数列习题课
高中数学 第二章 数列 2.2 习题课——等差数列习题课练习(含解析)新人教B版必修5-新人教B版高
习题课——等差数列习题课课时过关·能力提升1在等差数列{a n }中,已知a 1=13,a 1+a 6=4,a n =37,则n 等于() A.50B.49C.56D.51d ,因为a 1+a 6=2a 1+5d=4,a 1=13,所以d=23,所以a n =13+(n-1)×23=37,所以n=56.2在数列{a n }中,已知a 1=15,3a n+1=3a n -2,则该数列中相邻两项的乘积为负值的项是() A.a 21和a 22 B.a 22和a 23 C.a 23和a 24D.a 24和a 25a n+1=a n -23,所以数列{a n }是公差为-23的等差数列.所以a n =15+(n-1)×(-23).因为a 23=13,a 24=-13,所以a 23a 24<0.3已知在等差数列{a n }中,|a 3|=|a 9|,公差d<0,则使数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是()A .4或5B .5或6C .6或7D .不存在d<0,∴a 9<a 3,∵|a 3|=|a 9|,∴a 3=-a 9,∴a 3+a 9=0. 又a 3+a 9=2a 6=0,∴a 5>0.即前5项或前6项的和最大.4若数列{a n }是等差数列,首项a 1>0,a 2 003+a 2 004>0,a 2 003·a 2 004<0,则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是() A.4 005B.4 006C.4 007D.4 008a 1>0,a 2003+a 2004>0,a 2003·a 2004<0,且数列{a n }为等差数列,所以数列{a n }是首项为正数,公差为负数的递减的等差数列,且a 2003是绝对值最小的正数,a 2004是绝对值最小的负数(第一个负数),且|a 2003|>|a 2004|.因为在等差数列{a n }中,a 2003+a 2004=a 1+a 4006>0,所以S 4006=4006(a 1+a 4006)2>0.所以使S n >0成立的最大正整数n 是4006.5已知数列{a n }的通项a n =11-2n ,则|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a 10|=() A.25 B.50 C.52 D.1006已知f (n+1)=f (n )-14(n ∈N +),且f (2)=2,则f (101)=.a n =f (n ),则a n+1-a n =-14,∴数列{a n }为等差数列,且a 2=2.∴a n =a 2-14(n-2)=10-a 4.∴f (101)=a 101=-914. -9147设f (x )+f (1-x )=6,则f (-5)+f (-4)+…+f (0)+f (1)+…+f (6)=.S=f (-5)+f (-4)+…+f (0)+f (1)+…+f (6),①即S=f (6)+f (5)+…+f (1)+f (0)+…+f (-5).②则①+②得2S=[f (-5)+f (6)]+[f (-4)+f (5)]+…+[f (0)+f (1)]+[f (1)+f (0)]+…+[f (6)+f (-5)]=12×6=72.故S=36.8“等和数列”的定义:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都等于同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{a n }是等和数列,且a 1=2,公和为5,那么a 18的值为.,可得a n +a n+1=5,所以a n+1+a n+2=5.所以a n+2-a n =0.因为a 1=2,所以a 2=5-a 1=3.所以当n 为偶数时,a n =3;当n 为奇数时,a n =2.所以a 18=3.9在等差数列{a n }中,其前n 项和为100,其后的2n 项和为500,则紧随其后的3n 项和为.,知S n =100,S 3n -S n =500,又S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…成等差数列,且公差为100.故S 6n -S 3n =(S 6n -S 5n )+(S 5n -S 4n )+(S 4n -S 3n )=600+500+400=1500.10在等差数列{a n }中,a 16+a 17+a 18=a 9=-18,其前n 项和为S n , (1)求S n 的最小值,并求出S n 取最小值时n 的值; (2)求T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |.因为a 16+a 17+a 18=a 9=-18,所以a 17=-6.又a 9=-18, 所以d=a 17-a 917-9=32.首项a 1=a 9-8d=-30.所以a n =32n-632. 若前n 项和S n 最小,则{a a ≤0,a a +1≥0,即{3a2-632≤0,32(a +1)-632≥0,所以n=20或n=21.故当n=20或n=21时,S n 取最小值. 最小值为S 20=S 21=-315. (2)由a n =32n-632≤0,得n ≤21.所以当n ≤21时,T n =-S n =34(41n-n 2), 当n>21时,T n =-a 1-a 2-…-a 21+a 22+…+a n=S n -2S 21=34(n 2-41n )+630.★11设数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n=a aa+2(n-1)(n∈N+).(1)求数列{a n}的通项公式a n;(2)是否存在正整数n,使得a11+a22+…+a aa-(n-1)2=2 015?若存在,求出n的值;若不存在,说明理由.S n=na n-2(n-1)n.n≥2时,a n=S n-S n-1=na n-2(n-1)n-(n-1)·a n-1+2(n-2)(n-1).∴a n-a n-1=4.∴数列{a n}为a1=1,d=4的等差数列.∴a n=1+(n-1)4=4n-3.(2)由(1),得S n=n(4n-3)-2(n-1)n=(2n-1)n.∴a aa=2n-1.故a11+a22+…+a aa=n2,∴n2-(n-1)2=2015,解得n=1008.故存在n=1008满足题意.★12设数列{a n}的前n项和为S n,点(a,a aa)(n∈N+)均在函数y=3x-2的图象上, (1)求证:数列{a n}为等差数列;(2)T n是数列{3a a a a+1}的前n项和,求证:37≤T n<12.由题意得,a aa=3n-2,即S n=3n2-2n,当n≥2时,a n=S n-S n-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5;当n=1时,a1=S1=1.所以a n=6n-5(n∈N+).又a n-a n-1=6n-5-[6(n-1)-5]=6,故{a n}是等差数列.(2)由(1)知,设b n=3a a a a+1,则b n=3a a a a+1=3(6a-5)[6(a+1)-5]=1 2(16a-5-16a+1),故T n =12[(1-17)+(17-113)+…+(16a -5-16a +1)]=12(1-16a +1),又n ∈N +,所以0<16a +1≤17,故37≤T n <12.。
(完整word版)数列章节课后习题及答案
数列习题及答案详解一、 选择题1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1，则a 5的值为( )． A ．30 B ．31 C ．32 D ．33解析 a 5＝2a 4＋1＝2(2a 3＋1)＋1＝22a 3＋2＋1＝23a 2＋22＋2＋1＝24a 1＋23＋22＋2＋1＝31. 答案 B2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( )． A ．15 B ．16 C ．49 D ．64 解析 由于S n ＝n 2，∴a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，又a 1＝1适合上式． ∴a n ＝2n －1，∴a 8＝2×8－1＝15. 答案 A3．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( )．A ．31B ．32C ．33D ．34解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎨⎧a 1＝263，d ＝－43.∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝32.答案 B4．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )．A ．－12B ．－2C ．2 D.12解析 由题意知：q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12.答案 D5．在等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( )． A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 解析 由等比数列的性质得：a 2a 6＝a 24＝16. 答案 C6．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )． A.n 24＋7n 4 B.n 23＋5n 3 C.n 22＋3n4D ．n 2＋n 7．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝( )．A ．－11B ．－8C ．5D ．11解析 设等比数列的首项为a 1，公比为q .因为8a 2＋a 5＝0，所以8a 1q ＋a 1q 4＝0. ∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2，∴S 5S 2＝)1(11)1(2151q a q q q a --⋅-- ＝1－q 51－q 2＝－11. 答案 A8．等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项的和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项的和为( )．A ．120B ．70C ．75D ．100 解析 ∵)2(2)123(+=++=n n n n S n ，S nn ＝n ＋2.∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 前10项的和为：(1＋2＋…＋10)＋20＝75.答案 C9．设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则对任意正整数n ，S n ＝( )．A.2]1)1[(--n nB. 2]1)1[(1+--n C. 2]1)1[(+-n D. 2]1)1[(--n解析 因为数列{(－1)n }是首项与公比均为－1的等比数列，所以S n ＝)1(1])1(1)[1(------n＝2]1)1[(--n . 答案 D10．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则S 4＝( )． A ．7 B ．8 C ．15 D ．16解析 设数列{a n }的公比为q ，则4a 2＝4a 1＋a 3，∴4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2，即q 2－4q ＋4＝0，∴q＝2.∴S 4＝1－241－2＝15.答案 C 11．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，数列{b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则有( )． A ．a 3＋a 9≤b 4＋b 10 B ．a 3＋a 9≥b 4＋b 10 C ．a 3＋a 9≠b 4＋b 10D ．a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小关系不确定解析 10476518218218121932222)(b b b a q a q q a q q a q a q a a a +====≥+=+=+12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为)(*∈N n S n ，且7,373=-=S S ，那么数列{}n a 的公差=d （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 A二、填空题13．若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，S 50＝________. 解析 S 50＝1－2＋3－4＋…＋49－50 ＝(－1)×25＝－25. 答案 －2514．等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________.解析 设{a n }的公差为d ，由S 9＝S 4及a 1＝1，得9×1＋9×82d ＝4×1＋4×32d ，所以d ＝－16.又a k ＋a 4＝0，所以0)]61)(14(1[)]61)(1(1[=--++--+k ，即k ＝10.答案 1015.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．解析 设竹子从上到下的容积依次为a 1，a 2，…，a 9，由题意可得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，设等差数列{a n }的公差为d ，则有4a 1＋6d ＝3①，3a 1＋21d ＝4②，由①②可得d＝766，a 1＝1322，所以a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766. 答案 676616. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________． 解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝16n －5，n ≥217. 等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________.解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1q 3，代入数据解得q 3＝－8，所以q ＝－2；等比数列{|a n |}的公比为|q |＝2，则|a n |＝12×2n －1，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝12(1＋2＋22＋…＋2n －1)＝12(2n －1)＝2n －1－12.答案 －2 2n －1－12三、解答题18. 知数列{a n }的前n 项和S n 是n 的二次函数，且a 1＝－2，a 2＝2，S 3＝6. (1)求S n ；(2)证明：数列{a n }是等差数列．(1)解 设S n ＝An 2＋Bn ＋C (A ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝A ＋B ＋C ，0＝4A ＋2B ＋C ，6＝9A ＋3B ＋C ，解得：A ＝2，B ＝－4，C ＝0.∴S n ＝2n 2－4n .(2)证明 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－4n －[2(n －1)2－4(n －1)] ＝4n －6.∴a n ＝4n －6(n ∈N *)．当n ＝1时符合上式，故a n ＝4n －6， ∴a n ＋1－a n ＝4，∴数列{a n }成等差数列．19. 知数列{a n }的前n 项和S n ＝－n 2＋24n (n ∈N *)． (1)求{a n }的通项公式；(2)当n 为何值时，S n 达到最大？最大值是多少？ 解 (1)n ＝1时，a 1＝S 1＝23.n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n 2＋24n ＋(n －1)2－24(n －1)＝－2n ＋25.经验证，a 1＝23符合a n ＝－2n ＋25，∴a n ＝－2n ＋25(n ∈N *)．(2)法一 ∵S n ＝－n 2＋24n ，∴n ＝12时，S n 最大且S n ＝144. 法二 ∵a n ＝－2n ＋25，∴a n ＝－2n ＋25＞0，有n ＜252.∴a 12＞0，a 13＜0，故S 12最大，最大值为144.20. d 为非零实数，a n ＝1n[C 1n d ＋2C 2n d 2＋…＋(n －1)C n －1n d n －1＋n C n n d n ](n ∈N *)． (1)写出a 1，a 2，a 3并判断{a n }是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由； (2)设b n ＝nda n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)由已知可得a 1＝d ，a 2＝d (1＋d )，a 3＝d (1＋d )2.当n ≥2，k ≥1时，k nC k n ＝C k －1n －1，因此 a n ＝∑n k ＝1k n C k n d k ＝∑n k ＝1C k －1n －1d k ＝d ∑n －1k ＝0C k n －1d k ＝d (d ＋1)n －1. 由此可见，当d ≠－1时，{a n }是以d 为首项，d ＋1为公比的等比数列； 当d ＝－1时，a 1＝－1，a n ＝0(n ≥2)，此时{a n }不是等比数列．(2)由(1)可知，a n ＝d (d ＋1)n －1，从而b n ＝nd 2(d ＋1)n －1S n ＝d 2[1＋2(d ＋1)＋3(d ＋1)2＋…＋(n －1)(d ＋1)n －2＋n (d ＋1)n －1]．① 当d ＝－1时，S n ＝d 2＝1.当d ≠－1时，①式两边同乘d ＋1得(d ＋1)S n ＝d 2[(d ＋1)＋2(d ＋1)2＋…＋(n －1)(d ＋1)n －1＋n (d ＋1)n ]．② ①，②式相减可得－dS n ＝d 2[1＋(d ＋1)＋(d ＋1)2＋…＋(d ＋1)n －1－n (d ＋1)n ]＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+n n d n d d d )1(1)1(2.化简即得S n ＝(d ＋1)n (nd －1)＋1.综上，S n ＝(d ＋1)n (nd －1)＋1.21. 知数列{a n }是首项为a 1＝14，公比q ＝14的等比数列，设n n a b 41log 32=+ (n ∈N *)，数列{c n }满足c n ＝a n ·b n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{c n }的前n 项和S n .[尝试解答] (1)由题意，知a n ＝⎝⎛⎭⎫14n(n ∈N *)， 又2log 341-=n n a b ，故b n ＝3n －2(n ∈N *)．(2)由(1)，知a n ＝⎝⎛⎭⎫14n，b n ＝3n －2(n ∈N *)，∴c n ＝(3n －2)×⎝⎛⎭⎫14n (n ∈N *)． ∴S n ＝1×14＋4×⎝⎛⎭⎫142＋7×⎝⎛⎭⎫143＋…＋(3n －5)×⎝⎛⎭⎫14n －1＋(3n －2)×⎝⎛⎭⎫14n ， 于是14S n ＝1×⎝⎛⎭⎫142＋4×⎝⎛⎭⎫143＋7×⎝⎛⎭⎫144＋…＋(3n －5)×⎝⎛⎭⎫14n ＋(3n －2)×⎝⎛⎭⎫14n ＋1， 两式相减，得 34S n ＝14＋3⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫142＋⎝⎛⎭⎫143＋…＋⎝⎛⎭⎫14n －(3n －2)×⎝⎛⎭⎫14n ＋1＝12－(3n ＋2)×⎝⎛⎭⎫14n ＋1， ∴S n ＝23－3n ＋23×⎝⎛⎭⎫14n(n ∈N *)． 22. 数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1)． (1)求{a n }的通项公式；(2)等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且T 3＝15， 又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，求T n .解 (1)由a n ＋1＝2S n ＋1，可得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)， 两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ，则a n ＋1＝3a n (n ≥2)． 又a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1.故{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n＝3n－1.(2)设{b n}的公差为d，由T3＝15，b1＋b2＋b3＝15，可得b2＝5，故可设b1＝5－d，b3＝5＋d，又a1＝1，a2＝3，a3＝9，由题意可得(5－d＋1)(5＋d＋9)＝(5＋3)2，解得d1＝2，d2＝－10.∵等差数列{b n}的各项为正，∴d＞0，∴d＝2，b1＝3，∴T n＝3n＋n n－12×2＝n2＋2n.。
习题课1—数列极限2009
第一次习题课（数列极限）一、内容提要1.数列极限定义，验证3212312lim 22=-++∞→n n n n . 2.极限性质（唯一性、有界性、保号性、保不等式）.3.极限四则运算.求nn nn )1(lim -∞→，n n n n )1(lim 22-∞→4.收敛准则（迫敛准则、单调有界准则、柯西收敛准则）. 二、客观题1.设⎪⎩⎪⎨⎧>≤=1,01,1)(x x x f ，则[]()___________.f f x =2.若数列}{n x 与}{n y 发散，问数列}{n n y x +，}{n n y x ⋅，}{nn y x是否一定发散？3. 若数列n x 收敛，列n y 发散，则数列n n y x +是否存在？4、若单调数列}{n a 含有一个收敛的子数列，则数列}{n a 必收敛（ ）.5、若数列}{n a 发散，则}{n a 必为无界数列（ ）. 6.当（ ）时，有3)1(lim e nk n n =+∞→. 三、计算题1.一些重要结论：e n n n n =+∞→)1(lim ，1)1(lim -∞→=-e nn nn ，)1|(|,0lim <=∞→q q n n ，)0(,1lim >=∞→a a n n ，1lim =∞→n n n ，1lim 2=∞→n n n .2.计算下列极限（1）0sin lim=∞→nnn （α⋅M ）.（2）21)21(lim 222=+++∞→nn n n n （求和法）.（3）22212lim()12n nn n n n→∞++++++（夹逼）. （4）n n n 32)11(lim -∞→，（4'）nn n)11(lim 2+∞→.（5）.设()xf x a =()0,1a a >≠，求[]21lim ln (1)(2)()n f f f n n→∞.（6）设n n n nn a x !=，求极限n n n x x 1lim +∞→. 四、证明题1.已知a a n n =∞→lim ，证明极限a n na n n =+∞→1][lim.2..应用柯西收敛准则，证明2cos1cos 2cos ,222n nna =++（ ,2,1=n ，）是收敛数列. 3.设01>=a x ，)2(211nn n x x x +=+，证明：数列}{n x 收敛并求其极限（单调有界原理）. 4.按数列极限的N -ε定义证明()012lim22=+-+∞→n nn .5.给定两个正数1a 与1b )(11b a >，我们令21nn n b a a +=+，n n n b a b =+1，,,2,1 =n 试证明数列}{n a 与}{n b 的极限皆存在，并且n n n n b a ∞→∞→=lim lim .6.设0lim ,0>=≥∞→a a a n n n ，证明1lim=∞→nn n a .。
等差数列习题课
等差数列习题课一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1．等差数列{}a n 中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 6的值为( ) A ．10 B ．9 C ．8 D ．7【解析】选B.因为等差数列{}a n 中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，所以2(a 2＋a 5＋a 8)＝(a 1＋a 4＋a 7)＋(a 3＋a 6＋a 9)，所以a 3＋a 6＋a 9＝27，所以3a 6＝27，所以a 6＝9.2．已知等差数列{a n }的公差d≠0，S n 是其前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝－15，a 2＋a 4＋a 6＝－21，则18 S 3的值是( )A ．－5B ．－58C ．－98D ．－18【解析】选C.由等差数列性质知3a 3＝－15，3a 4＝－21， 故a 3＝－5，a 4＝－7，则a 2＝－3. 则18 S 3＝18 ×3（a 1＋a 3）2 ＝3a 28 ＝－98 .3．在数列{}a n 中，a 1＝3，且对任意大于1的正整数n ，点(a n ，a n －1 )在直线x －y － 3 ＝0上，则( ) A ．a n ＝3nB ．a n ＝3nC ．a n ＝n － 3D ．a n ＝3n 2【解析】选D.因为点(a n ，a n －1 )在直线x －y － 3 ＝0上，所以a n －a n －1＝ 3 ，所以数列{}a n 是首项为 3 ，公差为 3 的等差数列．所以数列{}a n 的通项公式为 a n ＝ 3 ＋(n －1)·3 ＝ 3 n. 所以a n ＝3n 2.4．若数列{a n }的通项a n ＝2n －6，设b n ＝|a n |，则数列{b n }的前7项和为( ) A ．14 B ．24 C ．26 D ．28【解析】选C.当n≤3时，a n ≤0，b n ＝|a n |＝－a n ＝6－2n ，即b 1＝4，b 2＝2，b 3＝0.当n>3时，a n >0，b n ＝|a n |＝a n ＝2n －6， 即b 4＝2，b 5＝4，b 6＝6，b 7＝8.所以数列{b n }的前7项和为4＋2＋0＋2＋4＋6＋8＝26.5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1 的前100项和为( )A ．100101B ．99101C ．99100D ．101100【解析】选A.因为a 5＝5，S 5＝15，所以5（a 1＋5）2 ＝15，所以a 1＝1.所以d ＝a 5－a 15－1＝1，所以a n ＝n.所以1a n a n ＋1 ＝1n （n ＋1） ＝1n －1n ＋1.则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1 的前100项的和为：T 100＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13 ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1100－1101 ＝1－1101 ＝100101 .6．(多选题)等差数列{a n }中，a na 2n是一个与n 无关的常数，则该常数的可能值为( )A ．1B ．12 C ．2 D ．3【解析】选AB.本题考查等差数列．设等差数列{a n }的公差为d ，则a na 2n＝a 1－d ＋dna 1－d ＋2dn为常数，则a 1＝d 或d ＝0，a n a 2n ＝12 或1.二、填空题(每小题5分，共10分)7．在等差数列{a n }中，a 2＝3，a 3＋a 4＝9，则a 1a 6＝______．【解析】因为a 2＝3，a 3＋a 4＝9，所以a 2＋a 3＋a 4＝12，即3a 3＝12，故a 3＝4，a 4＝5，所以a n ＝n ＋1，所以a 1a 6＝2×7＝14. 答案：148．已知数列{a n }满足a n ＝11－2n ，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 8|＝________． 【解析】原式＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)－(a 6＋a 7＋a 8) ＝(9＋7＋5＋3＋1)－(－1－3－5)＝34. 答案：34三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知数列{a n }中，a 7＝6，a 10＝－3，S n 为等差数列{a n }的前n 项和． (1)求数列{a n }的通项公式及S n 的最大值； (2)求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 19|＋|a 20|的值． 【解析】(1)因为a 7＝6，a 10＝－3，故⎩⎨⎧a 1＋6d ＝6a 1＋9d ＝－3，解得a 1＝24，d ＝－3，则a n ＝－3n ＋27， 数列的前n 项和公式为：S n ＝n×24＋n （n －1）2 ×(－3)＝－32 n 2＋512 n ， 注意到数列{a n }单调递减，且a 8>0，a 9＝0， 所以S n 的最大值＝S 8＝S 9＝108.(2)因为|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 19|＋|a 20|＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9－(a 10＋a 11＋…＋a 20)， 所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9－(a 10＋a 11＋…＋a 20)＝2S 9－S 20，由于S 9＝108，S 20＝－90，即|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 19|＋|a 20|＝306.10．已知S n 为各项均为正数的数列{a n }的前n 项和，a 1∈(0，2)，a 2n ＋3a n ＋2＝6S n .(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1 ，数列{b n }的前n 项和为T n ，若对任意n ∈N *，t≤4T n 恒成立，求实数t 的最大值．【解析】(1)①当n ＝1时，a 21 ＋3a 1＋2＝6S 1＝6a 1， 即a 21 －3a 1＋2＝0，又因为a 1∈(0，2)，解得a 1＝1. ②对任意n ∈N *，由a 2n ＋3a n ＋2＝6S n 知 a 2n ＋1 ＋3a n ＋1＋2＝6S n ＋1，两式相减，得a 2n ＋1 －a 2n ＋3(a n ＋1－a n )＝6a n ＋1，即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －3)＝0，由a n >0得a n ＋1－a n －3＝0，即a n ＋1－a n ＝3， 所以{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，所以a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2. (2)由a n ＝3n －2得b n ＝1a n a n ＋1 ＝1（3n －2）（3n ＋1）＝13 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13n －2－13n ＋1 ， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13n －2－13n ＋1 ＝13 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13n ＋1 ＝n 3n ＋1 . 因为T n ＋1－T n ＝n ＋13（n ＋1）＋1 －n 3n ＋1＝1（3n ＋1）（3n ＋4）>0，所以T n ＋1>T n ，即数列{T n }是递增数列， 所以t≤4T n ，t 4 ≤T n ，t 4 ≤T 1＝14 ，t≤1， 所以实数t 的最大值是1.(35分钟 70分)一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，若a n ＝1n ＋n ＋1，S n ＝10，则n ＝( ) A ．90 B ．119 C ．120 D ．121【解析】选C.因为a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1 －n ，所以S n ＝⎝⎛⎭⎫2－1 ＋⎝⎛⎭⎫3－2 ＋…＋(n ＋1 －n )＝n ＋1 －1＝10，故n ＋1＝121 ，故n ＝120.2．已知数列{a n }是等差数列，a 1＜0，a 8＋a 9＞0，a 8·a 9＜0.则使S n ＞0的n 的最小值为( )A ．8B ．9C ．15D ．16【解析】选D.因为等差数列{a n }，首项a 1<0，a 8＋a 9>0，a 8·a 9<0，所以a 8<0，a 9>0， 由S n ＝12 n(a 1＋a n )，可得S 15＝15a 8<0，S 16＝16（a 1＋a 16）2 ＝8(a 8＋a 9)>0，所以使前n 项和S n >0成立的最小自然数n 的值为16.3．已知函数f(x)是(－1，＋∞)上的单调函数，且函数y ＝f(x －2)的图象关于直线x ＝1对称，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f(a 50)＝f(a 51)，则数列{a n }的前100项的和为( )A ．－200B ．－100C ．0D ．－50【解析】选B.因为函数y ＝f(x －2)的图象关于直线x ＝1对称，则函数f(x)的图象关于直线x ＝－1对称，又因为函数f(x)是(－1，＋∞)上的单调函数，{a n }是公差不为0的等差数列，f(a 50)＝f(a 51)，所以a 50＋a 51＝－2，S 100＝100（a 1＋a 100）2＝50(a 50＋a 51)＝－100. 4．(多选题)设{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论正确的是( ) A ．d ＜0 B ．a 7＝0C ．S 9＞S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值【解析】选ABD.由S 5＜S 6得a 1＋a 2＋…＋a 5＜a 1＋a 2＋…＋a 5＋a 6，即a 6＞0，又因为S 6＝S 7，所以a 1＋a 2＋…＋a 6＝a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7， 所以a 7＝0，故B 正确；同理由S 7＞S 8，得a 8＜0，因为d ＝a 7－a 6＜0，故A 正确；而C 选项S 9＞S 5，即a 6＋a 7＋a 8＋a 9＞0，可得2(a 7＋a 8)＞0，由结论a 7＝0，a 8＜0，显然C 选项是错误的．因为S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，所以S 6与S 7均为S n 的最大值，故D 正确． 二、填空题(每小题5分，共20分)5．在等差数列{}a n 中，S n 为其前n 项的和，若S 4＝12，S 8＝40，则S 16＝________. 【解析】设等差数列的公差为d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝4a 1＋4×32d ＝12S 8＝8a 1＋8×72d ＝40，解得a 1＝32 ，d ＝1，所以S 16＝16×32 ＋16×152 ×1＝144. 答案：1446．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，满足a 2＋a 8＝6，S 5＝－5，则a 6＝________，S n 的最小值为________．【解析】依题意得：⎩⎨⎧2a 1＋8d ＝6，5a 1＋10d ＝－5，解得⎩⎨⎧a 1＝－5，d ＝2，所以a 6＝－5＋10＝5，S n ＝－5n ＋n （n －1）2 ×2＝n 2－6n ， 当n ＝3时，S n 的最小值为－9. 答案：5 －97．已知数列{a n }中a 1＝1，a 2＝2，当整数n>1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 15＝________．【解析】因为数列{a n }中，当整数n>1时， S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立⇔S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2⇔a n ＋1－a n ＝2(n>1).所以当n≥2时，{a n }是以2为首项，2为公差的等差数列． 所以S 15＝14a 2＋14×132 ×2＋a 1＝14×2＋14×132 ×2＋1＝211. 答案：2118．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1≤a 1≤3，3≤a 1＋S 3≤6，则a 2a 1的取值范围是________．【解析】在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝2a 2， 所以S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2， 又3≤a 1＋S 3≤6，所以3≤a 1＋3a 2≤6. 由1≤a 1≤3得13 ≤1a 1≤1.所以1≤a 1＋3a 2a 1≤6，即1≤1＋3a 2a 1≤6，所以0≤a 2a 1 ≤53 .即a 2a 1的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，53 .答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，53三、解答题(每小题10分，共30分)9．已知数列{a n }，a n ∈N *，S n 是其前n 项和，S n ＝18 (a n ＋2)2. (1)求证：{a n }是等差数列；(2)设b n ＝12 a n －30，求数列{b n }的前n 项和的最小值． 【解析】(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝18 (a 1＋2)2， 解得a 1＝2.当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝18 (a n ＋2)2－18 (a n －1＋2)2，即8a n ＝(a n ＋2)2－(a n －1＋2)2， 整理得(a n －2)2－(a n －1＋2)2＝0， 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－4)＝0. 因为a n ∈N *，所以a n ＋a n －1>0，所以a n －a n －1－4＝0，即a n －a n －1＝4(n≥2). 故数列{a n }是以2为首项，4为公差的等差数列． (2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，因为b n ＝12 a n －30，且由(1)知，a n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2(n ∈N *)， 所以b n ＝12 (4n －2)－30＝2n －31.故数列{b n }是单调递增的等差数列． 令2n －31＝0，得n ＝1512 .因为n ∈N *，所以当n≤15时，b n <0；当n≥16时，b n >0，即b 1<b 2<…<b 15<0<b 16<b 17<….故当n ＝15时，T n 取得最小值，最小值为T 15＝－29－12 ×15＝－225. 10．已知等差数列{a n }(n ∈N *)满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1 ，求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由于a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2. 所以a n ＝2n ＋1，S n ＝n(n ＋2)(n ∈N *).(2)因为a n ＝2n ＋1，所以a 2n －1＝4n(n ＋1)，所以b n ＝14n （n ＋1） ＝14 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1 . 故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝14 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝14 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1n ＋1 ＝n 4（n ＋1） ，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝n 4n ＋1 (n ∈N *). 【补偿训练】数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设H n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求H n . 【解析】(1)因为a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0. 所以a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝…＝a 2－a 1.所以{a n }是等差数列且a 1＝8，a 4＝2，所以d ＝－2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10－2n.故a n ＝10－2n(n ∈N *).(2)因为a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5.当n>5时，a n <0；当n ＝5时，a n ＝0；当n<5时，a n >0.设S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .所以当n>5时，H n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n ＝n 2－9n ＋40，当n≤5时，H n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝9n －n 2.所以H n ＝⎩⎨⎧9n －n 2，n≤5，n 2－9n ＋40，n>5 (n ∈N *).11．数列{a n }满足a 1＝12 ，a n ＋1＝12－a n(n ∈N *). (1)求证：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －1 为等差数列，并求出{a n }的通项公式． (2)设b n ＝1a n－1，数列{b n }的前n 项和为B n ，对任意n≥2都有B 3n －B n >m 20 成立，求正整数m 的最大值．【解析】(1)因为a n ＋1＝12－a n， 所以1a n ＋1－1 ＝112－a n－1 ＝2－a n a n －1＝－1＋1a n －1 ， 即1a n ＋1－1 －1a n －1＝－1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －1 是首项为－2，公差为－1的等差数列，1a n －1＝－2＋(n －1)×(－1)＝－(n ＋1)，所以a n ＝nn ＋1 .(2)b n ＝n ＋1n －1＝1n ，令C n ＝B 3n －B n ＝1n ＋1 ＋1n ＋2 ＋…＋13n ，所以C n ＋1－C n ＝1n ＋2 ＋1n ＋3 ＋…＋13（n ＋1） － 1n ＋1 －…－13n ＝－1n ＋1 ＋13n ＋2 ＋13n ＋3 ＋13n ＋1＝13n ＋2 －23n ＋3 ＋13n ＋1 >23n ＋3 －23n ＋3 ＝0，所以C n ＋1－C n >0，{C n }为单调递增数列，又因为n≥2，所以(B 3n －B n )min ＝B 6－B 2＝13 ＋14 ＋15 ＋16 ＝1920 ，m 20 <1920 ，m<19. 又因为m ∈N *，所以m 的最大值为18.。
高中数学《求数列的通项习题课一》专题突破含解析
习题课一 求数列的通项题型一 利用累加、累乘法求数列的通项公式【例1】 (1)数列{a n }满足a 1＝1，对任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，求数列{a n }的通项公式；(2)已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝nn ＋1a n ，求a n .解 (1)∵a n ＋1＝a n ＋n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1，即a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2).等式两边同时相加得a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n (n ≥2)，即a n ＝a 1＋2＋3＋4＋…＋n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n （n ＋1）2，n ≥2.又a 1＝1也适合上式，∴a n ＝n （n ＋1）2，n ∈N *.(2)由条件知a n ＋1a n ＝nn ＋1，分别令n ＝1，2，3，…，n －1，代入上式得(n －1)个等式，累乘，即a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×23×34×…·n －1n (n ≥2).∴a na 1＝1n ，又∵a 1＝23，∴a n ＝23n ，n ≥2.又a 1＝23也适合上式，∴a n ＝23n ，n ∈N *.规律方法 (1)求形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的通项公式.将原来的递推公式转化为a n ＋1－a n ＝f (n )，再用累加法(逐差相加法)求解，即a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1).(2)求形如a n ＋1＝f (n )a n 的通项公式.将原递推公式转化为a n ＋1a n＝f (n )，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由a 2a 1＝f (1)，a 3a2＝f (2)，…，a na n －1＝f (n －1)，累乘可得a na1＝f (1)f (2)…f (n －1).【训练1】 数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－a n ＝2n ，求{a n }的通项公式.解 因为a 1＝2，a n ＋1－a n ＝2n ，所以a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，a 4－a 3＝23，…，a n －a n －1＝2n －1，n ≥2，以上各式累加得，a n －a 1＝2＋22＋23＋…＋2n －1，故a n＝2（1－2n－1）1－2＋2＝2n，当n＝1时，a1也符合上式，所以a n＝2n.题型二 构造等差(比)数列求通项公式【例2】 (1)在数列{a n}中，a1＝13，6a n a n－1＋a n－a n－1＝0(n≥2，n∈N*).①证明：数列{1a n}是等差数列；②求数列{a n}的通项公式.(2)已知数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝2a n－3，求a n.(1)①证明 由6a n a n－1＋a n－a n＋1＝0，整理得1a n－1a n－1＝6(n≥2)，故数列{1a n}是以3为首项，6为公差的等差数列.②解 由①可得1a n＝3＋(n－1)×6＝6n－3，所以a n＝16n－3，n∈N*.(2)解 由a n＋1＝2a n－3得a n＋1－3＝2(a n－3)，所以数列{a n－3}是首项为a1－3＝－1，公比为2的等比数列，则a n－3＝(－1)·2n－1，即a n＝－2n－1＋3.规律方法 (1)课程标准对递推公式要求不高，故对递推公式的考查也比较简单，一般先构造好等差(比)数列让学生证明，再在此基础上求出通项公式，故同学们不必在此处挖掘过深. (2)形如a n＋1＝pa n＋q(其中p，q为常数，且pq(p－1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下：第一步 假设递推公式可改写为a n＋1＋t＝p(a n＋t)；第二步 由待定系数法，解得t＝qp－1；第三步 写出数列{a n＋q p－1}的通项公式；第四步 写出数列{a n}的通项公式.【训练2】 已知各项均为正数的数列{b n}的首项为1，且前n项和S n满足S n－S n－1＝S n＋S n－1(n≥2).试求数列{b n}的通项公式.解 ∵S n－S n－1＝S n＋S n－1(n≥2)，∴(S n＋S n－1)(S n－S n－1)＝S n＋S n－1(n≥2).又S n >0，∴S n －S n －1＝1.又S 1＝1，∴数列{S n }是首项为1，公差为1 的等差数列，∴S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，故S n ＝n 2.当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1.当n ＝1时，b 1＝1符合上式.∴b n ＝2n －1.题型三 利用前n 项和S n 与a n 的关系求通项公式【例3】 (1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －4，n ∈N *，则a n 等于( )A.2n ＋1 B.2n C.2n －1D.2n －2(2)已知数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S n ＝n ＋23·a n ，则a n a n －1的最大值为( )A.－3B.－1C.3D.1解析 (1)因为S n ＝2a n －4，所以n ≥2时，S n －1＝2a n －1－4，两式相减可得S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －2a n －1，整理得a n ＝2a n －1，所以a n a n －1＝2.因为S 1＝a 1＝2a 1－4，即a 1＝4，所以数列{a n }是首项为4，公比为2的等比数列，则a n ＝4×2n －1＝2n ＋1，故选A.(2)由S n ＝n ＋23a n 得，当n ≥2时，S n －1＝n ＋13a n －1，两式作差可得：a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n a n －1＝n ＋1n －1＝1＋2n －1，由此可得，当n ＝2时，a n a n －1取得最大值，其最大值为3.答案 (1)A (2)C规律方法 已知S n ＝f (a n )或S n ＝f (n )的解题步骤：第一步 利用S n 满足条件p ，写出当n ≥2时，S n －1的表达式；第二步 利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，求出a n 或者转化为a n 的递推公式的形式；第三步 若求出n ≥2时的{a n }的通项公式，则根据a 1＝S 1求出a 1，并代入n ≥2时的{a n }的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.如果求出的是{a n }的递推公式，则问题化归为例2形式的问题.【训练3】 在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式a n .解 由a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1，得当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n2a n ，两式作差得na n ＝n ＋12a n ＋1－n 2a n ，得(n ＋1)a n ＋1＝3na n (n ≥2)，即数列{na n }从第二项起是公比为3的等比数列，且a 1＝1，a 2＝1，于是2a 2＝2，故当n ≥2时，na n ＝2×3n －2.于是a n ＝{1，n ＝1，2×3n －2n，n ≥2，n ∈N *.一、素养落地1.通过学习数列通项公式的求法，提升数学运算与逻辑推理素养.2.求数列通项的方法有：(1)公式法，(2)累加、累乘法，(3)构造法等，但总的思想是转化为特殊的数列(一般是等差或等比数列)求解.二、素养训练1.数列1，3，6，10，15，…的递推公式可能是( )A.a n ＝{1（n ＝1）a n ＋1＋n －1（n ∈N *，n ≥2）B.a n＝{1（n ＝1）a n －1＋n （n ∈N *，n ≥2）C.a n＝{1（n ＝1）a n －1＋n －1（n ∈N *，n ≥2）D.a n＝{1（n ＝1）a n －1＋n ＋1（n ∈N *，n ≥2）解析 由题意可得，a 1＝1，a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，……∴a n －a n －1＝n (n ≥2)，故数列的递推公式为a n ＝{1（n ＝1）a n －1＋n （n ∈N *，n ≥2）故选B.答案 B2.数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＋1＝a n ＋2n ，则a 9＝( )A.1 024B.1 023C.510D.511解析 由题意可得a n ＋1－a n ＝2n ，则a 9＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 9－a 8)＝1＋21＋22＋…＋28＝29－1＝511.故选D.答案 D3.已知数列{a n }的各项均为正数，且a 2n －a n －n 2－n ＝0，则a n＝________.解析 由a 2n －a n －n (n ＋1)＝0，得[a n －(n ＋1)](a n ＋n )＝0.又a n >0，所以a n＝n ＋1.答案 n ＋14.已知数列{a n }中，a 1＝1，对于任意的n ≥2，n ∈N *，都有a 1a 2a 3…a n ＝n 2，则a 10＝________.解析 由a 1a 2a 3…a n ＝n 2，得a 1a 2a 3…a n －1＝(n －1)2(n ≥2)，所以a n ＝n 2（n －1）2(n ≥2)，所以a 10＝10081.答案 100815.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式.解 由a n ＋1＝a n a n ＋2，得1a n ＋1＝2an ＋1，所以1an ＋1＋1＝2(1a n＋1).又a 1＝1，所以1a 1＋1＝2，所以数列{1a n＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以1a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，所以a n ＝12n －1.基础达标一、选择题1.已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n (n ∈N *)，则a 100的值是( )A.9 900 B.9 902 C.9 904D.11 000解析 a 100＝(a 100－a 99)＋(a 99－a 98)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2(99＋98＋…＋2＋1)＋2＝2×99×（99＋1）2＋2＝9 902.答案 B2.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋2a n，则这个数列的第n 项为( )A.2n －1B.2n ＋1C.12n －1D.12n ＋1解析 ∵a n ＋1＝a n 1＋2an，a 1＝1，∴1a n ＋1－1a n ＝2.∴{1a n}为等差数列，公差为2，首项1a1＝1.∴1a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，∴a n ＝12n －1.答案 C3.若数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋a n －1＝4(n ≥2)，则a 2 021的值为( )A.1 B.2 C.3D.4解析 ∵a 1＝3，a n ＋a n －1＝4(n ≥2)，∴a n ＋1＋a n ＝4，∴a n ＋1＝a n －1，∴a n ＝a n ＋2，即奇数项、偶数项构成的数列均为常数列，又∵a 1＝3，∴a 2 021＝3.答案 C4.已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的通项公式a n 等于( )A.2nB.n (n ＋1)C.n2n －1D.n （n ＋1）2n解析 ∵a n ＋1＝12a n ＋12n ，∴2n ＋1a n ＋1＝2n a n ＋2，即2n ＋1a n ＋1－2n a n ＝2.又21a 1＝2，∴数列{2n a n }是以2为首项，2为公差的等差数列，∴2n a n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，∴a n ＝n 2n －1.答案 C5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，S n ＋1＝4a n ＋2，则a 12＝( )A.20 480B.49 152C.60 152D.89 150解析 由题意得S 2＝4a 1＋2，所以a 1＋a 2＝4a 1＋2，解得a 2＝8，故a 2－2a 1＝4，又a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1－4a n ，于是a n ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n )，因此数列{a n ＋1－2a n }是以a 2－2a 1＝4为首项，2为公比的等比数列，即a n ＋1－2a n ＝4×2n －1＝2n ＋1，于是a n ＋12n ＋1－a n2n ＝1，因此数列{a n2n}是以1为首项，1为公差的等差数列，得a n2n ＝1＋(n －1)＝n ，即a n ＝n ·2n .所以a 12＝12×212＝49 152，故选B.答案 B 二、填空题6.在等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818则数列{a n }的通项公式为________.解析 当a 1＝3时，不合题意；当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意；当a 1＝10时，不合题意.因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18，所以公比q ＝3，故a n ＝2×3n －1.答案 a n ＝2×3n －17.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1na n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析 当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝nn －1·n －1n －2·…·32·21＝n ，当n ＝1时，a 1＝1也符合此式，∴a n ＝n .答案 n8.已知数列{a n }满足ln a 13·ln a 26·ln a 39·…·ln a n 3n ＝3n 2(n ∈N *)，则a 10＝________.解析 ∵ln a 13·ln a 26·ln a 39·…·ln a n 3n ＝3n2(n ∈N *)，∴ln a 13·ln a 26·ln a 39·…·ln a n －13（n －1）＝3（n －1）2(n ≥2)，∴ln a n ＝3n 2n －1(n ≥2)，∴a n ＝e 3n 2n －1(n ≥2)，∴a 10＝e 1003.答案 e1003三、解答题9.设f (x )＝log 2x －log x 4(0<x <1)，数列{a n }的通项a n 满足f (2a n )＝2n ，求数列{a n }的通项公式.解 ∵f (x )＝log 2x －log x 4(0<x <1)，f (2an )＝2n ，∴log 22an －log 2an 4＝2n ，由换底公式得log 22an －log 24log 22an ＝2n ，即a n －2a n ＝2n ，∴a 2n －2na n －2＝0，解得a n ＝n ±n 2＋2.又0<x <1，∴0<2an <1，∴a n <0，∴a n ＝n －n 2＋2，∴数列{a n }的通项公式是a n ＝n －n 2＋2.10.设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式.解 (1)当n ＝1时，T 1＝2S 1－1，因为T 1＝S 1＝a 1，所以a 1＝2a 1－1，所以a 1＝1.(2)当n ≥2时，T n －1＝2S n －1－(n －1)2，则S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2]＝2(S n －S n －1)－2n ＋1＝2a n －2n ＋1，因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝1也满足上式，所以S n ＝2a n －2n ＋1(n ≥1)，①当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2(n －1)＋1，②①－②，得a n ＝2a n －2a n －1－2，所以a n ＝2a n －1＋2(n ≥2)，所以a n ＋2＝2·(a n －1＋2)，因为a 1＋2＝3≠0，所以数列{a n ＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋2＝3×2n －1，所以a n ＝3×2n －1－2.能力提升11.已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝13，若a n (a n －1＋2a n ＋1)＝3a n －1·a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析 由题意知a n a n －1＋2a n a n ＋1＝3a n －1a n ＋1，∴1a n ＋1＋2a n －1＝3a n ，∴1a n ＋1－1a n ＝2(1a n －1a n －1)，即1a n ＋1－1a n1a n －1a n －1＝2，∴数列{1an ＋1－1a n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴1a n ＋1－1a n ＝2×2n －1＝2n .利用累加法，得1a 1＋(1a 2－1a 1)＋(1a 3－1a 2)＋…＋(1a n －1a n －1)＝1＋2＋22＋…＋2n －1，即1a n ＝2n －12－1＝2n －1，∴a n ＝12n －1.答案 12n －112.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝1，nS n ＋1－(n ＋1)S n ＝n （n ＋1）2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式.(2)是否存在正整数k ，使a k ，S 2k ，a 4k 成等比数列？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由.解 (1)法一 由nS n ＋1－(n ＋1)S n ＝n （n ＋1）2，得S n ＋1n ＋1－S nn ＝12，∴数列{S nn}是首项为S 11＝1，公差为12的等差数列，∴S nn ＝1＋12(n －1)＝12(n ＋1)，∴S n ＝n （n ＋1）2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n （n ＋1）2－（n －1）n2＝n .而a 1＝1适合上式，∴a n ＝n .法二 由nS n ＋1－(n ＋1)S n ＝n （n ＋1）2，得n (S n ＋1－S n )－S n ＝n （n ＋1）2，∴na n ＋1－S n ＝n （n ＋1）2.①当n ≥2时，(n －1)a n －S n －1＝n （n －1）2，②①－②，得na n ＋1－(n －1)a n －a n ＝n （n ＋1）2－n （n －1）2，∴na n ＋1－na n ＝n ，∴a n ＋1－a n ＝1，∴数列{a n }是从第2项起的等差数列，且首项为a 2＝2，公差为1，∴a n ＝2＋(n －2)×1＝n (n ≥2).而a 1＝1适合上式，∴a n ＝n .(2)由(1)，知a n ＝n ，S n ＝n （n ＋1）2.假设存在正整数k ，使a k ，S 2k ，a 4k 成等比数列，则S 22k ＝a k ·a 4k ，即[2k （2k ＋1）2]2＝k ·4k .∵k 为正整数，∴(2k ＋1)2＝4.得2k ＋1＝2或2k ＋1＝－2，解得k ＝12或k ＝－32，与k 为正整数矛盾.∴不存在正整数k ，使a k ，S 2k ，a 4k 成等比数列.创新猜想13.(多选题)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且对于任意n >1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，则( )A.a 9＝17 B.a 10＝18C.S 9＝81D.S 10＝91解析 ∵对于任意n >1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，∴S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2，∴a n ＋1－a n ＝2.∴数列{a n }在n ≥2时是等差数列，公差为2.又a 1＝1，a 2＝2，则a 9＝2＋7×2＝16，a 10＝2＋8×2＝18，S 9＝1＋8×2＋8×72×2＝73，S 10＝1＋9×2＋9×82×2＝91.故选BD.答案 BD14.(多空题)设S n是数列{a n}的前n项和，且满足a2n＋1＝2a n S n，且a n>0，则S n＝________，a100＝________.解析 由S n是数列{a n}的前n项和，且满足a2n＋1＝2a n S n，则当n＝1时，a21＋1＝2a1S1，即S21＝1；当n≥2时，(S n－S n－1)2＋1＝2(S n－S n－1)S n，整理得S 2n－S2n－1＝1.所以数列{S2n}是以1为首项，1为公差的等差数列，则S2n＝n.由于a n>0，所以S n＝n，故a100＝S100－S99＝100－99＝10－311.答案 n 10－311。
等差数列习题课
2．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1·a2＝2，S5＝15，则 a4＝( )
A．3
B．4 或 13
C．4 或123
D．3 或123
a1·a2＝2
a1（a1＋d）＝2
【解析】选 C.因为等差数列{an}的前 n 项和为 Sn， S5＝15
，即5（a1＋ 2 a5）＝15 ，
解得 a1＝1 或 a1＝－4，当 a1＝1 时，d＝1，解得 a4＝4；当 a1＝－4 时，d＝72 ，此时
6．记 Sn 为等差数列{an} 的前 n 项和．已知 S4＝0，a5＝5，则 an＝______；Sn＝______． 【解析】设等差数列{an} 的公差为 d，
因为 S4＝0，a5＝5，
a1＋4d＝5， 所以根据等差数列前 n 项和公式和通项公式得：
4a1＋6d＝0，
解方程组得：a1＝－3，d＝2， 所以 an＝－3＋n－1 ×2＝2n－5，Sn＝n2－4n. 答案：2n－5 n2－4n
【解析】由题意知，良马每日行的距离成等差数列，
记为{an} ，其中 a1＝193，d＝13，an＝193＋13(n－1)＝13n＋180，
驽马每日行的距离成等差数列，
记为{bn} ，其中 b1＝97，d＝－0.5，bn＝97－0.5(n－1)＝97.5－0.5n， 则数列{an} 与数列{bn} 的前 n 项和为 3 000×2＝6 000. 又因为数列{an} 的前 n 项和为12 n×(193＋13n＋180)＝12 n×(373＋13n)， 数列{bn} 的前 n 项和为12 n×(97＋97.5－0.5n)＝12 n×(194.5－12 n)，
.
当 n＝19 时，S19＝190.
当 n＝20 时，S20＝210>200.
第2课时等差数列习题课
n（n＋1）
(2)由(1)知an＝n，Sn＝ 2
，
所以bn＝21Sn
＝1 n（n＋1）
＝1n
－1 n＋1
，
所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
＝(1－12
)＋(12
－13
)＋…＋(n1
－1 n＋1
)
＝1－n＋1 1
＝n n＋1
.
【类题通法】裂项相消法求和
当数列的通项是分式形式，分母是两个式子的乘积，且两个式子的差为常数时，
－2n2＋40n
可得Tn＝
2
＝－n2＋20n＝－(n－10)2＋100，
所以当n＝10时，Tn取得最大值，且T10＝100.
(3)令cn＝na＋2n2 ，Sn为cn的前n项和，
由(1)知，cn＝n（n1＋2） ＝12 1n－n＋1 2 ，
所以Sn＝21
11－13
＋12
12－14
＋12
13－15
＋…＋12
(2)当n≤7时， Tn＝－(a1＋a2＋a3＋…＋an)＝－Sn＝13n－n2， 当n≥8时，an＞0，Tn＝－(a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7)＋(a8＋…＋an)＝Sn－2S7＝n2 －13n＋84.
13n－n2，n≤7， 综上，Tn＝n2－13n＋84，n≥8.
探究点三 等差数列
an＋1＝－2（n＋1）＋27≤0， n≤1312， 得n≥1212，
又因为n∈N*，所以当n＝13时，Sn有最大值169.
方法三：因为S9＝S17，所以a10＋a11＋…＋a17＝0. 由等差数列的性质得a13＋a14＝0. 因为a1>0，所以d<0.所以a13>0，a14<0. 所以当n＝13时，Sn有最大值169. 方法四：设Sn＝An2＋Bn. 因为S9＝S17，
高考数学必修五 第二章 习题课(一)求数列的通项公式
习题课(一) 求数列的通项公式学习目标 1.了解通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式的常见方法.2.掌握利用递推公式求通项公式的常见方法.3.掌握利用前n 项和S n 与a n 的关系求通项公式的方法.知识点一 通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式思考 你能看出数列(1)：－1,1，－1,1…与数列(2): 0,2,0,2…的联系吗？由此写出数列(2)的一个通项公式. 答案 数列(1)每项加1得到数列(2).数列(1)的通项公式是a n ＝(－1)n ，故数列(2)的通项公式是a n ＝(－1)n ＋1.梳理 通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式，关键是依托基本数列如等差数列、等比数列，寻找a n 与n ，a n 与a n ＋1的联系.知识点二 利用递推公式求通项公式思考 还记得我们是如何用递推公式a n ＋1－a n ＝d 求出等差数列的通项公式的吗？ 答案 累加法.梳理 已知递推公式求通项公式的主要思路，就是要通过对递推公式赋值、变形，构造出我们熟悉的等差数列或等比数列，进而求出通项公式.赋值、变形的常见方法有累加、累乘、待定系数法、换元、迭代等. 知识点三 利用前n 项和S n 与a n 的关系求通项公式 思考 如何用数列{a n }的前n 项和S n 表示a n ?答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.梳理 当已知S n 或已知S n 与a n 的关系式，可以借助上式求出通项公式，或者得到递推公式，再由递推公式求得通项公式.在应用上式时，不要忘记对n 讨论.1.数列可由其前四项完全确定.(×)2.可以在公式许可的范围内根据需要对递推公式中的n 任意赋值.(√)3.{S n }也是一个数列.(√)类型一 通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式 例1 由数列的前n 项，写出通项公式： (1)3,5,3,5,3,5，… (2)12，23，34，45，56，… (3)2，52，134，338，8116，…(4)12，16，112，120，130，… 考点 数列的通项公式题点 根据数列的前几项写出通项公式解 (1)这个数列前6项构成一个摆动数列，奇数项为3，偶数项为5.所以它的一个通项公式为a n ＝4＋(－1)n .(2)数列中的项以分数形式出现，分子为项数，分母比分子大1，所以它的一个通项公式为a n ＝nn ＋1.(3)数列可化为1＋1,2＋12，3＋14，4＋18，5＋116，…，所以它的一个通项公式为a n ＝n ＋12n －1.(4)数列可化为11×2，12×3，13×4，14×5，15×6，…，所以它的一个通项公式为a n ＝1n (n ＋1).反思与感悟 这类数列通常是由基本数列如等差数列、等比数列通过加减乘除运算得到，故解决这类问题可以根据所给数列的特点(递增及增长速度、递减及递减速度、是否摆动数列)联想基本数列，再考察它与基本数列的关系.跟踪训练1 由数列的前几项，写出通项公式： (1)1，－7,13，－19,25，… (2)14，37，12，713，916，… (3)1，－85，157，－249，…考点 数列的通项公式题点 根据数列的前几项写出通项公式解 (1)数列每一项的绝对值构成一个以1为首项，6为公差的等差数列，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(6n －5).(2)数列化为14，37，510，713，916，…，分子，分母分别构成等差数列，所以它的一个通项公式为a n ＝2n －13n ＋1.(3)数列化为22－13，－32－15，42－17，－52－19，…，所以数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(n ＋1)2－12n ＋1.类型二 利用递推公式求通项公式 命题角度1 累加、累乘例2 (1)数列{a n }满足a 1＝1，对任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，求通项公式； (2)已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝nn ＋1a n ，求a n .考点 递推数列通项公式求法 题点 一阶线性递推数列解 (1)∵a n ＋1＝a n ＋n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1，即a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，等式两边同时相加得a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n ， 即a n ＝a 1＋2＋3＋4＋…＋n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2.(2)由条件知a n ＋1a n ＝nn ＋1，分别令n ＝1,2,3，…，n －1，代入上式得(n －1)个等式累乘之， 即a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3…a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n ， ∴a n a 1＝1n ，又∵a 1＝23，∴a n ＝23n. 反思与感悟 型如a n ＋1＝a n ＋f (n )的递推公式求通项可以使用累加法，步骤如下： 第一步 将递推公式写成a n ＋1－a n ＝f (n )；第二步 依次写出a n －a n －1，…，a 2－a 1，并将它们累加起来； 第三步 得到a n －a 1的值，解出a n ；第四步 检验a 1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.累乘法类似.跟踪训练2 (1)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2n a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( ) A.a n ＝2n －1B.a n ＝2nC.(1)22n n n a -=D.222n n a =考点 递推数列通项公式求法 题点 一阶线性递推数列 答案 C解析 由a n ＋1＝2na n ，得a n ＋1a n ＝2n ，即a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3…a n a n －1＝21×22×23×…×2n －1，即a n a 1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝(1)22n n -，故a n ＝(1)22n n -a 1＝(1)22n n -.故选C.(2)在数列{a n }中，a 1＝1，a n －a n －1＝n －1 (n ＝2,3,4…)，求{a n }的通项公式. 考点 递推数列通项公式求法 题点 a n ＋1＝pa n ＋f (n )型 解 ∵当n ＝1时，a 1＝1，当n ≥2时，⎭⎪⎬⎪⎫a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝2，a 4－a 3＝3，…，a n－a n －1＝n －1，这n －1个等式累加得，a n －a 1＝1＋2＋…＋(n －1)＝n (n －1)2， 故a n ＝n (n －1)2＋a 1＝n 2－n ＋22且a 1＝1也满足该式，∴a n ＝n 2－n ＋22(n ∈N *).命题角度2 构造等差(比)数列例3 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，求a n . 考点 递推数列通项公式求法 题点 一阶线性递推数列解 递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1－t ＝2(a n －t )，即a n ＋1＝2a n －t ，则t ＝－3. 故递推公式为a n ＋1＋3＝2(a n ＋3).令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2.所以{b n }是以4为首项，2为公比的等比数列. 所以b n ＝4×2n －1＝2n ＋1，即a n ＝2n ＋1－3.反思与感悟 型如a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 为常数，且pq (p －1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下：第一步 假设将递推公式改写为a n ＋1＋t ＝p (a n ＋t )； 第二步 由待定系数法，解得t ＝qp －1；第三步 写出数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n＋q p －1的通项公式； 第四步 写出数列{a n }通项公式.跟踪训练3 已知数列{a n }满足a n ＋1＝2a n ＋3×5n ，a 1＝6，求数列{a n }的通项公式. 考点 递推数列通项公式求法 题点 a n ＋1＝pa n ＋f (n )型解 设a n ＋1＋x ×5n ＋1＝2(a n ＋x ×5n )，①将a n ＋1＝2a n ＋3×5n 代入①式，得2a n ＋3×5n ＋x ×5n ＋1＝2a n ＋2x ×5n ，等式两边消去2a n ，得3×5n ＋x ×5n＋1＝2x ×5n ，两边除以5n ，得3＋5x ＝2x ，则x ＝－1，代入①式得a n ＋1－5n ＋1＝2(a n －5n ).②由a 1－51＝6－5＝1≠0及②式得a n －5n ≠0，则a n ＋1－5n ＋1a n －5n＝2，则数列{a n －5n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则a n －5n ＝2n －1，故a n ＝2n －1＋5n . 类型三 利用前n 项和S n 与a n 的关系求通项公式例4 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －4，n ∈N *，则a n 等于( ) A.2n ＋1 B.2n C.2n －1 D.2n －2考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项 答案 A解析 因为S n ＝2a n －4，所以S n －1＝2a n －1－4，两式相减可得S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －2a n －1，整理得a n ＝2a n －1，即a na n －1＝2，因为S 1＝a 1＝2a 1－4，即a 1＝4，所以数列{a n }是首项为4，公比为2的等比数列，则a n ＝4×2n －1＝2n ＋1，故选A.反思与感悟 已知S n ＝f (a n )或S n ＝f (n )解题步骤：第一步 利用S n 满足条件p ，写出当n ≥2时，S n －1的表达式；第二步 利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，求出a n 或者转化为a n 的递推公式的形式；第三步 若求出n ≥2时的{a n }的通项公式，则根据a 1＝S 1求出a 1，并代入{a n }的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.如果求出的是{a n }的递推公式，则问题化归为类型二. 跟踪训练4 在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1(n ∈N *)，求数列{a n }的通项a n .考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项解 由a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1，得当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n2a n ，两式作差得na n ＝n ＋12a n ＋1－n2a n ，得(n ＋1)a n ＋1＝3na n (n ≥2)，即数列{na n }从第二项起是公比为3的等比数列，且a 1＝1，a 2＝1，于是2a 2＝2，故当n ≥2时，na n ＝2·3n－2.于是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n ·3n －2，n ≥2.1.在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，则通项公式a n ＝________.答案 4－1n解析 原递推公式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a 2＝a 1＋11－12，a 3＝a 2＋12－13，a 4＝a 3＋13－14，…，a n －1＝a n －2＋1n －2－1n －1，a n ＝a n －1＋1n －1－1n，逐项相加得a n ＝a 1＋1－1n ，故a n ＝4－1n.2.设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________. 考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项 答案 1 121解析 a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，解得a 1＝1，a 2＝3，再由a n ＋1＝2S n ＋1，即a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，得a n ＋1－a n ＝2a n ，即a n ＋1＝3a n (n ≥2)，又a 2＝3a 1，所以a n ＋1＝3a n (n ≥1)，S 5＝1－351－3＝121. 3.如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝________. 考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项 答案 2n －1解析 当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)， ∴a n ＝2a n －1，∴{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， ∴a n ＝2n －1，n ∈N *.4.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0.证明{a n }是等比数列，并求其通项公式. 考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项解 由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1， 得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n . 由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0， 所以a n ＋1a n ＝λλ－1.所以{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，所以a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.1.不论哪种类型求通项公式，都是以等差数列、等比数列为基础.2.利用数列前若干项归纳通项公式，对无穷数列来说只能算是一种猜想，是否对所有项都适用还需论证.3.待定系数法求通项，其本质是猜想所给递推公式可以变形为某种等差数列或等比数列，只是其系数还不知道，一旦求出系数，即意味着猜想成立，从而可以借助等差数列或等比数列求得通项.4.使用递推公式或前n 项和求通项时，要注意n 的取值范围.一、选择题1.已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n (n ∈N *)，则a 100的值是( ) A.9 900 B.9 902 C.9 904D.11 000考点 递推数列通项公式求法 题点 a n ＋1＝pa n ＋f (n )型 答案 B解析 a 100＝(a 100－a 99)＋(a 99－a 98)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2(99＋98＋…＋2＋1)＋2 ＝2×99×(99＋1)2＋2＝9 902.2.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋2a n ，则这个数列的第n 项为( )A.2n －1B.2n ＋1C.12n －1D.12n ＋1考点 递推数列通项公式求法 题点 一阶线性递推数列 答案 C解析 ∵a n ＋1＝a n 1＋2a n ，∴1a n ＋1＝1a n＋2.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，公差为2，首项1a 1＝1.高中数学 高考数学∴1a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1， ∴a n ＝12n －1.3.在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A.2＋ln n B.2＋(n －1)ln n C.2＋n ln nD.1＋n ＋ln n考点 递推数列通项公式求法 题点 a n ＋1＝pa n ＋f (n )型 答案 A解析 由a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n 得 a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n ， ∴(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝ln 21＋ln 32＋…＋ln nn －1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×32×…×n n －1＝ln n ， 即a n －a 1＝ln n ，a n ＝ln n ＋2.4.已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的通项公式a n 等于( )A.2nB.n (n ＋1)C.n2n －1 D.n (n ＋1)2n考点 递推数列通项公式求法 题点 a n ＋1＝pa n ＋f (n )型 答案 C解析 ∵a n ＋1＝12a n ＋12n ，∴2n ＋1a n ＋1＝2n a n ＋2，即2n ＋1a n ＋1－2n a n ＝2. 又21a 1＝2，∴数列{2n a n }是以2为首项，2为公差的等差数列， ∴2n a n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，高中数学 高考数学∴a n ＝n2n －1.5.数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n 等于( ) A.2n －1 B.2n －1－1C.2n ＋1D.4n －1考点 递推数列通项公式求法 题点 一阶线性递推数列 答案 A解析 由题意，得a n －a n －1＝2n －1，∴a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋21＋22＋…＋2n －1＝1－2n1－2＝2n －1，即a n ＝2n －1.6.一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍)：则第8行中的第5个数是( ) A.68 B.132 C.133 D.260 考点 数列的通项公式题点 根据数列的前几项写出通项公式 答案 B解析 前7行中共有1＋2＋22＋…＋26＝27－1＝127个数，则第8行中的第5个数是127＋5＝132. 二、填空题7.若数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且对于任意大于1的整数n ，点(S n ，S n －1)在直线x －y －2＝0上，则数列{a n }的通项公式为________________. 考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项 答案 a n ＝4n －2 解析 由题意得S n －S n －1＝2，n ∈N *，n ≥2，∴{S n }是首项为S 1＝a 1＝2，公差为2的等差数列.∴S n ＝2n ，∴S n ＝2n 2， ∴a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，n ∈N *，n ≥2，a 1＝2也适合上式.∴a n ＝4n －2，n ∈N *.8.数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1－2a n ＝0，数列{b n }的通项满足关系式a n b n ＝(－1)n (n ∈N *)，则b n ＝________. 考点 递推数列通项公式求法题点 一阶线性递推数列答案 (－1)n3·2n －1解析 易知{a n }是首项为3，公比为2的等比数列，∴a n ＝3×2n －1，∴b n ＝(－1)n a n ＝(－1)n3×2n －1. 9.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1n a n，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 考点 递推数列通项公式求法题点 累乘法求通项答案 n解析 a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1 ＝n n －1·n －1n －2·…·32·21＝n . 10.已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋2，且a 1＝1，则a n ＝________.考点 递推数列通项公式求法题点 一阶线性递推数列答案 2×3n －1－1 解析 设a n ＋1＋A ＝3(a n ＋A )，化简得a n ＋1＝3a n ＋2A .又a n ＋1＝3a n ＋2，∴2A ＝2，即A ＝1.∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝3. ∴数列{a n ＋1}是等比数列，首项为a 1＋1＝2，公比为3.则a n ＋1＝2×3n －1，即a n ＝2×3n －1－1.11.若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________. 考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项答案 (－2)n －1 解析 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1， 故a n a n －1＝－2，故a n ＝(－2)n －1. 三、解答题12.已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项解 (1)由题设可知a 1·a 4＝a 2·a 3＝8，又a 1＋a 4＝9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝8，a 4＝1(舍去). 由a 4＝a 1q 3得公比q ＝2，故a n ＝a 1q n －1＝2n －1.(2)S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝1－2n1－2＝2n －1， 又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1S 1－1S 2＋⎝⎛⎭⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n ＋1－1. 13.已知S n ＝4－a n －12n －2，求a n 与S n . 考点 a n 与S n 关系题点 由S n 与a n 递推式求通项解 ∵S n ＝4－a n －12n －2， ∴S n －1＝4－a n －1－12n －3，当n ≥2时，S n －S n －1＝a n ＝a n －1－a n ＋12n －3－12n －2. ∴a n ＝12a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1. ∴a n ⎝⎛⎭⎫12n －a n －1⎝⎛⎭⎫12n －1＝2， ∴2n a n －2n －1a n －1＝2，∴{2n a n }是等差数列，d ＝2，首项为2a 1.∵a 1＝S 1＝4－a 1－12－1＝2－a 1， ∴a 1＝1，∴2n a n ＝2＋2(n －1)＝2n .∴a n ＝n ·⎝⎛⎭⎫12n －1， ∴S n ＝4－a n －12n －2＝4－n ·12n －1－12n －2＝4－n ＋22n －1. 四、探究与拓展14.若数列{a n }中，a 1＝3且a n ＋1＝a 2n (n 是正整数)，则它的通项公式a n 为________________.考点 递推数列通项公式求法题点 其他递推数列问题答案 123n n a －＝解析 由题意知a n >0，将a n ＋1＝a 2n 两边取对数得lg a n ＋1＝2lg a n ，即lg a n ＋1lg a n＝2，所以数列{lg a n }是以lg a 1＝lg 3为首项，2为公比的等比数列，lg a n ＝(lg a 1)·2n －1＝12lg 3n -.即a n ＝123n -.15.已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝4，a n＋2＝4a n＋1－3a n(n∈N*).(1)求a3，a4的值；(2)证明：数列{a n＋1－a n}是等比数列；(3)求数列{a n}的通项公式.考点递推数列通项公式求法题点一阶线性递推数列(1)解a3＝4a2－3a1＝13，a4＝4a3－3a2＝40.(2)证明∵a n＋2＝4a n＋1－3a n，∴a n＋2－a n＋1＝3(a n＋1－a n).又a1＝1，a2＝4，∴a n＋2－a n＋1a n＋1－a n＝3，则{a n＋1－a n}是以a2－a1＝3为首项，3为公比的等比数列.(3)解由(2)得a n＋1－a n＝3n，则当n≥2时，a n－a n－1＝3n－1，故a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝3n－1＋3n－2＋…＋3＋1＝1－3n1－3＝3n－12.又a1＝1适合上式，故a n＝3n－12，n∈N*.。
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给害苦了！”说着转身吩咐女儿：“小青，快去把你的被褥和刺绣活计什儿搬到这边屋里来，我去看看那几个落难的娃娃们！”小青答应 一声，去东边的屋子搬东西去了。乔氏陪同耿老爹一起出门来接耿正兄妹三人。父子们进门后，将挑担和行李卷放在院子里，方才放心地 长长出了一口气。小青把自己的被褥搬到母亲屋里之后，又将刺绣活计什儿抱了出来，转头对耿正兄妹三人说：“我搬完了，你们把行李 搬进去吧！”于是，父子四人一起动手，把所有的行李都挪进了东边的屋子里放下来。此时，各人只感觉浑身上下已经没有一点儿力气了， 耿英和耿直更是软软地坐在那张挺宽敞的大床边上，再也不想动弹了。看着耿老爹父子四人疲惫不堪的样子，乔氏说：“还没有吃饭吧？ 我这就给你们做点儿便饭去！”耿老爹忙说：“不劳您费心了，我们带着干粮呢，只要有点儿热水喝也就行了。”乔氏不依，说：“那怎 么行呢？娃娃们已经疲累得这个样子了。”耿老爹说：“那就麻烦您熬点儿粥吧，我挑的这箩筐里还有些米呢！”乔氏摆摆手说：“别， 不用动你们带的那点儿米了。我们家的日子虽然没有多么富裕，但几顿便饭还有得吃。喝点儿粥也好，家里正好有新鲜的百合和莲子，喝 点儿百合莲子粥清心安神呢。我再炒一个油菜蘑菇，你把干粮拿出来，将就着吃了好早点儿歇了。”转头又招呼女儿：“小青，水罐里还 有不少温热的开水呢，你快去给客人每人倒上一碗端过来吧！”见乔氏要去熬粥，耿英站起身来要去帮忙。乔氏说：“丫头啊，快去洗把 脸歇着吧，看你累得够呛。”在如此困境中能遇到这样的好心人着实不容易，耿家父子们连声道谢不迭。而乔氏母女俩并不多说什么，只 管忙活去了。耿老爹刚从挑担中取出脸盆儿，小青和乔氏就各端着两碗热水过来了。耿家父子们赶快接过碗来再次道谢。乔氏说：“不要 说那么多客气话了，你们先喝碗水歇着吧！哦，你们带着脸盆啊？”小青说：“我去给你们打水！”父子们都简单洗把脸，又各自喝了一 碗温热的开水，感觉体力恢复了一些。半个时辰后，乔氏母女终于熬好了一大锅百合莲子粥，炒了一大盘子油菜蘑菇。小青过来对大家说： “我姆妈说，你们这个屋里东西多，乱呢。都到我们那边屋里吃饭吧！”“多谢多谢！”耿老爹说着，端起装有10个大饼的大盘子，带着 耿正兄妹三人，跟随小青来到西边的屋子里。耿英顺便把喝了水的四个碗也端了过来。乔氏接过盘子，说：“就将就点儿吃你们自己带的 干粮吧。”又说：“我们娘儿俩也还没有吃晚饭呢，正好大家一块儿吃。”见耿英把四个碗也端过来了，她轻轻笑笑接过来放在一旁，就 招呼大家围坐在一张不大不小的圆桌边。在桌子的中间，已经放了一大盘子还冒着热气儿的香喷喷的油菜蘑
已知数列 a
n 且满足 S 2 a ( 1) ,n 1 n n . （1）写出数列 an 的前3项 a1 , a2 , a3 ；
的前 n 项和为 S ， n n
（2）求数列 an 的通项公式.
已知数列{an }中，Sn是其前n项和，并且a1 1, Sn1 4an 2(n 1),
已知数列{an }的首项为a1 1, 前n项和为Sn , 并且对于任意的
3Sn 1 n 2,3Sn 4、an、 2 总成等差数列。 2 （）求 1 an； （2）求数列{Sn }的前n项和Tn
a1 2a2 nan 4 已知{bn }是首项为1，公差为 的等差数列，且bn 3 1 2 n (1)求证{an }是等差数列； 如此构成数列{cn }, 求{cn }的通项公式； 1 1 1
3、一个正整数表如下（表中下一行的数的个数是上一行的数的个 数的2倍）
第1 行 第2 行 第3 行。。。ຫໍສະໝຸດ 1 2 3 4 5 6 7
。。。
则第8行中的第5个数是_______
已知 an 1 2 an 2( n 1), a1 2，求 an
1 1 已知a1 , an 1 an 2 (n N * ), 2 n 3n 2 则an __________
1、有两个等差数列{an },{bn }, 它们的前n项和的比是(7n 2) : (n 3), 则此二数列中，第七项的比a7 : b7 ______
2、等比数列{an }的公比q 1, 其前n项和为Sn , Sn 若集合M {x | x lim }, 则M的子集个数为_____ n S 2n
（2）若c1 a1 , c2 a2 a3 , c3 a4 a5 a6 , c4 a7 a8 a9 a10, ,
7 （3）设Tn , 求证Tn 2 3 2 3 2 4 c1 3 c2 cn
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