2014北京西城高考一模数学理(word解析)

北京市西城区2014年高三一模试卷 数 学（理科） 2014．4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U =R ，集合{|0}2A x x =<≤，{|1}B x x =<，则集合()U A B =U ð（ ）． A ．(,2]-∞B ．(,1]-∞C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞2． 已知平面向量，(1,1)=b ，(5,1)=-c ． 若()//k +a b c ，则实数．．的值为（ ）． （A ）2（B ）12（C ）114（D ）114-3．在极坐标系中，过点π(2,)2且与极轴平行的直线方程是（ ）．A ．2ρ=B ．2θπ=C ．cos 2ρθ=D ．sin =2ρθ4．执行如图所示的程序框图，如果输入2,2a b ==，那么输出的a 值为（ ）． A ．4 B ．16 C ．256 D ．3log 165．下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件()()f x f x =-和．．的函数是（ ）． A ．()sin f x x = C ．()cos f x x = B ．()sin cos f x x x = D ．22()cos sin f x x x =-6． “8m <”是“方程221108x y m m -=--表示双曲线”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产． 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元． 设该设备使用了()n n *∈N 年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（ ） ．开始 b a a =3log 4a >输出a结束否是输入a , bA ．3B ．4C ．5D ．68． 如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ）． A ． 4个B ．6个C ．10个D ．14个第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．设复数1ii 2ix y -=++，其中,x y ∈R ，则x y +=______．10． 若抛物线2:2C y px =的焦点在直线240x y +-=上，则p =_____；C 的准线方程为_____．11．已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是________．12．若不等式组0,26,1,x y x y x y a⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≤≥≥≤表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是_______．13． 科技活动后，3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念（每名教师只指导一名学生），要求6人排成一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法种数是______．（用数字作答）14．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，(0)BC a a =>，P 为线段AD （含端点）上一个动点，设AP xAD =uu u r uuu r ，PB PC y ⋅=uu r uu ur ，对于函数()y f x =，给出以下三个结论：①当2a =时，函数()f x 的值域为[1,4]； ②(0,)a ∀∈+∞，都有(1)1f =成立；③(0,)a ∀∈+∞，函数()f x 的最大值都等于4． 其中所有正确结论的序号是_________．A BD C PBADC. P三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知222b c a bc+=+．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）如果6cos3B=，2b=，求△ABC的面积．16．（本小题满分13分）在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下． 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品．寿命（天） 频数频率[100,200)20 0.10[200,300) 30 a[300,400) 700.35[400,500) b0.15 [500,600)50 0.25合计 2001（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a ，b 的值；（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了()n n *∈N 个，如果这n 个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分．．．．．．层抽样．．．所得的结果相同，求n 的最小值； （Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X 表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X 的分布列和数学期望．A B A 1 B 1D C ED 1 C 117．（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111ABCD ABC D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，E 是CD 的中点，1D E CD ⊥，22AB BC ==．（Ⅰ）求证：1BC D E ⊥； （Ⅱ）求证：1B C // 平面1BED ；（Ⅲ）若平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为π3，求线段1D E 的长度．18．（本小题满分13分）已知函数2ln ,,()23,,x x x a f x x x x a >⎧⎪=⎨-+-⎪⎩≤ 其中0a ≥． （Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有12()()f x f x <，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆2212x W y +=：，直线l 与W 相交于,M N 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于C 、D 两点，O 为坐标原点．（Ⅰ）若直线l 的方程为210x y +-=，求OCD ∆外接圆的方程；（Ⅱ）判断是否存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．20．（本小题满分13分）在数列{}n a 中，1()n a n n*=∈N ． 从数列{}n a 中选出(3)k k ≥项并按原顺序组成的新数列记为{}n b ，并称{}n b 为数列{}n a 的k 项子列． 例如数列1111,,,2358为{}n a 的一个4项子列．（Ⅰ）试写出数列{}n a 的一个3项子列，并使其为等差数列；（Ⅱ）如果{}n b 为数列{}n a 的一个5项子列，且{}n b 为等差数列，证明：{}n b 的公差d 满足108d -<<； （Ⅲ）如果{}n c 为数列{}n a 的一个(3)m m ≥项子列，且{}n c 为等比数列，证明：1231122m m c c c c -++++-≤L ．北京市西城区2014年高三一模试卷参考答案及评分标准 高三数学（理科） 2014．4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．C 2．B 3．D 4．C 5．D 6．A 7．A 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．25- 10．8,4x =-11．23 12．(3,5)13．48 14．2，3注：第10题第一问2分，第二问3分． 第14题若有错选、多选不得分．三、解答题：本大题共6小题，共80分． 其他正确解答过程，请参照评分标准给分． 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为 222b c a bc +=+，所以 2221cos 22b c a A bc +-==， ……………………………… 3分又因为 (0,π)A ∈，所以 π3A =． ……………………………… 5分 （Ⅱ）解：因为 6cos 3B =，(0,π)B ∈， 所以 23sin 1cos 3B B =-=． ……………………………7分 由正弦定理sin sin a bA B =， ………………………………9分 得 sin 3sin b Aa B==． ……………………………10分 因为 222b c a bc +=+，所以 2250c c --=， 解得 16c =±， 因为 0c >，所以 61c =+． ……………………………11分 故△ABC 的面积1323sin 22S bc A +==． ……………………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：0.15a =，30b =． ……………………………… 2分 （Ⅱ）解：由表可知：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，所以优等品、正品和次品的比例为50:100:501:2:1=． ……………………………… 4分 所以按分层抽样法，购买灯泡数24()n k k k k k *=++=∈N ，所以n 的最小值为4． ……………………………… 6分 （Ⅲ）解：X 的所有取值为0,1,2,3． …………………………… 7分由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为0.10.150.25+=， ……………… 8分 从本批次灯泡中购买3个，可看成3次独立重复试验，所以033127(0)C (1)464P X ==⨯-=，1231127(1)C (1)4464P X ==⨯⨯-=， 2213119(2)C ()(1)4464P X ==⨯-=，33311(3)C ()464P X ==⨯=． ……………………………… 11分 所以随机变量X 的分布列为：0 1 2 327642764964164………………………………12分所以X 的数学期望2727913()0123646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………………………13分（注：写出1(3,)4X B :，3311()C ()(1)44k kk P X k -==-，0,1,2,3k =． 请酌情给分）17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 和侧面11BCC B 是矩形，所以 BC CD ⊥，1BC CC ⊥， 又因为 1CD CC C =I ，所以 BC ⊥平面11DCC D ， ………………………………2分 因为 1D E ⊂平面11DCC D ，所以 1BC D E ⊥． ………………………………4分 （Ⅱ）证明：因为 1111//, BB DD BB DD =，所以四边形11D DBB 是平行四边形．连接1DB 交1D B 于点F ，连接EF ，则F 为1DB 的中点． 在1B CD ∆中，因为DE CE =，1DF B F =， 所以 1//EF B C ． ………………………………6分 又因为 1B C ⊄平面1BED ，EF ⊂平面1BED ，所以 1//B C 平面1BED ． ………………………………8分 （Ⅲ）解：由（Ⅰ）可知1BC D E ⊥， 又因为1D E CD ⊥，BCCD C =，所以 1D E ⊥平面ABCD ． ………………………………9分设G 为AB 的中点，以E 为原点，EG ，EC ，1ED 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴X P A BA 1B 1D C ED 1 C 1 zyxF G如图建立空间直角坐标系，设1D E a =，则11(0,0,0), (1,1,0), (0,0,), (0,1,0), (1,2,), (1,0,0)E B D a C B a G ． 设平面1BED 法向量为(,,)x y z =n ，因为 1(1,1,0), (0,0,)EB ED a ==u u r u u u r，由10,0,EB ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu r uuu rn n 得0,0.x y z +=⎧⎨=⎩ 令1x =，得(1,1,0)=-n ． ……………………………11分 设平面11BCC B 法向量为111(,,)x y z =m ，因为 1(1,0,0), (1,1,)CB CB a ==u u r u u u r，由10,0,CB CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uur uuur m m 得11110,0.x x y az =⎧⎨++=⎩ 令11z =，得(0,,1)a =-m ． ……………………………12分由平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为π3， 得 2||π|cos ,|cos321a a ⋅<>===⋅+m n m n m n， ………………………………13分 解得1a =． ……………………………14分 18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得()(ln )ln 1f x x x x ''==+，其中0x >， ……………………………… 2分所以 (1)1f '=， 又因为(1)0f =，所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-． ……………………………… 4分 （Ⅱ）解：先考察函数2()23g x x x =-+-，x ∈R 的图象，配方得2()(1)2g x x =---， ……………………………… 5分 所以函数()g x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞单调递减，且max ()(1)2g x g ==-．……………………………… 6分因为对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有12()()f x f x <成立，所以 1a ≤． …………………………… 8分 以下考察函数()ln h x x x =，(0,)x ∈+∞的图象， 则 ()ln 1h x x '=+，令()ln 10h x x '=+=，解得1ex =． …………………………… 9分 随着x 变化时，()h x 和()h x '的变化情况如下：x 1(0,)e1e1(,)e +∞ ()h x ' -+()h x↘↗即函数()h x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增，且min 11()()e e h x h ==-． … 11分因为对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有12()()f x f x <成立，所以 1e a ≥． ……………………………… 12分因为 12e->-（即min max ()()h x g x >），所以a 的取值范围为1,e[1]． ……………………………… 13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为直线l 的方程为210x y +-=，所以与x 轴的交点(1,0)C ，与y 轴的交点1(0,)2D ． ………………………… 1分则线段CD 的中点11(,)24，215||1()22CD =+=， …………………………… 3分即OCD ∆外接圆的圆心为11(,)24，半径为15||24CD =，所以OCD ∆外接圆的方程为22115()()2416x y -+-=． …………………………… 5分（Ⅱ）解：结论：存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点．理由如下：由题意，设直线l 的方程为(0)y kx m km =+≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则 (,0)mC k-，(0,)D m ， ……………………………… 6分 由方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(12)4220k x kmx m +++-=， ……………………………… 7分 所以 2216880k m ∆=-+>， （*） ……………………………… 8分 由韦达定理，得122412km x x k -+=+， 21222212m x x k -=+． ………………………… 9分由,C D 是线段MN 的两个三等分点，得线段MN 的中点与线段CD 的中点重合．所以 1224120km x x k mk-+==+-， ………………………………10分解得 22k =±． ………………………… 11分 由,C D 是线段MN 的两个三等分点，得||3||MN CD =．所以222121||3()mk x x m k+-=+， ……………………………… 12分即 221222422||()43||1212km m mx x k k k---=-⨯=++， 解得 55m =±． …………………………… 13分验证知（*）成立．所以存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点，此时直线l 的方程为2525y x =±，或2525y x =-±． ……………………………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：答案不唯一． 如3项子列12，13，16； ……………………………… 2分 （Ⅱ）证明：由题意，知1234510b b b b b >>>>>≥， 所以 210d b b =-<． ……………………………… 3分 若 11b = ，由{}n b 为{}n a 的一个5项子列，得212b ≤，所以 2111122d b b =--=-≤．因为 514b b d =+，50b >，所以 515411d b b b =-=->-，即14d >-．这与12d -≤矛盾．所以 11b ≠．所以 112b ≤， ……………………………… 6分因为 514b b d =+，50b >， 所以 51511422d b b b =-->-≥，即18d >-， 综上，得108d -<<． ………………………… 7分（Ⅲ）证明：由题意，设{}n c 的公比为q ，则 211231(1)m m c c c c c q q q -++++=++++L L ． 因为{}n c 为{}n a 的一个m 项子列，所以 q 为正有理数，且1q <，11()1c a a*=∈N ≤． 设 (,K q K L L*=∈N ，且,K L 互质，2L ≥）．当1K =时，因为112q L =≤，所以 211231(1)m m c c c c c q q q -++++=++++L L 211111()()222m -++++≤L ， 112()2m -=-，所以 112312()2m m c c c c -++++-≤L ． ……………………………… 10分当1K ≠时，因为 11111m m m m K c c q a L---==⨯是{}n a 中的项，且,K L 互质，所以 1*()m a K M M -=⨯∈N ，所以 211231(1)m m c c c c c q q q -++++=++++L L1232111111()m m m m M K K L K L L ----=++++L ． 因为 2L ≥，*K M ∈N ，， 所以 ．21112311111()()2()2222m m m c c c c --++++++++=-≤L L ．． 综上， 1231122m m c c c c -++++-≤L ． …………………………… 13分北京市西城区2014年高三一模试卷数学（理工类）选填解析一、 选择题 1．【答案】C【解析】解：(],2A B =-∞U ，所以()()2U A B =+∞，U ð 故选C ．2．【答案】B【解析】解：(),k k k =b ()2,1k k k +=+-+a b 因为()//k +a b c 所以()512k k --+=+所以12k = ． 故选B ．3．【答案】D【解析】解：满足条件的直线的平面直角坐标方程为2y =，所以极坐标方程为sin =2ρθ． 故选D4．【答案】C【解析】解：计算步骤如下：输入2,2a b ==，23log 24,24a <==，23log 44,416a <==，23log 164,16256a <==，3log 2564> 所以输出256a = 故选D ．5．【答案】D【解析】解：由题意得()f x 是周期为π的偶函数， 对于A ，()sin f x x =是周期为2π的奇函数，故不选；对于B ，1()sin cos sin 22f x x x x ==是周期为π的奇函数，故不选；对于C ，()cos f x x =是周期为2π的偶函数，故不选； 对于D ，22()cos sin cos2f x x x x =-=周期为π的偶函数， 故选D ．6．【答案】A【解析】解：若方程221108x y m m -=--表示双曲线，则当焦点在x 轴时．2210080m a m b ⎧-=>⎪⎨-=>⎪⎩．，解得10m >；当焦点在y 轴时2210080m b m a ⎧-=-<⎪⎨-=-<⎪⎩解得8m <； 所以“8m <”能推出“方程表示双曲线”而不能反推 故答案为A ．7．【答案】A【解析】解：设总收入为R ，总成本为C ,由题意得11R n =；企业每年的运营费用为2n 万元，该设备使用了()n n *∈N 年后的运营成本符合等差数列的前n 项和为(1)n n +万元，所以9(1)C n n =++；所以该企业的年平均盈利额为[]119(1)910()n n n R C n n n n-++-==-+，根据均值定理，当3n =时年平均盈利额最大．故答案选A8．【答案】C【解析】解：若集合M 中有且只有2个元素，由点P 到四个顶点的距离有两个值．当点P 位于正四面体四个面的几何中心时，其到这个面的三个顶点距离相等且不等于到平面外的另一个顶点的距离，符合此条件的点有4个；当点P 位于正四面体每条棱的中点时，其到这条棱的两个顶点距离相等，到两外两个点距离相等，并且这两个距离不等，所以满足条件的点有6个；故共有10个点符合条件． 故答案选C ．二、 填空题9．【答案】25-【解析】解：()()()()1i 2i 1i 13i 13i i 2i 2i 2i 555x y ----===-=+++-,所以13,55x y ==-，所以25x y +=- 故答案为25-．10．【答案】8，4x =-【解析】解：抛物线焦点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭在直线240x y +-=上，所以得8p =，准线方程为42p x =-=-．故答案为8，4x =-．11．【答案】23【解析】解：当该正三棱柱如下图摆放时，其侧（左）视图如图所示面积最小为23． 故答案为23．侧（左）视图正三棱柱2312．【答案】(3,5)【解析】解：如图所示，当直线x y a +≤介于直线l 与直线m 之间时，不等式组表示的平面区域是一个平行四边形，所以将点(3,0)A 及点(1,4)C 坐标带入直线x y a +≤中算出a 的取值范围，切不能取等号，故答案为(3,5)．13．【答案】48【解析】解：因为学生要与其指导教师相邻，所以采用捆绑法，组成三个整体然后全排列，所以不同的站法总数为2223222348A A A A = 故答案为48．14．【答案】②③【解析】解：建立如图所示平面直角坐标系，则各点坐标为(0,0),A(2,0),C(0,),D(1,)B --a a ，因为AP xAD =uu u r uuu r，得点P 的坐标(2,)x xa -，(2,)PB x xa =--u u r ，(2,)PC x a ax =--u u u r ，所以2222()(2)()(1)(4)4(01)y f x PB PC x xa a xa a x a x x ==⋅=---=+-++≤≤u u r u u u r，对于①，当2a =时函数2()584f x x x =-+的值域为4,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故不选；对于②，(0,)a ∀∈+∞，22(1)1(4)41f a a =+-++=，故可选；对于③，(0,)a ∀∈+∞，函数222()(1)(4)4f x a x a x =+-++为二次函数，对称轴为224(0,1)2(1)a x a +=∈+，所以()f x 的最大值在端点处取得，(0)4f(1)1f =>=，所以最大值为4，故可选；故答案为②③l m x+y ≤a y x2x+y ≤6x ≥1C (1,4)A (3,0)O yxCBDAP。