(完整版)初中数学《几何最值问题》典型例题
初二几何最值问题练习题
初二几何最值问题练习题1. 直线段问题已知一条直线上有三个点A(-2, -1), B(1, 2), C(3, 5)，求该直线上与x 轴的交点D，使得线段AD + BD + CD的长度最小。
解答：首先，我们知道直线与x轴的交点的y坐标为0，所以设交点为D(x, 0)。
根据直线的斜率公式可得直线的斜率为k=(y2-y1)/(x2-x1)。
因此，点A到D的距离为AD的长度为√((x+2)^2+(-1-0)^2)。
同理，点B到D的距离为BD的长度为√((x-1)^2+(2-0)^2)。
点C到D的距离为CD的长度为√((x-3)^2+(5-0)^2)。
所以，线段AD + BD + CD的长度为L = √((x+2)^2+(-1-0)^2) + √((x-1)^2+(2-0)^2) + √((x-3)^2+(5-0)^2)。
为了求得使L最小的x值，我们需要对L进行求导并令导数为0。
首先，我们对L进行求导，得到：L'(x) = (√((x+2)^2+(-1-0)^2)/(x+2) + √((x-1)^2+(2-0)^2)/(x-1) + √((x-3)^2+(5-0)^2)/(x-3)令L'(x) = 0，可以得到方程：(√((x+2)^2+(-1-0)^2)/(x+2) + √((x-1)^2+(2-0)^2)/(x-1) + √((x-3)^2+(5-0)^2)/(x-3) = 0通过数值计算或图像分析，我们可以得到该方程的解为x ≈ 0.82，取到两个临近的整数，可以得到点D的横坐标为1或2。
所以，该直线上与x轴的交点D的横坐标可以取1或2。
如果取x=1，则点D的坐标为D(1, 0)；如果取x=2，则点D的坐标为D(2, 0)。
2. 面积问题已知一个矩形的周长为20，我们需要确定矩形的长和宽，使得矩形的面积最大。
解答：设矩形的长为L，宽为W，由题可知周长为20，即2L+2W=20。
为了求得使矩形的面积最大化的长和宽，我们需要求解该矩形的面积S并对S进行求导。
中考数学几何最值问题解法
中考数学几何最值问题解法一、应用两点之间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值例1. 如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为yxOBA例2. 如图，圆柱底面半径为2cm，高为9cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为例3如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M 为EF中点，则AM的最小值为例4如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5，CD=4，P 在直线MN上运动，则|PA-PB|的最大值等于______．例5.一次函数y1=kx-2与反比例函数y2=mx（m<0）的图象交于A，B两点，其中点A的坐标为（-6，2）（1）求m，k的值；（2）点P为y轴上的一个动点，当点P在什么位置时|P A-PB|的值最大？并求出最大值.二、应用垂线段最短的性质求最值：例1.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为例2. 在锐角△ABC中，BC=24，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是例3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF不可能为正方形；③点C到线段EF的最大距离为；④四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化．其中正确结论的个数是_例4.如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合．（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．三、应用轴对称的性质求最值：例1．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为_例2. 点A、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立直角坐标系如图所示．若P是x轴上使得PA PB⋅=_ -的值最大的点，Q是y轴上使得QA十QB的值最小的点，则OP OQ例3. 如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为_例4.如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是______．例5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是______例6 如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF 上一个动点，连接BP、GP，则△BPG的周长的最小值是 _例7如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF 的周长最小时，则DF的长为_五、应用其它知识求最值：例1．矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5.如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P.Q也随之移动，若限定点P、Q分别在线段AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为______例2.如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD 和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是___ ．例3.在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B．（1）求证：MA=MB；（2）连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．例4如图，点C是线段AB上的任意一点(C点不与A、B点重合)，分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N。
中考数学总复习《几何图形的最值问题》专题训练(附带答案)
中考数学总复习《几何图形的最值问题》专题训练(附带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一 单选题1．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为6 腰AC 的垂直平分线EF 分别交边AC AB 于点E F 若D 为BC 边的中点 M 为线段EF 上一动点 若三角形CDM 的周长的最小值为13 则等腰三角形ABC 的面积为（ ）A ．78B ．39C ．42D ．302．如图，在Rt ABC 和Rt ADE 中，90BAC DAE ∠=∠=︒ 3AC AD == AB =AE =5．连接BD CE 将△ADE 绕点A 旋转一周 在旋转的过程中当DBA ∠最大时 △ACE 的面积为（ ）．A ．6B ．62C ．9D ．92 3．如图，凸四边形ABCD 中，90,90,60,3,3A C D AD AB ∠=︒∠=︒∠=︒== 若点M N 分别为边,CD AD 上的动点 则BMN 的周长最小值为（ ）A ．26B ．36C ．6D ．34．如图，△ACB 中，CA ＝CB ＝4 △ACB ＝90° 点P 为CA 上的动点 连BP 过点A 作AM △BP 于M ．当点P 从点C 运动到点A 时 线段BM 的中点N 运动的路径长为（ ）5．如图，四边形ABCD 是菱形 AB=4 且△ABC=△ABE=60° G 为对角线BD （不含B 点）上任意一点 将△ABG 绕点B 逆时针旋转60°得到△EBF 当AG+BG+CG6．如图，在Rt ABC ∆中，90︒∠=C 4AC = 3BC = 点O 是AB 的三等分点 半圆O 与AC 相切 M N 分别是BC 与半圆弧上的动点 则MN 的最小值和最大值之和是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．87．如图，菱形ABCD 的边AB =8 △B =60° P 是AB 上一点 BP =3 Q 是CD 边上一动点 将梯形APQD 沿直线PQ 折叠 A 的对应点A ′．当CA ′的长度最小时 CQ13为PC 的中点.当点P 沿半圆从点A 运动至点B 时 点M 运动的路径长是（ ）A ．224π+B ．2πC ．422+D ．4π二 填空题9．如图，点P 是AOB ∠内任意一点 3cm OP = 点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点 30AOB ∠=︒ 则PMN 周长的最小值是 ．10．△ABC 中，AB ＝AC ＝5 BC ＝6 D 是BC 的中点 E 为AB 上一动点 点B 关于DE 的对称点B '在△ABC 内（不含△ABC 的边上） 则BE 长的范围为 ．11．如图，等边三角形ABC 的边BC 上的高为6 AD 是BC 边上的中线 M 是线段AD 上的-一个动点 E 是AC 中点 则EM CM +的最小值为 ．12．如图，正△ABC 的边长为2 过点B 的直线l △AB 且△ABC 与△A ′BC ′关于直线l 对称 D 为线段BC ′上一动点 则AD +CD 的最小值是 ．13．如图，已知ABC 外心为O 18BC = 60BAC ∠=︒ 分别以AB AC 为腰向形外作等腰直角三角形ABD △与ACE △ 连接BE CD 交于点P 则OP 的最2三解答题17．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A B C在小正方形的顶点上．(1)在图中画出与ABC关于直线l成轴对称的AB C''．+的长最短．(2)在直线l上找一点P使PB PC18．如图，在△ABC中，AB＝AC AD是△ABC底边BC上的中线点P为线段AB 上一点．（1）在AD上找一点E使得PE+EB的值最小；（2）若点P为AB的中点当△BPE满足什么条件时△ABC是等边三角形并说明理由．19．如图，等边ABC的边长为6 AD是BC边上的中线M是AD上的动点E 是AB边上一点若=2AE求EM BM+的最小值．20．如图，等边三角形ABC内接于半径长为2的△O点P在圆弧AB上以2倍速度从B向A运动点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动当点P O Q三点处于同一条直线时停止运动．(1)求点Q的运动总长度；(2)若M为弦PB的中点求运动过程中CM的最大值．参考答案： 1．D【分析】连接AD 由于ABC 是等腰三角形 点D 是BC 边的中点 可得AD BC ⊥ 再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知 点C 关于直线EF 的对称点为点A 故AD 的长为CM MD +的最小值 再根据三角形的面积公式即可得出结论．【详解】解：如图：连接AD 交EF 于点MABC 是等腰三角形 点D 是BC 边的中点AD BC ∴⊥ 132CD BC == EF 是线段AC 的垂直平分线∴点C 关于直线EF 的对称点为点A AM CM =∴此时△CDM 的周长最小13CM DM CD AM DM CD AD CD ∴++=++=+=1313310AD CD ∴=-=-=116103022ABC S BC AD ∴=⋅=⨯⨯=△ 故选：D ．【点睛】本题考查的是轴对称−最短路线问题 等腰三角形的性质 三角形的面积 熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．2．A【分析】先分析出D 的轨迹为以A 为圆心AD 的长为半径的圆 当BD 与该圆相切时 △DBA 最大 过C 作CF △AE 于F 由勾股定理及三角函数计算出BD CF 的长 代入面积公式求解即可．【详解】解：由题意知 D 点轨迹为以A 为圆心AD 的长为半径的圆当BD 与D 点的轨迹圆相切时 △DBA 取最大值 此时△BDA =90° 如图所示B B M B M N N B ''''''''''<++B M BM '''= B N BN ''''=BM M N BN B B '''''''∴++>又B B B M MN NB ''''''=++MB MB '= NB NB ''=NB NM BM BM M N BN ''''∴++<++BMN l NB NM BM ∆∴=++时周长最小；连接DB 过点B '作B H DB '''⊥于B D ''的延长线于点H如图示2所示：在Rt ABD 中，3AD = 3AB =∴22223(3)23DB AD AB =+=+=230∴∠=︒530∴∠=︒ DB DB ''=又1260ADC ∠=∠+∠=︒又B DB '''∠660∴∠=︒3HD = Rt △B HB 'B HB '''=5．D【分析】根据“两点之间线段最短” 当G点位于BD与CE的交点处时AG+BG+CG的值最小即等于EC的长．【详解】解：如图△将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF△BE=AB=BC BF=BG EF=AG△△BFG是等边三角形．△BF=BG=FG ．△AG+BG+CG=FE+GF+CG．根据“两点之间线段最短”△当G点位于BD与CE的交点处时AG+BG+CG的值最小即等于EC的长过E点作EF△BC交CB的延长线于F△△EBF=180°-120°=60°△BC=4△BF=2 EF=23在Rt△EFC中△EF2+FC2=EC2△EC=43．△△CBE=120°△△BEF=30°△△EBF=△ABG=30°△EF=BF=FGOP ACO是AB的三等分点210=⨯=5338=3与AC相切于点故选B．【点睛】此题主要考查圆与三角形的性质解题的关键是熟知圆的性质及直角三角形的性质.7．B【详解】作CH△AB于H如图．△菱形ABCD的边AB=8 △B=60°△△ABC为等边三角形AB=43AH=BH=4．△CH=32△PB=3 △HP=1．在Rt△CHP中，CP=22=7．(43)1△梯形APQD沿直线PQ折叠A的对应点A′△点A′在以P点为圆心P A为半径的弧上△当点A′在PC上时CA′的值最小△△APQ=△CPQ而CD△AB△△APQ=△CQP△△CQP=△CPQ△CQ=CP=7．故选B．【点睛】本题考查了菱形的性质．解答本题的关键是确定A′在PC上时CA′的长度最小．8．BPMN的周长最小．CD分别交△点P 关于OA 的对称点为C 关于OB 的对称点为D△PM CM OP OC COA POA ==∠=∠，，；△点P 关于OB 的对称点为D△PN DN OP OD DOB POB ==∠=∠，，△3cm OC OD OP ===22260COD COA POA POB DOB POA POB AOB ∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=∠=︒△COD △是等边三角形△()3cm CD OC OD ===．△PMN 的周长的最小值3cm PM MN PN CM MN DN CD =++=++≥=．故答案为：3cm ．【点睛】本题主要考查最短路径问题和等边三角形的判定． 作点P 关于OA OB 的对称点C D 是解题的关键所在．10．9552BE << 【分析】首先根据运动特点分析出点B '的运动轨迹在以D 为圆心 BD 为半径的圆弧上 然后分点B '恰好落在AB 边上和点B '恰好落在AC 边上两种情况讨论 分别利用勾股定理以及等腰三角形的性质和判定进行求解和证明即可得出两种临界情况下BE 的长度 从而得出结论．【详解】解：△点B 与B '关于DE 对称△BD B D '= 则点B '的运动轨迹在以D 为圆心 BD 为半径的圆弧上△如图所示 当点B '恰好落在AB 边上时 此时 连接AD 和DE由题意及“三线合一”知 AD BD ⊥ 132BD BC == △在Rt ABD 中，2222534AD AB BD =-=-=此时 根据对称的性质 DE AB ⊥12AB DE AD BD =Rt BDE 中，2295BD DE -=；如图所示 22综上BE长的范围为95 52BE<<故答案为：95 52BE<<．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定以及勾股定理解直角三角形等能够根据题意准确分析出动点的运动轨迹并构建适当的三角形进行求解是解题关键．11．6【分析】连接BE交AD于M则BE就是EM+CM的最小值通过等腰三角形的“三线合一” 可得BE=AD即可得出结论．【详解】解：连接BE与AD交于点M．△AB=AC AD是BC边上的中线△B C关于AD对称则EM+CM=EM+BM则BE就是EM+CM的最小值．△E是等边△ABC的边AC的中点AD是中线△BE=AD=6△EM+CM的最小值为6故答案为：6．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质—“三线合一” 等边三角形的性质和轴对称等知识的综合应用解题关键是找到M点的位置．12．4【分析】根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到△ABC=△A'B C'=60° A'B=AB=BC=2 证明△CBD△△A'BD得到CD=A'D推出当A D A'三点共线时AD+CD最小此时AD+CD=A'B+AB=4．【详解】解：如图，连接A'D．由ABC的外心为的值最小解直角三角形即可得到结论．【详解】解：ABD与BAD CAE=∠=︒90=∠DAC BAEDAC与BAE中BAEBAE SASDAC∴△()ADC ABE∴∠=∠90PDB PBD∴∠+∠=︒90DPB∴∠=︒P∴在以BC为直径的圆上ABC的外心为O60BAC∠=︒120BOC∴∠=︒如图，当PO BC⊥时OP的值最小18BC=9 BH CH∴==12 OH OB=223BH OB OH OH∴=-=33OH∴=9PH=933OP∴=-．则OP的最小值是933-故答案为：933-．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心全等三角形的判定和性质等腰直角三角形的性质正确的作出辅助线是解题的关键．14．25【分析】2P A＋PB＝2（P A＋22PB）利用相似三角形构造22PB即可解答．【详解】解：设△O半径为r15．152【分析】如图，连接BP 在BC 上取一点M 使得BM =32 进而证明BPM BCP △∽△,则在点P 运动的任意时刻 均有PM =12PC 从而将问题转化为求PD -PM 的最大值．连接PD 在△PDM 中，PD -PM ＜DM 故当D M P 共线时 PD -PM =DM 为最大值 勾股定理即可求得DM ．【详解】如图，连接BP 在BC 上取一点M 使得BM =3231232BM BP == 3162BP BC == BM BP BP BC∴= PBM CBP ∠=∠∴BPM BCP △∽△12MP BM PC BP ∴== 12MP PC ∴=12PD PC PD MD ∴-=- 在△PDM 中，PD -PM ＜DM当D M P 共线时 PD -PM =DM 为最大值四边形Rt CDM中，故答案为：15 2【点睛】本题考查了圆的性质的关键．6015-90Rt BDA中，AB由勾股定理得：222BD AB AD =-即：216925144BD =-=△0BD >△=12BD△E 为AD 的中点△1522DE AD == 在Rt BDE 中，=12BD 52DE =由勾股定理得：222BE DE BD =+即：225601+144=44BE = △0BE >△6012BE = 又△DH △AC 且点E 为AD 的中点△52EH = △60156015222BH BE EH -=-=-= 故答案为：60152- 【点睛】本题考查勾股定理解三角形 直径所对的圆周角为直角 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 隐圆问题的处理等相关知识点 能够判断出从动点的运动轨迹是解题的关键．17．(1)见解析(2)见解析【详解】（1）解：如图，△AB C ''即为所求．（2）如图，点P即为所求．【点睛】本题考查作图-轴对称变换轴对称-最短路线问题熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．18．（1）见解析；（2）△BPE=90° 理由见解析【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可知AD垂直平分BC再根据两点间线段最短的性质连接CP交AD于点E并连接BE即可得解；（2）因为P为AB的中点要使△ABC是等边三角形则需BC=AB根据等腰三角形三线合一的性质所以CP△AB即△BPE=90°．【详解】解：（1）如图，连接CP交AB于点E 则点E为所求；（2）△BPE=90° 理由如下：△△BPE=90°△CP△AB△点P为AB的中点△CP垂直平分AB△CA=CB△AB=AC△AB =AC =BC △△ABC 是等边三角形【点睛】本题主要考查等腰三角形三线合一的性质以及对称 两点间线段最短 线段中垂线定理 熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键．19．27【分析】连接CE 与AD 交于点M ．则CE 就是BM ME +的最小值 在直角CEF △中，求得CE 的长 即可．【详解】解：连接CE 与AD 交于点M '．△等边ABC 中，AD 是BC 边上的中线△AD 是BC 的中垂线△CE =CM M E ''+=BM ME +的最小值．过点C 作CF AB ⊥△等边ABC 的边长为6 =2AE△==62=4BE AB AE -- 3AF BF == 321EF =-= 226333CF =-= △()2233127CE =+= △BM ME +的最小值为27．【点睛】本题考查了等边三角形的性质 勾股定理 两点间线段最短 连接CE 从而把两线段和的最小值转化为两点间线段最短是本题的关键．20．(1)23π(2)7 1.+【分析】（1）如图，设,COQ 结合题意可得：2BOP 结合正三角形的性质求解60, 再利用弧长公式进行计算即可；（2）解：如图，取作OE BC ⊥于E 三点共线时【详解】（）解：如图，设,COQ 结合题意可得：2BOPABC 为等边三角形360120,3BOC120,BOQ而,,P O Q 三点共线1802,BOQ1201802,解得：=60,Q ∴运动的总长度为：6022=.1803）解：如图，取OB 的中点N 连接NM BC ⊥于EM 为PB11,NM OP2△M在以N为圆心半径为1的圆N上运动△当C N M三点共线时CM最大BOC OB OC120,,OBC30,113NK BN BK,,222同理可得：3,BE=则23,BC=333CK23,2222133NC7,22CM CN NM71,△CM的最大值为：7 1.+【点睛】本题考查的是弧长的计算弧与圆心角的关系圆的基本性质正多边形的性质勾股定理的应用熟练的构造辅助圆再求解线段的最大值是解本题的关键．。
初中数学-平面几何的最值问题
平面几何的最值问题阅读与思考几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值． 求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证．2．几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理．3．数形结合法等：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等．例题与求解【例1】在Rt △ABC 中，CB =3，CA =4，M 为斜边AB 上一动点．过点M 作MD ⊥AC 于点D ，过M 作ME ⊥CB 于点E ，则线段DE 的最小值为 ．解题思路：四边形CDME 为矩形，连结CM ，则DE = CM ，将问题转化为求CM 的最小值．【例2】如图，在矩形ABCD 中，AB =20cm ，BC =10cm ．若在AC ，AB 上各取一点M ，N ，使BM +MN 的值最小，求这个最小值．ADMN解题思路：作点B 关于AC 的对称点B ′，连结B ′M ，B ′A ，则BM = B ′M ，从而BM +MN = B ′M +MN ．要使BM +MN 的值最小，只需使B ′M 十MN 的值最小，当B ′，M ，N 三点共线且B ′N ⊥AB 时，B ′M +MN 的值最小．【例3】如图，已知□ABCD ，AB =a ，BC =b (b a )，P 为AB 边上的一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q ．求AP +BQ 的最小值．PDA BQ解题思路：设AP =x ，把AP ，BQ 分别用x 的代数式表示，运用不等式以ab b a 222≥+或a +b ≥2ab（当且仅当a =b 时取等号）来求最小值． 【例4】阅读下列材料：问题 如图1，一圆柱的底面半径为5dm ，高AB 为5dm ，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到C 点的最短路线． 小明设计了两条路线：图2图1摊平沿AB 剪开ACBBA路线1：侧面展开图中的线段AC ．如图2所示．设路线l 的长度为l 1，则l 12 =AC 2=AB 2 +BC 2 =25+(5π) 2=25+25π2． 路线2：高线AB 十底面直径BC ．如图1所示．设路线l 的长度为l 2，则l 22 = (BC +AB )2=(5+10)2 =225．∵l 12 – l 22 = 25+25π2－225=25π2－200=25(π2－8)，∴l 12 ＞l 22 ，∴ l 1＞l 2 ． 所以，应选择路线2．(1)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1分米，高AB 为5分米”继续按前面的路线进行计算．请你帮小明完成下面的计算： 路线1：l 12=AC 2= ；路线2：l 22=（AB +BC ）2= ．∵ l 12 l 22，∴l 1 l 2 （ 填“＞”或“＜”），所以应选择路线 （填“1”或“2”）较短．(2)请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r ，高为h 时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到C 点的路线最短．解题思路：本题考查平面展开一最短路径问题．比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便．比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减．【例5】如图，已知边长为4的正方形钢板，有一个角锈蚀，其中AF =2，BF =1．为了合理利用这块钢板，将在五边形EABCD 内截取一个矩形块MDNP ，使点P 在AB 上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率．NMEDAB解题思路：设DN =x ，PN =y ，则S =xy ．建立矩形MDNP 的面积S 与x 的函数关系式，利用二次函数性质求S 的最大值，进而求钢板的最大利用率．【例6】如图，在四边形ABCD 中，AD =DC =1，∠DAB =∠DCB =90°，BC ，AD 的延长线交于P ，求AB ·S △P AB 的最小值．1ABD解题思路：设PD =x (x >1)，根据勾股定理求出PC ，证Rt △PCD ∽Rt △P AB ，得到PCPACD AB ，求出AB ，根据三角形的面积公式求出y =AB ·S △P AB ，整理后得到y ≥4，即可求出答案．。
初中数学几何最值专题33：点与圆之“一箭穿心”(最全修正版)
初中数学几何最值专题33：点与圆之“一箭穿心”(最全修正版)一箭穿心介绍】本文主要介绍一种几何问题——一箭穿心，即求解一个动点在平面内移动时，与固定点和固定直线的连线长度最短的问题。
例题精讲】例1、在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B是第一象限内的一个动点并且使∠OBA＝90°，点C的坐标为（0，3），则BC的最小值为多少？解析提示：根据勾股定理可得，AB的长度为4，由于∠OBA＝90°，所以OB为BC的最小值。
因此，BC的最小值为3.例2、在半圆O的直径AB上，点D到A的距离为20，到B的距离为4，点C在弧BD上移动，求BH的最小值。
解析提示：根据勾股定理可得，AD的长度为20，AB的长度为4，所以BD的长度为√396.由于BCD构成等腰三角形，所以∠BCD＝∠CBD，因此BH为CD的中线，所以BH的长度为√196＋（√396÷2）²＝5.因此，BH的最小值为5.例3、在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（t，1+t）、C（－t，1－t）（t＞0），点P在以D（3，3）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则t的最小值是多少？解析提示：根据勾股定理可得，BP²＝PC²＋BC²。
由于∠BPC＝90°，所以BP²＝BC²＋1.代入坐标可得（t－3）²＋(2t－2)²＝(t＋3)²＋(2t)²＋1.化简可得t＝√2.因此，t的最小值为√2.例4、在平面直角坐标系中，圆心M的坐标为（3，4），⊙M的半径为2，点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为多少？解析提示：根据勾股定理可得，PA²＝PM²－AM²，PB²＝PM²－BM²。
题型六 几何最值(专题训练)(解析版)
题型六几何最值（专题训练）1.如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，tanA ＝2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD BD +的最小值是( )【答案】B【详解】如图，作DH ⊥AB 于H ，CM ⊥AB 于M ．∵BE ⊥AC ，∴∠AEB=90°，∵tanA=BE AE=2，设AE=a ，BE=2a ，则有：100=a 2+4a 2，∴a 2=20，∴，∴，∵AB=AC ，BE ⊥AC ，CM ⊥AB ，∴（等腰三角形两腰上的高相等））∵∠DBH=∠ABE ，∠BHD=∠BEA ，∴sin DH AE DBH BD AB Ð===，∴BD ，∴BD=CD+DH ，∴CD+DH ≥CM ，∴BD ≥∴BD 的最小值为故选B ．2.如图，在Rt ABC D 中，90°Ð=C ，4AC =，3BC =，点O 是AB 的三等分点，半圆O 与AC 相切，M ，N 分别是BC 与半圆弧上的动点，则MN 的最小值和最大值之和是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【详解】如图，设⊙O 与AC 相切于点D ，连接OD ，作OP BC ^垂足为P 交⊙O 于F ，此时垂线段OP 最短，PF 最小值为OP OF -，∵4AC =，3BC =，∴5AB =∵90OPB °Ð=，∴OP ACP ∵点O 是AB 的三等分点，∴210533OB =´=，23OP OB AC AB ==，∴83OP =，∵⊙O 与AC 相切于点D ，∴OD AC ^，∴OD BC ∥，∴13OD OA BC AB ==，∴1OD =，∴MN 最小值为85133OP OF -=-=，如图，当N 在AB 边上时，M 与B 重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最长，MN 最大值1013133=+=，513+=633,∴MN 长的最大值与最小值的和是6．故选B ．3.如图，在矩形纸片ABCD 中，2AB =，3AD =，点E 是AB 的中点，点F 是AD 边上的一个动点，将AEF V 沿EF 所在直线翻折，得到'A EF V ，则'A C 的长的最小值是( )A B ．3C 1-D 1-【答案】D【详解】以点E 为圆心，AE 长度为半径作圆，连接CE ，当点A'在线段CE 上时，A'C 的长取最小值，如图所示，根据折叠可知：1A'E AE AB 12===．在Rt BCE V 中，1BE AB 12==，BC 3=，B 90Ð=o ，CE \==，A'C \的最小值CE A'E 1=-=．故选D ．4.如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将△ABG 绕点B 逆时针旋转60°得到△EBF ，当AG+BG+CG 取最小值时EF 的长（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】解：如图，∵将△ABG 绕点B 逆时针旋转60°得到△EBF ，∴BE=AB=BC ，BF=BG ，EF=AG ，∴△BFG 是等边三角形．∴BF=BG=FG ，．∴AG+BG+CG=FE+GF+CG ．根据“两点之间线段最短”，∴当G 点位于BD 与CE 的交点处时，AG+BG+CG 的值最小，即等于EC 的长，过E 点作EF ⊥BC 交CB 的延长线于F ，∴∠EBF=180°-120°=60°，∵BC=4，∴BF=2，，在Rt △EFC 中，∵EF 2+FC 2=EC 2，∴．∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°，∵∠EBF=∠ABG=30°，∴EF=BF=FG ，∴EF=13故选：D ．5.如图，Rt ABC △中，AB BC ^，6AB =，4BC =，P 是ABC △内部的一个动点，且满足90PAB PBA °Ð+Ð=，则线段CP 长的最小值为________.【答案】2：【详解】∵∠PAB+∠PBA=90°∴∠APB=90°∴点P 在以AB 为直径的弧上（P 在△ABC 内）设以AB 为直径的圆心为点O ，如图接OC ，交☉O 于点P ，此时的PC 最短∵AB=6，∴OB=3∵BC=4∴5OC ===∴PC=5-3=26.如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE=1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG 最小值，可以将F 点看成是由点B 向点A 运动，由此作出G 点轨迹：考虑到F 点轨迹是线段，故G 点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G 点在1G 位置，最终G 点在2G 位置（2G 不一定在CD 边），12G G 即为G点运动轨迹．CG 最小值即当CG ⊥12G G 的时候取到，作CH ⊥12G G 于点H ，CH 即为所求的最小值．根据模型可知：12G G 与AB 夹角为60°，故12G G ⊥1EG ．过点E 作EF ⊥CH 于点F ，则HF=1G E =1，CF=1322CE =，所以CH=52，因此CG 的最小值为52．GA B CDE F27.如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点P 是矩形ABCD 内一动点，且D D =PAB PCD S S ，则PC PD +的最小值为_____．【答案】【详解】ABCD Q 为矩形，AB DC\=又=V V Q PAB PCDS S \点P 到AB 的距离与到CD 的距离相等，即点P 线段AD 垂直平分线MN 上，连接AC ，交MN 与点P ，此时PC PD +的值最小，且PC PD AC +=====故答案为：8.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝5，点P 是AC 上的动点，连接BP ，以BP 为边作等边△BPQ ，连接CQ ，则点P 在运动过程中，线段CQ 长度的最小值是2______．【答案】54．【详解】解：如图，取AB的中点E，连接CE，PE．∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠CBE=60°，∵BE=AE，∴CE=BE=AE，∴△BCE是等边三角形，∴BC=BE，∵∠PBQ=∠CBE=60°，∴∠QBC=∠PBE，∵QB=PB，CB=EB，∴△QBC≌△PBE（SAS），∴QC=PE，∴当EP⊥AC时，QC的值最小，在Rt△AEP中，∵AE=52，∠A=30°，∴PE=12AE=54，∴CQ的最小值为54．故答案为：549.如图，在正方形ABCD 中，AB ＝8，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且BM ＝6．P 为对角线BD 上一点，则PM ﹣PN 的最大值为 ．【答案】2【分析】作以BD 为对称轴作N 的对称点N'，连接PN'，MN'，依据PM ﹣PN ＝PM ﹣PN'≤MN'，可得当P ，M ，N'三点共线时，取“＝”，再求得//AN CN BM CM =＝31，即可得出PM ∥AB ∥CD ，∠CMN'＝90°，再根据△N'CM 为等腰直角三角形，即可得到CM ＝MN'＝2．【解答】解：如图所示，作以BD 为对称轴作N 的对称点N'，连接PN'，MN'，根据轴对称性质可知，PN ＝PN'，∴PM ﹣PN ＝PM ﹣PN'≤MN'，当P ，M ，N'三点共线时，取“＝”，∵正方形边长为8，∴AC ＝2AB ＝28，∵O 为AC 中点，∴AO ＝OC ＝24，∵N 为OA 中点，∴ON ＝22，∴ON'＝CN'＝22，∴AN'＝26，∵BM ＝6，∴CM ＝AB ﹣BM ＝8﹣6＝2，∴//AN CN BM CM =＝31∴PM ∥AB ∥CD ，∠CMN'＝90°，∵∠N'CM ＝45°，∴△N'CM 为等腰直角三角形，∴CM ＝MN'＝2，即PM ﹣PN 的最大值为2，故答案为：2．【点评】本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．10.如图，ABC V 是等边三角形，6AB =，N 是AB 的中点，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 上的一个动点，连接,BM MN ，则BM MN +的最小值是________．【答案】【分析】根据题意可知要求BM+MN 的最小值，需考虑通过作辅助线转化BM ，MN 的值，从而找出其最小值，进而根据勾股定理求出CN ，即可求出答案．【解析】解：连接CN ，与AD 交于点M ，连接BM ．（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），AD 是BC 边上的中线即C 和B 关于AD 对称，则BM+MN=CN ，则CN 就是BM+MN 的最小值．∵ABC V 是等边三角形，6AB =，N 是AB 的中点，∴AC=AB=6,AN=12AB=3, CN AB ^,∴CN ====即BM+MN的最小值为故答案为：【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．11.如图，在中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是 ．【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD æö+ç÷èø，故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显．当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =．ABC D A BCD问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案．12.如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝60°，AD ＝BC ＝CD ＝4，点M 是四边形ABCD 内的一个动点，满足∠AMD ＝90°，则点M 到直线BC 的距离的最小值为_____．【答案】2-【解析】【分析】取AD 的中点O ，连接OM ，过点M 作ME ⊥BC 交BC 的延长线于E ，点点O 作OF ⊥BC 于F ，交CD 于G ，则OM+ME ≥OF ．求出OM ，OF 即可解决问题．【详解】解：取AD 的中点O ，连接OM ，过点M 作ME ⊥BC 交BC 的延长线于E ，点点O 作OF ⊥BC 于F ，交CD 于G ，则OM+ME ≥OF ．∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD，∴OM＝12AD＝2，∵AB∥CD，∴∠GCF＝∠B＝60°，∴∠DGO＝∠CGE＝30°，∵AD＝BC，∴∠DAB＝∠B＝60°，∴∠ADC＝∠BCD＝120°，∴∠DOG＝30°＝∠DGO，∴DG＝DO＝2，∵CD＝4，∴CG＝2，∴OG＝，GF，OF＝，∴ME≥OF﹣OM＝﹣2，∴当O，M，E共线时，ME的值最小，最小值为2．【点睛】本题考查解直角三角形，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．13.如图，四边形ABCD是菱形，A B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________．【答案】【详解】将△BMN 绕点B 顺时针旋转60度得到△BNE ，∵BM=BN ，∠MBN=∠CBE=60°，∴MN=BM ∵MC=NE ∴AM+MB+CM=AM+MN+NE ．当A 、M 、N 、E 四点共线时取最小值AE ．∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH ⊥AE ，AH=EH ，∠BAH=30°，∴BH=12AB=3，BH=AE=2AH=故答案为14.如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为BC 边上的任意一点，把PBE △沿PE 折叠，得到PBE △，连接CF ．若AB ＝10，BC ＝12，则CF 的最小值为_____．【答案】8【解析】【分析】点F 在以E 为圆心、EA 为半径的圆上运动，当E 、F 、C 共线时时，此时FC 的值最小，根据勾股定理求出CE ，再根据折叠的性质得到BE ＝EF ＝5即可．【详解】解：如图所示，点F在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当E、F、C共线时时，此时CF的值最小，根据折叠的性质，△EBP≌△EFP，∴EF⊥PF，EB＝EF，∵E是AB边的中点，AB＝10，∴AE＝EF＝5，∵AD＝BC＝12，∴CE＝13，∴CF＝CE﹣EF＝13﹣5＝8．故答案为8．【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，灵活应用相关知识是解答本题的关键．15、如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为，则BC＝_____．-【详解】如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．∵AB=AC ，AH ⊥BC ，∴∠BAP=∠CAP ，∵PA=PA ，∴△BAP ≌△CAP （SAS ），∴PC=PB ，∵MG=PB ，AG=AP ，∠GAP=60°，∴△GAP 是等边三角形，∴PA=PG ，∴PA+PB+PC=CP+PG+GM ，∴当M ，G ，P ，C 共线时，PA+PB+PC 的值最小，最小值为线段CM 的长，∵AP+BP+CP 的最小值为，∴，∵∠BAM=60°，∠BAC=30°，∴∠MAC=90°，∴AM=AC=2，作BN ⊥AC 于N ．则BN=12AB=1，，，∴16.如图所示，30AOB Ð=o ，点P 为AOB Ð内一点，8OP =，点,M N 分别在,OA OB 上，求PMN D 周长的最小值_____．【答案】PMN D 周长的最小值为8【详解】如图，作P 关于OA 、OB 的对称点12P P 、，连结1OP 、2OP ，12PP 交OA 、OB 于M 、N ，此时PMN D 周长最小，根据轴对称性质可知1PM PM =，2P N PN =，1212PM N PM M N PN PP \D =++=，且1A O P A O P Ð=Ð，2BO P BO P Ð=Ð，12260POP AOB Ð=Ð=°，128O P O P O P ===，12PPO D 为等边三角形，1218PP OP ==即PMN D 周长的最小值为8.17.在正方形ABCD 中，点E 为对角线AC （不含点A ）上任意一点，AB=；（1）如图1，将△ADE 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCF ，连接EF ；①把图形补充完整（无需写画法）； ②求2EF 的取值范围；(2)如图2，求BE+AE+DE 的最小值．【答案】（1）①补图见解析；②2816EF ££；（2）2+【详解】（1）①如图△DCF 即为所求；②∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝AB ＝，∠B ＝90°，∠DAE ＝∠ADC ＝45°，∴AC AB ＝4，∵△ADE 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCF ，∴∠DCF ＝∠DAE ＝45°，AE ＝CF ，∴∠ECF ＝∠ACD ＋∠DCF ＝90°，设AE ＝CF ＝x ，EF 2＝y ，则EC ＝4−x ，∴y ＝（4−x ）2＋x 2＝2x 2−8x ＋160（0＜x ≤4）．即y ＝2（x −2）2＋8，∵2＞0，∴x ＝2时，y 有最小值，最小值为8，当x ＝4时，y 最大值＝16，∴8≤EF 2≤16．（2）如图中，将△ABE 绕点A 顺时针旋转60°得到△AFG ，连接EG ，DF ．作FH ⊥AD 于H ．由旋转的性质可知，△AEG 是等边三角形，∴AE ＝EG ，∵DF ≤FG ＋EG ＋DE ，BE ＝FG ，∴AE ＋BE ＋DE 的最小值为线段DF 的长．在Rt △AFH 中，∠FAH ＝30°，AB ＝=AF ，∴FH ＝12AF ，AH ，在Rt △DFH 中，DF =＝2+，∴BE ＋AE ＋ED 的最小值为2．。
几何最值36问(附详解)
C
【解析】如图，取△AEF 的外心 O，连接 OA、OF、OE，
则 OA＝OE＝OF，且∠FOE＝2∠FAE＝60°，
∴△OEF 为等边三角形，
过 O 作 OG⊥EF 于点 G，交 AB 于点 H，
F
G
E
设 EF＝2x，则 HD＝GE＝x，AH＝4－x，而 OA＝2x，
由“斜垂大法”可知 OA≥AH，
Q
∴PQ＝ 2PF，∴PQ＋PD≥DQ＝4，
∴ 2PF＋PD＝PQ＋PD≥DQ＝4．
F
或由托勒密不等式可得：
P
PF·AD＋AF·PD≥AP·DF，而 AD＝ 2AF＝ 2DF，
∴ 2PF＋PD≥AP＝4．
A
B
D
(14)若∠CAE＝30°，AD＝4，过 E 作 EF∥AD 交 AC 于点 F，求 EF 的最小值；
【答案】2 6＋2 2
C
【解析】如图，把△DPC 绕点 D 顺时针旋转 60°至△DQR，连接 PQ，AR，
则 QR＝PC，且△PDQ 为等边三角形，
∴PQ＝PD，
R
Q
∴PA＋PD＋PC＝PA＋PQ＋QR≥AR，
P
过 R 作 RS⊥AB 于点 S，
则 RS＝12RD＝2，DS＝ 3RS＝2 3，
A
D
过点 E 作 EG⊥CF 于 G，过点 A 作 AS⊥CF 于 S，则 EG＝12CE，
∴AS＋EG≤AE，
∴AE－EG≥AS，
I
H
G
∴ID＝3 ＝ 43 3，
∴AI＝AD－ID＝6－43
∴AS＝
3
AI＝3
2
D
A
∵AD＝6，CD＝4，
初中数学《几何最值问题》典型例题
初中数教《最值问题》典型例题之阳早格格创做一、办理几许最值问题的常常思路 二面之间线段最短；曲线中一面与曲线上所有面的连线段中，垂线段最短；三角形二边之战大于第三边或者三角形二边之好小于第三边（沉适时与到最值）是办理几许最值问题的表里依据，根据分歧特性转移是办理最值问题的闭键．通过转移缩小变量，背三个定理靠拢从而办理问题；间接调用基础模型也是办理几许最值问题的下效脚法． 几许最值问题中的基础模型举例二、典型题型1．如图：面P 是∠AOB 内一定面，面M 、N 分别正在边OA 、OB 上疏通，若∠AOB=45°，OP=△PMN 的周少的最小值为．【分解】做P 闭于OA ，OB 的对于称面C ，D ．对接OC ，OD ．则当M ，N 是CD 与OA ，OB 的接面时，△PMN 的周少最短，最短的值是CD 的少．根据对于称的本量不妨证得：△COD 是等腰曲角三角形，据此即可供解．【解问】解：做P 闭于OA ，OB 的对于称面C ，D ．对接OC ，OD ．则当M ，N 是CD 与OA ，OB 的接面时，△PMN 的周少最短，最短的值是CD 的少．∵PC 闭于OA 对于称，∴∠COP=2∠AOP ，OC=OP共理，∠DOP=2∠BOP ，OP=OD∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP ）=2∠AOB=90°，OC=OD ．∴△COD 是等腰曲角三角形． 则．【题后思索】本题考查了对于称的本量，精确做出图形，明白△PMN 周少最小的条件是解题的闭键．2．如图，当四边形PABN 的周少最小时，a=．【分解】果为AB ，PN 的少度皆是牢固的，所以供出PA+NB 的少度便止了．问题便是PA+NB 什么时间最短．把B 面背左仄移2个单位到B′面；做B′闭于x 轴的对于称面B″，对接AB″，接x 轴于P ，从而决定N 面位子，此时PA+NB 最短．设曲线AB″的剖析式为y=kx+b ，待定系数法供曲线剖析式．即可供得a 的值．【解问】解：将N 面背左仄移2单位与P 沉合，面B 背左仄移2单位到B′（2，﹣1），做B′闭于x 轴的对于称面B″，根据做法知面B″（2，1）， 设曲线AB″的剖析式为y=kx+b ， 则123k bk b=+⎧⎨-=+⎩，解得k=4，b=﹣7．∴y=4x ﹣7．当y=0时，x=74，即P （74，0），a=74． 故问案挖：74．【题后思索】考查闭于X 轴的对于称面，二面之间线段最短等知识．3．如图，A、B二面正在曲线的二侧，面A到曲线的距离AM=4，面B到曲线的距离BN=1，且MN=4，P为曲线上的动面，|PA﹣PB|的最大值为．【分解】做面B于曲线l的对于称面B′，则PB=PB′果而|PA﹣PB|=|PA ﹣PB′|，则当A，B′、P正在一条曲线上时，|PA﹣PB|的值最大．根据仄止线分线段定理即可供得PN战PM的值而后根据勾股定理供得PA、PB′的值，从而供得|PA﹣PB|的最大值．【解问】解：做面B于曲线l的对于称面B′，连AB′并延少接曲线l 于P．∴B′N=BN=1，过D面做B′D⊥AM，利用勾股定理供出AB′=5∴|PA﹣PB|的最大值=5．【题后思索】本题考查了做图﹣轴对于称变更，勾股定理等，死知“二面之间线段最短”是解问此题的闭键．4．动脚支配：正在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，合叠纸片，使面A降正在BC边上的A′处，合痕为PQ，当面A′正在BC边上移动时，合痕的端面P、Q也随之移动．若规定面P、Q分别正在AB、AD边上移动，则面A′正在BC边上可移动的最大距离为．【分解】本题闭键正在于找到二个极度，即BA′与最大或者最小值时，面P或者Q的位子．经真验没有易创制，分别供出面P与B沉适时，BA′与最大值3战当面Q与D沉适时，BA′的最小值1．所以可供面A′正在BC边上移动的最大距离为2．【解问】解：当面P与B沉适时，BA′与最大值是3，当面Q与D沉适时（如图），由勾股定理得A′C=4，此时BA′与最小值为1．则面A′正在BC边上移动的最大距离为3﹣1=2．故问案为：2【题后思索】本题考查了教死的动脚本领及图形的合叠、勾股定理的应用等知识，易度稍大，教死主要缺累动脚支配习惯，单凭设念制成过失．5．如图，曲角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，面E、F分别正在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻合，面A的降面记为P．当P降正在曲角梯形ABCD里里时，PD的最小值等于．【分解】如图，经分解、商量，惟有当曲径EF最大，且面A降正在BD上时，PD最小；根据勾股定理供出BD的少度，问题即可办理．【解问】解：如图，∵当面P降正在梯形的里里时，∠P=∠A=90°，∴四边形PFAE是以EF为曲径的圆内接四边形，∴惟有当曲径EF最大，且面A降正在BD上时，PD最小，此时E与面B沉合；由题意得：PE=AB=8，由勾股定理得：BD2=82+62=80，∴BD=45，∴PD=458 ．【题后思索】该命题以曲角梯形为载体，以翻合变更为要领，以考查齐等三角形的判决及其本量的应用为核心构制而成；解题的闭键是抓住图形正在疏通历程中的某一瞬间，动中供静，以静制动．6．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶面A、B分别正在边OM，ON上，当B正在边ON上疏通时，A随之正在OM上疏通，矩形ABCD 的形状脆持没有变，其中AB=2，BC=1，疏通历程中，面D到面O的最大距离为．【分解】与AB的中面E，对接OD、OE、DE，根据曲角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=AB，利用勾股定理列式供出DE，而后根据三角形任性二边之战大于第三边可得OD过面E时最大．【解问】解：如图，与AB的中面E，对接OD、OE、DE，∵∠MON=90°，AB=2AB=1，∴OE=AE=12∵BC=1，四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=1，∴根据三角形的三边闭系，OD ＜OE+DE ， ∴当OD 过面E． 故问案为：．【题后思索】本题考查了矩形的本量，曲角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的本量，三角形的三边闭系，勾股定理，决定出OD 过AB 的中面时值最大是解题的闭键．7．如图，线段AB 的少为4，C 为AB 上一动面，分别以AC 、BC 为斜边正在AB 的共侧做等腰曲角△ACD 战等腰曲角△BCE ，那么DE 少的最小值是．【分解】设AC=x ，BC=4﹣x ，根据等腰曲角三角形本量，得出CD=2x ，CD′=2（4﹣x ），根据勾股定理而后用配要领即可供解．【解问】解：设AC=x ，BC=4﹣x ，∵△ABC ，△BCD′均为等腰曲角三角形，∴CD=2x ，CD′=2（4﹣x ），∵∠ACD=45°，∠BCD′=45°，∴∠DCE=90°，∴DE2=CD2+CE2=12x2+12（4﹣x ）2=x2﹣4x+8=（x ﹣2）2+4，∵根据二次函数的最值，∴当x 与2时，DE 与最小值，最小值为：4． 故问案为：2．【题后思索】本题考查了二次函数最值及等腰曲角三角形，易度没有大，闭键是掌握用配要领供二次函数最值． 8．如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠A=120°，面P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任性一面，则PK+QK 的最小值为．【分解】根据轴对于称决定最短门路问题，做面P 闭于BD 的对于称面P′，对接P′Q 与BD 的接面即为所供的面K ，而后根据曲线中一面到曲线的所有连线中笔曲线段最短的本量可知P′Q ⊥CD 时PK+QK 的最小值，而后供解即可．【解问】解：如图，∵AB=2，∠A=120°，∴面P′到CD 的距离为∴PK+QK故问案为：【题后思索】本题考查了菱形的本量，轴对于称决定最短门路问题，死记菱形的轴对于称性战利用轴对于称决定最短门路的要领是解题的闭键．9．如图所示，正圆形ABCD 的边少为1，面P 为边BC 上的任性一面（可与B 、C 沉合），分别过B 、C 、D 做射线AP 的垂线，垂脚分别为B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的与值范畴是．【分解】最先对接AC ，DP ．由正圆形ABCD 的边少为1，即可得：S △ADP=12S 正圆形ABCD=12，S △ABP+S △ACP=S △ABC=12S 正圆形ABCD=12，既而可得12AP•（BB′+CC′+DD′）=1，又由即可供得问案．【解问】解：对接AC ，DP ．∵四边形ABCD 是正圆形，正圆形ABCD 的边少为1， ∴AB=CD ，S 正圆形ABCD=1，∵S △ADP=12S 正圆形ABCD=12，S △ABP+S △ACP=S △ABC=12S 正圆形ABCD=12，∴S △ADP+S △ABP+S △ACP=1，∴12AP•BB′+12AP•CC′+12AP•DD′=12AP•（BB′+CC′+DD′）=1，则BB′+CC′+DD′=2AP，∵∴当P 与B 沉适时，有最大值2； 当P 与C 沉适时，有最小值∴．故问案为：．【题后思索】此题考查了正圆形的本量、里积及等积变更问题．此题易度较大，解题的闭键是对接AC，DP，根据题意得到．S△ADP+S△ABP+S△ACP=1，既而得到BB′+CC′+DD′=2AP10．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2战1，P、E、F分别是边CD、⊙A战⊙B上的动面，则PE+PF的最小值是．【分解】利用菱形的本量以及相切二圆的本量得出P与D沉适时PE+PF的最小值，从而供出即可．【解问】解：由题意可得出：当P与D沉适时，E面正在AD上，F 正在BD上，此时PE+PF最小，对接BD，∵菱形ABCD中，∠A=60°，∴AB=AD，则△ABD是等边三角形，∴BD=AB=AD=3，∵⊙A、⊙B的半径分别为2战1，∴PE=1，DF=2，∴PE+PF的最小值是3．故问案为：3．【题后思索】此题主要考查了菱形的本量以及相切二圆的本量等知识，根据题意得出P面位子是解题闭键．。
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初中数学《最值问题》典型例题一、解决几何最值问题的通常思路两点之间线段最短；直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．轴对称最值图形lPBANM lBAAPBl 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系特征A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求AP+BP的最小值A，B为定点，l为定直线，MN为直线l上的一条动线段，求AM+BN的最小值A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值转化作其中一个定点关于定直线l的对称点先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点作其中一个定点关于定直线l的对称点折叠最值图形B'NMCAB原理两点之间线段最短特征在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值．转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为．【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．∵PC关于OA对称，∴∠COP=2∠AOP，OC=OP同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．∴△COD是等腰直角三角形．则CD=2OC=2×32=6．【题后思考】本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键．2．如图，当四边形P ABN的周长最小时，a=．【分析】因为AB，PN的长度都是固定的，所以求出P A+NB的长度就行了．问题就是P A+NB什么时候最短．把B点向左平移2个单位到B′点；作B′关于x轴的对称点B″，连接AB″，交x轴于P，从而确定N点位置，此时P A+NB最短．设直线AB″的解析式为y=kx+b，待定系数法求直线解析式．即可求得a的值．【解答】解：将N点向左平移2单位与P重合，点B向左平移2单位到B′（2，﹣1），作B′关于x轴的对称点B″，根据作法知点B″（2，1），设直线AB″的解析式为y=kx+b，则123k bk b=+⎧⎨-=+⎩，解得k=4，b=﹣7．∴y=4x﹣7．当y=0时，x=74，即P（74，0），a=74．故答案填：74．【题后思考】考查关于X轴的对称点，两点之间线段最短等知识．3．如图，A 、B 两点在直线的两侧，点A 到直线的距离AM =4，点B 到直线的距离BN =1，且MN =4，P 为直线上的动点，|P A ﹣PB |的最大值为．D PB′N MA【分析】作点B 于直线l 的对称点B ′，则PB =PB ′因而|P A ﹣PB |=|P A ﹣PB ′|，则当A ，B ′、P 在一条直线上时，|P A ﹣PB |的值最大．根据平行线分线段定理即可求得PN 和PM 的值然后根据勾股定理求得P A 、PB ′的值，进而求得|P A ﹣PB |的最大值．【解答】解：作点B 于直线l 的对称点B ′，连AB ′并延长交直线l 于P ． ∴B ′N =BN =1，过D 点作B ′D ⊥AM ， 利用勾股定理求出AB ′=5 ∴|P A ﹣PB |的最大值=5．【题后思考】本题考查了作图﹣轴对称变换，勾股定理等，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．4．动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3，AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为 ．【分析】本题关键在于找到两个极端，即BA ′取最大或最小值时，点P 或Q 的位置．经实验不难发现，分别求出点P 与B 重合时，BA ′取最大值3和当点Q 与D 重合时，BA ′的最小值1．所以可求点A ′在BC 边上移动的最大距离为2．【解答】解：当点P 与B 重合时，BA ′取最大值是3， 当点Q 与D 重合时（如图），由勾股定理得A ′C =4，此时BA ′取最小值为1． 则点A ′在BC 边上移动的最大距离为3﹣1=2． 故答案为：2【题后思考】本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成错误．5．如图，直角梯形纸片ABCD ，AD ⊥AB ，AB =8，AD =CD =4，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的落点记为P ．当P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值等于 ．【分析】如图，经分析、探究，只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小；根据勾股定理求出BD的长度，问题即可解决．【解答】解：如图，∵当点P落在梯形的内部时，∠P=∠A=90°，∴四边形PF AE是以EF为直径的圆内接四边形，∴只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小，此时E与点B重合；由题意得：PE=AB=8，由勾股定理得：BD2=82+62=80，∴BD=45，∴PD=458 ．【题后思考】该命题以直角梯形为载体，以翻折变换为方法，以考查全等三角形的判定及其性质的应用为核心构造而成；解题的关键是抓住图形在运动过程中的某一瞬间，动中求静，以静制动．6．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为．【分析】取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=AB，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大．【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，∵∠MON=90°，AB=2∴OE=AE=12AB=1，∵BC=1，四边形ABCD是矩形，∴AD，∴DE2，根据三角形的三边关系，OD＜OE+DE，∴当OD过点E是最大，最大值为2+1．故答案为：2+1．【题后思考】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，勾股定理，确定出OD过AB的中点时值最大是解题的关键．7．如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD 和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是．【分析】设AC=x，BC=4﹣x，根据等腰直角三角形性质，得出CD=22x，CD′=22（4﹣x），根据勾股定理然后用配方法即可求解．【解答】解：设AC=x，BC=4﹣x，∵△ABC，△BCD′均为等腰直角三角形，∴CD=22x，CD′=22（4﹣x），∵∠ACD=45°，∠BCD′=45°，∴∠DCE=90°，∴DE2=CD2+CE2=12x2+12（4﹣x）2=x2﹣4x+8=（x﹣2）2+4，∵根据二次函数的最值，∴当x取2时，DE取最小值，最小值为：4．故答案为：2．【题后思考】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值．8．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK 的最小值为．【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P′，连接P′Q与BD的交点即为所求的点K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P′Q⊥CD时PK+QK的最小值，然后求解即可．【解答】解：如图，∵AB=2，∠A=120°，∴点P′到CD的距离为2×33∴PK+QK3故答案为：3．【题后思考】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键．9．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上的任意一点（可与B、C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别为B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的取值范围是．【分析】首先连接AC，DP．由正方形ABCD的边长为1，即可得：S△ADP=12S正方形ABCD=12，S△ABP+S△ACP=S△ABC=12S正方形ABCD=12，继而可得12AP•（BB′+CC′+DD′）=1，又由1≤AP≤2，即可求得答案．【解答】解：连接AC，DP．∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长为1，∴AB=CD，S正方形ABCD=1，∵S△ADP=12S正方形ABCD=12，S△ABP+S△ACP=S△ABC=12S正方形ABCD=12，∴S△ADP+S△ABP+S△ACP=1，∴12AP•BB′+12AP•CC′+12AP•DD′=12AP•（BB′+CC′+DD′）=1，则BB′+CC′+DD′=2 AP，∵1≤AP≤2，∴当P当P与C重合时，有最小值2．∴2≤BB′+CC′+DD′≤2．故答案为：2≤BB′+CC′+DD′≤2．【题后思考】此题考查了正方形的性质、面积及等积变换问题．此题难度较大，解题的关键是连接AC，DP，根据题意得到S△ADP+S△ABP+S△ACP=1，继而得到BB′+CC′+DD′=2 AP．10．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A 和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是．【分析】利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P与D重合时PE+PF的最小值，进而求出即可．【解答】解：由题意可得出：当P与D重合时，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF最小，连接BD，∵菱形ABCD中，∠A=60°，∴AB=AD，则△ABD是等边三角形，∴BD=AB=AD=3，∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1，∴PE=1，DF=2，∴PE+PF的最小值是3．故答案为：3．【题后思考】此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识，根据题意得出P点位置是解题关键．。