小学奥数：格点型面积(毕克定理)
毕克定理三角形格点面积公式
1.毕克定理三角形格点面积公式是什么？
答：三角形毕克定理的公式：S=a+b÷2－1。
皮克定理是指一个计算点阵中顶点在格点上的多边形面积公式，其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形落在格点边界上的点数，S表示多边形的面积。
三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。
常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。
几何图形六年级
几何图形题型一：格点图形的面积计算（毕克定理） 1、正方形格点多边形的面积计算公式：（毕克定理）正方形格点多边形的面积＝内点个数＋界点个数÷2－1，如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么，正方形格点面积可以表示为：S ＝N ＋12L －1。
2、三角形格点多边形及其面积计算公式每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形，规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形。
三角形格点多边形的面积计算公式：（毕克定理）三角形格点多边形的面积＝(内点个数＋界点个数÷2－1)×2，如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么，三角形格点面积可以表示为：S ＝(N ＋12L －1)×2。
注意：1．毕克定理对任何格点图形都适用。
要区分面积是几个单位。
2．在数格点时要细心。
3．严格区分正方形格点多边形和三角形格点多边形。
正方形格点图形的面积[模型例题1．]如图是用橡皮筋在钉板上围成的一个三角形，计算它的面积是多少。
(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位)分析 直接套用正方形格点多边形面积公式“正方形格点多边形的面积＝内点个数＋界点个数÷2－1”即可解答。
解：5＋3÷2－1＝5.5 答：三角形的面积为5.5。
[模型例题2．]如图所示，在边长为1厘米的正方形格点中，图形“”的面积是多少平方厘米？分析直接套用正方形格点多边形面积公式“正方形格点多边形的面积＝内点个数＋界点个数÷2－1”即可解答。
解：6＋10÷2－1＝10(平方厘米)答：图形“”的面积是10平方厘米。
三角形格点图形的面积[模型例题3．]下图中有28个点，其中每相邻的三点“∵”或“∴”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，试计算△ABC的面积。
分析直接套用三角形格点多边形面积公式“三角形格点多边形的面积＝(内点个数＋界点个数÷2－1)×2”即可解答。
格点面积公式毕克定理
格点面积公式毕克定理嘿，同学们！今天咱们来聊聊一个挺有趣的数学知识——格点面积公式毕克定理。
先来讲讲我之前遇到的一件小事儿。
有一次我去公园散步，看到地上铺着那种一格一格的地砖，就像咱们数学里的格点图。
我突然就想到了毕克定理，感觉数学知识真是无处不在。
那什么是毕克定理呢？简单来说，就是计算格点多边形面积的一个好办法。
假设一个格点多边形内部有 N 个格点，边上有 L 个格点，那这个多边形的面积就等于 N + L/2 - 1 。
咱们来通过几个例子感受感受。
比如说一个简单的正方形格点图，边长是 3 个格子。
内部没有格点，边上有 4 个格点。
按照毕克定理，面积就是 0 + 4/2 - 1 = 1 ，正好就是这个正方形的面积。
再比如一个稍微复杂点的三角形格点图，内部有 3 个格点，边上有6 个格点。
那它的面积就是 3 + 6/2 - 1 = 5 。
有些同学可能会问了，这毕克定理有啥用呢？用处可大啦！比如说在一些数学竞赛中，如果遇到求格点图形面积的题目，用毕克定理就能快速又准确地得出答案。
而且呀，毕克定理还能帮助我们更好地理解图形和数量之间的关系。
通过计算格点图形的面积，我们能更深入地感受数学的奇妙和规律。
在实际生活中，也能看到毕克定理的影子呢。
比如设计师在设计一些图案的时候，可能就会用到格点和毕克定理来计算面积和比例，确保设计的美观和合理。
同学们，数学的世界就像一个大宝藏，毕克定理只是其中的一颗小宝石。
只要咱们用心去探索，就能发现更多有趣又实用的知识。
就像我在公园里看到的那些地砖格点，它让我在平常的生活中也能想到数学。
咱们学习数学，不只是为了考试，更是为了能在生活中发现它的美，用它来解决问题，让生活变得更有趣、更有条理。
希望大家以后看到格点图形的时候，都能想起毕克定理，用它来算出面积，感受数学的魅力！。
格点法求面积的公式
面积计算公式：皮克公式:格点多边形面积=多边形一周的格点数÷2+多边形内部格点数-1
设格点多边形的面积为s，它各边上格点的个数和为x。
格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出s与x之间的关系式。
格点的起源
格点问题起源于以下两个问题的研究：
1、狄利克雷除数问题，即求x>1时D2（x）=区域{1≤u≤x，1≤v≤x，uv≤x}上的格点数。
1849年，狄利克雷证明了D2（x）=xlnx+（2ν一1）x+△（x），这里ν为欧拉常数，△（x）=O（x0.5）。
这一问题的目的是要求出使余项估计△（x）=O（x）成立的又的下确界θ0。
2、圆内格点问题，设x>1，A2（x）=圆内μ+ν≤x上的格点数。
高斯证明了A2（x）=πx+R（x），这里R（x）=O（x^1/2）,求使余项估计R（x）=O（x）成立的λ的下确界α的问题，称之为圆内格点问题或高斯圆问题。
小学初级奥数第22讲-格点面积
I
II
III
(a)
(b)
(c)
例三 分别计算图中两个格点多边形的面积。
练一练 求下列各个格点多边形的面积。
（1）
（2）
（3）
（4）
例三
如图(a )，有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所 形成的三角形都是等边三角形。计算三角形ABC 的面积。
练一练
如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1 的等边三角形，计算三角形ABC的面积。
正方形格点问题
在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行 线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的 每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多 边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．
那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两 者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！源自AC B例四
图中正六边形ABCDEF的面积是54，AP=2PF，CQ=2BQ， 求阴影四边形CEPQ的面积。
例五 正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米。M 是AB 中点，N 是CD 中点，P 是EF 中点。问：三角形MNP 的面积是多少平方厘米？
课后作业
<作业1> 比较图中的两个阴影部分①和②的面积，它们的大小关系______
①
②
课后作业
<作业2> 横竖每相邻两点之间的距离为1cm，“乡村小屋”的面积是多少？
课后作业
<作业3> 如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是 多少平方厘米？
课后作业
小学奥数：格点型面积(毕克定理)
小学奥数：格点型面积（毕克定理）板块一正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等（通常规定是1个单位），这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点•在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形.那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数.我们能发现如下规律：S = N - -1 •这个规律就是毕克定理.2毕克定理若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，则它的面积为s=N +丄一1 •2【例1】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵（如右图）•如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？面积等于2平方厘米的三角形有多少个？【例3】判断下列图形哪些是格点多边形?【巩固】如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？（教师总结：面积数值均扩大4倍.）【例【例2】如图，4 4的方格纸上放了 __________ 个.【例【例6】（“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题）右图是一个方格网，计算阴影部分的面积. 【例7】分别计算图中两个格点多边形的面积.【巩固】求下列各个格点多边形的面积.【例8】我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少?⑷【例9】右图是一个8 12面积单位的图形.求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积.H【例11】 （“小学数学奥林匹克”竞赛试题）5 5的方格纸，小方格的面积是 1平方厘米，小方格的顶点称为格点.请你在图上选 7个格点，要求其中任意 3个格点都不在一条直线上，并且使这 7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大•那么，所围图形的面积是__________ 平方厘米.【例12】 （“保良局亚洲区城市小学数学”竞赛试题 ）第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在 7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是 1 ,那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？【例13】 （第六届“从小爱数学”邀请赛试题）两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格.现将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的阴影部分 （块状）面积为5.12cm 2，右下角的阴影部分（线状）面积为7.4cm 2，求大正方形的面积.【例14】 （第六届“华杯赛”试题）图中正六边形 ABCDEF 的面积是54 , AP=2PF , CQ=2BQ ，求阴影四边形CEPQ 的面积.F D【例10】 右图中每个小正方形的面积都是1那么图中这只“狗”所占的面积是多少?板块二三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成•”或“•••”，所形成的三角形都是等边三角形•规定它的面 积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形.关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用 S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数， L 表 示图形周界上的格点数，那么有 S=2 N ，L_2，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的 2倍与 周界上格点数的和减去 2.【例15】 如图（a ），有21个点，每相邻三个点成或，所形成的三角形都是等边三角形.计算三角形ABC 的面积.A EF D CB (b)【巩固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为 1的等边三角形，计算 ABC 的面积.【例18】 如图，如果每一个小三角形的面积是 1平方厘米，那么四边形 ABCD 的面积是多少平方厘米?【例16】 （每相邻三个点•”或成面积为 1的等边三角形）.【例17】 把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网•如果大三角形的面积是 粗线所围成的三角形的面积.128,求图中A(a)C 求下列格点多边形的面积 ⑴ ⑵⑶ ⑷【例19】 把同一个三角形的三条边分别 5等分、7等分（如图1，图2），然后适当连接这些等分点，便得至厅若干个面积相等的小三角形•已知图 1中阴影部分面积是 294平方分米，那么图 2中阴影部分的面积是 ______ 方分米.【例20】 将图中的图形分割成面积相等的三块.【例22】 （第五届“华杯赛”试题）正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米.M 是AB 中点，N 是CD 中点，P 是EF 中点.问：三角形 MNP 的面积是多少平方厘米？【例23】 如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是 ____ 方厘米.NNE【例21】 如图涂阴影部分的小正六角星形面积是 16平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米?2平方厘米•那么，三角形 ABC 的面积是團I 2。
奥数培优 五年级 第3讲 格点与面积
第三讲格点与面积例1、下面是一个格点图，图中有长方形，三角形，平行四边形和梯形各一个，请你利用方格网计算出他们的面积是多少（如图所示阴影部分的校正方形的面积是1平方厘米）.例2、图中正方形格点中，这个宝塔图形的面积是多少？（单位：厘米）例3、观察下面四个多边形，计算下列各多边形的面积，并统计每个多边形边界上的格点数和图形内的格点数。
比克定理：任何一个正方形格点多边形的面积都等于图形内部的格点数加上图形边界的格点数除以2的和。
例4、下图是一个四角形，每个小正方形的面积均为1平方厘米，求图中阴影部分的面积。
例5、下面是一个正三角形格点图，共有21个点，其中每相邻的3个点“∴”和“∵”构成的都是面积为1平方厘米的等边三角形，请你计算图中三角形的面积。
思考与练习1、求下面个图形的面积（相邻格点距离1厘米）2、求下图中各图形的面积（相邻格点距离1厘米）3、求下图中各图形的面积（相邻格点距离1厘米）4、下面是一个5×5的方格图，每个小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点为格点。
请你在图中选择7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用线段顺次连接后所围城的面积尽可能大，那么，所围图形的面积是多少平方厘米？5、下图中每相邻3个点所形成的三角形面积均为1，试计算多边形ABCDE的面积。
6、下面是一个5×5的方格图，求出图中阴影部分面积的和（每小格的面积是1平方厘米）.7、在下面5×10的方格图中，连接格点，画出4个面积为7的图形，要求每个图形形状都不相同（每个小方格的面积都是1平方厘米）.8、如下图所示，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米。
M是AB的中点，N是CD的中点，P是EF的中点，问：三角形MNP 的面积是多少平方厘米？。
毕克定理三角形格点面积公式
毕克定理三角形格点面积公式毕克定理是一个用于求解三角形格点面积的公式，它是由毕达哥拉斯学派的毕克提出的。
该定理可以用于计算任意三角形的格点面积，即三角形内部恰好有整数个格点的面积。
三角形的格点面积是指平面上以三个顶点为角的三角形内部的正方形格点的个数。
正方形格点是指具有整数坐标的点，也就是格点面积是指三角形内部有整数个格点。
假设我们有一个三角形ABC，其中A、B、C为整点，即它们的坐标都是整数。
那么，我们可以使用毕克定理来计算三角形的格点面积。
首先，我们需要找到三角形内部的所有格点。
一个格点必须是一个整数坐标的点，且必须位于三角形的内部。
为了简化计算过程，我们可以将三角形与网格对齐，使其边与网格线平行或垂直。
然后，我们需要计算三个边界上的格点数目以及三角形内部的顶点格点数目。
边界上的格点数目可以通过计算两个格点之间的距离来获得。
例如，边AB上的格点数目可以通过计算AB的长度来得到。
最后，我们可以使用毕克定理的公式来计算三角形的格点面积：格点面积=三角形内部的格点数目-三个边界上的格点数目+1其中，三角形内部的格点数目可以通过使用射线法或扫描线法来计算。
这些方法是在三角形内发射一条射线或扫描线，通过计算射线或扫描线与三角形边界的交点来得到内部格点的数目。
毕克定理可以通过以下步骤来证明：1.首先，我们可以证明一个有界六边形的格点面积公式：六边形的格点面积=六边形内部的格点数目-六个边界上的格点数目+12.然后，我们可以使用对边界共线的有界六边形进行分割的方法来将三角形转化为有界六边形。
3.最后，我们可以将上述两个结果结合起来，即可证明毕克定理。
需要注意的是，毕克定理只适用于顶点为整点的三角形。
对于不满足条件的三角形，我们可以通过平移和缩放操作将其转化为满足条件的三角形，然后使用毕克定理进行计算。
总结起来，毕克定理是一个用于计算三角形格点面积的公式。
它通过计算三角形内部的格点数目、边界上的格点数目和一个常数项来得到最终结果。
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小学奥数：格点型面积（毕克定理）
板块一正方形格点问题
在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．
那么，格点多边形的面积如何计算它与格点数目有没有关系如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达下面就让我们一起来探讨这些问题吧！
用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．
我们能发现如下规律：1
2
L
S N
=+-．这个规律就是毕克定理．
【例 1】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少面积等于2平方厘米的三角形有多少个
【例 2】如图，44⨯的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个．
毕克定理
若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，
【例 3】判断下列图形哪些是格点多边形
⑴⑵⑶
【例 4】如图，计算各个格点多边形的面积．
【巩固】如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么(教师总结：面积数值均扩大4倍．)
【例 5】如图(a)，计算这个格点多边形的面积．
【例 6】(“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题)右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．
【例 7】 分别计算图中两个格点多边形的面积．
⑴
⑵
【巩固】求下列各个格点多边形的面积．
⑵
⑴
⑷
⑶
【例 8】 我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少
【例 9】 右图是一个812 面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积．
H G
F
E
D C A
【例 10】
右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是
多少
【巩固】如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米
【例 11】(“小学数学奥林匹克”竞赛试题)55 的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积是平方厘米．
【例 12】(“保良局亚洲区城市小学数学”竞赛试题)第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少
【例 13】(第六届“从小爱数学”邀请赛试题)两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格．现将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的阴影部分(块状)面积为2
7.4cm，求
5.12cm，右下角的阴影部分(线状)面积为2
大正方形的面积．
【例 14】
(第六届“华杯赛”试题)图中正六边形ABCDEF 的面积是54，AP =2PF ，CQ =2BQ ，求阴影四边形CEPQ 的面积．
B P
Q
F
E
D
C
B A
板块二 三角形格点问题
所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．
关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有22S N L =⨯+-，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．
【例 15】
如图(a )，有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．计算三角形ABC 的面积．
A B
C
D F E
(b )
(a )
【巩固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算ABC 的面积．
C B
A
【例 16
】求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)．
⑴⑵⑶⑷
【例 17】把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网．如果大三角形的面积是128，求图中粗线所围成的三角形的面积．
【例 18】如图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米
【例 19】把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图1，图2)，然后适当连接这些等分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图1中阴影部分面积是294平方分米，那么图2中阴影部分的面积是______平方分米．
【例 20】将图中的图形分割成面积相等的三块．
【例 21】
如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米
【例 22】(第五届“华杯赛”试题)正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米．M是AB中点，N是CD中点，P是EF中点．问：三角形MNP的面积是多少平方厘米
S
R
Q
A
B
C D
E
F
N
M P
P
M
F
E
D
C
B
A
【例 23】如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米．那么，三角形ABC的面积是_____平方厘米．。