正方形格点阵中多边形面积的计算公式
高思导引-四年级第十九讲-格点与割补教师版
第19讲ﻩﻩ格点与割补内容概述明确格点多边形的概念，学会通过分割和添补的方法计算其面积；学会利用割补法计算不规则图形的面积;掌握格点多边形的面积计算公式.典型问题兴趣篇1.图１9-ｌ中相邻两格点问的距离均为1厘米．三个多边形的面积分别是多少平方厘米?答案：4平方厘米２平方厘米8平方厘米【分析】方法:正方形格点阵中多边形面积公式:（N+L2-1)×单位正方形面积,其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N＝0，L＝１0,则用粗线围成图形的面积为:(0+1０÷2－1)×１=４（平方厘米)有Ｎ＝0，Ｌ=10,则用粗线围成图形的面积为:（1＋4÷2-１)×1=2(平方厘米）有N=5,L=8,则用粗线围成图形的面积为:(5+8÷２－1)×１=8(平方厘米)2．图１９－2中相邻两格点问的距离均为l厘米．三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米? 答案：5平方厘米5平方厘米0.５平方厘米【分析】方法：正方形格点阵中多边形面积公式:(N+L2－1）×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，Ｌ为图形周界上格点数.有Ｎ=4,L=4,则用粗线围成图形的面积为：（4+４÷２-1)×1=５(平方厘米) 有Ｎ=4,L=4，则用粗线围成图形的面积为:(4+4÷２－1)×1=５(平方厘米）有N=０,L=3，则用粗线围成图形的面积为:（0+3÷2－１）×１=0.５(平方厘米)3．图１9-3中每个小正方形的面积均为２平方厘米.阴影多边形的面积是多少平方厘米?答案:19平方厘米【分析】方法:交点组成了正方形格点,正方形格点阵中多边形面积公式:（N+L2-１)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数.有N=7，L=１7,则用粗线围成图形的面积为：(7+7÷2-1)×2＝19(平方厘米)4．图1９-４是一个三角形点阵,其中能连出的最小的等边三角形的面积为ｌ平方厘米.三个多边形的面积分别为多少平方厘米?答案:6平方厘米６平方厘米14平方厘米【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：（2N+L－２)x单位正三角形面积,其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=0,L=８,所以用粗线围成的图形的面积为:(０×2+８-2)×１=6(平方厘米).有Ｎ＝２，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(2×2+4-2)×1＝6(平方厘米）.有N=４，L=7,所以用粗线围成的图形的面积为：（4×2+7－2）×1＝１4(平方厘米).５．如图19-５所示,如果每个小等边三角形的面积都是１平方厘米．四边形ABCD和三角形EFＧ的面积分别是多少平方厘米?答案：20平方厘米10平方厘米【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式:（2N＋Ｌ-２)x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N＝9,L=4,所以用粗线围成的图形的面积为：（９×2+4-2)×1=２0(平方厘米)．有N＝4,L=4，所以用粗线围成的图形的面积为:（4×2+4-2）×1=1０(平方厘米）．６．图１９－6中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积.（单位：厘米)答案：32平方厘米【分析】3×２+2×4+（5-2)×(3＋1+２）=32７．如图19-７所示，在正方形A ＢＣD 内部有一个长方形.EFGH ．已知正方形A ＢＣＤ的边长是６厘米,图中线段ＡE 、AH 都等于2厘米.求长方形EFGH 的面积．答案：16平方厘米【分析】先算正方形面积６×６=36 再算左上角和右下角三角形面积２×2÷２×2＝4 后算左下角和右上角三角形面积４×4÷2×2＝16 ３6－４-1６=168．如图19-8所示,四边形ABCD 是长方形，长ＡD 等于７厘米,宽AB 等于5厘米，四边形C ＤＥF 是平行四边形.如果BH 的长是3厘米,那么图中阴影部分面积是多少平方厘米？答案：２5平方厘米【分析】 CDEF S 平行四边形=DC×BC=5×7=35,HC=BC-B Ｈ＝7－3＝4，所以CDH S ＝12×CD×HC=12×5×４=10． S 阴影＝CDEF S 平行四边形-CDHS =35-１0=2５（平方厘米）.9.如图19-9所示，大正方形的边长为10厘米.连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分,再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连.请问:图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?答案：50平方厘米【分析】如下图,我们将大正方形中的所有图形分成A、Ｂ两种三角形.其中含有Ａ形三角形8个,B形三角形１６个,其中阴影部分含有A形三角形４个，B形三角形８个．方形面积的12,即为12×１所以,阴影部分面积恰好为大正0×10=50(平方厘米)．10.在图19-10中,五个小正方形的边长都是２厘米,求三角形ABC的面积．答案:14平方厘米【分析】方法：转化为正方形格点,正方形格点阵中多边形面积公式:（N+L2-1)×单位正方形面积,其中N为图形内格点数,Ｌ为图形周界上格点数.有N=３,L＝３,则用粗线围成图形的面积为：（3+3÷2-１）×4=1４（平方厘米)拓展篇1. 图1９-1１中相邻格点围成的最小正方形或正三角形的面积均为ｌ平方厘米.这三个多边形的面积分别是多少平方厘米?答案：7．5平方厘米 6.5平方厘米９平方厘米【分析】方法：正方形格点阵中多边形面积公式：(Ｎ+L2-1)×单位正方形面积,其中N为图形内格点数,Ｌ为图形周界上格点数．有N＝４,L=9,则用粗线围成图形的面积为:（4＋9÷２-１）×１=7.5(平方厘米）有N=３,L=9，则用粗线围成图形的面积为：(3＋９÷2-1)×１＝６．5(平方厘米)有N=4,L=12，则用粗线围成图形的面积为：(４＋１2÷２-1)×1=9(平方厘米)2．(１)图19-12中每个小正方形的面积是2平方厘米.阴影部分面积是多少平方厘米?(２）图1９-１３中每个小正三角形的面积是4平方厘米.阴影部分面积是多少平方厘米? 答案:１7平方厘米56平方厘米【分析】方法：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L2－1）×单位正方形面积，其中N为图形内格点数,L为图形周界上格点数.有N=3,L=13,则用粗线围成图形的面积为:（３+１３÷2-１)×２=17(平方厘米)【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+Ｌ-2)x单位正三角形面积,其中Ｎ为图形内格点数，L为图形周界上格点数.有N=4，Ｌ＝8，所以用粗线围成的图形的面积为:(4×2＋8-2)×４＝56(平方厘米）．3.图19－14中每个小正方形的边长为1厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米？答案:１4平方厘米【分析】方法：可用公式先算出整个图形的面积,在减去中间空白部分的面积。
正方形格点阵中多边形面积的计算公式
正方形格点阵中多边形面积的计算公式，出现在各种形状的格点阵中的直线形的面积问题，以及借助构造格点阵求解的几何问题．通过恰当地分割与拼补进行计算的面积问题．1．如图6-1，每一个小方格的面积都是：正方形格点阵中多边形面积公式：为图形内格点数，L为图形周界上格点数．，则用粗线围成图形的面积为：②=2÷2=1，③=2÷2=1，④=2÷2=1，⑤=2÷2=l，⑥=2÷2=1，还有三个小正方形，所1.5+l+1+1+1+1+3=9.5，而整个格点阵所围成的图形的面16-9.5=6.5平方厘米．2．如图6-2，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米?【分析与解】方法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4-2)×1=20(平方厘米)．方法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不完整的小正三角形分成4部分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为4，所以①部分的面积为2，②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为2，8，6，所以②、③、④部分的面积分别为1，4，3．所以粗实线内图形的面积为lO+2+1+4+3=20(平方厘米)．3.如果图6-3是常见的一副七巧板的图，图6-4是用这副七巧板的7块板拼成的小房子图，那么，第2块板的面积等于整幅图的面积的几分之几?第4块板与第7块板面积的和等于整幅图的面积的几分之几?【分析与解】设整个七巧板组成的正方形的边长为块板面积和为整幅图面积：如右图，我们将图6-5分成若干个大小、形状完全相同的小，而由27块小正三角形组成了图中最大的正三，所以每块为1120，那么原来的正三角形由中的三角形分成A、B、两种正三角形的面积依次为“19”、“181种正三角形的个数依次为1，3．所以有“1”对应2740，而原来的正三角形即为三角形5．如图6-6，正六边形ABCDEF的面积是6分成大小、形状相同的三角形，包含有9个小正三角形．6．把同一个三角形的三条边分别五等分、七等分，适当连接这些分点，便得到了若【分析与解】在图个小正三角形，而阴影部分含有个小正三角形，所以每个小正三角形的面积为所以原正三角形的面积为5×25=612.5(平方分米而在图6-8中，原正三角形被分成块，所以阴影部分的面7．图6-9是5×5的方格纸，小方格的面积是个点可以组成一个七边形，适当的切去正方形个角可以得到一个六边形，切去3×0.5=23.5(，将原题中图形分为12个完全一样的小等腰三角形．其中阴影部分占SABC=9×9÷2=40，所以阴影部分的面积为40.5÷9×6=27(平方厘米方法二：DG=DF-FG=9-3=6(SHIG =14×有BF=AD=DG=6(方法三：如图(C)，为了方便叙述，将图中某些交点标上字母．易知三角形BIE、CGF、AIH先求出等腰直角三角形AHI再用已知的等腰三角形ABC的面积与其作差，即为需求阴影部分的面积．SABC =DEFS=12×EFCGFS=12×CF×FG=因为CF=FG=3，所以ACD S DGH S =14A I H S =DGH S =9，S ABC -CGF S -AIH S =812 -92-9=27(即阴影部分的面积为ADFO 的面积，再将其减去两个三角形AOD 、ODF 的面积和． AOD S =14S 矩形ODF S =12×DF×(AEO S =12×AE×(EFD S =12×ED×DF=有S 阴影=(AODS +ODFS)-AEOS-EFDS=60+15-12-24=39(10．如图6-12，大正方形的边长为10将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影如下图，我们将大正方形中的所有图形分成个，其中阴影部分含有厘米的正方形，梯形16平方厘米，则梯形个三角形的面积分别记为①、②、③、④．同底等高，所以有EBDS =ABDS，即③+②=①+②．B O DS-AOES=16，有(①+②)-(③+④)ABD S=12×8×8=32，所以③+④=(①+②)所以有S 梯形中，两条对角线将其分成四个部分，记它们的面积为“上”、2．12．如图6-14，ABCD 是长方形，长AD 等于HC=BC-BH=7.2-3=4.2，所以CDH S =12×CD×HC=S 阴影=S 平行四边形-CDHS =36-10.5=25.5(13．如图6-15，已知一个四边形的两条边的长度和三个角，那么这个四边形的面积是多少?延长交于E ，有∠EDC=45°，∠°，所以△ABE 也是等腰直角三角形，有ABE S =12×AB×EA EDC S =12×EC×DC=ABCD S 四边形=ABE S -EDC S =492-92=20．14．图6-16是边长为1的正方形和一个梯形拼成的“火炬”．梯形的上底长A 为上底的中点，B 为下底的中点，线段AB 恰好是梯形的高，将前者与后者做差所得到的值即为所AFH S=12×AH 0.5+1)-（12×1）=0.375AFH S-AHED S 梯形平方米．AJI S +AKC S +AIF S +ACD S=0.75×0.5÷2+O .75×O .5÷2+l×O .5÷2+115．从一块正方形木板锯下宽为12米的一个木条以后，为宽，有长与宽的差为12，所以图(c)中心的小正方形边长为×4+12×12=52936=236×236，所以AK长为。
几何图形六年级
几何图形题型一：格点图形的面积计算（毕克定理） 1、正方形格点多边形的面积计算公式：（毕克定理）正方形格点多边形的面积＝内点个数＋界点个数÷2－1，如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么，正方形格点面积可以表示为：S ＝N ＋12L －1。
2、三角形格点多边形及其面积计算公式每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形，规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形。
三角形格点多边形的面积计算公式：（毕克定理）三角形格点多边形的面积＝(内点个数＋界点个数÷2－1)×2，如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么，三角形格点面积可以表示为：S ＝(N ＋12L －1)×2。
注意：1．毕克定理对任何格点图形都适用。
要区分面积是几个单位。
2．在数格点时要细心。
3．严格区分正方形格点多边形和三角形格点多边形。
正方形格点图形的面积[模型例题1．]如图是用橡皮筋在钉板上围成的一个三角形，计算它的面积是多少。
(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位)分析 直接套用正方形格点多边形面积公式“正方形格点多边形的面积＝内点个数＋界点个数÷2－1”即可解答。
解：5＋3÷2－1＝5.5 答：三角形的面积为5.5。
[模型例题2．]如图所示，在边长为1厘米的正方形格点中，图形“”的面积是多少平方厘米？分析直接套用正方形格点多边形面积公式“正方形格点多边形的面积＝内点个数＋界点个数÷2－1”即可解答。
解：6＋10÷2－1＝10(平方厘米)答：图形“”的面积是10平方厘米。
三角形格点图形的面积[模型例题3．]下图中有28个点，其中每相邻的三点“∵”或“∴”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，试计算△ABC的面积。
分析直接套用三角形格点多边形面积公式“三角形格点多边形的面积＝(内点个数＋界点个数÷2－1)×2”即可解答。
格点面积公式
面积计算公式：皮克公式:格点多边形面积=多边形一周的格点数÷2+多边形内部格点数-1。
设格点多边形的面积为s，它各边上格点的个数和为x。
格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出s与x之间的关系式。
相关信息：
1、格点多边形的面积必为整数或半整数（奇数的一半）。
2、格点关于格点的对称点为格点。
3、格点多边形面积公式：设某格点多边形内部有格点a个，格点多边形的边上有格点b个，该格点多边形面积为S，则根据皮克公式有S=a+b/2-1。
4、格点正多边形只能是正方形。
5、格点三角形边界上无其他格点，内部有一个格点，则该点为此三角形的重心。
正方形格点阵中多边形面积计算公式
正方形格点阵中多边形面积的计算公式，出现在各种形状的格点阵中的直线形的面积问题，以及借助构造格点阵求解的几何问题．通过恰当地分割与拼补进行计算的面积问题．1．如图6-1，每一个小方格的面积都是l平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米?【分析与解】方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L2-1)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为：（4+72-1)×1=(平方厘米)方法二：如下图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，有①=3÷2=，②=2÷2=1，③=2÷2=1，④=2÷2=1，⑤=2÷2=l，⑥=2÷2=1，还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为+l+1+1+1+1+3=，而整个格点阵所围成的图形的面积为16，所以粗线围成的图形的面积为：=平方厘米．2．如图6-2，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD 的面积是多少平方厘米?【分析与解】方法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x 单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4-2)×1=20(平方厘米)．方法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不完整的小正三角形分成4部分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为4，所以①部分的面积为2，②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为2，8，6，所以②、③、④部分的面积分别为1，4，3．所以粗实线内图形的面积为lO+2+1+4+3=20(平方厘米)．3.如果图6-3是常见的一副七巧板的图，图6-4是用这副七巧板的7块板拼成的小房子图，那么，第2块板的面积等于整幅图的面积的几分之几?第4块板与第7块板面积的和等于整幅图的面积的几分之几?【分析与解】 如下图，我们在图6-3中标出图6-4中各块图形的位置．设整个七巧板组成的正方形的边长为1，显然整幅图形的面积为1，且有第2块的面积为12×12×12=18．有3S =4S ，2S =5S =7S =23S ，有2、3、4、5、7五块图形的面积之和为12，所以4S =IGFB S 长方形，7S =18．所以第2块板的面积等于整幅图面积的18，第4块板与第7块板面积和为整幅图面积的116+18=316．4．把正三角形每边三等分，将各边的中间段取来向外面作小正三角形，得到一个六角形．再将这个六角形的各个“角”(即小正三角形)的两边三等分，又以它们的中间段向外作更小的正三角形，这样就得到图6-5所示的图形．如果这个图形面积是1，那么原来的正三角形面积是多少?【分析与解】方法一：如右图，我们将图6-5分成若干个大小、形状完全相同的小正三角形，由40块小正三角形组成图6-5，而由27块小正三角形组成了图中最大的正三角形．120块小正三角形的面积为1，所以每块为1120，那么原来的正三角形由81块小正三角形组成，其面积显然为27 40．方法二：如下图，我们把图6-5中的三角形分成A、B、C三种，设A形正三角形面积为“1”，则B、C两种正三角形的面积依次为“19”、“181”．在图6-5中，A种、B种、C种正三角形的个数依次为1，3，12，所以图6-5中图形的面积为1+3×19+12×181=4027．所以有“1”对应2740，而原来的正三角形即为三角形A，所以原来的正三角形的面积为27 40.5．如图6-6，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米，M是AB中点，N是CD 中点，P是EF中点．问：三角形MNP的面积是多少平方厘米?【分析与解】如下图，我们将图6-6分成大小、形状相同的三角形，有正六边形ABCDEF包含有24个小正三角形，而阴影部分MNP包含有9个小正三角形．正六边形ABCDEF的面积为6，所以每个小正三角形的面积为6÷24=14，所以三角形MNP的面积为9×14=(平方厘米)．6．把同一个三角形的三条边分别五等分、七等分，适当连接这些分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图6-7中阴影部分的面积是294平方分米，那么图6-8中的阴影部分的面积是多少平方分米?【分析与解】在图6-7中，原正三角形被分成25个小正三角形，而阴影部分含有12个小正三角形，所以每个小正三角形的面积为294÷12=，所以原正三角形的面积为×25=(平方分米)．而在图6-8中，原正三角形被分成49块，而阴影部分含有16块，所以阴影部分的面积为÷49×16=200(平方分米)．7．图6-9是5×5的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求选出的点中任意3点都不在同一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么所围图形的面积是多少平方厘米?【分析与解】我们知道满足题意的7个点可以组成一个七边形，适当的切去正方形的一个角可以得到一个五边形，切出2个角可以得到一个六边形，切去3个角可以得到七边形.为了使最后留下的七边形的面积尽可能大，那么切去的3个角面积应尽可能的小．如下切法得到的七边形的面积最大，为25-3×=(平方厘米)．8.在图6-10中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DF长9厘米，CF长3厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】方法一：如图(a)，将原题中图形分为12个完全一样的小等腰三角形．△ABC 占有9个小等腰三角形，其中阴影部分占有6个小等腰三角形，SABC=9×9÷2=(平方厘米)，所以阴影部分的面积为÷9×6=27(平方厘米)．方法二：如图(b)，连接IG ，有四边形ADGI 为正方形，易知FG=FC=3(厘米)，所以DG=DF-FG=9-3=6(厘米)，于是S HIG =14×AIGD S 正方形=14×26=9.而四边形IGFB 为长方形，有BF=AD=DG=6(厘米)，GF=3(厘米)，所以IGFB S 长方形=6×3=18．阴影部分面积为A HIG 与长方形IGFB 的面积和，即为9+18=27(平方厘米)．方法三：如图(C)，为了方便叙述，将图6-10中某些交点标上字母． 易知三角形BIE 、CGF 、AIH 、DGH 均为等腰直角三角形．先求出等腰直角三角形AHI 、CGF 的面积，再用已知的等腰三角形ABC 的面积与其作差，即为需求阴影部分的面积．有S ABC =DEF S =12×EF ×DF=812，CGF S =12×CF×FG=92．因为CF=FG=3，所以DG=DF-FG=6．。
小学思维数学讲义：格点型面积-带详解
格点型面积模块一、正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N=+-．这个规律就是毕克定理．【例1】判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶【考点】格点型面积【难度】2星【题型】判断【解析】根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有⑴是格点多边形．【答案】⑴是格点多边形【例2】如图，计算各个格点多边形的面积．【考点】格点型面积【难度】2星【题型】解答【解析】本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了．方法一：图⑴是正方形，边长是4，所以面积是4416⨯=(面积单位)；图⑵是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑶是三角形，底是5，高是4，所以面积是54210⨯÷=(面积单位)；图⑷是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑸是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是353212+⨯÷=（）(面积单位)；图⑹是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是364218+⨯÷=（）(面积单位)．毕克定理若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，则它的面积为12LS N=+-．例题精讲如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．) 方法二：以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发，即用“割补法”或“扩展法”分别转化成长方形来求．这一种方法很重要，在下面的题目中我们还将使用这种方法！如图⑶，我们利用“扩展法”将其转化，如图所示，从图中易知三角形面积是长方形面积的一半．如图⑷，我们利用“割补法”将其阴影部分面积平移到右边，转化成一个长方形，从中易得平行四边形面积．同理，图⑸、⑹也可利用同样的思想．【答案】图⑴16；图⑵15；图⑶10；图⑷15；图⑸12；图⑹18．【例 3】 如图(a )，计算这个格点多边形的面积．【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 方法一(扩展法)．这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下右图(b )，这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积，就是所要求的三角形面积．矩形面积是6424⨯=；直角三角形Ⅰ的面积是：6226⨯÷=；直角三角形Ⅱ的面积是：4224⨯÷=；直角三角形Ⅲ面积是4224⨯÷=；所求三角形的面积是2464410-++=（）(面积单位)．方法二(割补法)．将原三角形分割成两个我们方便计算面积的三角形，如(c )图．因此三角形的面积是：52252210⨯÷+⨯÷=(面积单位)．【答案】10【例 4】 右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】新加坡小学数学奥林匹克竞赛 【解析】 扩展法．把所求三角形扩展成正方形ABCD 中．这个正方形中有四个三角形：一个是要求的AEF V ；另外三个分别是：△ABE 、△FEC 、△DAF ，它们都有一条边是水平放置的，易求它们的面积分别为21.5cm ，22cm ，21.5cm ．所以，图中阴影部分的面积为：33 1.5224⨯-⨯+=（）(2cm )．【答案】4【例 5】 分别计算图中两个格点多边形的面积．【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 利用“扩展法”和“割补法”我们都可以简单的得到第一幅图的面积均为9面积单位．第二幅图的面积均为10面积单位．【点评】“一个格点多边形面积的大小很可能是由哪些因素决定呢？”“格点多边形内部的格点数和周界上的格点数与格点多边形的面积有没有什么内在联系呢？”下面我们就来探讨一下！在巩固中，我们发现两个图形面积相等．进一步还可以发现第一个图形边界上的格点数是8个；第二个图形边界上的格点数是10个，包含在图形内的格点数也相等，都是6个．【答案】第一幅图的面积均为9；第二幅图的面积均为10．【巩固】 求下列各个格点多边形的面积．（1） （2） （3） （4）【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答【解析】 ⑴ ∵12L =；10N =，∴1211011522L S N =+-=+-=(面积单位)；⑵ ∵10L =；16N =，∴1011612022L S N =+-=+-=(面积单位)；⑶ ∵6L =；12N =，∴611211422L S N =+-=+-=(面积单位)；⑷ ∵10L =；13N =，∴1011311722L S N =+-=+-=(面积单位)．用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．【答案】⑴15；⑵ 20；⑶14；⑷17【例 6】 “乡村小屋”的面积是多少？【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答【解析】 图形内部格点数9N =；图形边界上的格点数20L = ；根据毕克定理， 则1182LS N =+-=(单位面积)． 【答案】18【例 7】 右图是一个812⨯面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积．H GFED C BA【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 箭形ABCDEFGH 的面积810214842121232246=+÷-+⨯+÷-⨯=++=（）（）(面积单位)． 【答案】46【例 8】 比较图中的两个阴影部分①和②的面积，它们的大小关系______【考点】格点型面积【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，二试，第9题，6分【解析】①的面积为：1112111313222⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，②的面积也为3223⨯÷=。
小学奥数格点型面积毕克定理
小学奥数：格点型面积毕克定理板块一 正方形格点问题在一张纸上,先画出一些水平直线和一些竖直直线,并使任意两条相邻的平行线的距离都相等通常规定是1个单位,这样在纸上就形成了一个方格网,其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中,以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形,例如,右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么,格点多边形的面积如何计算它与格点数目有没有关系如果有,这两者之间的关系能否用计算公式来表达下面就让我们一起来探讨这些问题吧用N 表示多边形内部格点,L 表示多边形周界上的格点,S 表示多边形面积,请同学们分析前几个例题的格点数． 我们能发现如下规律：12L S N =+-．这个规律就是毕克定理．【例 1】 用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵如右图．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形,这样得到的三角形中,面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少 面积等于2平方厘米的三角形有多少个【例 2】 如图,44⨯的方格纸上放了16枚棋子,以棋子为顶点的正方形有 个．【例 3】 判断下列图形哪些是格点多边形【例 4】 如图,计算各个格点多边形的面积．巩固如果两格点之间的距离是2,能利用刚计算的结果说出相应面积么教师总结：面积数值均扩大4倍．【例 5】 如图a ,计算这个格点多边形的面积．【例 6】 “新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题右图是一个方格网,计算阴影部分的面积．【例 7】 分别计算图中两个格点多边形的面积．⑴ ⑵巩固求下列各个格点多边形的面积．【例 8】 我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少【例 9】 右图是一个812⨯面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积．【例 10】 右图中每个小正方形的面积都是1,那么图中这只“狗”所占的面积是多少巩固如图,每一个小方格的面积都是1平方厘米,那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米【例 11】 “小学数学奥林匹克”竞赛试题55⨯的方格纸,小方格的面积是1平方厘米,小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点,要求其中任意3个格点都不在一条直线上,并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么,所围图形的面积是 平方厘米．【例 12】 “保良局亚洲区城市小学数学”竞赛试题第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕,下面的图形中,每一个小方格的面积是1,那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少【例 13】 第六届“从小爱数学”邀请赛试题两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格．现将这两个正方形的一部分重叠起来,若左上角的阴影部分块状面积为25.12cm ,右下角的阴影部分线状面积为27.4cm ,求大正方形的面积．【例 14】 第六届“华杯赛”试题图中正六边形ABCDEF 的面积是54,AP =2PF ,CQ =2BQ ,求阴影四边形CEPQ 的面积．板块二 三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”,所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1,以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S 表示面积,N 表示图形内包含的格点数,L 表示图形周界上的格点数,那么有22S N L =⨯+-,就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．【例 15】 如图a ,有21个点,每相邻三个点成“∵”或“∴”,所形成的三角形都是等边三角形．计算三角形ABC 的面积．巩固如图,每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,计算ABC 的面积．毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点,它的边界上有L 个格点,则它的面积为12L S N =+-．【例 16】求下列格点多边形的面积每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形．【例 17】把大正三角形每边八等分,组成如右图所示的三角形网．如果大三角形的面积是128,求图中粗线所围成的三角形的面积．【例 18】如图,如果每一个小三角形的面积是1平方厘米,那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米【例 19】把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分如图1,图2,然后适当连接这些等分点,便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图1中阴影部分面积是294平方分米,那么图2中阴影部分的面积是______平方分米．【例 20】将图中的图形分割成面积相等的三块．【例 21】如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米,问：大正六角星形面积是多少平方厘米【例 22】第五届“华杯赛”试题正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米．M是AB中点,N是CD中点,P 是EF中点．问：三角形MNP的面积是多少平方厘米【例 23】如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米．那么,三角形ABC的面积是_____平方厘米．。
小学奥数：格点型面积.专项练习及答案解析
模块一、正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．【例 1】 判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】判断 【解析】 根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有⑴是格点多边形．【答案】⑴是格点多边形毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的边界上有L 个格点， 则它的面积为12LS N =+-． 例题精讲4-2-7.格点型面积【例 2】 如图，计算各个格点多边形的面积．【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了．方法一：图⑴是正方形，边长是4，所以面积是4416⨯=(面积单位)； 图⑵是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑶是三角形，底是5，高是4，所以面积是54210⨯÷=(面积单位)； 图⑷是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)； 图⑸是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是353212+⨯÷=（）(面积单位)； 图⑹是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是364218+⨯÷=（）(面积单位)．如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．) 方法二：以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发，即用“割补法”或“扩展法”分别转化成长方形来求．这一种方法很重要，在下面的题目中我们还将使用这种方法！如图⑶，我们利用“扩展法”将其转化，如图所示，从图中易知三角形面积是长方形面积的一半．如图⑷，我们利用“割补法”将其阴影部分面积平移到右边，转化成一个长方形，从中易得平行四边形面积．同理，图⑸、⑹也可利用同样的思想．【答案】图⑴16；图⑵15；图⑶10；图⑷15；图⑸12；图⑹18．【例 3】 如图(a )，计算这个格点多边形的面积．【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 方法一(扩展法)．这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下右图(b )，这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积，就是所要求的三角形面积．矩形面积是6424⨯=；直角三角形Ⅰ的面积是：6226⨯÷=；直角三角形Ⅱ的面积是：4224⨯÷=；直角三角形Ⅲ面积是4224⨯÷=；所求三角形的面积是2464410-++=（）(面积单位)．方法二(割补法)．将原三角形分割成两个我们方便计算面积的三角形，如(c )图．因此三角形的面积是：52252210⨯÷+⨯÷=(面积单位)．【答案】10【例 4】 右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】新加坡小学数学奥林匹克竞赛 【解析】 扩展法．把所求三角形扩展成正方形ABCD 中．这个正方形中有四个三角形：一个是要求的AEF V ；另外三个分别是：△ABE 、△FEC 、△DAF ，它们都有一条边是水平放置的，易求它们的面积分别为21.5cm ，22cm ，21.5cm ．所以，图中阴影部分的面积为：33 1.5224⨯-⨯+=（）(2cm )．【答案】4【例 5】 分别计算图中两个格点多边形的面积．【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 利用“扩展法”和“割补法”我们都可以简单的得到第一幅图的面积均为9面积单位．第二幅图的面积均为10面积单位．【点评】“一个格点多边形面积的大小很可能是由哪些因素决定呢？”“格点多边形内部的格点数和周界上的格点数与格点多边形的面积有没有什么内在联系呢？”下面我们就来探讨一下！在巩固中，我们发现两个图形面积相等．进一步还可以发现第一个图形边界上的格点数是8个；第二个图形边界上的格点数是10个，包含在图形内的格点数也相等，都是6个． 【答案】第一幅图的面积均为9；第二幅图的面积均为10．【巩固】 求下列各个格点多边形的面积．（1）（2）（3）（4）【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答【解析】 ⑴ ∵12L =；10N =，∴1211011522L S N =+-=+-=(面积单位)；⑵ ∵10L =；16N =，∴1011612022L S N =+-=+-=(面积单位)；⑶ ∵6L =；12N =，∴611211422L S N =+-=+-=(面积单位)； ⑷ ∵10L =；13N =，∴1011311722L S N =+-=+-=(面积单位)．用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．【答案】⑴15；⑵ 20；⑶14；⑷17【例 6】 “乡村小屋”的面积是多少？【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 图形内部格点数9N =；图形边界上的格点数20L = ；根据毕克定理， 则1182LS N =+-=(单位面积)．【答案】18【例 7】 右图是一个812⨯面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积．H GFED C BA【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 箭形ABCDEFGH 的面积810214842121232246=+÷-+⨯+÷-⨯=++=（）（）(面积单位)．【答案】46【例 8】 比较图中的两个阴影部分①和②的面积，它们的大小关系______【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，二试，第9题，6分【解析】 ①的面积为：1112111313222⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，②的面积也为3223⨯÷=。
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正方形格点阵中多边形面积的计算公式，出现在各种形状的格点阵中的直线形的面积问题，以及借助构造格点阵求解的几何问题．通过恰当地分割与拼补进行计算的面积问题．
1．如图6-1，每一个小方格的面积都是l平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米?
【分析与解】方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L
2
-1)×单位
正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．
有N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为：（4+7
2
-1)×1=6.5(平方厘米)
方法二：如下图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，有①=3÷2=1.5，
②=2÷2=1，③=2÷2=1，④=2÷2=1，⑤=2÷2=l，⑥=2÷2=1，还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为1.5+l+1+1+1+1+3=9.5，而整个格点阵所围成的图形的面积为16，所以粗线围成的图形的面积为：16-9.5=6.5平方厘米．
2．如图6-2，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD 的面积是多少平方厘米?
【分析与解】方法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x 单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．
有N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4-2)×1=20(平方厘米)．
方法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不完整的小正三角形分成4部分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为4，所以①部分的面积为2，②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为2，8，6，所以②、③、④部分的面积分别为1，4，3．所以粗实线内图形的面积为lO+2+1+4+3=20(平方厘米)．
3.如果图6-3是常见的一副七巧板的图，图6-4是用这副七巧板的7块板拼成的小房子图，那么，第2块板的面积等于整幅图的面积的几分之几?第4块板与第7块板面积的和等于整幅图的面积的几分之几?
【分析与解】 如下图，我们在图6-3中标出图6-4中各块图形的位置．
设整个七巧板组成的正方形的边长为1，显然整幅图形的面积为1，且有第
2块的面积为12×12×12=1
8
．
有3S =4S ，2S =5S =7S =23S ，有2、3、4、5、7五块图形的面积之和为1
2
，
所以4S =IGFB S 长方形，7S =1
8
．
所以第2块板的面积等于整幅图面积的1
8
，第4块板与第7块板面积和为整
幅图面积的116+18=3
16
．
4．把正三角形每边三等分，将各边的中间段取来向外面作小正三角形，得到一个六角形．再将这个六角形的各个“角”(即小正三角形)的两边三等分，又以它们的中间段向外作更小的正三角形，这样就得到图6-5所示的图形．如果这个图形面积是1，那么原来的正三角形面积是多少?
【分析与解】 方法一：如右图，我们将图6-5分成若干个大小、形状完全相同的小正三角形，由40块小正三角形组成图6-5，而由27块小正三角形组成了图中最大的正三角形．
120块小正三角形的面积为1，所以每块为1
120
，那么原来的正三角形由81
块小正三角形组成，其面积显然为27
40
．
方法二：如下图，我们把图6-5中的三角形分成A 、B 、C 三种，设A 形正三
角形面积为“1”，则B 、C 两种正三角形的面积依次为“19”、“1
81
”．
在图6-5中，A 种、B 种、C 种正三角形的个数依次为1，3，12，所以图6-5
中图形的面积为1+3×19+12×181=4027．所以有“1”对应27
40
，而原来的正三角
形即为三角形A ，所以原来的正三角形的面积为27
40
.
5．如图6-6，正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米，M 是AB 中点，N 是CD 中点，P 是EF 中点．问：三角形MNP 的面积是多少平方厘米?
【分析与解】如下图，我们将图6-6分成大小、形状相同的三角形，有正六边形ABCDEF包含有24个小正三角形，而阴影部分MNP包含有9个小正三角形．
正六边形ABCDEF的面积为6，所以每个小正三角形的面积为6÷24=1
4
，所
以三角形MNP的面积为9×1
4
=2.25(平方厘米)．
6．把同一个三角形的三条边分别五等分、七等分，适当连接这些分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图6-7中阴影部分的面积是294平方分米，那么图6-8中的阴影部分的面积是多少平方分米?
【分析与解】在图6-7中，原正三角形被分成25个小正三角形，而阴影部分含有12个小正三角形，所以每个小正三角形的面积为294÷12=24.5，所以原正三角形的面积为24.5×25=612.5(平方分米)．
而在图6-8中，原正三角形被分成49块，而阴影部分含有16块，所以阴影部分的面积为612.5÷49×16=200(平方分米)．
7．图6-9是5×5的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求选出的点中任意3点都不在同一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么所围图形的面积是多少平方厘米?
【分析与解】我们知道满足题意的7个点可以组成一个七边形，适当的切去正方形的一个角可以得到一个五边形，切出2个角可以得到一个六边形，切去3个角可以得到七边形.
为了使最后留下的七边形的面积尽可能大，那么切去的3个角面积应尽可能的小．
如下切法得到的七边形的面积最大，为25-3×0.5=23.5(平方厘米)．
8.在图6-10中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DF长9厘米，CF长3厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米?
【分析与解】方法一：如图(a)，将原题中图形分为12个完全一样的小等腰三角形．
△ABC 占有9个小等腰三角形，其中阴影部分占有6个小等腰三角形，S ABC =9×9÷2=40.5(平方厘米)，所以阴影部分的面积为40.5÷9×6=27(平方厘米)．
方法二：如图(b)，连接IG ，有四边形ADGI 为正方形，易知FG=FC=3(厘米)，
所以DG=DF-FG=9-3=6(厘米)，于是S HIG =14×AIGD S 正方形=1
4
×26=9.
而四边形IGFB 为长方形，有BF=AD=DG=6(厘米)，GF=3(厘米)，所以I G F B
S 长方形=6×3=18．
阴影部分面积为A HIG 与长方形IGFB 的面积和，即为9+18=27(平方厘米)．
方法三：如图(C)，为了方便叙述，将图6-10中某些交点标上字母． 易知三角形BIE 、CGF 、AIH 、DGH 均为等腰直角三角形．
先求出等腰直角三角形AHI 、CGF 的面积，再用已知的等腰三角形ABC 的面积与其作差，即为需求阴影部分的面积．
有S ABC =DEF S =12×EF ×DF=812，CGF S =12×CF×FG=9
2
．
因为CF=FG=3，所以DG=DF-FG=6．。