正偶数与自然数谁更多
有理数多还是无理数多
假设来个副校长，要求每两个学生坐一个凳子，然后他检查了教室一，教室2，教室三......他看到的每个教室都是如此，后面的教室他认为不用检查了（或根本不可能检查完——无穷的概念），于是他宣布，本学校凳子数量，正好是学生数量的一半。
第二天，又来个副校长，要求每个学生坐一个凳子，然后他检查了教室一，教室2，教室三......他看到的每个教室都是如此，后面的教室他认为不用检查了（或根本不可能检查完——无穷的概念），于是他宣布，本学校凳子数量，正好等于学生数量。
(12)对任一个固定的y，称适合关系y=ψ(x)的x全体为y（在映射ψ之下）的原象。集合A称作映射ψ的定义域，ψ(A)称作映射ψ的值域。注意ψ(A)不一定等于B，只能说它一定是B的子集。
(13)如果ψ(A)=B，那么称ψ是 A到B上的 映射，又称为A到B的满射。
特别地，如果A、B都是实数或复数集，那么ψ就是我们高中时候学过的所谓函数了。所以函数不过是集合论中的一个特例罢了。
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“定理2 任何无限集，必与它的一个真子集对等。
组合数学简介
映射的个数
n元集上的幂等映射的个数 n元集上的部分映射的个数
n
C
k n
k
n
k
k 1
n
Cnk nk (1 n)n
k 0
例题
• 问题一：对三角形的三个顶点u,v,w染以红、蓝两 种颜色，求不同的染色方案数。
• 问题二：求集合{u,v,w}到集合{r,b}的映射的数目。
例题
• 问题1：求n元集合上有多少个不同的自反关系？
组合数学 Combinatorics
教材
课程安排
• 组合数学简介 • 排列组合公式 • 母函数 • 递推关系 • 容斥原理 • 抽屉原理 • Polya计数
组合数学简介
• 组合数学也称为组合分析或组合学，按研究的对象 归于离散数学家族。
• 早在中国古代的洛书、河图中就有组合数学的思想。 • 组合数学的历史渊源扎根于数学娱乐和游戏中。 • 现代组合数学在纯粹和应用科学上都有重要的价值。 • 组合数学与抽象代数、拓扑学、数学基础、图论、
• 主要内容：把有限集合的元素按一定的规则进行安排。 • 这种安排被考究地称为组态（Configuration）。
解决的问题
• 组态的存在性 • 组态的枚举、分类和计数 • 组态的构造 • 组态的优化
幻方
• 幻方是最古老最流行的一个数学游戏之一。 • 在中世纪时期曾存在与幻方相关的玄想，人们将
幻方佩戴身上辟邪。 • 本杰明·富兰克林就是一个幻方迷，他的论文中包
有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…，在ห้องสมุดไป่ตู้n类 办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不 同方法。
冀教版四年级数学上册 (自然数)倍数和因数教学课件
自然数、奇数、偶数
小朋友，你喜欢猜谜语吗？ 请你猜猜下面的谜语。
青石板，青又青， 青石板上挂银灯。 不知银灯有多少， 数来数去数不清。
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自然数、奇数、偶数
认真观察，图中两个小朋友在干什么？
青石板，青又
青， 青石板上挂银 灯。
1颗、2颗、3颗、4颗、 5颗……星星真多呀！
不知我银们灯用有肉多眼能看到的 少，星星大约有3000颗。
自然冀数教、版奇数数、学偶数四年级 上册
5 倍数和因数
自然数
课前导入
探究新知
课堂练习
课堂小结
课后作业
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自然数、奇数、偶数
课前导入
小朋友，你能回答下面的问题吗？
猜谜语：
青石板，青又青， 青石板上挂银灯。 不知银灯有多少， 数来数去数不清。
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自然数、奇数、偶数
探究新知
阴天一颗也看不见， 用0表示。
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自然数、奇数、偶数
从上面的情境中，你发现了哪些问题？
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自然数、奇数、偶数
1、3、5、7、9、 11、13、15……是 单数 。
2、4、6、8、10、12、 14、16……是双数。
单数又叫做奇数，双 数又叫做偶数。
0也是偶数。
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自然数、奇数、偶数
试一试
（1）写出自然数1-30之间所有连续的奇数。 1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、 23、25、27、29
有
（3） ( 9 ) 和( 10 )是99相邻的自然数。
8
0
（4）自然数里分为( 奇数 )和( 偶数 )。
返回
自然数、奇数、偶数
2 判断。
（1）1、3、5这三个数都是单数。( √ ) （2）0是自然数，也是奇数。( × ) （3）单数又叫奇数，双数又叫偶数。( √ ) （4）103、4.5、 311、100都是奇数。( × )
小学初中数学定义集
小学初中数学定义集一、数与代数1．自然数：表示物体个数的数叫自然数。
2．正数负数：大于0的数是正数；小于0的数叫负数。
0不是正数，也不是负数。
3．整数：正整数(例如1、2、3)、负整数(例如1、2、3)与零(0)合起来统称为整数。
4．分数：把整体“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。
5．真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。
6．假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。
7．带分数：带分数是整数与真分数相加所成的分数。
带分数是假分数的一种。
8．百分数：百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数，也叫百分率或百分比。
9．有理数：整数和分数统称为有理数，一切有理数都可以化为分数的形式。
10．无理数：无理数是无限不循环小数。
11．实数：实数可以分为有理数和无理数两类。
数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。
12．数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴。
13．绝对值：在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，绝对值用“| |”来表示。
14．相反数：若两个实数a和b满足b=﹣a。
我们就说b是a的相反数。
（和是0的两个数互为相反数。
0的相反数还是0。
）15．有效数字：在一个近似数中，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的位数止，这中间所有的数字都叫这个近似数字的有效数字。
16．科学记数法：a×10n的形式。
将一个数字表示成（a×10n的形式），其中1≤|a|<10，n表示整数，这种记数方法叫科学记数法。
17．倒数：两个数乘积是1的数互为倒数，0没有倒数。
18．小数：把十进分数仿照整数的写法写成不带分母的形式，这样的数叫做小数．整数部分是零的小数叫做纯小数，整数部分不是零的小数叫做带小数．（小数的基本性质是：在小数的末尾添上零或去掉零，小数的大小不变。
）19．有限小数：如果一个小数的小数点后数码，从某个有限大的n 之后全部为0，那么这个小数就是有限小数。
整数与自然数的区别
整数与自然数的区别
自然数和整数的区别是自然数可以是整数，但整数不一定百分百是自然数。
自然数能
够包含零和正整数，但整数却包含零、正整数和负整数。
可以这样理解，整数之中包括了
自然数，但自然数并不包括整数，因为整数里面有一个负整数的存在。
自然数可以在正整
数里无限延长，但不能出现于负整数之中，因为自然数之中没有负整数这个概念，而整数
可以在正整数与负整数之中都能够无限延长，这是因为整数比自然数多包含一个负整数的
原因，也正是由于此，所以整数才能够包括自然数。
自然数都是整数。
自然数是指表示物体个数的数，即由0开始，0，1，2，3，4，……一个接一个，组成一个无穷的集体，即指非负整数。
整数是正整数、零、负整数的集合。
整数的全体构成整数集，整数集是一个数环。
在整数系中，零和正整数统称为自然数。
-1、-2、-3、…、-n、…（n为非零自然数）为负整数。
则正整数、零与负整数构成整数系。
整数不包括小数、分数。
如果不加特殊说明，所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。
自然数是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数。
即用数码0，1，2，3，4……
所表示的数。
自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体。
自然数有有序性，无
限性。
分为偶数和奇数，合数和质数等。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
[数学学习]集合大小定义的基本要求
![[数学学习]集合大小定义的基本要求](https://img.taocdn.com/s3/m/1e7be85c2f3f5727a5e9856a561252d380eb200f.png)
[数学学习]集合大小定义的基本要求作为集合大小的定义，应该满足什么样的差不多要求?我们因此要尽可能地使它符合一样的关于大小的常识和直觉，其中有许多是要比整体大于部分更加要紧的。
第一，一个集合的大小只应该取决于那个集合本身。
我们明白一个集合能够用多种方法来构造和表示，比如说，A={小于等于2的正整数｝B={1,2｝C={x2-3x+2=0的根｝事实上差不多上同一个集合，D={n|n为自然数，且方程xn+yn=zn有xyz0的整数解｝又如何样呢?2021年英国数学家怀尔斯证明了费尔马大定理，因此集合D和上面的集合A、B、C是同一个集合，它里面有两个元素1和2。
我们记得，一个集合由它所含的元素唯独决定，因此它的大小也不能取决于它被表示的方法，或者被构造的途径，它只应该取决于它本身。
一个集合得和自己一样大，那个没有什么好说的;其次，假如集合A不小于(也确实是说或者大于，或者一样大)集合B，而集合B也不小于集合A，那么它们就必须是一样大的;第三，假如集合A不小于集合B，而集合B又不小于集合C，那么集合A就必须不小于集合C。
在数学上，我们称满足这三个条件的关系为偏序关系(注：严格地说，那个偏序关系并不定义在集合之间，而是定义在集合按一样大那个等价关系定义出的等价类之间，关于偏序关系的严格定义的叙述和上面所说的也有区别，但这些问题在那个地点并不要紧，你假如看不明白那个注在讲什么也不要紧)。
假如一个关于集合大小的定义违反了上面所说的三条之一，那个定义的怪异程度一定会超过上面使用一一对应原则的定义!举个例子，比如说我对某位科幻小说作家的喜爱程度确实是一个偏序关系。
假如我喜爱阿西莫夫胜于喜爱凡尔纳，而喜爱凡尔纳又胜于喜爱克拉克，那在阿西莫夫和克拉克中，我一定更喜爱阿西莫夫。
只是一个偏序关系并不要求任意两个对象都能相互比较。
比如说刘慈欣的水平因此不能和克拉克如此的世界级科幻大师比，然而喜爱是一种专门个人的情况，作为一个中国人，我对中国的科幻创作更感爱好因此看起来不能说我更喜爱克拉克，但也不能说我更喜爱刘慈欣，而且也不能说同样喜爱，因为喜爱的地点不一样因此更确切地也许应该说，他们俩之间不能比较。
最具争议的几个数学事实，颠覆你的思维
最具争议的几个数学事实，颠覆你的思维数学是一门严谨的学科，但是总有些出人意料的数学题，他们都具有悖论和概率的特性，而且总是能引起一些争论。
下面分享几个有趣事实，颠覆你的思维？1.偶数（奇数）与自然数一样多偶数与自然数，哪一种数多？这时，恐怕很多人都会说：“当然是自然数比偶数多了。
”可能还会有人说：“偶数个数等于自然数个数的一半！”什么道理呢？因为奇数与偶数合起来就是自然数，而奇数与偶数是相间排列的，所以奇数与偶数一样多，其个数都是自然数的一半。
自然数包括偶数，偶数是自然数的一部分，自然数比偶数多这不是显而易见、再明白不过的事吗？听起来好像确实是这么一回事，可事实是不是这样的呢？16世纪，意大利著名科学家伽利略也曾研究过这个问题。
他曾提出过一个著名的悖论，叫作“伽利略悖论”，内容类似偶数和自然数一样多。
这似乎违背常识，因为在1～10中，你只要数一下，就可以知道自然数有10个，偶数有5个，两者相比较，很清楚，自然数比偶数多5个。
但毕竟自然数和偶数可远不止那几个，所以在比较两者数量的时候这往往是不正确的，为此伽利略提出了无限的问题。
对于无限的数量，数的办法是不行了，因为无限多是永远数不完的。
那有什么方法可以用来比较它们的数量呢？其实，我们可以用“一对一”的方法来进行比较。
一一对应是比较物体的个数是否相等的最简便、最直接的方式。
自然数集偶数集1← →22← →43← →64← →8... ...我们发现两者的数量一样多，但是根据现有理论得出的结论却违反常理，这个问题最终以康托尔的集合论创立而解决．康托尔根据康托尔的理论，它把无限集分为可数集与不可数集，可数集是指集合里的元素能与正整数形成一一对应的关系的集合；从这个角度说，奇数能与正整数形成一一对应关系，偶数也能与正整数形成一一对应的关系，故奇数与偶数个数是相等的，同理自然数与正整数形成一一对应的关系，那自然数与奇数一样多，自然数与偶数也一样多；是不是很奇妙！2. 0.999999999999999(无限循环）=1很多人看到这个式子时，第一感觉是等式不成立，造成这种原因是我们很多人无法理解无限的概念。
数学美赏析
数学美赏析［摘要］在数学的发展中，数学的美学观曾对数学家的思想和数学理论的发展产生过重要影响，许多著名的数学家都对数学发表过有关美学方面的论述。
爱美之心人人有之，数学美深深地感染着人们的心灵，激起人们对她的欣赏。
数学美赏析多角度在数学的发展中，数学的美学观曾对数学家的思想和数学理论的发展产生过重要影响，许多著名的数学家都对数学发表过有关美学方面的论述。
爱美之心人人有之，数学美深深地感染着人们的心灵，激起人们对她的欣赏。
下面从几个方面来赏析数学美。
一、数学的简洁美的结构简洁，不是指数学的内容本身简单（其实就数学内容本身来说相当复杂）。
v-e+f=2，堪称“简洁美”的典范。
世间的多面体有多少？相信没有人能说清楚。
但它们的顶点数v、棱数e、面数f，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不已？由她还可派生出许多同样美妙的东西。
如：平面图的点数v、边数e、区域数f满足v-e+f=2，这个公式成了近代数学两个重要分支——拓扑学与图论的基本公式。
由这个公式可以得到许多深刻的结论，对拓扑学与图论的发展起了很大的作用。
在数学中，像欧拉公式这样形式简洁、内容深刻、作用很大的定理还有许多。
例如，数学上用“∫f(x)dx初等数学中，用y=ax2+bx+c就表示了抛物线运动的各种形式的一般规律。
世界通行的阿拉伯数字符号0~9，仅运用这10个有限的符号就能记出无数多个数字；客观世界中四大基本数量关系可以用最简单的四个运算符号“＋，－，×，÷”表现出来。
史中每一次进步都使已有的定理更简洁。
正如伟大的希尔伯特曾说过：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着”。
二、数学的对称美数量关系及人们想象形式的数学，自然地表现出自然界和思维过程的对称，而这些都会通过数学符号准确地表现出来。
几何图形的对称往往以点、线、面的对称。
古希腊毕达格拉斯学派指出：一切平面图形中最美的是圆。