版高中数学第三章基本初等函数Ⅰ321第1课时对数的概念学案新人教B版必修1
高中数学第三章基本初等函数Ⅰ章末分层突破学案新人教B版必修1
第三章基本初等函数（Ⅰ）[自我校对]①分数指数幂②互为反函数③对数函数④解析式y ＝log a x (a >0，a ≠1) ⑤log a N ⑥解析式y ＝x α⑦越来越慢⑧越来越快爆炸式增长握各种变形．如N 1b＝a ，a b＝N ，log a N ＝b (其中N >0，a >0，a ≠1)是同一数量关系的不同表示形式，因此在许多问题中要能熟练进行它们之间的相互转化，选择适合题目的形式进行运算．【精彩点拨】 (1)利用对数的运算法则、对数恒等式即可得出； (2)利用指数幂的运算法则即可得出．【规范解答】(1)原式＝log 322×8329－3＝2－3＝－1.－1＋116＋18＋110＝14380.[再练一题] 1．计算：【解】 (1)原式＝－4－1＋12×(2)4＝－3.)时要借助于指数、对数函数的单调性．涉及指数、对数函数的值域问题有两个类型，一是形如y ＝af (x )和y ＝log a f (x )的函数，一般要先求f (x )的值域，然后利用指数、对数的单调性求解；二是形如y ＝f (a x)和y ＝f (log a x )的函数，则要根据a x和log a x 的范围，利用函数y ＝f (x )的性质求解．(2)已知－3≤log 12x ≤－32，求函数f (x )＝log 2x 2·log 2x4的最大值和最小值．【精彩点拨】(2)由f (x )＝log 2x 2·log 2x4＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2，结合二次函数的性质即可求解．【规范解答】故所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤132，12.(2)∵－3≤log 12x ≤－32，∴32≤log 2x ≤3，∴f (x )＝log 2x 2·log 2x 4＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x －322－14. 当log 2x ＝3时，f (x )max ＝2，当log 2x ＝32时，f (x )min ＝－14.[再练一题]【导学号：60210098】【解】 令k ＝2x(0≤x ≤2)，∴1≤k ≤4，则y ＝22x －1－3·2x＋5＝12k 2－3k ＋5.又y ＝12(k －3)2＋12，k ∈[1,4]，∴y ＝12(k －3)2＋12在k ∈[1,3]上是减函数，在k ∈[3,4]上是增函数，∴当k ＝3时，y min ＝12；当k ＝1时，y max ＝52.即函数的最大值为52，最小值为12.用函数的单调性进行转化，也可利用图象解决，对含参数的问题进行分类讨论，同时还要注意变量本身的取值范围，以免出现增根．对于图象的判断与选择可利用图象的变换、也要重视利用特殊点与选择题中排除法的应用．当0＜x ≤12时，4x＜log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)【精彩点拨】 由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可．【规范解答】 当0＜x ≤12时，1＜4x ≤2，要使4x＜log a x ，由对数函数的性质可得0＜a＜1，数形结合可知只需2＜log a x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a a 2<log a x ，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a 2>x 对0＜x ≤12时恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a 2>12，解得22＜a ＜1，故选B. 【答案】 B [再练一题]3．若log a 2＜0(a ＞0，且a ≠1)，则函数f (x )＝ax ＋1的图象大致是( )【解析】 由log a 2＜0(a ＞0，且a ≠1)，可得0＜a ＜1，函数f (x )＝a x ＋1＝a ·a x，故函数f (x )在R 上是减函数，且经过点(0，a )，故选A. 【答案】 A(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法．(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0，小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．比较下列各组中两个值的大小： (1)1.10.9，log 1.10.9，log 0.70.8； (2)log 53，log 63，log 73.【精彩点拨】 利用指数函数、对数函数、幂函数的性质进行比较．【规范解答】 (1)∵1.10.9>1.10＝1，log 1.10.9<log 1.11＝0,0＝log 0.71<log 0.70.8<log 0.70.7＝1，∴1.10.9>log 0.70.8>log 1.10.9.(2)∵0<log35<log36<log37，∴log53>log63>log73.[再练一题]4．已知a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是( )A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．b＞c＞a D．c＞b＞a【解析】∵a＝log20.3＜log21＝0，b＝20.3＞20＝1,0＜c＝0.30.2＜0.30＝1，∴b＞c＞a.故选C.【答案】 CA．a＜b＜c B．a＜c＜bC．b＜c＜a D．b＜a＜c【解析】【答案】 D注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全面，明确分类的标准，不重不漏地分类讨论．在初等函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据函数的图象和性质，依据函数的单调性分类讨论，使得求解得以实现．(1)求m的值，并确定f(x)的解析式；(2)若g(x)＝log a[f(x)－ax](a>0，且a≠1)在[2,3]上为增函数，求实数a的取值范围．【精彩点拨】(1)结合f(3)<f(5)，与函数f(x)的奇偶性，分类讨论确定m的值及f(x)的解析式．(2)由g(x)为增函数，结合a讨论，求出a的取值范围．【规范解答】<m <32. ∵m ∈N ，∴m ＝0或1.综上，m ＝1，此时f (x )＝x 2.(2)由(1)知，当x ∈[2,3]时，g (x )＝log a (x 2－ax )．①当0<a <1时，y ＝log a u 在其定义域内单调递减，要使g (x )在[2,3]上单调递增，则需u (x )＝x 2－ax 在[2,3]上单调递减，且u (x )>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≥3，u 3 ＝32－3a >0，无解；②当a >1时，y ＝log a u 在其定义域内单调递增，要使g (x )在[2,3]上单调递增，则需u (x )＝x 2－ax 在[2,3]上单调递增，且u (x )>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，u 2 ＝22－2a >0，解得a <2.∴实数a 的取值范围为1<a <2. [再练一题]6．设a >0且a ≠1，若P ＝log a (a 3＋1)，Q ＝log a (a 2＋1)，试比较P 、Q 的大小． 【解】 当0<a <1时，有a 3<a 2，即a 3＋1<a 2＋1. 又当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减， ∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，即P >Q ； 当a >1时，有a 3>a 2，即a 3＋1>a 2＋1.又当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增， ∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，即P >Q .综上可得P>Q.1．函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为( )【解析】 ∵f (x )＝2x 2－e |x |，x ∈[－2,2]是偶函数，又f (2)＝8－e 2∈(0,1)，故排除A ，B.设g (x )＝2x 2－e x ，则g ′(x )＝4x －e x.又g ′(0)＜0，g ′(2)＞0，∴g (x )在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f (x )＝2x 2－e |x |在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.【答案】 D2．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 【解析】 因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (－x )＝f (x )，且f (x )在(0，＋∞)上单调递减．由f (2|a －1|)＞f (－2)，f (－2)＝f (2)可得2|a －1|＜2，即|a －1|＜12，所以12＜a ＜32.【答案】 C3．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )【导学号：97512060】A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年【解析】 设2015年后的第n 年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n >200，得1.12n >2013，两边取常用对数，得n >lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n ≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．【答案】 B4．已知点(3,9)在函数f (x )＝1＋a x 的图象上，则f (x )的反函数f －1(x )＝________. 【解析】 ∵点(3,9)在函数f (x )＝1＋a x的图象上， ∴1＋a 3＝9，解得a ＝2，∴f (x )＝1＋2x∴f －1(x )＝log 2(x －1) 【答案】 log 2(x －1)5．已知a ∈R ，函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋a .(1)当a ＝1时，解不等式f (x )>1；(2)若关于x 的方程f (x )＋log 2(x 2)＝0的解集中恰有一个元素，求a 的值；(3)设a >0，若对任意t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．【解析】 (1)由log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1>1，得1x ＋1>2，解得{x |0<x <1}．(2)log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋a ＋log 2(x 2)＝0有且仅有一解，等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋a x 2＝1有且仅有一解，等价于ax 2＋x －1＝0有且仅有一解．当a ＝0时，x ＝1，符合题意； 当a ≠0时，Δ＝1＋4a ＝0，a ＝－14.综上，a ＝0或－14.(3)当0<x 1<x 2时，1x 1＋a >1x 2＋a ，log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋a >log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋a ，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减．函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值分别为f (t )，f (t ＋1)．f (t )－f (t ＋1)＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋a －log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋1＋a ≤1即at 2＋(a ＋1)t －1≥0， 对任意t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1成立．因为a >0，所以函数y ＝at 2＋(a ＋1)t －1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，所以t ＝12时，y 有最小值34a －12，由34a －12≥0，得a ≥23.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.。
高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ) 3.2.1 对数及其运算 第2课时 对数式的运算学案 新人教B
第2课时 对数式的运算1．了解自然对数的概念及表示． 2．理解对数的运算性质． 3．掌握换底公式及对数的运算．1．对数的运算法则若a >0，a ≠1，M >0，N >0自然语言数学表达式积的对数log a (MN )＝log a M ＋log a N ，log a (N 1·N 2·…·N k )＝log a N 1＋log a N 2＋…＋log a N k (N i >0，i ＝1，2，…，k )正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和 商的对数log a M N＝log a M －log a N两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数幂的对数 log a M n＝n log a M (n ∈R )正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数2．换底公式一般地，log b N ＝log a Nlog a b ，其中 b >0，b ≠1，N >0，a >0，a ≠1，这个公式称为对数的换底公式．换底公式两个重要的推论： (1)log a m b n＝n mlog a b ； (2)log a b ＝1log b a． 3．自然对数(1)以e 为底的对数叫做自然对数，log e N 通常记作ln_N ． (2)自然对数与常用对数的关系：ln N ≈2．302 6lg N ．1．下列各式中均有意义，结论正确的是( )A ．log a y ＝2log a yB ．log a x n＝n log a x C ．－log a x ＝1log a xD ．log a (x ＋y )＝log a x ＋log a y 答案：B2．已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，用a ，b 表示log 125＝______． 解析：log 125＝lg 5lg 12＝1－lg 22lg 2＋lg 3＝1－a2a ＋b ．答案：1－a2a ＋b3．若M 、N 同号，则式子log a (M ·N )＝log a M ＋log a N 成立吗？ 解：只有M 、N 同为正数时才成立．对数的运算法则计算下列各式的值： (1)log 2748＋log 212－12log 242； (2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22；(3)lg 243lg 9； (4)lg 27＋lg 8－3lg 10lg 1.2．【解】 (1)原式＝log 27×1248×42＝log 212＝－12．(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5·(1＋lg 2)＋lg 22 ＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2) ＝2＋lg 5＋lg 2＝2＋1＝3． (3)原式＝lg 35lg 32＝5lg 32lg 3＝52． (4)原式＝lg （33）12＋lg 23－3lg 1012lg3×2210＝32（lg 3＋2lg 2－1）lg 3＋2lg 2－1＝32．(1)利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方的运算转化为对数的加、减、乘运算，反之亦然．这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度．(2)要熟练掌握公式的正用和逆用．(3)在使用公式的过程中，要注意公式成立的条件． (4)对于同底的对数的化简，常用方法是：计算下列各式的值：(1)2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋13lg 8；(2)lg(3＋5＋ 3－5)； (3)log 28＋43＋log 28－48． 解：(1)原式＝lg 4＋lg 31＋lg 0.6＋lg 2＝lg 12lg （10×0.6×2）＝lg 12lg 12＝1．(2)原式＝12lg(3＋5＋ 3－5)2＝12lg[3＋5＋3－5＋2（3＋5）（3－5）] ＝12lg(6＋24)＝12lg 10＝12． (3)原式＝log 2(8＋43·8－43) ＝log 282－48＝log 24＝2．换底公式的应用计算：(1)log 1627·log 8132；(2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)． 【解】 (1)log 1627·log 8132＝lg 27lg 16×lg 32lg 81＝lg 33lg 24×lg 25lg 34＝3lg 34lg 2×5lg 24lg 3＝1516． (2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83) ＝(log 32＋log 32log 39)⎝ ⎛⎭⎪⎫log 23log 24＋log 23log 28＝(log 32＋12log 32)⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＋13log 23 ＝32log 32×56log 23 ＝54×lg 2lg 3×lg 3lg 2＝54．应用换底公式的技巧及注意事项(1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式．1．log 89log 23的值是( )A ．23 B ．32 C ．1D ．2解析：选A ．法一：将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，即log 89log 23＝lg 9lg 8lg 3lg 2＝2lg 33lg 2·lg 2lg 3＝23． 法二：将分子利用换底公式转化为以2为底的对数， 即log 89log 23＝log 29log 28log 23＝2log 233log 23＝23．2．计算：log 52·log 79log 513·log 734．解：原式＝log 52log 513·log 79log 734＝log 132·log 349＝log 13212·3log 2232＝－12·log 32·3log 23＝－32．对数运算中的综合问题若a ，b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值．【解】 原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0， 设t ＝lg x ，则原方程可化为2t 2－4t ＋1＝0． 所以t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝12．由已知a ，b 是原方程的两个根， 则t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，所以lg(ab )·(log a b ＋log b a ) ＝(lg a ＋lg b )⎝⎛⎭⎪⎫lg b lg a ＋lg a lg b＝（lg a ＋lg b ）[（lg b ）2＋（lg a ）2]lg a lg b＝(lg a ＋lg b )·（lg b ＋lg a ）2－2lg a lg blg a lg b＝2×22－2×1212＝12．即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12．应用对数的运算性质解对数方程的三种方法(1)定义法：解形如b ＝log a f (x )(a ＞0，a ≠1)的方程时，常借助对数函数的定义等价转化为f (x )＝a b求解．(2)转化法：形如log a f (x )＝log a g (x )(a ＞0，a ≠1)的方程，等价转化为f (x )＝g (x )，且⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＞0，g （x ）＞0求解． (3)换元法：适用于f (log a x )＝0(a ＞0，a ≠1)形式的方程的求解问题，这类方程一般可通过设中间变量的方法(换元法)来解．1．方程log 4(3x －1)＝log 4(x －1)＋log 4(x ＋3)的解为________．解析：原方程可化为3x －1＝(x －1)(x ＋3)， 即x 2－x －2＝0， 解得x ＝2或x ＝－1，而x ＝－1使真数3x －1和x －1小于0， 故方程的解是x ＝2． 答案：x ＝22．已知lg(x ＋2y )＋lg(x －y )＝lg 2＋lg x ＋lg y ，求xy的值． 解：由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y >0，x －y >0，x >0，y >0，（x ＋2y ）（x －y ）＝2xy ，即⎩⎪⎨⎪⎧x >y ，y >0，（x ＋2y ）（x －y ）＝2xy ， 整理得⎩⎪⎨⎪⎧x >y ，y >0，（x －2y ）（x ＋y ）＝0，所以x －2y ＝0，所以xy＝2．1．对于同底的对数的化简要用的方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．2．对于常用对数的化简要创设情境充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题． 3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．4．要充分运用“1”的对数等于0，底的对数等于“1”等对数的运算性质．1．在运算过程中避免出现以下错误： log a (MN )＝log a M ·log a N ．log a M N ＝log a M log a N．log a N n＝(log a N )n．log a M ±log a N ＝log a (M ±N )．2．要特别注意它的前提条件：a >0，a ≠1，M >0，N >0，尤其是 M ，N 都是正数这一条件，否则 M ，N 中有一个小于或等于 0，就导致 log a M 或 log a N 无意义，另外还要注意，M >0，N >0 与 M ·N >0 并不等价．1．若a ＞0，a ≠1，x ＞0，y ＞0，x ＞y ，则下列式子中正确的个数是( ) ①log a x ＋log a y ＝log a (x ＋y )； ②log a x －log a y ＝log a (x －y )； ③log a x y＝log a x ÷log a y ； ④log a (xy )＝log a x ·log a y ． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案：A2．lg 8＋3lg 5的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3 解析：选D ．lg 8＋3lg 5＝3(lg 2＋lg 5)＝3． 3．log 327＝________． 答案：64．设2a ＝5b＝10，则1a ＋1b＝________．解析：因为2a＝10， 所以a ＝log 210， 所以1a＝lg 2，又因为5b＝10，所以b ＝log 510， 所以1b＝lg 5，所以1a ＋1b＝lg 2＋lg 5＝lg(2×5)＝lg 10＝1． 答案：1[A 基础达标]1．计算log 225·log 322·log 59的结果为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选D ．原式＝lg 25lg 2·lg 22lg 3·lg 9lg 5＝2lg 5lg 2·32lg 2lg 3·2lg 3lg 5＝6． 2．设a >0，a ≠1，x ∈R ，下列结论错误的是( ) A ．log a 1＝0 B ．log a x 2＝2log a x C ．log a a x＝xD ．log a a ＝1解析：选B ．当x ≤0时，log a x 无意义，故选B ． 3．如果lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 12lg 15等于( )A ．2a ＋b 1＋a ＋bB ．a ＋2b 1＋a ＋bC ．2a ＋b 1－a ＋bD ．a ＋2b 1－a ＋b解析：选C ．因为lg 2＝a ，lg 3＝b ， 所以lg 12lg 15＝lg 3＋lg 4lg 3＋lg 5＝lg 3＋2lg 2lg 3＋1－lg 2＝2a ＋b1＋b －a．4．若lg x －lg y ＝a ，则lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 23＝( ) A ．3a B ．32a C ．aD ．a2解析：选A ．原式＝3lg x 2－3lg y2＝3(lg x －lg 2)－3(lg y －lg 2) ＝3(lg x －lg y )＝3a ．5．已知2x＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 等于( )A ．3B ．8C ．4D ．log 48解析：选A ．因为2x＝3， 所以x ＝log 23． 又log 483＝y ，所以x ＋2y ＝log 23＋2log 483＝log 23＋2(log 48－log 43) ＝log 23＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫32log 22－12log 23 ＝log 23＋3－log 23＝3．故选A ．6．log 535－2log 573＋log 57－log 51．8＝________．解析：原式＝(log 55＋log 57)－2(log 57－log 53)＋log 57－(log 59－log 55) ＝1＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋1 ＝2． 答案：27．设10a＝2，10b＝3，则log 1815＝________(用a ，b 表示)． 解析：由10a＝2，10b＝3得a ＝lg 2，b ＝lg 3．所以log 1815＝lg 15lg 18＝lg 3＋lg 5lg 2＋lg 9＝lg 3＋1－lg 2lg 2＋2lg 3＝b ＋1－aa ＋2b． 答案：b ＋1－aa ＋2b8．已知m ＞0，且10x＝lg(10m )＋lg 1m，则x ＝__________． 解析：lg(10m )＋lg 1m ＝lg 10＋lg m ＋lg 1m＝1，所以10x ＝1＝100， 所以x ＝0． 答案：0 9．计算：(1)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)－log 12432；(2)(log 25＋log 40．2)(log 52＋log 250．5)．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＋13log 23·(log 32＋12log 32)＋log 2254 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫56log 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫32log 32＋54＝56×32×lg 3lg 2×lg 2lg 3＋54 ＝54＋54＝52． (2)原式＝(log 25＋12log 215)(log 52＋12log 512)＝(log 25＋12log 25－1)(log 52＋12log 52－1)＝(log 25－12log 25)(log 52－12log 52)＝14·log 25·log 52＝14． 10．解下列关于x 的方程： (1)lg x －1＝lg(x －1)；(2)log 4(3－x )＋log 0．25(3＋x )＝log 4(1－x )＋log 0．25(2x ＋1)． 解：(1)原方程等价于⎩⎨⎧x －1＝x －1，x －1＞0.解之得x ＝2．经检验x ＝2是原方程的解，所以原方程的解为x ＝2．(2)原方程可化为log 4(3－x )－log 4(3＋x )＝log 4(1－x )－log 4(2x ＋1)． 即log 43－x 3＋x ＝log 41－x2x ＋1．整理得3－x x ＋3＝1－x2x ＋1，解之得x ＝7或x ＝0．当x ＝7时，3－x ＜0，不满足真数大于0的条件，故舍去． x ＝0满足，所以原方程的解为x ＝0．[B 能力提升]11．若 lg a ，lg b 是方程 2x 2－4x ＋1＝0 的两个根，则 (lg a b )2的值等于() A ．2 B ．12C ．4D ．14解析：选A ．由根与系数的关系，得 lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，所以(lg a b )2＝(lg a －lg b )2＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b＝22－4×12＝2．12．若集合{x ，xy ，lg(xy )}＝{0，|x |，y }，则log 2(x 2＋y 2)＝________．解析：由{x ，xy ，lg(xy )}＝{0，|x |，y }知：xy ＝1，此时两集合为{x ，1，0}＝{0，|x |，y }，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1x ＝－1， 从而log 2(x 2＋y 2)＝log 22＝1．答案：113．已知log 89＝m ，log 35＝n ，试用m ，n 表示log 512．解：因为m ＝log 89＝23log 23＝23·lg 3lg 2， 所以lg 2＝23mlg 3， 又n ＝log 35＝lg 5lg 3，所以lg 5＝n lg 3． 则log 512＝lg 12lg 5＝lg 3＋lg 4lg 5＝lg 3＋43m lg 3n lg 3＝1＋43m n ＝3m ＋43mn． 14．(选做题)设a >0，a ≠1，x ，y 满足log a x ＋3log x a －log x y ＝3，用log a x 表示log a y ，并求当x 取何值时，log a y 取得最小值．解：由换底公式得log a x ＋3log a x －log a y log a x＝3， 整理得：(log a x )2＋3－log a y ＝3log a x ， 所以log a y ＝(log a x )2－3log a x ＋3＝(log a x －32)2＋34． 所以当log a x ＝32，即x ＝a 32时，log a y 取得最小值34．。
高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.2对数与对数函数(1)第一课时同步练习新人教B版必修1
3．2.1 对数及其运算第1课时1．若a 2＝N(a>0且a≠1)，则有( )A ．log 2N ＝aB ．log 2a ＝NC ．log N a ＝2D ．log a N ＝22．若log x 7y ＝z ，则( )A ．y 7＝x zB ．y ＝x 7zC ．y ＝7x zD ．y ＝z 7x3．21＋log 272的值等于( )A ．272B ．7 C.47D ．144．若log 16x ＝－14，则x ＝________；若(2)x＝12，则x ＝________.5．若log 2(x 2－4x ＋6)＝1，则x ＝________.1．有下列说法：①零和负数无对数；②3log 3(－5)＝－5成立；③任何一个指数式都可以化为对数式；④以10为底的对数叫做常用对数．其中正确命题的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列指数式与对数式的互化中，不正确的一组是( )A ．100＝1与lg1＝0B ．27－13＝13与log 2713＝－13C ．log 39＝2与912＝3D ．log 55＝1与51＝53．在b ＝log (a －2)(5－a)中，实数a 的取值范围为…( ) A ．a>5或a<2 B ．2<a<5 C ．2<a<3或3<a<5 D ．3<a<44．计算3log 35＋3log315＝________.5．已知log 7[log 3(log 2x)]＝0，那么x －12＝________.6．已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m ＋n的值．7．求alog a b·log b c·log c N 的值．1．给出下列式子：①5log 512＝12；②πlogπ3－1＝13；③4log 4(－3)＝－3；④xlog x 6＝6.其中不正确的是( )A ．①③ B．②③ C．③④ D．②④ 2．下列命题正确的是( )①对数式log a N ＝b(a>0，且a≠1)和指数式a b＝N(a>0，且a≠1)是同一关系式的两种不同表达形式；②在同底条件下，对数式log a N ＝b 与指数式a b＝N 可以互相转化；③若a b＝N(a>0，且a≠1)，则alog a N ＝N 一定成立； ④对数的底数是任意正实数． A ．①② B．①②③④ C ．①②③ D．④3．以6为底，216336的对数等于( )A.73B.113C.92D ．2 4.设5lgx＝25，则x 的值等于( ) A ．10 B ．±10 C．100 D ．±100 5．log 6(log 4(log 381))＝________.6．log 3(1－2x9)＝1，则x ＝________.7．(1)求对数值：log 4381＝________；log 354625＝________.(2)求真数：log 3x ＝－34，则x ＝________；log 2x ＝78，则x ＝________.(3)求底数：log x 3＝－35，则x ＝________；log x 2＝78，则x ＝________.8．已知二次函数f(x)＝(lga)x 2＋2x ＋4lga 的最大值是3，求a 的值．9．已知log a b ＝log b a(a>0，a≠1；b>0，且b≠1)，求证：a ＝b 或a ＝1b.10．已知lga 和lgb 是关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0的两个根，而关于x 的方程x 2－(lga)x －(1＋lga)＝0有两个相等的实数根，求实数a ，b 和m 的值．答案与解析课前预习1．D 由对数式与指数式的互化易得．2．B log x 7y ＝z ⇔x z ＝7y ，∴x 7z＝y.3．B 21＋log 272＝2·2log 272＝2·72＝7.4.12 －2 log 16x ＝－14⇔x ＝16－14＝12，(2)x ＝12⇔x ＝log 212＝log 2(2)－2＝－2. 5．2 由log 2(x 2－4x ＋6)＝1得x 2－4x ＋6＝2，即x 2－4x ＋4＝0，即(x －2)2＝0，∴x ＝2. 课堂巩固1．B ③错误，如(－1)2＝1就不能写成对数式．②错误，log 3(－5)无意义．2．C log 39＝2的指数式应为32＝9. 3．C 由对数的定义知⎩⎪⎨⎪⎧5－a>0，a －2>0，a －2≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a<5，a>2，a≠3，∴2<a<3或3<a<5.4.655 ∵3log 35＝5，3log 315＝(3log 315)12＝(15)12＝55. ∴原式＝5＋55＝655. 5.24由已知得log 3(log 2x)＝1， ∴log 2x ＝3，则x ＝23.∴x－12＝2－32＝122＝24.6．解：∵log a 2＝m ，∴a m＝2.又log a 3＝n ，∴a n＝3. ∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝22·3＝12.7．解：原式＝(alog a b)log b c·log c N ＝blog b c·log c N ＝(blog b c)log c N ＝clog c N ＝N. 点评：重复使用对数恒等式即可得解；对数恒等式alog a N ＝N 中要注意书写格式． 课后检测1．C ③不正确，log 4(－3)无意义，∵负数和零无对数；④不正确，应在条件“x>0，且x≠1”的前提下计算．2．C ④中的底数应满足“大于0且不等于1”．3．A ∵216336＝63623＝63－23＝673，∴log 6216336＝log 6673＝73.4．C 5lgx ＝25，∴lgx＝2，即102＝x. ∴x＝100.5．0 原式＝log 6[log 4(log 334)] ＝log 6(log 44) ＝log 61＝0.6．－13 由已知得1－2x9＝3，∴x＝－13.7．(1)16 3 (2)1427278 (3)3－53 287(1)(43)16＝34＝81，∴log 4381＝16；∵(354)3＝625，∴log 354625＝3.(2)由题意可得x ＝3－34＝1427；由已知得x ＝278.(3)由已知得x －35＝3，∴x＝3－53；x 78＝2，∴x＝287.点评：对于对数和对数的底数与真数三者之间，已知其中两个就可求另外一个，关键是指数式与对数式的互化．8．解：∵f(x)的最大值为3，∴⎩⎪⎨⎪⎧lga<0，16lg 2a －44lga＝3⇒(4lga ＋1)(lga －1)＝0.∴lga＝1(舍去)或lga ＝－14.∴a＝10－14.9．证明：设log a b ＝log b a ＝k ，则b ＝a k ，a ＝b k，从而有b ＝(b k )k ＝bk 2.∵b>0，b≠1，∴k 2＝1，即k ＝±1.当k ＝－1时，a ＝1b；当k ＝1时，a ＝b.∴a＝b 或a ＝1b ，命题得证．10．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ lga ＋lgb ＝1，lga·lgb＝m ，(lga)2＋4(1＋lga)＝0，①②③由③得(lga ＋2)2＝0，∴lga＝－2.∴a ＝1100.代入①得lgb ＝1－lga ＝3，∴b＝103＝1 000. 代入②得m ＝lga·lgb＝(－2)×3＝－6.∴a＝1100，b ＝1 000，m ＝－6.。
高中数学：3.2.1《对数的概念》教案(新人教B版必修1)
对数及其运算（第一课时）
课型
新授课
授课人
某某育明高中常爱华
教学
目标
1．知识与技能：
(1)掌握对数的定义及性质；
(2)能利用对数定义解决简单的对数计算；
(3)初步理解对数的运算性质．
2．过程与方法：
(1)在解决问题的过程中，掌握对数的定义；
(2)通过对数运算性质的探索及推导过程，培养学生“合情推理”的能力和“演绎归纳”的数学思想方法．
通过小结使学生加深对知识的记忆、理解，养成总结的习惯．
(2)1的对数为0，即 ；
(3)底的对数等于１，即 ．
教师点拨，学生发现、归纳、回答．
加深定义
的理解．
巩固
练习
6．练习：
(1)将下列指数式与对数式互化：
① ② ③
④ ⑤ ⑥
(2)计算：
① ② ③ ④
⑤ ⑥
学生练习，师生共同总结．
加深定义的理解与应用．
概念
深化
7．对数的运算性质：
思考：根据 的计算结果，你能用
3．情感、态度与价值观：
(1)通过对数在历史上发明的交流，了解对数在人类文明发展中的作用，提高学生对数学文化价值的认识；
(2)通过“合情推理”和“演绎归纳”的数学思想方法的运用，培养学生大胆探索、实事求是的科学精神．
重点
对数的定义及对数的运算性质
难点
对数运算性质的发现及推导
教学过程
教学
环节
教学内容
师生活动
概念
形成
教学
环节
3．对数的定义：
定义：对于指数式 ，我们把“以 为底 的对数 ”记作 ，
即 ．
其中，数 叫ห้องสมุดไป่ตู้对数的底数， 叫做真数，
高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.2对数与对数函数3.2.2对数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系学习导航学案
3.2.2 对数函数-3.2.3 指数函数与对数函数的关系自主整理1.对数函数的定义：函数y=log a x(a>0,且a≠1,x>0)称为对数函数，它的定义域为(0,+∞),值域为R.2.对数函数的图象与性质:4.反函数当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数.一般地，如果函数y=f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y=f-1(x)，反函数也是函数，它具有函数的一切特性.反函数是相对于原函数而言的，函数与它的反函数互为反函数.指数函数y=a x（a＞0,且a≠1）和对数函数y=log a x（a＞0,且a≠1）互为反函数，它们的定义域与值域相互对换，单调性相同，图象关于直线y=x对称.高手笔记1.解对数不等式的关键是善于把真数视为一个整体，用对数函数的单调性构造不等式,但一定要注意真数大于零这一隐含条件.2.求函数定义域时，常见的限制条件有：分母不为零，开偶次方时被开方数非负，对数的真数大于零，底数大于零且不等于1等.3.考查对数函数与其他函数组成的复合函数时,要注意利用复合函数的单调性法则和函数单调性的定义.考查对数函数的值域问题时,要注意只有当对数的真数取到所有的正数时,对数值才可能取到所有的实数.4.利用对数函数的图象的平移和对称可以认识与对数函数有关的一些函数的图象和性质,这些图象的变换规律与指数函数的有关图象变换规律是类似的.5.作出函数y=log a x 的图象,再将所得图象沿y 轴对称到y 轴左侧,所得两部分组合在一起就是函数y=log a |x|的图象.作出函数y=log a x 的图象,再将所得图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方,与原x 轴上方的部分一起,就是y=|log a x|的图象. 名师解惑1.比较两个对数的大小，一般可采用哪些方法？ 剖析：两数（式）大小的比较主要是找出适当的函数，把要比较的两数作为此函数的函数值，然后利用函数的单调性等来比较两数的大小.一般采用的方法有： （1）直接法：由函数的单调性直接作答；（2）作差法：把两数作差变形，然后判断其大于、等于、小于零来确定；（3）作商法：若两数同号，把两数作商变形，判断其大于、等于、小于1来确定； （4）转化法：把要比较的两数适当地转化成两个新数大小的比较；（5）媒介法：选取适当的“媒介”数，分别与要比较的两数比较大小，从而间接地求得两数的大小.2.对数函数的图象特征和对数函数的性质之间有哪些对应关系？ 剖析:对数函数的图象特征和对数函数的性质之间有以下对应关系：（1）图象都位于y 轴右侧，且以y 轴为渐近线→函数定义域为（0，+∞）. （2）图象向上、向下无限延展→函数值域为R .（3）图象恒过定点（1，0）→1的对数是零，即log a 1=0.（4）当a ＞1时，图象由左向右逐渐上升→当a ＞1时，y=log a x 在（0，+∞）上是增函数； 当0＜a ＜1时，图象由左向右逐渐下降→当0＜a ＜1时，y=log a x 在（0，+∞）上是减函数. （5）当a ＞1时，在直线x=1的右侧，图象位于x 轴上方；在直线x=1与y 轴之间，图象位于x 轴下方→当a ＞1时，x ＞1，则y=log a x ＞0；0＜x ＜1，则y=log a x ＜0.当0＜a ＜1时，在直线x ＝1的右侧，图象位于x 轴下方；在直线x ＝1与y 轴之间，图象位于x 轴上方→当0＜a ＜1时，x ＞1，则y=log a x ＜0；0＜x ＜1，则y=log a x ＞0. 3.怎样把对数函数与指数函数联系起来研究? 剖析：（1）对数函数的反函数是指数函数，所以要利用指数函数的性质来研究对数函数.应该注意到：这两种函数都要求底数a ＞0，且a≠1；对数函数的定义域为(0，+∞)，结合图象看，对数函数在y 轴左侧没有图象，即负数与0没有对数，也就是真数必须大于0.这些知识可以用来求含有对数函数的定义域.(2)通过将对数函数与指数函数的图象进行对比，可以发现：当a ＞1，或0＜a ＜1时，对数函数与指数函数的单调性是一致的〔即在区间(0，＋∞)上同时为增函数，或者同时为减函数〕.对数函数的图象都经过点（1，0），这与性质log a 0=1是分不开的.(3)既然对数函数y=log a x 与指数函数y=a x互为反函数，那么它们的图象关于直线y ＝x 对称.于是通过对a 分情况（约定不同的取值范围），再结合函数y=log 2x,y=log 21x 的图象来揭示对数函数的性质，应该是一件水到渠成的事.讲练互动图3-2-2【例题1】图3-2-2是对数函数y=log a x 当底数a 的值分别取3，34，53，101时所对应图象，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 的值依次是( ) A.3,34,53,101 B.3,34,101,53 C.34,3,53,101 D.34,3,101,53 解析：因为底数a 大于1时，对数函数的图象自左向右呈上升趋势，且a 越大，图象就越靠近x 轴；底数a 大于0且小于1时，对数函数的图象自左向右呈下降趋势，且a 越小，图象就越靠近x 轴. 答案：A 绿色通道由对数函数的图象间的相对位置关系判断底数a 的相互关系，应根据对数函数图象与底数间的变化规律来处理.在指数函数y=a x中，底数a 越接近1，相应的图象就越接近直线y=1，对数函数与指数函数是一对反函数，其图象是关于直线y=x 对称的，直线y=1关于直线y=x 的对称直线是x=1，所以我们有结论：对数函数y=log a x ，底数a 越接近1，其图象就越接近直线x=1. 变式训练1.若log a 2<log b 2<0,则( )A.0<a<b<1B.0<b<a<1C.a>b>1D.b>a>1 解析：注意到此题两对数值底数不同真数相同,用图象法或用换底公式均可.方法一：由底数与对数函数的图象关系(如图)可知y=log a x,y=log b x 图象的大致走向.再由对数函数的图象规律：从第一象限看，自左向右底数依次增大. 方法二：利用换底公式转化成同底的对数再进行比较. 由已知，得ba 22log 1log 1 <0,则0>log 2a>log 2b,即log 21>log 2a>log 2b.∵y=log 2x 为增函数, ∴0<b<a<1.方法三：取特殊值法.∵log 212=-1,log 412=21, ∴log 212<log 412<0.∴可取a=21,b=41，则0<b<a<1. 答案：B【例题2】比较大小： （1）log 0.27与log 0.29； （2）log 35与log 65；（3）（lgm ）1.9与（lgm ）2.1（m ＞1）； （4）log 85与lg4.分析:（1）log 0.27和log 0.29可看作是函数y=log 0.2x ，当x=7和x=9时对应的两函数值，由y=log 0.2x 在（0，+∞）上单调递减，得log 0.27＞log 0.29. （2）考查函数y=log a x 底数a ＞1的底数变化规律，函数y=log 3x （x ＞1）的图象在函数y=log 6x （x ＞1）的上方，故log 35＞log 65.（3）把lgm 看作指数函数的底数，要比较两数的大小，关键是比较底数lgm 与1的关系.若lgm ＞1即m ＞10，则（lgm ）x 在R 上单调递增，故（lgm ）1.9＜（lgm ）2.1;若0＜lgm ＜1即1＜m ＜10，则（lgm ）x 在R 上单调递减，故（lgm ）1.9＞（lgm ）2.1;若lgm=1即m=10，则（lgm ）1.9＝（lgm ）2.1.（4）因为底数8、10均大于1，且10＞8， 所以log 85＞lg5＞lg4，即log 85＞lg4. 解：（1）log 0.27＞log 0.29. （2）log 35＞log 65.（3）当m ＞10时，（lgm ）1.9＜（lgm ）2.1;当m=10时，（lgm ）1.9=（lgm ）2.1;当1＜m ＜10时，（lgm ）1.9＞（lgm ）2.1. （4）log 85＞lg4.绿色通道本题比较大小代表了几个典型的题型.其中题（1）是直接利用对数函数的单调性；题（2）是对数函数底数变化规律的应用；题（3）是指数函数单调性及对数函数性质的综合运用；题（4）是中间量的运用.当两个对数的底数和真数都不相同时，需要找出中间量来“搭桥”，再利用对数函数的增减性.常用的中间量有0、1、2等可通过估算加以选择. 变式训练2.比较下列各组数中两个值的大小: （1）log 23.4,log 28.5; （2）log 0.31.8;log 0.32.7;（3）log a 5.1,log a 5.9(a>0且a≠1); （4）log 67,log 76.分析:对于底数相同的两个对数值比较大小，可由对数的单调性确定，利用对数函数的增减性比较两个对数的大小.当不能直接进行比较时，可在两个对数中间插入一个已知数（如1或0等），间接比较两个数的大小. 解：（1）考查对数函数y=log 2x ，因为它的底数2>1，所以它在(0,+∞)上是增函数，于是log 23.4<log 28.5.（2）考查对数函数y=log 0.3x ，因为它的底数满足0<0.3<1，所以它在(0,+∞)上是减函数，于是log 0.31.8>log 0.32.7.（3）对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1，而已知条件中并未明确指出底数a 与1哪个大，因此需要对底数a 进行讨论:当a>1时，函数y=log a x 在(0,+∞)上是增函数，于是log a 5.1<log a 5.9； 当0<a<1时，函数y=log a x 在(0,+∞)上是减函数，于是log a 5.1>log a 5.9. （4）∵log 67>log 66=1，log 76<log 77=1， ∴log 67>log 76.【例题3】已知函数y=lg （12+x -x ），求其定义域，并判断其奇偶性、单调性. 分析:注意到12+x +x=xx -+112，即有lg （12+x -x ）=-lg （12+x +x ），从而f（-x ）=lg （12+x +x ）=-lg （12+x -x ）=-f （x ），可知其为奇函数.又因为奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，所以我们只需研究（0，+∞）上的单调性. 解：由题意12+x -x ＞0，解得x∈R ，即定义域为R .又f （-x ）=lg ［1)(2+-x -（-x ）］=lg （12+x +x ）=lg1112-+x=lg （12+x -x ）-1=-lg （12+x -x ）=-f （x ）,∴y=lg（12+x -x ）是奇函数. 任取x 1、x 2∈（0，+∞）,且x 1＜x 2， 则xx x x ++⇒++11121221＞22211x x -+，即有121+x -x 1＞122+x -x 2＞0， ∴lg（121+x -x 1）＞lg （122+x -x 2），即f （x 1）＞f （x 2）成立.∴f（x ）在（0，+∞）上为减函数. 又f （x ）是定义在R 上的奇函数， 故f （x ）在（-∞，0）上也为减函数.绿色通道研究函数的性质一定得先考虑定义域.在研究函数单调性时，注意奇偶性对函数单调性的影响，即偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性,奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性. 变式训练3.(2006广东高考,1)函数f(x)=xx -132+lg(3x+1)的定义域是( )A.(31-,+∞) B.(31-,1) C.(31-,31) D.(-∞,31-) 解析：由.131013,01<<-⇒⎩⎨⎧>+>-x x x答案：B【例题4】(1)解不等式:log 3(4-x)>2+log 3x; (2)解方程:2lg 3-x -3lgx+4=0.分析:对于(1),将对数不等式转化为解代数不等式组,对于(2)用换元法将其转化为一元二次方程.解：(1)原不等式可化为log 3(4-x)>log 3(9x),其等价于⎪⎩⎪⎨⎧>>>0,x 0,x -49x,x -4解得0<x<52. ∴原不等式的解集为{x|0<x<52}. (2)设2-3lgx =t,则t≥0. 原方程化为-t 2+t+2=0. 解得t=2,或t=-1(舍去).由2-3lgx =2,得lgx=2.故x=100.经检验x=100是原方程的解.黑色陷阱(1)形如f(log a x)=0,f(log a x)>0的对数方程或不等式，往往令t=log a x 进行换元转化.(2)解对数方程和不等式时要注意防止定义域的扩大，处理办法为：第一，若不是同解变形，最后一定要验根；第二，解的过程中要加以限制条件，使定义域保持不变，即进行同解变形，最后通过解混合不等式组得到原不等式的解. 变式训练4.(2006陕西高考,理4)设函数f(x)=log a (x+b)(a>0,a≠1)的图象过点(2,1)，其反函数的图象过点(2,8)，则a+b 等于( )A.3B.4C.5D.6 解析：因为函数f(x)的图象经过点（2，1），所以f(2)=1，即log a （2+b ）=1,即a=2+b. 又其反函数的图象经过点（2，8），故函数f(x)的图象经过点（8，2），有log a (8+b)=2，即a 2=8+b,解得a=-2,b=-4(舍去)，或a=3,b=1，所以a+b=4. 答案：B5.设函数f （x ）=x 2-x+b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a≠1），则f （log 2x ）的最小值为_____________.解析：由已知,得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-,2)(log ,log log 22222b a a b b a a即)2()1(,4,0)1(log log 222⎩⎨⎧=+-=-b a a a a由①得log 2a=1，∴a=2. 代入②得b=2.∴f（x ）=x 2-x+2.∴f（log 2x ）=log 22x-log 2x+2=（log 2x 21-）2+47.∴当log 2x=21时，f （log 2x ）取得最小值47，此时x=2.答案：47。
【高中】2020版高中数学第三章基本初等函数321第1课时对数的概念学案新人教B版必修1
【关键字】高中3．2.1 第1课时对数的概念学习目标 1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．知识点一对数的概念思考解指数方程：3x＝.可化为3x＝3，所以x＝.那么你会解3x＝2吗？梳理 1.对数的概念如果ab＝N(a>0，且a≠1)，那么数b叫做________________，记作________，其中a叫做______________，N叫做________．2．常用对数通常将以10为底的对数叫做____________，log10N可简记为______．知识点二对数的性质思考loga1(a>0，且a≠1)等于？梳理 1.对数与指数的关系若a>0，且a≠1，则ab＝N⇔logaN＝____.2．对数恒等式alogaN＝____.3．对数的性质(1)1的对数为____；(2)底的对数为____；(3)零和负数__________．类型一对数的概念例1 在N＝log(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是( )A．b<2或b>5 B．2<b<5C．4<b<5 D．2<b<5且b≠4反思与感悟由于对数式中的底数a就是指数式中的底数a，所以a的取值范围为a>0，且a≠1；由于在指数式中ax＝N，而ax>0，所以N>0.追踪训练1 求f(x)＝logx的定义域．类型二应用对数的基本性质求值例2 求下列各式中x的值：(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1.反思与感悟本题利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题．logaN ＝0⇒N＝1；logaN＝1⇒N＝a使用频繁，应在理解的基础上牢记．追踪训练2 若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为( ) A．9 B．．7 D．6类型三对数式与指数式的互化例3 将下列指数式写成对数式：(1)54＝625；(2)2－6＝；(3)＝27；(4)m＝5.73.反思与感悟指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向：追踪训练3 如果a＝b2 (b>0，b≠1)，则有( )A．log＝b B．log2b＝aC．logba＝2 D．logb2＝a例4 求下列各式中x的值：(1)log64x＝－；(2)logx8＝6；(3)lg 100＝x；(4)log(－1)＝x.反思与感悟要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．追踪训练4 计算：(1)log927；(2)log81；(3)log625.命题角度3 对数恒等式＝N的应用例5 (1)求＝2中的x.(2)求的值(a，b，c∈(0，＋∞)且不等于1，N＞0)．反思与感悟应用对数恒等式注意(1)底数相同．(2)当N>0时才成立，例如y＝x与y＝alogax并非相等函数．追踪训练5 设25＝9，则x＝________.1．logbN＝a(b>0，b≠1，N>0)对应的指数式是( )A．ab＝N B．ba＝NC．aN＝b D．bN＝a2．若log a x＝1，则( )A．x＝1 B．a＝1C．x＝a D．x＝103．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )A．100＝1与lg 1＝0B．813＝12与log812＝－13C．log39＝2与912＝3D．log77＝1与71＝74．已知log x16＝2，则x等于( )A．±4 B．4 C．256 D．25．设10lg x＝100，则x的值等于( )A．10 B．0.01C．100 D．1 0001．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b＝N⇔log a N＝b(a>0，且a≠1，a＝N.N>0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b＝b；(2)log a N2．在关系式a x＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．答案精析问题导学知识点一思考 不会，因为2难以化为以3为底的指数式，因而需要引入对数概念． 梳理1．以a 为底N 的对数 b ＝log a N 对数的底数 真数 2.常用对数 lg N 知识点二思考 设log a 1＝t ，化为指数式a t＝1，则不难求得t ＝0，即log a 1＝0. 梳理1．b 2.N 3.(1)0 (2)1 (3)没有对数题型探究例1 D 跟踪训练1 解 要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x ≠1，1－x 1＋x >0，解得0<x <1.∴f (x )＝log x 1－x 1＋x的定义域为(0,1)． 例2 解 (1)∵log 2(log 5x )＝0.∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1 000.跟踪训练2 A例3 解 (1)log 5625＝4；(2)log 2164＝－6； (3)log 327＝a ；(4)log 135.73＝m .跟踪训练3 C例4 解 (1)x ＝()22333644－－＝＝4－2＝116. (2)因为x 6＝8，所以x ＝()1111636626822x ()＝＝＝＝ 2.(3)10x ＝100＝102，于是x ＝2.(4)因为log (21)-13＋22＝x ， 所以(2－1)x ＝13＋22＝12＋12＝12＋1＝2－1， 所以x ＝1. 跟踪训练4 解 (1)设x ＝log 927，则9x ＝27,32x ＝33，∴x ＝32. (2)设x ＝43，则⎝⎛⎭⎫43x ＝81,34x ＝34，∴x ＝16. (3)令x ＝345625，则⎝⎛⎭⎫354x ＝625,543x ＝54，∴x ＝3. 例5 解 (1)∵33log 3x ＋＝33·3log 3x ＝27x ＝2，∴x ＝227. (2)log log log log log log log ().a b c a b c c b c N b c N N a a c N ⋅⋅⋅=== 跟踪训练5 2当堂训练1．B 2.C 3.C 4.B 5.C此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)32对数与对数函数321对数及其运算同步测控新人教B版1
3.2.1 对数及其运算同步测控我夯基,我达标1.式子2)5log 211(2+的值为( ) A.2+5 B.25 C.2+25 D.1+25 解析：原式=)5log 1(2+=2)52(log 2=25.答案：B2.下列各式中成立的是( )A.log a x 2=2log a xB.log a |xy|=log a |x|+log a |y|C.log a 3＞log a 2D.log a yx =log a x-log a y 解析：A 、D 的错误在于不能保证真数为正，C 的错误在于a 值不定.答案：B3.已知f （x 5）=lgx ，则f （2）等于( ) A.lg2 B.lg32 C.lg321 D.51lg2 解析：令x 5=t ，则x=5t =t 51. ∴f（t ）=lgt 51=51lgt. ∴f（2）=51lg2. 答案：D4.下列四个命题中，真命题是( )A.lg2lg3=lg5B.lg 23=lg9C.若log a M+N=b ，则M+N=a bD.若log 2M+log 3N=log 2N+log 3M ，则M=N解析：本题易错选A 或B 或C.主要问题是对函数的运算性质不清，在对数运算的性质中，与A 类似的一个错误的等式是lg2+lg3=lg5；B 中的lg 23表示（lg3）2，它与lg32＝lg9意义不同；C 中的log a M+N 表示（log a M ）+N ，它与log a （M+N ）意义不同；D 中等式可化为log 2M-log 2N=log 3M-log 3N ，即log 2N M =log 3NM ，所以M ＝N. 答案：D5.求下列各式的值:(1)设log b x-log b y ＝a ，则log b 5x 3-log b 5y 3＝____________;(2)设log a (x ＋y)＝3，log a x ＝1，则log a y ＝____________;(3)3|91|log 3=_____________.解析：(1)∵log b x-log b y ＝a,∴log b y x＝a.∴log b 5x 3-log b 5y 3＝log b 3355y x＝log b (y x )3＝3log b y x＝3a.(2)∵log a (x ＋y)＝3, ∴a 33＝x ＋y.又log a x ＝1,∴x＝a.∴y＝a 3-a.从而log a y ＝log a (a 3-a). (3)3|91|log 3＝3|3log 23|-=3|3log 2|3-＝32＝9.答案：(1)3a (2)log a (a 3-a) (3)96.已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x 则f （log 23）的值为__________.解析：∵1<log 23<2,∴3+log 23>4.∴f(3+log 23)=(21)3log 32+ =(21)24log 2=(21)241log 21=241.又∵当x<4时，f(x+1)=f(x),∴f(log 23)=f(1+log 23)=f(2+log 23)=f(3+log 23)=241. 答案：2417.求下列各式中的x ：（1）log 54x ＝21-；（2）log x 5＝23； （3）log （x-1）（x 2-8x ＋7）＝1.分析:根据式中未知数的位置或直接转化成指数式计算或利用对数性质进行计算.解：（1）原式转化为（54）21-=x ，所以x=25. （2）原式转化为x 23=5，所以x=325. （3）由对数性质,得⎪⎩⎪⎨⎧>+-≠->--=+-,078,11,01,17822x x x x x x x 解得x ＝8.8.已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求lg 45.分析:解本题的关键是设法将45的常用对数分解为2、3的常用对数代入计算. 解：lg 45=21lg45=21lg 290 =21(lg9+lg10-lg2) =21(2lg3+1-lg2) =lg3+2121-lg2 =0.477 1+0.5-0.150 5=0.826 6.我综合,我发展9.对于a>0，a≠1，下列说法中正确的是( )①若M=N ，则log a M=log a N ②若log a M=log a N ，则M=N ③若log a M 2=log a N 2，则M=N ④若M=N ，则log a M 2=log a N 2A.①③B.②④C.②D.①②③④ 解析：在①中，当M=N≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M=log a N 不成立. 在②中，当log a M=log a N 时，必有M ＞0，N ＞0，且M=N ，因此M=N 成立.在③中，当log a M 2=log a N 2时，有M≠0，N≠0，且M 2=N 2，即|M|=|N|，但未必有M=N ，例如，M=2，N=-2时，也有log a M 2=log a N 2，但M≠N.在④中，若M=N=0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2=log a N 2不成立.∴只有②正确.答案：C10.设log a c 、log b c 是方程x 2-3x+1=0的两根，则log b a c=__________.解析：依题意,得⎩⎨⎧=∙=+,1log log ,3log log c c c c b a b a即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∙=+,1log log 1,3log 1log 1ba b a c c c c 即⎩⎨⎧=∙=+.1log log ,3log log b a b a c c c c ∴(log c a-log c b)2=(log c a+log c b)2-4log c a·log c b=32-4=5.∴log c a-log c b=±5. 故log b a =5551log log 1log 1±=±=-=b a b a c c c . 答案：±55 11.已知log 189=a ，18b =5，则log 3645=_______.（用a,b 表示）解析：∵log 189=a ，∴log 18218=1-log 182=a. ∴log 182=1-a.又∵18b =5,∴log 185=b.∴log 3645=ab a -+=++=22log 15log 9log 36log 45log 1818181818. 答案：ab a -+2 12.若26x =33y =62z ，求证:3xy-2xz-yz=0.分析:由已知条件到结论，本质就是把指数式化为对数式，要把指数位置上的字母拿下来，唯一的方法就是取对数，通常我们两边同时取常用对数，也可以根据题目的具体情况取其他数字（条件中已有的底数）为底数，总之要同底，然后利用对数的性质和运算法则化简计算.证法一:设t=26x =33y =62z ,两边取常用对数,则x=2lg 6lg t ,y=3lg 3lg t ,z=6lg 2lg t . ∴3xy -2xz-yz=6lg 3lg 6lg 6lg 2lg 6lg 3lg 2lg 6lg 222t t t -- =)]3lg 12lg 1(6lg 13lg 2lg 1[6lg 2+-t =)3lg 2lg 13lg 2lg 1(6lg 2-t =0.证法二：∵26x =33y =62z ，∴两边取以3为底的对数，有6xlog 32=3y=2zlog 36，由前面的等式,得yz=2xzlog 32,由后面的等式,得3xy=2xzlog 36.∴3xy -2xz-yz=2xzlog 36-2xz-2xzlog 32=2xz(log 36-1-log 32)=2xz （log 36-log 33-log 32)=0. 科学是实事求是的学问。
2020学年高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.1.2指数函数第1课时指数函数应用案巩固提升课件新人教B版必修1
第三章 基本初等函数(Ⅰ)
7．f(x)＝ax(a＞0，且 a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和 为 6，则 a＝________． 解析：由于 f(x)＝ax(a＞0，且 a≠1)在[1，2]上是单调函数， 故其最大值与最小值之和为 a2＋a＝6，解得 a＝－3(舍去)， 或 a＝2，所以 a＝2． 答案：2
A．12，＋∞
B．(－∞，0)
C．－∞，12
D．－12，12
解析：选 B．由题意知，此函数为指数函数，且为实数集 R
上的增函数，所以底数 1－2a>1，解得 a<0．
第三章 基本初等函数(Ⅰ)
6．若指数函数 y＝(m2＋m＋1)(15)x，则 m 的值是______． 解析：由题意知，m2＋m＋1＝1，则 m2＋m＝0， 所以 m＝0 或 m＝－1． 答案：0 或 －1
第三章 基本初等函数(Ⅰ)
12．已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时，f(x)＝2x＋ ax，且 2f(3)＝4f(2)＋f(－1)，则 a＝________． 解析：因为 f(x)是 R 上的奇函数， 且 x>0 时，f(x)＝2x＋ax， 所以 x<0 时，f(x)＝－2－x＋ax，f(0)＝0． 再由 2f(3)＝4f(2)＋f(－1)，得 2×(23＋3a)＝4×(22＋2a)＋(－ 2－a)，解得 a＝2． 答案：2
第三章 基本初等函数(Ⅰ)
9．已知指数函数的图象过点 M(3，8)，求 f(4)、f(－4)的值． 解：设指数函数是 y＝ax(a>0，a≠1)，则有 8＝a3，所以 a＝2，所以 y＝2x． 从而 f(4)＝24＝16，f(－4)＝2－4＝116．
第三章 基本初等函数(Ⅰ)
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3．2.1 第1课时对数的概念
学习目标 1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．
知识点一对数的概念
思考解指数方程：3x＝ 3.可化为3x＝31
2，所以x＝
1
2
.那么你会解3x＝2吗？
梳理 1.对数的概念
如果a b＝N(a>0，且a≠1)，那么数b叫做________________，记作________，其中a叫做______________，N叫做________．
2．常用对数
通常将以10为底的对数叫做____________，log10N可简记为______．
知识点二对数的性质
思考log a1(a>0，且a≠1)等于？
梳理 1.对数与指数的关系
若a>0，且a≠1，则a b＝N⇔log a N＝____.
2．对数恒等式
a log a N＝____.
3．对数的性质
(1)1的对数为____；
(2)底的对数为____；
(3)零和负数__________．
类型一对数的概念
例1 在N＝log(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是( )
A．b<2或b>5 B．2<b<5
C．4<b<5 D．2<b<5且b≠4
反思与感悟由于对数式中的底数a就是指数式中的底数a，所以a的取值范围为a>0，且a≠1；由于在指数式中a x＝N，而a x>0，所以N>0.
跟踪训练1 求f(x)＝log x 1－x
1＋x
的定义域．
类型二应用对数的基本性质求值
例2 求下列各式中x的值：
(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1.
反思与感悟 本题利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题．log a N ＝0⇒N ＝1；log a N ＝1⇒N ＝a 使用频繁，应在理解的基础上牢记．
跟踪训练2 若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为( )
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
类型三 对数式与指数式的互化 命题角度1 指数式化为对数式
例3 将下列指数式写成对数式：
(1)54＝625；(2)2－6＝164；(3)3a ＝27；(4)⎝ ⎛⎭
⎪⎫13m ＝5.73.
反思与感悟 指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向：
跟踪训练3 如果a ＝b 2
(b >0，b ≠1)，则有( )
A ．log 2a ＝b
B ．log 2b ＝a
C ．log b a ＝2
D ．log b 2＝a 命题角度2 对数式化为指数式
例4 求下列各式中x 的值： (1)log 64x ＝－23；(2)log x 8＝6；(3)lg 100＝x ；
(4)log(2－1)
1
3＋22
＝x.
反思与感悟要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．
跟踪训练4 计算：(1)log927；
；
命题角度3 对数恒等式＝N的应用
例5 (1)求33log 3x ＋＝2中的x .
(2)求log log log a b c b c N a ⋅⋅的值(a ，b ，c ∈(0，＋∞)且不等于1，N ＞0)．
反思与感悟 应用对数恒等式注意
(1)底数相同．
(2)当N >0时才成立，例如y ＝x 与y ＝a log a x 并非相等函数．
跟踪训练5 设255log (21)x －＝9，则x ＝________.
1．log b N ＝a (b >0，b ≠1，N >0)对应的指数式是( )
A ．a b ＝N
B ．b a ＝N
C ．a N ＝b
D ．b N ＝a
2．若log a x ＝1，则( )
A ．x ＝1
B ．a ＝1
C ．x ＝a
D ．x ＝10
3．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A ．100＝1与lg 1＝0
B ．81
3-＝12与log 812＝－13
C ．log 39＝2与91
2＝3
D ．log 77＝1与71
＝7
4．已知log x 16＝2，则x 等于( )
A．±4 B．4 C．256 D．2
5．设10lg x＝100，则x的值等于( )
A．10 B．0.01
C．100 D．1 000
1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b＝N⇔log a N＝b(a>0，且a≠1，
a＝N.
N>0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b＝b；(2)log a N
2．在关系式a x＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 不会，因为2难以化为以3为底的指数式，因而需要引入对数概念． 梳理
1．以a 为底N 的对数 b ＝log a N 对数的底数 真数 2.常用对数 lg N 知识点二
思考 设log a 1＝t ，化为指数式a t
＝1，则不难求得t ＝0，即log a 1＝0.
梳理
1．b 2.N 3.(1)0 (2)1 (3)没有对数
题型探究
例1 D
跟踪训练1 解 要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，
x ≠1，
1－x
1＋x >0，
解得0<x <1.
∴f (x )＝log x 1－x
1＋x 的定义域为(0,1)．
例2 解 (1)∵log 2(log 5x )＝0.
∴log 5x ＝20
＝1，∴x ＝51＝5.
(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31
＝3，
∴x ＝103＝1 000.
跟踪训练2 A
例3 解 (1)log 5625＝4；(2)log 2164＝－6；
(3)log 327＝a ；(4)log 13
5.73＝m .
跟踪训练3 C
例4 解 (1)x ＝()2
2
333644－－＝＝4－2＝116.
(2)因为x 6＝8，所以x ＝()11
1
1636626822x (＝＝ 2.
(3)10x ＝100＝102，于是x ＝2.
(4)因为log
1)1
3＋22＝x ， 所以(2－1)x ＝13＋22＝12＋2＝1
2＋1＝2－1，
所以x ＝1.
跟踪训练4 解 (1)设x ＝log 927，则9x ＝27,32x ＝33，∴x ＝32.
(2)设x ＝
，则⎝⎛⎭⎫43x ＝81,34x
＝34
，∴x ＝16.
(3)令x ＝
625，则⎝⎛⎭⎫354x ＝625,54
3x ＝54
，∴x ＝3.
例5 解 (1)∵33log 3x ＋＝33·3log 3x ＝27x ＝2，∴x ＝2
27.
(2)log log log log log log log ().a b c a b c c b c N b c N N a a c N ⋅⋅⋅=== 跟踪训练5 2
当堂训练
1．B 2.C 3.C 4.B 5.C。