高中文科数列部分知识整理 有答案
高考文科数学数列专题复习(附答案及解析)
高考文科数学数列专题复习数列常用公式数列的通项公式与前n 项的和的关系a n s , n 11s s ,n 2n n 1( 数列{a n} 的前n 项的和为s n a1 a2 a n ).等差数列的通项公式*a a1 (n 1)d dn a1 d(n N ) ；n等差数列其前n 项和公式为n(a a ) n(n 1)1 ns na1 d n2 2 d 12n (a d)n .12 2等比数列的通项公式an 1 1 n *a a1q q (n N )nq；等比数列前n 项的和公式为na (1 q )1s 1 qn , q 1或sna a q1 n1 q,q 1na ,q 1 1 na ,q 1 1一、选择题1.( 广东卷) 已知等比数列{a n} 的公比为正数，且a3 ·a9 =2 2a ，a2 =1，则a1 =5A. 12B.22C. 2D.22.（安徽卷）已知为等差数列，，则等于A. -1B. 1C. 3D.7 3（. 江西卷）公差不为零的等差数列{a n} 的前n项和为S n .若a4 是a3与a7 的等比中项, S8 32, 则S等于10A. 18B. 24C. 60D. 904（湖南卷）设S n 是等差数列a n 的前n 项和，已知a2 3，a6 11，则S7 等于【】第1页/ 共8页A ．13 B．35 C．49 D．633.（辽宁卷）已知a为等差数列，且a7 －2 a4 ＝－1, a3 ＝0, 则公差d＝n（A）－2 （B）－12 （C）12（D）24.（四川卷）等差数列｛a n ｝的公差不为零，首项a1 ＝1，a2 是a1 和a5 的等比中项，则数列的前10 项之和是A. 90B. 100C. 145D. 1905.（湖北卷）设x R, 记不超过x 的最大整数为[ x ], 令{x }= x -[ x ]，则{ 52 1} ，[ 521],521A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列6.（湖北卷）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1 中的1，3，6，10，⋯，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16⋯这样的数成为正方形数。
高中文科数列知识点归纳总结
高中文科数列知识点归纳总结数列是数学中一个重要的概念，广泛应用于各个领域。
在高中文科中，数列是一个重要的知识点，它涉及到数列的定义、性质和应用。
下面对高中文科数列的知识进行归纳总结。
一、数列的定义数列是由一系列按照特定规律排列的数所组成的集合。
常用的表示数列的方法有两种：通项公式和递推公式。
1. 通项公式通项公式表示数列第 n 项与 n 的函数关系，通常用公式 aₙ 表示第n 项。
2. 递推公式递推公式表示数列中每一项与前一项的关系，常用公式 aₙ = aₙ₋₁+ d 或 aₙ = a₁q^(n-1) 表示。
二、数列的性质对于数列的性质，我们主要关心数列的公差、首项、末项和项数等。
下面我们来分别介绍这几个重要的性质。
1. 公差对于等差数列，公差（d）表示相邻两项之间的差值，可以是正数、负数或零。
公差可以用来求出数列中任意一项的值。
2. 首项首项（a₁）表示数列中的第一项。
对于等差数列，可以通过给定的公差和首项来确定数列的通项公式。
3. 末项末项（aₙ）表示数列中的最后一项。
对于等差数列，可以通过给定的公差、项数和首项来确定数列的末项。
4. 项数项数（n）表示数列中共有多少项。
对于等差数列，可以通过给定的公差、首项和末项来确定数列的项数。
三、数列的常见类型文科中常见的数列主要有等差数列和等比数列。
下面我们来介绍这两种常见的数列类型及其应用。
1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。
它的通项公式为 aₙ = a₁ + (n-1)d，其中 a₁表示首项，d 表示公差。
等差数列的应用非常广泛，例如在金融领域中，我们常常用等差数列来计算投资的收益率或者负债的增长率。
2. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。
它的通项公式为 aₙ = a₁q^(n-1)，其中 a₁表示首项，q 表示公比。
等比数列也有许多应用场景，比如在自然科学中常常用等比数列来描述指数增长或者衰减的现象。
高三数列知识点与题型总结文科
数列考点总结第一部分求数列的通项公式一、数列的相关概念与表示方法见辅导书 二、求数列的通项公式四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式;等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘,这二种方法是求数列通项公式的最基本方法;求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形,代换转化为等差数列或等比数列;求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法; 一、累加法1．适用于：1()n n a a f n +=+----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一;若1()n n a a f n +-=(2)n ≥,则21321(1)(2)()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，,求数列{}n a 的通项公式; 例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，,求数列{}n a 的通项公式;练习1.已知数列{}n a 的首项为1,且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.答案：12+-n n练习2.已知数列}{n a 满足31=a ,)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ,求此数列的通项公式.答案：裂项求和n a n 12-=评注：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+,其中fn 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项na .①若fn 是关于n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; ②若fn 是关于n 的二次函数,累加后可分组求和;③若fn 是关于n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; ④若fn 是关于n 的分式函数,累加后可裂项求和;例3.已知数列}{n a 中,0>n a 且)(21n n n a n a S +=,求数列}{n a 的通项公式.练习3已知数列{}n a 满足112,12nn n a a a a +==+,求数列{}n a 的通项公式;二、累乘法 1、适用于：1()n na f n a +=累乘法是最基本的二个方法之二;若1()n n a f n a +=,则31212(1)(2)()n na aa f f f n a a a +===，，，两边分别相乘得,1111()nn k a a f k a +==⋅∏例4已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，,求数列{}n a 的通项公式;例5.设{}n a 是首项为1的正项数列,且()011221=+-+++n n n n a a na a n n=1,2,3,…,则它的通项公式是n a =________. 三、待定系数法适用于1()n n a qa f n +=+基本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数; 1．形如(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1型1若c=1时,数列{n a }为等差数列; 2若d=0时,数列{na }为等比数列;3若01≠≠且d c 时,数列{na }为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.待定系数法：设)(1λλ+=++n n a c a ,得λ)1(1-+=+c ca a n n ,与题设,1d ca a n n +=+比较系数得d c =-λ)1(,所以)0(,1≠-=c cd λ所以有：)1(11-+=-+-c d a c c d a n n 因此数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1c d a n 构成以11-+c da 为首项,以c 为公比的等比数列,所以11)1(1-⋅-+=-+n n c c d a c d a 即：1)1(11--⋅-+=-c d c c d a a n n . 规律：将递推关系dca a n n +=+1化为)1(11-+=-++c da c c d a n n ,构造成公比为c 的等比数列}1{-+c d a n 从而求得通项公式)1(1111-++-=-+c da c c d a n n逐项相减法阶差法：有时我们从递推关系dca a n n +=+1中把n 换成n-1有dca a n n +=-1,两式相减有)(11-+-=-n n n n a a c a a 从而化为公比为c 的等比数列}{1n n a a -+,进而求得通项公式.)(121a a c a a n n n -=-+,再利用类型1即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.例6、已知数列{}n a 中,111,21(2)n n a a a n -==+≥,求数列{}n a的通项公式;2．形如：nn n q a p a +⋅=+1其中q 是常数,且n ≠0,1①若p=1时,即：nn n q a a +=+1,累加即可.②若1≠p 时,即：n n n q a p a +⋅=+1,求通项方法有以下三种方向：i.两边同除以1+n p .目的是把所求数列构造成等差数列即：nnn n n qp p q a p a )(111⋅+=++,令n n n p a b =,则n n n q p p b b )(11⋅=-+,然后类型1,累加求通项.ii.两边同除以1+n q .目的是把所求数列构造成等差数列;即：qq a q p q a n n n n 111+⋅=++,令n nn q a b =,则可化为q b q p b n n 11+⋅=+.然后转化为类型5来解,iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设)(11n n n n p a p q a ⋅+=⋅+++λλ.通过比较系数,求出λ,转化为等比数列求通项.注意：应用待定系数法时,要求p ≠q,否则待定系数法会失效; 例7、已知数列{}n a 满足1112431n n n a a a -+=+⋅=，,求数列{}n a的通项公式;练习3.2009陕西卷文已知数列{}n a 满足,*11212,,2n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝＝.()I 令1n n n b a a +=-,证明：{}n b 是等比数列；Ⅱ求{}n a 的通项公式;答案：1{}n b 是以1为首项,12-为公比的等比数列;21*521()()332n n a n N -=--∈;总结：四种基本数列 1．形如)(1n f a a n n =-+型等差数列的广义形式,见累加法;2.形如)(1n f a a n n =+型等比数列的广义形式,见累乘法;3.形如)(1n f a a n n =++型1若da a n n =++1d 为常数,则数列{na }为“等和数列”,它是一个周期数列,周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论;2若fn 为n 的函数非常数时,可通过构造转化为)(1n f a a n n =-+型,通过累加来求出通项;或用逐差法两式相减得)1()(11--=--+n f n f a a n n ,,分奇偶项来分求通项.4.形如)(1n f a a n n =⋅+型1若pa a n n =⋅+1p 为常数,则数列{na }为“等积数列”,它是一个周期数列,周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论;2若fn 为n 的函数非常数时,可通过逐差法得)1(1-=⋅-n f a a n n ,两式相除后,分奇偶项来分求通项. 例8.数列{na }满足01=a ,na a n n 21=++,求数列{an}的通项公式.例9.已知数列满足}{n a )(,)21(,3*11N n a a a n n n ∈=⋅=+,求此数列的通项公式.第二部分数列求和一、公式法1．如果一个数列是等差数列或等比数列,则求和时直接利用等差、等比数列的前n 项和公式,注意等比数列公比q 的取值情况要分q ＝1或q ≠1.2．一些常见数列的前n 项和公式： 11＋2＋3＋4＋…＋n ＝； 21＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝n 2；32＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n.二、非等差、等比数列求和的常用方法1．倒序相加法如果一个数列{a n},首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,等差数列的前n项和即是用此法推导的．2．分组转化求和法若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组转化法,分别求和而后相加减．3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求,等比数列的前n项和就是用此法推导的．4．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和．小题能否全取1．2012·沈阳六校联考设数列{－1n}的前n项和为S n,则对任意正整数n,S n＝2．等差数列{a n}的通项公式为a n＝2n＋1,其前n项的和为S n,则数列的前10项的和为A．120 B．70C．75 D．1003．数列a1＋2,…,a k＋2k,…,a10＋20共有十项,且其和为240,则a1＋…＋a k＋…＋a10的值为A．31 B．120C．130 D．1854．若数列{a n}的通项公式为a n＝2n＋2n－1,则数列{a n}的前n项和为________．5．数列,,,…,,…的前n项和为________．例1等比数列{a n}中,a123,且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列.1求数列{a n}2若数列{b n}满足：b n＝a n＋－1n ln a n,求数列{b n}的前2n项和S2n...例2 已知数列{a n}n2a6＝8a3.1求a n；2求数列{na n}的前n项和T n.2．已知等比数列{a n}的前n项和为S n,且满足S n＝3n＋k.1求k的值及数列{a n}的通项公式；2若数列{b n}满足＝4＋ka n b n,求数列{b n}的前n项和T n.T n＝.例3 已知数列{a n}n1n n1求数列{a n}的通项公式；2设b n＝,求数列{b n}的前n项和T n.3．在等比数列{a n}中,a1>0,n∈N,且a3－a2＝8,又a1、a5的等比中项为16.1求数列{a n}的通项公式；2设b n＝log4a n,数列{b n}的前n项和为S n,是否存在正整数k,使得＋＋＋…＋<k对任意n∈N恒成立．若存在,求出正整数k的最小值；不存在,请说明理由．课后练习题1．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2－6n,则{|a n|}的前n项和T n＝A．6n－n2B．n2－6n＋182．若数列{a n}满足a1＝2且a n＋a n－1＝2n＋2n－1,S n为数列{a n}的前n项和,则log2S2012＋2＝________.3．已知递增的等比数列{a n}满足：a2＋a3＋a4＝28,且a3＋2是a2,a4的等差中项．1求数列{a n}的通项公式；2若b n＝a n log a n,S n＝b1＋b2＋…＋b n,求S n.4．已知{a n}是公差不为零的等差数列,a1＝1,且a1,a3,a9成等比数列．1求数列{a n}的通项；2求数列{2a n}的前n项和S n.S n＝2n＋1－2.2．设函数fx＝x3,在等差数列{a n}中,a3＝7,a1＋a2＋a3＝12,记S n＝f,令b n＝a n S n,数列的前n项和为T n.1求{a n}的通项公式和S n；2求证：T n<.3．已知二次函数fx＝x2－5x＋10,当x∈n,n＋1n∈N时,把fx在此区间内的整数值的个数表示为a n.1求a1和a2的值；2求n≥3时a n的表达式；3令b n＝,求数列{b n}的前n项和S n n≥3．5－.。
数列高考知识点归纳(非常全!) - 含答案
数列高考知识点大扫描第一节等差数列的概念、性质及前n 项和例1．等差数列{a n }中，69121520a a a a +++=，求S 20 [思路]等差数列前n 项和公式11()(1)22n n a a n n n S na d +-==+： 1、 由已知直接求a 1，公差d.2、 利用性质q p n m a a a a q p n m +=+⇒+=+[解题 ] 由69121520a a a a +++=，615912120a a a a a a +=+=+，得1202()20a a +=，12010a a ∴+=，120()201002n a a S +⨯∴==。
[收获] 灵活应用通项性质可使运算过程简化。
练习：1.等差数列{a n }满足121010a a a +++= ，则有（）A 、11010a a +> B 、21000a a +< C 、3990a a += D 、5151a =2.等差数列中,a 3+a 7-a 10=8,a 11-a 4=4,求13S 。
3.等差数列{a n }共10项，123420a a a a +++=，12360n n n n a a a a ---+++=，求S n. [思路] 已知数列前四项和与后四项和，结合通项性质，联想S n 公式推导方法。
[解题] 已知123420a a a a +++=，12360n n n n a a a a ---+++=，又14()80n a a +=，得120n a a +=，1()201010022n n a a n S +⨯∴==⨯=，[收获] 1、重视倒加法的应用，恰当运用通项性质：q p n m a a a a q p n m +=+⇒+=+，快捷准确；1、 求出1n a a +后运用“整体代换”手段巧妙解决问题。
4.等差数列{a n }前n 项和为18 ，若1S =3, 123n n n a a a --++=, 求项数n .第2变已知前n 项和及前m 项和，如何求前n+m 项和[变题2] 在等差数列{a n }中，S n =a,S m =b,(m>n)，求S n+m 的值。
高三数列知识点文科版
高三数列知识点文科版数列是数学中常见的一种数学对象，是由一系列按照一定规律排列的数字所构成的序列。
在文科学科中，数列的概念及其相关知识点也是不可忽视的一部分。
本文将介绍高三数列知识点的相关内容。
一、数列的概念与性质数列是由一系列按照一定规律排列的数字所构成的序列。
其中，每个数字称为数列的项，用an表示。
数列的通项公式表示了数列中各项之间的关系，常用的有等差数列和等比数列。
1. 等差数列等差数列是一种公差为常数的数列，即数列中每一项与它的前一项之差都相等。
通项公式为an = a1 + (n - 1)d，其中，a1为首项，d为公差，n为项数。
2. 等比数列等比数列是一种比值为常数的数列，即数列中每一项与它的前一项之比都相等。
通项公式为an = a1 × r^(n - 1)，其中，a1为首项，r为公比，n为项数。
数列的性质包括有限数列和无限数列、单调性、有界性和极限等。
二、数列的应用数列作为一种基本的数学工具，在文科学科中有着广泛的应用。
下面列举几个常见的数列应用场景。
1. 金融领域在金融领域中，数列常用于计算复利增长问题。
例如，银行的定期存款利率为6%，每年计算一次利息，那么每一年的本息总量可以用等比数列来表示。
2. 人口统计在人口统计工作中，数列可以用来描述人口的增长或减少情况。
通过分析数列的特征，可以预测未来的人口发展趋势。
3. 历史研究在历史研究领域，数列可以用来揭示历史事件发展的规律。
通过构建适当的数列模型，可以将历史事件与时间、地点等因素联系起来，帮助研究人员深入了解历史的发展过程。
三、数列的解题方法解题是数列学习中的重要环节，只有掌握了解题方法，才能在高考中灵活运用数列知识。
1. 数列的推导数列的推导是指根据已知的数列条件，推导出数列的通项公式。
对于等差数列，通过观察数列中相邻项的关系，可以得出公差；对于等比数列，通过观察数列中相邻项的比值，可以得出公比。
2. 数列的和求解求解数列的和是数列学习中的常见问题。
高中数列知识点归纳总结及例题
高中数列知识点归纳总结及例题数列是高中数学中的一个重要概念，它在许多数学问题中都起着至关重要的作用。
通过学习数列的定义、性质和求解方法，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
本文将对高中数列知识点进行归纳总结，并附上相关例题供读者练习。
1. 数列的定义与性质数列是按照一定顺序排列的一组数。
其中，每一个数称为数列的项，位置称为项数，用字母a表示数列的通项。
数列的性质包括等差数列和等比数列两种常见情况：1.1 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
设数列为{an}，公差为d，则有如下性质：（1）通项公式：an = a1 + (n-1)d（2）前n项和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2（3）项数公式：n = (an - a1) / d + 1例题1：已知等差数列{an}的首项是3，公差是4，求第10项的值。
解析：根据等差数列的通项公式，代入a1 = 3，d = 4，n = 10，求得a10 = 3 + (10-1) * 4 = 39。
1.2 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
设数列为{an}，公比为q，则有如下性质：（1）通项公式：an = a1 * q^(n-1)（2）前n项和公式：Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)（3）项数公式：n = logq(an / a1) + 1例题2：已知等比数列{an}的首项是2，公比是3，求第5项的值。
解析：根据等比数列的通项公式，代入a1 = 2，q = 3，n = 5，求得a5 = 2 * 3^(5-1) = 162。
2. 数列的求和数列的求和是数学中常见的问题之一，通过找到数列的规律和应用对应的公式，可以快速求解数列的和。
下面分别介绍等差数列和等比数列的求和公式。
2.1 等差数列的求和对于等差数列{an}，前n项和的计算公式为Sn = (a1 + an) * n / 2。
其中，a1为首项，an为末项，n为项数。
高二数学必修五--数列知识点总结及解题技巧(含答案)---强烈-推荐
数学数列部分知识点梳理一数列的概念1）数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n2）数列的分类：①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 一、等差数列 1）通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差。
前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 2）等差中项：b a A +=2。
3）等差数列的判定方法：⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.4）等差数列的性质：⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列； ⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a aS S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. (7)设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；(8)设，，，则有；(9)是等差数列的前项和，则；(10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则①．为等差数列，公差为；②．（即）为等差数列，公差；③．（即）为等差数列，公差为.二、等比数列 1）通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比 。
文科数学专题等差数列、等比数列(专练)高考二轮复习资料含答案
1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 5＝8，则S 7＝( ) A ． 28 B ．32 C ．56 D ．24 【答案】A【解析】S 7＝7×（a 1＋a 7）2＝7×（a 3＋a 5）2＝28.故选A. 2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若2S 4＝S 5＋S 6，则数列{a n }的公比q 的值为( ) A ．－2或1 B ．－1或2 C ．－2 D ．1【答案】C3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1>0且a 6a 5＝911，则当S n 取最大值时，n 的值为( )A ．9B ．10C ．11D ．12【解析】由题意，不妨设a 6＝9t ，a 5＝11t ，则公差d ＝－2t ，其中t >0，因此a 10＝t ，a 11＝－t ，即当n ＝10时，S n 取得最大值．【答案】B4．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a m ＋1·a m －1＝2a m (m ≥2)，数列{a n }的前n 项积为T n ，若T 2m －1＝512，则m 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】B【解析】由等比数列的性质可知a m ＋1·a m －1＝a 2m ＝2a m (m ≥2)，∴a m ＝2，即数列{a n }为常数列，a n ＝2，∴T 2m －1＝22m －1＝512＝29，即2m －1＝9，所以m ＝5.5．已知等比数列{a n }的各项都是正数，且3a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 8＋a 9a 6＋a 7＝( )A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】D【解析】∴3a 1，12a 3，2a 2成等差数列， ∴a 3＝3a 1＋2a 2，∴q 2－2q －3＝0，∴q ＝3或q ＝－1(舍去)． ∴a 8＋a 9a 6＋a 7＝a 1q 7＋a 1q 8a 1q 5＋a 1q 6＝q 2＋q 31＋q＝q 2＝32＝9. 6．各项均不为零的等差数列{a n }中，a 1＝2，若a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，则S 2 016＝________．【答案】4 032【解析】由于a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，即a 2n －2a n ＝0，∴a n ＝2，n ≥2，又a 1＝2，∴a n ＝2，n ∈N *，故S 2 016＝4 032.7．设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．【答案】1 1218．已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，且对任意n ∈N *，均有a n ，S n ，a 2n 成等差数列，则a n ＝________．【答案】n【解析】∵a n ，S n ，a 2n 成等差数列，∴2S n ＝a n ＋a 2n .当n ＝1时，2a 1＝2S 1＝a 1＋a 21. 又a 1>0，∴a 1＝1.当n ≥2时，2a n ＝2(S n －S n －1)＝a n ＋a 2n －a n －1－a 2n －1，∴(a 2n －a 2n －1)－(a n ＋a n －1)＝0，∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)－(a n ＋a n －1)＝0， 又a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝1，∴{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴a n ＝n (n ∈N *)．9．已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92. (1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n .10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列；(3)求数列{a n }的通项公式．(1)解：当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋5(a 1＋a 2)＝8(a 1＋a 2＋a 3)＋a 1， 整理得a 4＝4a 3－a 24，又a 2＝32，a 3＝54，11．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n （a n ＋1）2(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }是等差数列； (2)设b n ＝1S n，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .(1)证明： S n ＝a n （a n ＋1）2(n ∈N *)，① S n －1＝a n －1（a n －1＋1）2(n ≥2)．② ①－②得：a n ＝a 2n ＋a n －a 2n －1－a n －12(n ≥2)， 整理得：(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝(a n ＋a n －1)(n ≥2)．∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n＋a n－1≠0，。
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高中文科数列部分知识整理数列（一）等差数列1.等差数列的概念：若数列{a n }从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则数列{a n }叫等差数列.常数叫做公差。
2.等差中项：若a 、b 、c 成等差数列，则b 称a 与c 的等差中项，且 a 、b 、c 成等差数列是2b =a +c 的充要条件.3.通项公式：a n =a 1+（n －1）d ，推广：a n =a m +（n －m ）d .变式：a 1=a n －（n －1）d ，d =1-a a n ，d =mn a a mn --.4.前n n ·a n －21（n －1）nd .变式：21n a a +=n S n =na a a n +⋅⋅⋅++21=a 1+（n －1）·2d =a n +（n －1）·（－2d）.【练习】1.等差数列{a n }中，已知a 1=31，a 2+a 5=4，a n =33，则n 是 （ ） A.48B.49C.50D.512.在等差数列{a n }中，公差为21，且a 1+a 3+a 5+…+a 99=60，则a 2+a 4+a 6+…+a 100=_________.3.已知{a n }为等差数列，前10项的和S 10=100，前100项的和S 100=10，求前110项的和S 110.解：设{a n }的首项为a 1，公差为d ，则4.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 10=30，a 20=50.（1）求通项{a n }； （2）若S n =242，求n .6.设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7=7，S 15=75，T n 为数列{nSn }的前n项和，求T n .数列（二）等比数列1.定义数列{a n }从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.常数叫公比.2.等比中项：若a 、b 、c 成等比数列，则b 为a 、c 的等比中项，且b =±ac .3.通项公式：a n =a 1q n －1，推广形式：a n =a m q n －m .4.前n5.证明等比数列的方法：（1）用定义：只需证nn a a 1+=常数； （2）用中项性质：只需a n +12=a n ·a n +2或n n a a 1+=12++n n a a . 【例题】1.已知等比数列{a n }中，a 3=3，a 10=384，则该数列的通项a n =___________________.2.数列{a n }中，a 1=1，a n =21a n －1+1（n ≥2），求通项公式a n . 数列（三）差比数列知识点归纳一、等差数列1、等差数列及等差中项定义注：根据定义，当我们看到形如：d a a n n =--1、d a a n n =--212、d a a n n =--1、d a a n n =--111、211-++=n n n a a a 、d S S n n =--1时，应能从中得到相应的等差数列。
k a 为已知的第k 项) 当0≠d 时，n a 是关于n 的一次式；当0=d 时，n a 是一个常数。
3、等差数列的前n 项和公式：2)(1n n a a n S += d n n na S n 2)1(1-+=当0≠d 时，n S 是关于n 的二次式且常数项为0； 当0=d 时（01≠a ），1na S n =是关于n 的正比例式。
4、等差数列}{n a 中，若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+5、等差数列}{n a 的公差为d ，则任意连续m 项的和构成的数列m S 、m m S S -2、m m S S 23-、……仍为等差数列，公差为d m 2。
6、等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则数列}{nS n是等差数列，公差为2d。
特别地m S m 、mS m 22、m S m 33组成等差数列。
7、两个等差数列}{n a 与}{n b 的公差分别为1d 和2d ，则数列}{n n qb pa +为等差数列，且公差为21qd pd +8、等差数列}{n a 的任意等距离的项（项数组成等差数列）构成的数列仍为等差数列。
如1a 、5a 、9a 、…34-n a9、}{n a 为等差数列，公差为d ，则数列}{n a c (0>c )是等比数列，公比为d c 。
11、两个等差数列}{n a 与}{n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，则1212--=n n n n T S b二、等比数列1、等比数列及等比中项定义：注：根据定义，当我们看到形如：1-=n n qa a 、)()(11-+-=-n n n n a a q a a 、112+-=n n n a a a 、)()(1t a q t a n n +=++、1-=n n qS S 应能从中得到相应的等差数列。
知的第k 项，0≠n a )关于等比数列}{n a 的单调性：当1=q 时，}{n a 为常数列 当0<q 时，}{n a 为摆动数列； 当1>q 且01>a 时，}{n a 为递增数列； 当1>q 且01<a 时，}{n a 为递减数列；当10<<q 且01<a 时，}{n a 为递增数列；当10<<q 且01>a 时，}{n a 为递减数列；3、等比数列的前n 项和公式：当1=q 时，1na S n = (是关于n 的正比例式)；当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1 q q a a S n n --=114、等比数列}{n a 中，若q p n m +=+，则q p n m a a a a ⋅=⋅5、等比数列}{n a 的公比为q ，且0≠n S ,则任意连续m 项的和构成的数列m S 、m m S S -2、m m S S 23-、……仍为等比数列，公比为m q 。
6、两个等比数列}{n a 与}{n b 的公比分别为p 和q ，则数列}{n n b a ⋅、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列，公比分别为pq 、qp 、q 1。
7、等比数列}{n a 的任意等距离的项（项数组成等差数列）构成的数列仍为等比数列。
如1a 、5a 、9a 、…34-n a8、等比数列}{n a 的公比为q ，且0>n a ，则}{log n c b (0>c 且1≠c ) 是等差数列，公比为q c log 。
9、在等比数列}{n a 中： ① 若项数为n 2，则 q S S =奇偶 ② 若数为12+n 则，q S a S =-偶奇1数列专题讲练1． 等差数列的证明方法：（1）定义法：1n n a a d +-=(常数) （2）等差中项法：112(2)n n n a a a n +-+=≥2．等比数列的证明方法： （1）定义法：1n na q a +=(常数) （2）等比中项法：211(2)n n n a a a n +-=≥二．通项公式的求法（1）利用等差等比的通项公式（2）累加法：1()n n a a f n +-=【例】已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
（3）构造等差或等比 1n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+【例】已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈求数列{}n a 的通项公式；解：*121(),n n a a n N +=+∈112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列。
12.n n a ∴+=即*21().n n a n N =-∈【例】已知数列{}n a 中，11a =,1111()22n n n a a ++=+，求n a . 解：在1111()22n n n a a ++=+两边乘以12+n 得：112(2)1n n n n a a ++⋅=⋅+ 令2nn n b a =⋅，则11n n b b +-=,解之得：111n b b n n =+-=-,所以122n n n n b n a -==.【练习】已知数列}a {n 满足）（2n 12a 2a n 1n n ≥-+=-，且81a 4=。
（1）求321a a a ，，；（2）求数列}a {n 的通项公式。
（4）利用{1(2)1(1)n n S S n S n n a --≥==【例】若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，对任意正整数2(1)n a n =-+，34n n T S n -=.求数列{}n b 的通项公式；解：22(1)4231a n a d S n nn n =-+∴=-=-=--23435T S n n n n n ∴=+=--当1,35811n T b ===--=-时 当2,626 2.1n b T T n b n n n n n ≥=-=--∴=---时【练习】已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n（5）累积法 n n a n f a )(1=+ 转化为)(1n f a a nn =+，逐商相乘. 【例】已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n na 11+=+，求n a 。
解：由条件知11+=+n na a n n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即3241231n n a a a a a a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅nn 1433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n a a n 11=⇒又321=a ，na n 32=∴【练习】1.已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求n a 。