有理数的乘方
有理数的乘除、乘方
（4） (1)2 n (n 为整数） （5） (1)
（6）0100
2 n 1
(n 为整数）
1 2 1 1 解:（1）(2 ) ( 2 ) ( 2 ) 2 2 2 乘方的运算可 5 5 25 以转化为乘法 2 2 4 的运算；计算 时先确定幂的 （2）(0.2)3 (0.2) (0.2) (0.2) 符号 0.008 4 （3）(2) (2) (2) (2) (2) 16
6
1 1 [例2] 3 (1 ) 3 5 解：原式 10 6 4 3 5
遇到带分数， 一般先化成假分数。
[例3] 1.2 (2 4 ) (2.5) ( 3 ) 5 7 解：原式 (1.2 2 4 2.5 3 ) 5 7 6 14 5 3 多个数相乘，先定 ( ) 5 5 2 7 符号，再做积。 18 5
四、综合提高 [例13] 1) 若ab0，b0, 则a___0.
2) 若abc0，bc0, 则a___0
解：1) ab0，说明a、b同号，又b0，所以a0
2) abc0, 说明a、bc同号，又bc0, 所以a0,
所以a0
2 22 23 249 [例14] 设 S 1 3 3 5 5 7 97 99
解：原式 30 5
6 6 30 5
有括号 先算括号
36
三、有理数的乘方
1、乘方：求几个相同数的积的运算。
2、乘方运算： 1）正数的任何次幂都是正数； 2）负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数； 3）0的n次幂是0（n0）; 注意：含有混合运算时，要先算乘方，再乘除，再加减。
因数中的小数， 化成假分数。
有理数乘方
有理数乘方有理数乘方的概念是十九世纪末二十世纪初才确立的，在此之前都称为“开方”。
它的原理早在公元前六世纪古希腊的阿基米德那里就已经发现了，他根据三角形面积和与其边长成正比的定理求出了一个正三角形面积的公式。
这个公式虽然不很完善，但在当时也算得上是十分重要的成果。
古人所说的“开方”实际上指的是在未知数的系数中添加一个适当的“负号”，使乘法运算转化为加法运算，从而使问题得以简化。
但是，只要把这种简化的思想进一步发展下去，就可以发现这个思想同乘法运算本身是没有任何矛盾的。
例如， 1、 3、 5、 9这几个有理数按顺序加起来为2n，把它们写成乘法算式时，若只看到结果则认为得数是1n，可实际上却等于加法，即2n；而若看到结果为3n，则误认为得数是3，实际上应该得3n，即3n；…这样，乘方后就变成1、 3、 9n，得数是3、 9、27。
由此可见，在加法的后面添加一个“负号”，并不会引起得数的改变，因此，这种解决问题的办法叫做“开方”，也叫“增乘开方”。
这是因为“开方”的目的是为了求某些数，而不是为了求某些数的积。
当然，这种方法也并非全无优点，它最大的优点是可以通过试探性的运算，证明一些比较复杂的数学问题的答案。
例如， 2、 3、 5、 7、 9、 11、 13、 17、 19这几个有理数按顺序乘起来得2×3×5×7×9×11×13×17×19，将它们写成乘法算式时，若只看到结果则认为得数是35，可实际上却等于加法，即20，即35×20；而若看到结果为23，则误认为得数是23，实际上应该得23×20，即23×20×20；…这样，乘方后就变成1、 3、 5、7、 9、 11、 13、 17、 19×20，得数为35、 23、 23、 17、 20，而“开方”的结果仍然是这些数，这就充分显示了乘方的优越性。
有理数的乘方
有理数的乘方1．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；（3）a 2是重要的非负数，即a 2≥0；若a 2+|b|=0 ⇔ a=0,b=0；（4）据规律 ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅===100101101.01.0222底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位. 2.乘方的性质（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a-b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n. （2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。
3．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数（其中101<≤a ， n 是正整数），这种记数法叫科学记数法.4.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.5.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.6.做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：（1）.先乘方，再乘除，最后加减；（2）.同级运算，从左到右进行；（3）.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。
注意：不省过程，不跳步骤。
7.特殊值法：是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明.常用于填空，选择。
一、填空题1.算式(－3)×(－3)×(－3)×(－3)用幂的形式可表示为 ，其值为 .2.在今年的“两会”上，温家宝总理在政府工作报告中提出，要在5年之内，在全国逐步取消农业税，减轻农民负担.目前我国农民每年交纳的农业税约为300亿远，用科学记数法表示为（结果保留3个有效数字） .3. 计算332)3()31()1(-⨯---的结果为 .4.圆周率=3.141592653…，如果取近似数3.142，它精确到 位，有效数字是 .5 .(1）542= （2）3216520.3-⨯-+=（） （3）－(－2)3(－0.5)4. . 6.若()2120070a b ++-=，则b a =__________。
有理数的乘方公式
有理数的乘方公式完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)完全立方公式：(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³有理数的乘方：求相同因数的积叫做乘方，乘方运算的结果叫幂。
正数的任何次幂都是正数，负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。
由于乘方是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成。
有理数的乘方法则：同底数幂法则同底数幂相乘除，原来的底数作底数，指数的和或差作指数。
a^m×a^n=a^(m+n)或a^m÷a^n=a^(m-n)（m、n均为自然数）幂的乘方法则幂的乘方，底数不变，指数相乘。
(a^m)^n=a^(m×n)积的乘方积的乘方，先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。
(a×b)^n=a^n×b^n有理数的乘方运算：1、负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。
2、正数的任何次幂都是正数，零的任何正数次幂都是零。
3、零的零次幂无意义。
4、由于乘方是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成。
5、1的任何次幂都是1，-1的偶次幂是1，奇次幂是-1。
6、0的任何正整数次幂都得0.有理数的乘法运算1、同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
2、任何数与零相乘，都得零。
3、几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负，当负因数有偶数个时，积为正。
4、几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。
5、几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后后把绝对值相乘。
有理数的乘方有理数及其运算
⒈ 什么是有理数的乘方
求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，
乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数，
an读作a的n次幂（或a的n次方）。
底数
an
指数
幂
⒈ 310的意义是 10个3相乘 ；(-25)7读
作 -25的7次方 ；-34读作 3的4次方的相反数 。
⒉ 平方等于它本身的数是 1，0 ，立
二、如何在小学数学教学活动中体现数学核心素养 1.数学抽象（符号意识、数感；几何直观、空间想象） 2.逻辑推理（推理能力、运算能力） 3.数学模型（模型思想、数据分析观念）
三、如何在数学教学评价中考查数学核心素养
教育质量监测的四个原则 1.不要求计算速度（速度的训练是课业负担重的主要原因） 2.监测内容蕴含的数学素养（概念、推理、计算、想象） 3.应当有一道开放题（超市的位置，加分原则） 4.说学生能懂的话（对可能性的理解）
例1. 计算：
⑴ ⑶
((－ －－313)2×)3 ；(－2)3；⑵
－32×23；
⑷ －2×32； ⑸ (－2×3)2；
⑹ ⑺
(－－(2－)124)×4；(－－12 ⑻)15；(－1)2001；
⑼ －23＋(－3)2；
⑽ (－2)2 ×(－3)2.
反思
这节课你学会了一种什么运算？你有 何体会？
“乘方”精神：虽然是简简单 单的重复，但结果却是惊人 的。做人也要这样，脚踏实 地，一步一个脚印，成功也 会令你惊喜的。
义教阶段的数学核心素养（核心词、核心概念） （数感、符号意识）、推理能力、模型思想 （几何直观、空间想象）、运算能力、数据分析观念
更为一般的数学素养：应用意识、创新意识、学会学习
设定数学核心素养的理由（三会） 会用数学的眼光观察现实世界 数学的眼光是什么：数学抽象（直观想象） 引发的数学特征：数学的一般性； 会用数学的思维思考现实世界 数学的思维是什么：逻辑推理（数学运算） 引发的数学特征：数学的严谨性； 会用数学的语言表达现实世界 数学的语言是什么：数学模型（数据分析） 引发的数学特征：数学应用的广泛性。
有理数的乘方
-32-(-2)2×(-4)+(－1)2020
8×(－12)3+ (－4)×(－3)－(－1)2021
课堂小结
2.能够正确进行有理数的乘方运算
捏合前捏一次后Fra bibliotek捏两次后
2
2×2=22
捏三次后
2×2×2=？
捏十次之后呢？
？
1.定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方
即 a×a×……×a = an
n个
2.在an中，a叫做底数，n叫做指数，把an读作a 的n次幂（或a的n次方）
幂
a n 指数 因数的个数
底数 因数
1.定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方
即 a×a×……×a = an
n个
2.在an中，a叫做底数，n叫做指数，把an读作a的n次幂 （或a的n次方）
3.有理数乘方的运算法则 （1）正数的任何次幂都是_正__数 ， （2）负数的奇次幂是_负__数，负数的偶次幂是_正__数. （3）0的任何正整数次幂都是_0__.
温馨提示：幂的底数 是分数或负数时，底 数应该添上括号！
(－5)2底数是___，指数是___，(－5)2读作 ，或 -5；2；-5的2次方；-5的2次幂
注意：(－5)2 =25 －52 = － 25
4.24
（3）23=2×2×2=8
（4）24=2×2×2×2=16
你能迅速的判断下列各幂的正负吗？
有理数的乘方
本节课里你学到了什么？
1.有理数的乘方的意义和相关概念； 幂的底数是分数或负数时,底数应该添上括号. 2.乘方的性质 （1）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正 数； （2）正数的任何次幂都是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0。 3.乘方的有关运算 进行乘方运算应先确定符号后再计算。 4.体会特殊到一般，具体到抽象的数学方法。
8 6 -8
4 3
试一试
口答
（1 ）
1
3
=1
8
7
（2）
1
2008
=1
=1 =-1
（3 ）
(1)
（4） =1
(1)
2008
2007
（5 ）
（6） (1) =-1 (1)
(1) 1的任何次幂都为 1。 (2) -1的幂很有规律: -1的奇次幂是-1 ， -1的偶次幂是1。
(每题5分)
(1) 5×2
=
5 6
4
。
试一试
练习二
根据乘方的意义，把下列乘方写成乘法式子的形式：
5
2 2 2 ____________ 2 2 ； 1、 2 =_____________
2 2 2 2 2 2、 2 5 =___________________;
（ - 3）
2
-3的平方 3的平方 的相反数
-3 3
2 2 4 4
-3
2
2 4 （ ） 3
2 的4次方 3
2的4次方 除以3的商
2 3
2
2 3
4
试一试
练习一
根据乘方的意义，把下列乘法式子写成
乘方的形式：
1、3×3×3×3×3= 35 ； 2、（－3）×（－3）×（－3）×（－3） = 34； 3、 5 5 5 5 6 6 6 6
有理数的乘方
如：(
1 2
)
3
、（-3）2
！议一议
3 2 与 （－3）2 结果相等吗？
3 2 读作 3 2 的相反数，而（－3）2 读 作－３的平方， 3 2 ＝－９ ，（－3）＝2 ９
注意:(1)负数的乘方,在书写时一定 要把整个负数(连同符号),用小括 号括起来.这也是辨认底数的方法 (2)分数的乘方,在书写的时一定要 把整个分数用小括号括起来.
1.10 有理数的乘方
引例
1米=＿10＿分米
=＿10×＿1＿0 厘米
=＿10＿×1＿0×＿10＿ 毫米
我们把10× 10记作102，读作10的二 次方;把10×10 ×10 记作103，读作 10的三次方。
5×5× 5
3个5
a×a ×… ×a ×a
n个a
记作 53 记作 an
an= a×a ×… ×a ×a
；
4)在 a17中，底数是 a ；指数
是 17；读作 a的17次方 ；
计算
(1)(－2)3
(2) (－ 1 ) 4 (3)(－26)
解：(1)原式=(－2) (－2)2(－2）=－8
11 11
(2)原式=(－ 2 )(－ 2 )(－ 2 )(－ 2 )
=
1 ￣16
(3)原式=－2×2×2×2×2×2=－64
定义:
n个a
求n个相同因数a的积的运算叫做乘方
底数
an 指数 幂（即乘方的 结果）
练习一
1）在 1210 中，12是 底 数，10是
指 数，读作 12的13
，指数是 7
，
读作 3 2 的7次方 ；
3
3）在 316中，-3是 底 数，16是
指 数，读作 -3的16次方
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1.5.1乘方（一）
教学目标：1、知道乘方运算与乘法运算的关系，会进行有理数的乘方运算；
2、知道底数、指数和幂的概念，会求有理数的正整数指数幂。
重点：正确理解乘方的意义，能利用乘方的运算法则进行有理数的乘方运算。
重点：会进行有理数的乘方运算，弄清（－a ）n 与－a n 的区别
教学过程：
教师归纳：（1）a ×a 可记为a2 （2）a ×a ×a 可记为a3
（3）2×2×2×2×2×2可记为25 （4）a ×a ×a ×a ×…×a （n 个a ）可记为an
乘方的概念
（1）乘方的意义 求n 个相同的因数a
a 叫做底数，n 叫做指数。
（2）乘方的读法 把a n 读作a 的n 次方或者a 的n 次幂
其中一个数可以看作这个数本身的一次方。
讲解课本P41例1
教师：请同学们计算下列各题：（12 ）5，（35 ）5，（－23 ）4，（355 ）
一个学生区别（35 ）5和（355 ）有什么不同。
教师归纳：负数的奇次幂是负数；负数和偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0。
当底数是负数或分数时，要加括号。
二、巩固知识
课本P42练习
三、总结
本节课主要学习了乘方中的底数、指数和幂的概念，会求有理数的正整数指数幂，掌握乘方运算与乘法运算的关系，会进行有理数的乘方运算。
四、布置作业
课本P47 习题1.5第1题
底数 幂。