初中几何尖子培优之正三角形中的最值问题含答案
中考几何最值问题(含答案)
几何最值问题一．选择题（共6小题）1．（2015•孝感一模）如图，已知等边△ABC的边长为6，点D为AC的中点，点E为BC 的中点，点P为BD上一点，则PE+PC的最小值为（）==32．（2014•鄂城区校级模拟）如图，在直角坐标系中有线段AB，AB=50cm，A、B到x轴的距离分别为10cm和40cm，B点到y轴的距离为30cm，现在在x轴、y轴上分别有动点P、Q，当四边形PABQ的周长最短时，则这个值为（）﹣+50=40MN==50MN=MQ+QP+PN=BQ+QP+AP=50+503．（2014秋•贵港期末）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=110°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠MAN的度数为（）4．（2014•无锡模拟）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=．运动过程中，当点D到点O的距离最大时，OA长度为（）BAB=×AD=BC==ADE===，OA=AD=5．（2015•鞍山一模）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上且CE=1，长为的线段MN在AC上运动，当四边形BMNE的周长最小时，则tan∠MBC的值是（）BEF=MN=EF=MN===PQ=，PC==6．（2015•江干区一模）如图，△ABC中，CA=CB，AB=6，CD=4，E是高线CD的中点，以CE为半径⊙C．G是⊙C上一动点，P是AG中点，则DP的最大值为（）DP=AD=BD=CE=CD=2PD=BG最大值为．二．填空题（共3小题）7．（2014•江阴市校级模拟）如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC 为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是2．xxx（8．（2012•河南校级模拟）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD边的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ=2，当BP=4时，四边形APQE的周长最小．9．（2013•武汉）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF 交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是﹣1．AB=1OH=AO==﹣上运动当故答案为：三．解答题（共1小题）10．（2015•黄冈中学自主招生）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．请你回答：AP的最大值是6．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是（或不化简为）．（结果可以不化简），CD=4+2==2；+2（或不化简为+2（或不化简为。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十九讲几何不等式(含答案)
第十九讲几何不等式趣提引路】已知：如图19一1,三个居民区分别记作A、B、C,邮电局记作0,它是的三条角平分线的交点, 0、A、B、C每两地之间有宜线道路相连，一邮递员从邮电局出发，走遍各居民区再回到O点，若AC> BOAB.问：哪条路线走的距离最短？并说明理由.解析若不考虑顺序，所走路线有三条：OABCO（或OCR40）、OBACO（或OCABO）, OBCAOC或OACBO）, 其中OABCO最短.在AC上截取AB' =AB,连结OB',设三条路线OABCO, OBACO, OBCAO的距离分别为〃「厶、厶，易证△ AOB^AAO B, A50=B0，d厂心=（OB+BC+CA+AO）—（OA+AB+BC+CO） =0B+ （AC -AB）一CO=OB'+ （AC-AB ）一CO=OB'+B'（7 — CO〉。
, A d3>d t,同理d2>d x.・•.路线OABCO最短.知识拓展】1.三角形的不等关系是研究许多几何不等问题的基础，这种不等关系分为两类：一类是在同一三角形中进行比较；一类是在两个三角形中比较•这里主要方法是把要比较的边或角如何转化到同一个三角形或适当安排在两个三角形之中.2.在同一个三角形中有关边或角不等关系的证明，常有以下泄理：（1）三角形任何两边之和大于第三边（2）三角形任何两边之差小于第三边（3）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.（4）同一三角形中大边对大角.（5）同一三角形中大角对大边例1如图19-2,在等腰梯形ABCD中，AD//BC, AB=CD, E、F分别在AB、CD上且AE=CF.求证：EF2 丄（AD+BC）.i /c G图19・2证明如图所示，延长AD至2,使DD严BC,延长36?至（7「使CC「=AD,连结G D「则ABC；®是平行四边形，ABCD和CDD、C、是两个全等的梯形，在上取一点G 使D、G=AE,连结FG和EGFh AE=CF,则£F=FG,又EG=A D. =AD+BC.•••2EF=EF+FG2EG=AD+BC.即EF=- (AD+BC)・2点评当且仅当点F落在EG上时，即E为AB的中点时，结论中的等号成立•证明这类不等式的一个常用方法是能过添加辅助线，把要比较大小的线段或角集中到一个三角形中，或者适当地安排在两个三角形中, 以便应用上述基本不等关系.例 2 如图19-3, △ABC 中，AB>AC. BE、CF 是中线，求证：BE>CF.解析BE、CF不在同一个三角形中.无法比较它们的大小，将BE平移到FG,在AGCF中比较FC与FG的大小即可.证明将BE、CE分別平移到FG、FD,则四边形EFDC为口作FH丄BC于H.VAB>AC9且F、E分别为AB、AC 的中点，:.FB>CE.:.FB>FD.由勾股泄理得：HB>HD,即FB>FD又•••GH=GB+BH=EF+BH=DC+BH>CD+DH=CH,即GH>CH, :.GF>CF.即BE>CF・例3 如图19-4,在等腰AABC中，AB=AC, D为形内一点，ZADOZADB.求证：DB>DC.解析由于厶DC、/ADB与BD、DC不在同一三角形之中，所以考虑将某一图形绕着某点旋转一是角度，使图中的对应元素不变，使它们能集中在同一个三角形之中.证明把AABD绕点A按逆时针方向旋转至AACD',连接DD',则AD^AD'.:.ZADD^ = ZAZT D,而ZADC> ZADB,:.ZADOZAD C・••• ZADD f + ZD' DC> ZAD f D+ ZCD D••• ZD DC> ZDD C・:.CD r>DC,即DB>DC.点评几何图形在平移、对称、旋转变换中，只是图形位置发生变化，而线段的长度、角的大小不变. 例4 如图19-5,在ZVIBC中，心b、c分别为ZA. ZB、ZC的对边，且求证：2ZB<ZA4-ZC.证明延长BA到D 使AD=BC=u,延长BC到& 使CE=AB=c,连结DE,这就把图形补成一个等腰三角形，即有BD=BE=a+c・:.ZBDE=ZBED・DF//AC. CF//AD,相交于F,连结EF,则ADFC是平行四边形.ffl!9-5•••CF=AD=BC・又ZFCE=ZCBA,•••△FCE仝△CBA (SAS)・:.EF=AC=b.于是DEWDF+ EF=2bJ+c=BD=BE.这样，在ABDE中，便有ZB<ZBDE=ZBED・2ZB< ZBDE+ ZBED= 180°一ZB=ZA+ZC,即2ZB<ZA+ZC.例5过三角形的重心任作一宜线，把这个三角形分成两部分，求证：这两部分面积之差不大于整个三角形面积的丄9证明如图19-6,设AABC重心为G,过点G分别作各边的平行线与各边交点依次为B「C「C?、A?・连结 A 九、B| 、C] C21•.•三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的二倍,：• A| A = A[ B、= B\B,B B? = B、Cj = C] C,CC2 = G = A,A.■ ■ ■ ■V A l A2//BC. B\B」AC、C\CJ AB・••图中的9个小三角形全等.即AA C x C.所以上述9个小三角形的而积均等于AABC而积的1・9若过点G作的直线恰好与直线AG、BG、B2 A2,重合，则AABC被分成的两部分的而积之差等于一个小三角形的而积，即等于而积的1.9若过点G作的直线不与直线AG、BG、场儿重合，不失一般性，设此直线交AC于F,交AB于E, 交G C?于D •：GB严GJ ZEB\G=ZD：C,Zfi, GE=ZC2 GD.GD.:・EF分皿眈成两部分的而积之差等于|S，5-S他伽心|,而这个差的绝对值不会超过5AC|C.C的而积.从而EF分AABC成两部分的而积之差不大于AABC而积的丄・9综上所述：过三角形重心的任一直线分三角形成两部分的而积之差不大于整个三角形而积的丄.9好题妙解】佳题新题品味例1如图19-7,求VPHT + J(4_x)‘ +4的最小值.R图19・7解析本题周旋于根式，那就不易求岀最小值，但从式子的特征联想到勾股定理，由数想形，构成直角三角形可使问题迅速解决.解构造如图19-7 所示的RtAPAC. RtAPBD> 使AC=1, BD=2, PC=x, CD=4,且PC、PD 在直线 /上，则所求最小值转化为“在直线/上求一点P,使PA+PB的值最小”.取点A关于/的对称点A',显然有M+PB=% +PB2A' B= j3’+¥ =5.・•. A/P+T + J(4二x)，+4 的最小值是5.例2 如图19-8,已知AD是AABC的角平分线，且AB>AC,求证：BD>DC.解析由于AB>AC,所以可在AB h截取AE=AC.连接DE,易证△ ADE^/\ADC.于是DE=DC,这样把DC. BD放入ABDE中进行比较即可.证明：TAD为角平分线，•••作△/!£>（?关于AD为对称轴的△△£>£・:・DC=DE、ZADE= A ADC ・••• ZBED> ZADE= ZADC> ZABD.:.ZBED>ZEBD•:・BD>ED即BD>CD.中考真题欣赏例1 （陕四中考题）如图19-9,已知人》为厶ABC的中线，求证：AD<- （AB+AC）・2解析考虑如何将A AC. AD转移到同一个三角形中去，采取中线加倍法.证明延长AD 至E,使得DE=AD,连结CE,则厶ABD^AECD, :.EC=AB,在AACE 中，AE<AC+EC 即2AD<AB+AC, AD<- （AB+AC）.2例2 （连云港市中考题）在△ABC中，AC=5,中线AD=4.则边AB的取值范帀是（）A. 1VABV9B.3<AB<\3C.5<AB<\3D.9<AB<\3解析参见图19-9.延长AD至E, DE=AD,连结CE,由三角形三边的关系可知3VCEV13,又CE =AB.故3VABV13,选B.竞赛样题展示例1 （1996年“希望杯”初二竞赛题）如图19-10,在厶ABC中，ZB=2ZC,则AC与2AB之间的大小关系是（）A・AC>2AB B・ AC=2AB C. ACW2AB D. AC<2AB解析关键在于构造等腰三角形，延长CB至D 使得BD=AB,则ZD=ZD/\B=ZC, AD=AC,在厶ABD中，AB+BD^2AB>AD.即2AB>AC.选D例2 （2000年“希望杯”初二竞赛题）如图19-11, AABC中：AB>AC. AD. AE分别是BC边上的中线和ZA的平分线，比较AD和AE的大小关系.解析延长AD 至F,使DF=AD,连结BF•则AADC^AFDB, :.AC=FB. ZDAC=ZF. \9AB>AC.•••AB>FB, :.ZF>ZBAF. :. ZDAC> ZBAF,•••点D 在点 E 的左边，A ZBAF< ZEAC. V ZADE= Z BAF+ A ABC. kAED=ZC+/EAC, ZABCVZC, Z. ZADE< ZAED,故AD>AE.RI19-91^19-10例3如图19-12,在ZVIBC中，P、Q、/?将英周长三等分，且P、Q在AB上，求证：迪竺＞2.S/u 肚9解析易想到作AABC和△PQR的髙，将三角形的而积比化成线段的乘积比，并利用平行线截线段成比例泄理，把其中两条高的比转换成三角形边上线段的比.证明如图32作V丄帖厶，R5于H,则进=册=册不妨设IWBC的周长为1,则PQ丄 AB<丄,3 2•陀、2■ ■ , ” — *AB 3'：AP^AP+BQ=AB-PQ< 1-1例4 （2000年江苏省初三竞赛题）如图19-13,四边形ABCD中，AB=BC, ZABC=60a , P为四边形ABCD 内一点，且ZAPD=120°・证明：用+PD+PCMBD・解析在四边形ABCD外侧作等边三角形AB D,由ZAPD= 120°可证明B'P=AP+PD.易知B CMPB' +PC,得B'CWAP +PD+PC.下iiEBD=£C・VAAB D是等边三角形,:.AB r=AD, ZBAD=60° ,又易知ZVIBC是等边三角形，故AC=AB, ZB AC =60°,于是△ AB C竺AADB,:・B'C=DB・例5设h「叽、虬是锐角心菟三边上的髙，求证：訂罟弊“解析如图19-14＞在RtAADC中，由于AC＞AD,故同理可证c> h b, a> h c,Sg3又A迢，从而等h a + % + 九 <"+b+c.设AABC 的垂心为H 点, 由于 HA+HB>AB, HB+HOBC,HC+HA>AC, 则 HA+HB+HC>1 (a+b+c)・ 2从而h a + h b + h e >HA + HB + HC>-(a+h+c),2即5+hJ ②a+b+c 2由①、②得丄v34_vi2 a+b+c例6如图19-15,在Z\ABC 中,®AC ，过点A 作EF//BC,D 为EF 上异于A 点的任一点，求证,AB+AC 〈BD+DC ・解析将AACD 以直线EF 为对称轴对折到厶AC' D 中, ••• ZC'AD 二ZDAC 二 ZACB 二 ZABC ・・・・ ZC ，AD+ZDAC+ZBAC=ZABC+ZACB+ZBAC=180° . ・・.B 、A 、C'三点共线..v BC Z <C D+DB,又•••AC'二AC, CD 二 DC',・•・ AC' +AB<BD-DC.即 AB+ACCBD+DC ・过关检测】A 级1. _______________________________________________________ 在Z\ABC 中，AD 为中线，AB=7, AC 二5,则AD 的取值范围为 ____________________________________ .2. （1994年安徽省数学竞赛题）已知在AABC 中，ZAWZBMZC,且2ZB 二5ZA,则ZB 的取值范围 是 _______ .3. （1997年太原市初中数学竞赛试题）用长度相等的100根火柴棍，摆放成一个三角形，使最大边的 长度是最小边长度的3倍，求满足此条件的每个三角形的各边所用火柴棍的根数 ___________ •4. （1998年全国高中理科试验班招生数学试题）面积为1的三角形中，三边长分别为a 、b 、c,且满 足a£bWc,则a+b 的最小值是 ___________ .5. （2000年江苏数学竞赛培训题）在任意AABC 中，总存在一个最小角（「则这个角的取值范围为c r^19-15B级AABC 中，E、F 分别为AC、AB 上任一点，BE、CF 交于P,求证：PE+PF<AE+AF.1.如图19-16,2.如图19-17, 等线段AB、CD 交于0,且ZA0C=60°,求证：AC+BD2AB.3.如图19-18, 矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，求证：EF<AC.4.已知a. b、、y 均小于0, x2 + y2 =1.求证：y]a2x2 +h2y2 + y]a2y2 +b2x2 >a+b.5.如图19-19. 在AABC 中，ZB=2ZC,求证：AC<2AB.A6•平而上有n个点，其中任意三点构成一个直角三角形，求n的最大值7•如图19-20.已知ZkABC中AB>AC, P是角平分线AD上任一点，求证:AB-AOPB-PC.第十九讲几何不等式A级1. 1 <AD<62.75°W 乙BW100。
九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二十三讲 平面几何的定值与最值问题(含答案)
第二十三讲 平面几何的定值与最值问题趣题引路】传说从前有一个虔诚的信徒，他是集市上的一个小贩。
每天他都要从家所在的点A 出发，到集市点B ，但是，到集市之前他必须先拐弯到圆形古堡朝拜阿波罗神像.古堡是座圣城，阿波罗像供奉在古堡的圆心点O ，而圆周上的点都是供信徒朝拜的顶礼地点如图23-1.这个信徒想，我怎样选择朝拜点C ，才能使从家到朝拜点，然后再到集市的路程最短呢？解析 在圆周上选一点P ，过P 作OO 的切线MN ，使得∠APK=∠BPK ，即αβ=.那么朝圣者沿A→P→B 的路线去走，距离最短.证明 如图23-2，在圆周上除P 点外再任选一点P '.连结BP '与切线MN 交于R ，AR+BR>AP+BP.∵RP '+AP '>AR.∴AP '+BP '=AP '+RP '+RB>AR+BP>AP+BP.不过，用尺规作图法求点P 的位置至今没有解决.“古堡朝圣问题”属于数学上“最短路线问题”，解决它的方法是采用“等角原理”.图23－1BA图23－2M N知识延伸】平面几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题.所谓几何定值问题就是要求出这个定值.在解决这类问题的过程中，可以直接通过计算来求出定值；也可以先考虑某一个特殊情形下的该相关值，然后证明当相应几何元素变化时，此值保持不变。
例1 如果△ABC 的外接圆半径R 一定， 求证：abcS是定值.（S 表示△ABC 的面积） 解析 由三角形面积1sin 2S ab C =和正弦定理2sin cR C =，2sin c R C ∴=.24sin 4sin sin abc c R CR S C C∴===是定值 点评 通过正弦定理和三角形面积公式经过变形，计算出结果是4R ，即为定值.平面几何中不仅有等量关系，还有不等关系，例如在变动一些几何元素时，某一相关的值保持不大于(或不小于)某个定值，如果这个定值在某个情形下可以取得，这就是一个几何极值.确定几何极值的问题称为几何极值问题，解决这些问题总要证明相关的几何不等式，并指明不等式成为等式的情形(或者至少证明不等式可以成为等式).例2 如图23－3，已知⊙O 的半径R ＝，A 为⊙O 上一点，过A 作一半径为r ＝3的⊙O ′，问OO ′何时最长？最长值是多少？OO ′何时最短？最短值是多少？图23－3解析：当O ′落在OA 的连线段上（即⊙A 与线段OA 的交点B 时）OO′最短，且最短长度为3；当O ′落在OA 的延长线上（即⊙A 与OA 的延长线交点C 时）OO′最长，且最长的长度为 3.点评：⊙O ′是一个动圆，满足条件的⊙O ′有无数个，但由于⊙O ′过A 点，所以⊙O ′的圆心O ′在以A 为圆心半径为3的⊙A 上.好题秒解】佳题新题品味例1 如图23－4，已知P 为定角O 的角平分线上的定点，过O 、P 两点任作一圆与角的两边分别交于A 、B 两点.求证：OA ＋OB 是定值.图23－4O证明： 连接AP 、BP ，由于它们为有相同圆周角的弦，AP ＝PB ，不妨记为r ，另记1x ＝OA ，2x ＝O B. 对∆POA 应用余弦定理，得1x 2＋OP 2－2OP ⋅cos ∠AOP ⋅1x ＝r 2.故1x 为方程1x 2－2OP ⋅cos12∠AOB ⋅x ＋（OP 2－r 2）＝0的根，同理2x 亦为其根. 因此1x ，2x 为此方程的两根，由韦达定理，得1x ＋2x ＝2OP （12∠AOB ）是定值.点评：当1x ＝2x 时，1x ＋2x 为此定值，事实上此时OP 一定是直径.例2：如图23－5，在矩形ABCD 中，AB ＝8,BC ＝9,⊙O 与⊙O ′外切，且⊙O 与AB 、BC 相切. ⊙O ′与AD 、CD 相切，设⊙O 的半径为x ，⊙O 与⊙O ′的面积的和为S ，求S 的最大值和最小值.图23－5HBD解析：设⊙O ′的半径为y ，过O 与O ′分别作CD 与BC 的垂线OH ，O ′F ，垂足分别为H ,F ,OH 、O ′F 交于点E ,则有：O ′E ＝8－(x ＋y ),OE ＝9－(x ＋y )由勾股定理可得：(x ＋y )2＝[8－(x ＋y )]2＋[9－(x ＋y )]2 整理，得（x ＋y －29）（x ＋y －5）＝0， 由题意知1≤x ≤4，∴x ＋y ＝5，y ＝－x ＋5，∴S ＝πx 2＋πy 2＝π(2x 2－10x ＋25) ＝2π[(x －52)2＋254],故当x ＝52时，S m i n ＝252π；当x ＝4时，S max ＝17π.点评：先由已知求出⊙O ′的半径与⊙O 的半径x 之间的关系，然后再根据面积公式写出S 与x 之间的关系，这个关系就是一个函数关系，再通过函数的性质得解.中考真题欣赏例（南京市中考题）如图23﹣6，⊙O 1与⊙O 2内切于点P ，又⊙O 1切⊙O 2的直径BE 于点C ，连结PC 并延长交⊙O 2于点A ，设⊙O 1，⊙O 2的半径分别为r 、R ，且R≥2r.求证：PC·AC 是定值.图23－6EBAP图23－7解析 若放大⊙O 1，使⊙O 1切⊙O 2的直径于点O 2（如图23-6），显然此时有PC·AC=P O 2·A O 2=2r·R （定值）.再证明如图23﹣7的情况：连结C O 1，P O 2，则P O2，必过点O 1，且O1C ⊥BE ，得2COBC R =EC R =所以PC·AC=EC·BC=2Rr ，故PC·AC 是定值.点评 解答几何定值问题时，可先在符合题目条件的前提下用运动的观点，从特殊位置入手，找出相应定值，然后可借助特殊位置为桥梁，完成一般情况的证明.竞赛样题展示例1（第十五届江苏省初中数学竞赛题）如图23﹣8，正方形ABCD 的边长为1，点P 为边BC 上任意一点（可与点B 或点C 重合），分别过点B 、C 、D 作射线AP 的垂线，垂足分别为点B '、C '、D '.求BB '+CC '+DD '的最大值和最小值.图23－8AC解析 12DPC APC S S AP CC ∆∆'==⋅，得 APC ADP DPC BCDA S S S S ∆∆∆=++四边形1()2AP BB DD CC '''=++，于是BB'+CC'+DD'=2AP. 又1≤AP≤2，∴BB'+CC'+DD'，最大值为2.点评 本题涉及垂线可考虑用面积法来求.例2（2000年“新世纪杯”广西竞赛题）已知△ABC 内接于⊙O ，D 是BC 或其延长线上一点，AE 是△ABC 外接圆的一条弦，若∠BAE=∠CAD.求证：AD·AE 为定值.图23－9(2)(1)E证明 如图23﹣9（1），当点D 是BC 上任意一点且∠BAE=∠CAD 时，连结BE ，则∠E=∠C ，∠BAE=∠CAD ，∴△ABE ∽△ADC. AB AEAD AC∴=，即AD·AE=AB·AC 为定值. 如图23﹣9（2），当点D 在BC 的延长线上时，∠BAE=∠CAD.此时，∠ACD=∠AEB.AEB ∴∆∽ACD ∆. AB AEAD AC∴=， 即AD·AE=AB·AC 为定值.综上所述，当点D 在BC 边上或其延长线上时，只要∠CAD=∠BAE ，总有存AD·AE 为定值 点评 先探求定值，当AD ⊥BC ，AE 为圆的直径时，满足∠BAE=∠CAD 这一条件，不难发现∆ACD ∽∆AEB ，所以AD·AE=AB·AC ，因为已知AB ，AC 均为定值.再就一般情况分点D 在BC 上，点D 在BC 的延长线上两种情况分别证明.过关检测】A 级1.已知：MN 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径.求证：点A 、B 与MN 的距离的和为定值.2.已知：⊙O与⊙O1外切于C，P是⊙O上任一点，PT与⊙O1相切于点T求证：PC:PT是定值.3.⊙O1与⊙O2相交于P、Q两点，过P作任一直线交OO，于点E，交⊙O2于点F.求证：∠EOF为定值。
【中考冲刺】初三数学培优专题 25 平面几何的最值问题(含答案)(难)
平面几何的最值问题阅读与思考几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值． 求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证．2．几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理．3．数形结合法等：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等．例题与求解【例1】在Rt △ABC 中，CB =3，CA =4，M 为斜边AB 上一动点．过点M 作MD ⊥AC 于点D ，过M 作ME ⊥CB 于点E ，则线段DE 的最小值为 ．（四川省竞赛试题）解题思路：四边形CDME 为矩形，连结CM ，则DE = CM ，将问题转化为求CM 的最小值．【例2】如图，在矩形ABCD 中，AB =20cm ，BC =10cm ．若在AC ，AB 上各取一点M ，N ，使BM +MN 的值最小，求这个最小值．（北京市竞赛试题）ADMN解题思路：作点B 关于AC 的对称点B ′，连结B ′M ，B ′A ，则BM = B ′M ，从而BM +MN = B ′M +MN ．要使BM +MN 的值最小，只需使B ′M 十MN 的值最小，当B ′，M ，N 三点共线且B ′N ⊥AB 时，B ′M +MN 的值最小．【例3】如图，已知□ABCD ，AB =a ，BC =b (b a )，P 为AB 边上的一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q ．求AP +BQ 的最小值． （永州市竞赛试题）PDA BQ解题思路：设AP =x ，把AP ，BQ 分别用x 的代数式表示，运用不等式以ab b a 222≥+或a +b ≥2ab（当且仅当a =b 时取等号）来求最小值． 【例4】阅读下列材料：问题 如图1，一圆柱的底面半径为5dm ，高AB 为5dm ，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到C 点的最短路线． 小明设计了两条路线：图2图1摊平沿AB 剪开ACBBA路线1：侧面展开图中的线段AC ．如图2所示．设路线l 的长度为l 1，则l 12 =AC 2=AB 2 +BC 2 =25+(5π) 2=25+25π2． 路线2：高线AB 十底面直径BC ．如图1所示．设路线l 的长度为l 2，则l 22 = (BC +AB )2=(5+10)2 =225．∵l 12 – l 22 = 25+25π2－225=25π2－200=25(π2－8)，∴l 12 ＞l 22 ，∴ l 1＞l 2 ． 所以，应选择路线2．条路线才能使蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到C 点的路线最短． （衢州市中考试题）解题思路：本题考查平面展开一最短路径问题．比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便．比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减．【例5】如图，已知边长为4的正方形钢板，有一个角锈蚀，其中AF =2，BF =1．为了合理利用这块钢板，将在五边形EABCD 内截取一个矩形块MDNP ，使点P 在AB 上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率． （中学生数学智能通讯赛试题）NME DAB解题思路：设DN =x ，PN =y ，则S =xy ．建立矩形MDNP 的面积S 与x 的函数关系式，利用二次函数性质求S 的最大值，进而求钢板的最大利用率．【例6】如图，在四边形ABCD 中，AD =DC =1，∠DAB =∠DCB =90°，BC ，AD 的延长线交于P ，求AB ·S △P AB 的最小值． （中学生数学智能通讯赛试题）1ABD解题思路：设PD =x (x >1)，根据勾股定理求出PC ，证Rt △PCD ∽Rt △P AB ，得到PCPACD AB ，求出AB ，根据三角形的面积公式求出y =AB ·S △P AB ，整理后得到y ≥4，即可求出答案．能力训练A 级1．如图，将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形．容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是 ． （烟台市中考试题）2．D 是半径为5cm 的⊙O 内一点，且OD =3cm ，则过点O 的所有弦中，最短的弦AB = cm ． （广州市中考试题）3．如图，有一个长方体，它的长BC =4，宽AB =3，高BB 1=5．一只小虫由A 处出发，沿长方体表面爬行到C 1，这时小虫爬行的最短路径的长度是 ． （“希望杯”邀请赛试题）DD 1第1题图 第3题图 第4题图 第5题图4．如图，在△ABC 中，AB =10，AC =8，BC =6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CB ，CA 分别相交于点E ，F ，则线段EF 长度的最小值是( ) （兰州市中考试题）A ．42B ．4. 75C ．5D ．4. 85．如图，圆锥的母线长OA =6，底面圆的半径为2．一小虫在圆锥底面的点A 处绕圆锥侧面一周又回到点A ，则小虫所走的最短距离为( ) （河北省竞赛试题） A ．12B ．4πC ．62D ．636．如图，已知∠MON = 40°，P 是∠MON 内的一定点，点A ，B 分别在射线OM ，ON 上移动，当△P AB 周长最小时，∠APB 的值为( ) （武汉市竞赛试题） A ．80° B ．100° C ．120° D ．140° 7．如图， ⌒AD 是以等边三角形ABC 一边AB 为半径的四分之一圆周，P 为AD 上任意一点．若AC =5，则四边形ACBP 周长的最大值是( ) （福州市中考试题） A ．15B ．20C ．15+52D ．15+55NM NMAOPBDCBCA DBA PE第6题图 第7题图 第8题图 8．如图，在正方形ABCD 中，AB =2，E 是AD 边上一点（点E 与点A ，D 不重合），BE 的垂直平分线交AB 于M ，交DC 与N ．(1) 设AE =x ，四边形ADNM 的面积为S ，写出S 关于x 的函数关系式．(2) 当AE 为何值时，四边形ADNM 的面积最大？最大值是多少？ （山东省中考试题）9．如图，六边形ABCDEF 内接于半径为r 的⊙O ，其中AD 为直径，且AB =CD =DE =F A ． (1) 当∠BAD =75°时，求⌒BC 的长； (2) 求证：BC ∥AD ∥FE ；(3) 设AB =x ，求六边形ABCDEF 的周长l 关于x 的函数关系式，并指出x 为何值时，l 取得最大值．10．如图，已知矩形ABCD 的边长AB =2，BC =3，点P 是AD 边上的一动点（P 异于A 、D ）．Q 是BC边上任意一点．连结AQ，DQ，过P作PE∥DQ交于AQ于E，作PF//AQ交DQ于F．(1) 求证：△APE∽△ADQ；(2) 设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？(3) 当Q在何处时，△ADQ的周长最小？（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必证明）（无锡市中考试题）B Q11．在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6．动点M，N分别在两腰AB，AC上(M不与A，B重合，N不与A，C重合)，且MN∥BC．将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P．(1)当MN为何值时，点P恰好落在BC上？(2)设MN=x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式，当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（宁夏省中考试题）B CAB级1．已知凸四边形ABCD中，AB+AC+CD= 16，且S四边彤ABCD=32，那么当AC= ，BD= 时，四边形ABCD面积最大，最大值是．（“华杯赛”试题）2．如图，已知△ABC的内切圆半径为r，∠A=60°，BC=23，则r的取值范围是．（江苏省竞赛试题）DBAB CAA第2题图第3题图第4题图第5题图3．如图⊙O的半径为2，⊙O内的一点P到圆心的距离为1，过点P的弦与劣弧⌒AB组成一个弓形，则此弓形面积的最小值为．4．如图，△ABC的面积为1，点D，G，E和F分别在边AB，AC，BC上，BD＜DA，DG∥BC，DE ∥AC ，GF ∥AB ，则梯形DEFG 面积的最大可能值为 ．（上海市竞赛试题）5．已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶点A ，B 分别在平面直角坐标系的x 轴，y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连结OC ，则OC 的最大值是 ．（潍坊市中考试题）6．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当P A + PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为( ) （鄂州市中考试题）A ．17172B ．17174C ．17178D ．3QADBCA BDCPP第6题图 第7题图 第8题图7．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，点P 是BC 边上不与点B ，C 重合的任意一点，连结AP ，过点P 作PQ ⊥AP 交DC 于点Q ．设BP 的长为x cm ，CQ 的长为y cm ． (1) 求点P 在BC 上运动的过程中y 的最大值；(2) 当y =41cm 时，求x 的值． （河南省中考试题）8．如图，y 轴正半轴上有两点A (0，a )，B (0，b )，其中a >b >0．在x 轴上取一点C ，使∠ACB 最大，求C 点坐标． （河北省竞赛试题）9．如图，正方形ABCD 的边长为1，点M ，N 分别在BC ，CD 上，使得△CM N 的周长为2．求： (1) ∠MAN 的大小；(2) △MAN 的面积的最小值． （“宇振杯”上海市竞赛试题）10，如图，四边形ABCD 中，AD = CD ，∠DAB =∠ACB =90°，过点D 作DE ⊥AC 于F ，DE 与AB相交于点E ．(1) 求证：AB ·AF =CB ·CD ； (2)已知AB =15cm ，BC =9cm ，P 是射线DE 上的动点，设DP =x cm(x >0)，四边形BCDP 的面积为y cm 2． ①求y 关于x 的函数关系式；②当x 为何值时，△PBC 的周长最小？求出此时y 的值．（南通市中考试题）MNExCB第6题图 第7题图 第8题图 第9题图11．如图，已知直线l ：k kx y 42-+=(k 为实数)．(1) 求证：不论k 为任何实数，直线l 都过定点M ，并求点M 的坐标；(2) 若直线l 与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，求△AOB 面积的最小值．（太原市竞赛试题）12．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =x ，点F 在边AB 上，点G ，H 在边BC 上，四边形EFGH 是一个边长为y 的正方形，且AE =AC ． (1) 求y 关于x 的函数解析式；(2) 当x 为何值时，y 取得最大值？求出y 的最大值．（上海市竞赛试题）平面几何的最值问题例1125提示：当CM ⊥AB 时，CM 值最小，CM ＝125AC BC AB ⋅= 例2 如图，B ′M ＋MN 的最小值为点B ′到AB 的距离B ′F ，BE ＝45AB BCAC⋅=cm ，BB ′＝85cm ，AE ＝()2222204585AB BE --=．在△ABB ′中，由12BB ′•AE ＝12AB •B ′F ，得B ′F ＝16cm ．故BM ＋MN 的最小值为16cm ． 例3 由△APD ∽△BPQ ，得AP AD BP BQ =，即BQ ＝()b a x AD BP AP x-⋅=，∴AP ＋BQ ＝x ＋ab b x -．∵x ＋ab x ≥2ab x ab x ⋅=仅当x ＝abx即x ab ，上式等号成立．故当AP ab ，AP ＋BQ 最小，其最小值为ab－b ．例4 ⑴22125l π=+，22l ＝49，l 1＜l 2，故要选择路线l 较短． ⑵()2221l h r π=+，()2222l h r =+，()2221244l l r r h π⎡⎤-=--⎣⎦．当r ＝244h π-时，2212l l =，当r ＞244h π-时，2212l l >，当r ＜244hπ-时，2212l l <． 例5 设DN ＝x ，PN ＝y ，则S ＝xy ，由△APQ ∽△ABF ，得()41242y x -=--即x ＝10－2y ，代入S ＝xy 得S ＝xy ＝y (10－2y )，即S ＝－2252522y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，因3≤y ≤4，而y ＝52不在自变量y 的取值范围内，所以y ＝52不是极值点，当y ＝3时，S (3)＝12，当y ＝4时，S (4)＝8，故S max ＝12．此时，钢板的最大利用率21214212-⨯⨯＝80%． 例6 设PD ＝x (x ＞1)，则PC 21x -，由R t △PCD ∽△P AB ，得AB ＝21CD PA PC x ⋅=-y ＝AB •S △P AB ，则y ＝12AB ×P A ×AB ＝()()2121x x +-，求y 的最小值，有下列不同思路：①配方：y ＝21212242121x x x x --++=+--1221x x -=-x ＝3时，y 有最小值4．②运用基本不等式：y ＝122221x x -++≥- 321221x x -⋅-＋2＝4，∴当12x -＝21x -，即当x ＝3时，y 有最小值4. ③借用判别式，去分母，得x 2＋2（1－y ）x ＋1＋2y ＝0，由△＝4（1－y ）2－4（1＋2y ）＝4y （y －4）≥0，得y ≥4，∴y 的最小值为4. A 级1. 17 提示：当两张纸条的对角重合时，菱形周长最大.2. 83.74 4. D 5. D 6. B7. C 提示：当点P 与点D 重合时，四边形ACBP 的周长最大.8. （1）连结ME ，过N 作NF ⊥AB 于F ，可证明Rt △EB A ≌Rt △MNF ，得MF ＝AE ＝x. ∵ME 2＝AE 2＋AM 2，故MB 2＝x 2＋AM 2，即（2－AM ）2＝x 2＋AM 2，AM ＝1－14x 2，∴S ＝2AM DN +×AD ＝2AM AF+×2＝AM ＋AM ＋MF ＝2 AM ＋AE ＝2（1－14x 2）＋x ＝－12x 2＋x ＋2.（2）S ＝－12（x 2－2 x ＋1）＋52＝－12（x －1）2＋52. 故当AE ＝x ＝1时，四边形ADNM 的面积最大，此时最大值为52. 9. （1）BC 长为23rπ. （2）提示：连结BD . （3）过点B 作BM ⊥AD 于M ，由（2）知四边形ABCD为等腰梯形，从而BC ＝AD －2 AM ＝2r －2 AM . 由△BAM ∽△DAB ，得AM ＝2AB AD ＝22x r ，∴BC ＝2r－2x r . 同理，EF ＝2 r －2x r . l ＝4 x ＋2（2 r －2x r ）＝－xr（x －r ）2＋6 r （0＜x 2 r ）. . 当x ＝r时，l 取得最大值6 r .10. （1）∵∠APE ＝∠ADQ ，∠AEP ＝∠AQD ，∴△APE ∽△ADQ . （2）由△APE ∽△ADQ ，△PDF ∽△ADQ ，S △PEF ＝12S □PEQF ，得S △PEF ＝－13x 2＋x ＝－13（x －32）2＋34. 故当x ＝32时，即P 是AD 的中点时，S △PEF 取得最大值，（3）作A 关于直线BC 的对称点A′，连结DA′交BC 于Q ，则这个Q 点就是使△ADQ 周长最小的点，此时Q 是BC 的中点.11. （1）点P 恰好在BC 上时，由对称性知MN 是△ABC 的中位线，∴当MN ＝12BC ＝3时，点P 在BC 上. （2）由已知得△ABC 底边上的高h ＝225-3＝4. ①当0＜x ≤3时，如图1，连结AP 并延长交BC 于点D ，AD 与MN 交于点O .由△AMN ∽△ABC ，得AO ＝23x ，y ＝S △PMN ＝S △AMN ＝12·x ·23x ＝13x 2即y ＝13x 2. 当＝3时，y 的值最大，最大值是3. ②当3＜x ＜6时，如图2，设△PMN 与BC 相交于点E ，F ，AP 与BC 相交于D . 由①中知AO ＝23x ，∴AP ＝43x ，∴PD ＝AP －AD ＝43x －4，∵△PEF ∽△ABC . ，∴PEFABC S S ∆∆＝(PD AD )2＝(4434x -)2，即PEF ABC S S ∆∆＝2-3)9x （. ∵S △ABC ＝12，∴S △PEF ＝43（x －3）2. ∴y ＝S △AMN －S △PEF ＝13x 2－43（x －3）2＝－x 2＋8x －12＝－（x －4）2＋4. 故当x ＝4时，y 的最大值为4. 综上，当x ＝4时，y 的值最大，最大值为4. B 级1. 8 2 32 提示：当∠CAB ＝∠ACD ＝90°时，四边形ABCD 的面积达到最大值.2. 0＜r ≤1 提示：设BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，b ＋c ＝3（r ＋1），又12bc sin60°＝S △ABC ＝12（a ＋b ＋c ）r ，即12bc ·32＝12［33r ＋1）］r ，. bc ＝4r （r ＋2）. b ，c 为方程x 2－3r ＋1）x ＋4r （r ＋2）＝0的两个根，由△≥0，得（r ＋1）≤22. 因r ＞0，r ＋1＞0，故r ＋1≤2，即0＜r ≤1. 3.249π3提示：过P 作垂直于OP 的弦AB ，此时弓形面积最小. 4.13 提示：设AD AB ＝x ，则BD BA ＝1－x ＝CG CA ，ADGABCS S ∆∆＝x 2，BDE ABC S S ∆∆＝（1－x ）2＝CFG ABC S S ∆∆，S 梯形DEFG＝1―x 2―2（1－x ）2＝－3（x －23）2＋13.5. 312+a 提示：当OA ＝OB 时，OC 的长最大.6. C7. （1）由Rt △ABP ∽Rt △PCQ ，得BP CQ ＝AB CP ，即x y ＝44x -，y ＝－14（x －2）2＋1（0＜x ＜4）. 当x ＝2时, y 最大值＝1cm. （2）由14＝－14（x －2）2＋1，得x ＝（2＋3）cm 或（2－3）cm. 8. 当过A ，B 两点的圆与x 轴正半轴相切时，切点C 为所求. 作O′D ⊥A B 于D . ，O′D 2＝ O′B 2－BD 2＝2()2a b +－2()2a b -＝ab ，O′D ＝ab 故点C 坐标为（ab ，0）.9. （1）如图，延长CB 到L ，使BL ＝DN ，则Rt △ABL ≌Rt △ADN ，得AL ＝AN ，∠1＝∠2，又∵N ＝2―CN ―CM ＝DN ＋BM ＝BL ＋BM ＝ML ，且AM ＝AM ，∠NAL ＝∠DAB ＝90°. ∴△AMN ≌△AML ，故∠MAN ＝∠MAL＝902＝45°. （2）设CM ＝x ，CN ＝y ，MN ＝z ，则2222222,2,x y z x y z x y z x y z ++==--⎧⎧⇔⎨⎨+=+=⎩⎩，于是，（2―y ―z ）2＋y 2＝z 2. 整理得2y 2＋（2z －4）y ＋（4－4z ）＝0. ∵y ＞0，故△＝4（z －2）2－32（1－z ）≥0，即（z ＋2＋22）（z ＋2－22）≥0. 又∵z ＞0，故z ≥22－2，当且仅当x ＝y ＝2－2时等号成立. 由于S △AMN ＝S △AML ＝12·ML ·AB ＝12 MN ×1＝2z ，因此，△AMN 的面积的最小值为2－1.10. （1）提示：证明△ADF ∽△BAC . （2）①AB ＝15，BC ＝9，∠ACB ＝90°，∴AC 22AB BC -＝2215912-=，∴CF ＝AF ＝6，∴()()19632702y x x x =+⨯=+>．②∵BC ＝９（定值），∴△PBC 的周长最小，就是PB ＋PC 最小，由（1）知，点C 关于直线DE 的对称点是点A ，所以PB ＋PC ＝PB ＋P A ，故只要求PB ＋P A 最小．显然当P 、A 、B 三点共线时PB ＋P A 最小，此时DP ＝DE ，PB ＋P A ＝AB ．由（1），角∠ADF ＝∠F AE ，∠DF A ＝∠ACB ＝90°，得△DAF ∽△ABC ．EF ∥BC ，得AE ＝BE ＝12AB ＝152，EF ＝92．∴ AF ∶BC ＝AD ∶AB ，即6∶9＝AD ∶15，∴AD ＝10．Rt △ADF 中，AD ＝10，AF ＝6，∴DF ＝8．∴DE ＝DF ＋FE ＝8＋92＝252． ∴当x ＝252时，△PBC 的周长最小，此时y ＝1292． 11．（1）令k ＝1，得y ＝x ＋2；令k ＝2，得y ＝2x ＋6，联立解得x ＝4，y ＝2，故定点（4，2）． （2）取x ＝0，得OB ＝2－4k （k ＜0），取y ＝0，得OA ＝()420k k k-<．于是△ABO 的面积()()114224022k S OA OB k k k-==-<，化简得()28820k S k +-+=．由()28640S ∆=--≥得2160S S -≥，故S ≥16．将S ＝16代入上述方程，得k ＝12-．故当k ＝12-，S 值最小． 12．（1）如图，延长EF 交AC 于点D ，DF ∥BC ，Rt △ADF ∽Rt △ACB ，AE ＝AC ＝x ，()2222DE x x y xy y =--=-22xy y y x y x -+-=，2x －2y －xy ＝22x xy y -，两边平方整理得(x 2＋2x ＋2)y 2－(x 3＋2x 2＋4x )y ＋2x 2＝0．解得2222x y x x =++(y ＝x 舍去) ． （2）由（1）22122222y x x ==+++≤ ．当且仅当2x x =，即2x =，上式等号成立．故当2x =，y 去最大21．。
完整版)解三角形中的最值问题
完整版)解三角形中的最值问题解三角形中的最值问题1.在三角形ABC中，已知角A,B,C所对边长分别为a,b,c，且a²+b²=2c²，求cosC的最小值。
解析：由余弦定理知cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)，代入已知条件得cosC≥-1/2.因此cosC的最小值为-1/2.2.在三角形ABC中，已知角B=60°，AC=3，求AB+2BC的最大值。
解析：根据余弦定理，AB²=AC²+BC²-2AC·BCcosB，代入已知条件得AB²=9+BC²-6BC·1/2，即AB²=BC²-3BC+9.由于AB+2BC=AB+BC+BC，因此可将其转化为求AB+BC的最大值。
设x=BC，则AB²=x²-3x+9，求导得x=3/2时，AB+BC取得最大值，即AB+2BC的最大值为9/2.3.在三角形ABC中，已知角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a≥b，sinA+3cosA=2sinB。
（1）求角C的大小；（2）求(a+b)/c的最大值。
解析：（1）由sinA+3cosA=2sinB得2sin(A+π/3)=2sinBsinA/3，因此sin(A+π/3)=sinB/3.由于a≥b，因此A≥B，所以A+π/3=B/3，即A=π/3-B/3.由正弦定理得c/sinC=2b/sinB，代入已知条件得c=2b(sinA+3cosA)/sinB=6b/√3=2√3b，因此角C的大小为π/3.2）由正弦定理得(a+b)/c=sinA+sinB/sinC，代入已知条件得(a+b)/c=2sinB/sinC，即sinC=2sinB(a+b)/c。
由于sinC≤1，因此(a+b)/c≤1/2.当且仅当A=π/2时，(a+b)/c取得最大值1/2.4.在三角形ABC中，已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a=___。
八年级数学上尖子生全等三角形及轴对称提优试题及详细解析
精心整理八年级数学上尖子生全等三角形及轴对称提优试题及详尽分析一．选择题（共 1 小题）1．如图， Rt△ACB中，∠ ACB=90°，△ ABC的角均分线 AD、 BE订交于点 P，过 P 作 PF⊥AD 交 BC 的延伸线于点 F，交 AC 于点 H，则以下结论：①∠ APB=135°；② BF=BA；③ PH=PD；④连结 CP，CP均分∠ ACB，此中正确的选项是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④二．解答题（共8 小题）2．如图（ 1），点 O 是等边△ ABC内一点，将△ AOB 绕点 A 逆时针旋转 60°得△ ADC，连结OD．（1）求证：△ DOA是等边三角形；（2）如图（ 2），当∠ AOB=150°时，判断△ COD的形状，并说明原因；（3）如图（ 3），当∠ AOB=110°时，研究：当∠ COB为多少度时，△ COD是等腰三角形．3．以下图，∠ BAC=∠ABD=90°，AC=BD，点 O 是 AD，BC的交点，点 E 是 AB 的中点．（1）图中有哪几对全等三角形？请写出来；（2）试判断 OE和 AB 的地点关系，并赐予证明．4．在△ ABC中， AB=AC，点 D 是直线 BC上一点（不与 B，C 重合），以 AD 为一边在 AD 的右边作△ADE，使 AD=AE，∠ DAE=∠BAC，连结 CE．（1）如图 1，当点 D 在线段 BC上时，假如∠ BAC=90°，则∠ BCE=°．（2）设∠ BAC=α，∠ BCE=β．①如图 2，当点 D 在线段 BC上挪动时，α，β之间有如何的数目关系？请说明原因．②当点 D 在直线 BC 上挪动时，α，β之间有如何的数目关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出你的结论．5．如图，△ ABC 中，∠ BAC=90°， AB=AC， AD⊥BC，垂足是 D， AE 均分∠ BAD，交 BC 于点 E．在△ABC外有一点 F，使 FA⊥ AE，FC⊥BC．（1）求证： BE=CF；（2）在 AB 上取一点 M ，使 BM=2DE，连结 MC，交 AD 于点 N，连结 ME．求证： ME⊥BC．6．如图，在四边形 ABCD中， AD=BC=4，AB=CD，BD=6，点 E 从 D 点出发，以每秒 1 个单位的速度沿 DA 向点 A 匀速挪动，点 F 从点 C 出发，以每秒 3 个单位的速度沿 C→B→C作匀速挪动，点 G 从点 B 出发沿 BD 向点 D 匀速挪动，三个点同时出发，当有一个点抵达终点时，其他两点也随之停止运（1）试证明： AD∥ BC．（2）在挪动过程中，小明发现当点 G 的运动速度取某个值时，有△ DEG与△ BFG全等的状况出现，请你研究当点 G 的运动速度取哪些值时，△DEG与△ BFG全等．7．如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°，AC=BC，∠ PCQ=45°，把∠ PCQ绕点 C 旋转，在整个旋转过程中，过点 A 作 AD⊥CP，垂足为 D，直线 AD 交 CQ 于 E．（1）如图①，当∠ PCQ在∠ ACB内部时，求证： AD+BE=DE；（2）如图②，当 CQ在∠ ACB外面时，求证： AD﹣BE=DE；（3）在（ 1）的条件下，若 CD=18，S△BCE=2S△ACD，求 AE的长．（直接写结果）8．已知△ ABC，分别以 AB、 AC 为边作△ ABD 和△ ACE，且 AD=AB，AC=AE，∠ DAB=∠ CAE，连结DC 与 BE，G、F 分别是 DC与 BE 的中点（1）如图 1，DG BF（用＞、＜或 =填空）（2）如图 2，连结 AG，判断△ AFG的形状，并说明原因；（3）如图 3，若∠ DAB=100°，则∠ AFG=；（4）在图 3 中，若∠ DAB=α，∠ AFG=β，直接写出α与β的关系．9．△ ABC中，射线 AD 均分∠ BAC， AD 交边 BC于 E 点．（1）如图 1，若 AB=AC，∠ BAC=90°，则；（2）如图 2，若 AB≠AC，则（ 1）中的结论能否仍建立？若建立，请证明；若不建立，请说明原因；（3）如图 3，若 AB＞ AC，∠ BAC=∠BDC=90°，∠ ABD 为锐角， DH⊥AB 于 H，则线段 AB、 AC、BH 之间的数目关系是，并证明．2018 年 10 月 03 日陆枳彤的初中数学组卷参照答案与试题分析一．选择题（共 1 小题）1．如图， Rt△ACB中，∠ ACB=90°，△ ABC的角均分线 AD、 BE订交于点 P，过 P 作 PF⊥AD 交 BC 的延伸线于点 F，交 AC 于点 H，则以下结论：①∠ APB=135°；② BF=BA；③ PH=PD；④连结 CP，CP均分∠ ACB，此中正确的选项是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【解答】解：在△ ABC中，∵∠ ACB=90°，∴∠ BAC+∠ABC=90°，∴∠ BAD+∠ABE= （∠ BAC+∠ABC）=45°，∴∠ APB=135°，故①正确．∴∠ BPD=45°，又∵ PF⊥AD，∴∠ FPB=90°+45°=135°，∴∠ APB=∠FPB，又∵∠ ABP=∠FBP，BP=BP，∴△ ABP≌△ FBP，∴∠ BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，故②正确．在△ APH和△ FPD中，∵∠ APH=∠FPD=90°，∠ PAH=∠BAP=∠BFP，PA=PF，∴△ APH≌△ FPD，∴PH=PD，故③正确．∵△ ABC的角均分线 AD、BE订交于点 P，∴点 P 到 AB、AC 的距离相等，点P 到 AB、BC的距离相等，∴点 P 到 BC、AC的距离相等，∴点 P 在∠ ACB的均分线上，∴CP均分∠ ACB，故④正确．应选： D．二．解答题（共8 小题）2．如图（ 1），点 O 是等边△ ABC内一点，将△ AOB 绕点 A 逆时针旋转 60°得△ ADC，连结OD．（1）求证：△ DOA是等边三角形；（2）如图（ 2），当∠ AOB=150°时，判断△ COD的形状，并说明原因；（3）如图（ 3），当∠ AOB=110°时，研究：当∠ COB为多少度时，△ COD是等腰三角形．【解答】（1）证明：∵△ AOB绕点 A 逆时针旋转 60°得△ ADC，∴AO=AD，∠ OAD=60°，∴△ DOA为等边三角形；（2）解：△ COD为直角三角形．原因以下：∵△ AOB绕点 A 逆时针旋转 60°得△ ADC，∴∠ ADC=∠AOB=150°，∵△ DOA为等边三角形，∴∠ ADO=60°，∴∠ ODC=∠ADC﹣∠ ADO=150°﹣ 60°=90°，∴△ COD为直角三角形；（3）解：∵△ DOA为等边三角形，∴∠ AOD=60°，∵∠ ADC=∠AOB=110°，∠ ADO=60°，∴∠ ODC=∠ADC﹣∠ ADO=110°﹣ 60°=50°，当 OD=OC 时，∠ OCD=∠ODC=50°，则∠ DOC=180°﹣50°﹣ 50°=80°，因此∠ BOC=360°﹣∠ AOB﹣∠AOD﹣∠ DOC=360°﹣110°﹣ 60°﹣ 80°=110°；当 CO=CD时，∠ DOC=∠OCD=50°，因此∠ BOC=360°﹣∠ AOB﹣∠ AOD﹣∠ DOC=360°﹣110°﹣ 60°﹣50°=140°；当 DO=DC时，∠ DOC=∠DCO，则∠ DOC= （180°﹣ 50°）=65°，因此∠ BOC=360°﹣∠ AOB﹣∠ AOD ﹣∠ DOC=360°﹣110°﹣60°﹣65°=125°；综上所述，当∠ COB为 110°或 125°或 140°时，△ COD是等腰三角形．3．以下图，∠ BAC=∠ABD=90°，AC=BD，点 O 是 AD，BC的交点，点 E 是 AB 的中点．（1）图中有哪几对全等三角形？请写出来；（2）试判断 OE和 AB 的地点关系，并赐予证明．【解答】解：（ 1）△ ABC≌△ BAD，△ AOE≌△ BOE，△ AOC≌△ BOD；（2）OE⊥AB．原因以下：在 Rt△ABC和 Rt△ BAD中，，∴△ ABC≌△ BAD（SAS），∴∠ DAB=∠CBA，∴OA=OB，∵点 E 是 AB 的中点，∴OE⊥AB．4．在△ ABC中， AB=AC，点 D 是直线 BC上一点（不与 B，C 重合），以 AD 为一边在 AD 的右边作△ADE，使 AD=AE，∠ DAE=∠BAC，连结 CE．（1）如图 1，当点 D 在线段 BC上时，假如∠ BAC=90°，则∠ BCE= 90° °．（2）设∠ BAC=α，∠ BCE=β．①如图 2，当点 D 在线段 BC上挪动时，α，β之间有如何的数目关系？请说明原因．②当点 D 在直线 BC 上挪动时，α，β之间有如何的数目关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出你的结论．【解答】解：（ 1）∵∠ DAE=∠BAC，∠ BAC=∠BAD+∠ DAC=∠ EAC+∠ DAC；∴∠ CAE=∠ BAD；在△ ABD和△ ACE中，∴△ ABD≌△ ACE（SAS）；∴∠ B=∠ACE；∴∠ BCE=∠ BCA+∠ACE=∠BCA+∠B=180°﹣∠BAC=90°；故答案为 90°；（2）①由（ 1）中可知β=180﹣°α，∴α、β存在的数目关系为α+β=180°；②当点 D 在射线 BC上时，如图 1，同（ 1）的方法即可得出，△ ABD≌△ ACE（ SAS）；∴∠ ABD=∠ACE，∴β=∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠ABD=180°﹣∠ BAC=180°﹣α，∴α+β=180；°当点 D 在射线 BC的反向延伸线上时，如图 2，同（ 1）的方法即可得出，△ ABD≌△ ACE（ SAS）；∴∠ ABD=∠ACE，∴β=∠BCE=∠ACE﹣∠ ACB=∠ABD﹣∠ ACB=∠BAC=α，∴α=β．5．如图，△ ABC 中，∠ BAC=90°， AB=AC， AD⊥BC，垂足是 D， AE 均分∠ BAD，交 BC 于点E．在△ABC外有一点 F，使 FA⊥ AE，FC⊥BC．（1）求证： BE=CF；（2）在 AB 上取一点 M ，使 BM=2DE，连结 MC，交 AD 于点 N，连结 ME．求证：ME⊥BC．【解答】证明：（1）∵∠ BAC=90°，AF⊥AE，∴∠ 1+∠EAC=90°∠2+∠ EAC=90°∴∠ 1=∠2，又∵ AB=AC，∴∠ B=∠ACB=45°，∵FC⊥BC，∴∠ FCA=90°﹣∠ ACB=90°﹣ 45°=45°，∴∠ B=∠FCA，在△ ABE和△ ACF中，，∴△ ABE≌△ ACF（ ASA），∴BE=CF；（2）如图，过点 E 作 EH⊥ AB 于 H，则△ BEH是等腰直角三角形，∴HE=BH，∠ BEH=45°，∵AE 均分∠ BAD， AD⊥ BC，∴DE=HE，∴DE=BH=HE，∵BM=2DE，∴HE=HM，∴△ HEM 是等腰直角三角形，∴∠ MEH=45°，∴∠ BEM=45°+45°=90°，∴ME⊥ BC．6．如图，在四边形 ABCD中， AD=BC=4，AB=CD，BD=6，点 E 从 D 点出发，以每秒 1 个单位的速度沿 DA 向点 A 匀速挪动，点 F 从点 C 出发，以每秒 3 个单位的速度沿 C→B→C作匀速挪动，点 G 从点 B 出发沿 BD 向点 D 匀速挪动，三个点同时出发，当有一个点抵达终点时，其他两点也随之停止运动．（1）试证明： AD∥ BC．（2）在挪动过程中，小明发现当点 G 的运动速度取某个值时，有△ DEG与△ BFG全等的状况出现，请你研究当点 G 的运动速度取哪些值时，△ DEG与△ BFG全等．【解答】（1）证明：在△ ABD和△ CDB中，∴△ ABD≌△ CDB，∴∠ ADB=∠CBD，∴AD∥BC；（2）解：设运动时间为t ，点 G 的运动速度为 v，当 0＜ t≤时，若△ DEG≌△ BFG，则，∴，∴，∴v=3；若△ DEG≌△ BGF，则，∴，∴（舍去）；当＜t≤时，若△ DEG≌△ BFG，则，∴，∴，∴v= ；若△ DEG≌△ BGF，则，∴，∴，∴v=1．综上，点 G 的速度为 3 或或1．7．如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°，AC=BC，∠ PCQ=45°，把∠ PCQ绕点 C 旋转，在整个旋转过程中，过点 A 作 AD⊥CP，垂足为 D，直线 AD 交 CQ 于 E．（1）如图①，当∠ PCQ在∠ ACB内部时，求证： AD+BE=DE；（2）如图②，当 CQ在∠ ACB外面时，求证： AD﹣BE=DE；（3）在（ 1）的条件下，若 CD=18，S△BCE=2S△ACD，求 AE的长．（直接写结果）【解答】解：（ 1）如图①，延伸DA 到 F，使 DF=DE，∵CD⊥AE，∴CE=CF，∴∠ DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ ACD+∠ACF=∠DCF=45°，又∵∠ ACB=90°，∠ PCQ=45°，∴∠ ACD+∠BCE=90°﹣ 45°=45°，∴∠ ACF=∠ BCE，在△ ACF和△ BCE中，∵，∴△ ACF≌△ BCE（ SAS），∴AF=BE，∴AD+BE=AD+AF=DF=DE，即 AD+BE=DE；（2）如图②，在 AD 上截取 DF=DE，∵CD⊥AE，∴CE=CF，∴∠ DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ ECF=∠ DCE+∠ DCF=90°，∴∠ BCE+∠ BCF=∠ ECF=90°，又∵∠ ACB=90°，∴∠ ACF+∠ BCF=90°，∴∠ ACF=∠ BCE，∵在△ ACF和△ BCE中，，∴△ ACF≌△ BCE（ SAS），∴AF=BE，∴AD=AF+DF=BE+DE，即 AD﹣ BE=DE；（3）∵∠ DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ ECF=45°+45°=90°，∴△ ECF是等腰直角三角形，∴CD=DF=DE=18，∵S△BCE=2S△ACD，∴AF=2AD，∴AD=×18=6，∴AE=AD+DE=6+18=24．8．已知△ ABC，分别以 AB、 AC 为边作△ ABD 和△ ACE，且 AD=AB，AC=AE，∠ DAB=∠CAE，连结 DC 与 BE，G、F 分别是 DC与 BE 的中点（1）如图 1，DG =BF（用＞、＜或 =填空）（2）如图 2，连结 AG，判断△ AFG的形状，并说明原因；（3）如图 3，若∠ DAB=100°，则∠ AFG= 40°；（4）在图 3 中，若∠ DAB=α，∠ AFG=β，直接写出α与β的关系．【解答】解：（ 1）∵∠ DAB=∠CAE，∴∠ DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，∴∠ DAC=∠BAE．在△ ADC和△ ABE，∴△ ADC≌△ ABE（SAS），∴DC=BE，∵G、 F 分别是 DC与 BE的中点，∴DG= CD， BF= BE，∴DG=BF；故答案为： =；（2）如图 2，连结 AG，∵△ ADC≌△ ABE，∴CD=BE，∠ ADC=∠ ABE，∵G、 F 分别是 DC与 BE的中点，∴DG= CD， BF= BE，∴DG=BF，在△ ADG与△ ABF中，，∴△ ADG≌△ ABF，∴AG=AF，∴△ AFG是等腰三角形；（3）如图 3，连结 AG．∵△ ADC≌△ ABE，∴∠ ADC=∠ABE．AD=AB．∵G、 F 分别是 DC与 BE的中点，∴DG= DC， BF= BE，∴DG=BF．在△ ADG和△ ABF中，∴△ ADG≌△ ABF（SAS），∴AG=AF，∠ DAG=∠BAF，∴∠ AGF=∠AFG，∠ DAG﹣∠ BAG=∠BAF﹣∠ BAG，∴∠ DAB=∠GAF．∵∠ DAB=100°，∴∠ GAF=100°．∵∠ GAF+∠AFG+∠AGF=180°，精心整理故答案为： 40°；（4）∵∠ DAB=a，∴∠ GAF=a．∵∠ GAF+∠AFG+∠AGF=180°，∴a+2β=180．°9．△ ABC中，射线 AD 均分∠ BAC， AD 交边 BC于 E 点．（1）如图 1，若 AB=AC，∠ BAC=90°，则=；（2）如图 2，若 AB≠AC，则（ 1）中的结论能否仍建立？若建立，请证明；若不建立，请说明原因；（3）如图 3，若 AB＞ AC，∠ BAC=∠BDC=90°，∠ ABD 为锐角， DH⊥AB 于 H，则线段 AB、 AC、BH 之间的数目关系是AB﹣ AC=2BH．，并证明．【解答】解：（ 1）∵ AB=AC， AD 均分∠ BAC，∴BE=CE．∴．∵AB=AC，∴，∴= ．故答案为： =；（2）建立，证明：作 EH⊥AB 于 H，EQ⊥AC 于 Q， AN⊥BC 于 N，则 EH=EQ，设 AB=c，AC=b，BE=m，EC=n，EH=h1， AN=h2，∵S△ABE： S△ AEC= h1c÷ h1b=c：b，S△ ABE：S△AEC= h2m÷h2n=m：n，∴c：b=m：n，即 = ；（3）AB﹣AC=2BH．原因：作 DQ⊥ AC交 AC 的延伸线于 Q，∴∠ Q=90°∵DH⊥AB，AD 均分∠ BAC，精心整理∴DH=DQ，∠ AHD=90°，∠ HAD=∠ CAD．∴∠ AHD=∠Q．在△ AHD 和△ AQD 中，，∴△ AHD≌△ AQD（AAS），∴AH=AQ．∵∠ BAC=90°，∠ AHD=∠Q=90°，∴四边形 AHDQ是矩形，∴∠ HDQ=90°．∵∠ BDC=90°，∴∠ HDQ=∠BDC，∴∠ HDQ﹣∠ HDC=∠BDC=∠HDC，∴∠ CDQ=∠BDH．在△ DHB和△ DQC中∴△ DHB≌△ DQC（AAS），∴BH=CQ，∵AB﹣BH=AH，∴AB﹣BH=AQ，∴AB﹣BH=AC+CQ，∴AB﹣AC=2BH．故答案为： AB﹣AC=2BH．。
九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十一讲 解直角三角形(含答案)
第十一讲 解直角三角形趣题引路】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220kmB 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20km ，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15km/h 的速度沿北偏东30°方向往C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响，若你是该市气象局的首席气象专家，请你对此次台风对该市的影响情况作出预测。
（1）该市是否会受到这次台风的影响？请说明理由；（2）若会受到台风的影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？ABCD E F图11-1解析 （1）作AD BC ⊥于点D ，（如图11-1）， °220,30111.2AD B AD AB km =∠=∴==，由题意知，当A 点距台风中心不超过160km 时，就会受台风影响.由于AD=110＜160，所以A 市会受这次台风影响；（2）在BD 及BD 的延长线上分别取E 、F 两点，使AE=AF=160km ，则当台风中心从到达E 点时起，直到离开F 点，该市都会受到这次台风的影响，),2).DE AE km EF DE km ===∴==∴)h =； （3）当台风中心位于D 时，A 市所受这次这次台风的风力最大，其最大风力为()11012 6.520-=级知识延伸】解三角形，除运用锐角三角函数知识，往往还要用到我们已经学过的勾股定理，以及另两个非常重要的定理：正弦定理和余弦定理.C图11-2如图11-2，在△ABC 中，AC=b ,AB=c ,BC=a .过A 作BC 上的高，长为ha ，则有sin ,ha B c =sin ,ha C b =于是有sin sin ,c B b C ⋅=⋅于是，得sin sin b cB C=，同理可得,sin sin a b A B =因此 ,sin sin sin a b cA B C==这就是正弦定理，推而广之可得一个重要的三角形面积计算公式 111sin sin sin .222ABC S ab C ac B bc A ∆===在上图中，222cos cos ,cos ,BD AB B c B CD BC BD a c B AB BD AD =⋅=⋅=-=-⋅-= ()()222222,cos cos ,AC DC c c B b a c B =-∴-⋅=--⋅得2222cos b a c ac B =+-，同理可得2222cos a b c bc A =+-，2222cos c a b ab C =+-.这就是余弦定理.运用正弦定理和余弦定理可以将三角形的范围由直角三角形扩充到斜三角形.例1 已知，如图11-3，在四边形ABCD 中AD=CD,AB=7,tan 2,A B D =∠=∠=90°，求BC 的长.ABD CE图11-3解析 延长AB 与DC 交于点E ，∠D=90°，tan 2,DEA AD∴==得DE=2AD,CD AD = .EC DC AD ∴==∠BCE=180°-∠BCD=∠A ,tan 2.BEBCE BC∴∠== 设BC=x ，则BE=2x ，因而,又222,AE AD DE =+()))()222127772,1.33x x x BC ∴+=+==-=解得或舍去，故点评：一般图形化为直角三角形，结合方程或二次函数，往往能够简捷地解决问题.例2 在四边形ABCD 中，AB=4,BC=3,CD=12,∠B=90°，36S =四边形ABCD ,求AD 的长.DC图11-4解析 如图11-4，连接AC ，则△ABC 为Rt △，于是AC=5,1136363430.sin 22ACD ABC S S AC CD ACD ∆∆∴=-=-⨯⨯=∴⋅⋅∠=30°， 即1512sin ACD 2⨯⨯⋅∠=30°，sin 1,ACD ACD ∴∠=∴∠=90°. ∴由勾股定理知13.AD ==点评：运用公式1sin 2ABC S ab C ∆=不但可以求三角形的面积，而且可以由面积求边角的大小好题引路】佳题新题品味.例1 如图11-5，河对岸有A 、B 两目标，但不能到达，在河这边沿着与AB 平行的方向取相距40m 的C 、D 两点（点A 、B 、C 、D 在同一平面内），并测得∠ACB=70°，∠BCD=65°，∠ADC=30°，求A 、B 两目标之间的距离.（结果不取近似值，用含有锐角三角函数的式子表示.）DBAC EF图11-5解析 作AE ⊥CD,BF ⊥CD,垂足分别为点E 、F ，∵AB ∥CD,∴四边形ABFE 为矩形，∴AB=EF. ∵∠ACE=180°-∠ACB -∠BCD=180°-70°-65°=45° ∴∠EAC=45°，AE=EC.设EC=x m ， ∵∠ADE=30°，且DE=AE·cot ∠ADE.又∵DE=x +40，∴x +40=x ·cot30°，解得x =20， ∴AE=EC=BF=20,在Rt △BFC 中，cot ∠BCF=CFBF,即CF=BF·cot ∠65°=（20）cot65°，∴AB=EF=EC+CF=(20)+(20)cot ∠65°（m ）点评：本题体现了两种数学方法的应用，①构建数学几何模型，把一般三角形转化为解直角三角形；②通过设未知数，结合几何图形构建方程，将未知量与已知量联系起来.例2 如图11-6，E 是四边形ABCD 的DC 边上一点，CE=,AB=2,BC=1,∠D=90°, ∠B=60°,ABCE S =四边形（1）求AC 的长；（2）求∠ACD 的度数. ABCDEF图11-6解析 （1）过点A 作AF ⊥BC,垂足为F,则AF=AB·sin ∠B=2·sin60°BF=AB·cos ∠B=2·cos60°=1.∴CF=B C －BF=)11-在R t △ACF 中，由勾股定理，得(2)∵ABCE S 四边形=ABC ACE S S ∆∆+而11=,,22ABC ACE S AF BC S CE AD ∆∆⋅=⋅∴)11122+∴又sin ∠ACD=1,2AD AC == 故∠ACD=30°.点评：本题求AC 也可直接利用余弦定理：2222cos ,AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅直接求得.中考真题欣赏例1（辽宁省中考）如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD ，建筑物周围没有开阔平整地带.该建筑物顶端宽度AD 和高度DC 都可直接测得.从A 、D 、C 三点可看到塔顶端H,可供使用的测量工具有皮尺、测倾器.(1)请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG 的方案，具体要求如下：①测量数据尽可能少；②在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形（如果测A 、D 间距离，用m 表示；测D 、C 间距离，用n 表示；如果测角，用αβγ、、等表示，测倾器高度不计）.(2)根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG （用字母表示）. 解析 (1)如图11-7，测三个数据：DC 间距离n ，∠HDM ()α,∠HCG ()β； (2)设HG=x .在Rt △CHG 中，CG=cot x β⋅,在Rt △DHM 中，DM=()cot x n α-⋅，∴cotxβ⋅=()cotx nα-⋅. ∴cot.cot cotnxααβ⋅=-点评：本题是一道较为开放的题目，方案很多，但要求抓住题目的要求：“尽可能少”四个字，否则影响得分.例2（南京市）如图11-8，∠POQ=90°，边长为2cm的正方形ABCD的顶点B在OP上，C在OQ上，且∠OBC=30°，分别求点A、D到OP的距离.ABCDFGO图11-8解析过点A、D分别作AE⊥OP,DF⊥OP,DG⊥OQ,垂足分别为E、F、G.在正方形ABCD中,∠ABC=∠BCD=90°.∵∠OBC=30°，∴∠ABE=60°.在Rt△AEB中，AE=AB·sin60°=2·33cm）∵四边形DFOG是矩形，∴DF=GO，∵∠OBC=30°，∴∠BCO=60°，∴∠DCG=30°.在Rt△DCG中，CG=CD·cos30°=2·33cm）在Rt△BOC中，OC=12BC=1（cm）. ∴3∴点A到OP3cm），点D到OP的距离为3点评：本题是一道正方形、矩形与解直角三角形相结合的试题，难度不大，关键是通过作辅助线合理构造直角三角形来解答.竞赛样题展示例1.（1999年全国联赛）如图11-9在正方形ABCD 中，N 是DC 的中点，M 是AD 上异于D 的点，且∠NMB=∠MBC,求tan ∠ABM.ABCDEFMN图11-9解析 延长BC 、MN 交于点E ，作EF ⊥BM 于F.设AB=a ,AM=()x x a <,则MD=a x -，.由正方形ABCD 及N 为DC 的中点，知∠MDN=∠NCE, ∠DNM=∠CNE,ND=CN,故MDN ECN ∆≅∆，可知CE=MD=a x -，BE=2a x -， 由∠NMB=∠MBC,知EB=EM.由EF ⊥BM 知∠FEB=90°-∠FBE=∠ABM,BF=12BM,且∠A=∠BFE.故△AB M ～△FEB .∴BM AMBE BF=,即22BM AM BE =⋅.∴()2222a x x a x +=-.即22340x ax a -+=∴11,.33x a AM AB ==即∴1tan .3AM ABM AB ∠== 点评：本题的解决充分利用了“∠NMB=∠MBC”这个条件来构建等腰三角形，利用等腰三角形的性质及相似三角形列方程求解，本题的解法很多，还可以过点N 作平行线来解决.例2（2000年全国竞赛）如图11-10，四边形EFGH 是正方形ABCD 的内接四边形，两条对角线EG 和FH 所夹得锐角为θ，且∠BEG 与∠CFH 都是锐角.已知EG=k ，FH=l ，四边形EFGH 的面积为S ，求证：sin θ=2S kl. ABCDEFGHMNO图11-10证明 过F 、H 分别作EG 的垂线，垂足分别为M 、N ，EG 和FH 的交点为O .∴sin θ=FM HNFO HO=,即FM=FO·sin θ;HN=HO·sin θ. ∴S=EFG EHG S S ∆∆+=()1111sin sin .2222EG FM EG HN EG FO HO GE FH θθ⋅+⋅=+=⋅∴22sin .S S EG FH klθ==⋅点评：准确使用锐角三角函数的定义是解答本题的关键.过关检测】A 级1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为AC 上一点，且AD=BD=5,CD=3,则sinA=______.2.等腰三角形的面积为2，底角为α，则tan α=_______.3.在△ABC ，∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D ，CD=1,已知AD 、BD 的长是关于x 的方程20x px q ++=的两个根，且tanA-tanB=2.则_____,_______.p q ==4.已知△ABC 中，∠C=90°，CA=CB ，D 是AC 上一点，且AD:DC=1:2,则tan ∠DBC=________,cos ∠DBC=________.5.如图11-11，在△ABC 中，AB=AC,腰上的高BD=2，底边上的高AE=4，求tanC 的值.ABCDE图11-11B 级1.如图11-12，在△ABC 中，AB=AC ,∠ABN=∠MBC,BM=NM,BN=a ，则点N 到BC 的距离是_______.MNCBAABCD图11-12 图11-132.如图11-13，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠CAB=30°,AD 平分∠CAB ，则_______.AB ACCD CD-=3. △ABC 中，15,17,(a b A θθ==∠=为定值）若满足上述条件的三角形的∠C 唯一存在，则tanC=_______.4.已知菱形ABCD 的两条对角线AC 、BD 的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是_______.5.设P 、Q 为线段BC 上两定点，且BP=CQ ，A 为BC 外一动点，当点A 运动到使∠BAP =∠CAQ 时，△ABC 是什么三角形？试证明你的结论.。
中考培优竞赛专题经典讲义第10讲最值问题之三角形三边关系
第10讲 最值问题之二角形二边关系模型讲解问题：在直线I 上找一点P ,使得|PA PB 的值最大解析：连接AB ，并延长与1交点即为点P.证明：如图，根据△ ABP '三边关系，BP '-AP '< AB ，即P ' B - P 'A< PB - PA【例题讲解】例题1、如图，/ MON=90°，矩形 ABCD 的顶点A 、B 分别在边0M , ON 上，当B 在边ON 上运动 时，A 随之在0M 上运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，其中 AB=2, BC=1，运动过程中，点 D 到点0的 最大距离为故答案为： 2+1. 【总结】1、我们如何知道是哪个三角形呢？我们利用三角形三边关系来解题，但这个构造出来的三角形是有条件的，即“这个三角形有两条 边为定值，另外一边为需要我们求的那条边” 。
【解答】解：如图，取 AB 的中点E ,连接 OD 、0E 、DE ,1 Q / MON=90°, AB=2 OE=AE=—AB=1 ,2QBC=1，四边形 ABCD 是矩形，AD=BC=1, DE= 2 , 根据三角形的三边关系， OD<OE+DE ,当OD 过点E 时最大，最大值为• 2 +1.B【巩固练习】1如图，/ MON=90°,边长为2的等边三角形ABC的顶点A、B分别在边0M、ON上，当B在边ON 上运动时，A随之在边0M上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C到点0的最大距离为2、在厶ABC中，/ C=90°, AC=4, BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是______________________ .3、如右图，正六边形ABCDEF的边长为2,两顶点A、B分别在x轴和y轴上运动，则顶点D到原点0 的距离的最大值和最小值的乘积为___________________________________ .4、如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限.其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上，且AB=12cm(1)若0B=6cm.①求点C的坐标；②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；(2)点C与点0的距离的最大值= ______________ cm.25、如图，抛物线y ax 10ax c经过△ ABC的三个顶点，已知BC// x轴，点A在x轴上，点C在y轴3 上，0A=—BC,且AC=BC.5(1)求抛物线的解析式；(2)若Q为直线AB上一点，点D为抛物线与x轴的另一个交点，求|QC-QD|的取值范围模型讲解OQ+QP>OP QOP=OQ '+Q 'P ,且 OQ=0Q ' 0Q+QP>0Q '+Q ' P 所以连接OP ，与圆的交点即为所求点Q ,此时PQ 最短•点P 在圆内，PQ 最短【总结】可见，点与圆的最值问题在本质上仍然是利用了三角形三边关系。