2.3函数的奇偶性与周期性+高效作业

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高考数学一轮复习第二章函数2.3函数的奇偶性与周期性课时作业理

课时作业6 函数的奇偶性与周期性一、选择题1．f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x －2，则f (12log 6)的值等于( )．A ．－43B ．－72 C.12 D ．－122．函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝－x ＋1，则当x ＜0时，f (x )的表达式为( )．A ．－x ＋1B ．－x －1C ．x ＋1D ．x －13．(2013届湖南师大附中月考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，g x ，x <0，且函数f (x )为偶函数，则g (－2)＝( )．A ．6B ．－6C ．2D ．－2 4．定义两种运算：a ⊕b ＝log 2(a 2－b 2)，a ⊗b ＝a －b 2，则函数f (x )＝2(2)2xx ⊕⊗-为( )．A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数且为偶函数D ．非奇且非偶函数5．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (2 013)＋f (－2 014)的值为( )．A ．－2B ．－1C ．1D ．26．函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则( )．A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是奇函数C ．f (x )＝f (x ＋2)D ．f (x ＋3)是奇函数7．已知函数f (x )是R 上的单调增函数且为奇函数，数列{a n }是等差数列，a 3＞0，则f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)的值( )．A ．恒为正数B ．恒为负数C ．恒为0D ．可正可负二、填空题8．(2013届湖南雅礼中学月考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，g x ，x <0，若f (x )是奇函数，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19的值为__________． 9．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则不等式f (x )＜－1的解集是__________．10．定义在R 上的偶函数f (x )满足：f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1,0]上是增函数，下列关于f (x )的判断：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于直线x ＝2对称；③f (x )在[0,1]上是增函数；④f (x )在[1,2]上是减函数；⑤f (4)＝f (0)．其中判断正确的序号是__________．三、解答题11．已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且对任意a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )．且当x ＞0时，f (x )＜0恒成立，f (3)＝－3.(1)证明：函数y ＝f (x )是R 上的减函数；(2)证明：函数y ＝f (x )是奇函数；(3)试求函数y ＝f (x )在[m ，n ](m ，n ∈N *)上的值域．12．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )．若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－12在[0,2 014]上的所有x 的个数．参考答案一、选择题1．C 解析：f (12log 6) ＝－f (12log 6-)＝－f (log 26)＝－f (log 26－2)＝－(2log 622-－2)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫64－2 ＝12，故选C. 2．B 解析：x ＜0时，f (x )＝－f (－x )＝－[－(－x )＋1]＝－x －1.选B.3．A 解析：g (－2)＝f (－2)＝f (2)＝22＋2＝6.4．A 解析：f (x )＝log 2(4－x 2)(x －2)2－2，由⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x 2>0，|x －2|－2≠0，得－2＜x ＜2且x ≠0，∴f (x )＝log 2(4－x 2)－x为奇函数． 5．C 解析：依题意得，x ≥0时，有f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即x ≥0时，f (x )是以4为周期的函数．因此，f (2 013)＋f (－2 014)＝f (2 013)＋f (2 014)＝f (1)＋f (2)．而f (2)＝－f (0)＝－log 2(0＋1)＝0，f (1)＝log 2(1＋1)＝1，故f (2 013)＋f (－2 014)＝1.6．D 解析：由y ＝f (x ＋1)为奇函数知f (x ＋1)＝－f (－x ＋1)．①由y ＝f (x －1)为奇函数知f (x －1)＝－f (－x －1)．②由①得f (－x )＝－f (2＋x )；由②得f (－x )＝－f (x －2)，∴f (2＋x )＝f (x －2)，即f (x ＋4)＝f (x )．∴函数y ＝f (x )是以4为周期的函数．∴由②知，f (x －1＋4)＝－f (－x －1＋4)．∴f (x ＋3)＝－f (－x ＋3)，∴函数f (x ＋3)是奇函数．7．A 解析：不妨设等差数列{a n }的公差d ＞0，若a 1＞0，则a 5＞a 3＞a 1＞0.由函数f (x )在R 上是增函数且为奇函数，知f (a 5)＞f (a 3)＞f (a 1)＞0，所以f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)＞0；若a 1＜0，则a 5＋a 1＝2a 3＞0，a 5＞－a 1＞0.由奇函数f (x )为R 上的增函数，知f (a 5)＞f (－a 1)＝－f (a 1)，所以f (a 1)＋f (a 5)＞0，又f (a 3)＞0，所以f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)＞0.故选A.二、填空题8．2 解析：g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝－log 319＝2. 9.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 0<x <12，或x <－2 解析：当x ＜0时，－x ＞0， ∴f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x )，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x >0，0，x ＝0，－log 2(－x )，x <0.∴f (x )＜－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，log 2x <－1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，0<－1或⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，－log 2(－x )<－1⇒0＜x ＜12或x ＜－2.10．①②⑤ 解析：f (x ＋1)＝－f (x )⇒f (x ＋2)＝f (x )，故f (x )是周期函数．又f (x )＝f (－x )，所以f (x ＋2)＝f (－x )，故f (x )关于直线x ＝1对称．同理，f (x ＋4)＝f (x )＝f (－x )，∴f (x )关于直线x ＝2对称．由此可得①②⑤正确．三、解答题11．(1)证明：设任意x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，f (x 2)＝f [x 1＋(x 2－x 1)]＝f (x 1)＋f (x 2－x 1)．∵x 2－x 1＞0，∴f (x 2－x 1)＜0.∴f (x 2)＝f (x 1)＋f (x 2－x 1)＜f (x 1)，故f (x )是R 上的减函数．(2)证明：∵f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )恒成立，∴可令a ＝－b ＝x ，则有f (x )＋f (－x )＝f (0)．又令a ＝b ＝0，则有f (0)＝f (0)＋f (0)，∴f (0)＝0.从而任意的x ∈R ，f (x )＋f (－x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )．故y ＝f (x )是奇函数．(3)解：由于y ＝f (x )是R 上的单调递减函数，∴y ＝f (x )在[m ，n ]上也是减函数，故f (x )在[m ，n ]上的最大值f (x )max ＝f (m )，最小值f (x )min ＝f (n )．由于f (n )＝f [1＋(n －1)]＝f (1)＋f (n －1)＝…＝nf (1)，同理f (m )＝mf (1)．又f (3)＝3f (1)＝－3，∴f (1)＝－1.∴f (m )＝－m ，f (n )＝－n .因此函数y ＝f (x )在[m ，n ]上的值域为[－n ，－m ]．12．解：当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1，∴f (－x )＝12(－x )＝－12x .∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴－f (x )＝－12x ，即f (x )＝12x .故f (x )＝12x (－1≤x ≤1)．又设1＜x ＜3，则－1＜x －2＜1.∴f (x －2)＝12(x －2)．又∵f (x －2)＝－f (2－x )＝－f [(－x )＋2]＝－[－f (－x )]＝－f (x )， ∴－f (x )＝12(x －2)．∴f (x )＝－12(x －2)(1＜x ＜3)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ，－1≤x ≤1，－12(x －2)，1<x <3.由f (x )＝－12，解得x ＝－1.又∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数．∴f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z )．令0≤4n －1≤2 014，则14≤n ≤2 0154，又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤503(n ∈Z )，∴在[0,2 014]上共有503个x 使f (x )＝－12.。

2.3 函数的奇偶性与周期性作业

课时规范练2.3函数的奇偶性与周期性基础巩固组1.函数f(x)=1x-x的图象关于()A.y轴对称B.直线y=-x对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称2.(2019北京怀柔模拟,6)若函数f(x)=2x-2-x,则f(x)()A.是奇函数,且在R上是增函数B.是偶函数,且在R上是增函数C.是奇函数,且在R上是减函数D.是偶函数,且在R上是减函数3.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,则满足f(2x-1)<f(13)的x的取值范围是()A.(13,23) B.[13,23)C.(12,23) D.[12,23)4.(2019四川成都二模,8)已知定义域R的奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且当0≤x≤1时,f(x)=x3,则f(52)=()A.-278B.-18C.18D.278125.(2019山东烟台二中模拟)已知函数y=f (x )满足y=f (-x )和y=f (x+2)是偶函数,且f (1)=π3,设F (x )=f (x )+f (-x ),则F (3)=( )A.π3B.2π3C.πD.4π36.(2019黑龙江佳木斯一中调研二,6)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x+4)=f (x-2).若当x ∈[-3,0]时,f (x )=6-x ,则f (2 018)=( )A.36B.136C.6D.167.(2019重庆西南大学附属中学月考)已知f (x+2)是偶函数,f (x )在(-∞,2]上单调递减,f (0)=0,则f (2-3x )>0的解集是( )A.(-∞,23)∪(2,+∞) B .(23,2)C.(-23,23) D.(-∞,23)∪(23,+∞)8.已知定义域为R 的函数f (x )在(8,+∞)内为减函数,且函数y=f (x+8)为偶函数,则( ) A.f (6)>f (7) B.f (6)>f (9) C.f (7)>f (9)D.f (7)>f (10)9.(2019河北邢台一中期末)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,其最小正周期为4,且当x ∈(-32,0)时,f (x )=log 2(-3x+1),则f (2 021)等于( ) A.4B.2C.-2D.log 2710.(2019北京,理13)设函数f (x )=e x +a e -x (a 为常数).若f (x )为奇函数,则a= ;若f (x )是R 上的增函数,则a 的取值范围是 .311.(2019安徽安庆二模,15)若f (x )是R 上的奇函数,且f (x +52)+f (x )=0,又f (1)=1,f (2)=2,则f (3)+f (4)+f (5)= .综合提升组12.(2019辽宁鞍山一中一模,10)定义在R 上的偶函数f (x ),满足f (x+1)=-f (x ),且f (x )在[-3,-2]上为减函数,则在锐角△ABC 中有( ) A.f (sin A )>f (cos B ) B.f (sin A )<f (cos B ) C.f (sin A )>f (sin B )D.f (cos A )<f (cos B )13.(2019山东临沂一模,7)已知函数g (x )=f (x )+x 2是奇函数,当x>0时,函数f (x )的图象与函数y=log 2x 的图象关于y=x 对称,则g (-1)+g (-2)=( ) A.-7B.-9C.-11D.-1314.(2019河南八市联考二,10)已知函数f (x )=e x-1-e -x+1,则下列说法正确的是( ) A.函数f (x )的最小正周期是1 B.函数f (x )是单调递减函数 C.函数f (x )关于直线x=1轴对称 D.函数f (x )关于(1,0)中心对称15.(2019山西临汾一中期末)已知f (x )是定义域为(-1,1)的奇函数,而且f (x )是减函数,如果f (m-2)+f (2m-3)>0,那么实数m 的取值范围是( )A.(1,53)B.(-∞,53)4C.(1,3)D.(53,+∞) 16.(2019浙江宁波一中期末)设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件:①f (x )+f (-x )=0;②f (x )=f (x+2);③当0≤x<1时,f (x )=2x -1,则f (12)+f (1)+f (32)+f (2)+f (52)= .创新应用组17.(2019黑龙江哈尔滨三中调研,11)已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0,+∞)上是单调递增的,若不等式f (ax-4)≤f (x+5)对任意x ∈[1,2]恒成立,则实数a 的取值范围为( )A.[-32,112]B.(-∞,112]C.[112,10] D.(-∞,-32]18.(2019江苏淮安一中模拟)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f (x )=x 3-x ,则函数y=f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为 .参考答案课时规范练2.3函数的奇偶性与周期性1.C∵f(-x)=-1x +x=-(1x-x)=-f(x),且定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),∴f(x)为奇函数.∴f(x)的图象关于坐标原点对称.2.A∵x∈R,f(-x)=2-x-2x=-f(x),∴函数f(x)为奇函数;∵f(x)=2x-2-x=2x-12x ,而y=2x是R上的增函数,y=-12x也是R上的增函数,∴f(x)=2x-2-x在R上是增函数.故选A.3.A由于函数f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,且f(x)为偶函数,则由f(2x-1)<f(13),得-13<2x-1<13,解得13<x<23.故x的取值范围是(13,23).4.B∵f(x)是奇函数,且图象关于x=1对称,∴f(2-x)=f(x).又0≤x≤1时,f(x)=x3,∴f(5 2)=f(2-52)=f(-12)=-f(12)=-18.故选B.5.B由y=f(-x)和y=f(x+2)是偶函数知f(-x)=f(x),且f(x+2)=f(-x+2),则f(x+2)=f(x-2).∴f(x+4)=f(x),则y=f(x)的周期为4.所以F(3)=f(3)+f(-3)=2f(3)=2f(-1)=2f(1)=2π3.6.A∵f(x+4)=f(x-2),∴f(x+6)=f(x),∴f(x)的周期为6.56又f (x )是偶函数,且当x ∈[-3,0]时,f (x )=6-x ,∴f (2 018)=f (2+336×6)=f (2)=f (-2)=62=36.故选A .7.D 因为f (x+2)是偶函数,所以f (x )的图象关于直线x=2对称,所以f (0)=f (4)=0.又f (x )在(-∞,2]上单调递减,则f (x )在[2,+∞)上单调递增.当2-3x ≥2即x ≤0时,由f (2-3x )>0得f (2-3x )>f (4),所以2-3x>4,解得x<-23;当2-3x<2即x>0时,由f (2-3x )>0得f (2-3x )>f (0),所以2-3x<0,解得x>23.因此f (2-3x )>0的解集是(-∞,23)∪(23,+∞).故选D .8.D 由y=f (x+8)为偶函数,知函数f (x )的图象关于直线x=8对称.又因为f (x )在(8,+∞)内为减函数,所以f (x )在(-∞,8)内为增函数.可画出f (x )的草图(图略),知f (7)>f (10).9.C 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数,其最小正周期为4,所以f (2 021)=f (4×505+1)=f (1)=-f (-1).因为-1∈(-32,0),且当x ∈(-32,0)时,f (x )=log 2(-3x+1),所以f (-1)=log 2[-3×(-1)+1]=2,所以f (2 021)=-f (-1)=-2.10.-1 (-∞,0] 若函数f (x )=e x +a e -x 为奇函数,则f (-x )=-f (x ),e -x +a e x =-(e x +a e -x ),(a+1)(e x +e -x)=0对任意的x 恒成立,则a=-1.若函数f (x )=e x +a e -x 是R 上的增函数,则f'(x )=e x -a e -x ≥0恒成立,即a ≤e 2x ,故a ≤0.11.-3 因为f (x +52)+f (x )=0,所以f(x+5)=-f(x+52)=f(x),所以f(x)是R上周期为5的奇函数,f(3)+f(4)+f(5)=f(-2)+f(-1)+f(0)=-f(2)-f(1)+0=-3.12.A由f(x+2)=-f(x+1)=f(x),得f(x)的周期为2.由f(x)在[-3,-2]上为减函数,可得f(x)在[-1,0]上为减函数,又f(x)为偶函数,所以f(x)在[0,1]上为增函数,由题意,A+B>π2,故sinA=cos(π2-A)>cos B,故f(sin A)>f(cos B),故选A.13.C∵x>0时,f(x)的图象与函数y=log2x的图象关于y=x对称,∴x>0时,f(x)=2x;∴x>0时,g(x)=2x+x2.又g(x)是奇函数,∴g(-1)+g(-2)=-[g(1)+g(2)]=-(2+1+4+4)=-11.故选C.14.D函数f(x)=e x-1-e-x+1,即f(x)=e x-1-1e x-1,可令t=e x-1,即有y=t-1t ,由y=t-1t在t>0递增,t=e x-1在R上递增,可得函数f(x)在R上为增函数,则A,B均错;由函数f(x)的图象向左平移1个单位,得函数的解析式为y=e x-e-x,显然此函数为奇函数,图象关于原点对称,所以函数f(x)的图象关于(1,0)中心对称.则C错误,D正确.故选D.15.A∵f(x)是定义域为(-1,1)的奇函数,∴-1<x<1,f(-x)=-f(x),78∴f (m-2)+f (2m-3)>0可转化为f (m-2)>-f (2m-3),即f (m-2)>f (-2m+3). ∵f (x )是减函数,∴{-1<m -2<1,-1<2m -3<1,m -2<-2m +3,∴1<m<53.16.√2-1 依题意知f (1)+f (-1)=0,又函数周期为2,则f (-1)=f (-1+2)=f (1),所以f (1)=0.∴f (12)+f (1)+f (32)+f (2)+f (52)=f (12)+0+f (-12)+f (0)+f (12)=f (12)-f (12)+f (0)+f (12)=f (12)+f (0)=212-1+20-1=√2-1. 17.A 根据题意,f (x )为偶函数且在[0,+∞)单调递增,则f (ax-4)≤f (x+5)⇒f (|ax-4|)≤f (|x+5|)⇒|ax-4|≤|x+5|,若不等式f (ax-4)≤f (x+5)对任意x ∈[1,2]恒成立,则|ax-4|≤|x+5|在区间[1,2]上恒成立,又由x ∈[1,2],则x+5>0, 则|ax-4|≤x+5,得-(x+5)≤ax-4≤x+5,即{(a +1)x +1≥0,(a -1)x -9≤0在区间[1,2]上恒成立,所以{(a +1)+1≥0,2(a +1)+1≥0,(a -1)-9≤0,2(a -1)-9≤0, 解得-32≤a ≤112,即a 的取值范围为[-32,112],故选A .18.7 因为当0≤x<2时,f (x )=x 3-x.又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数,且f (0)=0, 则f (6)=f (4)=f (2)=f (0)=0.又f (1)=0,所以f (5)=f (3)=f (1)=0,故函数y=f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点有7个.。

课时作业4：§2.3 函数的奇偶性与周期性

§2.3 函数的奇偶性与周期性A 组专项基础训练(时间：30分钟)1．(2013·广东)定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1答案 C解析由奇函数的定义可知y ＝x 3，y ＝2sin x 为奇函数．2．已知f (x )在R 上是奇函数，且f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)等于( )A ．－2B ．2C ．－98D ．98 答案 A解析 f (7)＝f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.3．(2014·福建)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)答案 D 解析函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0的图象如图所示，由图象知只有D 正确．4．定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( ) A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)答案 A解析由题意知f (x )为偶函数，所以f (－2)＝f (2)，又x ∈[0，＋∞)时，f (x )为减函数，且3>2>1，∴f (3)<f (2)<f (1)，即f (3)<f (－2)<f (1)，故选A.5．定义两种运算：ab ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝(a －b )2，则f (x )＝2x 2－(x ⊗2)是( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数答案 A解析因为2x ＝4－x 2，x ⊗2＝(x －2)2，所以f (x )＝4－x 22－(x －2)2＝4－x 22－(2－x )＝4－x 2x ，该函数的定义域是[－2,0)∪(0,2]，且满足f (－x )＝－f (x )．故函数f (x )是奇函数．6．函数f (x )在R 上为奇函数，且x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________. 答案－－x －1解析 ∵f (x )为奇函数，x >0时，f (x )＝x ＋1，∴当x <0时，－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1.7．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间[0，＋∞)上为增函数，且f (13)＝0，则不等式f (x )>0的解集为________．答案 {x |x >13或x <－13} 解析由已知f (x )在R 上为偶函数，且f (13)＝0， ∴f (x )>0等价于f (|x |)>f (13)，又f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∴|x |>13，即x >13或x <－13. 8．已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R )，则f (2 015)＝________.答案 14解析方法一令x ＝1，y ＝0时，4f (1)·f (0)＝f (1)＋f (1)，解得f (0)＝12，令x ＝1，y ＝1时，4f (1)·f (1)＝f (2)＋f (0)，解得f (2)＝－14，令x ＝2，y ＝1时，4f (2)·f (1)＝f (3)＋f (1)，解得f (3)＝－12，依次求得f (4)＝－14，f (5)＝14，f (6)＝12，f (7)＝14， f (8)＝－14，f (9)＝－12，… 可知f (x )是以6为周期的函数，∴f (2 015)＝f (335×6＋5)＝f (5)＝14. 方法二 ∵f (1)＝14， 4f (x )·f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )，∴构造符合题意的函数f (x )＝12cos π3x ， ∴f (2 015)＝12cos ⎝⎛⎭⎫π3×2 015＝14. 9．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积．解 (1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得：f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x )．故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×1＝4.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数． (1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)由(1)知f (x )在[－1,1]上是增函数，要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增．结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．B 组专项能力提升(时间：30分钟)11．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)等于( )A ．2 B.154 C.174D ．a 2 答案 B解析 ∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，∴f (－2)＝－f (2)，g (－2)＝g (2)＝a ，∵f (2)＋g (2)＝a 2－a －2＋2，①∴f (－2)＋g (－2)＝g (2)－f (2)＝a －2－a 2＋2，②由①、②联立，g (2)＝a ＝2，f (2)＝a 2－a －2＝154.12．设奇函数f (x )的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f (1)≥1，f (2)＝2a －3a ＋1，则a 的取值范围是( )A ．a <－1或a ≥23B ．a <－1C ．－1<a ≤23D ．a ≤23答案 C解析函数f (x )为奇函数，则f (1)＝－f (－1)．由f (1)＝－f (－1)≥1，得f (－1)≤－1；函数的最小正周期T ＝3，则f (－1)＝f (2)，由2a －3a ＋1≤－1，解得－1<a ≤23. 13．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，则有①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________．答案 ①②解析在f (x ＋1)＝f (x －1)中，令x －1＝t ，则有f (t ＋2)＝f (t )，因此2是函数f (x )的周期，故①正确；当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x 是增函数，根据函数的奇偶性知，f (x )在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；在区间[－1,1]上，f (x )的最大值为f (1)＝f (－1)＝2，f (x )的最小值为f (0)＝1，故③错误．14．已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围．解 ∵f (x )的定义域为[－2,2]．∴有⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤ 3.① 又f (x )为奇函数，且在[－2,0]上递减，∴f (x )在[－2,2]上递减，∴f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)⇒1－m >m 2－1，即－2<m <1.②综合①②可知，－1≤m <1.即实数m 的取值范围是[－1,1)．15．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)f (x )为偶函数．证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0. 令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1.∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}.。

高中数学【Word版题库】23函数的奇偶性与周期性共8页word资料

2.3 函数的奇偶性与周期性一、填空题1．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________.解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝－12.答案－122.设函数2()(1)()f x x x a =++为奇函数,则a = .解析由函数2()(1)()f x x x a =++为奇函数得到f (0)=0,即2(01)(0)a ++=0. 所以a =0. 答案 03．设函数f (x )是奇函数且周期为3，f (－1)＝－1，则f (2 011)＝________ 解析因为f (－x )＝－f (x )，f (x ＋3)＝f (x )，f (－1)＝－1，所以f (1)＝1，f (2 011)＝f (3×670＋1)＝f (1)＝1. 答案 14．已知奇函数f (x )的图象关于直线x ＝－2对称，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x ，则f (－9)＝________.解析由题意，得f (－x )＝－f (x )，f (x )＝f (－4－x )，所以f (－9)＝f (－4＋9)＝f (5)＝－f (－5)＝－f (1)＝－2. 答案－25.若y =f (x )是奇函数,且在(0),+∞内是增函数,又f (3)=0,则xf (x )<0的解集是 _______.解析因为f(x)在(0),+∞内是增函数,f(3)=0, 所以当0<x<3时,f(x)<0; 当x>3时,f(x)>0.又因为f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,所以当-3<x<0时,f(x)>0; 当x<-3时,f(x)<0.可见xf(x)<0的解集是{x|-3<x<0或0<x<3}.答案 {x|-3<x<0或0<x<3}6．函数f(x)是奇函数，且在[－1,1]上是单调增函数，又f(－1)＝－1，则满足f (x )≤t 2＋2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]及a ∈[－1,1]都成立的t 的取值范围是________．解析由题意，f (x )max ＝f (1)＝－f (－1)＝1，所以t 2＋2at ＋1≥1，即t 2＋2at ≥0对a ∈[－1,1]恒成立，t ＝0时，显然成立；t ≥0时，由t ≥－2a 恒成立，得t ≥2；t ＜0时，由t ≤－2a 恒成立，得t ≤－2. 综上，得t ≤－2或t ＝0或t ≥2. 答案 (－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)7．设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x ＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x ，则f(7.5)＝________.解析由题意得f(x ＋4)＝f[(x ＋2)＋2]＝－f(x ＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，所以f(7.5)＝f(7.5－8)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5. 答案－0.58．已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R )是偶函数，则k 的值为________．解析由f (－x )＝f (x )，得log 4(4－x ＋1)－kx ＝log 4(4x ＋1)＋kx ，即2kx ＝log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4x4x －log 4(4x＋1)＝log 414x ＝－x ，所以k ＝－12.答案－129．若偶函数f (x )在(－∞，0)内单调递减，则不等式f (－1)＜f (lg x )的解集是________．解析因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (|x |)，于是由f (－1)＜f (lg x )，得f (1)＜f (|lg x |)，又由f (x )在(－∞，0)内单调递减得f (x )在(0，＋∞)内单调递增，所以有|lg x |＞1，即lg x ＜－1或lg x ＞1，解得x ＜110或x ＞10.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，110∪(10，＋∞) 10．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )＜－12的解集是________．解析若x＞0，则由f(x)＝1－2－x＜－12，得⎝⎛⎭⎪⎫12x＞32，这与x＞0时，⎝⎛⎭⎪⎫12x＜1矛盾．若x＜0，则由f(x)为奇函数，得f(x)＝－f(－x)＝－1＋2x＜－12，得2x＜12＝2－1，解得x＜－1.答案(－∞，－1)11．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；②f(x)关于直线x＝1对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(2)＝f(0)．其中正确的序号是________．解析∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(x＋1)＝f(x＋1＋1)＝f(x＋2)，∴f(x)是周期为2的函数，①正确．又∵f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)，∴f(x)＝f(2－x)，∴y＝f(x)的图象关于x＝1对称，②正确．又∵f(x)为偶函数且在[－1,0]上是增函数，∴f(x)在[0,1]上是减函数．又∵对称轴为x＝1，∴f(x)在[1,2]上为增函数，f(2)＝f(0)，故③④错误，⑤正确．答案①②⑤12．函数y＝f(x)与y＝g(x)有相同的定义域，且都不是常值函数，对于定义域内的任何x，有f(x)＋f(－x)＝0，g(x)g(－x)＝1，且当x≠0时，g(x)≠1，则F(x)＝2f xg x－1＋f(x)的奇偶性为________．解析因为f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝1g x，所以F (－x )＝2f －xg －x －1＋f (－x )＝－2f x 1g x－1－f (x )＝2f x g xg x －1－f (x )＝2f x g x －2f x ＋2f xg x －1－f (x )＝2f (x )＋2fxg x －1－f (x )＝2f xg x －1＋f (x )＝F (x )．所以F (x )是偶函数．答案偶函数13．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34为奇函数，给出以下四个命题：①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称；③函数f (x )为R 上的偶函数；④函数f (x )为R 上的单调函数，其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．解析 ①由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，得f (x ＋3)＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )，所以①正确．②由y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －34为奇函数，得f (x )图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0对称，所以②不正确．③由f ⎝⎛⎭⎪⎫－x －34＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，得f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －32，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫－x －32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，所以f (x )是偶函数，③正确．由③正确知④不正确．答案 ①③ 二、解答题14．设f (x )＝e x ＋a e －x (a ∈R ，x ∈R )． (1)讨论函数g (x )＝xf (x )的奇偶性；(2)若g (x )是个偶函数，解不等式f (x 2－2)≤f (x )．解析 (1)a ＝1时，f (x )＝e x ＋e －x 是偶函数，所以g (x )＝xf (x )是奇函数；a ＝－1时，f (x )＝e x －e －x 是奇函数，所以g (x )＝xf (x )是偶函数．a ≠±1，由f (x )既不是奇函数又不是偶函数，得g (x )＝xf (x )是非奇非偶函数． (2)当g (x )是偶函数时，a ＝－1，f (x )＝e x －e －x 是R 上的单调增函数，于是由f (x 2－2)≤f (x )得x 2－2≤x ，即x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2.15.已知函数f (x )=2220000x x x x x mx x ⎧-+,>,⎪,=,⎨⎪+,<⎩是奇函数. (1)求实数m 的值;(2)若函数f (x )在区间[12]a -,-上单调递增，求实数a 的取值范围. 解析 (1)设x <0, 则-x >0,所以f (-x )=22()2()2x x x x --+-=--. 又f (x )为奇函数, 所以f (-x )=-f (x ).于是x <0时22()2f x x x x mx ,=+=+,所以m =2.(2)要使f (x )在[12]a -,-上单调递增，结合()f x 的图象（略）知2121a a ->-,⎧⎨-≤,⎩所以13a <≤,故实数a 的取值范围是(1,3].16. 已知函数f (x )，当x ，y ∈R 时，恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )． (1)求证：f (x )是奇函数；(2)如果x ∈R ＋，f (x )<0，并且f (1)＝－12，试求f (x )在区间[－2,6]上的最值．解析 (1)证明：∵函数f (x )的定义域为R ， ∴其定义域关于原点对称．∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令y ＝－x ， ∴f (0)＝f (x )＋f (－x )．令x ＝y ＝0，∴f (0)＝f (0)＋f (0)，得f (0)＝0. ∴f (x )＋f (－x )＝0，得f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．(2)法一：设x ，y ∈R ＋，∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )， ∴f (x ＋y )－f (x )＝f (y )． ∵x ∈R ＋，f (x )<0，∴f (x ＋y )－f (x )<0，∴f (x ＋y )<f (x )．∵x ＋y >x ，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数．又∵f (x )为奇函数，f (0)＝0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数． ∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－12，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3.∴所求f (x )在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3. 法二：设x 1<x 2，且x 1，x 2∈R .则f (x 2－x 1)＝f [x 2＋(－x 1)]＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)． ∵x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)<0.∴f (x 2)－f (x 1)<0. 即f (x )在R 上单调递减．∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－12，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3. ∴所求f (x )在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.17．已知函数f (x )＝1＋ax2x ＋b (a ≠0)是奇函数，并且函数f (x )的图象经过点(1,3)．(1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f (x )的值域．解析 (1)因为函数f (x )＝1＋ax 2x ＋b 是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．所以1＋a －x 2－x ＋b ＝－1＋ax 2x ＋b.因为a ≠0，所以－x ＋b ＝－x －b . 所以b ＝0.又函数f (x )的图象经过点(1,3)，所以f (1)＝3. 所以1＋a 1＋b ＝3.因为b ＝0，故a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝1＋2x 2x＝2x ＋1x(x ≠0)．当x ＞0时，2x ＋1x≥22x ·1x ＝22，当且仅当2x ＝1x ，即x ＝22时取等号．当x ＜0时，(－2x )＋1－x≥2 －2x·1－x＝2 2.所以2x ＋1x≤－2 2.当且仅当－2x ＝1－x ，即x ＝－22时取等号．综上可知，函数f (x )的值域为(－∞，－22]∪[22，＋∞)．18．设f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎪⎫1－mx x －1为奇函数，g (x )＝f (x )＋log a [(x －1)(ax ＋1)](a ＞1，且m ≠1)． (1)求m 的值； (2)求g (x )的定义域；(3)若g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－32上恒正，求a 的取值范围．解析 (1)f (x )是奇函数，f (x )＝－f (－x )， log a ⎝⎛⎭⎪⎫1－mx x －1＝－log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋mx －x －1＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －11＋mx ， ∴1－mx x －1＝－x －11＋mx ，x 2－1＝(mx )2－1， ∴(m 2－1)x 2＝0，又m ≠1，∴m ＝－1. (2)由(1)f (x )＝log a x ＋1x －1，g (x )＝log a x ＋1x －1＋log a [(x －1)·(ax ＋1)]，x 必须满足⎩⎨⎧x －1ax ＋1＞0，x ＋1x －1＞0.又a ＞1，∴x ＜－1或x ＞1，∴g (x )的定义域为{x |x ＜－1或x ＞1}． (3)a ＞1，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－32上恒正，即(x ＋1)(ax ＋1)＞1⇒ax ＋1＜1x ＋1⇒ax ＜－x x ＋1⇒a ＞－1x ＋1，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－32，∴－1x ＋1≤－1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋1＝2，∴a ＞2，∴a 的取值范围是(2，＋∞)．。

2.3 函数的奇偶性与周期性 2021年高中总复习优化设计一轮用书理数

时,f(x)=x,则f(105.5)= 2.5 .
பைடு நூலகம்思考函数的周期性主要的应用是什么?
考点1
考点2
考点3
考点4
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解析:(1)∵ f(x+6)=f(x),∴ 函数f(x)的周期T=6. ∵ 当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2;
当-1≤x<3时,f(x)=x,
∴ f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,
考点1
考点2
考点3
考点4
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经检验,a=1时,f(x)为偶函数
考点1
考点2
考点3
考点4
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考点1
考点2
考点3
考点4
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解题心得函数奇偶性应用的类型及解法
(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出, 或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式. (3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程(组),进而得出参数的值.
思考判断函数的奇偶性要注意什么?
考点1
考点2
考点3
考点4
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解 (1)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称. 又f(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-(x3-x)=-f(x),故函数f(x)为奇函数.
因为函数定义域不关于原点对称,所以函数为非奇非偶函数. (3)函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称. 当x>0时,-x<0,此时f(x)=-x2+x,f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-(-x2+x)=-f(x); 当x<0时,-x>0,此时f(x)=x2+x,f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-(x2+x)=-f(x). 故对于x∈ (-∞,0)∪ (0,+∞),均有f(-x)=-f(x).即函数f(x)为奇函数.

2021年高考数学大一轮复习 2.3函数的奇偶性与周期性课时作业理

2021年高考数学大一轮复习 2.3函数的奇偶性与周期性课时作业理一、选择题1．(xx·广东卷)下列函数为奇函数的是( ) A ．f (x )＝2x－12xB ．f (x )＝x 3sin xC ．f (x )＝2cos x ＋1D ．f (x )＝x 2＋2x解析：令f (x )＝2x －12x ＝2x －2－x ，其定义域为R ，且f (－x )＝2－x －2x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．答案：A2．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝13对称，则f (－23)＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：由f (x )是奇函数可知，f (0)＝0，f (－23)＝－f (23)．又因为y ＝f (x )的图象关于x＝13对称，所以f (0)＝f (23)，因此f (－23)＝0，故选A. 答案：A3．(xx·大纲卷)奇函数f (x )的定义域为R .若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：∵f (x ＋2)为偶函数，∴f (－x ＋2)＝f (x ＋2)，又∵f (x )为奇函数，∴f (－x ＋2)＝－f (x －2)，∴f (x ＋2)＝－f (x －2)，即f (x ＋4)＝－f (x )，∴f (x )是以8为周期的函数，∴f (8)＋f (9)＝f (0)＋f (1)＝0＋1＝1.答案：D4．(xx·山东卷)对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是( ) A．f(x)＝x B．f(x)＝x2C．f(x)＝tan x D．f(x)＝cos(x＋1)解析：f(x)＝f(2a－x)可得函数关于直线x＝a对称，结合选项，只有D选项中函数有对称轴，故选D.答案：D5．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上为( ) A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数解析：由题知，f(x)＝x－[x]＝⎩⎪⎨⎪⎧...x＋1，x∈[－1，0x，x∈[0，1x－1，x∈[1，2x－2，x∈[2，3…据此画出f(x)的部分图象如图所示：由图象知，f(x)为周期为1的周期函数．答案：D6．若奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，又f(－3)＝0，则不等式xf x<0的解集为( )A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)解析：如图，作出f(x)的草图：由xf x<0可知x，f(x)异号，∴不等式的解为－3<x<0或0<x<3.答案：B 二、填空题7．(xx·新课标卷Ⅱ)偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________.解析：y ＝f (x )为偶函数，知f (x )＝f (－x )，图象关于x ＝2对称，知f (2－x )＝f (2＋x )．f (－1)＝f (1)＝f [2＋(－1)]＝f [2－(－1)]＝f (3)＝3.答案：38．如果函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x >0，f x ， x <0是奇函数，则f (x )＝________.解析：令x <0，∴－x >0，g (－x )＝－2x －3，∴g (x )＝2x ＋3，∴f (x )＝2x ＋3. 答案：2x ＋39．(xx·湖南卷)若f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.解析：因为f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 为偶函数，则f (－x )＝f (x )，所以f (－x )＝ln(e －3x＋1)＋a (－x )＝ln(e 3x ＋1)－3x －ax ＝ln(e 3x＋1)＋ax ，则－3－a ＝a ，得a ＝－32.答案：－32三、解答题10．已知函数f (x )＝2|x －2|＋ax (x ∈R )有最小值． (1)求实数a 的取值范围．(2)设g (x )为定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝f (x )，求g (x )的解析式．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2x －4， x ≥2，a －2x ＋4， x <2，要使函数f (x )有最小值，需⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2≥0，a －2≤0，所以－2≤a ≤2，即当a ∈[－2,2]时，f (x )有最小值． (2)因为g (x )为定义在R 上的奇函数，所以g (0)＝0.设x >0，则－x <0，所以g (x )＝－g (－x )＝(a －2)x －4，所以g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2x －4， x >0，0， x ＝0，a －2x ＋4， x <0.11．已知函数f (x )＝2x＋k ·2－x，k ∈R . (1)若函数f (x )为奇函数，求实数k 的值；(2)若对任意的x ∈[0，＋∞)，都有f (x )>2－x成立，求实数k 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝2x ＋k ·2－x是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，x ∈R ，即2－x＋k ·2x ＝－(2x ＋k ·2－x )，所以(1＋k )＋(k ＋1)·22x＝0，对一切x ∈R 恒成立，所以k ＝－1.(2)因为x ∈[0，＋∞)，均有f (x )>2－x，即2x ＋k ·2－x >2－x成立，所以1－k <22x对x ≥0恒成立，所以1－k <(22x )min .因为y ＝22x在[0，＋∞)上单调递增，所以(22x)min ＝1. 所以k >0.1．设定义在R 上的奇函数y ＝f (x )，满足对任意t ∈R ，都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32的值等于( )A ．－12B ．－13C ．－14D ．－15解析：由f (t )＝f (1－t )，得f (1＋t )＝f (－t )＝－f (t )，所以f (2＋t )＝－f (1＋t )＝f (t )，所以f (x )的周期为2. 又f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，所以f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－14.故选C.答案：C2．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x ＋1)为奇函数，f (0)＝0，当x ∈(0,1]时，f (x )＝log 2x ，则在(8,10)内满足方程f (x )＋1＝f (1)的实数x 的值为________．解析：根据已知得f (－x )＝f (x )，f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，即f (x ＋1)＝－f (x －1)，以x ＋1代x ，得f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即4为函数f (x )的一个周期．再由f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，以－x ＋1代x ，可得f (x )＝－f (2－x )，当x ∈[1,2)时，2－x ∈(0,1]，所以当x ∈[1,2)时，f (x )＝－log 2(2－x )．当x ∈(8,9]时，x －8∈(0,1]，此时f (x )＝f (x －8)＝log 2(x －8)，方程f (x )＋1＝f (1)，即f (x )＝－1，即log 2(x －8)＝－1，解得x ＝172；当x ∈(9,10)时，x －8∈(1,2)，此时f (x )＝f (x －8)＝－log 2(8－x )，方程f (x )＋1＝f (1)，即f (x )＝－1，即－log 2(10－x )＝－1，解得x ＝8(舍去)．综上可知，在(8,10)内满足方程f (x )＋1＝f (1)的实数x 的值为172.答案：1723．奇函数f (x )满足对任意x ∈R 都有f (2＋x )＋f (2－x )＝0，且f (1)＝9，则f (2 010)＋f (2 011)＋f (2 012)的值为________．解析：奇函数f (x )满足f (2＋x )＋f (2－x )＝0，则f (2＋x )＝－f (2－x )＝f (x －2)，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，f (2 010)＋f (2 011)＋f (2 012)＝f (2)＋f (3)＋f (4)，令x ＝0，则f (2)＝0；令x ＝2，则f (4)＝f (0)＝0；由f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－9，故f (2 010)＋f (2 011)＋f (2 012)＝－9.答案：－9 4．已知函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2的定义域为(－1,1)，满足f (－x )＝－f (x )，且f (12)＝25. (1)求函数f (x )的解析式；(2)用单调性的定义证明f (x )在(－1,1)上是增函数； (3)解不等式f (x 2－1)＋f (x )<0. 解：(1)由f (－x )＝－f (x )，得－ax ＋b 1＋x 2＝－ax －b 1＋x 2⇒b ＝0，则f (x )＝ax 1＋x 2，又由f (12)＝25，所得a ＝1；所以f (x )＝x1＋x2.(2)设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝x 1－x 21－x 1x 21＋x 211＋x 22又－1<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0,1－x 1x 2>0,1＋x 21>0,1＋x 22>0，从而f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2) 所以f (x )在(－1,1)上是增函数．(3)由f (x 2－1)＋f (x )<0得f (x 2－1)<－f (x )即f (x 2－1)<f (－x )由(2)知f (x )在(－1,1)上是增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧－1<x 2－1<1－1<x <1x 2－1<－x⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <0，或0<x <2－1<x <1－1－52<x <－1＋52⇒－1<x <0或0<x <－1＋52所以，原不等式的解集为(－1,0)∪(0，－1＋52)．6#28331 6EAB 溫` x40833 9F81 龁27884 6CEC 泬25652 6434 搴20909 51AD 冭32434 7EB2 纲26098 65F2 旲24928 6160 慠32349 7E5D 繝。

2.3 函数的奇偶性与周期性(精练案)

1.(2017辽宁育才高三月考)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是( ).A .y=x 3B .y=|x|+1C .y=-x 2+1D .y=2-|x|【解析】选项A 中的函数是奇函数,选项C,D 中的函数在(0,+∞)上是减函数,故选B . 【答案】B2.(2017江西广昌一中期中)设f (x )-x 2=g (x )(x ∈R),若函数f (x )为偶函数,则g (x )的解析式可以为( ).A .g (x )=x 3B .g (x )=cos xC .g (x )=1+xD .g (x )=x e x【解析】由f (x )-x 2=g (x ),x ∈R,得f (x )=g (x )+x 2,当g (x )=cos x 时,f (x )=cos x+x 2,f (-x )=cos(-x )+(-x )2=cosx+x 2=f (x ),且定义域为R,故f (x )为偶函数.【答案】B3.(2017山东曲阜师大附中高三月考)偶函数y=f (x )在(-∞,-1]上是增函数,则下列不等式成立的是( ).A .f (-1)>f (√33)B .f (√2)>f (-√2)C .f (4)>f (3)D .f (-√2)>f (√3)【解析】已知f (x )是偶函数,则f (-x )=f (x ).f (x )在(-∞,-1]上是增函数.对于A,f (√33)=f (-√33),∵-√33>-1,∴f (-1)与f (√33)的大小关系不确定;对于B,f (x )是偶函数,即f (-x )=f (x ),f (√2)=f (-√2); 对于C,f (4)=f (-4),f (3)=f (-3),∵-4<-3,∴f (4)<f (3); 对于D,f (√3)=f (-√3),∵-√3<-√2<-1,∴f (-√2)>f (√3). 【答案】D4.(山东潍坊四中2018届月考)设常数a>0,函数f (x )=2x +a2x -a 为奇函数,则a 的值为( ).A .1B .-1C .4D .3 【解析】∵函数f (x )=2x +a2x -a 为奇函数,∴f (-x )+f (x )=0,即2-x +a 2-x -a +2x +a2x -a=0, 化简得(1+a ·2x )(2x -a )+(1-a ·2x )(2x +a )=0, 故2·2x (1-a 2)=0,解得a=1或a=-1.∵a>0,∴a=1.经检验,当a=1时,函数f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),符合题意.【答案】A5.(2017湖北襄阳高三期中联考)设函数f (x )=ln(2+x )+ln(2-x ),则f (x )( ).A .是奇函数,且在(0,2)上是增函数B .是奇函数,且在(0,2)上是减函数C .是偶函数,且在(0,2)上是增函数D .是偶函数,且在(0,2)上是减函数【解析】因为f (-x )=ln(2-x )+ln(2+x )=f (x ),所以函数f (x )是偶函数.又f (x )=ln(2+x )+ln(2-x )=ln[(2+x )(2-x )]=ln(4-x 2),所以f (x )在(0,2)上是减函数.故选D .【答案】D6.(2017陕西西安一模)奇函数f (x )的定义域为R,若f (x+1)为偶函数,且f (1)=2,则f (4)+f (5)的值为( ).A .2B .1C .-1D .-2 【解析】∵f (x+1)为偶函数,∴f (-x+1)=f (x+1),∴f (-x )=f (x+2). 又∵y=f (x )为奇函数,∴f (-x )=-f (x )=f (x+2),且f (0)=0,∴f (x+4)=-f (x+2)=f (x ),∴y=f (x )的周期为4. ∴f (4)+f (5)=f (0)+f (1)=0+2=2.【答案】A7.(2017江苏泰州高三月考)已知函数f (x )是奇函数,当x<0时,f (x )=x 2-3a sin πx 2,且f (3)=6,则a= .【解析】因为f (3)=6⇒f (-3)=-6,所以f (-3)=9-3a sin (-3π2)=-6⇒a=5. 【答案】58.(2017合肥质检)若函数f (x )(x ∈R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f (x )={x(1-x),0≤x ≤1,sin πx,1<x ≤2,则f (294)+f (416)= .【解析】因为函数f (x )是周期为4的奇函数,所以f (294)+f (416)=f (-34)+f (-76)=-f (34)-f (76)=-316+sin π6=516. 【答案】5169.(2017重庆模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,若f (a )≥f (2),则实数a 的取值范围是 .【解析】∵函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,∴函数f (x )在[0,+∞)上是增函数.∵f (a )≥f (2),即f (|a|)≥f (2),∴|a|≥2,解得a ≥2或a ≤-2.∴实数a 的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞). 【答案】(-∞,-2]∪[2,+∞)10.(2017四川成都五校联考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,若实数a 满足f (2|a-1|)>f (-√2),则a 的取值范围是( ).A .(-∞,12) B .(-∞,12)∪(32,+∞) C .(12,32)D .(32,+∞)【解析】∵f (x )是定义在R 上的偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,∴f (x )在(0,+∞)上单调递减.∵2|a-1|>0,f (-√2)=f (√2),∴2|a-1|<√2=212,∴|a -1|<12,解得12<a<32.【答案】C11.(2017山东枣庄三中月考)定义在R 上的偶函数f (x )满足:f (4)=f (-2)=0,在(-∞,-3)和[-3,0]上分别单调递增和单调递减.则不等式xf (x )>0的解集为( ).A .(-∞,-4)∪(4,+∞)B .(-4,-2)∪(2,4)C .(-∞,-4)∪(-2,0)D .(-∞,-4)∪(-2,0)∪(2,4)【解析】偶函数f (x )(x ∈R)满足f (4)=f (-2)=0,所以f (4)=f (-2)=f (-4)=f (2)=0,且f (x )在[0,3]和(3,+∞)上分别单调递增和单调递减.求xf (x )>0的解集等价于求函数在第一、三象限中的图象对应的x 的取值范围,即x ∈(-∞,-4)∪(-2,0)∪(2,4).综上所述,xf (x )>0的解集为(-∞,-4)∪(-2,0)∪(2,4),所以D 选项是正确的.【答案】D12.(2016湖北省高三联考)已知g (x )是定义在R 上的奇函数,当x<0时,g (x )=-ln(1-x ),函数f (x )={x 3,x ≤0,g(x),x >0,若f (2-x 2)>f (x ),则实数x 的取值范围是( ).A .(-∞,1)∪(2,+∞)B .(-∞,-2)∪(1,+∞)C .(1,2)D .(-2,1)【解析】设x>0,则-x<0,所以g (x )=-g (-x )=ln(1+x ),所以f (x )={x 3,x ≤0,ln(1+x),x >0.所以函数f (x )在R 上是增函数,所以当f (2-x 2)>f (x )时,满足2-x 2>x ,即-2<x<1,故选D .【答案】D13.(2017湖南四校联考)若f (x )=ln(e 3x +1)+ax 是偶函数,则a= .【解析】∵f (-x )=f (x ),∴ln(e -3x +1)-ax=ln(e 3x +1)+ax ,化简得2ax+3x=0(x ∈R),则2a+3=0,∴a=-32. 【答案】-3214.(2017山东潍坊月考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (x )是减函数,若 f (2-m 2)+f (2m+1)>0,则实数m 的取值范围是 .【解析】∵f (2-m 2)+f (2m+1)>0,∴f (2-m 2)>-f (2m+1).又∵f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (x )是减函数, ∴f (2-m 2)>f (-2m-1),即2-m 2<-2m-1, 解得m>3或m<-1,∴实数m 的取值范围是(-∞,-1)∪(3,+∞). 【答案】(-∞,-1)∪(3,+∞)。

2.3 函数的奇偶性与周期性练出高分(含答案解析)

§2.3 函数的奇偶性与周期性(时间：60分钟)A 组专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·广东)下列函数为偶函数的是 ( )A ．y ＝sin xB ．y ＝x 3C ．y ＝e xD ．y ＝ln x 2＋1答案 D解析由函数奇偶性的定义知A 、B 项为奇函数，C 项为非奇非偶函数，D 项为偶函数．2． (2012·天津)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为 ( )A ．y ＝cos 2x ，x ∈RB ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C ．y ＝e x －e －x 2，x ∈R D ．y ＝x 3＋1，x ∈R 答案 B解析选项A 中函数y ＝cos 2x 在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减，不满足题意；选项C 中的函数为奇函数；选项D 中的函数为非奇非偶函数，故选B.3．(2011·辽宁)若函数f (x )＝x (2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a 等于( ) A.12 B.23 C.34D ．1 答案 A解析 ∵f (－x )＝－f (x )，∴－x (－2x ＋1)(－x －a )＝－x (2x ＋1)(x －a )， ∴(2a －1)x ＝0，∴a ＝12. 4． (2012·福州质检)已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)等于 ( )A ．－2B ．2C ．－98D ．98答案 A解析 ∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )是周期为4的函数，∴f (7)＝f (2×4－1)＝f (－1)，又∵f (x )在R 上是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (－1)＝－f (1)，而当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，∴f (1)＝2×12＝2，∴f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，故选A.二、填空题(每小题5分，共15分)5．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．答案－1解析因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )，即－x (e －x ＋a e x )＝x (e x ＋a e －x )，化简得 x (e －x ＋e x )(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1. 6．设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝______.答案－3解析因为f (x )是定义在R 上的奇函数，因此f (－x )＋f (x )＝0.当x ＝0时，可得f (0)＝0，可得b ＝－1，此时f (x )＝2x ＋2x －1，因此f (1)＝3.又f (－1)＝－f (1)，所以f (－1)＝－3.7． (2012·江南十校联考)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －34为奇函数，给出以下四个命题： ①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称； ③函数f (x )为R 上的偶函数；④函数f (x )为R 上的单调函数．其中真命题的序号为________．答案 ①②③解析由f (x )＝f (x ＋3)⇒f (x )为周期函数，且T ＝3，①为真命题；又y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －34关于(0,0) 对称，y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －34向左平移34个单位得y ＝f (x )的图象，则y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称，②为真命题；又y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －34为奇函数，∴f ⎝⎛⎭⎫x －34＝－f ⎝⎛⎭⎫－x ＋34，f ⎝⎛⎭⎫x －34－34＝－f ⎝⎛⎭⎫34－x －34＝－f (－x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫x －32＝－f (－x )，f (x )＝f (x －3)＝－f ⎝⎛⎭⎫x －32＝f (－x )，∴f (x )为偶函数，不可能为R 上的单调函数．所以③为真命题，④为假命题．三、解答题(共25分)8． (12分)已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0)． (1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若f (1)＝2，试判断f (x )在[2，＋∞)上的单调性．解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，f (－x )＝f (x ) ，函数是偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x(x ≠0)，取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0；f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)．∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)若f (1)＝2，即1＋a ＝2，解得a ＝1，这时f (x )＝x 2＋1x. 任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 21＋1x 1)－⎝⎛⎭⎫x 22＋1x 2 ＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2－1x 1x 2. 由于x 1≥2，x 2≥2，且x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2>1x 1x 2，所以f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在[2，＋∞)上是单调递增函数．9． (13分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称．(1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式．(1)证明由函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，有f (x ＋1)＝f (1－x )，即有f (－x )＝f (x ＋2)．又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故有f (－x )＝－f (x )．故f (x ＋2)＝－f (x )．从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为4的周期函数．(2)解由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，有f (0)＝0.x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]，f (x )＝－f (－x )＝－－x .故x ∈[－1,0]时，f (x )＝－－x .x ∈[－5，－4]时，x ＋4∈[－1,0]，f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4.从而，x ∈[－5，－4]时，函数f (x )＝－－x －4.B 组专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2011·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3答案 A解析 ∵f (x )是奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，∴f (1)＝－f (－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.2．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2013)＋f (2 015)的值为 ( )A ．－1B ．1C ．0D ．无法计算答案 C解析由题意，得g (－x )＝f (－x －1)，又∵f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，f (－x )＝f (x )，∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，∴f (x )＝－f (x ＋2)，∴f (x )＝f (x ＋4)，∴f (x )的周期为4，∴f (2 013)＝f (1)，f (2 015)＝f (3)＝f (－1)，又∵f (1)＝f (－1)＝g (0)＝0，∴f (2 013)＋f (2 015)＝0.3． (2012·淄博一模)设奇函数f (x )的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f (1)≥1，f (2)＝2a －3a ＋1，则a 的取值范围是 ( )A ．a <－1或a ≥23B ．a <－1C ．－1<a ≤23D ．a ≤23答案 C解析函数f (x )为奇函数，则f (1)＝－f (－1)．由f (1)＝－f (－1)≥1，得f (－1)≤－1；函数的最小正周期T ＝3，则f (－1)＝f (2)，由2a －3a ＋1≤－1，解得－1<a ≤23. 二、填空题(每小题4分，共12分)4． (2011·浙江)若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.答案 0解析 ∵函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即(－x )2－|－x ＋a |＝x 2－|x ＋a |， ∴|－x ＋a |＝|x ＋a |，∴a ＝0.5．已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R )，则f (2 015)＝________. 答案 14解析方法一令x ＝1，y ＝0时，4f (1)·f (0)＝f (1)＋f (1)，解得f (0)＝12，令x ＝1，y ＝1时，4f (1)·f (1)＝f (2)＋f (0)，解得f (2)＝－14，令x ＝2，y ＝1时，4f (2)·f (1)＝f (3)＋f (1)，解得f (3)＝－12，依次求得f (4)＝－14，f (5)＝14，f (6)＝12，f (7)＝14， f (8)＝－14，f (9)＝－12，… 可知f (x )是以6为周期的函数，∴f (2 015)＝f (335×6＋5)＝f (5)＝14. 方法二 ∵f (1)＝14，4f (x )·f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )， ∴构造符合题意的函数f (x )＝12cos π3x ， ∴f (2 015)＝12cos ⎝⎛⎭⎫π3×2 015＝14. 6．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫121－x ，则①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －3.其中所有正确命题的序号是________．答案 ①②④解析由已知条件：f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )是以2为周期的周期函数，①正确；当－1≤x ≤0时0≤－x ≤1，f (x )＝f (－x )＝⎝⎛⎭⎫121＋x ，函数y ＝f (x )的图象如图所示：当3<x <4时，－1<x －4<0，f (x )＝f (x －4)＝⎝⎛⎭⎫12x －3，因此②④正确．③不正确．三、解答题(共13分)7．已知函数f (x )在R 上满足f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )且在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0，(1)试判断函数y ＝f (x )的奇偶性；(2)试求方程f (x )＝0在闭区间[－2 011,2 011]上根的个数，并证明你的结论．解 (1)若y ＝f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (2－(x ＋2))＝f (2＋(x ＋2))＝f (4＋x )＝f (x )，∴f (7)＝f (3)＝0，这与f (x )在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0矛盾；因此f (x )不是偶函数．若y ＝f (x )为奇函数，则f (0)＝f (－0)＝－f (0)，∴f (0)＝0，这些f (x )在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0矛盾；因此f (x )不是奇函数．综上可知：函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)∵f (x )＝f [2＋(x －2)]＝f [2－(x －2)]＝f (4－x )，f (x )＝f [7＋(x －7)]＝f (7－(x －7))＝f (14－x )，∴f (14－x )＝f (4－x )，即f [10＋(x －4)]＝f (4－x )∴f (x ＋10)＝f (x )，即函数f (x )的周期为10.又∵f (1)＝f (3)＝0，∴f (1)＝f (1＋10n )＝0(n ∈Z )，f (3)＝f (3＋10n )＝0(n ∈Z )，即x ＝1＋10n 和x ＝3＋10n (n ∈Z )均是方程f (x )＝0的根．由－2 011≤1＋10n≤2 011及n∈Z可得n＝0，±1，±2，±3，…，±201，共403个；由－2 011≤3＋10n≤2 011及n∈Z可得n＝0，±1，±2，±3，…，±200，－201，共402 个；所以方程f(x)＝0在闭区间[－2 011,2 011]上的根共有805个．。

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[解析] (1)∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6. ∵当－3≤x<－1 时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3 时，f(x)＝x， ∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1， f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1， f(6)＝f(0)＝0， ∴f(1)＋f(2)＋„＋f(6)＝1，
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(2)∵f(x)满足 f(x－4)＝－f(x)， ∴f(x－8)＝f(x)，∴函数 f(x)是以 8 为周期的周期函数，则 f(－25)＝f(－1)， f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且满足 f(x－4)＝－f(x)，得 f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)． ∵f(x)在区间[0,2]上是增函数，
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【变式训练 1】 (1)设函数 f(x)，g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( ) B．|f(x)|g(x)是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
A．f(x)g(x)是偶函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数
[解] (1)定义域为 R，关于原点对称，又 f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－(x3－x)＝－f(x)， ∴函数为奇函数． 1－x (2)由 ≥0 可得函数的定义域为(－1,1]． 1＋x ∵函数定义域不关于原点对称， ∴函数为非奇非偶函数．
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2016 ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋„＋f(2015)＋f(2016)＝1× 6 ＝336. 又 f(2017)＝f(1)＝1. ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋„＋f(2017)＝337.
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(2)由已知，可得 f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2] 1 1 ＝－＝－ 1 ＝f(x)． fx＋2 － f x 故函数的周期为 4. ∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)． ∵2≤2.5≤3，由题意，得 f(2.5)＝2.5. ∴f(105.5)＝2.5.
[答案] (1)C (2)B
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题型二
函数的周期性
例 2：(1)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1 时，f(x)＝－(x ＋2)2；当－1≤x<3 时，f(x)＝x，则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋„＋f(2017)等于________． 1 (2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，并且 f(x＋2)＝－，当 2≤x≤3 时，f(x) f x ＝x，则 f(105.5)＝________.
答案：D
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高三一轮总复习·数考)下列函数中，值域为[0，＋∞)的偶函数是( A．y＝x2＋1 C．y＝|x| B．y＝lg x D．y＝xcosx
)
解析：B，D 不是偶函数，A 是偶函数，但值域为[1，＋∞)，C 是偶函数，值域是[0，＋∞)．故选 C.
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【变式训练 2】 23π 设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x＋π)＝f(x)＋sinx.当 0≤x＜π 时，f(x)＝0，则 f( 6 )＝ ________.
解析：∵f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sinx－sinx＝f(x)，∴f(x)的周期 T＝ 2π， 5π 又∵当 0≤x＜π 时，f(x)＝0，∴f( 6 )＝0，
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[解析] (1)∵f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的偶函数， ∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)， 2a－3 2a－3 a－4 ∵f(1)＜1，f(5)＝，∴ ＜1，即＜0， a＋1 a＋1 a＋1 解得－1＜a＜4，故选 A.
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π π π 即 f(－6＋π)＝f(－6)＋sin(－6)＝0， 23π π 1 π π 1 ∴f(－6)＝2，∴f( 6 )＝f(4π－6)＝f(－6)＝2.
1 答案：2
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题型三命题点 1 函数性质的综合应用函数奇偶性的应用
)
答案：B
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练思维
题型一判断函数的奇偶性例 1：判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3－x； (2)f(x)＝(x＋1) 1－x ； 1＋x
无所不通
2 x ＋x，x＜0， (3)f(x)＝ 2 －x ＋x，x＞0.
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5．(2016· 河北正定中学期末)函数 f(x)＝x3＋sinx(x∈R)是( A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
解析：因为 f(－x)＝(－x)3＋sin(－x)＝－x3－sinx＝－f(x)，所以 f(x)是奇函数．故选 B.
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2．(2016· 黑龙江齐齐哈尔实验中学期中)下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋ ∞)上单调递减的是( A．y＝x C．y＝ln|x＋1| ) B．y＝cosx D．y＝－2|x|
解析：A 中函数是非奇非偶函数；B 中函数在(0，＋∞)上有增有减；C 中函数是非奇非偶函数．由图象可知选 D.
(3)当 x＞0 时，－x＜0，f(x)＝－x2＋x， ∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x ＝－(－x2＋x)＝－f(x)；当 x＜0 时，－x＞0，f(x)＝x2＋x， ∴f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x ＝－(x2＋x)＝－f(x)． ∴对于 x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，均有 f(－x)＝－f(x)． ∴函数为奇函数．
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f(x)在 R 上是奇函数， ∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数， ∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即 f(－25)＜f(80)＜f(11)．
第二章
函数概念与基本初等函数Ⅰ
§2.3 函数的奇偶性与周期性
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1
2
练基础无所不知练思维无所不通
练方法
练小题
3
4
无所不晓
练大题
2
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练基础无所不知
1．函数的奇偶性
奇偶性偶函数定义如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数 f(x)是偶函数图象特征关于 y轴对称
答案：C
7
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4．(2016· 山东牟平一中期末)下列函数中，不是偶函数的是( A．f(x)＝x2＋4 C．f(x)＝cos2x B．f(x)＝|tan x| D．f(x)＝3x－3
－x
)
解析：A 选项，f(－x)＝(－x)2＋4＝x2＋4＝f(x)，所以 f(x)为偶函数；B 选项，f(－ x)＝|tan(－x)|＝|tan x|＝f(x)，所以 f(x)为偶函数；C 选项，f(－x)＝cos2(－x)＝cos2x＝ f(x)，所以 f(x)是偶函数；D 选项，f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，所以 f(x)为奇函数．故选 D. 答案：D
奇函数
如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数 f(x)是奇函数
3
关于原点对称
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2.周期性 (1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x) 函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期．，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个
(2)f(x)为偶函数，则 ln(x＋ a＋x2)为奇函数，所以 ln(x＋ a＋x2)＋ln(－x＋ a＋x2)＝0，即 ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1.
[答案] (1)B (2)1
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命题点 2 单调性与奇偶性、周期性结合例 4： (1)(2015· 石家庄一模)已知 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数，若 f(1) 2a－3 ＜1，f(5)＝，则实数 a 的取值范围为( a＋1 A．(－1,4) C．(－1,0) B．(－2,0) D．(－1,2) )
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[解析] (1)易知 f(x)|g(x)|定义域为 R， ∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， ∴f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|， ∴f(x)|g(x)|为奇函数．
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(2)F(x)，G(x)定义域均为(－2,2)，由已知 F(－x)＝f(－x)＋g(－x) ＝loga(2－x)＋loga(2＋x)＝F(x)， G(－x)＝f(－x)－g(－x)＝loga(2－x)－loga(2＋x)＝－G(x)． ∴F(x)是偶函数，G(x)是奇函数．
4
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