2015版高中数学(人教版B版·必修5)配套练习：3.5二元一次不等式组与简单的线性规划问题 第1课时
高中数学必修5单元配套练习试题3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域及参考答案解析
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域姓名:___________班级:______________________1.下列各点中,在不等式260x y +-≤表示的平面区域内的是( )A.()0,7B.()5,0C.()0,6D.()2,32.不等式2+30x y -≤表示的平面区域(用阴影表示)是( )3.在平面直角坐标系中,不等式组0,30,0x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是( ) A.92 B.94 C. 32 D. 984.若点(2,−3)不在．．不等式组0,20,220x y x y ax y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩表示的平面区域内,则实数a 的取值范围为( )A.(,0)-∞B.(4,)-+∞C.(0,)+∞D.(,4)-∞-5.设,x y 满足约束条件2,31,1,x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥+⎩则下列不等式恒成立的是( )A.3x ≥B.4y ≥C.240x y +-≥D.210x y -+≥6.若关于,x y 的不等式组0,30,10x x y kx y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域是直角三角形区域,则正数k的值为 ( )A.1B.2C.3D.47.已知不等式组1,1,0x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩表示的平面区域为D,若直线3y kx =-与平面区域D 有公共点,则k 的取值范围为( )A.[3,3]-B.11(,][,)33-∞-+∞C.(,3][3,)-∞-+∞D.11[,]33-8.已知不等式组21,22,2x y x y y +≥⎧⎪-≤-⎨⎪≤⎩所表示的平面区域为D ,若直线()2630m x y m ++++=与平面区域D 有公共点,则实数m 的取值范围为( ) A.14,5⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ B.7,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C.147,,53⎛⎤⎡⎫-∞--+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ D.147,53⎡⎤--⎢⎥⎣⎦9.坐标原点与点(2,1)-分别在直线2x −3y+t ＝0的两侧,则t 的取值范围是 .10.设D 为不等式组0,0,30x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域,则区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为 .11.若函数()log 1a y x =+(0a >且1a ≠)的图象经过不等式组1,220,20x x y x y ≥-⎧⎪-+≤⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域,则a 的取值范围是 .12.画出下面二元一次不等式表示的平面区域.(1)x −2y+4≥0;(2)y ＞2x.13.某厂使用两种零件A,B 装配甲,乙两种产品,该厂的生产能力是每月生产甲产品最多2 500件,每月生产乙产品最多1 200件,而且装一件甲产品需要4个A,6个B,装一件乙个,用不等式组将甲,乙两种产品产量之间的关系表示出来,并画出相应的平面区域.14.画出不等式组20,30,132x yx yx⎧--≤⎪++≤⎨⎪≤+≤⎩表示的平面区域,并求其面积.参考答案1.C【解析】对于点()0,6,满足20660⨯+-≤,所以点()0,6在不等式260x y +-≤表示的平面区域内,故选C.考点:二元一次不等式的几何意义.2.B【解析】可用特殊值法.代入点(0,0)可知满足不等式,故点(0,0)所在区域即为所求. 考点:二元一次不等式表示的平面区域.3.B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图,由0,3x y x y -=⎧⎨+=⎩得32x y ==,即A(32,32),考点:求不等式组表示的平面区域的面积.4.B【解析】因为点(2,−3)不在不等式组内,所以()22320a -⨯-+>,解得4a >-. 考点:由点与平面区域的位置求参数范围.5.C【解析】不等式组2,31,1x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥+⎩表示的区域如图所示,整个区域在直线240x y +-=的上方,所以选C.考点:直线与平面区域的位置关系.6.C【解析】如图,易知直线10kx y -+=经过定点()0,1A ,因为关于,x y 的不等式组0,30,10x x y kx y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域是直角三角形区域,且0k >,所以113k ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭, 解得3k =,故选C.考点:由平面区域的形状求参数的值.7.C【解析】不等式组表示的平面区域如图:直线3y kx =-过定点()0,3P -,()()03033,31010PA PB k k ----==-==---, 由图可知3k ≤-或3k ≥.故C 正确.考点:不等式组表示的平面区域,直线的斜率.8.D【解析】直线21x y +=和直线22x y -=-交于点()0,1A ,直线21x y +=和直线2y =交于点1,22B ⎛⎫- ⎪⎝⎭,直线22x y -=-和直线2y =交于点()2,2C ,不等式组表示的平面区域D 为ABC △及其内部.直线()2630m x y m ++++=过定点()3,0M -.204202,152(3)532BM CM k k --====---+,101033AM k -==+,所以直线()2630m x y m ++++=的斜率范围为14,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦,即()14235m ≤-+≤,解得14753m -≤≤-.故选D. 考点:由直线与平面区域的位置关系求参数范围.9.07t <<【解析】原点与点(2,1)-在直线2x －3y ＋t ＝0的两侧,则代入直线方程符号相反, 所以()22310,t t ⨯--⨯+<⎡⎤⎣⎦ 解得07.t <<考点:由点与平面区域的位置求参数范围10.2【解析】作出可行域,如图所示,由图可得区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为点(1,0)到直线0x y -=的距离2d ==..考点:二元一次不等式组和平面区域,点到直线的距离公式. 11.10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【解析】作出不等式组所表示的平面区域,如图所示,由220,20x y x y -+=⎧⎨+=⎩解得1,21,x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩则1(,1)2A -,当函数()log 1a y x =+的图象经过A 点时,111log 22a a =⇒=,根据对数函数的图象与性质可知,要使得函数()log 1a y x =+的图象经过不等式组所表示的平面区域,则实数a 的取值范围是10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.考点:由平面区域及对数函数的图象与性质求参数范围.12.见解析【解析】(1)画出直线x −2y+4＝0,∵0−2×0+4＝4＞0,∴x −2y+4≥0表示的区域为含(0,0)的一侧,因此所求为如图所示的区域,包括边界.(2)画出直线y −2x ＝0,∵0−2×1＝−2＜0,∴y −2x ＞0,即y ＞2x 表示的区域为不含(1,0)的一侧,因此所求为如图所示的区域, 不包括边界.考点:画不等式表示的平面区域.13.见解析【解析】设每月生产甲产品x 件,每月生产乙产品y 件,则x,y 满足02500,01200,4614000,6812000,x y x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩即02500,01200,237000,346000,x y x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩在平面直角坐标系中,画出上述不等式组表示的平面区域,如下图的阴影部分所示.考点:实际应用问题.14.平面区域见解析,面积为10【解析】20x y --≤不等式组表示直线20x y --=左上方的点和该直线,30x y ++≤表示直线30x y ++=左下方的点和该直线,由2030x y x y --=⎧⎨++=⎩，，得15()22C --，.由不等式132x ≤+≤可得21x -≤≤-或54x -≤≤-,则不等式组表示的区域如图阴影部分.由1,30,x x y =-⎧⎨++=⎩得点(1,2)--.由1,20,x x y =-⎧⎨--=⎩得(1,3)--.同样的可以求出直线20x y --=,30x y ++=与2x =-的交点为()()2,4,2,1----,所以小梯形的面积为()()()()112314122S =---+---⨯=⎡⎤⎣⎦ ,同理可以求出大梯形的面积28S =,所以不等式组围成的平面区域的面积为122810.S S S =+=+=考点:画图,求平面区域面积.。
2015版高中数学(人教版必修5)配套练习：3.2 一元二次不等式及其解法 第2课时
第三章 3.2 第2课时一、选择题1．(北京学业水平测试)不等式(x －1)(2x －1)<0的解集是( ) A ．{x |1<x <2} B ．{x |x <1或x >2} C ．{x |x <12或x >1}D ．{x |12<x <1}[答案] D[解析] 方程(x －1)(2x －1)＝0的两根为x 1＝1，x 2＝12，所以(x －1)(2x －1)<0的解集为{x |12<x <1}，选D ．2．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{x |x 2－2x －3<0}，则M ∩N 等于( ) A ．{x |0≤x <1} B ．{x |0≤x ≤2} C ．{x |0≤x ≤1} D ．{x |0≤x ≤2}[答案] D[解析] ∵N ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x <3}，M ＝{x |0≤x ≤2}， ∴M ∩N ＝{x |0≤x ≤2}，故选D ．3．若{x |2<x <3}为x 2＋ax ＋b <0的解集，则bx 2＋ax ＋1>0的解集为( ) A ．{x |x <2或x >3} B ．{x |2<x <3} C ．{x |13<x <12}D ．{x |x <13或x >12}[答案] D[解析] 由x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |2<x <3}，知方程x 2＋ax ＋b ＝0的根分别为x 1＝2，x 2＝3.由韦达定理，得x 1＋x 2＝－a ，x 1·x 2＝b ， 即a ＝－5，b ＝6.所以不等式bx 2＋ax ＋1>0，即6x 2－5x ＋1>0，解集为{x |x <13，或x >12}，故选D ．4．不等式(x －2)2(x －3)x ＋1<0的解集为( )A ．{x |－1<x <2或2<x <3}B ．{x |1<x <3}C ．{x |2<x <3}D ．{x |－1<x <3}[答案] A[解析] 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)(x ＋1)<0，x ＋1≠0，(x －2)2≠0，解得－1<x <3，且x ≠2，故选A ．5．若0＜t ＜1，则不等式x 2－(t ＋1t )x ＋1＜0的解集是( )A ．{x |1t ＜x ＜t }B ．{x |x ＞1t 或x ＜t }C ．{x |x ＜1t 或x ＞t }D ．{x |t ＜x ＜1t}[答案] D[解析] 化为(x －t )(x －1t )＜0，∵0＜t ＜1，∴1t ＞1＞t ，∴t ＜x ＜1t.6．已知不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则a 的取值范围是( ) A ．－4≤a ≤4 B ．－4＜a ＜4 C ．a ≤－4或a ≥4 D ．a ＜－4或a ＞4[答案] A[解析] 欲使不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则△＝a 2－16≤0，∴－4≤a ≤4. 二、填空题7．关于x 的不等式：x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＜0的解集是________． [答案] {x |m <x <m ＋1}[解析] 解法一：∵方程x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＝0的解为x 1＝m ，x 2＝m ＋1，且知m ＜m ＋1.∴二次函数y ＝x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m 的图象开口向上，且与x 轴有两个交点． ∴不等式的解集为{x |m ＜x ＜m ＋1}．解法二：注意到m 2＋m ＝m (m ＋1)，及m ＋(m ＋1)＝2m ＋1， 可先因式分解，化为(x －m )(x －m －1)＜0， ∵m ＜m ＋1，∴m ＜x ＜m ＋1. ∴不等式的解集为{x |m <x <m ＋1}．8．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是________．[答案] 0<a ≤4[解析] ①若a ＝0，则1<0不成立，此时解集为空．②若a ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4a ≤0，a >0，∴0<a ≤4.三、解答题 9．解下列不等式： (1)2x －13x ＋1>0； (2)ax x ＋1<0. [解析] (1)原不等式等价于(2x －1)(3x ＋1)>0， ∴x <－13或x >12.故原不等式的解集为{x |x <－13或x >12}．(2)axx ＋1<0⇔ax (x ＋1)<0. 当a >0时，ax (x ＋1)<0⇔x (x ＋1)<0⇔－1<x <0， ∴解集为{x |－1<x <0}；当a ＝0时，原不等式的解集为∅；当a <0时，ax (x ＋1)<0⇔x (x ＋1)>0⇔x >0或x <－1，∴解集为{x |x >0，或x <－1}． 10．解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0. [解析] 原不等式可化为(x －a )(x －a 2)>0.则方程x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＝0的两根为x 1＝a ，x 2＝a 2， 由a 2－a ＝a (a －1)可知， (1)当a <0或a >1时，a 2>a . ∴原不等式的解集为x >a 2或x <a . (2)当0<a <1时，a 2<a ， ∴原不等的解为x >a 或x <a 2.(3)当a ＝0时，原不等式为x 2>0，∴x ≠0.(4)当a ＝1时，原不等式为(x －1)2>0，∴x ≠1. 综上可知：当a <0或a >1时，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}； 当0<a <1时，原不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≠0}； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠1}.一、选择题1．若f (x )＝－x 2＋mx －1的函数值有正值，则m 的取值范围是( ) A ．m ＜－2或m ＞2 B ．－2＜m ＜2 C ．m ≠±2 D ．1＜m ＜3[答案] A[解析] ∵f (x )＝－x 2＋mx －1有正值， ∴△＝m 2－4＞0，∴m ＞2或m ＜－2.2．若a ＜0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2＞0的解是( ) A ．x ＞5a 或x ＜－a B ．x ＞－a 或x ＜5a C ．5a ＜x ＜－a D ．－a ＜x ＜5a [答案] B[解析] 化为：(x ＋a )(x －5a )＞0，相应方程的两根x 1＝－a ，x 2＝5a ∵a ＜0，∴x 1＞x 2.∴不等式解为x ＜5a 或x ＞－a . 3．函数y ＝－x 2－3x ＋4x 的定义域为( )A ．[－4,1]B ．[－4,0)C ．(0,1]D ．[－4,0)∪(0,1] [答案] D[解析] 要使函数有意义，则需⎩⎨⎧－x 2－3x ＋4≥0x ≠0，解得－4≤x ≤1且x ≠0，故定义域为[－4,0)∪(0,1]．4．如果不等式2x 2＋2mx ＋m4x 2＋6x ＋3<1对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，3)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，＋∞)[答案] A[解析] 由4x 2＋6x ＋3＝(2x ＋32)2＋34>0对一切x ∈R 恒成立，从而原不等式等价于2x 2＋2mx ＋m <4x 2＋6x ＋3(x ∈R )⇔2x 2＋(6－2m )x ＋(3－m )>0对一切实数x 恒成立 ⇔Δ＝(6－2m )2－8(3－m )＝4(m －1)(m －3)<0， 解得1<m <3. 二、填空题5．已知函数y ＝(m 2＋4m －5)x 2＋4(1－m )x ＋3对任意实数x ，函数值恒大于零，则实数m 的取值范围是__________．[答案] 1≤m <19[解析] ①当m 2＋4m －5＝0时，m ＝－5或m ＝1，若m ＝－5，则函数化为y ＝24x ＋3.对任意实数x 不可能恒大于0. 若m ＝1，则y ＝3＞0恒成立． ②当m 2＋4m －5≠0时，据题意应有，⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4m －5＞016(1－m )2－12(m 2＋4m －5)＜0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－5或m ＞11＜m ＜19，∴1＜m ＜19. 综上可知，1≤m ＜19.6．不等式[(a －1)x ＋1](x －1)＜0的解集为{x |x ＜1或x ＞2}，则a ＝________. [答案] 12[解析] 由题意x ＝2是方程(a －1)x ＋1＝0的根， 且a －1＜0，∴a ＝12.三、解答题7．解关于x 的不等式：x 2＋2x －3－x 2＋x ＋6<0.[解析] 原不等式⇔(x ＋3)(x －1)(x ＋2)(x －3)>0⇔(x ＋3)(x ＋2)(x －1)(x －3)>0.令(x ＋3)(x ＋2)(x －1)(x －3)＝0，则有x 1＝－3，x 2＝－2，x 3＝1，x 4＝3. 如图．由图可知，原不等式的解集为{x |x <－3或－2<x <1或x >3}． 8．当a 为何值时，不等式(a 2－1)x 2＋(a －1)x －1<0的解集是R? [解析] 由a 2－1＝0，得a ＝±1.当a ＝1时，原不等式化为－1<0恒成立， ∴当a ＝1时，满足题意．当a ＝－1时，原不等式化为－2x －1<0， ∴x >－12，∴当a ＝－1时，不满足题意，故a ≠－1.当a ≠±1时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0Δ＝(a －1)2＋4(a 2－1)<0， 解得－35<a <1.综上可知，实数a 的取值范围是－35<a ≤1.。
高中数学新人教B版必修5课件：第三章不等式3.5.1二元一次不等式(组)所表示的平面区域
反思感悟 在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等 式表示的区域，再取它们的公共部分即可.其步骤：①画线；②定侧；③求 “交”；④表示.但要注意是否包含边界.
跟踪训练3 画出|x|＋|y|≤1表示的平面区域.
解 当x≥0且y≥0时，|x|＋|y|≤1，即x＋y≤1.
x≥0， 由y≥0，
3 达标检测
PART THREE
1.不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内的一个点是
A.(0，0) C.(0，2)
B.(1，1)
√D.(2，0)
解析 将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点(2，0)代入后不等式不成立， 故此点不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内，故选D.
1234
2.已知点(－1，2)和点(3，－3)在直线3x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是
解析 在平面直角坐标系中画出直线x－2y＋6＝0， 视察图象(图略)知原点在直线的右下方， 将原点(0,0)代入x－2y＋6，得0－0＋6＝6>0， 所以原点(0,0)在不等式x－2y＋6>0表示的平面区域内，故选B.
命题角度2 给不等式组画平面区域
例3 画出下列不等式组所表示的平面区域.
x－2y≤3，
核心素养之直观想象
HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG
数形结合的魅力
典例 我们可以验证点(1,2)是不等式x－y＜6的一个解.怎么证明直线
x－y＝6左上方半平面(不包括边界)上所有点均是x－y＜6的解？
证明 设点A(x0，y0)位于直线x－y＝6左上方区域，
则过点A作直线AB∥y轴，交直线x－y＝6于点 B. 设B(x0，y1)，则有y0＞y1. ∵B在直线x－y＝6上，
高一 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题知识点+例题+练习 含答案
1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.(1)画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：①直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；②特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．(2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域： 对于Ax ＋By ＋C >0或Ax ＋By ＋C <0，则有①当B (Ax ＋By ＋C )>0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方； ②当B (Ax ＋By ＋C )<0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方． (3)最优解和可行解的关系：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( × ) (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( √ )(3)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( × ) (4)不等式x 2－y 2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y 轴的两块区域．( √ )1．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0解析 两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0， 又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域． 2．(教材改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是________．答案 ③解析 用特殊点代入，比如(0,0)，容易判断为③. 3．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是________． 答案 2解析 因为直线x －y ＝－1与x ＋y ＝1互相垂直， 所以如图所示的可行域为直角三角形，易得A (0,1)，B (1,0)，C (2,3)，故AB ＝2，AC ＝22， 其面积为12×AB ×AC ＝2.4．(2015·北京改编)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为________．答案 2解析 可行域如图所示．目标函数化为y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (0,1)时，z 取得最大值2.5．(教材改编)投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数，x 和y 的单位是百吨)．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧200x ＋300y ≤1 400，200x ＋100y ≤900，x ≥0，y ≥0解析 用表格列出各数据A B 总数 产品吨数 x y 资金 200x 300y 1 400 场地200x100y900所以不难看出，x ≥0，y ≥0,200x ＋300y ≤1 400,200x ＋100y ≤900.题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域命题点1 不含参数的平面区域问题例1 (1)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的________．(2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于________．答案 (1)③ (2)43解析 (1)(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出平面区域后，只有③符合题意．(2)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A (0，43)，B (1,1)，C (0,4)，则△ABC 的面积为12×1×83＝43.命题点2 含参数的平面区域问题 例2 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是____________________________________________________________． 答案 73解析 不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52. 当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43， 所以k ＝73.思维升华 (1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解．(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为________． (2)已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为________．答案 (1)[3，＋∞) (2)1解析 (1)直线y ＝kx －1过定点M (0，－1)，由图可知，当直线y ＝kx －1经过直线y ＝x ＋1与直线x ＋y ＝3的交点C (1,2)时，k 最小，此时k CM ＝2－(－1)1－0＝3，因此k ≥3，即k ∈[3，＋∞)．(2)由于x ＝1与x ＋y －4＝0不可能垂直，所以只有可能x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直或x ＝1与kx －y ＝0垂直．①当x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直时，k ＝1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求． ②当x ＝1与kx －y ＝0垂直时，k ＝0，检验不符合要求．题型二 求目标函数的最值问题命题点1 求线性目标函数的最值例3 (2014·广东)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝________. 答案 6解析 画出可行域，如图阴影部分所示． 由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，∴A (－1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴B (2，－1)．当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z min ＝2×(－1)－1＝－3＝n .当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z max ＝2×2－1＝3＝m ，故m －n ＝6. 命题点2 求非线性目标函数的最值 例4 实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2.(1)若z ＝yx ，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围；(2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围． 解 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z ＝yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1,2)， ∴k OB ＝21＝2，即z min ＝2，∴z 的取值范围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方． 因此x 2＋y 2的值最小为OA 2(取不到)，最大值为OB 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0,1)， ∴OA 2＝(02＋12)2＝1，OB 2＝(12＋22)2＝5，∴z 的取值范围是(1,5]． 引申探究1．若z ＝y －1x －1，求z 的取值范围．解 z ＝y －1x －1可以看作过点P (1,1)及(x ，y )两点的直线的斜率．∴z 的取值范围是(－∞，0)．2．若z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3.求z 的最大值、最小值． 解 z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3 ＝(x －1)2＋(y －1)2＋1，而(x －1)2＋(y －1)2表示点P (1,1)与Q (x ，y )的距离的平方，(PQ 2)max ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2， (PQ 2)min ＝(|1－1＋1|12＋(－1)2)2＝12，∴z max ＝2＋1＝3，z min ＝12＋1＝32.命题点3 求线性规划的参数例5 已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________.答案 12解析 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a (x －3)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ， ∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12.思维升华 (1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值． (2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有： ①x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离，(x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；②yx 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率，y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． (3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足条件．(1)(2015·无锡一模)在直角坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域的面积为32，则t 的值为________．(2)(2014·安徽改编)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为________． 答案 (1)1 (2)2或－1 解析 (1)不等式组⎩⎨⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x ＝t ，解得交点B (t ，t ＋1)，在y ＝x ＋1中，令x ＝0得y ＝1，即直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为C (0,1)，由平面区域的面积S ＝(1＋t ＋1)×t 2＝32，得t 2＋2t －3＝0，解得t ＝1或t ＝－3(不合题意，舍去)．(2)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.题型三 线性规划的实际应用例6 某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y .由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小． 思维升华 解线性规划应用问题的一般步骤： (1)分析题意，设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答．(2015·陕西改编)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元.甲 乙 原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128答案 18解析 设每天甲、乙的产量分别为x 吨，y 吨，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2,3)． 则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．8．含参数的线性规划问题的易错点典例 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝________.易错分析 题目给出的区域边界“两静一动”，可先画出已知边界表示的区域，分析动直线的位置时容易出错，没有抓住直线x ＋y ＝m 和直线y ＝－x 平行这个特点；另外在寻找最优点时也容易找错区域的顶点．解析 显然，当m <2时，不等式组表示的平面区域是空集；当m ＝2时，不等式组表示的平面区域只包含一个点A (1,1)．此时z min ＝1－1＝0≠－1. 显然都不符合题意．故必有m >2，此时不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m所表示的平面区域如图所示，平面区域为一个三角形区域，其顶点为A (1,1)，B (m －1,1)，C (m ＋13，2m －13)．由图可知，当直线y ＝x －z 经过点C 时，z 取得最小值， 最小值为m ＋13－2m －13＝2－m3.由题意，得2－m3＝－1，解得m ＝5.答案 5温馨提醒 (1)当约束条件含有参数时，要注意根据题目条件，画出符合条件的可行域．本题因含有变化的参数，可能导致可行域画不出来． (2)应注意直线y ＝x －z 经过的特殊点．[方法与技巧]1．平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线)．2．求最值：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得．3．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．4．利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题． [失误与防范]1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．2．在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距zb 取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距zb 取最大值时，z 取最小值；截距zb 取最小值时，z 取最大值．A 组 专项基础训练(时间：30分钟)1．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有________个．答案 1解析 由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)．直线2x ＋y －10＝0恰过点A (5,0)，且其斜率k ＝－2<k AB ＝－43，即直线2x ＋y －10＝0与平面区域仅有一个公共点A (5,0)．2．若点(m,1)在不等式2x ＋3y －5>0所表示的平面区域内，则m 的取值范围是________． 答案 m >1解析 由2m ＋3－5>0，得m >1.3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________．答案 3解析 由线性约束条件画出可行域(如图所示)．由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，12z 的几何意义是直线y ＝－12x ＋12z 在y 轴上的截距，要使z 最小，需使12z 最小，易知当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (1,1)时，z 最小，最小值为3.4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a ，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是______________． 答案 (0,1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ 解析 不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图(阴影部分)，求得A ，B 两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫23，23和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a 取值范围是0＜a ≤1或a ≥43.5．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是________元． 答案 2 800解析 设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，则根据题意得x 、y 的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12.设获利z 元， 则z ＝300x ＋400y . 画出可行域如图．画直线l ：300x ＋400y ＝0， 即3x ＋4y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线过点M 时， 目标函数取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即M 的坐标为(4,4)，∴z max ＝300×4＋400×4＝2 800(元)．6．若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为________． 答案 1解析 在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x的图象及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示．由图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x 的图象上存在点(x ，y )满足约束条件，故m 的最大值为1.7．(2015·枣庄模拟)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x >0，4x ＋3y ≤4，y ≥0，则ω＝y ＋1x的最小值是________． 答案 1解析 作出不等式组对应的平面区域如图，ω＝y ＋1x 的几何意义是区域内的点P (x ，y )与定点A (0，－1)所在直线的斜率，由图象可知当P 位于点D (1,0)时，直线AP 的斜率最小，此时ω＝y ＋1x 的最小值为－1－00－1＝1.8．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是__________．答案 [－53，5)解析 画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示，可知2×13－2×23－1≤z <2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是[－53，5)．9．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如表：a b (万吨) c (百万元)A 50% 1 3 B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO 2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)． 答案 15解析 设购买铁矿石A 、B 分别为x 万吨，y 万吨，购买铁矿石的费用为z (百万元)，则⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝3x ＋6y ，由⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y ＝1.9，x ＋0.5y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.记P (1,2)， 画出可行域可知，当目标函数z ＝3x ＋6y 过点P (1,2)时，z 取到最小值15. 10．设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为10，则a 2＋b 2的最小值为________． 答案2513解析 因为a >0，b >0， 所以由可行域得，如图，当目标函数过点(4,6)时z 取最大值，∴4a ＋6b ＝10.a 2＋b 2的几何意义是直线4a ＋6b ＝10上任意一点到点(0,0)的距离的平方，那么其最小值是点(0,0)到直线4a ＋6b ＝10距离的平方，则a 2＋b 2的最小值是2513.B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0，若z ＝x －2y 的最大值与最小值分别为a ，b ，且方程x 2－kx ＋1＝0在区间(b ，a )上有两个不同实数解，则实数k 的取值范围是__________． 答案 (－103，－2)解析 作出可行域，如图所示，则目标函数z ＝x －2y 在点(1,0)处取得最大值1，在点(－1,1)处取得最小值－3， ∴a ＝1，b ＝－3，从而可知方程x 2－kx ＋1＝0在区间(－3,1)上有两个不同实数解． 令f (x )＝x 2－kx ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)>0，f (1)>0，－3<k2<1，Δ＝k 2－4>0⇒－103<k <－2.12．在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1所确定的平面区域内的动点，Q 是直线2x ＋y ＝0上任意一点，O 为坐标原点，则|OP →＋OQ →|的最小值为________． 答案55解析 在直线2x ＋y ＝0上取一点Q ′，使得Q ′O →＝OQ →， 则|OP →＋OQ →|＝|OP →＋Q ′O →| ＝|Q ′P →|≥|P ′P →|≥|BA →|，其中P ′，B 分别为点P ，A 在直线2x ＋y ＝0上的投影，如图．因为|AB →|＝|0＋1|12＋22＝55，因此|OP →＋OQ →|min ＝55.13．设平面点集A ＝{(x ，y )|(y －x )·(y －1x )≥0}，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤1}，则A ∩B 所表示的平面图形的面积为________． 答案 π2解析 平面点集A 表示的平面区域就是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ≥0，y －1x ≥0与⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤0，y －1x≤0表示的两块平面区域，而平面点集B 表示的平面区域为以点(1,1)为圆心， 以1为半径的圆及圆的内部， 作出它们表示的平面区域如图所示，图中的阴影部分就是A ∩B 所表示的平面图形． 由于圆和曲线y ＝1x 关于直线y ＝x 对称，因此，阴影部分所表示的图形面积为圆面积的12，即为π2.14．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为________．答案 37解析 由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界．∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1. 显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时，a max ＝6.∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37.15．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析 画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12.16．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．答案 6解析 作出图形可知，△ABF 所围成的区域即为区域D ，其中A (0,1)是z 在D 上取得最小值的点，B ，C ，D ，E ，F 是z 在D 上取得最大值的点，则T 中的点共确定AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BF 共6条不同的直线．。
人教B版高中数学必修5同步章节训练题及答案全册汇编
人教B版高中数学必修5同步章节训练题及答案全册汇编高中数学人教B版必修5同步练习目录1.1.1《正弦定理》测试题 1.1.2《余弦定理》测试题 1.2《正余弦定理的应用》测试2.1《数列》同步练习 2.2.1《等差数列》例题解析2.2.2《等差数列前n项和》例题解析 2.3.1《等比数列》例题解析 2.3.1《等比数列》测试3.1.1《不等关系与不等式》测试题 3.1.2《不等式的性质》测试题 3.2《均值不等式》测试题 3.2《均值不等式》测试题3.3《一元二次不等式的解法》测试题 3.3《一元二次不等式的解法》测试题 3.4《不等式的实际应用》测试题3.4《不等式的实际应用》测试题（人教B版必修5） 3.5.1《二元一次不等式（组）所表示的平面区域》测试题3.5.2《简单线性规划》测试题高中数学人教B版必修5同步练习1.1.1正弦定理测试题【能力达标】一、选择题1. 不解三角形，下列判断正确的是（）ooA. a=7，b=14，A=30，有两解.B. a=30，b=25，A=150，有一解.ooC. a=6，b=9，A=45，有两解.D. a=9，b=10，A=60，无解. 2．在?ABC中acosA=bcosB,则?ABC是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形D.等腰或直角三角形3．在?ABC中，已知a=52，c=10，∠A＝30，则∠B等于（）oA.105B. 60C. 15D.105或154．在?ABC中，a(sinB－sinC)+b(sinC－sinA)+c(sinA－sinB)的值是（）oo o oo1 B.0 C.1 D.? 25. 在?ABC中下列等式总成立的是（）A.A. a cosC=c cosAB. bsinC=c sinAC. absinC=bc sinBD. asinC=c sinA 6. 在ΔABC中，∠A=45,∠B=60,a=2,则b=( ) A．6 B．26 C．36 D．46 7．在ΔABC中，∠A=45, a=2，b=2，则∠B=（）00A．300 B．300或1500 C．600 D．600或1200 二、填空题8．在ΔABC中，a=8,B=1050,C=150,则此三角形的最大边的长为。
人教版数学高二B版必修5同步训练3.5.1二元一次不等式(组所表示的平面区域)
3.5 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 3.5.1 二元一次不等式（组）所表示的平面区域5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.已知一直线l 的方程为ax+by=0（a 、b 不同时为零），点P 1（x 0，y 0）、P 2（2x 0，2y 0），则（ ）A.点P 1、P 2分别在l 的两侧或在l 上B.点P 1、P 2均在l 的同侧或在l 上C.点P 1、P 2分别在l 的两侧，不可能在l 上D.点P 1、P 2均在l 上解析：若ax 0+by 0=0,则2ax 0+2by 0=0,此时P 1和P 2都在直线l 上,否则,一定有ax 0+by 0与2ax 0+2by 0同号，故选B. 答案：B 2.不等式组⎩⎨⎧≤≤≥++-30,0))(5(x y x y x 表示的平面区域是一个（ ）A.三角形B.直角梯形C.梯形D.矩形解析：（x-y+5）（x+y ）≥0⎩⎨⎧≤+≤+-⎩⎨⎧≥+≥+-⇔.0,050,05y x y x y x y x 或 据题意作出不等式组所表示的平面区域如下图所示.故选C.答案：C3.不在3x+2y ＜6表示的平面区域内的点是（ ）A.（0，0）B.（1，1）C.（0，2）D.（2，0）解析：可将每一个点代入3x+2y ＜6检验，满足不等式的就在3x+2y ＜6表示的平面区域内，不满足的，则不在它表示的平面区域内. 答案：D4.点（-2，t ）在直线2x-3y+6=0的上方，则t 的取值范围是_____________. 解析：据题意(可以结合图形)得不等式2×（-2）-3t+6＜0⇒t ＞32.故t 的取值范围是（32，+∞）. 答案：t ∈（32，+∞） 10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知点（3，1）和（-4，6）在直线3x-2y+a=0的两侧，则a 的取值范围是（ ） A.a ＜-7或a ＞24 B.a=7或a=24 C.-7＜a ＜24 D.-24＜a ＜7 解析：据题意得（3×3-2×1+a ）［3×（-4）-2×6+a ］＜0⇒（a+7）（a-24）＜0⇒-7＜a ＜24.故选C. 答案：C2.（x-2y+1）（x+y-3）＜0表示的平面区域为（ ）解析：原不等式等价于下列不等式组⎩⎨⎧>-+<+-⎩⎨⎧<-+>+-.03,01203,012y x y x y x y x 或分别画出各不等式所表示的平面区域，观察其图象，知选C.答案：C3.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤--≥+-1,012,012y x y x y x 表示的平面区域为（ ）A.正三角形及其内部B.等腰三角形及其内部C.在第一象限内的一个无界区域D.不包含第一象限内的点的一个有界区域 解析：作出不等式组表示的平面区域，如下图所示，观察图象可知选B.答案：B4.不等式|3x+2y+k|≤8表示的平面区域必包含点（0,0）和点（1,1）,则实数k 的取值范围是_____________.解析：根据条件,点(0,0)和(1,1)满足不等式,代入即得⎩⎨⎧≤+≤.8|5|,8||k k解之得-8≤k≤3. 答案：-8≤k≤35.已知点P(x,y)满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+.1,,4x x y y x 点O 为坐标原点，那么|PO|的最小值等于______________,最大值等于______________.解析：画出不等式组表示的平面区域，如下图所示：易得A（2，2），OA=22,B（1，3），OB=10，C（1，1），OC=2,故|OP|的最大值为10，最小值为2.答案：210.6.如下图所示，求△PQR内任一点（x，y）满足的关系式.解析：易得直线PQ的方程为:x+2y-5=0；直线QR的方程为:x-6y+27=0；直线RP的方程为:3x-2y+1=0.注意到△PQR内任一点（x，y）应在直线RP、PQ的上方，而在QR的下方，故应有⎪⎩⎪⎨⎧>+-<+->-+.0276,0123,052yxyxyx30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+<3,1,yyxxy表示的区域为D，两点P1（0，-2）、P2（0，0）与D的关系为（）A.P1∉∉D且P2∉D B.P1∈D且P2∉DC.P1∉D且P2∈DD.P1∈D且P2∈D解析：作出不等式组表示的平面区域D，如下图所示，可知P1（0，-2）在D内,P2（0，0）不在D内，故选B.也可以直接把点的坐标代入检验,满足不等式的在区域内,否则不在区域内.答案：B2.在平面直角坐标系中，满足不等式x2-y2＜0的点（x，y）的集合（用阴影表示）是（）解析：首先把二元二次不等式化为二元一次不等式组：x2-y2＜0⇔（x+y）（x-y）＜0⎩⎨⎧>-<+⎩⎨⎧<->+⇔.0,0.0,0yxyxyxyx或答案：D3.如果函数y=ax2+bx+a的图象与x轴有两个交点，则点（a，b）在aOb平面上的区域（不包含边界）为（）解析：因为函数图象与x轴有两个不同的交点,所以,有b2-4a2＞0,即|b|＞2|a|.对a、b的符号分情况讨论:①⎩⎨⎧>>;0,0ba②⎩⎨⎧<>;0,0ba③⎩⎨⎧><;0,0ba④⎩⎨⎧<<.0,0ba可得C选项正确.答案：C4.设a＞0，点集S中的点（x，y）满足下列所有条件：①2a≤x≤2a，②2a≤y≤2a，③x+y≥a，④x+a≥y，⑤y+a≥x，则S的边界是一个有__________条边的多边形（）A.4B.5C.6D.7解析：如下图所示，分别画出各不等式表示的区域，并画出公共区域，可得平面六边形，即点S的边界是一个有六条边的多边形.故选C.答案：C5.在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+.2,02,02xyxyx表示的平面区域的面积是（）A.42B.4C.22D.2解析：由题知可行域为△ABC(如下图所示),S△ABC=22|04|⨯-=4.答案：B6.在直角坐标平面上有两个区域M和N，其中区域M=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤≥.2,,0|),(xyxyyyx，区域N={（x，y）|t≤x≤t+1，0≤y≤1}，区域M和N的公共面积用函数f（t）表示，则f（t）的表达式为（）A.212++-tt B.-2t2+2tC.2211t- D.2)2(21-t解析：当t=0或t=1时，f（t）=21；当0＜t＜1时，如下图，公共面积为大三角形的面积减去两个小三角形的面积（阴影面积），即f（t）=121-t221-（1-t）2=-t2+t+21，此式对t=0和t=1也成立.答案：A7.某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为a1、b1千克，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为a2、b2千克。
人教版必修5第三章第三节5.3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
所表示的平面区域如
图(阴影部分)：
又直线 y＝3x－z 的斜率为 3. 由图象知当直线 y＝3x－z 经过点 A(2,0)时， z 取最大值 6， 当直线 y＝3x－z 经过点 ∴z＝3x－y
1 B 2，3时，z
3 取最小值－2， A.
3 的取值范围为－ ，6，故选 2
(3)掌握一种方法——数形结合法， 这是解决线性规划问题 的最基本的方法，其实质就是利用数形结合思想解决最值问 题． (4) 注意一个综合 ——线性规划问题与其他知识模块的综 合，熟练利用相关知识进行运算，将问题转化为简单的线性规 划问题，这也是 2012 年高考命题的趋势．
x－y＋5≥0， (1)画出不等式组x＋y≥0， x≤3 答下列问题： ①指出 x，y 的取值范围． ②平面区域内有多少个整点？
－x≤y≤x＋5， ②由图形及不等式组知 －2≤x≤3，且x∈Z.
当 x＝3 时，－3≤y≤8，有 12 个整点； 当 x＝2 时，－2≤y≤7，有 10 个整点； 当 x＝1 时，－1≤y≤6，有 8 个整点； 当 x＝0 时，0≤y≤5，有 6 个整点； 当 x＝－1 时，1≤y≤4，有 4 个整点； 当 x＝－2 时，2≤y≤3，有 2 个整点； ∴平面区域内的整点共有 2＋4＋6＋8＋10＋12＝4约束条件
意义 由变量x，y组成的
.
不等式(或方程)组成的不等 线性约束 由x，y的 式(组) 条件 ，如z＝2x＋3y等 目标函数 关于x，y的函数
线性目标 函数 可行解
关于x，y的
解析式 .
满足线性约束条件的解
意义 所有可行解组成的 . 使目标函数取得 或 的 最优解 可行解 线性规划 在线性约束条件下求线性目标函数的 或 问题 问题
人教版数学高二B版必修5教材习题点拨3.5二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
教材习题点拨1．解：(1)3x ＋4＞0，原不等式可化为x ＞－43.所表示的平面区域如图(1)阴影部分．(2)2y －3≤0，原不等式可化为y ≤32.所表示的平面区域如图(2)中阴影部分．(3)3x ＋2y ＜－4.所表示的平面区域如图(3)中阴影部分． (4)2x －y －2≤0，所表示的平面区域如图(4)中阴影部分．2．解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋4＜0x －y ＋1≤0所表示的平面区域如图(1)中阴影部分．(2)⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋6＞02x ＋3y －1≥02x －4＜0所表示的平面区域如图(2)中的阴影部分．(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＜3x －2y ≤03x ＋2y ≥63y ＜x ＋9所表示的平面区域如图(3)中的阴影部分．(4)⎩⎪⎨⎪⎧1＜x ＋2y ≤4－2≤2x －y ≤－1 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＞1，x ＋2y ≤4，2x －y ≥－2，2x －y ≤－1.所表示的平面区域如图(4)中的阴影部分．图(4)3．解：设甲厂分配到的贷款为x 万元，乙厂分配到的贷款为y 万元， 由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＜250，20%x ＋25%y ≥60，x ≥0，y ≥0，可化简为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＜250，4x ＋5y ≥1 200，x ≥0，y ≥0.其相应的平面区域如图中阴影部分所示． 练习B(1)解：直线AC 斜率为：k AC ＝35，∴直线AC 的方程为y －1＝35(x ＋2)，即3x －5y ＋11＝0.直线BC 斜率为：k BC ＝－32，∴直线BC 的方程为y －4＝－32(x －3)，即3x ＋2y －17＝0.直线AB 方程为y ＝1.由如图(1)所示可行域得二元一次不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＋11≥0，3x ＋2y －17≤0，y ≥1.(2)解：设C 点坐标为(x 1，y 1)，D 点坐标为(x 2，y 2)， 直线AB 的方程为：2x ＋3y －1＝0，AB ＝13. ∵BC ＝AB ，∴(x 1－2)2＋(y 1＋1)2＝13.① 又AB ⊥BC ，∴k BC ·k AB ＝－1，即y 1＋1x 1－2＝32.②由①②组成方程组解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝4，y 1＝2.同理解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－3，y 2＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝4.A 、B 、C 、D 依逆时针顺序排列，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝－4不合题意，∴C 点坐标为(4,2)．223,2x y=-⎧⎨=-⎩不合题意，∴D 点坐标为(1,4)．∴直线AD 的方程为：3x －2y ＋5＝0.直线BC 的方程为：3x －2y －8＝0.直线DC 的方程为：2x ＋3y －14＝0.由图(2)所示可行域得二元一次不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋5＞0，3x －2y －8＜0，2x ＋3y －14＜0，2x ＋3y －1＞0.练习1．解：(1)作出线性约束条件所表示的可行域，如图所示，作出直线l 0：5x ＋8y ＝0.将l 0在可行域内平移到l ，当l 过点⎝⎛⎭⎫94，154时，z ＝5x ＋8y 取最大值，l 的方程为：5x ＋8y ＝1654，即z max ＝1654.(2)作出线性约束条件所表示的可行域，如图所示，作出直线l 0：3x ＋5y ＝0.设5x ＋3y ＝15与y ＝x ＋1的交点为A .将直线l 0在可行域内平移到l ，当直线l 过A 点时，z 取最大值．∵⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ＝15，y ＝x ＋1，∴⎩⎨⎧x ＝32，y ＝52，即A ⎝⎛⎭⎫32，52.z max ＝3×32＋5×52＝17.2．解：设A 仓库调往甲地机器x 台，B 仓库调往乙地机器y 台，则B 仓库调往甲地机器(10－x )台，A 仓库调往乙地机器(8－y )台，设运输费用为z ，由题意，得010,08,814,108, .x y x y y x x y ≤≤⎧⎪≤≤⎪⎪+-≤⎨⎪+-≤⎪∈⎪⎩N ＋、即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤10，0≤y ≤8，x －y ≤6，x －y ≥2，x 、y ∈N ＋.设目标函数z ＝400x ＋800(8－y )＋300(10－x )＋500y .∴z ＝100x －300y ＋9400.作出上述限制条件所表示的可行域，如图所示．作直线l 0：x －3y ＝0.将l 0向可行域平移，当l 0过A 点时，z 有最小值．由2,8,x y y -=⎧⎨=⎩得A (10,8)．此时z min ＝10×100－300×8＋9400＝8 000(元)．答：A 运往甲地10台，乙地0台；B 运往乙地8台，甲地0台时运费最省．3．解：设每月生产甲产品x 件，乙产品y 件，设总收入为z ，则目标函数z ＝3 000x ＋2 000y.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N ＋，x ＋2y ≤400，2x ＋y ≤500.作出上述限制条件所表示的可行域(如图所示)，作直线l 0：3 000x ＋2 000y ＝0，将l 0向可行域平移，设x ＋2y ＝400与2x ＋y ＝500交点为A ，当l 0平移到l 1过A 点时，z 取最大值．∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝400，2x ＋y ＝500，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝200，y ＝100.即A (200,100)． ∴z max ＝3 000×200＋2 000×100＝800 000.即每月生产甲200件，乙100件可获最大销售总收入800 000元．4．解：设需食物A 为x kg ，食物B 为y kg ，花费为z 元．则目标函数z ＝28x ＋21y . 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0.105x ＋0.105y ≥0.075，0.07x ＋0.14y ≥0.06，0.14x ＋0.07y ≥0.06，x ≥0，y ≥0.即7757146147600.x y x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎪≥⎨⎪≥⎪≥⎪⎩+，+，+，，. 作出上述不等式组表示的可行域．如图阴影部分所示．作直线l 0：28x ＋21y ＝0，即4x ＋3y ＝0，将l 0向可行域平移，设7x ＋7y ＝5与14x ＋7y ＝6的交点为A ，当l 0平移至l 1，l 1过点A 时，z 取最小值．∵⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋7y ＝5，14x ＋7y ＝6， ∴⎩⎨⎧x ＝17，y ＝47，即A ⎝⎛⎭⎫17，47.∴z min ＝28×17＋21×47＝16.答：需食物A 为17 kg ，食物B 为47kg 时，既能满足营养专家指出的饮食要求，同时花费也最低．习题3－5A1．解：(1)如图(1)；(2)如图(2)；(3)如图(3)；(4)如图(4)．2．解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧y ≥2x ＋1，x ＋2y ＜4表示的平面区域如图(1)．(2)2123618x y x y x ≤⎧⎪-≤⎨⎪-≤≤⎩+，+，表示的平面区域如图(2)．(3)21230,240x y x y y -≤⎧⎪⎨⎪-≤⎩，++＞表示的平面区域如图(3)．(4)⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，3x ＋5y ≤30，x ≥－2表示的平面区域如图(4)．3．解：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －24≤0，x －y ≤7，x ≥0，y ≥0表示的平面区域(如图所示)．作直线l 0：2x＋3y ＝0.将直线l 0向可行域移动，由图可知，当直线移至2x ＋3y －24＝0与之重合时，z ＝2x ＋3y 取得最大值．由72324=0,x y x y -=⎧⎨+-⎩，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝2，∴A (9,2)．∴z max ＝2×9＋3×2＝24或z max ＝3×8＝24.∴函数z ＝2x ＋3y 的最大值为24. 4．解：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ≥15，x －5y ≥0，6≤x ≤8表示的平面区域(如图所示)．作直线l 0：7x ＋y ＝0，将直线l 0向可行域移动．如图所示，当直线移至B 点时，7x ＋y取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －5y ＝0，x ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝85.∴B ⎝⎛⎭⎫8，85.∴z 的最大值为7×8＋85＝2885.5．解：设一天生产甲产品x 件，乙产品y 件，获得利润z ＝1 500x ＋2 000y ，则：⎩⎪⎨⎪⎧4x ≤16，4y ≤12，x ＋2y ≤8，x ＞0，y ＞0，且x ，y 均为整数，由画图可知，生产4件甲产品，2件乙产品，才能获得最大的利润．6．解：设截两种钢板分别为x 张、y 张．目标函数z ＝x ＋y.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥15，x ＋2y ≥18，x ＋3y ≥27，x ，y ∈N ＋.作出不等式组表示的平面区域(如图)，作直线l 0：x ＋y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝27，2x ＋y ＝15，得A (3.6,7.8)．当直线l 0平移过A 点时，z ＝3.6＋7.8＝11.4.令z ＝x ＋y ＝12得最优解(4,8)和(3,9)．答：分别截这两种钢板4张、8张或3张、9张，可使所用两种钢板的张数最少． 习题3－5B1．解：(1)如图(1)．(2)如图(2)．2．解：设二次函数表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，图象过原点，则有c ＝0， ∴y ＝ax 2＋bx .由－1≤f (－1)≤2≤f (1)≤4，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a －b ≤2， ①2≤a ＋b ≤4. ② ∴f (－2)＝4a －2b . 作直线l 0：2a －b ＝0.根据①②作可行域，如图所示．将l 0向可行域平移．可知，在B 点处f (－2)取最小值，在A 点处取最大值，A (a 1，b 1)，B (a 2，b 2)．∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋b 1＝4，a 1－b 1＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，b 1＝1.∴A (3,1).⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝2，a 2－b 2＝－1.∴⎩⎨⎧a 2＝12，b 2＝32∴B ⎝⎛⎭⎫12，32.∴4×12－2×32≤f (－2)≤4×3－2×1，即－1≤f (－2)≤10.∴f (－2)的取值范围为[－1,10]．另解：设4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，则⎩⎪⎨⎪⎧4＝m ＋n ，－2＝－m ＋n ，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1，即4a －2b ＝3(a －b )＋(a ＋b )． ∵－3≤3(a －b )≤6,2≤a ＋b ≤4， ∴－1≤4a －2b ≤10.∴f (－2)的取值范围为[－1,10]．3．解：设电视台每周播放连续剧甲x 次，连续剧乙y 次，收视观众为z 万人，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧80x ＋40y ≤320，x ＋y ≥6，x ，y ∈N ＋.即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤8，x ＋y ≥6，x ，y ∈N ＋目标函数z ＝60x ＋20y ，l 0：3x ＋y ＝0.作出不等式组的可行域如图所示．将直线l 0向可行域平移，当直线过A 点时，z 取最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝8，x ＋y ＝6，得A (2,4)． z max ＝60×2＋20×4＝200(万人)．答：电视台每周应播放连续剧甲2次，连续剧乙4次，才能使收视的观众最多．4．解：设安排x 名Ⅰ级车工，y 名Ⅱ级车工，支出费用z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧ 240x ＋160y ≥2 400，x ，y ∈N ＋，6≤y ≤12，0≤x ≤8.即⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ≥30，0≤x ≤8，6≤y ≤12，x ，y ∈N ＋.目标函数z ＝56x ＋36y ＋240×(1－97%)×2x ＋160×(1－95.5%)×2y ＝70.4x ＋50.4y .将l 0：70.4x ＋50.4y ＝0向可行域平移，可知在B 点处取得最小值(如图所示)．由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＝30，y ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝6.∴B (6,6)． ∴z min ＝70.4×6＋50.4×6＝724.8(元)．答：安排6名Ⅰ级车工，6名Ⅱ级车工，可使每天支出的费用最少．5．解：设甲粮库运往A 镇x t 大米，运往B 镇y t 大米；乙粮库运往A 镇(70－x ) t 大米，运往B 镇(110－y ) t 大米．则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤100，70－x ＋110－y ≤80，0≤x ≤70，0≤y ≤100，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝100，0≤x ≤70，0≤y ≤100.目标函数z ＝20×12x ＋15×12×(70－x )＋25×10y ＋20×8×(110－y )，即z ＝60x ＋90y ＋30 200.(1)作出可行域如图阴影所示，作直线l 0：60x ＋90y ＝0，即2x ＋3y ＝0，将l 0平移至l 1，l 1过点A 时z 最小．A (70,30)，即x ＝70，y ＝30.∴70－x ＝0,110－y ＝110－30＝80.z min ＝60×70＋90×30＋30 200＝37 100(元)．即甲粮库运往A 镇70 t 大米，B 镇30 t 大米，乙粮库运往B 镇80 t 大米时运费最省，总运费为37 100元．(2)将l 0平移至l 2，l 2过点B (0,100)时z 最大，即x ＝0，y ＝100.∴70－x ＝70,110－y ＝110－100＝10.∴z max ＝60×0＋90×100＋30 200＝39 200(元)．z max －z min ＝39 200－37 100＝2 100(元)． ∴最不合理的调运方案是甲粮库运往B 镇100 t 大米，乙粮库运往A 镇70 t 大米，B 镇10 t 大米，经济损失是2 100元．。
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封面作者：PanHongliang仅供个人学习第三章3.5第1课时一、选择题1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2x －y ＋3＜0表示的平面区域是( )[答案] D2．不等式x 2－y 2≥0表示的平面区域是( )[答案] B3．完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2000元，设木工x 人，瓦工y 人，请工人数的约束条件是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤5x 、y ∈N *B ．⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋40y ≤2000x y ＝23C ．⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤200x y ＝23x 、y ∈N*D ．⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ＜100x y ＝23[答案] C[解读] 因为请木工每人工资50元，瓦工每人工资40元，工资预算为2000元，∴50x ＋40y ≤2000即5x ＋4y ≤200.x 、y 表示人数∴x 、y ∈N *，∴答案为C ．4．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋1)(x ＋y ＋1)≥0－1≤x ≤4表示的平面区域是( )A ．两个三角形B ．一个三角形C ．梯形D ．等腰梯形[答案] B[解读] 如图，∵(x －y ＋1)(x ＋y ＋1)≥0表示如图A 所示的对角形区域．且两直线交于点A (－1,0)．故添加条件－1≤x ≤4后表示的区域如图B ．5．已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞) [答案] B[解读] ∵Ax ＋By ＋C ＞0与Ax ＋By ＋C ＜0分别表示直线Ax ＋By ＋C ＝0两侧的点的集合．∴(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0∴－7＜a ＜24.6．图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －2y ＋2≥0B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0x －2y ＋2≤0C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －2y ＋2≤0D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0x －2y ＋2≥0[答案] A[解读] 取原点O (0,0)检验满足x ＋y －1≤0，故异侧点应为x ＋y －1≥0，排除B 、D ． O 点满足x －2y ＋2≥0，排除C ． ∴选A ． 二、填空题7．不等式|2x －y ＋m |＜3表示的平面区域内包含点(0,0)和点(－1,1)，则m 的取值范围是________．[答案] 0＜m ＜3[解读] 将点(0,0)和(－1,1)代入不等式中解出0＜m ＜3.8．用三条直线x ＋2y ＝2,2x ＋y ＝2，x －y ＝3围成一个三角形，则三角形内部区域(不包括边界)可用不等式表示为__________．[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＜22x ＋y ＞2x －y ＜3三、解答题9．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≥0x －y ≥0y ≤3x ＜5表示的平面区域．[解读] 不等式x ＋y －6≥0表示在直线x ＋y －6＝0上及右上方的点的集合，x －y ≥0表示在直线x －y ＝0上及右下方的点的集合，y ≤3表示在直线y ＝3上及其下方的点的集合，x ＜5表示直线x ＝5左方的点的集合，所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≥0x －y ≥0y ≤3x ＜5表示的平面区域为如图阴影部分．一、选择题1．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －1≤0ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．3[答案] D[解读] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1x ＝1，得A (1，a ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1x ＋y －1＝0，得B (1,0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1x ＋y －1＝0，得C (0,1)． ∵S △ABC ＝2，且a >－1， ∴S △ABC ＝12|a ＋1|＝2，∴a ＝3.2．若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0y ≥0y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为( )A ．34B ．1C ．74D ．2[答案] C[解读] 如图所示，区域A 表示的平面区域为△OBC 内部及其边界组成的图形，当a 从－2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC 所围成的区域．S 四边形ODEC ＝S △OBC －S △BDE ＝2－14＝74.二、填空题3．点P (1，a )到直线x －2y ＋2＝0的距离为355，且点P 在3x ＋y －3＞0表示的区域内，则a ＝________.[答案] 3[解读] 由题意，得|1－2a ＋2|5＝355，∴a ＝0或3，又点P 在3x ＋y －3＞0表示区域内， ∴3＋a －3＞0，∴a ＞0，∴a ＝3.4．(2014·安徽文，13)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0x ＋2y －4≤0x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．[答案] 4[解读] 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －2＝0x ＋2y －4＝0，得A (8，－2)． 由x ＋y －2＝0得B (0,2)．又|CD |＝2， 故S 阴影＝12×2×2＋12×2×2＝4.三、解答题5．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＞0x ＋2y ＋1≥01＜|x －2|≤3表示的平面区域．[解读] 不等式x －2y ＋1＞0表示直线x －2y ＋1＝0右下方的点的集合； 不等式x ＋2y ＋1≥0表示直线x ＋2y ＋1＝0上及其右上方的点的集合；不等式1＜|x －2|≤3可化为－1≤x ＜1或3＜x ≤5，它表示夹在两平行线x ＝－1和x ＝1之间或夹在两平行线x ＝3和x ＝5之间的带状区域，但不包括直线x ＝1和x ＝3上的点．所以，原不等式表示的区域如下图所示．6．求不等式组错误!表示的平面区域的面积． [解读] 不等式x ＜3表示直线x ＝3左侧点的集合．不等式2y ≥x ，即x －2y ≤0表示直线x －2y ＝0上及左上方点的集合．不等式3x ＋2y ≥6，即3x ＋2y －6≥0表示直线3x ＋2y －6＝0上及右上方点的集合． 不等式3y ＜x ＋9即x －3y ＋9＞0表示直线x －3y ＋9＝0右下方点的集合． 综上可得，不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．因为平面区域为四边形形状，设顶点分别为A 、B 、C 、D ，如图． 可知A (0,3)、B (32，34)、C (3，32)、D (3,4)S 四边形ABCD ＝S 梯形AOED －S △COE －S △AOB ＝12(OA ＋DE )·OE －12OE ·CE －12OA ·x B ＝12(3＋4)×3－12×3×32－12×3×32＝6. 版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理。
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