上海市普陀区2015年高三(二模)数学(文科)及答案

2015届普陀区高三二模数学试卷（文科）2015.04一、填空题（共14题，每题4分，满分56分）1.若1m ii i+=+（i 为虚数单位），则实数m = . 2.若函数()()sin sin 022x xf x ωπωω+=>的最小正周期为π，则ω= .3.集合{{}2,4,R A x y B x y x x ====∈，则AB .4. 若22x ππ-≤≤，则函数cos cos 2y x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为 . 5.直线1230l x y -+=：与210l x y -+=：的夹角的大小为 .（结果用反三角函数表示）6.如图，若6OFB π∠=，6OF FB ⋅=-，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为左焦点的椭圆的标准方程为 .7.函数())1f x x ≤，若函数()2g x x ax =+是偶函数，则()f a = . 8.若非负实数x y 、满足240230x y x y +-≥⎧⎨+-≥⎩，则x y +的最小值为 .9.一个底面置于水平面的圆锥，若主视图是边长为2的正三角形，则圆锥的侧面积为 .10.如图，机车甲、乙分别停在A B ，处，且=10AB km ，甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的12，甲沿北偏东60︒的方向移动，乙沿正北方向移动，若两者同时移动100分钟，则它们之间的距离为 千米.11.一个袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中5个红色，2个黑色.经过充分混合后，从袋中随机地取出2个小球.则至少有一个黑球的概率为 （结果用最简分数作答）. 12.若正方形ABCD 的边长为1，且,,,AB a BC b AC c ===则326a b c +-= . 13.已知复数12,z z 满足11z ≤，21Re 1z -≤≤，21Im 1z -≤≤，若12z z z =+，则z 在复平面上对应的点组成的图形的面积为.6第题图北AC B ∙D6010第题图14.R x ∈，用记号()N x 表示不小于实数的最小整数，例如()2.53N =，(1N =-，()11N =；则函数()()13122f x N x x =+-+的所有零点之和为 . 二、选择题（共4题，每题5分，满分20分）15. ,,a b c 表示直线，α表示平面，下列命题正确的是（ ） A.若//a b ，//a α，则//b α B. 若a ⊥b ， b ⊥α，则a ⊥α C. 若a ⊥c ，b ⊥c ，则//a b D.若a ⊥α，b ⊥α，则//a b16.”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 17.在*22)()nn N x∈的展开式中，若第五项的系数与第三项的系数之比为56：3，则展开式中的常数项是（ ）A.第2项B.第3项C.第4项D.第5项18.已知,,,m n i j 均为正整数，记,i j a 为矩阵1,21,2,22,,1,2,12m m n mn n n m a a a a A a a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭中第i 行、第j 列的元素，且,,11i j i j a a ++=，2,1,,2i j i j i j a a a ++=+（其中2i n ≤-，2j m ≤-）；给出结论：①5,6134a =；②2,12,22,2m a a a m +++=；③1,,12nn m n ma a +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭④若m 为常数，则,23lim 3n m n m a →∞+=.其中正确的个数是（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个 三、解答题（本大题共5题，写出必要的文字说明与步骤） 19.（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，四棱锥E ABCD -的体积为43，求异面直线BE 与11B A 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.1A 1D AB 1B C1C DE20.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数()2cos f x x =，()1cos 2g x x x =. （1）若直线x a =是函数()y f x =的图像的一条对称轴，求()2g a 的值； （2）若02x π≤≤，求()()()h x f x g x =+的值域.21.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数()2x f x =的反函数为1()f x -（1）若11()(1)1f x f x ----=，求实数x 的值；（2）若关于x 的方程()(1)0f x f x m +--=在区间[]1,2内有解，求实数m 的取值范围；22.（本题满分16分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题5分）如图，射线,OA OB 所在的直线的方向向量分别为()11,d k =，()()21,0d k k =->，点P 在AOB ∠内，PM OA ⊥于M ，PN OB ⊥于N ；（1）若1k =，31,22P ⎛⎫⎪⎝⎭，求OM 的值；（2）若()2,1P ，OMP ∆的面积为65，求k 的值； （3）已知k 为常数，,M N 的中点为T ，且1MON S k∆=，当P 变化时，求OT 的取值范围.23.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，()*1N 4nn n a S n ⎛⎫⋅=∈ ⎪⎝⎭（1）若()21log n n n b S a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ； （2）若02n πθ<<，2tan n n n a θ⋅=，求证：数列{}n θ为等比数列，并求出其通项公式；（3）记12311112222n n c a a a a =-+-+-++-，若对任意的*N n ∈，n c m ≥恒成立，求实数m 的最大值.2015届普陀区高三二模数学试卷（文科）答案2015.04一、填空题（共14题，每题4分，满分56分）1.若1m ii i+=+（i 为虚数单位），则实数m 1- . 2.若函数()()sin sin 022x xf x ωπωω+=>的最小正周期为π，则ω=2 .3. 集合{{}2,4,R A x y B x y x x ====∈，则A B []0,1 .4. 若22x ππ-≤≤，则函数cos cos 2y x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为 44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， . 5.直线1230l x y -+=：与210l x y-+=：的夹角的大小为 .（结果用反三角函数表示）6.如图，若6OFB π∠=，6OF FB ⋅=-，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为左焦点的椭圆的标准方程为 22182x y += .7.函数())1f x x ≤，若函数()2g x x ax =+是偶函数，则()f a = 1 . 8.若非负实数x y 、满足240230x y x y +-≥⎧⎨+-≥⎩，则x y +的最小值为 73 .9.一个底面置于水平面的圆锥，若主视图是边长为2的正三角形，则圆锥的侧面积为 2π. 10.如图，机车甲、乙分别停在A B ，处，且=10AB km ，甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的12，甲沿北偏东60︒的方向移动，乙沿正北方向移动，若两者同时移动100分钟，则它们之间的距离为千米. 11.一个袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中5个红色，2个黑色.经过充分混合后，6第题图北AC B ∙D6010第题图从袋中随机地取出2个小球.则至少有一个黑球的概率为1121（结果用最简分数作答）. 12.若正方形ABCD 的边长为1，且,,,AB a BC b AC c ===则326a b c +-= 5 . 13.已知复数12,z z 满足11z ≤，21Re 1z -≤≤，21Im 1z -≤≤，若12z z z =+，则z 在复平面上对应的点组成的图形的面积为 12π+ .14.R x ∈，用记号()N x 表示不小于实数的最小整数，例如()2.53N =，(1N =-，()11N =；则函数()()13122f x N x x =+-+的所有零点之和为 4- . 二、选择题（共4题，每题5分，满分20分）15. ,,a b c 表示直线，α表示平面，下列命题正确的是（ D ） A.若//a b ，//a α，则//b α B. 若a ⊥b ， b ⊥α，则a ⊥αC. 若a ⊥c ，b ⊥c ，则//a bD.若a ⊥α，b ⊥α，则//a b16.”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ A ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.非充分非必要条件 17. 在*22)()n n N x ∈的展开式中，若第五项的系数与第三项的系数之比为56：3，则展开式中的常数项是（ B ）A.第2项B.第3项C.第4项D.第5项18.已知,,,m n i j 均为正整数，记,i j a 为矩阵1,21,2,22,,1,2,12m m n mn n n m a a a a A a a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭中第i 行、第j 列的元素，且,,11i j i j a a ++=，2,1,,2i j i j i j a a a ++=+（其中2i n ≤-，2j m ≤-）；给出结论：①5,6134a =；②2,12,22,2m a a a m +++=；③1,,12nn m n ma a +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭④若m 为常数，则,23lim 3n m n m a →∞+=.其中正确的个数是（ B ）A.0个B.1个C.2个D.3个 三、解答题（本大题共5题，写出必要的文字说明与步骤） 19.（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，四棱锥E ABCD -的体积为43，求异面直线BE 与11B A 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）. 解：2,a =直线BE 与11B A 所成的角的大小为1A 1D AB1B C1C DE20.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数()2cos f x x =，()1cos 2g x x x =. （1）若直线x a =是函数()y f x =的图像的一条对称轴，求()2g a 的值； （2）若02x π≤≤，求()()()h x f x g x =+的值域.解：（1）()21cos2cos 2xf x x +==， 其对称轴为2,,2k x k x k Zππ==∈， 因为直线线x a =是函数()y f x =的图像的一条对称轴， 所以,2k a k Z π=∈， 又因为()122g x x =+，所以()()()1122=22g a g k k ππ== 即()122g a =. (2)由（1）得 ()()()1cos2212sin 216h x f x g x x x x π=+=++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1710,,2,,sin 2,2266662x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤∈∴+∈+∈- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦所以()h x 的值域为122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.21.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数()2x f x =的反函数为1()f x -（1）若11()(1)1f x f x ----=，求实数x 的值；（2）若关于x 的方程()(1)0f x f x m +--=在区间[]1,2内有解，求实数m 的取值范围； 解：（1）23x = （2）93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.22.（本题满分16分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题5分）如图，射线,OA OB 所在的直线的方向向量分别为()11,d k =，()()21,0d k k =->，点P 在AOB ∠内，PM OA ⊥于M ，PN OB ⊥于N ；（1）若1k =，31,22P ⎛⎫⎪⎝⎭，求OM 的值；（2）若()2,1P ，OMP ∆的面积为65，求k 的值； （3）已知k 为常数，,M N 的中点为T ，且1MON S k∆=，当P 变化时，求OT 的取值范围. 解：（1（2）1122k =或； （3）设()()()1122,,,,,M x kx N x kx T x y -，120,00x x k >>>，， 设直线OA 的倾斜角为α，则22tan ,sin21kk k αα==+，根据题意得 ()12112222x x x y x x k x x k y y x x OM x k ON x +⎧=⎪⎪⎧=+-⎪⎪⎪⎪=⇒⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎪=⎪⎩ 代入11sin22MON S OM ON k α∆==化简得动点T 轨迹方程为22211k x y x k ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭.1OT k∴== 当且仅当11,,0x T k k ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，OT 取得最小值1k.所以，OT 的取值范围是1,k ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.23.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，()*1N 4nn n a S n ⎛⎫⋅=∈ ⎪⎝⎭（1）若()21log n n n b S a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（2）若02n πθ<<，2tan n n n a θ⋅=，求证：数列{}n θ为等比数列，并求出其通项公式；（3）记12311112222n n c a a a a =-+-+-++-，若对任意的*N n ∈，n c m ≥恒成立，求实数m 的最大值. 解：（1）*12,N n b n n =-∈ (2)由tan 2tan 2n nn n n n a a θθ⋅==得代入()*1N 4nn n a S n ⎛⎫⋅=∈ ⎪⎝⎭得12tan n nnS θ=，当2n ≥时，111112tan 2tan n n n n n n n a S S θθ---=-==，因为tan 2n n n a θ=，代入上式整理得()1tan tan 2n n θθ-=，02nπθ<<所以1112,02n n n n θθθθ--==≠的常数. 当1n =时，111111111,,0,tan 1,424n a S a a a a πθθ⎛⎫=⋅=>∴===⎪⎝⎭所以数列{}n θ是等比数列，首项为4π，公比为12，其通项公式为 11*11,N 422n n n n πθπ-+⎛⎫⎛⎫==∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（3）由（2）得*11tan ,N 22n n n a n π+=∈，它是个单调递减的数列， 所以 11111,0,2222n n n n a a a a a ≤=-≤∴-=-123111122222n n n c a a a a nS =-+-+-++-=-对任意的*N n ∈，n c m ≥恒成立，所以()min n m c ≤. 由111110222n n n n n c c n n S S a ++++⎛⎫---=- ⎝-≥⎪⎭=知，1n n c c +≥ 所以数列{}n c 是单调递增的，n c 最小值为10c =，()min 0n m c ≤= 因此，实数m 的取值范围是(],0-∞,m 的最大值为0.。