2.2.1 椭圆及其方程
2.2.1椭圆及其标准方程
③定长大于|F1F2|
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小结(2) 若|MF1|+ |MF2|=2a（2a是常数） 椭圆 ； 当2a>|F F |时，点M的轨迹是________
1 2
线段F1F 2 当2a=|F1F2|时，点M的轨迹是________ ； 不存在 当2a<|F F |时，点M的轨迹是________.
尝试探究、形成概念
动手实验(亲身体验)
椭圆画法演示
改变两个定点的距离，再作图，多画几个
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尝试探究、形成概念
圆的定义
圆
O
类比 P 椭圆
椭圆的定义
M F1 F2
圆的定义： 平面内与一个定点 的距离等于常数(大于0) 的点的轨迹叫作圆. 这个定点叫做圆的圆心, 定长叫做圆的半径.
P
y
M (x,y)
b
O
a c
F2 (c,0)
x
那么①式就是
(a>b>0)
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总体印象： 对称、简洁，“像”直线方程的截距式
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2、椭圆的标准方程
(1)焦 点在x 轴上
这里的“标准”指的是中心在原点，对称轴是坐标轴
焦点坐标
y
M
a b c
椭圆的定义： 平面内与两个定点 F , F 的 距离和等于常数( 大于 F F )的 点的轨迹叫作椭圆。
1 2
1
2
两个问题： ①为什么要强调在平面内？ ②为什么要强调绳长大于两焦点的距离？
2.2.1 椭圆及其标准方程
2.2 椭圆2．2.1椭圆及其标准方程[提出问题]取一条定长的细绳，把它的两端分别固定在图板的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖．问题1：若绳长等于两点F1，F2的距离，画出的轨迹是什么曲线？提示：线段F1F2.问题2：若绳长大于两点F1，F2的距离，画出的轨迹还是线段吗？其图形又是什么？提示：不是线段，椭圆．[导入新知]椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，即|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)．[注意]椭圆的定义要特别注意：(1)若2a＞2c，则点P的轨迹是椭圆(点P是动点)；(2)若2a＝2c，则点P的轨迹是线段F1F2；(3)若2a＜2c，则点P的轨迹不表示任何图形．[提出问题]在平面直角坐标系中，设A(－4,0)，B(4,0)，C(0,4)，D(0，－4)．问题1：若|PA|＋|PB|＝10，则点P的轨迹方程是什么？提示：轨迹方程为x225＋y29＝1.问题2：若|PC|＋|PD|＝10，则点P的轨迹方程是什么？提示：y225＋x29＝1.[导入新知][注意]1．标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上，对称轴是坐标轴．2．标准方程的代数特征：方程右边是1，左边是关于x，y的平方和，并且分母不相等．＞b＞0)焦点在x轴上，椭圆x2b2轴上，分母下谁大焦点就在谁的坐标轴上，这叫“大小定焦点”．[例1]当3＜k＜9时，指出方程x9－k＋yk－3＝1表示的曲线．[解]∵3＜k＜9，∴9－k＞0，k－3＞0.(1)当9－k＞k－3，即3＜k＜6时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；(2)当9－k＝k－3，即k＝6时，方程表示圆x2＋y2＝3；(3)当9－k＜k－3，即6＜k＜9时，方程表示焦点在y轴上的椭圆．[类题通法]根据椭圆标准方程的两种形式可知，焦点在哪一坐标轴上，哪一变量对应的分母大，即x2对应的分母大，焦点就在x轴上；y2对应的分母大，焦点就在y 轴上．[活学活用]已知椭圆x210－m＋y2m－2＝1的焦点在y轴上，若焦距为4，则m等于________．解析：由题意得m－2＞10－m＞0，解得6＜m＜10.又a2＝m－2，b2＝10－m，则c2＝a2－b2＝2m－12＝4，解得m＝8.答案：8[例2](1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．[解](1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 将点(5,0)代入上式解得a ＝5，又c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. (2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，b 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1. [类题通法]确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)“定量”是指确定a 2，b 2的具体数值，常根据条件列方程求解．[活学活用]求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，142； (2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同的焦点． 解：(1)法一：若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)． 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＝18，1b 2＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1. 若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 4b 2＋2a 2＝1，1b 2＋144a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ 1b 2＝18，1a 2＝14.即a 2＝4，b 2＝8，则a 2＜b 2，与题设中a ＞b ＞0矛盾，舍去．综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1. 法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )．将两点(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142代入，得⎩⎨⎧ 4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1. (2)因为所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同， 所以其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)． 因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.① 又点(3，－5)在椭圆上，所以(－5)2a 2＋(3)2b 2＝1，即5a 2＋3b 2＝1.② 由①②得b 2＝4，a 2＝20，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.[例3] 已知P 为椭圆x 12＋y 3＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．[解] 在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，即36＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|.①由椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝43，即48＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|.②由①②得|PF 1|·|PF 2|＝4.∴S 12V F PF ＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝ 3. [类题通法](1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)，则点M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M 到两焦点的距离之和必为2a .(2)椭圆上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2，称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解．[活学活用]已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2是它的焦点．过F 1的直线AB 与椭圆交于A ，B 两点，求△ABF 2的周长．解：∵|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，则△ABF 2的周长＝|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ，∴△ABF 2的周长为4a .2.定义法求解轨迹方程定义法是求轨迹方程的一种常用方法．求解时，若能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．下面利用椭圆的定义求轨迹方程．1．求三角形顶点的轨迹方程[例] 已知B ，C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．[解] 以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，如图所示．由|BC |＝8，可知点B (－4,0)，C (4，0)，c ＝4.由|AB |＋|AC |＋|BC |＝18，|BC |＝8，得|AB |＋|AC |＝10.因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0，且y ≠0)，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，但点A 不在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)． [类题通法]利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程．这就是用定义法求椭圆标准方程的方法，要注意检验．[活学活用]1．若本题中“且△ABC 周长等于18”变为“且△ABC 周长等于24”，试求此时顶点A 的轨迹方程．解：由题可知，此时2a ＝24－8＝16，则a ＝8，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝48，64482．求动圆圆心的轨迹方程[例] 已知动圆M 过定点A (－3,0)，并且内切于定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64，求动圆圆心M 的轨迹方程．[解] 设动圆M 的半径为r ，则|MA |＝r ，|MB |＝8－r ，∴|MA |＋|MB |＝8，且8＞|AB |＝6，∴动点M 的轨迹是椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且焦点分别是A (－3,0)，B (3,0)，且2a ＝8，∴a ＝4，c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴所求动圆圆心M 的轨迹方程是x 216＋y 27＝1. [类题通法]巧妙地应用几何知识(两圆内切时圆心距与半径之间的关系)，寻求到|MA |＋|MB |＝8，而且8＞|AB |＝6，从而判断动点M 的轨迹是椭圆．[活学活用]2．已知动圆M 和定圆C 1：x 2＋(y －3)2＝64相内切，并且外切于定圆C 2：x 2＋(y ＋3)2＝4，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：设动圆M 的半径为r ，圆心M (x ，y )，两定圆圆心C 1(0,3)，C 2(0，－3)，半径r 1＝8，r 2＝2.则|MC 1|＝8－r ，|MC 2|＝r ＋2.故|MC 1|＋|MC 2|＝(8－r )＋(r ＋2)＝10.又|C 1C 2|＝6，则动圆圆心M 的轨迹是椭圆，设其方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)， 且焦点为C 1(0,3)，C 2(0，－3)，2a ＝10，即a ＝5，c ＝3，则b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16.2516。
课件9：2.2.1 椭圆及其标准方程
P 是椭圆1x22 ＋y32＝1 上的一点，F1，F2为两个焦点，若∠F1PF2
＝60°，则△F1PF2 的面积为( )
A．2 3
B． 3
C．4
D．2
[答案] B
[解析] 根据椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝4 3，
平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2设|F1F2|＝2c，常数 为2a？为何令a2－c2＝b2，
❖ 在求方程时，设椭圆的焦距为2c(c>0)，椭圆上任意 一点到两个焦点的距离的和为2a(a>0)，这是为了使 推导出的椭圆的方程形式简单．令a2－c2＝b2是为 了使方程的形式整齐而便于记忆．
❖ 3．推导椭圆方程时，需化简无理式，应注意什 么？
P 到右焦点的距离是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
[答案] D
[解析] 设椭圆的左、右焦点分别为 F1、F2，由椭圆的定
义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，∴|PF2|＝10－|PF1|＝10－4＝6.
5．椭圆xm2＋y42＝1 的焦距为 2，则 m 的值为________． [答案] 5 或 3 [解析] 若焦点在 x 轴上，则 m－4＝1，∴m＝5； 若焦点在 y 轴上，则 4－m＝1，∴m＝3.
由椭圆定义知，动点 M 的轨迹是以 F1、F2 为焦点，焦距 为 8 的椭圆．
(2)因为|MF1|＋|MF2|＝8＝|F1F2|，所以动点 M 的轨迹是线 段 F1F2.
2．椭圆1x424＋1y629＝1 的焦点坐标是(
)
A．(±5,0)
B．(0，±5)
C．(0，±12)
D．(±12,0)
❖ [答案] B
高二数学 2.2.1 椭圆及其标准方程
工具
第二章 圆锥曲线与方程
栏目导引
2．请同学们将一根无弹性的细绳两端系在圆规两端下部， 并将两脚固定，用笔绷紧细绳在纸上移动，观察画出的轨迹是 什么曲线，并思考下面的问题：
(1)在画出一个椭圆的过程中，圆规两脚末端的位置是固定 的还是运动的？
(2)在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？ (3)在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关 系？
A．7 倍
B．5 倍
C．4 倍
D．3 倍
工具
第二章 圆锥曲线与方程
栏目导引
解析：
(1)如图所示，由已知：a＝5， △AF1B的周长l＝|AF1|＋|AB|＋|BF1| ＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF2|＋|BF1|)＝4a＝20.
工具
第二章 圆锥曲线与方程
栏目导引
(2)不妨设 F1(－3,0)，F2(3,0)， 由条件知 P3，± 23， 即|PF2|＝ 23，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4 3， 即|PF1|＝7 23， 所以|PF1|＝7|PF2|.故选 A.
解析： 由已知 2a＝8,2c＝2 15， ∴a＝4，c＝ 15， ∴b2＝a2－c2＝16－15＝1， ∴椭圆标准方程为1y62 ＋x2＝1. 答案： 1y62 ＋x2＝1
工具
第二章 圆锥曲线与方程
栏目导引
4．已知椭圆88x12＋3y62 ＝1 上一点 M 的纵坐标为 2. (1)求 M 的横坐标； (2)求过 M 且与x92＋y42＝1 共焦点的椭圆的方程． 解析： (1)把 M 的纵坐标代入88x12＋3y62 ＝1 得88x12＋346＝1， 即 x2＝9. ∴x＝±3.即 M 的横坐标为 3 或－3.
2.2.1椭圆及其标准方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
P 是椭圆1x22 ＋y32＝1 上的一点，F1、F2为两个焦点，若∠F1PF2
＝60°，则△F1PF2 的面积为( )
Aபைடு நூலகம்2 3
B． 3
C．4
D．2
[答案] B
第二章 2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
第二章 2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
注意挖掘隐含条件 △ABC 的三边 a，b，c(a>b>c)成等差数列，A、
C 两点的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，求顶点 B 的轨迹． [错解] 设点 B 的坐标为(x，y)． ∵a、b、c 成等差数列，∴a＋c＝2b，即|BC|＋|BA|＝2|AC|，
第二章 2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
椭圆的标准方程
根据下列条件，写出椭圆的标准方程． (1)两个焦点坐标分别是(0,5)、(0，－5)，椭圆上一点 P 到 两焦点的距离和为 26，________. (2)经过点 P(1，32)，两焦点间的距离为 2，焦点在 x 轴上， ________. [答案] (1)1y629＋1x424＝1 (2)x42＋y32＝1
第二章 2.2 第1课时
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(2)设椭圆的标准方程为ax22＋by22＝1， ∵焦点在 x 轴上，2c＝2，∴a2＝b2＋1，
9 又椭圆经过点 P(1，32)，∴b2＋1 1＋b42＝1， 解之得 b2＝3，∴a2＝4. ∴椭圆的标准方程为x42＋y32＝1.
高二数学 2.2.1 椭圆及其标准方程
第35页
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第二章 §2.2 2.2.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版·选修2-1
解 设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且 A≠B)，依题意可得31A2A＋＋4BB＝＝11，， ⇒AB＝＝11515. ，
故所求的椭圆方程为1x52 ＋y52＝1.
第36页
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第27页
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第二章 §2.2 2.2.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版·选修2-1
题型三 求经过两点的椭圆的标准方程 例3 求经过两点P1 13，13 ，P2 0，－12 的椭圆的标准方 程．
第28页
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第二章 §2.2 2.2.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版·选修2-1
第二章 §2.2 2.2.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版·选修2-1
题型四 用定义求椭圆的标准方程 例4 已知△ABC的一边BC长为8，周长为20，求顶点A 的轨迹方程． 分析 注意顶点A到B和C的距离之和为定值，故可考虑 利用椭圆的定义来求其方程．
第37页
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第二章 §2.2 2.2.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版·选修2-1
解法2 设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞ 0，A≠B)．
依题意，得A132＋B132＝1， B－122＝1，
⇒AB＝ ＝54.，
故所求的椭圆方程为5x2＋4y2＝1.
第33页
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第二章 §2.2 2.2.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版·选修2-1
分析1 因为椭圆焦点的位置不确定，故可分焦点在x轴 和y轴两种情况分别求解．
第29页
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第二章 §2.2 2.2.1
用2.2.1椭圆及其标准方程
2 y 故所求椭圆的标准方程为 x 2 1. 4
类型二 求椭圆的标准方程 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程： ①两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5，0). ②焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1,0). ③经过点 A( 3， 2) 和点 B 2 3,1 .
x 2 y2 1， 可知焦点在y轴上, 16 25
,焦距为_______.
则a2=25,b2=16,所以c2=25-16=9,
则c=3,所以焦点为(0,〒3),焦距为2c=6.
答案:(0,〒3) 6
类型一
椭圆的焦点位置及坐标
例
求下列方程表示的椭圆的焦点坐标： x2 y2 (1) ＋ ＝1； (2)8x2＋3y2＝24. 36 24
[解析] (1)已知方程就是椭圆的标准方程，由 36>24 可知，这个椭 圆的焦点在 x 轴上，且 a2＝36，b2＝24.得 c2＝a2－b2＝36－24＝12， c＝2 3. 因此，椭圆的焦点坐标为(－2 3，0)，(2 3，0)． x2 y2 (2)把已知椭圆的方程化为标准方程 ＋ ＝1. 3 8 由 8>3 可知这个椭圆的焦点在 y 轴上， ∵a2＝8，b2＝3，∴c2＝a2－b2＝8－3＝5，c＝ 5. 因此，椭圆的焦点坐标为(0，－ 5)，(0， 5)．
2 2 3 2 2 1, 2 2 a 5, b 依题意有 a 解得 2 2 b 15. 1 2 3 2 1, 2 b a
a
b
因为a＞b＞0，所以无解.
2 2 x y 综上，所求椭圆的标准方程为 1. 15 5
③应分焦点在x轴上，y轴上两种情况讨论求解.
§2.2.1 椭圆及其标准方程
§2.2.1 椭圆及其标准方程一、教学目标1.知识教学点使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程．2.能力训练点通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力．二、重点、难点1．重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．2．难点：椭圆的标准方程的推导．三、活动设计提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答．四、教学过程(一)椭圆概念的引入前面，大家学习了曲线的方程等概念，哪一位同学回答：问题1：什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？对上述问题学生的回答基本正确，否则，教师给予纠正．这样便于学生温故而知新，在已有知识基础上去探求新知识．提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形．问题2：圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？一般学生能回答：“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”．对同学提出的轨迹命题如：“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹．”“到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹．”“到两定点距离之差等于常数的点的轨迹．”教师要加以肯定，以鼓励同学们的探索精神．比如说，若同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”，那么动点轨迹是什么呢？这时教师示范引导学生绘图：取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如图2-13)，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆．教师进一步追问：“椭圆，在哪些地方见过？”有的同学说：“立体几何中圆的直观图．”有的同学说：“人造卫星运行轨道”等……认识椭圆（幻灯片）在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调：(1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：“在平面内”．(2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜|F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2|”．(二)椭圆标准方程的推导1．标准方程的推导由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．(1)建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图2-14)．设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，0)，F2(c，0)．(2)点的集合由定义不难得出椭圆集合为：P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代数方程(4)化简方程化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演，其余同学在下面完成，教师巡视，适当给予提示：①原方程要移项平方，否则化简相当复杂；注意两次平方的理由详见问题3说明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②为使方程对称和谐而引入b，同时b还有几何意义，下节课还要(a＞b＞0)．关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这里c2=a2-b2．2．两种标准方程的比较(引导学生归纳)F1(-c，0)、F2(c，0)，这里c2=a2-b2；F1(-c，0)、F2(0，c)，这里c2=a2+b2，只须将(1)方程的x、y互换即可得到．教师指出：在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．，，(三)例题与练习例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)、(4，0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10；(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)、(0，2)，并且椭圆经过点解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为∵ 2a ＝10，2c ＝8，∴ a ＝5，c ＝4．∴ b2=a2－c2=52－42=9．所以所求椭圆的标准方程为(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为由椭圆的定义知，又c=2，∴ b2=a2－c2＝10－4=6．所以所求椭圆的标准方程为练习:求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点在x 轴上，且a ＝4，c ＝2； (2)经过点A (0,2)和B (12，3)． 【解】 (1)a 2＝16，c 2＝4，∴b 2＝16－4＝12且焦点在x 轴上，故椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1. (2)设所求椭圆的标准方程为 Mx 2＋Ny 2＝1(M ＞0，N ＞0，M ≠N )．∵椭圆经过A (0,2)和B (12，3)两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧M ·0＋N ·4＝1M ·14＋N ·3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ M ＝1N ＝14. ∴所求椭圆方程为x 2＋y 24＝1. (四)小结1．定义：椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．2．焦点：F1(-c ，0)，F2(c ，0)．F1(0，-c)，F2(0，c)．3.讨论了求椭圆标准方程的方法：注意：求出曲线的方程之后，要验证方程的曲线上的点是否都符合题意，如有不符合题意的点应在所得方程后注明限制条件。
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班级 姓名 得分
一、选择题
1．设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段 2．中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4,0)、(0,2)的椭圆方程为( )
A.x 24＋y 22＝1
B.y 24＋x 22＝1
C.y 216＋x 24＝1
D.x 216＋y 2
4＝1 3．椭圆ax 2＋by 2＋ab ＝0(a <b <0)的焦点坐标是( )
A ．(±a －b ，0)
B ．(±b －a ，0)
C ．(0，±a －b )
D ．(0，±b －a ) 4． “1<m <2”是“方程x 2m －1＋y 2
3－m ＝1表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分的椭圆的方程是( ) A.x 281＋y 245＝1 B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 272＝1 D.x 281＋y 2
36＝1 6．直线2x ＋by ＋3＝0过椭圆10x 2＋y 2＝10的一个焦点，则b 的值为( )
A ．－1 B.1
2 C ．－1或1
D ．－12或1
2
二、填空题
7．椭圆x 25＋y 2
4
＝1的焦点坐标是__________________．
8．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为__________________．
9．已知椭圆的焦点是F 1(－1,0)、F 2(1,0)，P 是椭圆上的一点，若|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项，则该椭圆的方程是__________________．
10．如图，把椭圆x 225＋y 2
16＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆
的上半部分于P 1、P 2、…、P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝__________________.
三、解答题
11．已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3,0)，a ＝3b ，求椭圆的标准方程．
12．已知点A (－12，0)，B 是圆F ：(x －1
2) 2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，
求动点P 的轨迹方程．
1.答案] D
2.答案] D
解析] 解法一：验证排除：将点(4,0)代入验证可排除A 、B 、C ，故选D.
解法二：设椭圆方程为mx 2
＋ny 2
＝1(m >0，n >0)，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
16m ＝1
4n ＝1，∴⎩⎨⎧
m ＝1
16
n ＝1
4
，
故选D. 3.答案] D
解析] ax 2
＋by 2
＋ab ＝0可化为x 2－b ＋y 2
－a
＝1，
∵a <b <0，∴－a >－b >0，
∴焦点在y 轴上，c ＝－a ＋b ＝b －a ， ∴焦点坐标为(0，±b －a )． 4.答案] C
解析] 方程x 2
m －1＋y
2
3－m
＝1表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆，∴⎩⎪⎨⎪⎧
m －1>03－m >0
3－m >m －1
，∴1<m <2，故选C.
5.答案] C
解析] 由长轴长为18知a ＝9，∵两个焦点将长轴长三等分，∴2c ＝1
3(2a )＝6，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝72，
故选C. 6.答案] C
解析] 椭圆方程化为标准形式为x 2
＋y 2
10
＝1，∴焦点坐标为(0，±3)，当直线过焦点(0,3)时，b ＝－1；当直
线过焦点(0，－3)时，b ＝1. 7.答案] (－1,0)、(1,0)
8.答案] x 24＋y 2
3
＝1
解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝3a －c ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2c ＝1
.
故b 2
＝a 2
－c 2
＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 2
3
＝1.
9.答案] x 24＋y 2
3
＝1
解析] 由题意得2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|， ∴4c ＝2a ，∵c ＝1，∴a ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝3， 故椭圆方程为x 24＋y 2
3＝1.
10.答案] 35
11.解析] 当焦点在x 轴上时，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知9a 2＋0
b 2＝1，又a ＝3b ，
解得b 2
＝1，a 2
＝9，故椭圆的方程为x 29
＋y 2
＝1.
当焦点在y 轴上时，设其方程为y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a >b >0)．
由椭圆过点P (3,0)，知0a 2＋9b 2＝1，又a ＝3b ，联立解得a 2＝81，b 2
＝9，故椭圆的方程为y 281＋x 29＝1.
故椭圆的标准方程为y 281＋x 29＝1或x 29＋y 2
＝1.
12.解析] 如图所示，由题意知，。