江苏省泰州市姜堰区2015-2016学年高一(下)期中数学试卷(解析版)

2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高一（下）期中数学试卷一、填空题（本大题共17小题，每小题5分，满分70分）1．sin135°=．2．已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，∠B=30°，AB=2，则AC=．3．直线y=2x+1的斜率为．4．圆（x﹣1）2+y2=9的半径为．5．等差数列{a n}，a1=1，a2=2，则a3=．6．函数f（x）=sin2x+sinxcosx的周期为．7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为．8．已知过点A（﹣2，m）和点B（m，4）的直线l1，直线2x+y﹣1=0为l2，直线x+ny+1=0为l3，若l1∥l2，l2⊥l3，则m+n=．9．若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r=．10．（B）已知等比数列{a n}，首项为3，公比为，前n项之积最大，则n=．11．已知cos（α﹣）=﹣，sin（﹣β）=，且0＜β＜＜α＜π，则sin=．12．在△ABC中，已知AC=2，BC=3，cosA=﹣，则sin（2B+）=．13．设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的取值范围是．14．设点M（x0，1），已知圆心C（2，0），半径为1的圆上存在点N，使得∠CMN=45°，则x0的最大值为．15．已知各项均为正数的数列{a n}的首项a1=1，S n是数列{a n}的前n项和，且满足：a n S n+1﹣a n+1S n+a n﹣a n+1=a n a n+1，则S12=．16．在△ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，则∠C的大小为．17．在△ABC中，AC=3，∠A=，点D满足=2，且AD=，则BC的长为．二、解答题18．（1）已知sinα=，α∈（，π），求sin2α；（2）已知tanα=，求tan2α的值．19．在△ABC中，（1）已知a=2bsinA，求B；（2）已知a2+b2+ab=c2，求C．20．（1）求过点A（2，3），且垂直于直线3x+2y﹣1=0的直线方程；（2）已知直线l过原点，且点M（5，0）到直线l的距离为3，求直线l的方程．21．过点P（﹣3，﹣4）作直线l，当l的斜率为何值时（1）l将圆（x﹣1）2+（y+2）2=4平分？（2）l与圆（x﹣1）2+（y+2）2=4相切？（3）l与圆（x﹣1）2+（y+2）2=4相交且所截得弦长=2？22．已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）求数列{}的前n项和T n．23．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．（1）求的值；（2）若，求tanA及tanC的值．24．如图，ABC为一直角三角形草坪，其中∠C=90°，BC=2米，AB=4米，为了重建草坪，设计师准备了两套方案：方案一：扩大为一个直角三角形，其中斜边DE过点B，且与AC平行，DF过点A，EF过点C；方案二：扩大为一个等边三角形，其中DE过点B，DF过点A，EF过点C．（1）求方案一中三角形DEF面积S1的最小值；（2）求方案二中三角形DEF面积S2的最大值．2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共17小题，每小题5分，满分70分）1．sin135°=．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】运用特殊角的三角函数值，和诱导公式即可化简求值．【解答】解：sin135°=sin=sin45．故答案为：．2．已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，∠B=30°，AB=2，则AC=1．【考点】正弦定理．【分析】根据含有30°的直角三角形的性质得出．【解答】解：∵∠C=90°，∠B=30°，AB=2，∴AC=．故选1．3．直线y=2x+1的斜率为2．【考点】直线的斜率．【分析】根据斜截式直线方程y=kx+b的斜率为k，写出斜率即可．【解答】解：直线y=2x+1的斜率为2．故答案为：2．4．圆（x﹣1）2+y2=9的半径为3．【考点】圆的标准方程．【分析】直接由圆的标准方程求得圆的半径．【解答】解：由圆（x﹣1）2+y2=9，得r2=9，∴r=3．即圆（x﹣1）2+y2=9的半径为3．故答案为：3．5．等差数列{a n}，a1=1，a2=2，则a3=3．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差数列{a n}的性质可得：2a2=a1+a3．即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}的性质可得：2a2=a1+a3．∴2×2=1+a3，解得a3=3．故答案为：3．6．函数f（x）=sin2x+sinxcosx的周期为π．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用三角函数的降幂公式与辅助角公式可将f（x）=sin2x+sinxcosx+2化为：f（x）=sin（2x﹣）+，利用周期公式即可求得其周期．【解答】解：∵f（x）=sin2x+sinxcosx=+sin2x=（sin2x﹣cos2x）+=sin（2x﹣）+，∴其最小正周期T==π．故答案为：π．7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为﹣．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c，b=，再由余弦定理求得cosA=的值．【解答】解：在△ABC中，∵b﹣c= a ①，2sinB=3sinC，∴2b=3c ②，∴由①②可得a=2c，b=．再由余弦定理可得cosA===﹣，故答案为：﹣．8．已知过点A（﹣2，m）和点B（m，4）的直线l1，直线2x+y﹣1=0为l2，直线x+ny+1=0为l3，若l1∥l2，l2⊥l3，则m+n=﹣10．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由条件根据两直线平行，斜率相等；两直线垂直，斜率之积等于﹣1，分别求得m、n的值，可得m+n的值．【解答】解：由题意可得，直线为l1的斜率为，直线l2的斜率为﹣2，且l1∥l2，∴=﹣2，求得m=﹣8．由于直线l3的斜率为﹣，l2⊥l3，∴﹣2×（﹣）=﹣1，求得n=﹣2，∴m+n=﹣10，故答案为：﹣10．9．若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r=2．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，∠AOB=120°，则△AOB 为顶角为120°的等腰三角形，顶点（圆心）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=r，代入点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案．【解答】解：若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，O为坐标原点，且∠AOB=120°，则圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=rcos=r，即=r，解得r=2，故答案为：2．10．（B）已知等比数列{a n}，首项为3，公比为，前n项之积最大，则n=3．【考点】等比数列的前n项和．【分析】a n=3×，可得前n项之积T n=，对n分类讨论，底数与1比较大小关系即可得出．【解答】解：a n=3×，∴前n项之积T n=3n×==，由于n ≤3时，≥1；由于n ≥4时，＜1．∴n=3时，前n 项之积最大， 故答案为：3．11．已知cos （α﹣）=﹣，sin （﹣β）=，且0＜β＜＜α＜π，则sin=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sin （α﹣）和cos （﹣β）的值，再利用两角差的正弦公式求得sin 的值．【解答】解：∵cos （α﹣）=﹣，sin （﹣β）=，且0＜β＜＜α＜π，∴α﹣∈（，π），sin （α﹣）==；﹣β∈（0，），cos （﹣β）==．则sin =sin[（α﹣）﹣（﹣β）]=sin （α﹣）cos （﹣β）﹣cos （α﹣）sin（﹣β） =•+•=．12．在△ABC 中，已知AC=2，BC=3，cosA=﹣，则sin （2B+）=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由条件利用同角三角的基本关系求得sinA 的值，利用正弦定理求得sinB 的值，可得cosB 的值，利用二倍角公式求得sin2B 、cos2B 的值，再利用两角和的正弦公式，求得要求式子的值．【解答】解：△ABC 中，∵已知AC=2，BC=3，cosA=﹣∈（，π），∴B ∈（0，），∴sinA==，则由正弦定理可得==，∴sinB=，cosB==，∴sin2B=2sinBcosB=，∴cos2B=1﹣2sin 2B=，sin （2B+）=sin2Bcos+cos2Bsin=•+•=，故答案为：．13．设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的取值范围是[，]．【考点】两条平行直线间的距离．【分析】由题意和韦达定理可得a+b=﹣1，ab=c，可得两平行线间的距离d满足d2===，由0≤c≤和不等式的性质可得．【解答】解：∵a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，∴由韦达定理可得a+b=﹣1，ab=c，∴两平行线间的距离d=，故d2===，∵0≤c≤，∴0≤4c≤，∴﹣≤﹣4c≤0，∴≤1﹣4c≤1，∴≤≤，∴≤d2≤，∴≤d≤故答案为：[，]14．设点M（x0，1），已知圆心C（2，0），半径为1的圆上存在点N，使得∠CMN=45°，则x0的最大值为3．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】作出对应的同学根据条件∠CMN=45°，则必有∠CMN≤∠CMT，所以只需∠CMT≥45°即可，借助于三角函数容易求出x0的范围．【解答】解：易知M（x0，1）在直线y=1上，设圆C的方程为（x﹣2）2+y2=1与直线y=1的交点为T，假设存在点N，使得∠CMN=45°，则必有∠CMN≤∠CMT，所以要是圆上存在点N，使得∠CMN=45°，只需∠CMT≥45°，因为T（2，1），所以只需在Rt△CMT中，tan∠CMT==≥tan45°=1，即|x0﹣2|≤1，则﹣1≤x0﹣2≤1，即1≤x0≤3故x0∈[1，3]．则x0的最大值为3，故答案为：3．15．已知各项均为正数的数列{a n}的首项a1=1，S n是数列{a n}的前n项和，且满足：a n S n+1﹣a n+1S n+a n﹣a n+1=a n a n+1，则S12=3．【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】根据题意，利用等比数列的前n项和公式求出通项公式a n，进一步求出数列对应的前n项和公式，再计算S12的值．【解答】解：∵a n S n+1﹣a n+1S n+a n﹣a n+1=a n a n+1，且S n+1=S n+a n+1，∴（a n﹣a n+1）S n+a n a n+1+a n﹣a n+1=0，∴S n++1=0；又∵a1=1，令n=1，则1++1=0，解得a2=，同理可得a3=，猜想a n=；下面利用数学归纳法证明：①当n=1时，a1==1，成立；②假设当n≤k（k∈N*）时成立，a k=，则S k==；∵S k++1=0，∴++1=0，解得a k+1=；因此当n=k+1时也成立，综上，对于n∈N*，a n=都成立；由等差数列的前n项和公式得，S n=；∴S12=×=3．16．在△ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，则∠C的大小为．【考点】余弦定理．【分析】已知两等式两边分别平方，相加后利用同角三角函数间的基本关系化简，求出sinC 的值，即可确定出C的度数．【解答】解：由3sinA+4cosB=6①，3cosA+4sinB=1②，①2+②2得：（3sinA+4cosB）2+（3cosA+4sinB）2=37，化简得：9+16+24（sinAcosB+cosAsinB）=37，即sin（A+B）=sin（π﹣C）=sinC=，又∠C∈（0，π），∴∠C的大小为或，若∠C=π，得到A+B=，则cosA＞，所以3cosA＞＞1，∴3cosA+4sinB＞1与3cosA+4sinB=1矛盾，所以∠C≠π，∴满足题意的∠C的值为．则∠C的大小为．故答案为：17．在△ABC中，AC=3，∠A=，点D满足=2，且AD=，则BC的长为3．【考点】三角形中的几何计算．【分析】由已知，结合向量的基本运算可求得=，然后结合已知及向量数量积的定义及性质可求AB，最后利用余弦定理可求BC【解答】解：∵=2∴===∵AD=||=，AC=||=3，A=，设AB=c∴=||||cosA=则13==∴13=1整理可得，2c2﹣54=0∵c＞0解可得，c=3由余弦定理可得，a2=c2+b2﹣2bc•cosA=二、解答题18．（1）已知sinα=，α∈（，π），求sin2α；（2）已知tanα=，求tan2α的值．【考点】二倍角的正切；二倍角的正弦．【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，再利用二倍角公式，求得sin2α的值．（2）由条件利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．【解答】解：（1）∵已知sinα=，α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣，∴sin2α=2sinαcosα=﹣．（2）∵已知tanα=，∴tan2α===．19．在△ABC中，（1）已知a=2bsinA，求B；（2）已知a2+b2+ab=c2，求C．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由正弦定理可得：sinA=2sinBsinA，sinA≠0，化为sinB=，即可得出；（2）利用余弦定理即可得出．【解答】解：（1）∵a=2bsinA，由正弦定理可得：sinA=2sinBsinA，sinA≠0，化为sinB=，B∈（0，π），∴B=或．（2）∵a2+b2+ab=c2，∴cosC===﹣，又C∈（0，π），∴C=．20．（1）求过点A（2，3），且垂直于直线3x+2y﹣1=0的直线方程；（2）已知直线l过原点，且点M（5，0）到直线l的距离为3，求直线l的方程．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】（1）由已知方程和垂直关系可得所求直线的斜率，写出点斜式方程，化为一般式即可；（2）可设直线l的方程为kx﹣y=0，由点到直线的距离公式可得k的方程，解方程可得．【解答】解：（1）∵直线3x+2y﹣1=0的斜率为﹣，∴由垂直关系可得所求直线的斜率k=，又直线过点A（2，3），∴方程为y﹣3=（x﹣2）化为一般式可得2x﹣3y+5=0；（2）∵直线l过原点，且点M（5，0）到直线l的距离为3，∴可设直线l的方程为y=kx，即kx﹣y=0，由点到直线的距离公式可得=3，解得k=±∴直线l的方程为y=±x，即3x±4y=021．过点P（﹣3，﹣4）作直线l，当l的斜率为何值时（1）l将圆（x﹣1）2+（y+2）2=4平分？（2）l与圆（x﹣1）2+（y+2）2=4相切？（3）l与圆（x﹣1）2+（y+2）2=4相交且所截得弦长=2？【考点】直线的点斜式方程．【分析】（1）当l经过圆心Q（1，﹣2）时，可将圆（x﹣1）2+（y+2）2=4平分，利用点斜式即可得出．（2）设直线l的方程为：y+4=k（x+3），化为kx﹣y+3k﹣4=0，根据直线l与圆相切，可得圆心Q（1，﹣2）到直线l的距离d==2，解出即可．（3）由于l与圆（x﹣1）2+（y+2）2=4相交且所截得弦长=2，可得直线l的距离d==，解出k即可．【解答】解：（1）当l经过圆心Q（1，﹣2）时，可将圆（x﹣1）2+（y+2）2=4平分，∴直线l的方程为：y+2=（x﹣1），化为x﹣2y﹣5=0．（2）设直线l的方程为：y+4=k（x+3），化为kx﹣y+3k﹣4=0，∵直线l与圆相切，∴圆心Q（1，﹣2）到直线l的距离d==2，化为：3k2﹣4k=0，解得k=0或．∴当k=0或时，直线l与圆相切．（3）∵l与圆（x﹣1）2+（y+2）2=4相交且所截得弦长=2，∴直线l的距离d==，化为13k2﹣16k+1=0，解得k=．∴当k=时，满足条件．22．已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）求数列{}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【分析】（1）设出等差数列的首项和公差，由已知列式求出首项和公差，则等差数列的通项公式可求；（2）直接利用等差数列的前n项和公式求解；（3）把数列{a n}的通项公式代入，利用错位相减法求前n项和T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a2=0，a6+a8=﹣10，得，解得．∴a n=1﹣（n﹣1）=2﹣n；（2）=；（3）=，∴，，两式作差得：==．∴．23．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．（1）求的值；（2）若，求tanA及tanC的值．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；两角和与差的正切函数．【分析】（1）利用二倍角的余弦函数公式化简cos2C，变形后求出sin2C的值，由C为三角形的内角，得到sinC大于0，开方可得出sinC的值，利用正弦定理化简得到的关系式，得到2sinB=sinAsinC，再由三角形的内角和定理及诱导公式得到sinB=sin（A+C），代入关系式中，利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据sinAsinC不为0，等式左右两边同时除以cosAcosC，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，即可得到所求式子的值；（2）由第一问求出的式子表示出tanA，然后把tanB中的B换为π﹣（A+C），利用诱导公式化简后，将表示出的tanA代入，得到关于tanC的方程，求出方程的解得到tanC的值，代入表示出的tanA，可得出tanA的值．【解答】解：（1）∵，cos2C=1﹣2sin2C，∴，∵C为三角形内角，∴sinC＞0，∴，∵，∴，∴sinC=，即2sinB=sinAsinC，∵A+B+C=π，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴2sinAcosC+2cosAsinC=sinAsinC，∵sinA•sinC≠0，∴；（2）∵，∴，∵A+B+C=π，∴．∴，整理得tan2C﹣8tanC+16=0，解得：tanC=4，将tanC=4代入得：=4．24．如图，ABC为一直角三角形草坪，其中∠C=90°，BC=2米，AB=4米，为了重建草坪，设计师准备了两套方案：方案一：扩大为一个直角三角形，其中斜边DE过点B，且与AC平行，DF过点A，EF过点C；方案二：扩大为一个等边三角形，其中DE过点B，DF过点A，EF过点C．（1）求方案一中三角形DEF面积S1的最小值；（2）求方案二中三角形DEF面积S2的最大值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）在方案一：在三角形AFC中，设∠ACF=α，α∈（0，），表示出三角形DEF 面积S1，利用基本不等式求出最小值；（2）在方案二：在三角形DBA中，设∠DBA=β，β∈（0，），表示出三角形DEF面积S1，利用辅助角公式求出最小值．【解答】解：（1）在方案一：在三角形AFC中，设∠ACF=α，α∈（0，），则，…因为DE∥AC，所以∠E=α，，且，即，…解得，…所以，所以当sin2α=1，即α=45°时，S1有最小值．…（2）在方案二：在三角形DBA中，设∠DBA=β，β∈（0，），则，解得，…三角形CBE中，有，解得，…则等边三角形的边长为，…所以边长的最大值为，所以面积S2的最大值为．…2016年5月21日。