第二章地基中应力与变形计算
岩土力学中应力计算
的原因 附加应力 土 中
由于外荷（静的或动的） 在土体内部引起的应力， 记为σZ。
应 力
有效应力
土粒所传递的粒间应力， 记为σ′。
按其传
递方式
孔隙水压力
土中水传递的 孔隙应力， 记
孔隙应力 孔隙气压力
为u。
土中气传递的 孔隙应力。
土中应力计算的基本假定
假定地基土是均匀、连续、各向同性的半无限弹性体。
【解】
本例题天然地面下第一层粉质黏土厚6m，其中地下水位以 上和以下的厚度分别为3.6m和2.4m；第二层为黏土层。依 次 计算2.5m、3.6m、5m、6m、9m各深度处的土中竖向自重 应 力，计算过程及自重应力分布图一并列于下图中。
粉 质 黏 土
黏 土
习题2-1图
三、土中附加应力计算
上部 结构
应力矩阵
ij yxx
xy y
xz yz
zx zy z
三维应力状态（轴对称应力状态）
应力条件
x y c
xy yz zx 0
水压 力c
应
c 0 0
力 矩
ij
0
c
0
阵
0 0 z
轴向力F
z
试 样
y
x
x y c
2、二维应力状态（平面应变状态）
o
y
z
x
1、当位于地下水位以下的土为砂土时，土中水为自由 水，计算时用土的浮重度。
2、当位于地下水位以下的土为坚硬黏土时（IL ≤ 0） ， 在饱和坚硬黏土中只含有结合水，对土体没有浮力 的作用，计算自重应力时应采用饱和重度。
3、地下水位以下黏土，当 IL > 1时，土处于流动状态， 土粒间存在大量的自由水，用土的浮重度。
土力学与地基基础土中应力分布与计算
【例4-1】某建筑物场地的土层及其物理性质指标如图4-5所示，试计算土中自重应力，并绘制出分布图。
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第三节 基底压力的计算
1 基本概念（1）基底接触压力的产生 建筑物荷重 基础 地基在地基与基础的接触面上产生的压力（地基作用于基础底面的反力）（2）接触压力的大小影响因素 地基土和基础的刚度 荷载 基础埋深 地基土性质
第38页/共79页
若在空间将 相同的点连接成曲面，可以得到如图4-13所示的等值线，其空间曲面的形状如泡状，所以也称为应力泡。规律：即集中力P在地基中引起的附加应力的分布是向下、向四周无限扩散。
第39页/共79页
在工程实践中，建筑物荷载都是通过一定尺寸的基础传递给地基的。对于不同的基础形状和基础地面的压力分布，均可利用上述集中荷载引起的附加应力的计算方法和应力叠加原理，计算地基中任意点的附加应力。具体求解时，常按应力状态的特性划分为空间问题和平面问题。
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土中附加应力是指由土体受外荷载（包括建筑物荷载、交通荷载、堤坝荷载等）以及地下渗流、地震等作用下附加产生的应力增量，它是产生地基变形的主要原因，也是导致地基土的强度破坏和失稳的重要原因。
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第二节 地基中的自重应力
一、土中竖向自重应力（一）单层土的竖向自重应力 在计算土中自重应力时，假设天然地面是一个无限大的水平面，因而在任意竖直面和 水平面上均无剪应力存在。可取作用于该水平面上任一单位面积的土柱体自重计算(图)，即：
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(1)o点在荷载面边缘 σz＝（αcⅠ＋αcⅡ）p0(2)o点在荷载面内σz＝(αcⅠ＋αcⅡ＋αcⅢ＋αcⅣ)p0 o点位于荷载面中心，因αcⅠ=αcⅡ=αcⅢ=αcⅣσz=4αp0
地基中的应力计算
地基中的应力计算地基是地下工程中最基本的构造部分，承受着上部结构的重量和荷载，承担着巨大的压力作用。
在地基设计中，应力计算是非常重要的一部分，它能够提供地基承载力和安全性的评估。
本文将介绍地基中应力计算的方法和计算公式。
首先，需要了解地基中的应力是如何形成的。
地基承受的主要应力有自重应力、活载荷载应力和附加应力。
自重应力是由于地基材料本身的重量所引起的应力，可以通过材料的密度和重力加速度计算得到。
活载荷载应力是由上部结构的荷载所引起的应力，可以根据上部结构的设计荷载计算得到。
附加应力是由于地基中存在的其他因素所引起的应力，比如建筑物的自身形变引起的应力。
接下来，我们介绍如何计算地基中的应力。
地基中的应力计算可以根据不同的地基类型和荷载情况采用不同的方法。
下面以均质土壤的地基为例，介绍几种常用的应力计算方法。
1.利用铁索计算应力：铁索是一种常用的应力计算工具，可以通过测量铁索的伸长量来计算地基中的应力。
首先，在地基中铺设一根长度合适的铁索，然后测量并记录铁索的伸长量。
根据该伸长量和铁索的初始长度，可以通过应力-应变关系计算得到地基中的应力。
2.利用试孔计算应力：试孔是另一种用于计算地基中应力的方法。
首先，在地基中进行试孔，并记录试孔的深度和直径。
然后，根据试孔的直径和土壤的剪切强度，可以计算得到地基中的应力分布情况。
3.利用数值模拟计算应力：数值模拟是一种常用的计算地基应力的方法，它可以通过建立地基的有限元模型来模拟地基的应力分布情况。
首先，需要根据地基的实际情况建立有限元模型，然后通过数值计算方法求解得到地基中的应力。
综上所述，地基中的应力计算是地基设计的重要环节，可以通过铁索、试孔和数值模拟等多种方法进行计算。
在进行应力计算时，需要考虑地基的类型、荷载情况和材料特性等因素，确保计算结果的准确性和可靠性。
地基中的应力计算对于确保地基的稳定性和安全性具有重要意义，是地基设计中不可或缺的一环。
土力学-地基中的应力计算概述
基础传至地 基的荷载
地基
基础 埋深
（1）集中荷载作用下的解 ( Boussinesq 解，1885 )
P
x
r
y
x
y
R
z
z
• 位移解
ux4PG[R xz3(12)R(Rxz)]
uz
4PG[R z23
(1)1]
R
Valentin Joseph Boussinesq (1842-1929)
法国著名物理家和数学 家，对数学物理、流体力学 和固体力学都有贡献。
a
a
a
b
角点
b
p
b
中心点
1
2
34
任意点
z
z
z
k(a , b
z) b
p
z
z
z
4k(a, b
2z) b
p
z z
k k1 k2 k3 k4
z k p
3）矩形线性荷载 （角点下）
角点
b
角点
p
z
a
z
p
z
k(b , a
z) a
p
查表计算
3. 应力计算小结
（1）自重应力及均匀满布荷载作用下的附加应力，可利用平衡方程 等通过简单方法获得。
（2）线状荷载作用下的应力（Flamant解）
p
1）属平面应变问题，即：
a. 应变 y 0 。
dP pdy
b. 位移、应力等量仅与坐标
x、z有关。
x
2）利用Boussinesq解，通过 沿荷载分布线积分得到应力。
x - dx=2p(x2x2zz2)2
y
xz
2p
第二章 土体中的应力计算
• [思考题答案] 按给出的资料，计算并绘制地 基中的自重应力 沿深度的分布曲线。 （假定，地下水位位于标高为141.0处。）
2.2
基底压力
• 基底压力：上部结构荷载和基础自重通过 基础传递，在基础底面处施加于地基上的 单位面积压力。 • 基底反力：反向施加于基础底面上的压力
基底压力、反力
• 基底压力 建筑物上部结构荷载和基础自重通过基础传 基底压力：
讨论： 讨论：
p max p min = F + G 6e 1± bl l
当e<l/6时，pmax，pmin>0，基底压力呈梯形分布 时 ， 当e=l/6时，pmax>0，pmin=0，基底压力呈三角形分布 时 ， ， 当e>l/6时，pmax>0，pmin<0，基底出现拉应力，基底压力重分布 时 ， ，基底出现拉应力， pmax e<l/6 pmin pmax e=l/6 pmax pmin<0 基底压力重分布 pmax e>l/6 pmin=0
2.2.1 基底压力的分布规律
（1）情况1 情况1
EI=0
(a) 理想柔性基础
(b) 堤坝下基底压力
图2-1 柔性基础 基础抗弯刚度EI=0，相当于绝对柔性基础 基底压力分布与作用荷载分布相同。 基底压力分布与作用荷载分布相同。
（2）情况2 EI=∞ 情况2 刚度很大(即EI=∞),可视为刚性基础(大块混凝土实体结构) 。 荷载小，呈中央小而边缘大的情形。 荷载小，呈中央小而边缘大的情形。 随作用荷载增大，呈抛物线分布。 随作用荷载增大，呈抛物线分布。 作用荷载继续增大，发展为钟形分布。 作用荷载继续增大，发展为钟形分布。
例题见教材P29 例题见教材P29 [例2-2]解题思路: 2]解题思路: 解题思路 1)求基础自重 G=γGAd 2)求外荷F=P+Q 3)求基础的合力距M:M=M/+Q∙e0 4）求合力距的偏心距e ：M=(F+G)∙e p F + G 6e 5）求基底压力 = 1 ±
地基中的应力
第2章地基中的应力§ 2.1 概述建筑物的建造使地基中原有的应力状态发生了变化，从而引起地基变形。
若地基应力过大，超过了地基的极限承载力，则可能引起地基丧失整体稳定性而破坏。
不均匀地基变形可能造成建筑物倾斜，也可能在上部结构中产生一定的次应力而导致建筑物开裂或破坏。
即使是均匀下沉，如果沉降过大，也必定会影响建筑物的正常使用。
因此，掌握地基的应力与变形计算是保证建筑物正常使用和安全可靠的前提。
2.1.1 土的应力与地基变形的概念地基中的应力按产生的原因不同，可分为自重应力和附加应力，二者合起来构成土体中的总应力。
由土的自重在地基内所产生的应力称为自重应力；由建筑物的荷载或其他外载在地基内所产生的应力称为附加应力。
对于形成年代比较久远的土，在自重应力作用下，其变形已经稳定，因此，除新填土外，一般说来，土的自重应力不再引起地基的变形。
而附加应力则不同，因为它是地基中新增加的应力，将会引起地基变形。
地基的变形导致基础沉降、倾斜和相邻基础出现沉降差。
研究地基的应力和变形，必须从土的应力与应变的基本关系出发。
土是由土粒、水和气所组成的非连续介质。
土的应力应变关系同土的种类、密实度、应力历史、受力条件等有密切关系，具有非线性非弹性的特征。
同时，土的变形都有一个由开始到稳定的过程，既需要一定的固结时间。
显然，要找出一个数学模型来全面地、正确地反映土的应力应变关系，其难度是相当大的。
因此，工程上计算地基的应力和变形时通常要作一些假定和简化。
在计算土中应力时，一般假定地基为均质的线性变形半空间，应用弹性力学公式来求解地基中的附加应力。
由于一般建筑物荷载作用下地基中应力的变化范围不太大，上述简化计算所引起的误差，一般不会超过工程所许可的范围。
由于地基土的非均质性和土性状的复杂性，目前还无法较为准确地计算地基的变形。
常用的计算方法一般是先按弹性力学公式求得地基中的附加应力，然后利用某些简化假设来解决地基的沉降计算问题。
土力学与地基基础——第二章
pi 1 z Ki 2 2 z z i 1
n
K P
i 1 i i
n
2.3 地基中的附加应力
讨论：集中力荷载产生的竖向附加应力在地基
2.3 地基中的附加应力
(d)o点在荷载面角点外侧 把荷载面看成由I(ohce)、Ⅳ(ogaf)两个面积中扣除 Ⅱ(ohbf)和Ⅲ(ogde)而成的，所以
z ( Kc1 Kc 2 Kc3 Kc 4 ) p0
2.3 地基中的附加应力
例题 以角点法计算矩形基础甲的基底中心点
垂线下不同深度处的地基附加应力的分布，基 础埋深1.5m,集中力为1940KN，并考虑两相邻 基础乙的影响(两相邻柱距为6m，荷载同基础 甲)。
(b)o点在荷载面内
z ( Kc1 Kc 2 Kc 3 Kc 4 ) p0
(c)o点在荷载面边缘外侧 此时荷载面abcd可看成是由I(ofbg)与Ⅱ(ofah)之差和 Ⅲ(oecg)与Ⅳ(oedh)之差合成的，所以
z ( Kc1 Kc 2 Kc 3 Kc 4 ) p0
如果基础砌置在天然地面上，那末全部基底压 力就是新增加于地基表面的基底附加压力。一 般天然土层在自重作用下的变形早巳结束，因 此只有基底附加压力才能引起地基的附加应力 和变形。
2.2 基底压力
基底压力为均匀分布时：
p0 p 0 p 0 d
基底压力为梯形分布时：
p0 max p0 min
2.1 地基中的自重应力
什么时候考虑土体在自重下的自重应力？ 土层一般形成至今有很长的时间，自重应力下
地基与基础课程习题集
《地基与基础》习题集第一章 土的物理性质及工程分类一、思考题1-1 何谓土的结构？土的结构有哪几种？试将各种土的结构的工程性质作一比较。
1-2 土由哪几部分组成？土中三相比例的变化对土的性质有什么影响？ 1-3 何谓土的颗粒级配？何谓级配良好？何谓级配不良？1-4 土体中的土中水包括哪几种？结合水有何特性？土中固态水（冰）对工程有何影响？ 1-5 土的物理性质指标有哪些？其中哪几个可以直接测定？常用测定方法是什么？1-6 土的密度ρ与土的重度γ的物理意义和单位有何区别？说明天然重度γ、饱和重度sat γ、有效重度γ'和干重度d γ之间的相互关系，并比较其数值的大小。
1-7 无粘性土最主要的物理状态指标是什么？1-8 粘性土的物理状态指标是什么？何谓液限？何谓塑限？它们与天然含水量是否有关？ 1-9 何谓塑性指数？其大小与土颗粒粗细有何关系？ 1-10 何谓液性指数？如何应用其大小来评价土的工程性质？ 1-11 地基土（岩）分哪几大类？各类土是如何划分的？ 二、综合练习题1-1 某办公楼工程地质勘察中取原状土做试验，用体积为1003cm 的环刀取样试验，用天平测得环刀加湿土的质量为245.00g ，环刀质量为55.00g ，烘干后土样质量为215.00g ，土粒比重为2.70。
计算此土样的天然密度、干密度、饱和密度、天然含水率、孔隙比、孔隙率以及饱和度，并比较各种密度的大小。
答案：1.903/cm g ，1.603/cm g ，2.013/cm g ,18.75%，0.686，40.7%，0.74，sat ρ＞ρ＞d ρ1-2 某完全饱和粘性土的含水量为45%，土粒相对密度为2.68，试求土的孔隙比e 和干重度d γ。
答案：1.206，12.153/m KN1-3 某住宅地基土的试验中，已测得土的干密度d ρ=1.643/cm g ，含水率ω=21.3﹪，土粒比重S d =2.65。
计算土的e ，n 和r S 。
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n
在第n层分界： cn i hi i1
n1
n1
在第n层土中： cz i hi n (z hi )
i 1
i 1
地下水位以上 用天然重度， 地下水位以下 用有效重度。
2020/3/1
6
第二章 地基中应力与变形计算
2.2 土中的自重应力
五、多层土中隔水层面上的自重应力计算
cz A W z A
cz z
B
均质土体中的竖向自重应力 随深度线性增加，呈三角形 分布
2020/3/1
z
M
cz z
均质土体中的自重应力
4
第二章 地基中应力与变形计算
2.2 土中的自重应力
2、均质土体中的侧向自重应力
根据弹性理论， xy yz xz 0 时 广义虎克定律
。
2020/3/1
5
第二章 地基中应力与变形计算
2.2 土中的自重应力
三、有地下水时的自重应力计算
在水位面以下，自重应力的计算公式为：
cz h1 z h1 (z h1)
´—土的有效重度； h1—水位面深度
四、成层土中的自重应力计算
当地基由多层水平分布的土层构成时：
2.4 地基附加应力
二、等代荷载法
等代荷载法：当所求应力点M与分布荷载距离比该荷载面积尺寸大很多时， 用其等效集中力P代替原有荷载，而直接用布氏解计算其附加应力的方法。
对多个分布荷载，应用叠加原理，可得：
z
1 z2
n
K i Pi
i 1
Pi—第i个分布力对应的等效集中力； Ki—集中力Pi在M点的附加应力系数； z—M点的深度。
0.40 0.3295 0.90 0.1083 1.40 0.0317 1.90 0.0105 4.50 0.0002
0.45 0.3011 0.95 0.0956 1.45 0.0282 1.95 0.0094 5.00 0.0001
2020/3/1
集中力作用下的地基竖向附加应力系数K
18
第二章 地基中应力与变形计算
F G 6
2
2020/3/1
F＋G M
k e>l/6 F＋G l pmax
大偏心荷载作用下的基础底面压力
14
第二章 地基中应力与变形计算
2.3 基础底面接触压力
4、矩形基础受双向小偏心荷载作用时的基础底面压力计算
矩形基础受双向小偏心荷载作用时，根 据弹性力学的应力叠加原理可得：
pmax pmin
第二章 地基中应力与变形计算
2.1 概述
地面构筑物、 车辆荷载等
改变
地基
中的 引 起
应力
地基土变形、 破坏、失稳
地基中应力：自重应力、构造应力、水压力、温度应力、地震力等
地面荷载影响深度小 选址时避开了构造带
假定地层中仅存在自重应力这种初始应力
2020/3/1
1
第二章 地基中应力与变形计算
2.2 土中的自重应力
在透水层底面：
n
cn上 i hi i 1
i在地下水位以上取天然 重度，以下取有效重度。
在隔水层顶面：
N
cn下 cn上 w hw
F
2020/3/1
G
7
第二章 地基中应力与变形计算
2.2 土中的自重应力
六、地下水位的升降对土中自重应力的影响
当地下水位从z=h1下降到z=h1+h2时，土中的应力增量为：
一般分布荷载 的地基竖向附加应力
2020/3/1
20
第二章 地基中应力与变形计算
2.4 地基附加应力
（二）矩形均布荷载下的地基附加应力
1、矩形均布荷载角点下的地基附加应力计算
根据布氏解：
z
3p0 z3 2
b 0
l 0
(x2
dxdy y2 z2 )5/2
积分，并令m＝l/b，n=z/b，得：
基底压力分布的影响因素：荷载大 小和分布；基础刚度、埋深，地基 土性质等。
柔性基础基底压力
P 砂土 200 400 kPa
2020/3/1
q
P
砂土 200
400 kPa
q
P
粘性土 200
400 kPa
圆形刚性压板底面压力实测情况
q
P
q
粘性土 200
400 kPa
9
第二章 地基中应力与变形计算
2.3 基础底面接触压力
d z
3
2
p0 (x、y)z 3 (x2 y2 z2)5/2
dxdy
则面积域Ω上的分布荷载在M点引起的地基附 加应力为：
dP p0 (x、y)dxdy Ω A (x、y、0) R
M (0、0、z)
z
3
2
p0 (x、y)z 3 (x2 y2 z2)5/2
dxdy
2020/3/1
10
第二章 地基中应力与变形计算
2.3 基础底面接触压力
1、中心荷载作用下的矩形基础底面压力简化计算
室内设计地面 F ± 0.00
G d
± 0.00 F 室外设计地面
G d
b
b
p
F
G A
F
G Ad A
F A
Gd
F—上部结构传递给
基础的竖向力； G—基础及上覆土的
p(1
6e ) l
e M l F G 6
F＋G
M
e<l/6 F＋G l
pmax
pmin
对墙下条形基础，偏心边为b，非偏心边为1，则：
pm pm
ax in
F
b
G
M (b2 / 6)
p(1
6e ) b
e M b F G 6
21
第二章 地基中应力与变形计算
2.4 地基附加应力
2、角点法
d
cd
ce
d
c
e
d
c
Ⅱ
ⅣⅢ
Ⅳ
o
e
o
o
h
g
Ⅰ
ⅠⅡ
Ⅱ
a
ba
bf
a
b
f Ⅳa
b
o
g
h
(a)
(b)
(c)
(d)
（a）σz=(KcI+KcII) p0；
（b）σz=(KcI+KcII+KcIII+KcIV) p0；
设弯矩M在基础边缘产生的应力为p1，则：
M 2
l 2
p1 x
b dx x
4 p1b
l
2 x2dx
p1bl 2
0 l/2
l0
6
p1
6M bl 2
12
第二章 地基中应力与变形计算
2.3 基础底面接触压力
p1
6M bl 2
pmax pmin
F G lb
M (l 2b / 6)
总重量； G —基础及上覆土 的加权平均重度； A—基础底面面积； d—基础平均埋置深
度。
2020/3/1
11
第二章 地基中应力与变形计算
2.3 基础底面接触压力
2、单向小偏心荷载作用下的矩形基础底面压力计算
F G
e
F G
M e(F G)
e M F G
x dx
l/2
dp1
p1
2020/3/1
zx M (x, y, z)
xz x
z
yxxy
y
竖向集中力作用下的地基应力
K—集中力作用下地基竖向附加应力系数； E—介质的弹性模量，对于土体而言，为变 形模量E0； —介质的泊松比； w—M点沿z方向的位移。
2020/3/1
17
第二章 地基中应力与变形计算
2.4 地基附加应力
（二）K值计算列表
0.10 0.4657 0.60 0.2214 1.10 0.0658 1.60 0.0200 2.40 0.0040
0.15 0.4516 0.65 0.1978 1.15 0.0581 1.65 0.0179 2.60 0.0028
0.20 0.4329 0.70 0.1762 1.20 0.0513 1.70 0.0160 2.80 0.0021
F G lb
My (l 2b / 6)
Mx (b2l / 6)
p1 p2
F G lb
My (l 2b / 6)
Mx (b2l / 6)
b
x P2
F＋G y
My Mx
y l
pmin
x
pmax P1
矩形基础受双向小偏心 荷载作用时的基础底面压力分布
2020/3/1
15
土是一种连续的弹性介质
土中自重应力计算 的假设前提
2020/3/1
天然地面是一个无限大的水平面， 地基土是半空间体
任一土层都是水平分布的，同一 土层的土是均质、各向同性的。
2
第二章 地基中应力与变形计算
2.2 土中的自重应力
二、均质土体中的自重应力计算
1、均质土体中的竖向自重应力
地基土是一个表面水平的均质、连 续、各向同性的弹性半空间体假设
根据弹性力学原理， 对地基土中任意M点，有：