第3章 中值定理与导数的应用2
3.3第三章：中值定理及导数的应用
上连续；
2.按左、右导数的定义不难求出
f
/ 1
f
/ 1 1, 从而
f x 在 0,2 内
可导，且
f
/ x
x,0 x 1,
1 x2 ,1 x
2.
因此， f x 在 0,2上满足拉氏定理的条件.
（二）由拉氏定理的结论： 0,2 ，使
f
/
f
2
2
f 0
0
1 2
.不难算得：
1 或 2
2 0,2.
x 2x
lim x
x 1 21
2 x x
.
对于不直接表现为 0 型或 型的不定型，要首先合理转化，使其成为 0
四．洛必达法则 我们在第一章曾注意到，考试时考察得最多的求极限问题要么是 0 型，要么是 0
。对付这种问题，我们根据具体情形曾给出了因式分解约零因子、根式有理 化约零因子、等价无穷小替换、凑重要极限等方法。现在有一个著名的法则—
—洛必达法则，可用一招统一解决大部分的 0 或 的极限问题。 0
例 6．设 f x x 1x 2x 3x 4 ，证明方程 f x 0 有三个实根，并
且它们分别位于区间 1, 2, 2,3, 3, 4. （见书第 105 页）
例 7．证明方程 x5 x 1 0 只有一个正根.(反证).
拉氏定理有两个重要的的推论，也要会记会用.
推论 1：若对任意 x I , f / x 0 ，则 f x C,x I.
x
x.
.
( .
1,1
x
)
例 3.证明：对 x 0,ex 1 x. .
例 4．证明：对 x 0, ln 1 x x. .
大家自己证明，这两个结论要记住. 三．利用中值定理证明等式成立（或方程有无根）
中值定理与导数的应用
中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础。
在实际应用中，中值定理与导数的应用非常广泛。
以下是一些具体的应用：
1.判断函数的单调性：通过导数可以判断函数的单调性，如果函数在某个区间内的导数大于0，则
该函数在这个区间内单调递增；如果函数在某个区间内的导数小于0，则该函数在这个区间内单调递减。
2.求函数的极值：导数可以用来求函数的极值。
如果函数在某一点的导数为0，则该点可能是函数
的极值点。
在判断出极值点后，可以通过求导数在该点的左右两侧的符号变化来确定该点是极大值点还是极小值点。
3.判断函数的凹凸性：通过二阶导数可以判断函数的凹凸性。
如果函数在某一点的二阶导数大于0，
则该函数在该点附近是凹函数；如果二阶导数小于0，则该函数在该点附近是凸函数。
4.求函数的拐点：在判断出函数的极值点和凹凸性后，可以进一步求出函数的拐点。
拐点的定义是
函数图像在该点处的切线发生弯曲的地方。
通过求一阶导数在该点的左右两侧的符号变化，可以判断出拐点的位置。
5.判断函数的不等式：通过导数还可以判断函数的不等式。
如果两个函数在某个区间内的导数符号
相反，则这两个函数在该区间内的函数值一定不相等。
6.最优化问题：在工程和经济学中，经常需要解决最优化问题。
使用微积分中的中值定理和导数可
以找到最优解。
例如，在经济学中，可以使用微积分来找到最大化收益或最小化成本的最佳策略。
总的来说，中值定理与导数的应用非常广泛，它们是微积分学的重要基石，可以用于解决各种实际问题。
中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第3章课后习题详解
第3章中值定理与导数的应用内容概要课后习题全解习题3-1★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ。
（1）]511[32)(2.,,x x x f ---=；（2）]30[3)(,,x x x f -=。
知识点：罗尔中值定理。
思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/=ξf ，得到的根ξ便为所求。
解：（1）∵32)(2--=x x x f 在]511[.,-上连续，在)5.1,1(-内可导，且0)51()1(==-.f f ，∴32)(2--=x x x f 在]511[.,-上满足罗尔定理的条件。
令()410f ξξ'=-=得)511(41.,ξ-∈=即为所求。
（2）∵x x x f -=3)(在]30[,上连续，在)30(,内可导，且0)3()0(==f f ， ∴x x x f -=3)(在]30[,上满足罗尔定理的条件。
令()0f ξ'==，得)30(2,ξ∈=即为所求。
★2.验证拉格朗日中值定理对函数25423-+-=x x x y 在区间]10[,上的正确性。
知识点：拉格朗日中值定理。
思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程(1)(0)()10f f f ξ-'=-，若得到的根]10[,ξ∈则可验证定理的正确性。
解：∵32()452y f x x x x ==-+-在]10[,连续，在)10(,内可导，∴25423-+-=x x x y 在区间]10[,上满足拉格朗日中值定理的条件。
又2)0(2)1(-=-=,f f ，2()12101f x x x '=-+，∴要使(1)(0)()010f f f ξ-'==-，只要：5(01)12,ξ±=，∴5(01)12,ξ∃=∈，使(1)(0)()10f f f ξ-'=-，验证完毕。
★3.已知函数4)(x x f =在区间]21[,上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ。
(整理)第三章中值定理与导数的应用学习指导
第三章 中值定理与导数的应用一、知识脉络理定值中分微 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧)(21麦克劳林公式泰勒公式柯西定理推论推论拉格朗日定理罗尔定理⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩∞∞求方程的近似解渐屈与渐伸线曲率和曲率半径弧微分其它应用函数作图求凹凸区间与拐点凹凸性判别定义凹凸性与拐点求单调区间单调性判定定义单调性函数性态题最大值与最小值应用问极值的应用极值点的判定件函数取得极值的必要条定义概念函数极值型导数应用:二、重点与难点1．重点：拉格朗日中值定理，函数增调区间、函数的凹凸区间，求函数的极值，求具体问题的最大最小值。
2．难点：柯西定理、泰勒展式、不等式证明、函数作图。
三、问题与分析1．学习洛尔定理、拉格朗日定理与柯西定理应注意的问题：①洛尔定理是一个函数满足3条，拉格朗日定理一个函数满足2条，柯西定理是两个函数满足2条，才有相应结论； ②定理的条件是充分的，但不是必要的；③三个定理都是存在性定理，只肯定了有ξ存在，而未指出如何确定该点。
2．学习罗必塔法则应注意问题： ①罗必塔法则仅仅用于00型和∞∞型未定式； ②如果()()x g x f ''lim 不存在（不包括∞），不能断言()()x g x f lim 不存在，只能说明罗必塔法则在此失效，应采用其它方法求极限； ③∞⋅0，∞-∞，00，∞1，0∞也叫未定型，必须转化为00型或∞∞型之后，方可用罗必塔法则求极限；思路“：∞⋅0型转化为∞⋅∞1或010⋅型； ∞-∞可通分转化为00型或∞∞型；00型转化为0ln 00ln 0⋅=e e ，其中指数是∞⋅0型； ∞1型转化为1ln 1ln ⋅∞=∞e e ，其中数是0⋅∞； 0∞型转化为∞∞=ln 0ln 0e e ，其中指数是∞⋅0型。
④罗必塔法则求极限与其它方法求极限在同一题中可交替使用； ⑤有时要连续用几次洛必塔法则，每一次都要验证是否是00型或∞∞型。
第3章微分中值定理及其应用(2)
2一.应用麦克劳林公式，按X 乘幕展开函数f （X ）=（X - 解：f （X ）是6次多项式,二 f(x)=f(0)+f'(0X+f~^)x 2+f_^)x 3+^^^)x 42! 3! 4! 5计算出：f(0) =1, f'(0)=3(x 2-3x + 1#2x -3?x 才-9f "(O) = 60, f '"(0)= -270, f 伫0)= 720, f (m o )= -1080,f 00)=720故 f(X)= 1 - 9x + 30x 2 -45x 3 + 30x 4 - 9x 5 + X6二•当Xo = -1时，求函数 f （X ）= 1的n 阶泰勒公式。
Xf (x )=(-1X-2)x —3，…，f g(x )=(-1)kk!x n•• f ( — 1)= -1, f '(一1)——1, f''(—1)= -2 f'"(—1)——3!,…,f (nn —1)= -n!=(_1广 n(x + 1)n=(匕在一1和X 之间)1 f "f_1\ f1f (—1)+ f'( — 1)(x + 1)+^^~^(x + 1)2+…+ --- (x +1)n+ R/x)X 2! ■ =-1 + (x + 1) +(x + l f +…+ (x +1)n]+(T)n%7EX x + 1严第3章 微分中值定理及其应用 （第二讲泰勒公式、 函数极值等 ）解: f(x)=丄=x —1Xf (x )= x^23X+ 1)3。
5+d6Rn(X)= fr )=（-1厂（n + 1!© 一卩七）n!三•求函数f（X）= xe x的n阶麦克劳林公式。
解：f(x) = xe\ f'(x)=eXd + x) f (x)=eX(2+x)…，f(k)(x)= e x(k+X)I I II Q f(x) = xe = f(0)+f(0%+ —2! -^-f(n\0)x n+^^f(MG)x n+1 n! (n + 1!=0 +1 + —X2+•1 1K—n x n+ ------ e (n + 1 + 匕[^“十12 13 =X + X2+ —X3 ++(n +-—M k n + 1)+ E ]x n岀©可表示为日X （0 <日吒1 ）兀 2 ..当 0w x<2 时，证明一x^sinx。
微分中值定理与导数应用
F ( x) 的最小值． F( x) 0 ，即得 f ( x) x ．证毕．
例 5 设 lim f ( x) 1，且 f ( x) 0 ．试证： f ( x) x ． x0 x
4 (b a)2
|{ f (b) [ f (b)
f (b)( a b 2
b)
1 2
f
(1
)(
a
2
b
b)2 ]}
{ f (a) [ f (a)
f (a)( a b 2
a)
1 2
f
(
2
)(
a
2
b
a)2 ]} |
4 (b a)2
|
1 2
{
f
(1
)
f
(
2
)}(
b
2
a
)2
0 ，根据极限的保号性即知,
在 x a 的右邻近，有 f ( x) f (a) 0 ，故有 f ( x) f (a) . xa
f (a) 不可能是 f ( x) 在[a, b] 上的最小值． 同理，由 f(b)
0 可知， f (b) 也不可能是 f ( x) 在[a, b] 上的最小值．
F ( x) F( x) F(0) F( x)x (其中 (0,1) )
{F( x) F(0)}x {F(1 x) x}x (其中1 (0,1) ) F (1 x) x2 0 ，即得 f ( x) x ．证毕．
例 6 设 f ( x) 在[a,b] 上存在， f (a) f (b) 0 ．试证：
《高等数学》(同济六版)教学课件★第3章.微分中值定理与导数的应用(2)
第三章
函数图形的描绘
一、 曲线的渐近线 二、 函数图形的描绘
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一、 曲线的渐近线
定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为
曲线C 的渐近线 .
y
y f (x)
或为“纵坐标差” C M
y kxb
1)
y
(
x
2 1)3
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6）绘图
x (,1) 1 (1,1)
y
2
(极大)
铅直渐近线 x 1
斜渐近线
y1x5 44
特殊点
x0 y 9
2 1
44
1 (1,3) 3 (3, )
无 定 义
0
(极小)
y
y (x 3)2
4(x 1)
2 1
O1 2 3 5 x
y
1 4
x
5 4
x 1
x0
1 1
e e
x2 x2
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2. 曲线 y 1 ex2 的凹区间是
(
1 2
,
1 2
)
,
凸区间是
( ,
1 2
)
及
(
1 2
,
)
,
拐点为
(
1
1
,1e 2 )
2
,
渐近线
y 1
.
提示:
y 2ex2 (1 2 x2 )
y
1
(
1
,1
e
1 2
)
2
O
(
高等数学 微分中值定理与导数的应用
注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b). 结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
f (b) f (a) f ( )
ba
y 几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
A
C
y f (x)
有一点(a b),使等式
f (a) F (a)
f (b) F (b)
f F
' () 成立. ' ()
Cauchy定理又称为广义微分中值定理
结构图
特例
推广
Rolle定理
Lagrange定理
Cauchy定理
拉格朗日中值定理又称微分中值定理.
第二节 洛必达法则
一、0 型及 型未定式解法: 洛必达法则 0
且除去两个端点外处 o a 处有不垂直于横轴的
1
2 b x
切线，在曲线弧AB上至少有一点C ,在该点处的
切线是水平的.
注① Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导
区间端点处的函数值相等； 这三个条件只是充分条件，而非必要条件
如：y=x2在[-1,2]上满足(1),(2)，不满足(3) 却在(-1,2)内有一点 x=0 使
第三章 微分中值定理与导数的应用
§3. 1 微分中值定理
一、罗尔(Rolle)定理
定理(Rolle) 若函数f ( x ) 满足 （1）在闭区间[a,b]上连续 （2）在开区间(a,b)内可导 （3）在区间端点处的函数值相等f(a)=f(b)
则在(a,b)内至少存在一点 , (a,b)使得函数 f ( x)在该点的导数为零，即 f ( ) 0
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★★4.求下列函数的最大值、最小值：（1）312824≤≤-+-=x , x x y ； （2） ]20[cos sin π,x,x y +=； （3）151≤≤--+=x ,x x y ； （4）]21[)1ln(2,,x y -+=。
知识点：导数的应用。
思路：求函数)(x f 在闭区间上最值的基本方法是先求0y '=的点或者y '不存在的点，然后求这些点处的函数值及其闭区间端点处的函数值，比较函数值，最大的即是)(x f 在该闭区间上的最大值，最小的即是)(x f 在该闭区间上的最小值。
解：（1）在]31[,-上令34160y x x '=-=，得01=x ，22=x ；∵5)1(-=-y ，2)0(=y ，14)2(-=y ，11)3(=y ，∴比较可得312824≤≤-+-=x , x x y 的最小值为14)2(-=y ，最大值为11)3(=y 。
（2） 在]20[π,上，令cos sin 0y x x '=-=，得41πx =，452πx =； ∵1)0(=y ，2)4(=πy ，2)45(-=πy ，1)2(=πy ，∴比较可得]20[cos sin π,x,x y +=的最小值为2)45(-=πy ，最大值为2)4(=πy 。
（3）在]15[,-上，y '==，得43=x ；∵65)5(+-=-y ，45)43(=y ，1)1(=y ，∴比较可得151≤≤--+=x ,x x y 的最小值为65)5(+-=-y ，最大值为45)43(=y 。
（4）在]21[,-上令2201xy x '==+，得0=x ；∵2ln )1(=-y ，0)0(=y ，5ln )2(=y ，∴比较可得]21[)1ln(2,,x y -+=的最小值为0)0(=y ，最大值为5ln )2(=y 。
★★★5.求下列数列的最大项：（1） ⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n 210； （2）{}nn 。
知识点：导数的应用。
思路：求数列)(n f 的最大项最小项问题可转化为求函数)(x f 在区间)1[∞+,内的最值问题；若0x x =为)(x f 在区间)1[∞+,内的最小值点，则])[()(0x f n f =与)1][()(0+=x f n f 中最小的一个为数列中的最小项；若x x =为)(x f 在区间)1[∞+,内的最大值点，则])[()(0x f n f =与)1][()(0+=x f n f 中最大的一个为数列中的最大项。
解：设xx x f 2)(10=，则在区间)1[∞+,内，令9(10ln 2)()02xx x f x -'==，得唯一驻点2ln 10=x ； 由822(9020ln 2ln 2)()2xx x x f x -+''=，得810ln 21010()10ln 2()0ln 22f -''=<， （或者说：当10ln 2x <时，()0f x '>；当10ln 2x >时，()0f x '<） ∴2ln 10=x 为xx x f 2)(10=在区间)1[∞+,内唯一的极大值点，也是最大值点；∵14]2ln 10[=，14]2ln 10[=，且100323121521415101410>≈.，∴当14=n 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n 210取得最大项。
（2）设xxx f 1)(=，则在区间)1[∞+,内，令121ln ()()0xxf x x x-'==，得唯一驻点e x =； 当e x <<0时，有0y '>，当e x >时，有0y '<，∴ e x =为xx x f 1)(=在区间)1[∞+,内唯一的极大值点，也是最大值点；∵2][=e ，31][=+e1=<，∴当3=n 时，{}nn 取得最大项。
★★6.从一个边长为a 的正方形铁皮的四角上截去同样大小的正方形，然后按虚线把四边折起来做成一个无盖的盒子（见图），问要截去多大的小方块，才能使盒子的容量最大？知识点：求最值问题。
思路：根据题意建立数学函数模型，根据实际意义，确定自变量范围，在所确定的范围上求最值。
特别地，)(x f 在某个区间内可导且只有一个驻点0x ，且0x 是函数)(x f 的极值点，则当)(0x f 是极大值时，)(0x f 就是)(x f 在该区间上的最大值；当)(0x f 是极小值时，)(0x f 就是)(x f 在该区间上的最小值；)(x f 在某个区间内可导且只有一个驻点0x ，且)(x f 在该区间上确实存在最值，则)(0x f 就是)(x f 在该区间上的最值。
解：设截去的小正方形的边长为x ，则根据题意，得2)2()(x a x x V -=，)20(a ,x ∈；令0)6)(2(=--=x a x a dx dV ，得2a x =（舍去），6ax =；∵3272)6(0)2(0)0(a a ,V a ,V V ===，∴可得，当一个边长为a 的正方形的四角上截去一块边长为6a的小方块，才能使盒子的容量最大。
★★7.欲制造一个容积为V 的圆柱形有盖容器，问如何设计可使材料最省？解：设圆柱形容器的底为r ，高为h ，则表面积222πr πrh S +=，又h πr V 2=，∴得+∞<<+=r ,πr rVr S 022)(2， 令22()40VS r πr r'=-+=，得唯一的驻点r =又由34()4VS r πr ''=+，知()120r S r π''=>，∴r =)(r S 的极小值点，也是最小值点；∴当r =r h 2=时，可使材料最省，即圆柱形容器的底和半径相等时，可使材料最省。
★★★8.从一块半径为R 的圆片中应切去怎样的扇形，才能使余下的部分卷成的漏斗（见图853--）容积为最大？解：设漏斗的半径为r ，高为h ，容积为V ，根据题意，得πRr 2ϕ=，ππR h 2422ϕ-=，从而有πϕϕϕϕ20,24431)(222232<<-==ππR h πr V ；令()0V φ'==，得0=ϕ（舍去），πϕ38-=（舍去），πϕ38=；∵漏斗的最大容积确实存在，即)(ϕV )2(0πϕ<<最大值确实存在，又)(ϕV )2(0πϕ<<的驻点唯一， ∴πϕ38=时，)(ϕV )2(0πϕ<<取得最大值，即当切去圆心角为ππ382-的扇形时，余下的部分卷成的漏斗容积最大。
★★★9.设有重量为kg 5的物体，置于水平面上，受力F 的作用而开始移动（见图953--），设磨擦系数250.μ=，问力F 与水平线的交角α为多少时，才可使力F 的大小为最小？解：根据题意，得μαF P αF )sin (cos -=，从而有20,sin cos )(πααμαα≤≤+=P μF ， 即20,25sin .0cos 25.1)(παααα≤≤+=F ，令ααα25sin .0cos )(+=f ，则由()sin 0.25cos 0f ααα'=-+=，得)(αf 在)2,0(π内唯一的驻点)250arctan(.α=；∵5225sin.02cos 25.1)2(=+=πF ，25.125sin0.0cos025.1)0(=+=F ， 且213.1an(0.25))25sin(arct .0(0.25))cos(arctan 25.1))25.0(arctan (≈+=F∴力F 与水平线的交角)250arctan(.α=时，才可使力F 的大小为最小。
★★★10.有一杠杆，支点在它的一端，在距支点m .10处挂一重量为kg 49的物体，加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平（见图1053--），如果杠杆的线密度为kg/m 5，求最省力的杆长。
解：设杠杆长为x ，则根据题意和力的平衡关系，得251049xx .xF ⨯+⨯=，即 )0(2594)(>+=x xx .x F ； 令222495598()022.x .F x x x-'=-+==)0(>x ，得唯一的驻点41589..x ==； ∵最省力的杠杆长确实存在，∴当杠杆长m .x41=时最省力。
★★★★11.光源S 的光线射到平面镜Ox 的哪一点再反射到点A ，光线所走的路径最短（见图1153--）？解：设入射点为x M,OM =，则S 所走的路程)0()(2222τx x τb x aMA SM y <<-+++=+=令0y '==，得y 在区间)0(,τ内的唯一驻点ba a τx +=0， ∵最短的距离确实存在，∴当入射点M 在Ox 上的点为ba a τx +=0时，光源S 的光线所走的路径最短；容易验证，此时入射角（记为α）等于反射角（记为β），即 αax b a τb b a a ττbx τβtan tan 00==+=+-=-=， 此为著名的光的反射定律。
★★★★12.甲船以每小时20里的速度向东行驶，同一时间乙船在甲船正北82里处以每小时16里的速度向南行驶，问经过多少时间两船距离最近？解：设两船的距离为S ，且经过t 小时两船距离最近，则根据题意得)0()20()1682()(22>+-=t t t t S令()0S t '==，得)(t S 在区间)0(∞+,内唯一的驻点2=t ；∵两船最短的距离确实存在，∴2=t时，()0)S t t =>取得最小值，即经过2小时后两船距离最近。
习题3-6★1.求下列曲线的渐近线：（1）xey 1-=； （2） xe y x +=1； （3）xe x y -+= 。
知识点：渐近线的概念。
思路：求出函数)(x f 定义域；在间断点处或无穷大时，讨论)(x f 的极限情况，用以求出()f x 的水平渐近线和垂直渐近线；讨论xx f )(、ax x f -)(无穷大时的极限，用以求出斜渐近线。
解：（1）xey 1-=的定义域为)0()0(∞+-∞,, ；∵+∞=-→-xx e10lim ，1lim 1=-∞→xx e，∴0=x为铅直渐近线，1=y 为水平渐近线，容易验证该函数没有斜渐近线。
（2） xe y x +=1的定义域为)1()1(∞+---∞,, ；∵∞=+-→x e x x 1lim 1，01lim =+-∞→x e xx ，∴1-=x为铅直渐近线，0=y 为水平渐近线，容易验证该函数没有斜渐近线。
（3）x e x y -+=的定义域为(),-∞+∞；∵∞=+-∞→)e (x x x lim ，∴函数不存在铅直渐近线及水平渐近线，而a xe x xx ==+-+∞→1lim ，b ax e x x x ==-+-+∞→0])[(lim ，∴x y =为函数x e x y -+=的斜渐近线。