石家庄市高二数学2012-2013第一学期期末试题及答案文理
河北省石家庄市高二上学期期末考试理科数学试卷有答案
A. (6, —21)B. (2,-7)C. (-2,-7)D. (-6,21)8.下列说法中正确的是A.若pwq 为真命题，贝U p,q 均为真命题.河北省石家庄市高二上学期期末考试数学(理)试卷一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的， 请将答案涂在答题卡上. A. 11x ,f(x)= 2 , log 2 ^1, x>1. B. 1 C. -3 D. 4 4 2 .对于数集 A 、B ,定义：A + B = {x x=a+b,a^ A,b 在 B} , A+B = j A =(1,3},则集合(A + A)士 A 中所有元素之和为 a ........ x = 一,a^ A,bw B\ ，若集合 bA. 16 14B. 16 C 3 1 D —243 .设a =3 ,b = ”g 兀3< =log 0.3e , 则a,b, c 的大小关系是 A. ::c B. c :: b a C. b a c D. c ：： a b 4.已知抛物线 y=2px 2(p>0)的准线与圆x 2 + y 2—4y-5 = 0相切，则 A. 10 c1 B. 6 C. 8D. 1 245.已知程序框图如右图所示，则输出的 A. 5 B. 7 C. 9 D. 116 .在MBC 中，a,b,c 分别为角 A 、 B 、 C 的对边，且(b+c): (c+a): (a+b) =4 : 5:6 ,则最大内角为 A. 150， B. 120七 C. 135" D. 90" —> —I7 .在AABC 中，点P 在BC 上，且BP = 2PC , Q 是AC 的中点，P 为坐标原点建立平面直角坐标系，若PA = (4,3), PQ = (1,5)，则BC =p 的值为B.命题Ex。
在R ,2~ <0 ”的否定是R ,2x》0C. a >5”是勺x^[1,2], x2—a壬0恒成立的充要条件.D.在^ABC中，a >b”是SinA^sinB”的必要不充分条件.9.计划在4个不同的体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有A. 60 种B. 42 种C. 36 种D. 24 种10 .关于函数f (x) =2(sin x-cosx)cos x的四个结论：①最大值为\,r2 ；②最小正周期为兀；③单调递增区间为|k兀一兰，k兀十§兀',k w Z ；④图象的对称中- 8 8k 二心为(一兀 +一，—1),k w Z .2 8其中正确的有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11 .已知球的直径PQ=4 , A、B、C是该球球面上的三点，AABC是正三角形，ZAPQ =£BPQ =2CPQ =30，则棱锥P — ABC的体积为A.日V3 B 打x/3 C.分D^ —- \[312 .在数列<a n｝中，若满足a〔= 2, a n = (nb2,n = N )，则820123201392014 =1 - a n」A. -1B. 1C. 1D. 22试卷二二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡上.13.若(2x+0)6=a0 ^qx+a N x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,则(a0 + a2 +a4 +a6)2—(a1 +a3 +a5)2的值为二_____ .14.某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，则这个几何体的体积为 * * .2 215.设双曲线C : 4 一― =1(a》b a 0)的右焦点为F ,左右顶点分a b别为A1, A2，过F且与双曲线C的一条渐近线平行的直线l与另-条渐近线相交于点P，若P恰好在以A1A2为直径的圆上，则双曲线的离心率为 * *16.给出下列三个命题:①函数y = 1in 1 -cosx与|n tan 是同一函数.2 1 cosx 2②已知随机变量X服从正态分布N(1妒)若P(x《2X 0.7贝2P(x <0) =0.28 .6一心……t ir「t 2 —③如图，在AABC中，AN =—NC , P是BN上的一点，若AP=mAB +—AC ,3 11 (3)则实数m的值为一.11其中真命题是* * .(写出所有真命题的序号) 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.17.(本小题满分10分), …_ 一 1 ............... ......A ,集合B = k|x2— a < °}已知：全集U = R,函数f (x) =^^+lg(3-x)的定义域为集合x 2(i)求eu A；(n)若A U B=A，求实数a的范围.18.(本小题满分12分)在AABC中，角A、B、C对应的边分别是a,b,c .已知cos2A —3cos( B十C) =1.(I)求角A的大小；(n)若A AB©面积S = 5j3 , b = 5,求sinB sinC 的值.19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥S —ABCD中，底面ABCD是直SA1底面A B C D AB垂直于AD和BC , SA=AB=BC=2 ,AD=1, M 是棱SB 的中点.(I)求证：AM //面SCD;(n)求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值.20.(本小题满分12分)设数列坛｝的前n项和为S n,且2a n=S n+2n+1 (n N*).(i)求a〔, a2, a3;(n)求证：数列｛a n+2｝是等比数列；(m)求数列｛n aj的前n项和T n .21.(本小题满分12分)近年来石家庄空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病，为了解石家庄市心肺疾病是否与性别有关，在河北省第二人民医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到如下的列联表:3已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为3.5（l ） 请将上面的列联表补充完整；（n ）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（m ） 已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其他方面的排查，记选出患胃病的女性人数为 ：，求£的分布列及数学期望；大气污染会引起各种 疾病，试浅谈日常生活中如何减少大气污染.下面的临界值表供参考：（参考公式 K 2 =（a+b ）（n （3）；：?c ）（b+d ），其中 n=a + b+c+d ）22. （本小题满分12分）22已知椭圆C :与+#=1 （a 》b >0）的离心率为线x - y + J2 = 0相切.2 -—,以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直2石家庄市2013年第一学期高二年级期末考试数学（理）试卷参考答案.选择题：DABCCB DBACBA 、填空题：13.1;14.（8 +；）寸3 ；15 垣.• -2< x <3 ........................... 2 分A=(-2 , 3) •■- QA = (-2L3,+*)......................... 4 分(2)当a 《0时，B=e 满足AuB=A ................................................ 分当 a>0时，8=(-^,捐).• A u B = A B W A,-<'a > -2』一9Va <3 0 ： a _ 4综上所述：实数a 的范围是a <4............. 10分2118 .解：(I )由 cos2A — 3cos(B + C) = 1.得 2cos A + 3cos A — 2 =0 ,解得 cosA = —,所以 2冗A = — ............................ 6 分31 . 3 （口）由 S= — bcsinA = — bc = 5、」3 ,碍 bc = 20,所以 c = 4 ............ 12 分24由余弦定理得a=J21 .又由正弦定理，sin B sin C =尊sin 2A =° .a 221 4 719.解：（I ）以点A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，贝UA(0,0,0), B(0,2,0) , C(2,2,0) , D(1,0,0) , S(0,0,2) , M (0,1,1) .—I I则 AM = 0,1,1,SD= 1,0,-2 ,CD =：—1,-2,0 .16.②③三.17.解:，x+2 A0T设平面SCD勺法向量是n=(x, y, z),则SD n =0, 、CD n = 'x-2z = 0, x — 2y令 z = 1，贝U X = 2, y = _1 ,，AM n = 0，二 AM _L n .二 AM//平面 SCD .......................................... (5 分)T(H)易知平面 SAB 的法向量为n 〔= (1,0,0 ).设平面SCg 平面SAB 所成的二面角为 中，20.解：(I)由题意，当n =1时，得2a 1 =a 〔 +3，解得a 1 =3 .当 n = 2时，得 2a 2 = (a +a 2) +5 ,解得 a 2 = 8 .当 n =3时，得 2a 3 = (a +a 2 +a 3) +7 ,解得 a 3 =18 .所以a 1=3, a 2=8 , a 3=18为所求.…3分(口 )因为 2a n=S n+2n+1,所以有 2a n* = S n*+2n +3成立.两式相减得：2a n 书—2a n = a n *+2 .所以 a ”* =2a n +2(n 在 N *)，即 a n+ +2 = 2(为 +2).……5 分所以数列 0+2｝是以a 〔+2=5为首项，公比为2的等比数列. ............. 7分(m)由(n )得：为 +2 =5><2n 」，即 a ” =5^2n 」一2 (n 在 N*). nd则 na n =5n 2—2n (n = N ). ……8 分设数列(5n 2n T 的前n 项和为P n ,贝U P n =5乂1尺20十5X2X21十5尺3乂22+... +5X(n —1)，2n ^ 十5^n ，2n -*,所以 2P n =5 1 215 2 225 3 23 ... 5(n —1) 2n4 5n 2n,所以-P n =5(1 2122 ... 2n_l) -5n 2n , n --即 P n=(5n —5)2 +5(n = N ). ••-11 分于是 n =(2,—1,1).即 cos = —63二平面SC»平面SAB 所成二面角的余弦值为12分)则 cos :(1,0,0 )^2,-1,1)、63所以数列｛n an ｝的前n 项和T n =(5n _5)，2n +5 —2乂仰*1)2整理得，T n =(5n —5) 2n—n 2—n 十5 (n ^ N*).••…12 分21 .解：(1)......................................................... 2(2) K 2=8.333 2 7.879，有99-5%的把握认为患心肺疾病与性别有关；. . . 5分(3) 匚的可能取值为：0,1,2,3... OA+OB =tOP , (x 〔+x 2,y 〔+y ?) =t(x,y), y 〔 y 2 1 -4 kV =[k(x 1 x 2)-4k]厂t tt(1 2k )(8k 2)2(—4k)2cP(C 3二0) TM;P( =1)二琴24 C 130C 2C 1P( =2)=曾=—；P( =3)=宾40 'Cf o1 120,l - 7 』21 - 7 八 1 .E=0—1 ——2 ——3 -24 40 40 120 10低碳生活，节能减排，控制污染源，控制排放(回答基本正确就给分)厂 2 2,222.解：(I)由题意知e = E=Y2 ,所以占=% =乏成-a 2a a11分 12分2即a 2=2b 2.所以a 2=2 , b 2=1 .故椭圆C 的方程为 —2 y 2(□)由题意知直线 AB 的斜率存在.设 AB : y=k(x —2) , A(x 1,y 1),BQ Y ),P(x, y)，y =k(x-2),由 <x 22 得(1+2k 2)x 2—8k 2x+8k 2—2=0.2 y =1.1 A=64k 4-4(2k 2+1)(8k 2-2)》0, k 2<1.2x 〔 x 2-8^ ,切 x 21 2k 21 28k 2-21 2 k 2x 1 x 28k 22~t(1 2k )t2(1 + 2k2). ..•点P 在椭圆上，... 2(8)2 2 +2 一~ =2, 16k2t2(1 2k2)2t2(1 2k2)22、. 52 2」 20—X2 <, (1 + k )[(x 〔+x 2) -4x 1 X 2】< —— 3920 22 21〕3，(4k -1)(14k +13〉0, ..k 2 3勺21212 2 2216k— <k 2〈一，.• 16k 2=t 2(1 十2k 2), . . t 2= .4 21 2k232 6 2「6 （-2，-十）U （十,2）.3 3（n ）若过点M （2,0）的直线与椭圆C 相交于两点 A, B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA+OB = tOP______ _____ L ~> 2 5 . ,,, 一 一（O 为坐标原点），当|PA _PB|<」^ 时，求实数t 的取值范围..• PA—PB v 些,.•后P X I3264k 4, 8k 2-2(i )[(12k 2)2』.2k 2=8-1 2k 2,.•.—2<t< 一瓯或逆<t<2,.••实数取值范围为33。
河北省石家庄市2012-2013学年高二数学12月月考试题(.
石家庄市第三十一中学2012-2013学年高二12月月考数学试题 班级 姓名一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设1F 椭圆12222=+by a x （a>b>o ）的一个焦点，PQ 是经过另一个焦点2F 的弦，则Q PF 1∆的周长是（ ）(A) 4 a (B) 2a (C) 4b (D) 不确定2、若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ，则离心率为( ) (A) 43 (B) 32(C) 21 (D) 41 3、过抛物线x y 42=的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB|等于（ ）(A) 10 (B) 8 (C) 6 (D) 44、与y 相切且和半圆)20(422≤≤=+x y x 内切的动圆圆心的轨迹方程是( )(A) )10)(1(42≤<--=x x y (B) )10)(1(42≤<-=x x y(C) )10)(1(42≤<+=x x y (D) )10)(1(22≤<--=x x y 5、若椭圆193622=+y x 的弦被点(4 , 2)平分，则此弦所在的直线方程为（ ） (A) 02=-y x (B) 042=-+y x(C) 014132=-+y x (D) 082=-+y x6、如果方程122=+-qy p x 表示双曲线，则下列椭圆中，与该双曲线共焦点的是（ ） (A) 1222=++q y p q x (B)1222-=++py p q x (C)1222=++q y q p x (D)1222-=++py q p x 7、已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为4，则P 到另一焦点距离为（ ）(A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 68、若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（ ） (A) 116922=+y x (B) 1162522=+y x (C)1162522=+y x 或1251622=+y x (D)以上都不对 9、准线方程为2=x 的抛物线的标准方程为 ( )(A) x y 42-= (B) x y 82-= (C) x y 42= (D) x y 82=10、设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且d c =，那么双曲线的离心率e 等于（ ）(A) 2 (B) 3 (C) 2 (D) 311、抛物线x y 52=的焦点到准线的距离是（ ） (A)25 (B) 5 (C) 215 (D) 10 12、若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为8，则点P 的坐标为（ ）。
2012-2013学年第一学期期末高二数学（理科）试题及答案
2012-2013学年第⼀学期期末⾼⼆数学（理科）试题及答案⾼⼆数学（理科）试题第1页共4页试卷类型：A肇庆市中⼩学教学质量评估2012—2013学年第⼀学期统⼀检测题⾼⼆数学（理科）注意事项：1. 答卷前，考⽣务必⽤⿊⾊字迹的钢笔或签字笔将⾃⼰的班别、姓名、考号填写在答题卷的密封线内.2. 选择题每⼩题选出答案后，⽤2B 铅笔把答题卷上对应题⽬的答案标号涂⿊；如需要改动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.3. ⾮选择题必须⽤⿊⾊字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题⽬指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使⽤铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案⽆效.参考公式：球的体积公式：334R V π=，球的表⾯积公式：24R S π=，其中R 为球的半径⼀、选择题：本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，满分40分. 在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1．命题“若x >5，则x >0”的否命题是A ．若x ≤5，则x ≤0B ．若x ≤0，则x ≤5C ．若x >5，则x ≤0D ．若x >0，则x >5 2．若a ∈R ，则“a =1”是“（a -1）（a +3）=0”的A ．充要条件B ．充分⽽不必要条件C ．必要⽽不充分条件D ．既不充分⼜不必要条件3．双曲线125422=-y x 的渐近线⽅程是 A ．x y 425±= B ．x y 254±= C ．x y 25±= D ．x y 52±= 4．已知直线l 1经过两点（-1，-2）、（-1，4），直线l 2经过两点（2，1）、（x ，6），且l 1// l 2，则x =A ．4B ．1C ．-2D ．2 5．已知p 、q 是两个命题，若“?（p ∨q ）”是真命题，则A ．p 、q 都是真命题B ．p 、q 都是假命题C ．p 是假命题且q 是真命题D ．p 是真命题且q 是假命题⾼⼆数学（理科）试题第2页共4页6．若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离⼼率为22，则双曲线12222=-by a x 的离⼼率为A ．26 B ．332 C ．2 D ． 37．将长⽅体截去⼀个四棱锥，得到的⼏何体如图所⽰，则该⼏何体的侧视图为8．已知M 是抛物线)0(22>=p px y 上的点，若M 到此抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和4，则点M 的横坐标为A ．1B ．1或4C ．1或5D ．4或5⼆、填空题：本⼤题共6⼩题，每⼩题5分，满分30分. 9．已知命题p ：?x ∈R ，322=+x x ，则?P 是▲ .10．空间四边形OABC 中，=，=，=，点M 在OA 上，且OM =2MA ，N为BC 的中点，则= ▲ .11．抛物线24x y -=，则它的焦点坐标为▲ .12．圆锥轴截⾯是等腰直⾓三⾓形，其底⾯积为10，则它的侧⾯积为▲ .13．直线)1(-=x k y 与双曲线422=-y x 没有公共点，则k 的取值范围是▲ .14．如图，半径为2的圆O 中，∠AOB =90?，D 为OB 的中点，AD 的延长线交圆O 于点E ，则线段DE 的长为▲ .三、解答题：本⼤题共6⼩题，满分80分. 解答须写出⽂字说明、证明过程和演算步骤. 15．（本⼩题满分12分）三⾓形的三个顶点是A （4，0），B （6，7），C （0，3）. （1）求BC 边上的⾼所在直线的⽅程；（2）求BC 边上的中线所在直线的⽅程；（3）求BC 边的垂直平分线的⽅程.ABCDABDE⾼⼆数学（理科）试题第3页共4页16．（本⼩题满分13分）⼀个长、宽、⾼分别是80cm 、60cm 、55cm 的⽔槽中有⽔200000cm 3，现放⼊⼀个直径为50cm 的⽊球，且⽊球的三分之⼆在⽔中，三分之⼀在⽔上，那么⽔是否会从⽔槽中流出？17．（本⼩题满分13分）如图，四棱锥P —ABCD 的底⾯为正⽅形，侧棱P A ⊥平⾯ABCD ，且P A =AD =2，E 、F 、H 分别是线段P A 、PD 、AB 的中点. （1）求证：PD ⊥平⾯AHF ；（2）求证：平⾯PBC //平⾯EFH .18．（本⼩题满分14分）设⽅程0916)41(2)3(24222=++-++-+m y m x m y x 表⽰⼀个圆. （1）求m 的取值范围；（2）m 取何值时，圆的半径最⼤？并求出最⼤半径；（3）求圆⼼的轨迹⽅程.⾼⼆数学（理科）试题第4页共4页19．（本⼩题满分14分）如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，H 是正⽅形AA 1B 1B 的中⼼，221=AA ，C 1H ⊥平⾯AA 1B 1B ，且51=H C .（1）求异⾯直线AC 与A 1B 1所成⾓的余弦值；（2）求⼆⾯⾓A —A 1C 1—B 1的正弦值；（3）设N 为棱B 1C 1的中点，点M 在平⾯AA 1B 1B 内，且MN ⊥平⾯A 1B 1C 1，求线段BM 的长.20．（本⼩题满分14分）已知点P 是圆F 1：16)3(22=++y x 上任意⼀点，点F 2与点F 1关于原点对称. 线段PF 2的中垂线与PF 1交于M 点．（1）求点M 的轨迹C 的⽅程；（2）设轨迹C 与x 轴的两个左右交点分别为A ，B ，点K 是轨迹C 上异于A ，B 的任意⼀点，KH ⊥x 轴，H 为垂⾜，延长HK 到点Q 使得HK =KQ ，连结AQ 延长交过B 且垂直于x 轴的直线l 于点D ，N 为DB 的中点．试判断直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系．⾼⼆数学（理科）试题第5页共4页2012—2013学年第⼀学期统⼀检测题⾼⼆数学（理科）参考答案及评分标准⼀、选择题⼆、填空题9．?x ∈R ，322≠+x x 10．212132++-11．（0，161-） 12．210 13．),332()332,(+∞--∞ 14．553三、解答题 15．（本⼩题满分12分）解：（1）BC 边所在的直线的斜率320637=--=k ，（2分）因为BC 边上的⾼与BC 垂直，所以BC 边上的⾼所在直线的斜率为23-. （3分）⼜BC 边上的⾼经过点A （4，0），所以BC 边上的⾼所在的直线⽅程为)4(230--=-x y ，即01223=-+y x . （5分）（2）由已知得，BC 边中点E 的坐标是（3，5）. （7分）⼜A （4，0），所以直线AE 的⽅程为430540--=--x y ，即0205=-+y x . （9分）（3）由（1）得，BC 边所在的直线的斜率32=k ，所以BC 边的垂直平分线的斜率为23-，（10分）由（2）得，BC 边中点E 的坐标是（3，5），所以BC 边的垂直平分线的⽅程是)3(235--=-x y ，即01923=-+y x . （12分）16．（本⼩题满分13分）解：⽔槽的容积为264000556080=??=⽔槽V （cm 3）（4分）因为⽊球的三分之⼆在⽔中，所以⽊球在⽔中部分的体积为πππ9125000)250(983432331=?=?=R V （cm 3），（8分）所以⽔槽中⽔的体积与⽊球在⽔中部分的体积之和为⾼⼆数学（理科）试题第6页共260000491250002000009125000200000=πV （cm 3），（12分）所以V17．（本⼩题满分13分）证明：（1）因为AP =AD ，且F 为PD 的中点，所以PD ⊥AF . （1分）因为P A ⊥平⾯ABCD ，且AH ?平⾯ABCD ，所以AH ⊥P A ；（2分）因为ABCD 为正⽅形，所以AH ⊥AD ；（3分）⼜P A ∩AD =A ，所以AH ⊥平⾯P AD . （4分）因为PD ?平⾯P AD ，所以AH ⊥PD . （5分）⼜AH ∩AF =A ，所以PD ⊥平⾯AHF . （6分）（2）因为E 、H 分别是线段P A 、AB 的中点，所以EH //PB . （7分）⼜PB ?平⾯PBC ，EH ?平⾯PBC ，所以EH //平⾯PBC . （8分）因为E 、F 分别是线段P A 、PD 的中点，所以EF //AD ，（9分）因为ABCD 为正⽅形，所以AD //BC ，所以EF //BC ，（10分）⼜BC ?平⾯PBC ，EF ?平⾯PBC ，所以EF //平⾯PBC . （11分）因为EF ∩EH =E ，且EF ?平⾯EFH ，EH ?平⾯EFH ，所以平⾯PBC //平⾯EFH . （13分）18．（本⼩题满分14分）解：（1）由0422>-+F E D 得：0)916(4)41(4)3(44222>+--++m m m ，（2分）化简得：01672<--m m ，解得171<<-m . （4分）所以m 的取值范围是（71-，1）（5分）（2）因为圆的半径716)73(71674212222+--=++-=-+=m m m F E D r ，（7分）所以，当73=m 时，圆的半径最⼤，最⼤半径为774max =r . （9分）（3）设圆⼼C （x ，y ），则-=+=, 14,32m y m x 消去m 得，1)3(42--=x y . （12分）因为171<<-m ，所以4720<--=x y （4720<19．（本⼩题满分14分）解：如图所⽰，以B 为原点，建⽴空间直⾓坐标⾼⼆数学（理科）试题第7页共4页系，依题意得，A （22，0，0），B （0，0，0）， C （2，2-，5），)0,22,22(1A ， )0,22,0(1B ，)5,2,2(1C . （2分）（1）易得，)5,2,2(--=，)0,0,22(11-=B A ，（3分）所以322234||||,cos 111111==>=32. （5分）（2）易得，)0,22,0(1=，)5,2,2(11--=C A . （6分）设平⾯AA 1C 1的法向量),,(z y x =，则=?=?.0,0111C A AA m即=+--=.0522,022z y x y 不妨令5=x ，可得)2,0,5(=m . （7分）设平⾯A 1B 1C 1的法向量),,(z y x =，则=?=?. 0,01111B A C A n即=-=+--.022,0522x z y x 不妨令5=y ，可得)2,5,0(=. （8分）于是，72772||||,cos ==>==<，所以⼆⾯⾓A —A 1C 1—B 1的正弦值为753. （10分）（3）由N 为棱B 1C 1的中点得，)25,223,22(N .设M （a ，b ，0），则)25,223,22(b a --=，（11分）由MN ⊥平⾯A 1B 1C 1，得=?=?.0,01111C A MN B A即=?+-?-+-?-=-?-.0525)2()223()22()22(,0)22()22(b a a （12分）⾼⼆数学（理科）试题第8页共4页解得==.42,22b a 故)0,42,22(M （13分）因此41008121||=++=，即线段BM 的长为410. （14分）20．（本⼩题满分14分）解：（1）由题意得，())12,F F （1分）圆1F 的半径为4，且2||||MF MP = （2分）从⽽12112||||||||4||MF MF MF MP F F +=+=>= （3分）所以点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，其中长轴24a =，焦距2c =则短半轴1b =，（4分）椭圆⽅程为：2214x y += （5分）（2）设()00,K x y ，则220014x y +=．因为HK KQ =，所以()00,2Q x y ，所以2OQ =，（6分）所以Q 点在以O 为圆⼼，2为半径的的圆上．即Q 点在以AB 为直径的圆O 上．（7分）⼜()2,0A -，所以直线AQ 的⽅程为()00222y y x x =++．（8分）令2x =，得0082,2y D x ??+．（9分）⼜()2,0B ，N 为DB 的中点，所以0042,2y N x ??+．（10分）所以()00,2OQ x y =，000022,2x y NQ x x ??=- ?+?．（11分）所以()()()()2200000000000000004242222222x x x y x y OQ NQ x x y x x x x x x x -?=-+?=-+=-++++ ()()0000220x x x x =-+-=．（13分）所以OQ NQ ⊥．故直线QN 与圆O 相切. （14分）。
河北省石家庄市第十二中学高二数学文上学期期末试题含解析
河北省石家庄市第十二中学高二数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的零点所在的大致区间是( )A B C 和 D参考答案：B2. 已知x与y之间的一组数据如右，则y与x的线性回归方程为 y=b x+a必过（）A.点 B．点C．D．点参考答案：D略3. 如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是（）A. 平行B. 相交C. AB⎧αD. 平行或相交参考答案：D4. 若正实数a，b满足a＋b＝1，则( )参考答案：C略5. 下列命题正确的个数是( )①命题“?x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“?x∈R，x2+1≤3x”；②“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；③x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立?（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立；④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“?＜0”．A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】（1）根据特称命题的否定是全称命题来判断是否正确；（2）化简三角函数，利用三角函数的最小正周期判断；（3）用特例法验证（3）是否正确；（4）根据向量夹角为π时，向量的数量积小于0，来判断（4）是否正确．【解答】解：（1）根据特称命题的否定是全称命题，∴（1）正确；（2）f（x）=cos2ax﹣sin2ax=cos2ax，最小正周期是=π?a=±1，∴（2）正确；（3）例a=2时，x2+2x≥2x在x∈[1，2]上恒成立，而（x2+2x）min=3＜2x max=4，∴（3）不正确；（4）∵，当θ=π时，?＜0．∴（4）错误．∴正确的命题是（1）（2）．故选：B【点评】本题借助考查命题的真假判断，考查命题的否定、向量的数量积公式、三角函数的最小正周期及恒成立问题．6. 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文对应密文例如，明文对应密文当接收方收到密文时，则解密得到的明文为( )A． B． C． D．参考答案：C略7. 已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】椭圆的简单性质．【分析】分别求出e1、e2（e1＞e2），利用基本不等式求出e1+2e2的最小值．【解答】解：①当动圆M与圆O1、O2都相内切时，|MO2|+|MO1|=4﹣r=2a，∴e1=．②当动圆M与圆O1相内切而与O2相外切时，|MO1|+|MO2|=4+r=2a′，∴e2=∴e1+2e2=+=，令12﹣r=t（10＜t＜12），e1+2e2=2×≥2×==故选：A．8. 下列函数中，最小值是2的是（）A． B．C． D．参考答案：C略9. 若当时，函数始终满足，则函数的图象大致为（）参考答案：B略10. 如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则（）A． B． C．2 D．0参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 假设某次数学测试共有20道选择题，每个选择题都给了4个选项（其中有且仅有一个选项是正确的）．评分标准规定：每题只选1项，答对得5分，否则得0分．某考生每道题都给出了答案，并且会做其中的12道题，其他试题随机答题，则他的得分X 的方差D （X ）=．参考答案：【考点】CH ：离散型随机变量的期望与方差．【分析】设剩下的8题答对的个数是Y ，则得分X=5Y+60，且Y ～B （8，），先求出D （Y），再由D（X）=D （5Y+60）=52×D（Y ），能求出结果．【解答】解：设剩下的8题答对的个数是Y ，则得分X=5Y+60， 且Y ～B （8，），D （Y ）=8×=，∴D（X ）=D （5Y+60）=52×D（Y ）=25×=．故答案为：．12. 。
石家庄高二上学期期末考试数学(理)试卷含答案
石家庄高二上学期期末考试数学（理）试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.如图,空间四边形OABC 中, OA a =,OB b =,OC c =.点M 在OA 上,且2OM MA =,N 为BC 的中点,则MN 等于( )A.121232a b c -+ B. 211322a b c -++C. 112223a b c +-D. 221332a b c +-2.命题:“20,0x x x ∀>+≥”的否定形式是( )A. 20,0x xx ∀≤+>B. 20,0x x x ∀>+≤C. 20000,0x x x ∃>+<D. 20000,0x x x ∃≤+>3.抛物线214y x =的焦点坐标是( ) A. 10,16⎛⎫⎪⎝⎭ B. 1,016⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. ()0,1D. ()1,04.将一枚质地均匀的硬币随机抛掷两次,出现一次正面向上,一次反面向上的概率为( )A.12 B. 13C. 14D. 155.设x R ∈,则“13x <<”是“21x -<”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.执行如图所示的程序框图,则输出结果s 的值为( )A. 12-B. 1-C. 12D. 07.某单位要在800名员工中抽取80名员工调查职工身体健康状况,其中青年员工400名,中年员工300名,老年员工100名,下列说法错误的是( )A.老年人应作为中点调查对象,故抽取的老年人应超过40名B.每个人被抽到的概率相同为110C.应使用分层抽样抽取样本调查D.抽出的样本能在一定程度上反应总体的健康状况8.若过点(3P 的直线l 与圆221x y +=有公共点,则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A. 2,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. ,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. ,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.某产品的广告费用x (万元)与销售额y (万元)的统计数据如下表所示,根据表中的数据可得回归方程ˆˆˆybx a =+,其中ˆ0a =.据此模型预报x .当广告费用为7万元时的销售额为C.73D.69 10.设12,F F 为椭圆的两个焦点, M 为椭圆上一点, 12MF MF ⊥,且2MF MO = (其中点O 为椭圆的中心),则该椭圆的离心率为( )A.1B. 2C.2D. 211.在单位正方体1111ABCD A BC D -中,M 是AB 的中点,则点1C 到平面1A DM 的距离为( )A.3B.C. 2D. 1212.设12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点, P 是双曲线C 的右支上的点,射线P Q 、平分12F PF ∠交x 轴于点Q ,过原点O 作P Q 、的平行线交1PF 于点M ,若1214MP F F =,则C 的离心率为( )A.32 B. 3 C. 2D.二、填空题13.若五个数1,2,3,4,a 的平均数为4,则这五个数的标准差为 .14.设一直角三角形的两条直角边长均是区间(0,1)上的任意实数,则斜边长小于1的斜率为 .15.已知(2,1,3)a =-,()1,3,3?b =--,()13,,3?c λ=,若向量,,a b c 共面,则λ的值为__________.16.设1F ,2F 分别是椭圆22=12516x y +的左、右焦点, P 为椭圆上任一点,点M 的坐标为()6,4,则2PM PF +的最大值为__________.三、解答题17.现有6道题甲类题,3道乙类题,某同学从中任取两道题解答.试求: 1.所取的两道题都是甲类题的概率; 2.所取的两道题不是同一类题的概率.18.设命题2:(2)1p x -≤,命题2:(21)(1)0q x a x a a ++++≥,若p 是q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.19.从某高一年级1000名学生中随机抽取100名测量身高,测量后发现被抽取的学生身高全部介于155厘米到195厘米之间,将测量结果分为八组:第一组[155,160),第二组[160,165),……,第八组[190,195),得到频率分布直方图如图所示:1.计算第三组的样本数;并估计该校高一年级1000名学生中身高在170厘米以下的人数;2.估计被随机抽取的这100名学生身高的中位数,平均数.20.已知圆22:(1)9C x y +-=,直线:20l x my m -+-=,且直线l 与圆C 相交于,A B 两点.1.若AB =,求直线l 的倾斜角;2.若点()2,1P 满足AP PB =,求直线l 的方程.21.如图所示,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为1的菱形, 60BCD ∠=︒,E 是CD 的中点, PA ⊥底面ABCD ,2PA =.1.证明:平面PBE ⊥平面PAB ;2.求二面角B PE D --的余弦值.22已知椭圆的上顶点为,且离心率为. 1.求椭圆的方程; 2.从椭圆上一点向圆上引两条切线,切点分别为,当直线分别与轴、轴交于两点时,求的最小值.23.已知函数()x f x e ax =-,(e 为自然对数的底数). 1.讨论()f x 的单调性;2.若对任意实数x 恒有()0f x ≥,求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题1.答案：B解析：()1223MN ON OM b c a =-=+-. 2.答案：C 解析： 3.答案：C 解析： 4.答案：A 解析： 5.答案：C 解析： 6.答案：B 解析： 7.答案：A 解析： 8.答案：D 解析： 9.答案：B 解析： 10.答案：A 解析： 11.答案：A 解析： 12.答案：C 解析：二、填空题13.解析： 14.答案：4π 解析： 15.答案：6 解析：16.答案：11 解析：三、解答题17.答案：1.设所取的两道题都是甲类题为事件A ,甲类题为123,,a a a ,乙类题为123,,b b b , 则基本事件空间为()()()()()()()12131112132321{,,,,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a b a a a b Ω=()()()()()()()()2223313233121323,,,,,,,,,,,,,,,}a b a b a b a b a b b b b b b b .共15个基本事件. 其中事件()()(){}121323,,,,,A a a a a a a =包含3个基本事件,因为是等可能事件,所以()31155P A ==.2.设所取的两道题不是同一类题为事件B , 则事件()()()()11121321{,,,,,,,,B a b a b a b a b =()()()()()2223313233,,,,,,,,,}a b a b a b a b a b 包含9个基本事件,因为是等可能事件,所以()93155P B ==. 解析：18.答案：设{}2|(2)1A x x =-≤,{}2|(21)(1)0B x x a x a a =++++≥,易知{}|13A x x =≤≤,{|1B x x a =≤--或}x a ≥-, 由p 是q 的充分不必要条件知,∴4a ≤-或1a ≥-,故所求实数a 的取值范围是4a ≤-或1a ≥-. 解析：19.答案：1.由第三组的频率为()150.0080.0080.0120.0160.0160.0620.2-⨯+++++÷=⎡⎤⎣⎦, 则其样本数为0.210020⨯=.由()50.0080.0160.20.32⨯++=,则高一年级1000名学生身高低于170厘米的人数约为0.321000320⨯= (人). 2.前四组的频率为()50.0080.0160.40.52⨯++=,0.520.50.02-=, 则中位数在第四组中,由0.020.10.2=,得1750.15174.5-⨯=, 所以中位数为174.5cm ;经计算得各组频数分别为 4,8,20,20,30,8,6,4, 平均数约为:(157.54162.58167.520172.520177.530⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 182.58187.56192.54)100174.1cm +⨯+⨯+⨯÷=.解析：20.答案：1.因为圆心()0,1C 到直线l的距离d =圆的半径为3,所以2223=+⎝⎭,解得m =所以直线l的斜率为3±直线l 的倾斜角为30或150.2.联立方程组22(1)9{20x y x my m +-=-+-=,消去y 并整理,得()22214450m x x m +-+-=,所以12241x x m +=+,2122451m x x m-⋅=+, 设()11,A x y ,()22,B x y ,由AP PB =知点P 为线段AB 的中点,所以122441x x m +==+,解得0m =,所以所求直线方程为20x -=.解析：21.答案：1.连接BD ,由已知中四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为1的菱形, 60BCD ∠=︒,E 是CD 的中点, PA ⊥底面ABCD , 可得BE AB ⊥,PA BE ⊥,由线面垂直的判定定理可得BE ⊥平面PAB , 因为BE ⊂平面PBE ,所以平面PBE ⊥平面PAB .2.由1知BE CD ⊥,又PA ⊥底面ABCD ,以点E 为坐标原点, EB 所在直线为x 轴, EC 所在直线为y 轴, 过点E 垂直于平行于直线AP 的方向为z 轴建立空间坐标系,则()0,0,0E,B ⎫⎪⎪⎝⎭,10,,02D ⎛⎫⎪⎝⎭,1,0A ⎫-⎪⎪⎝⎭,1,2P ⎫-⎪⎪⎝⎭, 所以()0,1,2PB =-,32EB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,10,,02ED ⎛⎫= ⎪⎝⎭,31,22EP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭, 设1(,,)n x y z =为平面BPE 的法向量,则110{0n PB n EB ⋅=⋅=,所以20{0y z x -==,令1z =得()10,2,1n =为平面BPE 的一个法向量,同理得(24,0,n=为平面DPE 的一个法向量,121212cos ,n n n n n n +〈〉==-解析：答案： 1.因为,,所以,,所以椭圆的方程为.2.设切点为,当切线斜率存在时,设切线方程为,又∵,故切线方程为,∴,当不存在时,切点坐标为,对应切线方程为,符合,综上知切线方程为.设点坐标为,,是圆的切线,切点,,过点的圆的切线为,过点的圆的切线为.∵两切线都过点, ∴,.∴切点弦的方程为,由题意知,∴,,∴.当且仅当,时取等号,∴, ∴的最小值为.23.答案：1. ()'xf x e a =-,(1)当0a ≤时, ()'0xf x e a a =->-≥,()f x 在R 上单调递增;(2)当0a >时,令()'0xf x e a =->,得ln x a >,令()'0xf x e a =-<得ln x a <,所以()xf x e ax =-的单调递减区间是(),ln a -∞,单调递增区间是()ln ,a +∞.综上知(1)当0a ≤时, ()f x 在R 上单调递增;(2)当0a >时, ()xf x e ax =-的单调递减区间是(),ln a -∞,单调递增区间是()ln ,a +∞. 2.由1知当0a >时()xf x e ax =-在(),ln a -∞上单调递减,在()ln ,a +∞上单调递增,所以()xf x e ax =-在ln x a =时取得最小值()ln ln f a a a a =-,由题意,只需ln 0a a a -≥,解得0a e <≤; 当0a ≤时, ()f x 在R 上单调递增,而当0a =时, ()0xf x e =>满足条件;当0a <时,对于给定的a ,若x →-∞,则ax -→-∞, 而0x e →,()xf x e ax =-→-∞,故必存在00x <使得()00f x <,不合题意, 综上知,满足条件的实数a 的取值范围是[]0,e . 解析：。
河北省石家庄市高二上学期期末考试数学(理)答案
高二数学（理科答案）一、选择题：1-5ADCAD 6-10ACCBC 11-12BB二、填空题13．172x R, x x 1 0 14．25 15．16．3[ ,1)3三、解答题17. 分析：（Ⅰ）依题意，得10×(2 ×0.005 ＋a＋0.03 ＋0.04) ＝1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分解得a＝0.02. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（Ⅱ）这100 名学生语文成绩的均匀分为55×0.05 ＋65×0.4 ＋75×0.3 ＋85×0.2 ＋95×0.05 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分＝73 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分18. 解：2 2 2（Ⅰ）由题意可设圆心坐标为( a，a)，则圆的标准方程为(x－a)＋(y－a) ＝r ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分1－a 2 2＋a ＝r2∴3－a 2 2＋a ＝r 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分解得a＝22r ＝52 2故圆C的标准方程为(x－2)＋(y－2) ＝5. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分6.（Ⅱ）圆心(2,2)到直线l : 3x 4y 1 0的距离 d= 15，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分2 2 1 2 4 312 r d 2 5 ( )5 5直线l被圆C截得的弦长为4 315. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分19. 解：（Ⅰ）由于x ＝1 1×9＝1.8，y ＝×37＝7.4，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 5 5分5 5i＝1 x i y i ＝62 ，i∑＝1 x2i ＝∑16.6，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分5所以 b ＝∑5∑ 2＝62－5×1.8×7.42 ＝－16.6－5×1.811.5，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分a＝y －b x ＝7.4＋11.5×1.8＝28.1，故y对x的线性回归方程为y＝28.1 －11.5x. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分y＝28.1－11.5×1.9＝6.25(t) ．因此，假如价钱定为1.9 万元，则需求量大概是 6.25 t. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分20. 解：（1）证明： F ，G 分别为P B，BE的中点，FG / / PE ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分又FG 平面PDE ，PE 平面PDE ，FG / / 平面PDE⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（2）EA 平面ABCD，EA/ /PDPD 平面ABCDAD, CD 平面ABCD，PD AD ,PD CD .四边形ABCD 是正方形，AD CD .以D为原点, 分别以直线D A, DC, DP为x轴,y轴,z轴成立如下图的空间直角坐标系，设E A 1，AD PD 2EA,D (0,0,0) ， P (0,0, 2) ， A(2,0,0) ， C (0,2,0) ， B (2,2,0) ，E (2,0,1) ， PB (2, 2, 2) ，.PE (2,0, 1)F ，G ，H 分别为P B ， EB ， PC 的中点，F (1,1,1)，1 G (2,1, ) ， H (0,1,1) ，21 1GF ( 1,0, ) ，GH ( 2,0, ) ， ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯62 2分设n 1 (x 1, y 1,z 1)为平面 FGH 的一个法向量，则n GF 1n GH10 0,即1 xz1121 2x z112，令 y 1 1，得 n 1 (0,1, 0) . ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 8分n PB 2设n 2 (x 2 ,y 2, z 2 )为平平面 PBE 的一个法向量 , 则 n PE2即2x2y 2z0 2222xz22，令x 21，得n 2 (1,1, 2). ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯10分 因此cosn ,n12| n n |6 1 2|n | | n |126.因此平面 FGH 与平面 PBE 所成锐二面角的余弦值6 6⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯12分221 1 21. 解： (1)设P (x ，y)，则( 1)xyy⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯3 分2 22＝4y. ? x因此 E 的方程为x2＝4y. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 5分(2)证明：易知直线A B的斜率存在，设直线A B：y＝kx＋b，A( x1，y1)，B(x2，y2)．将直线A B 的方程代入x2 ＝4y 中，得x2 －4kx －4b ＝0，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分所以x1 ＋x2 ＝4k ，x1x2 ＝－4b. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分→OA→·OB＝x1x2 ＋y1y2 ＝x1x2 ＋2 2x x1 216＝－4b ＋b 2＝－4? b ＝2 ＝－4? b ＝2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分0所以直线A B 恒过定点(0 ，2) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分22.解：(1)设椭圆的焦距为2c，3∵离心率为，∴2∴3a2＝4c2，2＝4c2，c 2 3( )a 4，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分又点( 3，0)是抛物线的焦点，∴ c2＝3。
石家庄市第一中学2013-2014学年高二上学期期末考试文科数学试题及答案
试卷一一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合{}0)3)(12(<-+=x x x A ，{}5*≤∈=x N x B ，则B A 是A ．{}3,2,1B ．{}2,1C ．{}5,4D ．{}5,43,2,1，2．已知等比数列{}n a 中，有31174a a a ⋅=，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=A ．2B ．4C ．8D ．163．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据(,)i i x y （n i ,,2,1 =），用最小二乘法建立的回归方程为0.8585.71y x =-，则下列结论中不正确．．．的是 A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(,)x yC ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg4．已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α= A ．2425- B ．1225- C ．1225 D ．24255．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若222sin sin sin 3sin sin A C B A C+-，则角B 为A ．6π B ．3π C ．4π D ．56π6． 某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x 值为31，则a 等于 A ．4 B ．1 C ．2 D ．37． 已知几何体的三视图如图所示，它的侧面积是A ．4B ．2+C ．3+D ．6 8．下列命题是假命题的为A ．R x ∈∃，0lg =x eB ．R x ∈∃，x x =tanC ．)2,0(π∈∀x ，1cos tan x x> D ．R x ∈∀，1+>x e x 9．已知双曲线22221x y a b-= (a ＞0，b ＞0)的左顶点与抛物线22y px =(0)p >的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，则双曲线的焦距为A． B． C． D．10．已知ABC ∆和点M 满足20MA MB MC ++=．若存在实数m 使得C A C B m C M+=成立，则m = A ．2 B ．3 C ．4 D ．511．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱1DD 上运动，另一端点N 在正方形ABCD 内运动， 则MN 的中点的轨迹的面积 A ．4π B ．2π C ．π D ．2π12．函数21ln mm x xe --≤对任意的正实数x 恒成立，则m 的取值范围是A ．),1[]0,(+∞-∞B ．[0,1]C ．[,2]e eD ．),2[),(+∞-∞e e试卷二二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填在答题纸相应的空内． 13．在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大构成等比数列}{n a ，已知122a a =，且样本容量为300，则小长方形面积最大的一组的频数为_______．14． 在独立性检验时计算的2K 的观测值 3.99k =，那么我们有 的把握认为这两个分15．若在不等式组02y x x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩所确定的平面区域内任取一点(),P x y ，则点P 的坐标满足221x y +≤的概率是 ．16．已知奇函数)(x f 满足()(2)f x f x =-+，当[]0,1x ∈时，()f x x =，若2()()0af x bf x c ++=在[]0,6x ∈上恰有5个根，且记为(1,2,3,4,5)i x i =则12345x x x x x ++++= ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知等比数列{}n a 中，234,,a a a 分别是某等差数列的第5项、第3项和第2项，且48a =，公比1q ≠．（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设n n a b 2log =，求数列{}.n n b n T 的前项和18．（本小题满分12分）某市的教育研究机构对全市高三学生进行综合素质测试，随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图．（I ）估计全市学生综合素质成绩的平均值；（II ） 若综合素质成绩排名前5名中，其中1人为某校的学生会主席，从这5人中推荐3人参加自主招生考试，试求这3人中含该学生会主席的概率． 19．（本小题满分12分）如图，直四棱柱1111D C B A ABCD -中，CD AB //，AB AD ⊥，2=AB ，2=AD ，31=AA ，E 为CD 上一点， 1=DE ，3=EC(Ⅰ)证明: C C BB BE 11平面⊥；(Ⅱ)求点1B 到平面11C EA 的距离．20．（本小题满分12分）已知向量(2cos ,sin )m a x x =，)cos ,(cos x b x =，23)(-⋅=n m x f ，函数)(x f 的图象在y 轴上的截距为23，并且过点)21,4(π(Ⅰ)求函数)(x f 的单调区间；(Ⅱ)若A 是三角形的内角，552)62(=-πA f ，求A A A A cos sin cos 2sin 3+-的值．21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，直线l 过点(4,0)A ，(0,2)B ，且与椭圆C 相切于点P ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在过点(4,0)A 的直线m 与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ，使得23635AP AM AN =⋅，若存在，试求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由．22．（本小题满分12分）已知函数x ax x f ln )(+=，其中a 为常数，设e 为自然对数的底数． (Ⅰ)当1-=a 时，求)(x f 的极值；(Ⅱ)若)(x f 在区间],0(e 上的最大值为3-，求a 的值； (Ⅲ)当1-=a 时，试推断方程()f x =ln 12x x +是否有实数解．参考答案一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．3. 设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据(,)i i x y （i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为0.8585.71y x =-，则下列结论中不正确．．．的是 ( D ) A ．.y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(,)x yC ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg4.已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α=（ A ） A ．2425- B ．1225- C ．1225 D ．24255.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若222si n A si n C si n si n A si n C +-，则角B 为( A )A ．6π B ．3π C ．4π D ．56π6.某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x 值 为31，则a 等于（ D ）A ． 4B ．1C ．2D ． 37.已知几何体的三视图如图所示，它的侧面积是 ( B )A ．4．2+C ．3．6 8.下列命题是假命题的为 (D )A ．R x ∈∃，0lg =x eB ．R x ∈∃，x x =tanC ．)2,0(π∈∀x ，1cos tan x x > D ．R x ∈∀，1+>x e x9. 已知双曲线22221x y a b-= (a ＞0，b ＞0)的左顶点与抛物线22y px =(0)p >的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，则双曲线的焦距为( B )A．．．．10.已知ABC ∆和点M 满足20MA MB MC ++=.若存在实数m 使得C A C Bm C M+=成立，则m =( C ) A.2B.3C.4D.511.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,长为2的线段MN 的一个端点M 在棱1DD 上运动,另一端点N 在正方形ABCD 内运动, 则MN 的中点的轨迹的面积 ( D )A.4π B ．2π C ．π D ．2π12.函数21ln mm x xe --≤对任意的正实数x 恒成立，则m 的取值范围是 ( A )A ．),1[]0,(+∞-∞B ．[0,1]C ．[,2]e eD ．),2[),(+∞-∞e e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填在答题纸相应的空内． 13.在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大构成等比数列}{n a ，已知122a a =，且样本容量为300，则小长方形面积最大的一组的频数为______160__.14.在独立性检验时计算的2K 的观测值 3.99k =，那么我们有 0.95 的把握认为这两17．若在不等式组02y x x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩所确定的平面区域内任取一点(),P x y ，则点P 的坐标满足221x y +≤的概率是8π.18．已知奇函数)(x f 满足()(2)f x f x =-+，当[]0,1x ∈时，()f x x =，若2()()0af x bf x c ++=在[]0,6x ∈上恰有5个根，且记为(1,2,3,4,5)i x i = 则12345x x x x x ++++= 15 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.某市的教育研究机构对全市高三学生进行综合素质测试，随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图：（Ⅰ）估计全市学生综合素质成绩的平均值；(Ⅱ) 若综合素质成绩排名前5名中，其中1人为某校的学生会主席，从这5人中推荐3人参加自主招生考试，试求这3人中含该学生会主席的概率.(Ⅰ)依题意可知：550.12650.18+750.40+850.22+950.08⨯+⨯⨯⨯⨯， =74.6……………3分所以综合素质成绩的的平均值为74.6.……………6分（Ⅱ）设这5名同学分别为a,b,c,d,e,其中设某校的学生会主席为a ，从5人中选出3人，所有的可能的结果为(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,),(,,)a b c a b d a b e a c d a c e a d e b c d b c e b d e c d e ，，，，，，，，共10种，……………9分其中含有学生会主席的有(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)a b c a b d a b e a c d a c e a d e ，，，，，6种 含学生会主席的概率为63105=.……………12分 20.已知向量(2cos ,sin )m a x x =，)cos ,(cos x b x =，23)(-⋅=n m x f ，函数)(x f 的图象在y 轴上的截距为23，并且过点)21,4(π(Ⅰ)求函数)(x f 的单调区间；(Ⅱ)若A 是三角形的内角，552)62(=-πA f ，求A A A A cos sin cos 2sin 3+-的值． 解：（Ⅰ）,23cos sin cos 2)(2-+=x x b x a x f 由已知，则,23)0(=f 得,23=a ,21)4(=πf 得.1=b ………2分因而).32sin(23cos sin cos 3)(2π+=-+=x x x x x f ………4分 单调增区间为：Z k k k ∈+-],12,125[ππππ 单调减区间为：Z k k k ∈++],127,12[ππππ. ………6分 （Ⅱ）,552)62(=-πA f 得,552sin =A ………8分 则当A 为锐角时55cos =A ，34cos sin cos 2sin 3=+-A A A A ， ………10分当A 为钝角时55cos -=A ，8cos sin cos 2sin 3=+-A A AA . ………12分 19．如图,直四棱柱1111D CB A ABCD -中,CD AB //,AB AD ⊥,2=AB ,2=AD ,31=AA ,E 为CD 上一点, 1=DE ，3=EC(Ⅰ)证明: C C BB BE 11平面⊥(Ⅱ)求点1B 到平面11C EA 的距离【答案】解.(1)证明:过B 作CD 的垂线交CD 于F,则1,2BF AD EF AB DE FC ===-==在Rt BFE BE Rt BFC BC ∆∆中，，中， 在2229BCE BE BC EC ∆+中，因为＝＝,故BE BC ⊥ 由1111BB ABCD BE BB BE BB C C ⊥⊥⊥平面，得，所以平面(2)111111113A B C E A B C V AA S ∆-∙三棱锥的体积＝11111Rt A D C AC ∆在中，,同理,1EC ，1EA因此11A C E S ∆=.设点B1到平面11EAC 的距离为d,则111B EAC -三棱锥的体积1113A EC V d S ∆∙∙＝,5d ==21.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，直线l 过点(4,0)A ，(0,2)B ，且与椭圆C 相切于点P ，（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在过点(4,0)A 的直线m 与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ，使得23635AP AM AN =⋅?若存在，试求出直线m 的方程；若不存在,请说明理由.解:（Ⅰ）由题得过两点(4,0)A ，(0,2)B 直线l 的方程为240x y +-=.因为12c a =，所以2a c =，b =. 设椭圆方程为2222143x y c c+=, ………2分由2222240,1,43x y x y c c+-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得，224121230y y c -+-=.又因为直线l 与椭圆C 相切, 所以………4分………6分又直线:240l x y +-=与椭圆22:143x y C +=相切， 由22240,1,43x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得31,2x y ==，所以3(1,)2P …………8分则2454AP =. 所以3645813547AM AN ⋅=⨯=.又AM AN ⋅==212(1)(4)(4)k x x =+--21212(1)(4()16)k x x x x =+-++22222641232(1)(416)3434k k k k k -=+-⨯+++2236(1).34k k =++ ………10分所以223681(1)347k k +=+，解得k =经检验成立.所以直线m 的方程为(4)4y x =±-. ………12分 22. （本小题满分12分） 已知函数x ax x f ln )(+=,其中a 为常数,设e 为自然对数的底数.(Ⅰ)当1-=a 时,求)(x f 的极值;(Ⅱ)若)(x f 在区间],0(e 上的最大值为3-,求a 的值;(Ⅲ)当1-=a 时,试推断方程()f x =ln 12x x +是否有实数解. 解: (Ⅰ)当1-=a 时,x x x x f x x x f -=+-=+-=111),ln )(（‘ ………2分 当10<<x 时,;0)('>x f 当1>x 时,.0)('<x f∴)(x f 在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数,)(x f ∴的极大值为1)1(-=f ； ………4分(Ⅱ)∵),1[1],,0(,1)('+∞∈∈+=ex e x x a x f ①若,1e a -≥则,0)('≥x f 从而)(x f 在(0,e]上增函数，∴max ()f x 01)(≥+==ae e f .不合题意; ………6分 ②若,1e a -<则由0)('>xf 1a x ⇒+>0,即a x 10-<<,由0)('<x f 1a x⇒+<0,即.1e x a ≤<-从而)(x f 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上增函数,在1,e a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为减函数∴max ()f x ).1ln(1)1(a a f -+-=-=令,3)1ln(1-=-+-a 则ln 1a ⎛⎫-⎪⎝⎭=-2 ∴1a -=2e -,即2e a -=. ∵2e -<1e -,∴a =2e -为所求. ………8分(Ⅲ)由(1)知当1-=a 时max ()f x 1)1(-==f , ∴1)(≥x f . ………9分 又令)(x g =ln 12x x +,)('x g =21ln x x-,令)('x g =0,得e x =, 当e x <<0时,)('x g >0, )(x g 在 (0,e )单调递增; 当e x >时, )('x g <0, )(x g 在(e ,+∞)单调递减,∴max ()g x =)(e g =112e +<1, ∴)(x g <1. ………11分 ∴)()(x g xf >,即)(x f >ln 12x x +,∴方程)(x f =ln 12x x +没有实数解.………12分。
河北省石家庄2012-2013学年高二上学期期末联考数学(理)试题(扫描版).pdf
石家庄市2012～2013学年度第一学期期末考试试卷 高二数学（理科答案） 选择题 1-5 ACABD 6-10 DCCCA 11-12 DD 填空题 13. 19，13 . 14. . 15. 80 . 16. 三．解答题 17.解：，，………………4分 代入参考公式得，，所以线性回归方程为，………8分 当时，，即该老师预测他的孙子身高为185cm. …………10分 18.解：因为圆心在直线上，所以设圆心坐标，圆半径r，依据题意有：，…………6分 解得或，………………10分 故所求圆的方程为或 ………12分 19. 解：(Ⅰ) 分组频 数频 率[50,60)20.04[60,70)80.16[70,80)100.2[80,90)160.32[90,100]140.28合 计501.00 ……………4分 (Ⅱ) 600(0.2+0.32)=6000.52=312， 该年级成绩在段的学生人数约为312人； …………………………………………8分 550.04+650.16+750.2+850.32+950.28=81.4分 该年级学生的平均分约为81.4 分 ……………12分 20.解：(Ⅰ)因为平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，所以PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD. 又=90°，所以以D为原点建立空间直角坐标系D—xyz.则A（1，0，0）， B（1，1，0），C（0，2，0）， P（0，0，1） ………2分 所以 又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC， 所以BC⊥平面PBD. ………5分 (Ⅱ)平面PBD的法向量为 ，所以，…………7分 设平面EBD的法向量为n=（a，b，c）， 由n，n，得 ，………………………………………10分 由,解得…………………………12分 21. 解：(Ⅰ)（） 所以（a,b）的取值所有可能的结果有6种： （-1，1）；（-1，2）；（1，-1）；（1，2）；（2，-1）；（2，1），……………3分 而当时，直线不经过第四象限，符合条件的（a,b）有2种结果.=……………6分 (Ⅱ)直线与圆有公共点， ， ，………………8分 是区间上的随机数， 是区间上的随机数，则点（a,b）均匀分布于矩形ABCD区域内(如图) 满足条件的点（a,b）均匀分布于阴影部分表示的内.……………10分 P（直线与圆有公共点）=…………………12分 22. (本小题满分12分) 解：（I）设椭圆的方程为. 由题意，得，解得，所以. …………………………3分 所求的椭圆方程为. …………………………………………………4分 （II）由（I）知. 假设在轴上存在一点，使得恒为常数. ①当直线与轴不垂直时，设其方程为，、. 由得. 所以，. ………………………………………7分 . 因为是与无关的常数，从而有，即. 此时. ……………10分 ②当直线与轴垂直时，此时点、的坐标分别为， 当时，亦有. 综上，在轴上存在定点，使得恒为常数，且这个常数为. …………………………………………………………12分 附加题答案: 解：（Ⅰ） 由， 得； 又 增极大值减极小值增所以a,b的值为，-2，函数的递增区间是与,递减区间是. （Ⅱ）， 当时，为极大值，而，则为最大值， 要使恒成立， 则只需要， 得。
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石家庄市2012～2013学年度第一学期期末考试试卷高二数学（文科答案）一.选择题：1-5 CBABD 6-10 DCCCA 11-12BD 二.填空题：13. 19，13 . 14.0200,210m m m ∃∈-+<R . 15. 80 . 16. 242y x x =-+-三.解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.解：173x =，176y =，………………4分代入参考公式得ˆ1b=，ˆˆ3a y bx =-=，所以线性回归方程为ˆ3y x =+，………8分 当182x =时，ˆ185y=，即该老师预测他的孙子身高为185cm. …………10分 18.解：因为圆心在直线 y x =上，所以设圆心坐标(,)a a ，圆半径r ，依据题意有：222151a a r r a ⎧+-=⎪⎨⎪-=⎩，…………6分 解得25a r =⎧⎪⎨=⎪⎩或1252a r ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，………………10分故所求圆的方程为22(2)(2)5x y -+-=或22115()()224x y +++=………12分19. 解：(Ⅰ)……………4分(Ⅱ) 600⨯(0.2+0.32)=600⨯0.52=312， 该年级成绩在)90,70[段的学生人数约为312人；…………………………………………8分55⨯0.04+65⨯0.16+75⨯0.2+85⨯0.32+95⨯0.28=81.4分该年级学生的平均分约为81.4 分 ……………12分 20.解：{}2,1,1,-∈b a所以(,)a b 的取值所有可能的结果有：（-1，-1）；（-1，1）；（-1，2）；（1，-1）；（1，1）；（1，2）；（2，-1）；（2，1）；（2，2）共9种结果.……………4分直线01=++by ax 与圆5122=+y x 有公共点, ∴55512222≥+⇔≤+b a b a 522≥+⇔b a ………………8分∴直线01=++by ax 与圆5122=+y x 有公共点，符合条件的有5种结果.…………10分 ∴ 直线01=++by ax 与圆5122=+y x 有公共点的概率为95.……………12分21. 解：（Ⅰ）'2()32(32)(1)f x x x x x =--=+-，…………1分又x 2(,)3-∞- 23- 2(,1)3- 1(1,)+∞ '()f x +-+分组频 数频 率[50,60) 2 0.04 [60,70) 8 0.16 [70,80) 10 0.2[80,90) 16 0.32[90,100] 14 0.28合 计 50 1.00()f x ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑所以函数()f x 的递增区间是2(,)3-∞-与(1,)+∞,递减区间是2(,1)3-；…………6分（Ⅱ）当23x =-时，222()327f -=为极大值，而(2)2f =，则(2)2f =为最大值，……8分要使2()-,[1,2]f x c c x <∈-恒成立，则只需要2-(2)2c c f >=，…………11分 所以1,2c c <->或 …………12分22. 解：（I ）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.由题意，得22333a c a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，…………………2分解得31a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以22b =.所求的椭圆方程为22132x y +=. …………………………………………………4分 （II ）由（I ）知1(1,0)F -.假设在x 轴上存在一点(,0)M t ，使得MP MQ ⋅恒为常数.①当直线l 与x 轴不垂直时，设其方程为(1)y k x =+，11(,)P x y 、22(,)Q x y .由22(1)132y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，………………5分得2222(23)6(36)0k x k x k +++-=.所以2122623k x x k +=-+，21223623k x x k-=+. MP MQ ⋅212121212()()()()(1)(1)x t x t y y x t x t k x x =--+=--+++22221212(1)()()k x x k t x x k t =++-+++22222222222(1)(36)()6(61)6232323k k k t k t k k t t k k k +--⋅--=-++=++++………………7分2222211616(2)(23)(4)41333223323t k t t t t t k k -+-++=+=+--++. 因为MP MQ ⋅ 是与k 无关的常数，从而有16403t +=，即43t =-.此时119MP MQ ⋅=- . ……………10分②当直线l 与x 轴垂直时，此时点P 、Q 的坐标分别为23231 1 33⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，、，， 当43t =-时，亦有119MP MQ ⋅=- .综上，在x 轴上存在定点4(,0)3M -，使得MP MQ ⋅ 恒为常数，且这个常数为119-.…………………………………………………………12分Ez yDPCBAx石家庄市2012～2013学年度第一学期期末考试试卷高二数学（理科答案）一．选择题1-5 ACABD 6-10 DCCCA 11-12 DD 二．填空题13. 19，13 . 14.0200,210m m m ∃∈-+<R . 15. 80 . 16. 242y x x =-+- 三．解答题17.解：173x =，176y =，………………4分代入参考公式得ˆ1b=，ˆˆ3a y bx =-=，所以线性回归方程为ˆ3y x =+，………8分 当182x =时，ˆ185y=，即该老师预测他的孙子身高为185cm. …………10分 18.解：因为圆心在直线 y x =上，所以设圆心坐标(,)a a ，圆半径r ，依据题意有：222151a a r r a ⎧+-=⎪⎨⎪-=⎩，…………6分 解得25a r =⎧⎪⎨=⎪⎩或1252a r ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，………………10分故所求圆的方程为22(2)(2)5x y -+-=或22115()()224x y +++=………12分 19. 解：(Ⅰ)……………4分(Ⅱ) 600⨯(0.2+0.32)=600⨯0.52=312， 该年级成绩在)90,70[段的学生人数约为312人；…………………………………………8分55⨯0.04+65⨯0.16+75⨯0.2+85⨯0.32+95⨯0.28=81.4分 该年级学生的平均分约为81.4 分 ……………12分20.解(Ⅰ)因为平面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，所以PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AD. 又ADC ∠=90°，所以以D 为原点建立空间直角坐标系D —xyz .则A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，2，0）， P （0，0，1） ………2分).0,1,1(),0,1,1(-==BC DB所以,,0DB BC DB BC ⊥=⋅又由PD ⊥平面ABCD ，可得PD ⊥BC ， 所以BC ⊥平面PBD. ………5分(Ⅱ)平面PBD 的法向量为),0,1,1(-=BC)1,0(,),1,2,0(∈=-=λλPC PE PC ，所以)1,2,0(λλ-E ，…………7分设平面EBD 的法向量为n =（a ，b ，c ），)1,2,0(),0,1,1(λλ-==DE DB由n 0=⋅DB ，n 0DE ⋅= ，得 0,2(1)0,a b b c λλ+=⎧⎨+-=⎩∴2(1,1,)1λλ=--n ，………………………………………10分 由cos 4BC BC π⋅=n n ,解得12-=λ…………………………12分分 组 频 数 频 率 [50,60) 2 0.04 [60,70) 8 0.16 [70,80) 10 0.2 [80,90) 16 0.32 [90,100] 14 0.28 合 计501.0021. 解：(Ⅰ){}2,1,1,-∈b a （b a ≠） 所以（a,b ）的取值所有可能的结果有6种：（-1，1）；（-1，2）；（1，-1）；（1，2）；（2，-1）；（2，1），……………3分 而当⎩⎨⎧>>0b a 时，直线不经过第四象限，符合条件的（a,b ）有2种结果.)(直线不过第四象限P ∴=13……………6分 (Ⅱ) 直线01=++by ax 与圆122=+y x 有公共点，∴1122≤+ba ，221a b +≥，………………8分a 是区间[]2,2-上的随机数，b 是区间[]1,1-上的随机数，则点（a,b ）均匀分布于矩形ABCD 区域内(如图)满足条件122≥+b a 的点（a,b ）均匀分布于阴影部分表示的内.……………10分∴P （直线01=++by ax 与圆122=+y x 有公共点）=812424ππ-=⨯-⨯=ABCD S S 阴影…………………12分22. (本小题满分12分)解：（I ）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.由题意，得22333a c a⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得31a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以22b =. …………………………3分 所求的椭圆方程为22132x y +=. …………………………………………………4分 （II ）由（I ）知1(1,0)F -.假设在x 轴上存在一点(,0)M t ，使得MP MQ ⋅恒为常数.①当直线l 与x 轴不垂直时，设其方程为(1)y k x =+，11(,)P x y 、22(,)Q x y .由22(1)132y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(23)6(36)0k x k x k +++-=.所以2122623k x x k +=-+，21223623k x x k -=+. ………………………………………7分MP MQ ⋅212121212()()()()(1)(1)x t x t y y x t x t k x x =--+=--+++22221212(1)()()k x x k t x x k t =++-+++22222222222(1)(36)()6(61)6232323k k k t k t k k t t k k k+--⋅--=-++=++++ 2222211616(2)(23)(4)41333223323t k t t t t t k k -+-++=+=+--++. 因为MP MQ ⋅ 是与k 无关的常数，从而有16403t +=，即43t =-.此时119MP MQ ⋅=- . ……………10分②当直线l 与x 轴垂直时，此时点P 、Q 的坐标分别为23231 1 33⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，、，， 当43t =-时，亦有119MP MQ ⋅=- . 综上，在x 轴上存在定点4(,0)3M -，使得MP MQ ⋅ 恒为常数，且这个常数为119-. …………………………………………………………12分。