2018人教A版高中数学必修五第三章 3.3 3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域练习

[课时作业] [A 组 基础巩固]1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y <x x ＋y ≤1y ≥－3表示的区域为D ，点P (0，－2)，Q (0，0)，则( )A ．P ∉D ，且Q ∉DB ．P ∉D ，且Q ∈DC ．P ∈D ，且Q ∉DD ．P ∈D ，且Q ∈D解析：作出可行域故P ∈D .Q ∉D .答案：C2．设点P (x ，y )，其中x ，y ∈N ，满足x ＋y ≤3的点P 的个数为( ) A ．10 B ．9 C ．3D ．无数个解析：作⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，x ，y ∈N 的平面区域，如图所示，符合要求的点P 的个数为10，故选A. 答案：A3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋5)(x ＋y )≥0，0≤x ≤3表示的平面区域是一个( )A ．三角形B ．直角梯形C ．等腰梯形D ．矩形解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋5)(x ＋y )≥0，0≤x ≤3等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ＋5≥0，0≤x ≤3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ＋5≤0，0≤x ≤3.分别画出其平面区域(图略)，可知选C. 答案：C4．完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2∶3，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，请工人数的限制条件是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤5，x ，y ∈N * B.⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋40y ≤2 000，x y ＝23C.⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤200，x y ＝23，x ，y ∈N*D.⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y <100，x y ＝23解析：排除法：∵x ，y ∈N *，排除B 、D. 又∵x 与y 的比例为2∶3，∴排除A ，故选C. 答案：C5．在坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥2|x －1|，y ≤x ＋1所表示的平面区域的面积为( )A ．2 2 B.83 C.223D ．2解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，易得A ⎝⎛⎭⎫13，43，B (3,4)，C (1,0)，D (－1,0)，故S △ABC ＝S △DCB －S △ADC ＝12×|CD |·(y B －y A )＝12×2×⎝⎛⎭⎫4－43＝12×2×83＝83，故选B.答案：B6．点P (m ，n )不在不等式5x ＋4y －1>0表示的平面区域内，则m ，n 满足的条件是________． 解析：由题意知点P (m ，n )在不等式5x ＋4y －1≤0表示的平面区域内，则5m ＋4n －1≤0.答案：5m ＋4n －1≤07．如果点A (5，m )在两平行直线6x －8y ＋1＝0及3x －4y ＋5＝0之间，则实数m 的取值范围为________．解析：因为点A (5，m )在两平行直线之间，所以⎩⎪⎨⎪⎧6×5－8m ＋1<0，3×5－4m ＋5>0，解得318<m <5.答案：318<m <58．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域的面积为________．解析：画出不等式组表示的平面区域如图所示． S ＝12|OA |·|OB |＝12×2×2＝2. 答案：29．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋8≥0，x ＋y ≥0，x ≤4表示的平面区域是Q .(1)求Q 的面积S ；(2)若点M (t,1)在平面区域Q 内，求整数t 的取值集合．解析：(1)作出平面区域Q ，它是一个等腰直角三角形(如图所示)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x ＝4，解得A (4，－4)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋8＝0，x ＝4， 解得B (4,12)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋8＝0，x ＋y ＝0解得C (－4,4).于是可得|AB |＝16，AB 边上的高d ＝8. ∴S ＝12×16×8＝64.(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ t －1＋8≥0，t ＋1≥0，t ≤4，t ∈Z.即⎩⎪⎨⎪⎧t ≥－7，t ≥－1，t ≤4，t ∈Z.亦即⎩⎪⎨⎪⎧－1≤t ≤4，t ∈Z ，得t ＝－1,0,1,2,3,4.故整数t 的取值集合是{－1,0,1,2,3,4}．10．求由不等式y ≤2及|x |≤y ≤|x |＋1所表示的平面区域的面积大小． 解析：可将原不等式组分解成如下两个不等式组：①⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，y ≤x ＋1，y ≤2或②⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥－x ，y ≤－x ＋1，y ≤2.上述两个不等式组所表示的平面区域如图所示，其形状如一展翅的海鸥，它所围成的面积为S ＝12×4×2－12×2×1＝3. [B 组 能力提升]1．由直线x －y ＋1＝0，x ＋y －5＝0和x －1＝0所围成的三角形区域(包括边界)用不等式组可表示为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≤0x ＋y －5≤0x －1≥0B.⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≥0x ＋y －5≤0x －1≥0C.⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y －5≥0x －1≤0D.⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0x ＋y －5≤0x －1≤0解析：由题意，得所围成的三角形区域在直线x －y ＋1＝0的左上方，直线x ＋y －5＝0的左下方，及直线x －1＝0的右侧，所以所求不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0x ＋y －5≤0.x －1≥0答案：A2．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A ．－1B ．1 C.32D ．2解析：约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m表示的可行域如图中阴影部分所示．当直线x ＝m 从如图所示的实线位置运动到过A 点的虚线位置时，m 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，y ＝2x 得A 点坐标为(1,2)，∴m 的最大值是1，故选B. 答案：B3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x <32y ≥x 3x ＋2y ≥63y <x ＋9表示的区域的面积为________．解析：不等式x <3表示直线x ＝3左侧的区域(不含边界)；不等式2y ≥x ，即x －2y ≤0表示直线x －2y ＝0左上方的区域(包含边界)；不等式3x ＋2y ≥6，即3x ＋2y －6≥0表示直线3x ＋2y －6＝0右上方的区域(包含边界)； 不等式3y <x ＋9，即x －3y ＋9>0表示直线x －3y ＋9＝0右下方的区域(不含边界)． 综上可得，不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．平面区域是一个四边形，设其顶点分别为A ，B ，C ，D . 由图可知A (0,3)，B ⎝⎛⎭⎫32，34， C ⎝⎛⎭⎫3，32，D (3,4)． S 四边形ABCD ＝S 梯形AOED －S △COE －S △AOB＝12(OA ＋ED )·OE －12OE ·CE －12OA ·|x B | ＝12×(3＋4)×3－12×3×32－12×3×32＝6. 答案：64．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0x －m <0y ＋m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，则实数m 的取值范围是________．解析：不等式组表示的大致平面区域如图中阴影部分所示，由图得点C 的坐标为(m ，－m )，把直线x －2y ＝2转化为斜截式y ＝12x －1，要使平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，则点C 在直线x －2y ＝2的右下方，因此－m <m 2－1，解得m >23，故实现m 的取值范围是(23，＋∞)．答案：(23，＋∞)5．已知点M (a ，b )在由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥0，y ≥0确定的平面区域内，求点N (a ＋b ，a －b )所在平面区域的面积．解析：∵点M (a ，b )在由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥0，y ≥0确定的平面区域内，∴可得到关于a ，b 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ≤2，a ≥0，b ≥0.设m ＝a ＋b ，n ＝a －b ，则⎩⎨⎧m ≤2，m ＋n 2≥0，m －n2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，m ＋n ≥0，m －n ≥0，∴点N (a ＋b ，a －b )，即点N (m ，n )所在的平面区域为图中的阴影部分． 易得S ＝12×4×2＝4.6．已知关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0x ＋my ≥0x ≤t (t ，m 为常数，且m ≠0)表示的平面区域M 是一个直角三角形． (1)求m 的值；(2)若M 在圆x 2＋y 2＝5内，求t 的取值范围．解析：(1)由已知条件，知平面区域M 的两边相互垂直，即直线x －2y ＝0与x ＋my ＝0相互垂直，故1×1＋(－2)×m ＝0，解得m ＝12.(2)如图，易求得直线x －2y ＝0与圆x 2＋y 2＝5的交点为A (2,1)，B (－2，－1)， 直线x ＋12y ＝0与圆x 2＋y 2＝5的交点为C (1，－2)，D (－1,2)．设直线x ＝t 与直线x －2y ＝0，x ＋12y ＝0的交点分别为E ，F ，要使M 在圆x 2＋y 2＝5内，则直线x ＝t 不能在点C 的右侧，即t ≤1，显然t >0，所以t 的取值范围为(0,1]．。