高考数列知识点及对应题型
2024高考数学数列知识点总结与题型分析
2024高考数学数列知识点总结与题型分析数列是高中数学中的重要内容，作为数学的一个分支，数列的掌握对于高考数学的考试非常关键。
在本文中，我们将对2024年高考数学数列的知识点进行总结，并分析可能出现的相关题型。
一、等差数列与等差数列的通项公式等差数列是数学中最常见的数列类型之一。
对于等差数列，首先要了解等差数列的概念：如果一个数列中任意两个相邻的项之差都相等，则称该数列为等差数列。
1.1 等差数列的通项公式等差数列的通项公式是等差数列中非常重要的一个公式，它可以用来求解等差数列中任意一项。
设等差数列的首项为$a_1$，公差为$d$，第$n$项为$a_n$，则等差数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1)d$1.2 等差数列的性质与常用公式等差数列有一些重要的性质与常用的公式，掌握这些性质与公式可以帮助我们更好地解决与等差数列相关的题目。
（1）等差数列中，任意三项可以构成一个等差数列。
（2）等差数列的前$n$项和公式为：$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$（3）等差数列的前$n$项和的差为：$S_n - S_m = (n-m+1)\frac{a_1 + a_{n+m}}{2}$二、等比数列与等比数列的通项公式等比数列也是数学中常见的数列类型之一。
与等差数列不同的是，等比数列中的任意两项的比值都相等。
2.1 等比数列的通项公式等比数列的通项公式可以用来求解等比数列中的任意一项。
设等比数列的首项为$a_1$，公比为$q$，第$n$项为$a_n$，则等比数列的通项公式为：$a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}$2.2 等比数列的性质与常用公式等比数列也有一些重要的性质与常用的公式，下面我们来了解一下：（1）等比数列中，任意三项可以构成一个等比数列。
（2）等比数列的前$n$项和公式为（$q\neq1$）：$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$（3）当公比$q \neq 1$时，等比数列的前$n$项和与第$n$项的关系为：$S_n = \frac{a_nq - a_1}{q - 1}$三、数列题型分析与解题技巧在高考数学中，对于数列的考察主要包括以下几个方面：3.1 数列的递推关系与通项公式的应用常见的数列题目往往要求我们根据已知的递推关系或者通项公式来求解数列中的某一项或者求解前$n$项的和。
(完整版)高三总复习数列知识点及题型归纳总结
一、数列的概念(1) 数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。
记作a n ，在数列第一个位置的项叫第1项(或首项)，在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项(也叫通项)记作 a n ； 数列的一般形式：a 1, a 2, a 3,……,a n ,……，简记作a n 。
例：判断下列各组元素能否构成数列 (1) a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9; (2) 2010年各省参加高考的考生人数。
(2) 通项公式的定义：如果数列 叫这个数列的通项公式。
例如：①：1 , 2 , 3 , 4, 511111 _ _ _ _ ， ? ? ?2 3 4 5a n = n ( n 7, n N ),1 a n =(n N)。
n说明:1 n 2k 1② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。
例如，a n = ( 1)n =(k Z);1,n 2k③ 不是每个数列都有通项公式。
例如， 1 , 1.4 , 1.41 , 1.414 ,…… (3) 数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项：456 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。
从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N (或它的有限子集)的函数 f(n)当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值f(1),f(2), f(3),……,f(n),……•通常用a n 来代替f n ,其图象是一群孤立点。
例：画出数列a n 2n 1的图像•(4) 数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关 系分：单调数列(递增数列、递减数列) 、常数列和摆动数列。
例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ (1) 1 , 2, 3, 4, 5, 6,… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, …(3) 1,0, 1,0, 1,0, … (4)a, a, a, a, a,…例：已知数列｛a n ｝的前n 项和s n 2n 2 3，求数列｛a n ｝的通项公式高三总复习 数列｛a n ｝的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就②:数列①的通项公式是 数列②的通项公式是①a n 表示数列，a n 表示数列中的第n 项，a n = n 表示数列的通项公式;(5)数列｛ a n ｝的前n 项和S n 与通项a n 的关系：a nS 1(n 1)S n A n > 2)练习：1 •根据数列前4项，写出它的通项公式:(1) 1, 3, 5, 7……;22 132 1 42 1 52 1(2)234 5 (3)1 1 1 1---1*2*3*44*5(4) 9, 99, 999, 9999 …(5) 7, 77, 777, 7777,(6)8, 88, 888, 8888 2 •数列a n 中，已知a n(1)与出a i, , a 2, a 3, a n 1, a n 2 ；2（2） 79 2是否是数列中的项？若是，是第几项?33• （2003京春理14,文15）在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（_____ ）内。
数列精华题型归纳(含详解)
数列精华题型归纳一、 等差数列的定义与性质() 定义：为常数，a a d d a a n d n n n +-==+-111() 等差中项：，，成等差数列x A y A x y ⇔=+2 ()()前项和n S a a n nan n d n n =+=+-11212{}性质：是等差数列a n（）若，则；1m n p q a a a a m n p q +=++=+ {}{}{}（）数列，，仍为等差数列；2212a a ka b n n n -+ S S S S S n n n n n ，，……仍为等差数列；232-- （）若三个数成等差数列，可设为，，；3a d a a d -+ （）若，是等差数列，为前项和，则；42121a b S T n a b S T n n n n m m m m =-- {}（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为52a S an bn a b n n n ⇔=+ 0的二次函数）{}S S an bn a n n n 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界=+2项，即：当，，解不等式组可得达到最大值时的值。
a d a a S n n n n 110000><≥≤⎧⎨⎩+当，，由可得达到最小值时的值。
a d a a S n n n n 110000<>≤≥⎧⎨⎩+{}如：等差数列，，，，则a S a a a S n n n n n n =++===--1831123（由，∴a a a a a n n n n n ++=⇒==----12113331()又·，∴S a a aa 31322233113=+===()()∴·S a a n a a n nn n n =+=+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-12122131218 ∴=n 27） 二、等比数列的定义与性质 定义：（为常数，），a a q q q a a q n nn n +-=≠=1110 等比中项：、、成等比数列，或x G y G xy G xy ⇒==±2()前项和：（要注意）n S na q a q qq n n ==--≠⎧⎨⎪⎩⎪111111()()!{}性质：是等比数列a n（）若，则··1m n p q a a a a m n p q +=+= （），，……仍为等比数列2232S S S S S n n n n n -- 三、求数列通项公式的常用方法 1、公式法2、n n a S 求由；（时，，时，）n a S n a S S n n n ==≥=--121113、求差（商）法{}如：满足……a a a a n n n n 121212251122+++=+<>解：n a a ==⨯+=1122151411时，，∴n a a a n n n ≥+++=-+<>--2121212215212211时，……<>-<>=12122得：n n a ，∴a n n =+21，∴a n n n n ==≥⎧⎨⎩+141221()()练习、{}数列满足，，求a S S a a a n n n n n +==++111534（注意到代入得：a S S S S n n n n n+++=-=1114 {}又，∴是等比数列，S S S n n n 144== n a S S n n n n ≥=-==--23411时，……· 4、叠乘法{}例如：数列中，，，求a a a a nn a n n n n 1131==++ 解：a a a a a a n n a a nn n n 213211122311·……·……，∴-=-= 又，∴a a nn 133==5、等差型递推公式由，，求，用迭加法a a f n a a a n n n -==-110()n a a f a a f a a f n n n ≥-=-=-=⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪-22321321时，…………两边相加，得：()()()a a f f f n n -=+++123()()()…… ∴……a a f f f n n =++++023()()()练习、{}()数列，，，求a a a a n a n n n n n 111132==+≥--()（）a n n=-1231 6、等比型递推公式()a ca d c d c c d n n =+≠≠≠-1010、为常数，，， ()可转化为等比数列，设a x c a x n n +=+-1()⇒=+--a ca c x n n 11令，∴()c x d x d c -==-11∴是首项为，为公比的等比数列a d c a d c c n +-⎧⎨⎩⎫⎬⎭+-111 ∴·a d c a d c c n n +-=+-⎛⎝ ⎫⎭⎪-1111∴a a d c c d c n n =+-⎛⎝ ⎫⎭⎪---1111练习、{}数列满足，，求a a a a a n n n n 11934=+=+（）a n n =-⎛⎝ ⎫⎭⎪+-843117、倒数法例如：，，求a a a a a n n n n 11122==++ ，由已知得：1221211a a a a n n n n+=+=+ ∴11121a a n n +-= ， ∴⎧⎨⎩⎫⎬⎭=111121a a n 为等差数列，，公差为 ()()∴=+-=+11112121a n n n · ，∴a n n =+21三、 求数列前n 项和的常用方法1、公式法：等差、等比前n 项和公式2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。
高中数学必修等差数列知识点总结和题型归纳
二、题型选析：题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）1、.等差数列{a n }的前三项依次为 a-6 ，2a -5 ， -3a +2 ，则 a A . -1 B . 1 C .-2 D. 2 2．在数列 {a n } 中， a 1=2，2a n+1=2a n +1，则 a 101的值为 （ ）A ．49B ．50C ． 51D ．52 3．等差数列 1，－ 1，－ 3，⋯，－ 89的项数是（ ）等差数列一．等差数列知识点：知识点 1、等差数列的定义 : ①如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列 就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示 知识点 2、等差数列的判定方法 : ②定义法：对于数列 a n ，若a n 1 a n d （常数） ，则数列 a n 是等差数列 ③等差中项：对于数列 a n ，若2a n 1 a n a n 2，则数列 a n 是等差数列 知识点 3、等差数列的通项公式 : 的首项是 a 1 ，公差是 d ，则等差数列的通项为 该公式整理后是关于 n 的一次函数 n 项和 : n （n 1） ⑥ S n na 1 d2 ④如果等差数列 a n a n a 1 （n 1）d 知识点 4、等差数列的前 ⑤ Sn n （a 1 a n ） 2对于公式 2整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数 知识点 5、等差中项 :⑥如果 a ， A ， b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与b 的等差中项即： A a b 或2A a b 在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项 与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项 知识点 6、等差数列的性质 : ⑦等差数列任意两项间的关系：如果 且 m n ，公差为 d ，则有 a n a m （n ⑧ 对于等差数列 a n ，若 n m p a n 是等差数列的第 n 项， a m 是等差数列的第 m 项， m ）d q ，则 a n a m a p a q 也就是： a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 ⑨若数列 a n 是等差数列， 等差数列如下图所示：S n 是其前 n 项的和， k N ，那么 S k ， S 2k S k ，S 3k S 2k 成 S 3ka 1 a2a3S k akak 1S 2ka2kS ka2k 1S 3k S 2ka3k①若项数为 2n n *， 则 S 2n n a n a n 1 ， 且S 偶 S 奇 S 奇 nd， 奇 an． ②若项数为 2n 1 nS 偶 an 1S 奇n （其中 S 奇 na n ， S 偶n 1 a n ）．S偶n 1奇等差数列的前 n 项和的性质： 10、 ，则 S 2n 1 2n 1 a n ，且 S 奇 S 偶 a n，等于（ ）A．92 B ．47 C．46D．44、已知等差数列{a n}中，a7 a9 16,a41,则a12的值是（）( )A 15B 30C 31D 645. 首项为－24 的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（8 8 8> <3 C. ≤d<3 D. < d≤33 3 36、.在数列{ a n}中，a1 3，且对任意大于1的正整数n，点（ a n , a n1）在直x y 3 则a n = _________________ .7、在等差数列{a n} 中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋⋯＋a10＝．8、等差数列a n 的前n项和为S n，若a2 1,a3 3,则S4＝（）（A）12（B）10（C）8（D）69、设数列a n 的首项a17,且满足a n 1 a n 2(n N) ，则a1 a2a1710、已知{a n} 为等差数列，a3 + a 8 = 22，a6 = 7 ，则a5 = _________11、已知数列的通项a n= -5n+2, 则其前n 项和为S n=12、设S n为等差数列a n 的前n项和，S4 ＝14，S10 S7 30，则S9＝.题型二、等差数列性质1、已知{ a n}为等差数列，a2+a8=12, 则a5 等于（）（A）4 （B）5 （C） 6 （D）72、设S n是等差数列a n 的前n项和，若S7 35，则a4 （）A．8 B ．7 C ．6 D．53、若等差数列a n 中，a3 a7 a10 8,a11 a4 4,则a7 __________ .4、记等差数列a n 的前n项和为S n，若S2 4，S4 20 ，则该数列的公差d=（）A ．7 B. 6 C. 3 D. 215、等差数列{a n} 中，已知a1 ，a2 a5 4，a n 33，则n为（）3（A）48 （B）49 （C）50 （D）516. 、等差数列{ a n}中，a1=1, a3+a5=14，其前n项和S n=100,则n=（）(A)9 (B) 10(C)11 (D)127、设S n 是等差数列a n 的前n 项和，若a55, 则S9（）a39 S5A ． 1B ．－11C ．2D ．28、已知等差数列{a n}满足α1＋α 2＋α 3＋⋯＋α 101＝0 则有（）A．α 1＋α 101>0 B ．α 2＋α 100<0 C．α3＋α 99＝0 D ．α 51＝51 9、如果a1，a2，⋯，a8为各项都大于零的等差数列，公差 d 0，则（）（A）a1a8 a4a5 （B）a8 a1 a4a5 （C）a1+a8 a4+a5 （D）a1a8=a4a5 10、若一个等差数列前3项的和为34，最后 3 项的和为146，且所有项的和为390 ，则这个数列有（）（A）13 项（B）12项（C）11项（D）10 项题型三、等差数列前n 项和1、等差数列a n 中，已知a1 a2 a3 L a10 S n ．2、等差数列2,1,4, 的前n 项和为（p，a n9 a n 8 L a n q ，则其前n 项和）0 上，A. 1n3n4 2B.1n 3n 7 2 C.1n 3n 24 D. 1n 3n 7 23、已知等差数列an 满足 a 1 a 2a 3a990 ，则）A. a 1 a 99 0B. a 1 a 99 0C. a 1 a 99 0D. a 50 50 4、在等差数列 a n 中， a 1 a 2 a 3 15,a n an 1 an 278， S n 155，则n 。
高中数列知识点归纳总结及例题
高中数列知识点归纳总结及例题数列是高中数学中的一个重要概念，它在许多数学问题中都起着至关重要的作用。
通过学习数列的定义、性质和求解方法，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
本文将对高中数列知识点进行归纳总结，并附上相关例题供读者练习。
1. 数列的定义与性质数列是按照一定顺序排列的一组数。
其中，每一个数称为数列的项，位置称为项数，用字母a表示数列的通项。
数列的性质包括等差数列和等比数列两种常见情况：1.1 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
设数列为{an}，公差为d，则有如下性质：（1）通项公式：an = a1 + (n-1)d（2）前n项和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2（3）项数公式：n = (an - a1) / d + 1例题1：已知等差数列{an}的首项是3，公差是4，求第10项的值。
解析：根据等差数列的通项公式，代入a1 = 3，d = 4，n = 10，求得a10 = 3 + (10-1) * 4 = 39。
1.2 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
设数列为{an}，公比为q，则有如下性质：（1）通项公式：an = a1 * q^(n-1)（2）前n项和公式：Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)（3）项数公式：n = logq(an / a1) + 1例题2：已知等比数列{an}的首项是2，公比是3，求第5项的值。
解析：根据等比数列的通项公式，代入a1 = 2，q = 3，n = 5，求得a5 = 2 * 3^(5-1) = 162。
2. 数列的求和数列的求和是数学中常见的问题之一，通过找到数列的规律和应用对应的公式，可以快速求解数列的和。
下面分别介绍等差数列和等比数列的求和公式。
2.1 等差数列的求和对于等差数列{an}，前n项和的计算公式为Sn = (a1 + an) * n / 2。
其中，a1为首项，an为末项，n为项数。
高三数学数列题型归纳
高三数学数列题型归纳数列是高中数学中的重要知识点，也是高考数学的常考题型之一。
在高三阶段，学生需要掌握各种数列的定义、性质、求通项公式、求和公式等各种知识点。
为了帮助大家更好地掌握数列的相关知识，本文将就高三数学数列题型的归纳进行探讨。
一、等差数列等差数列是指数列中相邻项之间的差值相等的数列。
等差数列有许多重要的性质，如通项公式、前n项和公式等。
在高考数学中，等差数列是经常出现的题型。
1. 等差数列通项公式：an=a1+(n-1)d其中，a1是等差数列的首项，d是公差，an是等差数列的第n项。
2. 等差数列前n项和公式：Sn=n/2(a1+an)其中，Sn是等差数列的前n项和。
3. 等差数列的性质：（1）等差数列的首项与末项的和等于中间项和的总和。
（2）等差数列的前n项和可以表示为n乘以首项与末项的平均数。
（3）等差数列的项数有限，且每一项和前一项之间的差值相等。
二、等比数列等比数列是指数列中相邻项之间的比值相等的数列。
等比数列同样也有很多重要的性质，如通项公式、前n项和公式等。
1. 等比数列通项公式：an=a1*q^(n-1)其中，a1是等比数列的首项，q是公比，an是等比数列的第n项。
2. 等比数列前n项和公式：Sn=(a1(1-q^n))/(1-q)其中，Sn是等比数列的前n项和。
3. 等比数列的性质：（1）等比数列的前n项和可以表示为首项乘以1-q^n除以1-q。
（2）公比大于1时，等比数列是发散的，公比小于1时，等比数列是收敛的。
三、斐波那契数列斐波那契数列的定义是：前两项为1，从第三项起每一项都是前两项之和。
即F(1) = 1，F(2) = 1, F(n) = F(n-1) + F(n-2)（n>=3）。
斐波那契数列在自然界与生活中也有许多出现，如植物分枝的规律、蜂巢的排列方式等等。
因此，斐波那契数列也是高考数学中的常见题型。
1. 斐波那契数列的通项公式：Fn=(1/sqrt(5))*(((1+sqrt(5))/2)^n-((1-sqrt(5))/2)^n)其中，sqrt(5)表示5的平方根。
数列知识点总结和题型归纳
数列知识点总结和题型归纳一、数列的定义和性质数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的序列。
数列中的每个数叫做数列的项，用an表示第n个项。
1. 等差数列等差数列是指一个数列中相邻两项之差都是相等的。
公差d是等差数列中相邻两项的差值。
2. 等比数列等比数列是指一个数列中相邻两项之比都是相等的。
公比q是等比数列中相邻两项的比值。
二、数列的通项公式和前n项和公式1. 等差数列的通项公式设等差数列的首项为a1，公差为d，则该等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
2. 等差数列的前n项和公式设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，则该等差数列的前n项和公式为Sn = n(a1 + an)/2。
3. 等比数列的通项公式设等比数列的首项为a1，公比为q，则该等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)。
4. 等比数列的前n项和公式设等比数列的首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，则该等比数列的前n项和公式为Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)。
三、数列的常见题型1. 求等差数列的第n项已知等差数列的首项a1和公差d，求该等差数列的第n项an，则可以利用等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d进行计算。
2. 求等差数列的前n项和已知等差数列的首项a1、公差d和项数n，求该等差数列的前n项和Sn，则可以利用等差数列的前n项和公式Sn = n(a1 + an)/2进行计算。
3. 求等比数列的第n项已知等比数列的首项a1和公比q，求该等比数列的第n项an，则可以利用等比数列的通项公式an = a1 * q^(n-1)进行计算。
4. 求等比数列的前n项和已知等比数列的首项a1、公比q和项数n，求该等比数列的前n项和Sn，则可以利用等比数列的前n项和公式Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)进行计算。
四、数列的应用数列在数学中有广泛的应用，特别是在数学建模和实际问题的解决中常常用到。
高考数列常考题型归纳总结汇总
n
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以q n +1，得：
a n +1q
n +1
=
p q
∙
a n q
n
+
1q
引入辅助数列
{b n }（其中b n
=
a n q
n
），得：b n +1=
p q
b n +
1q
再待定系数法解决。
例:已知数列{a n }中，a 1=解：在a n +1=
52
⋅⋅3=85
n -3。1
变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{a n }，满足a 1=1，a n =a 1+2a 2+3a 3+⋅⋅⋅+(n -1 a n -1
(n ≥2，则{a n }的通项a n =⎨
⎧1⎩___
n =1
n ≥2
解：由已知，得a n +1=a 1+2a 2+3a 3+⋅⋅⋅+(n -1 a n -1+na n，用此式减去已知式，得当n ≥2时，a n +1-a n =na n，即a n +1=(n +1 a n，又a 2=a 1=1，
1
56
, a n +1=
1
1n +1
a n +(，求a n。32
1n +12n n +1
a n +(两边乘以2n +1得：2∙a n +1=(2∙a n +1 323
22
令b n =2n ∙a n，则b n +1=b n +1,解之得：b n =3-2( n
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模型二：等比数列
已知任意两项求公比：
am qmn an
(m, n N )
等比数列的判定：
若
an
满足
an an1
q，则 an 是一个
等比数列
模型二：等比数列
通项公式： an a1 • qn1
等比性质：当 m n p q时
am • an ap • aq
1) 2
(1 2
1) 3
(1 3
1) 4
...... (1 n
1) n 1
1 1 n n1 n1
二、两个模型及规律
模型二：等比数列
定义：如果数列中的任意相邻两项， 后一项与前一项的比是定值时， 这个 数列就叫等比数列，这个定值叫公比， 记作q。
特殊： a1 0, q 0
和与项之间的转换 和的最值的求解 含绝对值的和的求解 裂项相消求和
模型一：等差数列
递推公式：an an1 d (n 2, n N ) 迭代： an1 an2 d 或：an1 an d
模型一：等差数列
叠加得
an an1 d .a.n...1. an2 d a3 a2 d a2 a1 d
新等差数列：
若 an 是等差数列 则man c是等差数列
aknc 是等差数列
模型一：等差数列
倒序相加
Sn a1 a2 a3 ...... an Sn an an1 an2 ...... a1
2Sn n(a1 an )
模型一：等差数列
aknc 是等比数列
模型二：等比数列
错位相减
Sn a1 a2 a3 ...... an qSn a2 a3 ...... an an1
(1 q)Sn a1 an1
模型二：等比数列
求和公式：
S
n
a1(1 qn ) 1 q
等比递推
an f (n) an1 f (an ) q f (an1)
1、求通项
f (an ) q f (an1)
用累乘法得
f (an ) qn1 f (a1)
再根据 f (an ) 的表达式求 an
2、求和
和从哪来？
通项公式 求和公式
2、求和
常用求和方法
倒序相加 裂项相消 分组求和 错位相减
数列
制作：星哥
目录
一、什么是数列？有哪些点？ 二、两个模型及规律 三、规律的高级应用
一、什么是数列？有哪些点？
a1, a2 , a3...... an 代表一个数列，简记 an
a1 是数列的第 1 项，也称首项 an 是数列的第 n 项，也称通项
一、什么是数列？有哪些点？
Sn 代表数列 an 的前n项和
和的比值与q的联系
模型二：等比数列
递推公式： an q(n 2, n N ) an1
迭代： an1 q an2
或： an1 q an
模型二：等比数列
an
an
1
q
an1 an2
q
......
a2 a1
q
累乘得 an qn1 a1
am an ap aq
模型一：等差数列
等差中项：当 m n 2 p 时 am an 2ap
等差中项：当 a,b, c 三个数成 等差数列时，a c 2b
模型一：等差数列
等差数列的判定：
当 an 的表达式是一个与n有关的
一次函数时，则 an 是等差数列
模型一：等差数列
Sn a1 a2 a3 ...... an
一、什么是数列？有哪些点？
an 和 Sn 的关系
aa1n
S1 (n Sn
1) Sn1
(n
2)
二、两个模型及规律
模型一：等差数列
定义：如果数列中的任意相邻两项， 后一项与前一项的差是定值时， 这个 数列就叫等差数列，这个定值叫公差， 记作d。
模型一：等差数列
和的最值的求解：
当等差数列an 的 a1 小于0，d 大于0时，
Sn 有最小值 列 aann1 00 求出n值，再求 Sn
模型一：等差数列
含绝对值的和的求解：
当等差数列 an 的 a1 小于0，d大于0时，
a1 a2 a3 ...... an Sn 2 Sk Sk 指所有负数项的和
等比递推
an f (n) an1 f (an ) q f (an1)
1、求通项
f (an ) f (an1) d 用叠加法得 f (an ) f (a1) (n 1)d 再根据 f (an ) 的表达式求 an
1、求通项
递推模型
怎么求？
等差递推
an an1 f (n) f (an ) f (an1) d
等比数列
模型二：等比数列
和的比值与q的联系：
Sm Sn
1 1
qm qn
(m, n N )
三、规律的高级应用
1、求通项 2、求和 3、和与不等式结合
1、求通项
通项从哪来？
递推公式 通项公式
1、求通项
递推模型
怎么求？
等差递推
an an1 f (n) f (an ) f (an1) d
等比递推
an f (n) an1 f (an ) q f (an1)
1、求通项
an f (n) an1
用累乘法得
f (an ) f (1) • f (2) •...... • f (n) f (a1)
1、求通项
递推模型
怎么求？
等差递推
an an1 f (n) f (an ) f (an1) d
模型一：等差数列
定义 递推公式 通项公式 求和公式
模型一：等差数列
定义
递推公式
迭代
通项公式
叠加法
求和公式
已知任意两项求公差 等差数列的判定
模型一：等差数列
定义 递推公式
等差数列的判定 新等差数列
通项公式
等差性质
求和公式 倒序相加
等差中项
模型一：等差数列
定义 递推公式 通项公式 求和公式
等差数列的判定 新等差数列
模型二：等比数列
定义 递推公式 通项公式 求和公式
模型二：等比数列
定义
递推公式
迭代
通项公式
累乘法
求和公式
已知任意两项求公比 等比数列的判定
模型二：等比数列
定义 递推公式
等比数列的判定 新等比数列
通项公式
等比性质
求和公式 错位相减
等比中项
模型二：等比数列
定义
递推公式 通项公式 求和公式
等比数列的判定 新等比数列
模型二：等比数列
等比中项：当 m n 2 p 时 am • an ap2
等差中项：当 a,b, c 三个数成
等比数列时
a •c b2
模型二：等比数列
等比数列的判定：
当 an 的表达式形如 an • qn1 时，则
an 是等比数列
模型二：等比数列
新等比数列：
若 an 是等比数列 则man 是等比数列
Sn na1
(q 1) (q 1)
模型二：等比数列
等比数列的判定：
当 Sn 的表达式形如 Sn • qn 时
则an 是一个等比数列
模型二：等比数列
新等比数列：
当an 是一个等比数列时，则
Sn , S2n Sn , S3n S2n...... 也构成一个
变式
变式
3、和与不等式的结合
常用方法
先求和，再放缩 先放缩，再裂项求和 先放缩成等比数列，再求和 先放缩成等差数列，再求和
等差数列
模型一：等差数列
和与项之间的转换：
S2n1 (2n 1)an (n N )
an
S2n1 2n 1
(n N )
模型一：等差数列
和的最值的求解：
当等差数列an 的 a1 大于0，d 小于0时，
Sn 有最大值 列 aann1 00 求出n值，再求 Sn
等比递推
an f (n) an1 f (an ) q f (an1)
1、求通项
an an1 f (n)
用叠加法得 an a1 f (1) f (2) ...... f (n)
1、求通项
递推模型
怎么求？
等差递推
an an1 f (n) f (an ) f (an1) d
模型一：等差数列
裂项相消求和：
当an 的通项 an 的表达式是一个分式，而
且分母是一个特殊的二次函数时，可以裂项。
关联：Sn 的表达式是一个与n有关的二次函数
模型一：等差数列
裂项相消求和：
an
1 n2
n
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
模型一：等差数列
裂项相消求和：
Sn
(1 1
an a1 (n 1)d
模型一：等差数列
已知任意两项求公差：
am an (m n)d (m, n N )
等差数列的判定：
若 an 满足 an an1 d，公式： an a1 (n 1)d
等差性质：当 m n p q时
求和公式：