随机过程的基本概念和基本类型

序列. 随机序列写为 { X ( n)，n 0} 或{ X n , n 0,1,}.
(2) T {0,1,2,}
(3) T [a , b] 其中a可以取0或 , b可以取 .
当参数取可列集时， 一般称随机过程为随机序列。 随机过程 { X ( t ); t T }可能取值的全体所构成的集合 称为此随机过程的状态空间，记作S. S中的元素 称为状态。状态空间可以由复数、实数或更一般的 抽象空间构成。
— —称为二维随机向量 ( X ( t1 ), X ( t2 )) 的分布函数。 若 f ( t1 , t 2 , x1 , x2 ) 0,
Ft1 ,t2 ( x1 , x2 ) F ( t1 , t2 , x1 , x2 )
1 x2 f ( t , t , y , y )dy dy -x 1 2 1 2 1 2
cos t , 当出现 H 时 t ( , ) X (t ) 当出现 T 时 2t ，
其中 P{ H } P{T } 1 / 2, 则 { X ( t ) , t ( , )}是一
随机过程。
例2.3
Brown运动： 英国植物学家Brown注意到 漂浮在液面上的微小粒 子不断进行无规 则的运动，这种运动后 来称为Brown运 动。同时分子大量随机 碰撞的结果。记 ( X ( t ),Y ( t ))为粒子在平面坐标上的 位置， 则它是平面上的 Brown运动。
2.2 有限维分布与Kolmogvrov定理 一、随机过程的分布函数 1. 一维分布函数
设X ( t )是一随机过程，称
Ft ( x )F ( t , x ) P{ X ( t ) x }
称为{ X ( t )}的一维分布函数. 若 f ( t , x ) 0,
使得
Ft ( x ) F ( t , x )
根据T和S的不同过程可以分成不 同的类：
参数空间分类：
离散参数 连续参数
状态空间分类：
如 T {0,1,2} 如T {t | t 0}
离散状态 连续状态
S取值是离散的 S取值是连续的
随机过程分为以下四类： (1)离散参数离散型随机过程； (2)连续参数离散型随机过程； (3)连续参数连续型随机过程； (4)离散参数连续型随机过程。
— —则称 f ( t1 , t 2 , x1 , x2 )为二维概率密度 .
3. n维分布函数
n维随机向量( X ( t1 ), X ( t2 ),, X ( tn ))的联合分布函数为
Ft1 ,, t n ( x1 ,, xn )F ( t1 ,, t n ; x1 ,, xn )
第2章 随机过程的基本 概念和基本类型
2.1 基本概念，我们研究了无穷多个随机变量，但局限
在它们相互独立的情形。 将上述情形加以推广， 即研究 定义2.1：设 (, , P )是一概率空间，对每一个参数
t T ，X (t , ) 是一定义在概率空间 ( , , P ) 上的随机
称为n维随机向量( X ( t1 ), X ( t2 ),, X ( tn )) 的n维分布函数.
— —则称 f ( t1 ,, tn ; x1 ,, xn )为n维概率密度.
4. 有限维分布族
一维、二维， ，n维分布函数的全体 :
{ Ft1 ,, t n ( x1 ,, xn )，t1 ,, t n T , n 1}
这就是随机过程。 一族无穷多个、相互有关的随机变量，
变量， 则称随机变量族 XT { X ( t , ); t T } 为该概率
T 称为参数集。 空间上的一随机过程。
随机过程的两种描述方法：
X (t , ) : T R 用映射表示 X T , 即 X (, ) 是一定义在 T 上的二元单值函数， 固定 t T , X ( t , ) 是一定义在样本空间 上的函数，
以随机过程的统计特征或概率特征的分类，一般有：
独立增量过程； 二阶矩过程； 平稳过程； Poission过程；
更新过程；
Markov过程； 鞅； 维纳过程。
随机过程举例 例2.1 随机游动： 一醉汉在路上行走，以 概率p前进一步，
以概率1 p后退一步（假设其步长 相同） ,以X ( t )记 他在t时刻在路上的位置，则 X ( t )就是直线上的随 机游动. 例2.2 抛掷一枚硬币，样本空间为 S { H , T } 定义：
P{ X ( t1 ) x1 ,, X ( tn ) xn } 若 f ( t1 ,, tn ; x1 ,, xn ) 0,
Ft1 ,,t n ( x1 ,, xn ) F ( t1 ,, t n ; x1 ,, xn )
1 x n f ( t ,, t ; y ,, y )dy dy -x 1 n 1 n 1 n
即为一随机变量； 对于固定的 0 , X ( t , 0 ) 是一个 关于参数 t T 记号 X ( t , ) 有时记为 X t ( ) 或简记为 X ( t ).
的函数， 或称随机过程的一次实现。 通常称为样本函数，
参数 T 一般表示时间或空间。
参数常用的一般有：
(1) T N 0 {0,1,2,}, 此时称之为随机序列或 时间
x -
f ( t , y )dy
则称 f ( t , x ) 为{ X ( t )}的一维概率密度 .
2. 二维分布函数
设二维随机向量 {( X ( t1 ), X ( t 2 )) ( t1 , t 2 ) T }
Ft1 ,t2 ( x1 , x2 )F ( t1 , t2 , x1 , x2 ) P{ X ( t1 ) x1 , X ( t2 ) x2 }