2019年山东省泰安市高考数学一模试卷(理科)(解析版)

2019年山东省泰安市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知复数z满足z•i=2﹣i（i为虚数单位），则在复平面内对应的点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A={x|x2+2x﹣3＜0}，B={x|0＜x＜3}，则A∩B=（）A．（0，1）B．（0，3）C．（﹣1，1）D．（﹣1，3）3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m∥α，α∥β，则m∥βC．若m⊂α，m⊥β，则α⊥βD．若m⊂α，α⊥β，则m⊥β4．在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=k（x+3）与圆x2+y2=1相交的概率为（）A．B．C． D．5．执行如图所示的程序框图，则输出的s的值是（）A ．7B ．6C ．5D ．36．在△ABC 中，||=||，||=||=3，则=（ ）A ．3B ．﹣3C ．D ．﹣7．某三棱锥的三视图如图所示，其侧（左）视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于（ ） A ． B ． C ． D ．8．已知x ，y 满足线性约束条件，若z=x +4y 的最大值与最小值之差为5，则实数λ的值为（ ）A ．3B ．C ．D ．19．将函数y=cos （2x +）的图象向左平移个单位后，得到f （x ）的图象，则（ ）A．f（x）=﹣sin2x B．f（x）的图象关于x=﹣对称C．f（）=D．f（x）的图象关于（，0）对称10．己知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（x+1）为奇函数，f （0）=0，当x∈（0，1]时，f（x）=log2x，则在区间（8，9）内满足方f（x）程f（x）+2=f（）的实数x为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11．若双曲线的渐近线为，则双曲线C的离心率为．12．已知α为第四象限角，sinα+cosα=，则tanα的值为．13．（x﹣2y）5的展开式中的x2y3系数是．14．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若g（x）=f（x+1）+5，g′（x）为g（x）的导函数，对∀x∈R，总有g′（x）＞2x，则g（x）＜x2+4的解集为．15．以下命题：①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件；②命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”③对于命题p：∃x＞0，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x≤0，均有x2+x+1≥0④若p∨q为假命题，则p，q均为假命题其中正确命题的序号为（把所有正确命题的序号都填上）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．已知函数f（x）=4cosxsin（x+）+m（m∈R），当x∈[0，]时，f（x）的最小值为﹣1．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）在△ABC中，已知f（C）=1，AC=4，延长AB至D，使BC=BD，且AD=5，求△ACD的面积．17．在学校组织的“环保知识”竞赛活动中，甲、乙两班6名参赛选手的成绩的茎叶图受到不同程度的污损，如图：（Ⅰ）求乙班总分超过甲班的概率；（Ⅱ）若甲班污损的学生成绩是90分，乙班污损的学生成绩为97分，现从甲乙两班所有选手成绩中各随机抽取2个，记抽取到成绩高于90分的选手的总人数为ξ，求ξ的分布列及数学成绩．18．若数列{a n}是公差为2的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=2，且a n b n+b n=nb n+1．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}满足c n=，数列{c n}的前n项和为T n，若不等式（﹣1）nλ＜T n+对一切n∈N*，求实数λ的取值范围．19．如图长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，E、F、G分别为CB1、CD1、AB的中点．（Ⅰ）求证：FG∥面ADD1A1；（Ⅱ）求二面角B﹣EF﹣C的余弦值．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（，1），过点A（0，1）的动直线l与椭圆C交于M、N两点，当直线l过椭圆C的左焦点时，直线l的斜率为．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在与点A不同的定点B，使得∠ABM=∠ABN恒成立？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=xlnx+2，g（x）=x2﹣mx．（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅱ）若方程f（x）+g（x）=0有两个不同的实数根，求证：f（1）+g（1）＜0；（Ⅲ）若存在x0∈[，e]使得mf′（x）+g（x）≥2x+m成立，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知复数z满足z•i=2﹣i（i为虚数单位），则在复平面内对应的点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由z•i=2﹣i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：由z•i=2﹣i，得=，则，则在复平面内对应的点的坐标为：（﹣1，2），位于第二象限．故选：B．2．已知集合A={x|x2+2x﹣3＜0}，B={x|0＜x＜3}，则A∩B=（）A．（0，1）B．（0，3）C．（﹣1，1）D．（﹣1，3）【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集，找出A与B的交集即可．【解答】解：集合A={x|x2+2x﹣3＜0}=（﹣3，1），B={x|0＜x＜3}=（0，3），则A∩B=（0，1），故选：A3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m∥α，α∥β，则m∥βC．若m⊂α，m⊥β，则α⊥βD．若m⊂α，α⊥β，则m⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，m∥β或m⊂β；在C 中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，m⊥与β相交、平行或m⊂β．【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，故B错误；在C中，若m⊂α，m⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C 正确；在D中，若m⊂α，α⊥β，则m⊥与β相交、平行或m⊂β，故D错误．故选：C．4．在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=k（x+3）与圆x2+y2=1相交的概率为（）A．B．C． D．【考点】几何概型．【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心为（0，0）圆心到直线y=k（x+3）的距离为要使直线y=k（x+3）与圆x2+y2=1相交，则＜1，解得﹣＜k＜．∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使y=k（x+3）与圆x2+y2=1相交的概率为=．故选：C．5．执行如图所示的程序框图，则输出的s的值是（）A．7 B．6 C．5 D．3【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累加并输出S＞5时的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=1+02+12+22+…+（k﹣1）2的值S=1+02+12+22=6＞5输出S=6．故选：B6．在△ABC中，||=||，||=||=3，则=（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意，画出图形，利用向量的平行四边形法则得到对角线长度的关系，求出OC，得到△ABC 的形状即可求得．【解答】解：由平面向量的平行四边形法则得到，在△ABC中，||=||，||=||=3，如图，设|OC|=x，则|OA|=x，所以|AO|2+|OC|2=|AC|2即3x2+x2=9，解得x=，所以|BC|=3，所以△ABC为等边三角形，所以=3×3×=；故选：C．7．某三棱锥的三视图如图所示，其侧（左）视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得：该几何体是底面为直角三角形，侧面垂直于底面，高为5的三棱锥，即可求得．【解答】解：根据几何体的三视图，得：该几何体是底面为直角三角形，侧面垂直于底面，高为5的三棱锥，棱锥最长的棱长等于=，故选C．8．已知x，y满足线性约束条件，若z=x+4y的最大值与最小值之差为5，则实数λ的值为（）A．3 B．C．D．1【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值和最小值．建立方程关系进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，由得A（1，4），B（λ，λ﹣3）由z=x+4y，得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线经过点A时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．z=1+4×4=17当直线经过点B时，直线的截距最小，此时z最小．z=λ﹣3+4λ=5λ﹣3．∵z=x+4y的最大值与最小值得差为5∴17﹣（5λ﹣3）=20﹣5λ=5．得λ=3．故选：A．9．将函数y=cos（2x+）的图象向左平移个单位后，得到f（x）的图象，则（）A．f（x）=﹣sin2x B．f（x）的图象关于x=﹣对称C．f（）=D．f（x）的图象关于（，0）对称【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用诱导公式、y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：将函数y=cos（2x+）的图象向左平移个单位后，得到f（x）=cos[2（x+）+]=cos（2x+）=﹣sin（2x+）的图象，故排除A；当x=﹣时，f（x）=1，为最大值，故f（x）的图象关于x=﹣对称，故B正确；f（）=﹣sin=﹣sin=﹣，故排除C；当x=时，f（x）=﹣sin=﹣≠0，故f（x）的图象不关于（，0）对称，故D错误，故选：B．10．己知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（x+1）为奇函数，f （0）=0，当x∈（0，1]时，f（x）=log2x，则在区间（8，9）内满足方f（x）程f（x）+2=f（）的实数x为（）A． B． C． D．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由f（x+1）为奇函数，可得f（x）=﹣f（2﹣x）．由f（x）为偶函数可得f（x）=f（x+4），故f（x）是以4为周期的函数．当8＜x≤9时，求得f（x）=f（x﹣8）=log2（x﹣8）．由log2（x﹣8）+2=﹣1得x的值．【解答】解：∵f（x+1）为奇函数，即f（x+1）=﹣f（﹣x+1），即f （x）=﹣f（2﹣x）．当x∈（1，2）时，2﹣x∈（0，1），∴f（x）=﹣f（2﹣x）=﹣log2（2﹣x）．又f（x）为偶函数，即f（x）=f（﹣x），于是f（﹣x）=﹣f（﹣x+2），即f（x）=﹣f（x+2）=f（x+4），故f（x）是以4为周期的函数．∵f（1）=0，∴当8＜x≤9时，0＜x﹣8≤1，f（x）=f（x﹣8）=log2（x﹣8）．由f（）=﹣1，f（x）+2=f（）可化为log2（x﹣8）+2=﹣1，得x=．故选：D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11．若双曲线的渐近线为，则双曲线C的离心率为2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先利用双曲线的几何性质，焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为，得=，在两边平方，利用双曲线离心率的定义求其离心率即可【解答】解：∵双曲线的渐近线为，∴=∴=3即e2﹣1=3∴e=2故答案为212．已知α为第四象限角，sinα+cosα=，则tanα的值为﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得cosα，sinα的值，可得tanα的值．【解答】解：∵α为第四象限角，sinα+cosα=，∴sinα＜0，cosα＞0，∴1+2sinαcosα=，2sinαcosα=﹣，∴cosα﹣sinα===，解得sinα=﹣，cosα=，则tanα==﹣，故答案为：﹣．13．（x﹣2y）5的展开式中的x2y3系数是﹣20．【考点】二项式系数的性质．【分析】先求得二项展开式的通项公式，令x的幂指数等于2、y的幂指数等于3，可得r的值，即可求得x2y3系数．【解答】解：（x﹣2y）5的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣2）r••x5﹣r•y r，令r=3，可得x2y3系数是﹣20，故答案为：﹣20．14．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若g（x）=f（x+1）+5，g′（x）为g（x）的导函数，对∀x∈R，总有g′（x）＞2x，则g（x）＜x2+4的解集为（﹣∞，﹣1）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出g（x）的图象关于点（﹣1，5）对称，令h（x）=g（x）﹣x2﹣4，根据函数的单调性求出不等式的解集即可．【解答】解：因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以函数f（x）关于原点对称，又g（x）=f（x+1）+5，故g（x）的图象关于点（﹣1，5）对称，令h（x）=g（x）﹣x2﹣4，∴h′（x）=g′（x）﹣2x，∵对∀x∈R，g′（x）＞2x，∴h（x）在R上是增函数，又h（﹣1）=g（﹣1）﹣（﹣1）2﹣4=0，∴g（x）＜x2+4的解集是（﹣∞，﹣1），故答案为：（﹣∞，﹣1）．15．以下命题：①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件；②命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”③对于命题p：∃x＞0，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x≤0，均有x2+x+1≥0④若p∨q为假命题，则p，q均为假命题其中正确命题的序号为①②（把所有正确命题的序号都填上）．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，“x=1”时“x2﹣3x+2=0”成立，“x2﹣3x+2=0”时，“x=1或2，；②，命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；③，对于命题p的￢p只否定结论；④，若p∨q为假命题，则p，q中至少有一个为假命题；【解答】解：对于①，“x=1”时“x2﹣3x+2=0”成立，“x2﹣3x+2=0”时，“x=1或2，故正确；对于②，命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确；对于③，对于命题p：∃x＞0，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x＞0，均有x2+x+1≥0，故错；对于④，若p∨q为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，故错；故答案为：①②三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．已知函数f（x）=4cosxsin（x+）+m（m∈R），当x∈[0，]时，f（x）的最小值为﹣1．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）在△ABC中，已知f（C）=1，AC=4，延长AB至D，使BC=BD，且AD=5，求△ACD的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+）+m+1．由x∈[0，]，利用正弦函数的性质可求2sin（2x+）min=﹣1，结合已知可求m的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2sin（2C+）=1，结合范围C∈（0，π），可求C=，设BD=BC=x，则AB=5﹣x，在△ACB中，由余弦定理可解得x，进而由余弦定理可求cosA，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=4cosxsin（x+）+m=4cosx（sinxcos+cosxsin）+m=sin2x+2cos2x+m=sin2x+cos2x+1+m=2sin（2x+）+m+1．∵x∈[0，]，2x+∈[，]，可得：2sin（2x+）min=﹣1，∴f（x）=﹣1=﹣1+m+1，解得：m=﹣1．（Ⅱ）∵由（Ⅰ）可得：f（x）=2sin（2x+），∴2sin（2C+）=1，∵C∈（0，π），可得：2C+∈（，），∴2C+=，解得：C=，如图，设BD=BC=x，则AB=5﹣x，∵在△ACB中，由余弦定理可得：cosC==，解得x=，∴cosA==，可得：sinA==，∴S△ACD=AC•AD•sinA==．17．在学校组织的“环保知识”竞赛活动中，甲、乙两班6名参赛选手的成绩的茎叶图受到不同程度的污损，如图：（Ⅰ）求乙班总分超过甲班的概率；（Ⅱ）若甲班污损的学生成绩是90分，乙班污损的学生成绩为97分，现从甲乙两班所有选手成绩中各随机抽取2个，记抽取到成绩高于90分的选手的总人数为ξ，求ξ的分布列及数学成绩．【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图．【分析】（Ⅰ）甲班前5位选手的总分为450，乙班前5位选手的总分为443，若乙班总分超过甲班，则甲、乙两班第六位选手的成绩可分别为：（90，98），（90，99），（91，99）三种情况，即可得出乙班总分超过甲班的概率．（II）（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，利用相互独立与互斥事件的概率计算公式，进而得出分布列与数学期望．【解答】解：（Ⅰ）甲班前5位选手的总分为：87+89+90+91+93=450，乙班前5位选手的总分为：82+85+92+91+93=443，若乙班总分超过甲班，则甲、乙两班第六位选手的成绩可分别为：（90，98），（90，99），（91，99）三种情况，∴乙班总分超过甲班的概率P==．（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，∴ξ的分布列为：∴E（ξ）=0×+1×+2×+3×+4×=2．18．若数列{a n}是公差为2的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=2，且a n b n+b n=nb n+1．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}满足c n=，数列{c n}的前n项和为T n，若不等式（﹣1）nλ＜T n+对一切n∈N*，求实数λ的取值范围．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）数列{b n}满足b1=1，b2=2，且a n b n+b n=nb n+1．可得a1+1=2，解得a1．利用等差数列的通项公式可得a n．可得2nb n=nb n+1，化为2b n=b n+1，利用等比数列的通项公式可得b n．（Ⅱ）设数列{c n}满足c n===，利用“错位相减法”可得数列{c n}的前n项和为T n，再利用数列的单调性与分类讨论即可得出．【解答】解：（I）∵数列{b n}满足b1=1，b2=2，且a n b n+b n=nb n+1．∴a1+1=2，解得a1=1．又数列{a n}是公差为2的等差数列，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．∴2nb n=nb n+1，化为2b n=b n+1，∴数列{b n}是等比数列，公比为2．∴b n=2n﹣1．（Ⅱ）设数列{c n}满足c n===，数列{c n}的前n项和为T n=1++…+，∴=+…++，∴=1+++…+﹣=﹣=2﹣，∴T n=4﹣．不等式（﹣1）nλ＜T n+，化为：（﹣1）nλ＜4﹣，n=2k（k∈N*）时，λ＜4﹣，∴λ＜2．n=2k﹣1（k∈N*）时，﹣λ＜4﹣，∴λ＞﹣2．综上可得：实数λ的取值范围是（﹣2，2）．19．如图长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，E、F、G分别为CB1、CD1、AB的中点．（Ⅰ）求证：FG∥面ADD1A1；（Ⅱ）求二面角B﹣EF﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）由题意，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面ADD1A1的一个法向量，求出，由可得FG∥面ADD1A1；（Ⅱ）分别求出平面BEF与平面EFC的一个法向量，利用两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣EF﹣C的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，且底面边长为1，侧棱长为2，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则B（1，1，0），F（0，，1），E（，1，1），G（1，，0），C（0，1，0），∴平面ADD1A1的一个法向量为．，∵，且FG⊄平面ADD1A1，∴FG∥面ADD1A1；（Ⅱ）解：，，．设平面BEF的一个法向量为，则，取y=﹣2，得，平面EFC的一个法向量为，则，取y=﹣2，得．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣EF﹣C的余弦值为．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（，1），过点A（0，1）的动直线l与椭圆C交于M、N两点，当直线l过椭圆C的左焦点时，直线l的斜率为．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在与点A不同的定点B，使得∠ABM=∠ABN恒成立？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）将点（，1）代入椭圆方程，设左焦点为（﹣c，0），再由斜率公式，可得c的值，结合a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；（2）假设存在与点A不同的定点B，使得∠ABM=∠ABN恒成立．当直线MN的斜率为0时，由对称性可得B在y轴上，设为B（0，t），设直线MN的方程为x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理，设M （x1，y1），N（x2，y2），由假设可得k BM+k BN=0，化简整理，可得t+2m=0，故不存在这样的定点B．【解答】解：（1）椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（，1），可得+=1，又设左焦点为（﹣c，0），有=，即c=，a2﹣b2=2，解得a=2，b=，则椭圆方程为+=1；（2）假设存在与点A不同的定点B，使得∠ABM=∠ABN恒成立．当直线MN的斜率为0时，由对称性可得B在y轴上，设为B（0，t），设直线MN的方程为x=my+1，代入椭圆方程可得，（2+m2）y2+2my﹣3=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2=﹣，y1y2=﹣，由假设可得k BM+k BN=0，即为+=0，即有x1y2+x2y1=t（x1+x2），即m（y1+1）y2+（my2+1）y1=t[m（y1+y2）+2]，即有2my1y2+（y1+y2）=t[m（y1+y2）+2]，即为﹣=t（﹣+2），化为﹣8m=4t，即t+2m=0，由于m为任意的，则t不为定值．故不存在与点A不同的定点B，使得∠ABM=∠ABN恒成立．21．已知函数f（x）=xlnx+2，g（x）=x2﹣mx．（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅱ）若方程f（x）+g（x）=0有两个不同的实数根，求证：f（1）+g（1）＜0；（Ⅲ）若存在x0∈[，e]使得mf′（x）+g（x）≥2x+m成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，通过讨论t的范围，求出函数的最小值即可；（Ⅱ）问题转化为m=lnx+x+有两个不同的实数根，令h（x）=lnx+x+，（x＞0），根据函数的单调性求出h（x）的最小值，求出m的范围，从而判断f（1）+g（1）的符号即可；（Ⅲ）问题转化为存在x0∈[，e]使得m≤成立，令k（x）=，x∈[，e]，根据函数的单调性求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=lnx+1，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，∴f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，若t≥，则f（x）在[t，t+2]递增，∴f（x）min=f（t）=tlnt+2，若0＜t＜，则f（x）在[t，）递减，在（，t+2]递增，∴f（x）min=f（）=2﹣；（Ⅱ）若方程f（x）+g（x）=0有两个不同的实数根，即m=lnx+x+有两个不同的实数根，令h（x）=lnx+x+，（x＞0），即函数y=m和h（x）=lnx+x+有两个不同的交点，而h′（x）=+1﹣=，令h′（x）＞0，解得：x＞1，令h′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故h（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故h（x）≥h（1）=3，故m＞3，故f（1）+g（1）=3﹣m＜0；（Ⅲ）若存在x0∈[，e]使得mf′（x）+g（x）≥2x+m成立，即存在x0∈[，e]使得m≤成立，令k（x）=，x∈[，e]，则k′（x）=，易得2lnx﹣x＜0，令k′（x）＞0，解得：x＞1，令k′（x）＜0，解得：x＜1，故k（x）在[，1）递减，在（1，e]递增，故k（x）的最大值是k（）或k（e），而k（）=＜k（e）=，故m≤．。