的公共点称为()f x （或()g x ）的“亮点”．当116a =时，在下列四点1(1,1)P ，211,2()2P ，311,2()4P ，411,4()2P 中，能成为()f x 的“亮点”有（ ） A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C 【解析】 【分析】利用“亮点”的定义对每一个点逐一分析得解.【详解】由题得1()16x f x =（），116()log g x x=，由于1(1)116f =≠，所以点1(1,1)P 不在函数f(x)的图像上，所以点1(1,1)P 不是“亮点”； 由于111()242f =≠，所以点211,2()2P 不在函数f(x)的图像上，所以点211,2()2P 不是“亮点”；由于1111()()2424f g ==，，所以点311,2()4P 在函数f(x)和g(x)的图像上，所以点311,2()4P 是“亮点”；由于1111()()4242f g ==，，所以点411,4()2P 在函数f(x)和g(x)的图像上，所以点411,4()2P 是“亮点”. 故选：C【点睛】本题主要考查指数和对数的运算，考查指数和对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.10.把函数()sin f x x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移6π个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（ ） A. 12x π=-B. 12x π=C. 3x π=D.712x π=【答案】A 【解析】 【分析】先求出图像变换最后得到的解析式，再求函数图像的对称轴方程. 【详解】由题得图像变换最后得到的解析式为sin 2()sin(2)63y x x ππ=-=-， 令52,,32212k x k k Z x πππππ-=+∈∴=+， 令k=-1,所以12x π=-.故选：A【点睛】本题主要考查三角函数图像变换和三角函数图像对称轴的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.11.已知函数2,0,()2,0,x x f x x x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩若函数()()g x f x a =-有4个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. 0a < B. 01a <<C. 1a >D. 1a ≥【答案】B 【解析】 【分析】令g(x)=0得f(x)=a,再利用函数的图像分析解答得到a 的取值范围. 【详解】令g(x)=0得f(x)=a, 函数f(x)的图像如图所示，当直线y=a 在x 轴和直线x=1之间时，函数y=f(x)的图像与直线y=a 有四个零点， 所以0＜a ＜1. 故选：B【点睛】本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.12.在ABC ∆中，6AB =，8BC =，AB BC ⊥，M 是ABC ∆外接圆上一动点，若AM AB AC λμ=+，则λμ+的最大值是（ ）A. 1B.54C.43D. 2【答案】C【解析】 【分析】以AC 的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设M 的坐标为(5cos θ，5sin )θ，求出点B 的坐标，得到51sin()62λμθϕ+=++，根据正弦函数的图象和性质即可求出答案.【详解】以AC 的中点O 为原点，以AC 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则ABC ∆外接圆的方程为2225x y +=， 设M 的坐标为(5cos θ，5sin )θ， 过点B 作BD 垂直x 轴， 4sin 5A =，6AB = 24sin 5BD AB A ∴==，318cos 655AD AB A ==⨯=， 187555OD AO AD ∴=-=-=， 7(5B ∴-，24)5，(5A -，0)，(5C ，0)∴18(5AB =，24)5，(10,0)AC =，(5cos 5AP θ=+，5sin )θ AM AB AC λμ=+(5cos 5θ∴+，185sin )(5θλ=，24)(105μ+，180)(105x y =+，24)5λ∴185cos 5105θλμ+=+，245sin 5θλ=， 131cos sin 282μθθ∴=-+，25sin 24λθ=，12151cos sin sin()23262λμθθθϕ∴+=++=++，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，当sin()1θϕ+=时，x y +有最大值，最大值为514623+=， 故选：C ．【点睛】本题考查了向量的坐标运算和向量的数乘运算和正弦函数的图象和性质，以及直角三角形的问题，考查了学生的分析解决问题的能力，属于难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA =，4=AD ，6AB =，如图，建立空间直角坐标系D xyz -，则该长方体的中心M 的坐标为_________．【答案】(2,3,1) 【解析】 【分析】先求出点B 的坐标，再求出M 的坐标. 【详解】由题得B(4,6,0),1(0,0,2)D , 因为M 点是1BD 中点， 所以点M 坐标为(2,3,1).故答案为：(2,3,1)【点睛】本题主要考查空间坐标的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.14.设α为第二象限角，若3sin 5α=，则sin 2α=__________． 【答案】2425- 【解析】 【分析】先求出cos α，再利用二倍角公式求sin 2α的值. 【详解】因α为第二象限角，若3sin 5α=， 所以4cos =5α-. 所以24sin 2=2sin cos =-25ααα. 故答案：2425-【点睛】本题主要考查同角三角函数的平方关系，考查二倍角的正弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.15.数列{}n a 满足111n n a a +=-，112a =，则11a =___________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用递推公式求解即可.【详解】由题得23451112,1,,a 2,,22a a a a ==-===.故答案为：2【点睛】本题主要考查利用递推公式求数列中的项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.16.一条河的两岸平行，河的宽度为560m ，一艘船从一岸出发到河对岸，已知船的静水速度16km /h v =，水流速度22km /h v =，则行驶航程最短时，所用时间是__________min （精确到1min ）．【答案】6【解析】【分析】 先确定船的方向，再求出船的速度和时间.【详解】因为行程最短，所以船应该朝上游的方向行驶，所以船的222+6=210606210≈. 故答案为：6【点睛】本题主要考查平面向量的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.三、解答题：共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.己知函数()sin 3f x x x =-．（1）若(0,)x π∈，()0f x =，求x ；（2）当x 为何值时，()f x 取得最大值，并求出最大值．【答案】（1）3π；（2）52()6x k k ππ=+∈Z ，2. 【解析】【分析】（1）由题得tan x =x 的值；（2）先化简得到()2sin()3f x x π=-，再利用三角函数的性质求函数的最大值及此时x 的值.【详解】（1）令sin 0x x =，则tan x =因为(0,)x π∈，所以3x π=．（2）1()2(sin )2sin()23f x x x x π=-=-， 当232x k πππ-=+，即52()6x k k ππ=+∈Z 时，()f x 的最大值为2． 【点睛】本题主要考查解简单的三角方程，考查三角函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.18.在公差不为零的等差数列{}n a 中，11a =，且125a a a ，，成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【答案】（1）21n a n =-；（2）2(41)3n n S =-. 【解析】【分析】 (1)先根据已知求出公差d,即得{}n a 的通项公式；（2）先证明数列{}n b 是等比数列，再利用等比数列的前n 项和公式求n S ．【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知得1225a a a =，则2111()(4)a d a a d +=+，将11a =代入并化简得220d d -=，解得2d =，0d =（舍去）．所以1(1)221n a n n =+-⨯=-．（2）由（1）知212n n b -=，所以2112n n b ++=，所以21(21)124n n n nb b +--+==， 所以数列{}n b 是首项为2，公比为4的等比数列． 所以2(14)2(41)143n n n S -==--． 【点睛】本题主要考查等差数列通项的求法，考查等比数列性质的证明和前n 项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.19.ABC ∆的内角A B C ，，所对边分别为a b c ，，，已知sin cos c B b C =．（1）求C ；（2）若c =，b =ABC ∆的面积．【答案】（1）4π；（2）5. 【解析】【分析】（1）根据正弦定理得sin sin sin cos C B B C =，化简即得C 的值；（2）先利用余弦定理求出a 的值，再求ABC ∆的面积．【详解】（1）因为sin cos c B b C =，根据正弦定理得sin sin sin cos C B B C =， 又sin 0B ≠，从而tan 1C =，由于0C π<<，所以4C π．（2）根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-，而c =，b =4Cπ， 代入整理得2450a a --=，解得5a =或1a =-（舍去）．故ABC ∆的面积为11sin 55222ab C =⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查正弦余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.20.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆为正三角形，D 为11A B 的中点，12AB AA ==，16CA =，160BAA ︒∠=．（1）证明：1//CA 平1BDC ；（2）证明：平面ABC ⊥平面11ABB A ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）连结1CB 交1BC 于E ，连结DE ，先证明1//DE CA ，再证明1//CA 平1BDC ；（2）取AB 的中点为O ，连结OC ，1OA ，1BA ，先证明OC ⊥平面11ABB A ，再证明平面ABC ⊥平面11ABB A ．【详解】证明：（1）连结1CB 交1BC 于E ，连结DE ，由于棱柱的侧面是平行四边形，故E 为1BC 的中点，又D 为11A B 的中点，故DE 是11CA B ∆的中位线，所以1//DE CA ，又DE ⊂平面1BDC ，1A C ⊄平面1BDC ，所以1//CA 平面1BDC ．（2）取AB 的中点为O ，连结OC ，1OA ，1BA ，在ABC ∆中，OC AB ⊥，由12AB AA ==，160BAA ︒∠=知1ABA ∆为正三角形，故13OA = 又3OC =16CA =22211OC OA CA +=，所以1OC OA ⊥，又1AB OA O =，所以OC ⊥平面11ABB A ，又OC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面11ABB A ．【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于基础题.21.已知直线:(0)l y kx k =≠与圆22:230C x y x +--=相交于A ，B 两点．（1）若||AB =k ；（2）在x 轴上是否存在点M ，使得当k 变化时，总有直线MA 、MB 的斜率之和为0，若存在，求出点M 的坐标：若不存在，说明理由．【答案】（1）±1；（2）存在()3,0M -.【解析】【分析】（1）由题得C 到AB的距离为2，=解方程即得解；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，存在点(,0)M m 满足题意，即0AM BM k k +=，把韦达定理代入方程化简即得解.【详解】（1）因为圆22:(1)4C x y -+=，所以圆心坐标为(1,0)C ，半径为2， 因为||AB =C 到AB 的距离为2， = 解得1k =±．（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则22,230,y kx x y x =⎧⎨+--=⎩得22(1)230k x x +--=，因为24121()0k ∆=++>， 所以12221x x k +=+，12231x x k =-+，设存在点(,0)M m 满足题意，即0AM BM k k +=， 所以121212120AM BM y y kx kx k k x m x m x m x m+=+=+=----， 因为0k ≠，所以12211212()(2())0x x m x x m x x m x x -+-=-+=， 所以2262011m k k --=++，解得3m =-． 所以存在点(3,0)M -符合题意．【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线和圆的探究性问题的解答，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.22.某校为创建“绿色校园”，在校园内种植树木，有A 、B 、C 三种树木可供选择，已知这三种树木6年内的生长规律如下：A 树木：种植前树木高0.84米，第一年能长高0.1米，以后每年比上一年多长高0.2米；B 树木：种植前树木高0.84米，第一年能长高0.04米，以后每年生长的高度是上一年生长高度的2倍；C 树木：树木的高度()f t （单位：米）与生长年限t （单位：年，t ∈N ）满足如下函数：0.527()1e t f t -+=+（(0)f 表示种植前树木的高度，取e 2.7≈）． （1）若要求6年内树木的高度超过5米，你会选择哪种树木？为什么？（2）若选C 树木，从种植起的6年内，第几年内生长最快？【答案】（1）选择C ；（2）第4或第5年.【解析】【分析】（1）根据已知求出三种树木六年末的高度，判断得解；（2）设()g t 为第1t +年内树木生长的高度，先求出0.5 1.50.50.520.5 1.57e e 1()(1e )(1e )()t t t g t -+-+-+-=++，设0.5 1.5t u e -+=，则0.50.50.57(e 1)()1(1e )g t e u u -=+++，1 1.5[e ,e ]u -∈．再利用分析函数的单调性，分析函数的图像得解.【详解】（1）由题意可知，A 、B 、C 三种树木随着时间的增加，高度也在增加， 6年末：A 树木的高度为650.8460.10.2 4.442⨯+⨯+⨯=（米）： B 树木的高度为60.04(12)0.84 3.3612⨯-+=-（米）： C 树木的高度为0.56277e (6) 5.11e 1f e -⨯+==≈++（米）， 所以选择C 树木．（2）设()g t 为第1t +年内树木生长的高度， 则0.51.50.50.5150.520.5t 20.51.5777e ()e 1()(1)()1e 1e (1e )1e ()g t f t f t -+-+⋅-+-+-+-=+-=-=++++， 所以0.5 1.50.50.520.5 1.57e e 1()(1e )(1e )()t t t g t -+-+-+-=++，t ∈N ，05t ≤≤． 设0.5 1.5t u e -+=，则0.50.50.50.50.57(e 1)7(e 1)()1(1)(1e )(1e )u g t u u e u u--==+++++，1 1.5[e ,e ]u -∈． 令0.51()u e u u ϕ=+，因为()u ϕ在区间10.25[e ,e ]--上是减函数，在区间0.25 1.5e ,e []-上是增函数，所以当0.25e u -=时，()u ϕ取得最小值，从而()g t 取得最大值，此时0.5 1.50.25e e t -+-=，解得3.5t =，因为t ∈N ，05t ≤≤，故t 的可能值为3或4， 又0.577(3)21e g =-+，0.577(4)21eg =-+，即(3)(4)g g =． 因此，种植后第4或第5年内该树木生长最快．【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列求和，考查函数的图像和性质的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于难题.。