2018年高考理科数学模拟卷3(word版含答案)

2018年高考理数模拟试题3全国卷Ⅰ一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．已知复数z 满足(2+i)z=3+4i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为A ．2−iB ．2+iC ．1−2iD ．1+2i 2．已知集合M ={−1，0，1}，N ={y |y =1+sin2xπ，x ∈M }，则集合M ∩N 的真子集的个数是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 3．已知变量x 和y 的统计数据如下表：x 6 8 10 12 y2356根据上表可得回归直线方程ˆy=0.7x +a ，据此可以预测当x =15时，y = A ．7.8 B ．8.2 C ．9.6 D ．8.5 4．若向量a ，b 满足|a |=3，|b |=2，a ⊥(a −b )，则a 与b 的夹角为A ．2π B ．23π C ．6πD ．56π5．阅读如图所示的程序框图，如果输出的函数值在区间[1，3]上，则输入的实数x 的取值范围是A ．{x ∈R |0 x 2log 3}B ．{x ∈R |−2 x 2}C ．{x ∈R |0 x 2log 3或x =2}D ．{x ∈R |−2 x 2log 3或x =2}6．设变量x ，y 满足10222270x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪+-⎩≥≥≤，z =2a x y +(0<a <2)的最大值为5，则a =A ．1B ．12C ．22D ．327．已知双曲线2x −2y =1的左、右两个焦点分别是1F 、2F ，O 为坐标原点，圆O 是以12F F为直径的圆，直线lt +=0与圆O 有公共点，则实数t 的取值范围是 A ．[−2，2] B ．[0，2] C ．[−4，4] D ．[0，4]8．已知等差数列{n a }的公差d ≠0，首项1a =d ，数列{2n a }的前n 项和为n S ，等比数列{n b }是公比q 小于1的正项有理数列，首项1b =2d ，其前n 项和为n T ，若33S T 是正整数，则q 的可能取值为A ．17 B ．37 C ．12 D ．349．若函数y=cos(2x +φ)(0<φ<2π)的图象的对称中心在区间(6π，3π)内只有一个，则φ的值可以是 A ．12πB ．6π C ．3πD ．56π10．已知三棱锥P −ABC 的顶点都在同一个球面上(球O )，且PA =2，PB =PC，当三棱锥P −ABC 的三个侧面的面积之和最大时，该三棱锥的体积与球O 的体积的比值是A ．316π B ．38π C ．116πD ．18π11．已知抛物线2y =8x 的准线与双曲线22221x y a b-=相交于A ，B 两点， 若直线AF (点F 为抛物线的焦点)与直线y =x 垂直，则双曲线的离心率为 A ．3 B ．2 CD12．已知函数()f x =ln x 与()g x =a −x (1ex e )的图象上恰好存在唯一一对关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是 A ．(1e +1，e −1] B ．[1e+1，e −1) C ．{1}∪(1e +1，e −1] D ．{1}∪[1e+1，e −1)二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若261()(2)x a x x+- 展开式中的常数项为60，则实数a 的值为 ．14．已知一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．15．已知在三角形ABC 中，角A ，B 都是锐角，且sin(B +C )+3sin(A +C )cos C =0，则tan A 的最大值为 ． 16．已知函数()f x =212ln x x -，若对任意的1x ，2x ∈(0，1e]，且1x ≠2x ， 122212()()||f x f x x x -->2212k x x ⋅恒成立，则实数k 的取值范围是 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足3n S =2n a +1． (1)求数列{n a }的通项公式；(2)设数列{n b }满足n b =(n +1) n a ，求数列{n b }的前n 项和n T ． 18．(本小题满分12分)某运动会为每场排球比赛提供6名球童，其中男孩4名，女孩2名，赛前从6名球童中确定2名正选球童和1名预备球童为发球队员递球，假设每名球童被选中是等可能的． (1)在一场排球比赛中，在已知预备球童是男孩的前提下，求2名正选球童也都是男孩的概率；(2)(i)求选中的3名球童中恰有2名男孩和1名女孩的概率；(ii)某比赛场馆一天有3场排球比赛，若每场排球比赛都需要从提供的6名球童中进行选择，记球童选取情况恰为(i)中结果的场次为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望． 19．(本小题满分12分)已知四棱锥A −BCPM 及其三视图如图所示，其中PC ⊥BC ，侧视图是直角三角形，正视图是一个梯形．(1)求证： PC ⊥AB ；(2)求二面角M −AC −B 的余弦值． 20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：22221x y a b +=(a >b >0)的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点A (−4，0)的直线l 与椭圆C 相切于点B ，与y 轴交于点D (0，2)，又椭圆的离心率为12． (1)求椭圆C 的方程；(2)圆Q 与直线l 相切于点B ，且经过点2F ，求圆Q 的方程，并判断圆Q 与圆2x +2y =2a 的位置关系． 21．(本小题满分12分)已知函数()f x =ax+ln x −2，a ∈R ． (1)若曲线y=()f x 在点P (2，m )处的切线平行于直线y =−32x +1，求函数()f x 的单调区间；(2)是否存在实数a ，使函数()f x 在(0，2e ]上有最小值2?若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．选考部分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4─4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的坐标原点重合、极轴与x 轴的正半轴重合，若直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−6π．(1)写出直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆ρ=2相交于A ，B 两点，求点P (1，1)到A ，B 两点的距离之积． 23．(本小题满分10分)选修4─5：不等式选讲设函数()f x =1+|2x −3|，()g x =|9x +3|．(1)求不等式()f x13()g x 的解集； (2)若不等式()f x 2t x +12+|x −32|的解集非空，求实数t 的取值范围．2018年高考理数模拟试题3答案1．A 【解析】由(2+i)z=3+4i ，得z=34i (34i)(2i)105i2i (2i)(2i)5++-+==++-=2+i ，则z 的共轭复数为2−i ，选A ．2．B 【解析】因为N ={0，1，2}，所以M ∩N ={0，1}，其真子集的个数是3，故选B ． 3．B 【解析】根据题中表格可知x =6810124+++=9，y =23564+++=4，所以a =y −0.7x =4−0.7×9=−2.3，所以ˆy=0．7x −2.3， 当x =15时，y =0.7×15−2.3=8.2．4．C 【解析】通解 因为a ⊥(a −b )，所以a ·(a −b )=0，即a ·a −a ·b =|a |2−|a |·|b |cos<a ，b >=0，所以cos<a ，b >=2||||||⋅a a b ，又<a ，b >∈[0，π]，故a 与b 的夹角为6π，选C ．优解 因为a ⊥(a −b )，所以利用三角形法则不难得出，向量a ，b ，a −b 构成直角三角形，且a ，b 的夹角必定为锐角，从而可知选C ．5．C 【解析】根据题意，得当x ∈(−2，2)时，()f x =2x ，由1 2x 3，得0 x 2log 3；当x ∉(−2，2)时，()f x =x +1，由1 x +1 3，得0 x 2，即x =2．故输入的实数x 的取值范围是{x ∈R |0 x 2log 3或x =2}．故选C ．6．A 【解析】如图，画出可行域，∵z =2a x +y ，∴y =−2a x z +，求z 的最大值，即求直线y=−2a x z +在y 轴上的最大截距，显然当直线y=−28a x +过点A 时，在y 轴上的截距取得最大值．由10270x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得A (2，3)，则22a +3=5，可得a =1．故选A ．7．C 【解析】双曲线2x −2y =1的两个焦点分别是1F (，0)，2F，0)，从而圆O的方程为2x +2y =2t +=0与圆O 有公共点，，即|t | 4，从而实数t 的取值范围是[−4，4]，故选C ． 8．C 【解析】由题意知，33S T =2222222249141d d d d d q d q q q ++=++++为正整数，设为t ，则1+q +2q =14t ，即2q +q +1−14t =0，因为q 有解，故1−4(1−14t ) 0，t 563． 故qt 整除56，即t 的可能取值为1、2、4、7、8、14，经检验当t=8时符合题意，此时q=1122-+=，故选C ．9．A 【解析】令2x +φ=2π+kπ(k ∈Z )，则x =4π+2k π−2ϕ，所以6π<4π+2k π−2ϕ<3π， 即ϕπ−16<k <ϕπ+16．又由0<φ<2π，得−16<ϕπ−16<13，16<ϕπ+16<23，所以k =0，此时φ∈(−6π， 6π)，选A ． 10．A 【解析】三棱锥P −ABC 的三个侧面的面积之和为12×sin ∠APB +12×sin ∠APC +12sin ∠BPC ， 由于∠APB ，∠APC ，∠BPC 相互之间没有影响，所以只有当上述三个角均为直角时，三棱锥P −ABC 的三个侧面的面积之和最大，此时P A ，PB ，PC 两两垂直，以其为长方体的三条棱长得出一个长方体，则三棱锥P −ABC 与该长方体有共同的外接球，故球O 的半径r，所以三棱锥P −ABC 的体积与球O 的体积的比值是311233241623ππ⨯⨯=⨯． 11．A 【解析】通解 因为直线AF (点F 为抛物线的焦点)与直线y =x 垂直，所以直线AF 的斜率为AF k =−1，又抛物线2y =8x 的焦点为F (2，0)，则直线AF 的方程为y =−x +2，与抛物线的准线：x =−2联立，得点A (−2，4)，又点A 在双曲线上，所以24a −1616=1，解得2a =2， 故2e =22c a=9，双曲线的离心率e =3．故选A ．优解 因为直线AF (点F 为抛物线的焦点)与直线y =x 垂直，所以直线AF 的斜率为AFk =−1，又A ，B 两点是抛物线2y =8x 的准线与双曲线222116x y a -=的交点，根据双曲线的对称性，可知△ABF 是等腰直角三角形，故由点A 的横坐标为−2，AF k =−1，知点A 的纵坐标为4，即A (−2，4)，代入双曲线方程可得24a −1616=1，解得2a =2， 2e =22c a =9，故双曲线的离心率e =3．故选A ．12．C 【解析】因为函数()f x =ln x 与()g x =a −x (1ex e )的图象上恰好存在唯一一对关于x轴对称的点，即点(x ，y )与(x ，−y )分别在两个函数的图象上，且唯一．又1ex e ， 所以()ln ()y f x x y g x x a==⎧⎨=-=-⎩，即方程ln x =x −a 在[1e ，e ]上有唯一解，所以函数()f x =ln x 的图象和直线y=x −a 在区间[1e，e ]上有唯一的公共点， 作出大致图象如图所示．当两函数图象相切时， 设切点为(0x ，0y )，1()(ln )f x x x''==，所以001()f x x '=，所以0x =1，切点为(1，0)，代入直线方程得a =1．当直线y =x −a 过点A (1e ，−1)时，a =1e+1； 当直线y =x −a 过点B (e ，1)时，a =e −1．结合图象可知，若恰好存在唯一一对关于x 轴对称的点，则a =1或1e+1<a e −1．13．1【解析】261(2)x x-展开式的通项为1r T +=6C r26(2)rx -−1()r x-=(−1)r ×62r-6C r 123rx-，当12−3r =0时，r =4，而12−3r =−1时，r =133不符合题意， 所以常数项为(−1)4×2246C a =60，解得a =1．14．4【解析】由三视图得该几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直于直角梯形的上底边的直角顶点的四棱锥，所以该几何体的体积为13×242+×2×2=4． 15．34【解析】因为sin (B +C )+3sin (A +C )cos C =0，所以sin(B +C )=−3sin B cos C ， 即sin B cos C +cos B sin C =−3sin B cos C ，sin C cos B =−4sin B cos C ．易知C ≠90°，所以tan C =−4tan B ，所以tan(A +B )=4tan B ， 所以tan A =tan[(A +B )−B ]=2tan()tan 3tan 1tan()tan 14tan A B B BA B B B+-==-+⋅+ 114tan 3tan 3B B +34=(B 是锐角，tan B >0)，当且仅当1tan B=4tan B ， 即tan B =12时取等号，所以tan A 的最大值为34． 16．(−∞，4]【解析】由对任意的1x ，2x ∈(0，1e]，且1x ≠2x ， 122212()()||f x f x x x -->2212kx x ⋅， 得122212()()||11f x f x x x --min >k ，令g (21x )=()f x ，x ∈(0，1e ]，则()g x =x +x ln x ，x ∈[2e ，+∞)，()g x '=2+ln x ≥4，又122212()()||11f x f x x x --=2212221211()()||11g g x x x x --表示曲线y=()g x在[2e ，+∞)上不同两点的割线的斜率的绝对值， 则122212()()||11f x f x x x -->4，则k ≤4，即实数k 的取值范围是(−∞，4]．17．【解析】(1)当n =1时，31S =21a +1⇒1a =1，当n ≥2时，由11321321n n n n S a S a --=+⎧⎨=+⎩，得3(n S −1n S -)=2n a −21n a -⇒n a =−21n a -，从而n a =(−2)1n -．（4分）(2)由n b =(n +1) n a 得n b =(n +1)×(−2)1n -，则n T =2×(−2)0+3×(−2)1+4×(−2)2+…+(n +1)×(−2)1n -， ① −2n T =2×(−2)1+3×(−2)2+4×(−2)3+…+(n +1)×(−2)n ， ② 由①−②得，3n T =2×(−2)0+(−2)1+(−2)2+…+(−2)1n -−(n +1)×(−2)n=1+1(2)1(2)n----−(n +1)×(−2)n =43−(n +43)×(−2)n ，从而n T =49−349n +×(−2)n ． （12分） 18．【解析】(1)从6名球童中选取3名球童，已知预备球童为男孩，2名正选球童从其余5人中选取，共有25C =10种不同的选法，因为2名正选球童都是男孩，则需要从剩余3名男球童中选取，有23C =3种选法，由古典概型的概率计算公式，得2名正选球童也都是男孩的概率P =310． （5分） (2)(i)从6名球童中选取3名球童，共有36C =20种不同的选法，记事件A 为“选中的3名球童中恰有2名男孩和1名女孩”，则事件A 包含的选法有2142C C =12种，由古典概型的概率计算公式，得P (A )=123205=． （7分） (ii)随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ~B (3，0.6)， P (ξ=0)=03C (0.6)0×(0.4)3=0.064， P (ξ=1)=13C (0.6)1×(0.4)2=0.288， P (ξ=2)=23C (0.6)2×(0.4)1=0.432， P (ξ=3)=33C (0.6)3×(0.4)0=0.216．（10分） 因而ξ的分布列为Eξ=3×0.6=1.8．（12分）【备注】在解决概率与统计问题时，一定要根据有关概念，判断是等可能事件、互斥事件、相互独立事件，还是某一事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的情况，从而选择正确的概率计算公式，同时注意上述几种事件的综合问题，要全面考虑． 19．【解析】(1)由三视图可知，平面PCBM ⊥平面ABC ，又平面PCBM ∩平面ABC =BC ，且PC ⊥BC ，（2分） ∴PC ⊥平面ABC ， 又AB ⊂平面ABC ， ∴PC ⊥AB ．（4分）(2)解法一 如图，取BC 的中点N ，连接MN ，由三视图可知，PM ∥CN 且PM =CN ， ∴MN ∥PC ，MN =PC ，由(1)知PC ⊥平面ABC ，∴MN ⊥平面ABC ． 作NH ⊥AC ，交AC 的延长线于H ，连接MH ，易知AC ⊥MH ， ∴∠MHN 为二面角M −AC −B 的平面角．（6分）由三视图可知PC =MN =1，PM =CN =1，CB =2，AC =1，过点A 作AE ⊥BC ，交BC 的延长线于点E ，则A 到直线BC 的距离为AE （7分）在Rt △AEC 中，AC =1，AE ，∴sin ∠ACE ， ∴∠ACE =60°， ∴∠ACB =120°，（8分）在Rt △NHC 中，∵∠NCH =∠ACE =60°，∴NH =CN ·sin ∠NCH =1×sin 60°=2．（10分）在Rt △MNH 中，∵MH ，∴cos ∠MHN =NH MH=7．故二面角M −AC −B ．（12分）解法二 如图，取BC 的中点N ，连接MN ，由三视图可知，PM ∥CN 且PM =CN ， ∴MN ∥PC ，MN =PC ，由(1)知PC ⊥平面ABC ，∴MN ⊥平面ABC ．（5分）由三视图知PC =MN =1，CB =2，AC =1，过A 作AE ⊥BC ，交BC 的延长线于点E ，则点A 到直线BC 的距离为AE．（6分） 在平面ABC 内，过C 作BC 的垂线，并建立如图所示的空间直角坐标系． 在Rt △AEC 中，AC =1，AE=2，∴CE =12， ∴C (0，0，0)，P (0，0，1)，M (0，1，1)，B (0，2，0)，A=(2，−12，0)， ∴CA−12，0)，AM =(32，1)．（8分） 设平面MAC 的法向量为n =(x ，y ，z )，则由00AM CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，得3022102x y z x y ⎧-++=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，令z =1，则x =−3，y =−1，∴n =(，−1，1)是平面MAC 的一个法向量．（10分） 又平面ABC 的一个法向量为CP =(0，0，1)， ∴cos<n ，CP >=||||CPCP ⋅=n n 7． 由图可知二面角M −AC −B 为锐二面角， ∴二面角M −AC −B 的余弦值为7．（12分） 20．【解析】(1)由题意知，直线l的方程为x −2y +4=0，由22221240x y a b x y ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，得(2a +42b )2y −162b y +162b −2a 2b =0，（2分） 又椭圆的离心率e =c a =12，所以2e =2222214c a b a a -==，因而42b =32a ， 则42a 2y −122a y +234a (16−2a )=0，（3分） 由直线l 与椭圆相切，得Δ=22(12)a −124a (16−2a )=0， 则2a =4，2b =3，所以椭圆C 的方程为22143x y +=． （5分）(2)由(1)得B (−1，32)，2F (1，0)，由题意知圆心Q 在过点B 与l 垂直的直线上， 该直线方程为y −32=−2(x +1)，即4x +2y +1=0．（6分） 设圆心Q (0x ，0y )， 因而40x +20y +1=0，连接QB ，2QF ，则|QB |=|2QF |，（7分）从而20(1)x ++203()2y -=20(1)x -+20y ，解得0x =−38，0y =14，则Q (−38，14)，圆Q 的半径R =|QB 8=，（9分） 所以圆Q 的方程为(x +38)2+(y −14)2=12564．（10分） 而2x +2y =4的圆心为O (0，0)，半径r =2，两圆的圆心距|OQ |=8，（10分）由于144>125，因而，即16−因而|OQ |=8<2−8，即两圆内含． （12分） 【备注】分析近几年的高考题可知，解析几何的考查基本稳定在椭圆与圆、抛物线与圆、椭圆与抛物线的结合上，已知条件以向量的形式呈现也很普遍，而众多与圆、椭圆、抛物线有关的结论更是备受青睐，因而在复习备考阶段，应加以强化，这些结论不但要知其然，更要知其所以然，突破传统思维定势的影响，寻求解题的突破口，提高复习的全面性与灵活性． 21．【解析】(1)∵()f x =ax+ln x −2(x >0)， ∴()f x '=2a x -+1x(x >0)，（1分） 又曲线y =()f x 在点P (2，m )处的切线平行于直线y =−32x +1， ∴(2)f '=−14a +12=−32⇒a =8． ∴()f x '=28x -+1x =28x x-(x >0)，（3分） 令()f x '>0，得x >8，()f x 在(8，+∞)上单调递增； 令()f x '<0，得0<x <8，()f x 在(0，8)上单调递减．∴()f x 的单调递增区间为(8，+∞)，单调递减区间为(0，8)．（5分）(2)由(1)知()f x '=2a x -+1x =2x ax- (x >0)． (i)当a 0时，()f x '>0恒成立，即()f x 在(0，2e ]上单调递增，无最小值， 不满足题意．（6分）(ii)当a >0时，令()f x '=0，得x =a ，所以当()f x '>0时，x >a ，当()f x '<0时，0<x <a ，（7分） 此时函数()f x 在(a ，+∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减．若a >2e ，则函数()f x 在(0，2e ]上的最小值()f x min =2()f e =2a e +ln 2e −2=2a e ， 由2a e=2，得a =22e ，满足a >2e ，符合题意；（8分） 若a 2e ，则函数()f x 在(0，2e ]上的最小值()f x min =()f a =aa+ln a −2=ln a −1， 由ln a −1=2，得a =3e ，不满足a 2e ，不符合题意，舍去．综上可知，存在实数a =22e ，使函数()f x 在(0，2e ]上有最小值2．（12分）22．【解析】(1)将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，得y −x −1)， 显然，直线l 过定点(1，1)，倾斜角为6π， 因此直线l 的参数方程为1cos 61sin6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，即12112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)．（5分） (2)圆ρ=2的直角坐标方程为22x y +=4，把12112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22x y +=4， 得)2+(1+12t )2=4，2t+1)t −2=0， 因为2+8>0，故设其两根分别为1t ，2t ，显然12t t =−2，故点P (1，1)到A ，B 两点的距离之积为2．（10分）【备注】极坐标方程与直角坐标方程互化及参数方程与普通方程互化是本知识板块的基础，当然也是近年高考命题的重点与热点．直线参数方程中参数的几何意义的应用也是重要的考点，值得考生关注． 23．【解析】(1)由()f x13()g x ，可得|3x +1|−|2x −3| 1，则当x 32时，3x +1−2x +3 1， 即x −3，∴不符合题意；当−13 x <32时，3x +1+2x −3 1，∴−13 x 35； 当x <−13时，−3x −1+2x −3 1，∴−5 x <−13． 综上，不等式()f x13()g x 的解集为{x |−5 x 35}．（5分） (2)根据题意，由不等式()f x −2t x 12+|x −32|，化简得()f x −tx 0，即()f x tx ． 由()f x =1+|2x −3|=322,2342,2x x x x ⎧-⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩≥，作出y=()f x 与y=tx 的大致图象如图所示．由单调性可知()f x 的最小值点为A (32，1)， ∵当过原点的直线y=tx 经过点A 时，t =23，当直线y=tx 与AC 平行时，t =−2．∴当−2 t<23时，y=()f x与y=tx的图象无交点，且y=tx的图象都在y=()f x的图象的下方，∴当不等式()f x−tx 0的解集非空时，t的取值范围是(−∞，−2)∪[23，+∞)．（12分）。