格点与面积
第十一讲 格点与面积
第十一讲格点与面积请看下图，这是两个画在方格纸中的多边形，图（a）的多边形的所有顶点都在方格纸上的横、纵两组平行线垂直相交的交点上.图（b）中的多边形的顶点至少有一个顶点不在方格纸上那些横、纵两组平行线垂直相交的交点上.（比如A点）像图（a）这样的多边形，我们称它为格点多边形.什么是格点？平常我们用的方格纸的方格（每个小方格都是一个小正方形）都是由横、纵两组平行线垂直相交构成的，其中相邻两条平行线的距离都是相等的（通常规定是1个单位），在这样的方格纸上，横、纵两组平行线垂直相交的交点称为格点.以格点为顶点画出的多边形称为格点多边形.像图（b）这样的多边形虽然除A点之外所有顶点都是格点，但我们还不能把它称为格点多边形.显然易见，格点多边形面积的大小，与格点数目（包括边界上的）的多少有着密切的关系.一般看来，格点多边形的面积越大（小），它所包含格点数目（包括边界上的）就越多（少）.是否存在这两者之间关系的精确的计算公式？通过它只计数格点数目（包括边界上的）的多少就能准确地计算出格点多边形面积的大小？下面让我们共同探索这个规律.例1 如下图，计算下列各个格点多边形的面积.分析本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了.解：第（1）图是正方形，边长是4，所以面积是4×4=16（面积单位）.第（2）图是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5×3=15（面积单位）.第（3）图是三角形，底是5，高是4，所以面积是5×4÷2=10（面积单位）.第（4）图是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5×3=15（面积单位）.第（5）图是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是（3+5）×3÷2=12（面积单位）.第（6）图是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是（3＋6）×4÷2=18（面积单位）.例2 如下图（a），计算这个格点多边形的面积.分析这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下图（b），这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积,就是所要求的三角形面积.解：矩形面积是6×4=24.直角三角形Ｉ的面积是：6×2÷2＝6.直角三角形Ⅱ的面积是：4×2÷2=4，直角三角形Ⅲ的面积是：4×2÷2=4.所求三角形的面积是：24-（6＋4＋4）=10（面积单位）.例3 如右图，计算这个格点多边形的面积.分析这是个不规则的多边形，可以仿照例2的方法，用矩形面积减去四个直角三角形的面积，如下页图（a）所示.另一种方法可以把所求的四边形分割成几块，只要所分成的每个图形的面积好求，那么整个四边形的面积就能求了，如图（b）所示.解法1：矩形面积是4×3=12.直角三角形Ⅰ的面积是：2×1÷2=1.直角三角形Ⅱ的面积是：3÷1÷2=1.5.直角三角形Ⅲ的面积是：2×1÷2=1.直角三角形Ⅳ的面积是：2×2÷2=2.所以，所求四边形的面积是12-（1+1.5+1+2）=12-5.5=6.5（面积单位）.解法2：根据图（b）所示切割的情况，四边形被切成上、下、左、右四个三角形和中间一个矩形，它们的面积分别是：3×1÷2=1.5；3×1÷2=1.5；2×1÷2=1；1×1÷2=0.5；2×1=2.所以整个四边形的面积是：1.5+1.5+1+0.5+2=6.5（面积单位）.从解法2可以看到，把一个图形切割的方法虽然各有不同，但要遵循的原则是：切割的块数越少越好，而且每块面积都易于求出.为探寻图形面积与格点数目的关系，特研究下面例4.例4 如下页图，计算图（A）与图（B）的面积.解：用切割方法（如下图所示）.图（A）面积为：4×1+4×2÷2=8（面积单位）.图（B）面积为：3×1÷2+2×2+（1+2）×2÷2+2×1÷2=8（面积单位）.说明：从计算上我们看到图A与图B面积相等.除此之外，它们还有另两个共同特点：一是图A与图B周界上的格点数相等，都是8个.二是它们所包含在图形内的格点数也相等，都是5个.这个结论给了我们一个启发：难道两个图形如果周界上的格点数相同.图形内所包含的格点数也相同，就一定能断定这两个图形面积相等吗？为此让我们做进一步的探索.例5 如下图，计算下列各格点多边形的面积，统计每个图形周界上的格点数与图形内包含的格点数.解：列表如下：我们对表内数据分析发现：任何一个格点多边形的面积都等于周界上的格点数除以2减1再加上图形内包含的格点数.如果用S表示面积，用N表示图形内的格点数，用L表示周界上的格点数，再列成下表，它们之间的关系就更清楚了.这就是说：图形内的格点数与它周界上的格点数的一半的和（N+L/2）与它的面积S的差永远恰好是1.例6 如下图，将图中有关数据填入下表：以后，在我们求格点多边形面积时，可以直接应用公式：S=N+L/2-1这个公式表示：格点多边形的面积等于图形内的格点数加上周界上的格点数的一半减1.上述这个计算格点多边形的面积公式，是通过几个实例分析，归纳出来的，作为数学公式还须进行严格的证明.但限于同学们的知识水平，这个证明不在此进行了.例7 本讲开始提到的多边形如右图面积是多少？用上述公式很快就可以求出了.解：图形内部格点数N=21.图形周界上的格点数L=9.图形面积S=N+L/2-1=21+4.5-1=24.5（面积单位）.以上我们所研究的格点多边形都是属于正方形格点问题.也就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.下面我们进行另外一种格点多边形的研究，即三角形格点问题.所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形.例8 如下页图（a），有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.计算三角.形ABC的面积.解法1：如图（b）所示，在△ABC内连接相邻的三个点成△DEF，再连接DC、EA、FB 后是△ABC可看成是由△DEF分别延长FD、DE、EF边一倍、一倍、二倍而成的，不难得到S △ACD=2， S△AEB=3， S△FBC=4，所以S△=1+2+3+4=10（面积单位）.解法 2：如下图（c）所示，作辅助线把图Ⅰ′、Ⅱ′、Ⅲ′分别移拼到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，这样可以通过数小正三角形的方法，求出△ABC的面积为10.解法3：如上图（d）所示：作辅助线可知：平行四边形ARBE中有6个小正三角形，而△ABE的面积是平行四边形ARBE面积的一半，即S△ABE=3，平行四边形ADCH中有4个小正三角形，而△ADC的面积是平行四边形ADCH面积的一半，即S△ADC=2.平行四边形FBGC中有8个小正三角形，而△FBC的面积是平行四边形FBGC的一半，即：S△FBC=4.所以三角形ABC的面积是1+2+3+4=10（面积单位）.关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S表示面积，N表示图形内包含的格点数，L表示图形周界上的格点数，那么：S=2×N+L-2，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2.例如例8中，N=4，L=4；所以S=2×N+L-2=2×4+4-2=10（面积单位）.例9如右图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算△ABC的面积.解：因为N=5；L=3：所以S=2×N+L-2=2×5+3-2=11（面积单位）.例10 如右图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的正三角形，计算四边形ABCD 的面积.解：因为N=9；L=4；所以S=2×N+L-2=2×9+4-2=20（面积单位）.习题十一1.求下列各个格点多边形的面积.2.求下列格点多边形的面积（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形）.习题十一解答1.①∵ L=12；N=10，∴S=N+L/2-1=10+6-1=15（面积单位）.②∵L=10；N=16，∴S=N+L/2-1=16+5-1=20（面积单位）.③∵ L=6，N=12，∴S=N+L/2-l=12+3-1=14（面积单位）.④∵L=10；N=13，∴S=N+L/2-1=13+5-1=17（面积单位）.2.①∵L=7；N=7，∴S=2×N+L-2=2×7+7-2=19（面积单位）.②∵L=5；N=8，∴S=2×N+L-2=2×8+5-2=19（面积单位）.③∵L=6；N=8，∴S=2×N+L-2=2×8+6-2=20（面积单位）.④∵ L=7； N=8；∴S=2×N+L-2=2×8+7-2=21（面积单位）.。
三年级思维拓展-格点与面积
格点与面积生活中我们常借助一些工具来迅速简便的解决一些问题，如为了能捕到鱼，人们制作了鱼钩和网。
同样在数学学习中，为了更好的解决问题，聪明的人类也创造了一种“工具”。
就是我们这一讲主要学习的内容——格点与面积，它主要是教会我们利用格点来求出几何图形的面积。
首先来介绍什么是“格点”。
如下图：这是一张水平线和垂直线两两相交组成的方格纸，我们把其中的交点称为“格点”，每个正方形格点称为“面积单位”。
图中阴影部分就是一个“面积单位”。
借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小，利用格点来求图形的面积通常有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形的面积；而是将某些图形转化成为我们所学过的基本图形来求面积。
当然，两种方法也可以相结合使用。
精选例题【例1】：求下面各图形的面积。
☝思路点拨：先仔细观察图形中的每个图形，选择适合的方法。
显然一、三、六图可以直接数出包含多少个面积单位。
而二、四、五图不好数，可以采用扩展或是割补成长方形，再通过长方形的面积来求。
当然，这些都是一些规则的图形，可以直接根据面积公式来求。
☝标准答案：（1）图中长方形包括3×2=6（个）面积单位，所以它的面积为6.（2）方法①：将图形平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积单位为3×2=6，而平行四边形的面积等于长方形的面积，所以平行四边形的面积为3×2=6.方法②：可以直接由平行四边形的面积=底×高，即3×2=6.（3）方法①：将图形中三角形用虚线分成3块，它包含有1个面积单位和2个面积单位的一半，合起来就是2个面积单位，所以它的面积是2 。
方法②：三角形的面积=底×高÷2，即图中三角形的面积等于2×2÷2=2。
（4）方法①：图中可以将三角形扩展成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而三角形的面积为长方形的一半，所以它的面积为2。
几何图形六年级
几何图形题型一：格点图形的面积计算（毕克定理） 1、正方形格点多边形的面积计算公式：（毕克定理）正方形格点多边形的面积＝内点个数＋界点个数÷2－1，如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么，正方形格点面积可以表示为：S ＝N ＋12L －1。
2、三角形格点多边形及其面积计算公式每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形，规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形。
三角形格点多边形的面积计算公式：（毕克定理）三角形格点多边形的面积＝(内点个数＋界点个数÷2－1)×2，如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么，三角形格点面积可以表示为：S ＝(N ＋12L －1)×2。
注意：1．毕克定理对任何格点图形都适用。
要区分面积是几个单位。
2．在数格点时要细心。
3．严格区分正方形格点多边形和三角形格点多边形。
正方形格点图形的面积[模型例题1．]如图是用橡皮筋在钉板上围成的一个三角形，计算它的面积是多少。
(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位)分析 直接套用正方形格点多边形面积公式“正方形格点多边形的面积＝内点个数＋界点个数÷2－1”即可解答。
解：5＋3÷2－1＝5.5 答：三角形的面积为5.5。
[模型例题2．]如图所示，在边长为1厘米的正方形格点中，图形“”的面积是多少平方厘米？分析直接套用正方形格点多边形面积公式“正方形格点多边形的面积＝内点个数＋界点个数÷2－1”即可解答。
解：6＋10÷2－1＝10(平方厘米)答：图形“”的面积是10平方厘米。
三角形格点图形的面积[模型例题3．]下图中有28个点，其中每相邻的三点“∵”或“∴”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，试计算△ABC的面积。
分析直接套用三角形格点多边形面积公式“三角形格点多边形的面积＝(内点个数＋界点个数÷2－1)×2”即可解答。
格点面积公式
面积计算公式：皮克公式:格点多边形面积=多边形一周的格点数÷2+多边形内部格点数-1。
设格点多边形的面积为s，它各边上格点的个数和为x。
格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出s与x之间的关系式。
相关信息：
1、格点多边形的面积必为整数或半整数（奇数的一半）。
2、格点关于格点的对称点为格点。
3、格点多边形面积公式：设某格点多边形内部有格点a个，格点多边形的边上有格点b个，该格点多边形面积为S，则根据皮克公式有S=a+b/2-1。
4、格点正多边形只能是正方形。
5、格点三角形边界上无其他格点，内部有一个格点，则该点为此三角形的重心。
格点与面积
格点与面积第四讲格点与面积【例1】图1中是用橡皮筋钉在钉板上围成的几个图形，每两个相邻点之间分析图1中每相邻点之间的距离都是1厘米，相邻四个点围成的小方格面积就是1平方厘米，相邻三个点围成的小三角形面积就是0.5平方厘米。
解进行分割（图2）。
（1）的面积是6平方厘米，（2）的面积是12平方厘米，（3）的面积是3平方厘米，（4）的面积是9平方厘米，（5）的面积是5.5平方厘米。
说明图2中的图形，都是以格点为顶点的多边形，称为格点多变形，格点多边形的面积越大（小），它所包含的格点（包括边界上的）就越多（少）。
【例2】计算图3（1）中三角形的面积。
图3分析图中三角形是斜着的，先将它扩展成长方形，如图3（2），这个长方形由4个三角形组成，分别求出：①、②、③3个三角形的面积，再用长方形面积减去这3个三角形的面积和，即可求出原三角形的面积。
解三角形①的面积：3X24-2=3三角形②的面积：2X24-2=2三角形③的面积：4X14-2=2 长方形面积：4X3=12三角形④的面积:12-3-2-2=5【例3】图4中每两个相邻点之间的距离都是1厘米，求出各个图形的面积,图4分析按照例1的分析方法，进行分裂。
解A的面积是2平方厘米，B的面积是4. 5平方厘米，C的面积是5. 5平方厘米，D的面积是7平方厘米，E的面积是2平方厘米。
填表:n c r vv-fl B } 分析 现在小方格的面积是2,即比例2扩大了两倍，可以用例2的公式，也可 以直接计算，先把图4分割，如图6,然后数一数三角形的个数。
图6解A 的面积是5平方厘米，B 的面积是10平方厘米，C 的面积是12平方厘米,寻找规律: 图形 A : 4-2+1-1=2 图形 B : 9-2+1-1=4.5 图形 C: 9-2+2-1=5.5 图形 D: 10 - 2+3-1=7 图形 E : 6-2+0-1=2 于是，图形的面积与格点数有如下关系: 图形的面积=边上点数十2+内部点数-1 【例4】 图5中每相邻三个点围成的面积是1平方厘米，求各图的面积。
第3讲 格点与面积
格点与面积
例1 下图是一个格点图，图中有长方形、三角形、平行四边形和梯形各一个。
请你利用方格网计算出他们的面积各是多少（如图所示阴影部分的小正方形的面积是1平方厘米）
例2 在图中正方形格点中，这个宝塔图形的面积是多少（单位：厘米）
例3 观察下面四个多边形，计算下列多边形的面积，并统计每个多边形四周的格点数和图形内的格点数
例4 下图中是一个四角形，每个小正方形的面积均为1平方厘米。
求图中阴影部分的面积？
例5 下面是一个正三角形格点图，共有21个点，其中每相邻的3个点，∵和∴构成的都是面积为1的等边三角形。
请你计算图中三角形的面积？
思考与练习
1.求下面各图形的面积
2.求下图中的各图形的面积
3.求下图中各图形的面积
4.下面是一个5×5的方格图，每个小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点为格点。
请你在图中选择七个格点，要求其中任意三个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用线段顺次连接后所围成的面积尽可能大。
那么，所围图形的面积是多少平方厘米？
5.下图中每相邻3个点所形成的三角形面积均为1，试计算多边形ABCDE的面积
6.下面是一个5×5的方格图，求出图中阴影部分面积的和（每小格的面积是1平方厘米）
7.在下面5×10的方格图中，连接格点，画出4个面积为7的图形，要求每个图形形状都不相同（每个小方格的面积都是1）
8.如下图所示，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米。
M是AB中点，N是CD 的中点，P是EF的中点。
问：三角形MNP的面积是多少平方厘米？。
格点和面积
格点和面积格点与面积是数学中重要的概念。
它的定义与应用都有着深远的影响。
本文将详细阐述格点与面积的定义，以及它们的作用和在实际生活中的应用。
格点定义格点是指将空间或面积等分割成小的方格，每个方格形成一个格点。
格点的大小一般以毫米为单位进行计算，例如，0.05mm*0.05mm 的格点就是一个毫米的四分之一。
换句话说，格点指的是将空间或面积分割成细小的四方形区域，每个四方形区域形成一个方格状，形成一个格点。
面积定义面积是指物体所占空间面积，是指一块物体上所覆盖的空间。
通常来说，面积是以平方米（m）或平方厘米（cm）为单位计算的。
它也可以以立方米（m）、立方厘米（cm）等体积单位计算。
格点与面积的作用格点与面积的作用是十分重要的。
格点可以用来测量和计算一个空间的大小，以及测量一个物体的形状。
它可以用来进行测量，用来分析物体之间的关系，以及进行三维模型的建模等。
同样，面积也是一个非常重要的概念，用来衡量物体的大小和形状。
面积可以用来计算物体的体积，测量两个物体之间的位置，以及测量地形面积的变化。
格点与面积的应用格点和面积在实际生活中有着广泛的应用，例如它们在建筑和土木工程方面有着应用。
建筑设计师可以使用格点来将建筑空间中的方格分割成细小的区域，以便精准控制建筑结构和尺寸，从而最大限度地发挥建筑物的优势。
此外，面积也可以用来计算建筑物的总面积，以便估计建筑物的实际成本。
此外，格点与面积在工业界也有重要的应用。
例如，在机械加工中，格点可以用来确定机体的几何尺寸，进而确定机体的外形及加工尺寸。
另外，在农业生产中，也可以利用面积的概念来计算农田的大小，并且可以根据面积的大小来估算物品的产量。
综上所述，格点与面积都是实用性十分重要的概念，它们在各种实际应用中发挥着重要作用，这些应用可以有效提高工作效率，提高生产力，从而改善我们的生活质量。
第十讲格点与面积
第十讲格点与面积同学们，一看这个题目，你一定会有许多疑问：什么是格点?格点与面积之间又有什么关系等等．这一节我们就来探讨这些问题。
在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达?下面就让我们一起来探讨这些问题吧！一、正方形格点问题：正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.例1、判断以下图形哪些是格点多边形？分析：根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线，顶点要在格点上！所以只有(1)是格点多边形。
例2、如右图，计算各个格点多边形的面积.分析：此题所给的图形都是规那么图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了.法一：第(1)图是正方形，边长是4，所以面积是4×4=16(面积单位)；第(2)图是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5×3=15(面积单位)；第(3)图是三角形，底是5，高是4，所以面积是5×4÷2=10(面积单位)；第(4)图是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5×3=15(面积单位)；第(5)图是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是(3+5)×3÷2=12(面积单位)；第(6)图是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是(3＋6)×4÷2=18(面积单位).注：如果两格点之间的距离是2，你能利用刚计算的结果说出相应面积么？分析：面积数值均扩大4倍。
法二：以上局部图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发，即用“割补法〞或“扩展法〞分别转化成平置的长方形来求。
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格点与面积(A)一、填空题:1.下图的图形的面积是________(面积单位).2. 下列的图形中,三角形的面积是_________(面积单位).3.下列多边形的面积是________(面积单位).4.下列多边形的面积是_________(面积单位).5.求下列多边形的面积,填在相应的括号里:a =（ ）b =（ ）.6.用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图).如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形,这样得到的三角形中,面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少?7.在右图中,如果钉与钉之间距离为1厘米,用橡皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形.在这些三角形中,面积等于2平方厘米的三角形有多少个？8.右图有12个点,相邻两个点之间的距离是1厘米,这些点可以连成多少个面积为2平方厘米的三角形?9.12个钉钉成右图那样的一个矩形钉阵,相邻两钉间的距离都是1厘米.以这些钉为顶点用皮筋去套,可以得到不少三角形.问这些三角形中面积为3平方厘米的三角形有多少个?10.右图是由8个钉组成的不规则钉阵,我们依次给它们编号,分别为1,2,3,4,5,6,7,8.这1,3,5;2,3,4;6,7,8分别在一条直线上,用皮筋去套这些钉,一共可以套出多少个三角形?二、解答题:1.右图中的正方形被分成9个相同的小正方形,它们一共有16个顶点(共同的顶点算一个),以其中不在一条直线上的3个点为顶点,可以构成三角形.在这些三角形中,与阴影三角形有同样大小面积的有多少个?2.右图中有A 1 A 2 ,…,A 10共10个点,以这些点为顶点,可以画多少个不同的三角形?3.在圆周上任意给定6个点,在圆内再选4个点,使得以这10个点为顶点构成尽可能多的彼此不重叠的三角形.这些三角形最多有多少个?4.右图是一个相邻横竖两排距离都相等的4 6矩形钉阵,你能套出多少个不同的正方形来?———————————————答 案——————————————————————一、填空题:1. 5.2. 8. 点金术:设图形内的点为V,图形边上的点为L,则面积为L÷2-1+V.3. 14÷2-1+35=41.4. 36. 点金术:可以分成一个长方形和三角形.5. a=10+9÷2-1 b=30+15÷2-1=13.5 =36.56. 共有32个.解:分类统计如下:①②③底为2,高为1 底为2,高为1 底为1,高为2 3⨯2=6(个) 3⨯2=6(个) 3⨯2=6(个)④⑤⑥底为1,高为2 底为2,高为1 底为1,高为23⨯2=6(个) 2⨯2=4(个) 2⨯2=4(个)所以,面积等于1平方厘米的三角形的个数有:6+6+6+6+4+4=32(个).7. 答:面积等于2平方厘米的三角形有8个.8. 共有54个.解:分类如下:①②③底为2,高为2 底为2,高为2 底为2,高为25⨯3=15(个) 5⨯3=15(个) 2(个)④⑤⑥底为4,高为1 底为4,高为1 底为1,高为45⨯2=10(个) 2⨯2=4(个) 4(个)它的面积为⑦ 4⨯2-1⨯3÷2-1⨯1÷2-(1+3)⨯2÷24个 =2(平方厘米)所以,面积为2平方厘米的三角形有:15+15+2+10+4+4+4=54(个).9. 答:面积为3平方厘米的三角形有26个.10. 解:由于“不在一条直线上的三点可确定一个三角形”,根据排列组合知识得,一共可套出三角形:8⨯7⨯6÷(3⨯2⨯1)-1-1-1=56-3=53(个).这里减去的3个三角形,实际上是不能构成的.因为1,3,5;2,3,4;6,7,8分别在一条直线上.二、解答题:1. 解: ①设每个小正方形的边长为1个长度单位,则阴影三角形面积为: 2⨯3÷2=3(面积单位).②分类统计如下:①②③底为2,高为3 底为2,高为3 底为3,高为2 4⨯2=8(个) 4⨯2=8(个) 4⨯2=8(个)④⑤⑥底为3,高为2 底为2,高为3 底为3,高为24⨯2=8(个) 2⨯2⨯2=8(个) 2⨯2⨯2=8(个)③与阴影三角形面积相同的三角形有:8+8+8+8+8+8=48(个).2. 答:可画100个.提示:将所有的三角形按有一个顶点在直径上和两个顶点在直径上及三个顶点都不在直径上的三类.3. 答:12 个.提示:对任意给定的6 个点可以构成4个互不重叠的三角形(图①),下图②中如果选取A点只能增加一个互不重叠的三角形,如果选取B点可以增加两个互不重叠的三角形,所以只要在图①的4个三角形内各取一点,就得到12个互不重叠的三角形.4.一共能套出40个正方形.格点与面积(B)一、填空题:1.右图是用皮筋在钉板上围成的一个三角形,计算它的面积是多少.(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位).2.右图是一根用皮筋在钉板上围成的一个四边形,计算它的面积是多少.(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位).3.在一个9⨯6的长方形内,有一个凸四边形ABCD(如右图).用毕克定理先求出它的面积来,再用拼割方法计算它的面积,看两者是否一致.4.右图中每个小正方形的面积都是4平方厘米,求图中阴影部分的面积.5.右图是一个10⨯10的正方形,求正方形内的四边形ABCD 的面积.6.右图是一个8⨯12面积单位的图形.求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积.7.右图中每个小正方形的面积都是1,那么图中这只“狗”所占的面积是多少?8.右图是一个5⨯5的方格纸,小方格的面积是1平方厘米,小方格的顶点为格点.请你在图上选7个格点,要求其中任意3个格点都不在一条直线上,并且使这7个点用线段连结所围成的面积尽可能大,那么,所用图形的面积1是多少平方厘米？9.右图中每个小正方形的面积为1平方分米,那么阴影部分的面积是多少平方分米?10.右图中每个小平行四边形的面积是1个面积单位,求阴影部分的面积.二、解答题:1.右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的∆的面积.等边三角形,试计算ABC2.右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算四边形DEFG的面积.3.把等边三角形ABC每边六等分,组成如右图的三角形网.若图中每个小三角形的面积均为12cm,试求图中三角形DEF的面积.4.把大正三角形每边八等份,组成如右图所示的三角形网.如果每个小三角形的面积都是1,求图中粗线所围成的三角形的面积.———————————————答案——————————————————————一、填空题:1. 5.5面积单位.分析:解答这类问题可直接套用毕克定理:格点面积=内部格点数+周界上格点数÷2-1.注意:一是毕克定理只对格点凸多边形适用,二是在数格点时要细心.解: 5+3÷2-1=5.5(面积单位).2. 5+5÷2-1=6.5(面积单位).3. 27.5面积单位.解: ①由毕克定理得:25+7÷2-1=27.5(面积单位).②用拼割方法得:ABCD的面积=长方形EFGH的面积-四角上的四个三角形的面积 =9⨯6-(6⨯2÷2+3⨯3÷2+4⨯3÷2+4⨯5÷2)=54-(6+4.5+6+10)=27.5(面积单位).4. 48平方厘米.解: ①内部格点数为: 9个;②周界上格点数为: 8个;③阴影部分的面积是: 4⨯(9+8÷2-1)=48(平方厘米).5. 30面积单位.解: 因为ABCD不是凸四边形,所以如在原题图上取格点E,则三角形BCE及四边形AECD都是凸的图形,故:ABCD S =(4+6÷2-1)+(21+8÷2-1) =6+24=30(面积单位).6. 46面积单位.解: 因为ABCDEFGH 不是凸多边形,所以,连结GC 、MN ,则ABH ∆、矩形GCNM 、三角形MFE 、EDN 都是凸的图形.故箭形ABCDEFGH 的面积=(8+10÷2-1)+4⨯8+(4÷2-1)⨯2 =12+32+2=46(面积单位).7. 67.5面积单位.解: 图形内部格点数为59,图形周界上格点数为19. 所以图形的面积为:59+19÷2-1=67.5(面积单位).8. 23.5(平方厘米).分析与解: 这是一个5⨯5的方格纸,共有25个格点.现在要围成一个面积最大的图形,根据格点面积公式,要使图形面积最大,必须使图形包含的内部格点数和周界上格点数尽可能多.由方格纸可知,内部格点数最多为4⨯4=16,周界上格点数最多为5⨯4=20.但是,当周界上格点数为最多时,不符合题中“任意3个格点不在一条直线上”的条件,因此,适当调整图上7个格点的位置,如右上图所示,就得到了面积最大的图形.所围成图形的最大面积为: 16+17÷2-1=23.5(平方厘米).9. 8.5平方分米.解:图形内部格点数为7,图形周界上格点数为 5.阴影部分的面积为:7+5÷2-1=8.5(平方分米).10. 18.5面积单位.解: 图形内部格点数为16,图形周界上格点数为7. 图形的面积为: 16+7÷2-1=18.5(面积单位).二、解答题:1. 10面积单位.分析: 由“∵”和“∴”重合两点可拼为平行四边形 ,可以推出如下计算这类格点面积的公式:图形面积=(内部格点数+周界上格点数÷2-1)⨯2. 解: 图形内部格点数为4,图形周界上格点数为4.ABC S ∆=(4+4÷2-1)⨯2=10(面积单位).2. 12面积单位.解: DEFG S 四边形=(5+4÷2-1)⨯2=12(面积单位).3. 11面积单位.解: 图形内部格点数为5,图形周界上格点数为3.DEF S ∆=(5+3÷2-1)⨯2=11(2cm ).4. 26面积单位.解: 图形内部格点数为12,图形周界上格点数为4. 图形的面积为: (12+4÷2-1)⨯2=26(面积单位).。