山西省康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中2017-2018学年高三上学期第二次联考理数试题 Word版含解析

2017-2018学年 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|1M x x =>，集合{}2|20N x x x =-<，则M N I 等于 ( ) A ．{}|12x x <<B ．{}|01x x <<C ． {}|02x x <<D ．{}|2x x >【答案】A考点：集合运算 【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 2.i 是虚数单位，若21ia bi i+=++(,)a b R ∈，则lg()a b +的值是( ) A ．2- B ．1- C ．0 D ．12【答案】C 【解析】 试题分析：因为2(2)(1)31222i i i i i ++-==-+，所以31,,1,lg()0.22a b a b a b ==-+=+=选Ｃ． 考点：复数运算3.阅读右边的程序框图，运行相应的程序．若输入x 的值为1，则输出S 的值为( )A. 64B. 73C. 512D. 585【答案】B考点：循环结构流程图 【易错点睛】利用循环结构表示算法，第一要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二准确表示累计变量；第三要注意从哪一步开始循环．在解决循环结构问题时，一定要弄明白计数变量和累加变量．读程序框图时，要注意循环结构的终止条件． 4.已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则91078a aa a +=+ ( )A. 1B. 1-C.3+D.3- 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得：23122121a a a q q q =+⇒=+⇒=（负舍），因此91078a a a a +=+23q =+选Ｃ．考点：等比数列公比5.已知|a r |＝1，|b r |＝2，且()a a b ⊥-r r r，则向量a r 与向量b r 的夹角为( )A.6π B. 4π C.3πD .23π【答案】B 【解析】试题分析：由题意得22()01cos ,||||a b a a b a b a a b a b ⋅⋅-=⇒⋅==⇒<>==⋅，所以向量a r 与向量b r的夹角为4π，选Ｂ． 考点：向量夹角6.某学校组织学生参加数学测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[)[)20,40,40,60[)[)60,80,80,100,若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是( ) A ．45B ．50C ．55D ．60【答案】B考点：频率分布直方图7."0"a ≤是“函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】试题分析：当0a =时，(),(0)f x x x =>在区间(0,+)∞内单调递增；当0a <时，()(1)(1),(0)f x ax x ax x x =--=-+>，因为对称轴为102x a=<，因此函数()f x 在区间(0,+)∞内单调递增，充分性成立；反之，若0a >，则函数()f x 在区间10)2a （，和1,)a+∞（内单调递增，而在11,)2a a（单调递减，因此必要性也成立，选Ｃ． 考点：充要关系，函数单调性8.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( )A．28+B．60+ C．56+D ．30+【答案】D 【解析】试题分析：三棱锥如图：454235AB BC CA AD DE AE CE BE BD =======，，，，，，111164510,4510,4510,2222ABD BCD ABC ACD S S S S ∆∆∆∆=⨯==⨯⨯==⨯⨯==⨯⨯=从而表面积是30+选D.考点：三视图9.将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个单位长度后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是( ) A. 6πB. 12πC. 3πD.56π【答案】A 【解析】试题分析：由题意得2sin()3y x π=+，向左平移()0m m >个单位长度后得2sin()3y x m π=++，从而(),(),326m k k Z m k k Z πππππ+=+∈=+∈m 的最小正值是6π，选Ａ．考点：三角函数图像与性质10.已知()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L ，则8a 等于( ) A ．－5 B ．5 C ．90 D ．180 【答案】D考点：二项式定理 【方法点睛】1.求二项展开式项的系数一般分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n≥r)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．2. 明确二项展开式是按那两项展开，有时需作调整.11.设抛物线2:3(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上， 5MF =，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．2248y x y x==或 B ．2228y x y x ==或C ．22416y x y x ==或 D ．22216y x y x ==或 【答案】C 【解析】试题分析：由抛物线定义得：22339=5,515444M M M p p p MF x x y P +==-⇒=-，以MF 为直径的圆的方程为33()()()()0(05)(0)(2)(20)044M F M F M p px x x x y y y y y --+--=⇒-+-+--=222159941622415=48328433M M M y p p p y y p p p ⇒=+-=+⇒=⇒-==，或，C 的方程为22416y x y x ==或，选Ｃ．考点：抛物线定义与性质 【方法点睛】凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．若P(x0，y0)为抛物线y2＝2px(p ＞0)上一点，由定义易得|PF|＝x0＋p2；若过焦点的弦AB 的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为|AB|＝x1＋x2＋p ，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到． 12.已知函数21()(0)2xf x x e x =+-<与()()2ln g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A ．⎛-∞ ⎝ B ．(-∞ C ．⎛ ⎝ D ．⎛⎝【答案】B考点：函数图像 【方法点睛】由于指数函数与对数函数的图象受底数a 的变化而成有规律变化，因此对于较复杂的指数或对数不等式有解(或恒成立)问题，可借助函数图象解决，具体操作如下： (1)对不等式变形，使不等号两边对应两函数f(x)，g(x)； (2)在同一坐标系下作出两函数y ＝f(x)及y ＝g(x)的图象；(3)比较当x 在某一范围内取值时图象的上下位置及交点的个数来确定参数的取值或解的情况．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.定积分⎰=【答案】4π 【解析】试题分析：⎰表示四分之一个圆（半径为4）的面积，即4π考点：定积分14.已知,x y 满足约束条件1020x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求()22(1)1z x y =++-的最小值是【答案】12考点：线性规划15.若三棱锥P-ABC 的最长的棱2PA =，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是 【答案】43π 【解析】试题分析：三棱锥的外接球的直径为PA ，因此体积是2441=33ππ⨯考点：球的体积 【思路点睛】1.解答本题的关键是确定球心，这需要根据球的对称性及几何体的形状来确定．2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．如长方体的体对角线为外接球的直径. 16.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n(n ∈N *)，则S 2 016＝______ 【答案】1008323⋅-考点：等比数列求和 【方法点睛】分组转化法求和的常见类型(1)若an ＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n 项和．(2)通项公式为an ＝⎩⎪⎨⎪⎧bn ，n 为奇数，cn ，n 为偶数的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）ABC ∆中,角,,A B C 所对边分别是a ,b ,c ,且31cos =A . （1）求2coscos 22B CA ++的值; （2）若3=a ,求ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）49-（2【解析】试题分析：（1）先根据降幂公式、二倍角公式、诱导公式将所求式子化为关于cos A 的代数式：()2221cos 1cos cos cos 22cos 12cos 12222B C B C A A A A ++++=+-=-+-，再将31cos =A 计算即可（2）由三角形面积公式知，求ABC ∆面积的最大值就是求AB AC ⋅最大值，因此结合余弦定理及基本不等式得：，2222222242cos 2333a b c bc A b c bc bc bc bc ==+-=+-≥-=从而可得49≤bc ，()max119sin 224ABC Sbc A ==⋅=()2由余弦定理:2222222242cos 2333a b c bc A b c bc bc bc bc ==+-=+-≥-=.∴49≤bc ,………8分 当且仅当23==c b 时bc 有最大值49，()1cos ,0,,sin 3A A A π=∈==………10分∴()max119sin 224ABC Sbc A ==⋅=………12分 考点：降幂公式、二倍角公式、余弦定理 【思路点睛】1. 在涉及到三角形面积时，常常借助余弦定理、基本不等式实现“和与积”的转化．本例(2)在求解中通过“2222222242cos 2333a b c bc A b c bc bc bc bc ==+-=+-≥-=”求出积“bc”的最值．2．注意二倍角余弦公式的选用18.（本小题满分12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学 （男30女20）， 给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率． （3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、 乙两女生被抽到的人数为X ， 求X 的分布列及数学期望E （X ） ． 附表及公式【答案】（1）有关（2）18（3）12试题解析：解：(Ⅰ)由表中数据得2K 的观测值()225022128850 5.556 5.024*********K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯……2分所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关.）………3分 (Ⅱ)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x y 、分钟，则基本事件满足的区域为5768x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩(如图所示) 设事件A 为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为x y >………5分∴由几何概型11112()228P A ⨯⨯==⨯ 即乙比甲先解答完的概率为18.………7分(Ⅲ)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有2828C =种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有2615C =种；恰有一人被抽到有1126=12C C ⋅种；两人都被抽到有221C =种X ∴可能取值为0,1,2，15(0)28P X ==， ………8分 123(1)287P X ===， ………9分 1(2)28P X == ………10分X 的分布列为： ………11分151211()0+1+22828282E X ∴=⨯⨯⨯=.yx11O………12分 考点：卡方公式，几何概型概率，数学期望 【易错点睛】几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结果不是有限个，它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，故随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关．求解几何概型的概率问题，一定要正确确定试验的全部结果构成的区域，从而正确选择合理的测度，进而利用概率公式求解．19.（本小题满分12分）如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠=，2===CA BC PB ，E 为PC 的中点，点F 在PA 上，且FA PF =2.（1）求证：BE ⊥平面PAC ；（2）求直线AB 与平面BEF 所成角的正弦值.【答案】（1）详见解析（2）3试题解析：解：（1）证明：∵⊥PB 底面ABC ，且⊂AC 底面ABC ， ∴AC PB ⊥ ………1分由90BCA ∠=，可得CB AC ⊥ ………………………2分 又 PBCB B = ，∴AC ⊥平面PBC ………………3分注意到⊂BE 平面PBC ， ∴AC BE ⊥ …………………4分BC PB = ,E 为PC 中点，∴BE PC ⊥ ………………5分PCAC C =， BE ⊥平面PAC …………………………6分（2）以B 为原点、BC 所在直线为x 轴、BP 为z 轴建立空间直角坐标系. 则)1,0,1(,)2,0,0(,)0,2,2(,)0,0,2(E P A C …………………………7分1224(,,)3333BF BP PF BP PA =+=+=. ………………8分设平面BEF 的法向量(,,)m x y z =. 由0,0m BF m BE ⋅=⋅=得0343232=++z y x ， 即02=++z y x (1)0=+z x (2)取1=x ，则1,1-==z y ，(1,1,1)m =-. …10分)0,2,2(--=AB，36==sin α∴=,直线AB 与平面BEF分 考点：线面垂直判定与性质定理，利用空间向量求线面角20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为36，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆与直线0622=+-y x 相切. （1）求椭圆C 的标准方程;（2）已知点A,B 为动直线)0)(2(≠-=k x k y 与椭圆C 的两个交点,问:在x 轴上是否存在定点E ,使得AB EA EA ⋅+2为定值?若存在,试求出点E 的坐标和定值;若不存在,请说明理由.【答案】（1）12622=+y x （2）95-【解析】试题分析：（1）确定椭圆标准方程，一般方法为待定系数法，即列出两个独立条件即可：椭圆C 的长轴长等于圆心到切线的距离，6)2(2622=-+=a ，又36=e ，因此c=2,2222=-=c a b （2）存在性问题，一般从假设存在出发，以算代求：假设x 轴上存在定点E(m,0), 则⋅=⋅+=⋅+)(2，而()()()21212211)(,,y y m x m x y m x y m x +--=-⋅-=⋅=()()()()22221212124k x x k m x x k m +-++++到此，联立直线方程与椭圆方程方程组，利用韦达定理代入求解得()()222231210613mm k m k -++-+，要使上式为定值,即与k 无关,须满足()631012322-=+-m m m ,解得37=m 试题解析：解.(1)由36=e 得36=a c ,即a c 36= ① ………1分 又以原点O 为圆心,椭圆C 的长轴长为半径的圆为222a y x =+ 且与直线0622=+-y x 相切, 所以6)2(2622=-+=a 代入①得c=2, ………2分所以2222=-=c a b .所以椭圆C 的标准方程为12622=+y x ………4分考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系 【方法点睛】1.求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2．定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋b ，然后利用条件建立b 、k 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．21.（本小题满分12分）已知函数12()ln .x xe f x e x x-=+ （1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程; （2）证明：()1f x >.【答案】（1）(1)2y e x =-+（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）利用导数几何意义得：曲线()y f x =在1x =处的切线斜率等于该点处导数值，k=f′(1)＝e ，而f(1)＝2，利用点斜式得切线方程为(1)2y e x =-+（2）先调整所证不等式： ()1f x >等价于2ln xx x xe e->-，再利用导数分别研究左右函数最值：设函数g(x)＝xln x ，g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g 1()e ＝－1e ；设函数h(x)＝xe －x －2e ，则h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－1e .但两个函数取最值时的自变量不同，因此等于号取不到，从而得证.试题解析：解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，11'222()ln x x x xe xe ef x e x x x---=++ ………2分 由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e ，故曲线()y f x =在1x =处的切线方程为(1)2y e x =-+; ………4分故g(x)在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g 1()e ＝－1e .………8分 设函数h(x)＝xe －x －2e，则h′(x)＝e －x(1－x)．所以当x∈(0，1)时，h′(x)>0； 当x∈ (1，＋∞)时，h′(x)<0.故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－1e. ………10分因为gmin(x)＝g 1()e＝h(1)＝hmax(x)，所以当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1. ………12分 考点：导数几何意义,利用导数证明不等式 【思想点睛】1.转化与化归思想在导数研究函数中的应用具体体现在以下三个方面： (1)与恒成立有关的参数范围问题． (2)用导数研究函数的零点问题． (3)证明不等式问题．2.利用导数解决不等式问题的一般思路．(1)恒成立问题可以转化为最值问题求解，若不能分离参数，可以将参数看成常数直接求解． (2)证明不等式，可构造函数转化为函数的最值问题求解．选做题: 请考生从第22、23、24三题中任选一题作答。