【中小学资料】上海市上海中学2017届高考数学模拟试题(9)(含解析)

合集下载

2017年上海高考数学真题试卷(word解析版)

6 绝密★启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（满分 150 分，考试时间 120 分钟）1、考生注意2、1.本场考试时间 120 分钟，试卷共 4 页，满分 150 分，答题纸共 2 页.3、2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.4、3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分. 5、4.用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一. 填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分） 1. 已知集合 A = {1, 2,3, 4}，集合 B = {3, 4,5}，则 AB =2. 若排列数P m= 6 ⨯ 5 ⨯ 4 ，则m =3. 不等式x -1> 1 的解集为 x4. 已知球的体积为36π ，则该球主视图的面积等于5. 已知复数 z 满足 z + 3= 0 ，则| z | =z 6. 设双曲线 x 9- y2 b 2 = 1 (b > 0) 的焦点为 F 1 、 F 2， P 为该双曲线上的一点，若| PF 1 | = 5 ，则| PF 2 | =7. 如图，以长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的顶点 D 为坐标原点，过 D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 DB 1 的坐标为(4,3, 2) ，则 AC 1 的坐标为- ⎧⎪3x -1, x ≤ 08. 定义在(0, +∞) 上的函数 y = f (x ) 的反函数为 y = f 1(x ) ，若 g (x ) = ⎨ ⎪⎩ f (x ), 为 x > 0奇函数，则 f -1(x ) = 2 的解为119. 已知四个函数：① y = -x ；② y =- ；③ xy = x 3 ；④ y = x 2 . 从中任选 2 个，则事件“所选 2 个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为10. 已知数列{a } 和{b } ，其中a = n 2 ， n ∈ N * ，{b } 的项是互不相等的正整数，若对于nnnn任意n ∈ N * ，{b } 的第a 项等于{a } 的第b 项，则lg(b 1b 4b 9b 16 ) =nnnnlg(b 1b 2b 3b 4 )2⎨2x + 3y = 4 n n 211. 设a 、 a ∈ R ，且1+1= 2 ，则| 10π - α - α |的最小值等于122 + sin α2 + sin(2α ) 121212. 如图，用 35 个单位正方形拼成一个矩形，点 P 1 、 P 2 、 P 3 、 P 4 以及四个标记为“#”的点在正方形的顶点处，设集合Ω = {P 1 , P 2 , P 3 , P 4 }，点P ∈Ω，过 P 作直线l P ，使得不在l P 上的“#”的点分布在l P 的两侧. 用 D 1 (l P ) 和 D 2 (l P ) 分别表示l P 一侧和另一侧的“#”的点到l P 的距离之和. 若过 P 的直线l P 中有且只有一条满足 D 1 (l P ) = D 2 (l P ) ，则Ω 中所有这样的 P 为二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13. 关于 x 、 y 的二元一次方程组⎧x + 5y = 0 ⎩的系数行列式 D 为（）0 5 1 0 A.B. 4 32 4 1 5 6 0 C. D.2 35 414. 在数列{a } 中， a = (- 1)n ， n ∈ N * ，则lim a （）n n2n →∞ n A. 等于- 1 2 B. 等于 0 C. 等于 12D. 不存在15. 已知a 、b 、c 为实常数，数列{x } 的通项 x = an 2+ bn + c ，n ∈ N * ，则“存在k ∈ N * ，使得 x 100+ k 、 x 200+ k 、 x 300+ k 成等差数列”的一个必要条件是（） A. a ≥ 0B. b ≤ 0C. c = 0D. a - 2b + c = 0x 2y 2 16. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆C 1 : 36 + 4= 1 和C : x 2 + y 9 = 1 . P 为C 1 上的动点，Q 为C 2 上的动点， w 是OP ⋅ OQ 的最大值. 记Ω = {(P ,Q ) | P 在C 1 上，Q 在C 2 上，且OP ⋅ OQ = w }，则Ω 中元素个数为（） A. 2 个B. 4 个C. 8 个D. 无穷个三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17. 如图，直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 的底面为直角三角形，两直角边 AB 和 AC 的长分别为 4 和 2，侧棱 AA 1 的长为 5.（1）求三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 的体积；（2）设 M 是 BC 中点，求直线 A 1M与平面 ABC 所成角的大小.219 2 ⎪⎩ny18. 已知函数 f (x ) = cos 2 x - sin 2 x + 1， x ∈ (0,π ) .2（1）求 f (x ) 的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角 A 所对边a = ，角 B 所对边b = 5 ，若 f ( A ) = 0 ，求△ABC 的面积.19. 根据预测，某地第n (n ∈ N * ) 个月共享单车的投放量和损失量分别为a 和b （单位：辆），nn⎧⎪5n 4 +15, 1 ≤ n ≤ 3其中a n = ⎨-10n + 470, ， b n = n + 5 ，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的 n ≥ 4 累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第 4 个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量 S = -4(n - 46)2 + 8800（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆Γ : x 2 + 24= 1 ， A 为Γ 的上顶点， P 为Γ 上异于上、下顶点的动点， M 为 x 正半轴上的动点.（1）若 P 在第一象限，且| OP | = ，求 P 的坐标；8 3 P ( , ) 5 5，若以 A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求 M 的横坐标；（3）若| MA | = | MP | ，直线 AQ 与Γ 交于另一点 C ，且 AQ = 2 A C ， PQ = 4PM ，求直线 AQ 的方程.21. 设定义在 R 上的函数 f (x 1) ≤ f (x 2 ) .f (x ) 满足：对于任意的 x 1 、 x 2 ∈ R ，当 x 1 < x 2 时，都有（2）设（1）若f (x) =ax3+1，求a 的取值范围；（2）若f (x) 为周期函数，证明：f (x) 是常值函数；（3）设f (x) 恒大于零，g(x) 是定义在R 上、恒大于零的周期函数，M 是g(x) 的最大值.函数h(x) =f (x)g(x) .证明：“h(x) 是周期函数”的充要条件是“ f (x) 是常值函数”.6 2 2017 年普通高等学校招生全国统一考试上海--数学试卷考生注意1. 本场考试时间 120 分钟，试卷共 4 页，满分 150 分，答题纸共 2 页.2. 作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3. 所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4. 用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1. 已知集合 A ={1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5} ,则 AB = .【解析】本题考查集合的运算，交集，属于基础题【答案】{3, 4}2. 若排列数P m = 6⨯ 5⨯ 4 ,则m = . 【解析】本题考查排列的计算，属于基础题【答案】3x -1 3. 不等式x> 1的解集为.【解析】本题考查分式不等式的解法，属于基础题【答案】(-∞,0)4. 已知球的体积为36π ，则该球主视图的面积等于.【解析】本题考查球的体积公式和三视图的概念，4π R 3 = 36π ⇒ R = 3 ,3所以 S = π R 2 = 9π ，属于基础题【答案】9π5. 已知复数 z 满足 z +3 = 0 ，则 z = .z【解析】本题考查复数的四则运算和复数的模， z + 3= 0 ⇒ z 2 = -3 设 z = a + bi ，z则 a 2- b 2+ 2abi = -3 ⇒ a = 0, b = ± 3i ,z =，属于基础题【答案】6. 设双曲线x - y 29 b 2= 1(b > 0) 的焦点为 F 1、F 2 , P 为该双曲线上的一点.若 PF 1= 5 ,则 a 2 + b 2 34 PF 2 = .【解析】本题考查双曲线的定义和性质，PF 1 - PF 2 = 2a = 6 （舍），PF 2 - PF 1 = 2a = 6 ⇒ PF 2 = 11【答案】117. 如图，以长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的顶点 D 为坐标原点，过 D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系.若 DB 1 的坐标为(4, 3, 2) ,则 AC 1 的坐标是.【解析】本题考查空间向量，可得 A (4，0，0)，C 1(0，3, 2) ⇒ AC 1 = (-4，3，2) ,属于基础题【答案】(-4，3，2)8. 定义在(0, +∞) 上的函数 y =数，则 f -1(x )=2 的解为.⎧3x -1, x ≤ 0, f (x ) 的反函数 y = f -1(x ) .若 g (x ) = ⎨ ⎩ f (x ), x > 0 为奇函【解析】本题考查函数基本性质和互为反函数的两个函数之间的关系，属于中档题x > 0, -x < 0, g (-x ) = 3-x -1 = -g (x ) ⇒ g (x ) = 1- 1 3x,所以 f (x ) = 1- 1,3x 当 x = 2 时， f (x ) = 8,所以 f 9(8) = 29 【答案】 x = 89119. 已知四个函数：① y = - x ；② y =-；③ y = x 3；④ y = x 2.从中任选 2 个，则事件“所x选 2 个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为.【解析】本题考查事件的概率，幂函数的图像画法和特征，属于基础题总的情况有： C 2 = 6 种，符合题意的就两种：①和③，①和④-11 2 3 4 2 π nnnn1⎧ π ⎨ 1 【答案】310. 已知数列{a } 和{b } ,其中 a = n 2 , n ∈ N * ，{b } 的项是互不相等的正整数.若对于任意n ∈ N *，{b } 中的第 a 项等于{a } 中的第b 项，则 lg (b 1b 4b 9b 16 )= .nnn lg (b 1b 2b 3b 4 )【解析】本题考查数列概念的理解，对数的运算，属于中档题由题意可得： b = a ⇒ b = (b )2 ⇒ b = b 2 , b = b 2 , b = b 2 ,b = b 2 ，a nb nn 2n1 1 42 93 16 4lg (b 1b 4b 9b 16 ) lg (b 1b 2b 3b 4 ) lg (bb b b )2lg (b 1b 2b 3b 4 )【答案】211. 设α1，α2 ∈ R ,且12 + sin α+2 + sin(2α = 2 ，则 10π - α)1 - α2的最小值等于. 12【解析】考查三角函数的性质和值域，1∈ ⎡1 ,1⎤，1 ∈ ⎡1 ,1⎤2 + sin α1 ⎢⎣3 ⎥⎦ 2 + sin(2α2 ) ⎢⎣3 ⎥⎦ ，要使 1 + 1 = 2 ⎧ 1 =1 ⎪ 2 + sin α1 则⎨ α1 = - + 2k 1⎪ , k , k ∈ Z 2 + sin α 2 + sin(2α ) 1 π 1 2 1 2 ，⎪ =1 ⎪ α = - + k π ⎪⎩ 2 + sin(2α2 )⎪⎩ 2 4 2 10π -α -α= 10π + 3π - (2k + k )π = π 当2k + k =11时成立 1 2 minπ4 1 2 min4 , 【答案】 412. 如图，用 35 个单位正方形拼成一个矩形，点 P 1, P 2 , P 3 , P 4 以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处.设集合Ω={P 1, P 2 , P 3 , P 4 } ，点 P ∈Ω .过 P 作直线l P ，使得不在l P 上的“▲” 的点分布在l P 的两侧.用 D 1 (l P ) 和 D 2 (l P ) 分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P 的距离之和.若过 P 的直线l P 中有且只有一条满足 D 1 (l P )=D 2 (l P ) ，则Ω 中所有这样的 P 为.⇒ n所以 = =21 2⎩ ⎨【解析】本题考查有向距离，以左下角的顶点为原点建立直角坐标系。

2017年数学真题及解析_2017年上海市高考数学试卷

2017年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B=．2．（4分）若排列数=6×5×4，则m=．3．（4分）不等式＞1的解集为．4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于．5．（4分）已知复数z满足z+=0，则|z|=．6．（4分）设双曲线﹣=1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|=．7．（5分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），若g（x）=为奇函数，则f﹣1（x）=2的解为．9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为．10．（5分）已知数列{a n}和{b n}，其中a n=n2，n∈N*，{b n}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{b n}的第a n项等于{a n}的第b n项，则= ．11．（5分）设a 1、a 2∈R ，且，则|10π﹣a 1﹣a 2|的最小值等于．12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P 1，P 2，P 3，P 4}，点P ∈Ω，过P 作直线l P ，使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧．用D 1（l P ）和D 2（l P ）分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P 的距离之和．若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D 1（l P ）=D 2（l P ），则Ω中所有这样的P 为．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）关于x 、y 的二元一次方程组的系数行列式D 为（）A ．B ．C ．D ．14．（5分）在数列{a n }中，a n =（﹣）n ，n ∈N *，则a n （）A ．等于B ．等于0C ．等于D ．不存在15．（5分）已知a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项x n =an 2+bn +c ，n ∈N *，则“存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是（） A ．a ≥0B ．b ≤0C ．c=0D ．a ﹣2b +c=016．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：=1和C 2：x 2+=1．P为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，w 是的最大值．记Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且=w }，则Ω中元素个数为（）A．2个 B．4个 C．8个 D．无穷个三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．18．（14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．19．（14分）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n（单位：辆），其中a n=，b n=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n=﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．（1）若P在第一象限，且|OP|=，求P的坐标；（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程．21．（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．2017年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B={3，4} ．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，∴A∩B={3，4}．故答案为：{3，4}．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．（4分）若排列数=6×5×4，则m=3．【分析】利用排列数公式直接求解．【解答】解：∵排列数=6×5×4，∴由排列数公式得，∴m=3．故答案为：m=3．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列数公式的合理运用．3．（4分）不等式＞1的解集为（﹣∞，0）．【分析】根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可．【解答】解：由＞1得：，故不等式的解集为：（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）．【点评】本题考查了解分式不等式，考查转化思想，是一道基础题．4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于9π．【分析】由球的体积公式，可得半径R=3，再由主视图为圆，可得面积．【解答】解：球的体积为36π，设球的半径为R，可得πR3=36π，可得R=3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πR2=9π．故答案为：9π．【点评】本题考查球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法，考查运算能力，属于基础题．5．（4分）已知复数z满足z+=0，则|z|=．【分析】设z=a+bi（a，b∈R），代入z2=﹣3，由复数相等的条件列式求得a，b 的值得答案．【解答】解：由z+=0，得z2=﹣3，设z=a+bi（a，b∈R），由z2=﹣3，得（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=﹣3，即，解得：．∴．则|z|=．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题．6．（4分）设双曲线﹣=1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|=11．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a的值，结合双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||=6，解可得|PF2|的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣=1，其中a==3，则有||PF1|﹣|PF2||=6，又由|PF1|=5，解可得|PF2|=11或﹣1（舍）故|PF2|=11，故答案为：11．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的定义．7．（5分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是（﹣4，3，2）．【分析】由的坐标为（4，3，2），分别求出A和C1的坐标，由此能求出结果．【解答】解：如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵的坐标为（4，3，2），∴A（4，0，0），C1（0，3，2），∴．故答案为：（﹣4，3，2）．【点评】本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），若g（x）=为奇函数，则f﹣1（x）=2的解为．【分析】由奇函数的定义，当x＞0时，﹣x＜0，代入已知解析式，即可得到所求x＞0的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值．【解答】解：若g（x）=为奇函数，可得当x＞0时，﹣x＜0，即有g（﹣x）=3﹣x﹣1，由g（x）为奇函数，可得g（﹣x）=﹣g（x），则g（x）=f（x）=1﹣3﹣x，x＞0，由定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（x）=2，可由f（2）=1﹣3﹣2=，可得f﹣1（x）=2的解为x=．故答案为：．【点评】本题考查函数的奇偶性和运用，考查互为反函数的自变量和函数值的关系，考查运算能力，属于基础题．9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为．【分析】从四个函数中任选2个，基本事件总数n=，再利用列举法求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数，由此能求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率．【解答】解：给出四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从四个函数中任选2个，基本事件总数n=，③④有两个公共点（0，0），（1，1）．事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有：①③，①④共2个，∴事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P（A）==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．10．（5分）已知数列{a n}和{b n}，其中a n=n2，n∈N*，{b n}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{b n}的第a n项等于{a n}的第b n项，则= 2．【分析】a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b项，可得==．于是b1=a1=1，=b4，=b9，=b16．即n可得出．【解答】解：∵a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b n项，∴==．∴b1=a1=1，=b4，=b9，=b16．∴b1b4b9b16=．∴=2．故答案为：2．【点评】本题考查了数列递推关系、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）设a1、a2∈R，且，则|10π﹣a1﹣a2|的最小值等于．【分析】由题意，要使+=2，可得sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．求出α1和α2，即可求出|10π﹣α1﹣α2|的最小值【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使+=2，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．则：，k1∈Z．，即，k2∈Z．那么：α1+α2=（2k1+k2）π，k1、k2∈Z．∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π﹣（2k1+k2）π|的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考察三角函数性质，有界限的范围的灵活应用，属于基本知识的考查．12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线l P，使得不在l P上的“▲”的点分布在l P的两侧．用D1（l P）和D2（l P）分别表示l P一侧和另一侧的“▲”的点到l P的距离之和．若过P的直线l P中有且只有一条满足D1（l P）=D2（l P），则Ω中所有这样的P为P1、P3、P4．【分析】根据任意四边形ABCD两组对边中点的连线交于一点，过此点作直线，使四边形的四个顶点不在该直线的同一侧，则该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和相等；由此得出结论．【解答】解：设记为“▲”的四个点是A，B，C，D，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，易知EFGH为平行四边形，如图所示；又平行四边形EFGH的对角线交于点P2，则符合条件的直线l P一定经过点P2，且过点P2的直线有无数条；由过点P1和P2的直线有且仅有1条，过点P3和P2的直线有且仅有1条，过点P4和P2的直线有且仅有1条，所以符合条件的点是P1、P3、P4．故答案为：P1、P3、P4．【点评】本题考查了数学理解力与转化力的应用问题，也考查了对基本问题的阅读理解和应用转化能力．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D为（）A．B．C．D．【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解．【解答】解：关于x、y的二元一次方程组的系数行列式：D=．故选：C．【点评】本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用．14．（5分）在数列{a n}中，a n=（﹣）n，n∈N*，则a n（）A．等于 B．等于0 C．等于D．不存在【分析】根据极限的定义，求出a n=的值．【解答】解：数列{a n}中，a n=（﹣）n，n∈N*，则a n==0．故选：B．【点评】本题考查了极限的定义与应用问题，是基础题．15．（5分）已知a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项x n =an 2+bn +c ，n ∈N *，则“存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是（）A ．a ≥0B ．b ≤0C ．c=0D ．a ﹣2b +c=0【分析】由x 100+k ，x 200+k ，x 300+k 成等差数列，可得：2x 200+k =x 100+k x 300+k ，代入化简即可得出．【解答】解：存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列，可得：2[a （200+k ）2+b （200+k ）+c ]=a （100+k ）2+b （100+k ）+c +a （300+k ）2+b （300+k ）+c ，化为：a=0．∴使得x 100+k ，x 200+k ，x 300+k 成等差数列的必要条件是a ≥0．故选：A ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：=1和C 2：x 2+=1．P 为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，w 是的最大值．记Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且=w }，则Ω中元素个数为（）A ．2个B ．4个C ．8个D ．无穷个【分析】设出P （6cosα，2sinα），Q （cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域，可得最大值及取得的条件，即可判断所求元素的个数．【解答】解：椭圆C 1：=1和C 2：x 2+=1．P 为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，可设P （6cosα，2sinα），Q （cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，则=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos （α﹣β），当α﹣β=2kπ，k ∈Z 时，w 取得最大值6，则Ω={（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且=w}中的元素有无穷多对．另解：令P（m，n），Q（u，v），则m2+9n2=36，9u2+v2=9，由柯西不等式（m2+9n2）（9u2+v2）=324≥（3mu+3nv）2，当且仅当mv=nu，即O、P、Q共线时，取得最大值6，显然，满足条件的P、Q有无穷多对，D项正确．故选：D．【点评】本题考查椭圆的参数方程的运用，以及向量数量积的坐标表示和余弦函数的值域，考查集合的几何意义，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．【分析】（1）三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S△ABC×AA1=，由此能求出结果．（2）连结AM，∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，由此能求出直线A1M 与平面ABC所成角的大小．【解答】解：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：V=S△ABC×AA1===20．（2）连结AM，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5，M是BC中点，∴AA1⊥底面ABC，AM==，∴∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，tan∠A1MA===，∴直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan．【点评】本题考查三棱柱的体积的求法，考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．18．（14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．【分析】（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由f（A）=0，解得A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：（1）函数f（x）=cos2x﹣sin2x+=cos2x+，x∈（0，π），由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣π≤x≤kπ，k∈Z，k=1时，π≤x≤π，可得f（x）的增区间为[，π）；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，即有cos2A+=0，解得2A=π，即A=π，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，化为c2﹣5c+6=0，解得c=2或3，若c=2，则cosB=＜0，即有B为钝角，c=2不成立，则c=3，△ABC的面积为S=bcsinA=×5×3×=．【点评】本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．19．（14分）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n（单位：辆），其中a n=，b n=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n=﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【分析】（1）计算出{a n}和{b n}的前4项和的差即可得出答案；（2）令a n≥b n得出n≤42，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论．【解答】解：（1）∵a n=，b n=n+5∴a1=5×14+15=20a2=5×24+15=95a3=5×34+15=420a4=﹣10×4+470=430b1=1+5=6b2=2+5=7b3=3+5=8b4=4+5=9∴前4个月共投放单车为a1+a2+a3+a4=20+95+420+430=965，前4个月共损失单车为b1+b2+b3+b4=6+7+8+9=30，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935．（2）令a n≥b n，显然n≤3时恒成立，当n≥4时，有﹣10n+470≥n+5，解得n≤，∴第42个月底，保有量达到最大．当n≥4，{a n}为公差为﹣10等差数列，而{b n}为等差为1的等差数列，∴到第42个月底，单车保有量为×39+535﹣×42=×39+535﹣×42=8782．S42=﹣4×16+8800=8736．∵8782＞8736，∴第42个月底单车保有量超过了容纳量．【点评】本题考查了数列模型的应用，等差数列的求和公式，属于中档题．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．（1）若P在第一象限，且|OP|=，求P的坐标；（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程．【分析】（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），联立，能求出P点坐标．（2）设M（x0，0），A（0，1），P（），由∠P=90°，求出x0=；由∠M=90°，求出x0=1或x0=；由∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．由此能求出点M的横坐标．（3）设C（2cosα，sinα），推导出Q（4cosα，2sinα﹣1），设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0）推导出x0=cosβ，从而4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，cosβ=﹣cosα，且sinα=（1﹣2sinα），由此能求出直线AQ．【解答】解：（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），∵椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，P在第一象限，且|OP|=，∴联立，解得P（，）．（2）设M（x0，0），A（0，1），P（），若∠P=90°，则•，即（x0﹣，﹣）•（﹣，）=0，∴（﹣）x0+﹣=0，解得x0=．如图，若∠M=90°，则•=0，即（﹣x0，1）•（﹣x0，）=0，∴=0，解得x0=1或x0=，若∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．∴点M的横坐标为，或1，或．（3）设C（2cosα，sinα），∵，A（0，1），∴Q（4cosα，2sinα﹣1），又设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0），∵|MA|=|MP|，∴x02+1=（2cosβ﹣x0）2+（sinβ）2，整理得：x0=cosβ，∵=（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1），=（﹣cosβ，﹣sinβ），，∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，∴cosβ=﹣cosα，且sinα=（1﹣2sinα），以上两式平方相加，整理得3（s inα）2+sinα﹣2=0，∴sinα=，或sinα=﹣1（舍去），此时，直线AC的斜率k AC=﹣=（负值已舍去），如图．∴直线AQ为y=x+1．【点评】本题考查点的坐标的求法，考查直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．21．（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．【分析】（1）直接由f（x1）﹣f（x2）≤0求得a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），证明对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），可得f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，再由…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，可得对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）分充分性及必要性证明．类似（2）证明充分性；再证必要性，然后分类证明．【解答】（1）解：由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）=a（x13﹣x23）≤0，∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0．故a的范围是[0，+∞）；（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），由题意，对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），∴f（x0）=f（x）=f（x0+T k）．又∵f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，并且…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）证明：充分性：若f（x）是常值函数，记f（x）=c1，设g（x）的一个周期为T g，则h（x）=c1•g（x），则对任意x0∈R，h（x0+T g）=c1•g（x0+T g）=c1•g（x0）=h（x0），故h（x）是周期函数；必要性：若h（x）是周期函数，记其一个周期为T h．若存在x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＜0，则由题意可知，x1＞x2，那么必然存在正整数N1，使得x2+N1T k＞x1，∴f（x2+N1T k）＞f（x1）＞0，且h（x2+N1T k）=h（x2）．又h（x2）=g（x2）f（x2）＜0，而h（x2+N1T k）=g（x2+N1T k）f（x2+N1T k）＞0≠h（x2），矛盾．综上，f（x）＞0恒成立．由f（x）＞0恒成立，任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0﹣N2T h≤x0﹣T g，即[x0﹣T g，x0]⊆[x0﹣N2T h，x0]，∵…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴…∪[x0﹣2N2T h，x0﹣N2T h]∪[x0﹣N2T h，x0]∪[x0，x0+N2T h]∪[x0+N2T h，x0+2N2T h]∪…=R．h（x0）=g（x0）•f（x0）=h（x0﹣N2T h）=g（x0﹣N2T h）•f（x0﹣N2T h），∵g（x0）=M≥g（x0﹣N2T h）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2T h）＞0．因此若h（x0）=h（x0﹣N2T h），必有g（x0）=M=g（x0﹣N2T h），且f（x0）=f（x0﹣N2T h）=c．而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数．综上，必要性得证．【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查逻辑思维能力与理论运算能力考查分类讨论的数学思想方法，题目设置难度过大．。

【上海中学】2017年高考模拟数学试卷(二)(附答案与解析)

上海中学2017年高考模拟数学试卷（二）一、选择题：1．复平面上有圆C ：||2z =，已知1111z z -+（11z ≠-）是纯虚数，则复数1z 的对应点P （） A ．必在圆C 上B ．必在圆C 内部 C ．必在圆C 外部D ．不能确定2．一给定函数()y f x =的图象在下列图中，并且对任意(0,1)a ∈，由关系式1()n n a f a +=得到的数列{}n a 满足1n n a a +＞，n ∈N*，则该函数的图象是（）ABCD3．已知p ：方程20x a x b ++=有且仅有整数解，q ：a ，b 是整数，则p 是q 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．有一个各条棱长均为a 的正四棱锥，现用一张正方形的包装纸将其完全包住，不能裁剪，可以折叠，那么包装纸的最小边长为（） A．(1a BCD．a二、填空题：5．方程22121x y a a +=-+表示椭圆，则a ∈__________．6．已知(na x 的展开式中二项式系数之和为512，且展开式中3x 的系数为9，常数a 的值为__________． 7．下列函数中周期是2的函数是__________①22cos π1y x =- ②sin πcos πy x x =+ ③ππtan()23y x =+④sin πcos πy x x =．8．函数13(10)x y x +=-≤＜的反函数是__________． 9．已知集合{|25}A x x =-＜＜，{|121}B x p x p =+-＜＜，AB A =，则实数p 的取值范围是__________．10．已知E 、F 分别是三棱锥P ABC -的棱AP 、BC 的中点，10PC =，6AB =，AB 与PC 所成的角为60︒，则__________．11．设1|5|z =，2|2|z =，12||z z -=12z z =__________．12．某人有两盒火柴，每盒都有n 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根，求他发现用完一盒时另一盒还有r 根（1r n ≤≤）的概率__________．13．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，BD b =，1AC c =，试用a 、b 、c 表示1BD =__________． 14．若关于xx a +的解是x m ＞，试求m 的最小值为__________．15．设点P 到点(1,0)-、(1,0)距离之差为2m ，到x 、y 轴的距离之比为2，求m 的取值范围__________． 16．已知椭圆222484840x y kx ky k +--+-=（k 为参数），存在一条直线，使得此直线被这些椭圆截得的线__________．三、解答题：17．斜三棱柱ABC A B C '''-中，底面是边长为a 的正三角形，侧棱长为b ，侧棱AA '与底面相邻两边AB 、AC 都成45︒角，求此三棱柱的侧面积和体积．18．已知在ABC △中，角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c 向量(2cos ,sin())2C m A B =-+，(cos ,2sin())2C n A B =+，且m n ⊥．（Ⅰ）求角C 的大小．（Ⅱ）若22212a b c =+，求sin()A B -的值．19．已知z 是复数，2z i +与2zi -均为实数（i 为虚数单位），且复数2()z ai +在复平面上对应点在第一象限．（Ⅰ）求z 的值；（Ⅱ）求实数a 的取值范围．20.已知函数2()1f x ax bx =++（a ，b 为实数），x ∈R ．（1）若函数()f x 的最小值是(1)0f -=，求()f x 的解析式；（2）在（1）的条件下，()f x x k +＞在区间[3,1]--上恒成立，试求k 的取值范围；（3）若0a ＞，()f x 为偶函数，实数m ，n 满足0mn ＜，0m n +＞，定义函数(),0()(),0f x x F x f x x ⎧=⎨-⎩当≥当＜，试判断()()F m F n +值的正负，并说明理由．21．若数列{}n a 前n 项和为n S （*n ∈N ）（1）若首项11a =，且对于任意的正整数n （2n ≥）均有n n n n S k a kS k a k+-=-+，（其中k 为正实常数），试求出数列{}n a 的通项公式．（2）若数列{}n a 是等比数列，公比为q ，首项为1a ，k 为给定的正实数，满足： ①10a ＞，且01q ＜＜②对任意的正整数n ，均有0n S k -＞；试求函数()n nn n S k a kf n k S k a k+-=+-+的最大值（用1a 和k 表示） 22．已知椭圆及圆的方程分别为22221x y a b+=和222x y r +=，若直线AB 与圆相切于点A ，与椭圆有唯一的公共点B ，若0a b ＞＞是常数，试写出AB 长度随动圆半径变化的函数关系式||()AB f x =，并求其最大值．上海中学2017年高考模拟数学试卷（二）答案一、选择题： 1~4．BAAC 二、填空题： 5． 6．16 7．②③8．，（） 9． 10．711．12．13． 14． 15． 16三、解答题：17．解：（Ⅰ）∵侧棱与底面相邻两边、都成角，∴三棱柱的三个侧面中，四边形和是有一个角是45︒，相邻两边长分别为，的平行四边形，第三个侧面是边长分别为，的矩形．∴（Ⅱ）过作垂直于底面，交底面于点，作，交于点，连接，由题意，则，，∴， ∴11(1,)(,2)22-⋃1log3x y -=13x ≤＜3p ≤322i ±21222n rn r n r C ----⨯b c a +-32(⋃AA 'AB AC 45ABBA ACCA a b a b 2sin 451)S ab ab ab =+=侧1A 1A O ABC ABC O 1A D AB ⊥AB D DO AD 1A D =AO =1AO =21124V a b ==18．解：（Ⅰ）由得，即；整理得解得（舍）或60C =︒ 因为，60C =︒（Ⅱ）因为由正弦定理和余弦定理可得，，，代入上式得又因为，故所以19．解：（Ⅰ）设（，），又，且为实数，∴，解得．∴， ∵为实数，∴，解得． ∴42z i =-．（Ⅱ）∵复数，∴，解得．即实数的取值范围是．20．解：（1）由已知，且，解得，， ∴函数的解析式是；（2）在（1）的条件下，，即在区间上恒成立，由于函数在区间上是减函数，且其最小值为1， ∴的取值范围为；0m n =222cos 2sin ()02CA B -+=21cos 2(1cos )0C C +--=22cos cos 10C C +-=cos 1C =-0πC ＜＜sin()sin cos sin cos A B A B B A -=-sinA 2a R =sin 2bB R =222cos 2a c b B ac +-=222cos 2b c a A bc +-=222222222()sin()22224a a c b b b c a a b A B R ac R bc cR+-+---=-=22212a b c -=21sin()sin 442c c A B C cR R -====sin()A B -=z x yi =+x y ∈R 2(2)z i x y i +=++20y +=2y =-2(2)(2)(22)(4)22(2)(2)5z x i x i i x x i i i i i --+++-===---+2z i -405x -=4x =2222()[4(2)i]16(2)8(2)(124)(816)z ai a a a i a a a i +=+-=--+-=+-+-212408160a a a ⎧+-⎨-⎩＞＞26a ＜＜a 2,6（）10a b -+=12ba-=-1a =2b =()f x 2()21f x x x =++()f x x k +＞21k x x ++＜[3,1]--21y x x =++[3,1]--k (,1)-∞（3）∵是偶函数，∴，∴，由知、异号，不妨设，则，又由得，，得，又，得，∴的值为正． 21．解：（1）∵，（其中为正实常数）， ∴∴当时即，∴ （2）∵，且对任意的正整数，均有 ∴∴关于是一个单调递减的函数，最大值为． 22．解：（1）设，则过的圆的切线方程为，代入，得由即整理可得∴∵ ∴ （当且仅当∴()f x 0b =2()1f x ax =+0mn ＜m n 0m ＞0n ＜0m n +＞0m n -＞＞2222()F()()()1(1)()F m n f m f n am an a m n +=-=+-+=-0m n -＞＞22m n ＞0a ＞()()0F m F n +＞()()F m F n +n n n n S k a kS k a k+-=-+k (2)n n S a n =-≥2n ≥11n n n n n a S S a a --=-=-+112n n a a -=212a =-11(),221,1n n n a n -⎧-⎪=⎨⎪=⎩≥()n nn n S k a kf n k S k a k+-=+-+11111(1)n n n n n n n n n n S k a k S a k a q kf n k k S k a k S a k a q k++++++-++-+=+=+-++-+10a ＞01q ＜＜n 0n S k -＞11(1)()0n n n n n n n n n n S a k a q k S k a kf n f n k k S a k a q k S k a k++++-+-+-=+-++-+-+＜()f n n 1111a k a kk a k a k+-+-+00(,)A x y A 200x x y y r +=22221x y a b+=2222242222002220002()0a x a r x a r b x x a b y y y +-+-==0△2222242222002220002()4()()a r x a x a r b a b y y y =+-2222222002)()a b x x y y a b r r-+-=+--（()f x =b x a ＜＜22222a b x ab x +=≥()f x a b -x ()f x =b x a ＜＜的最大值为()f x a b上海中学2017年高考模拟数学试卷（二）解析一、选择题：1．B 根据复数的几何意义可知圆为以原点为圆心、2为半径的圆，设对应的点为，把整理出最简形式，根据复数是一个纯虚数，得到复数的实部等于0，虚部不等于0，据此可知点轨迹．解：由可知圆为以原点为圆心、2为半径的圆，设对应的点为，则， ∵是纯虚数， ∴，且，∴点的轨迹为以原点为圆心、1为半径的圆，除掉点， ∴复数的对应点必在圆内部，故选B ．2．A 由关系式得到的数列满足，根据点与直线之间的位置关系，我们不难得到，的图象在上方．逐一分析不难得到正确的答案．解：由知：的图象在上方．故选：A ．3．A 我们先论证命题：，是整数成立时，命题：有且仅有整数解是否成立，即命题命题的真假，再论证命题：有且仅有整数解时，命题：，是整数成立时是否成立，即判断命题命题的真假，然后根据弃要条件的定义易得到答案．解：，是整数时，不一定有整数解，即命题命题为假命题，若有且仅有整数解，由韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）我们易判断，是整数．即命题命题为真命题，故是的充分不必要条件故选：A ．4．C 根据题设，用一张正方形的包装纸将其完全包住，近似于将正四棱锥的表面展开图重新折回．因此，首先要将四棱锥的四个侧面沿底面展开，观察展开的图形易得出包装纸的对角线处在什么位置是，包装纸面积最小，进而获得问题的解答．C 1z (x,y)1111z z -+P ||2z =C 1z (,)x y 2212211(1)[(1)][(1)]12=1(1)[(1)][(1)](1)z x yi x yi x yi x y yiz x yi x yi x yi x y --+-++-+-+==++++++-++1111(1)1z z z -≠-+2210x y +-=0y ≠P (1,0)±1z P 1()n n a f a +={}n a 1n n a a +＞*n ∈N ()f x y x =1()n n n a f a a +=＞()f x y x =q a b p 20x ax b ++=p ⇒p p 20x ax b ++=q a b p ⇒q a b 20x ax b ++=p ⇒q 20x ax b ++=a b p ⇒q p q解：将正四棱锥沿底面将侧面都展开如图所示：当以为正方形的对角线时，所需正方形的包装纸的面积最小，此时边长最小．设此时的正方形边长为则：，又因为， ∴，解得：．二、填空题：5．由椭圆的标准方程可以确定的范围．∵表示椭圆， ∴， ∴或．6．根据的展开式中二项式系数之和为512，，得到，求出了的值，求出二项展开式的通项，令的指数为3求出的值代入通项求出展开式中的系数，解出字母的值，得到结果．解：因为的展开式中二项式系数之和为512，所以解得所以的展开式的通项为令得所以展开式中的系数为所以所以7．利用二倍角公式，和角的三角函数公式分别化简，再利用周期公式可求．解：对于①，∴；PP 'x 22()2PP x '=()2PP a a '=+=22()2a x=x =a 22121x y a a +=-+201021a a a a -⎧⎪+⎨⎪-≠+⎩＞＞112a -＜＜122a ＜＜na x （2512n =n x r 3xa na x （2512n =9n=9a x（399219(r rrrr T aC x--+=3932r-=8r =3x 916a 9916a =16a =cos2πy x =2π12πT ==对于②，∴；对于③；对于④，∴． 8．本题考查反函数的概念、求反函数的方法、指数式与对数式的互化，求函数的值域；将看做方程解出，然后由原函数的值域确定反函数的定义域即可，注意原函数的定义域为．解：由解得 ∵，∴∴函数（）的反函数是（）故答案为：，（）9．由题意，由，可得，再由，，分，两类解出参数的取值范围即可得到答案解：由，可得又，若，即得，显然符合题意若，即有得，时，有解得，故有综上知，实数的取值范围是10．取的中点，由题意可得，，或，由余弦定理，运算求得结果．解：取的中点，则由、分别是三棱锥的棱、的中点，，，与PC 所成的角为可得，，或．中，当时，由余弦定理可得当时，．11．设，，求得、以及，再根据条件求得的值，可得的值，再利用复数三角形式的运算法则求得的值． ππ)4y x =+2π1πT ==π2π2T =1sin 2π2y x =2π12πT ==13x y +=x 0x x -＜≤13x y +=1log3x x =-+10x -≤＜13x ≤＜13x y +=0x x -＜≤1log3x y =-+13x ≤＜1log3x y -=13x ≤＜A B ⋃B A ⊆{|25}A x x =-＜＜{|121}B x p x p =+-＜＜B =∅B ≠∅p A B A ⋃=B A ⊆{|25}A x x =-＜＜{|121}B x p x p =+-＜＜B =∅121p p +-≥2p ≤B ≠∅121p p +-＜2p ＞12215p p +-⎧⎨-⎩≥≤33p -≤≤23p ＜≤p 3p ≤PB H 3EH =5HF =60EHF ∠=120EF =PB H E F P ABC -AP BC 10PC =6AB =AB 603EH =5HF =60EHF ∠=120EHF △60EHF ∠=EF ==120EHF ∠=7EF =15(cos sin )z i αα=+22(cos sin )z i ββ=+1z 2z 12z z -cos()αβ+sin()αβ+12z z解：由题意得，可设，，，，．再由，化简可得．再由同角三角函数的基本关系可得．故 12．根据题意，一共抽了根，这么多次抽取动作中，有次都是操作在A 盒上，次操作在B 盒上，且最后一次一定操作在A 盒所有的抽法共有种，用完一盒时另一盒还有根的抽法有种由古典概型的概率公式求出概率．解：根据题意，一共抽了根，这么多次抽取动作中，有次都是操作在A 盒上次操作在B 盒上，且最后一次一定操作在A 盒所以，所有的抽法共有种，用完一盒时另一盒还有根的抽法有种由古典概型的概率公式得他发现用完一盒时另一盒还有根（）的概率为13．先画图，理解题意，再根据向量的加法法则和减法法则，将所表示向量用已知向量表示，即可得到结论．解：故答案为：14．先作出的图象斜率为1，在曲线上方的直线部分为不等式的解集，利用图象，即可求的最小值．解：先作出的图象，的图象斜率为1，在曲线上方的直线部分为不等式的解集 ∵解集为（取不到等号） ∴只能是过点斜率为1的直线把点的坐标代入得15(cos sin )z i αα=+22(cos sin )z i ββ=+15[cos isin ]5[cos()sin()]z i αααα=-=-+-22(cos sin )2[cos()sin()]z i i ββββ=-=-+-12(5cos 2cos )(5sin 2sin )z z i αβαβ-=-++12||z z -=23(5cos 2cos )(5sin 2sin )13αβαβ-++=4cos(0=5αβ+3sin()5αβ+=±125[cos()sin()]555433[cos()][cos()sin()]=[]22(cos sin )222552z i i i i z i αααβαβαβββ-+-==⨯--=⨯+-+⨯±=±+2n r -n n r -22n r -r 212n rn r C ---2n r -n n r -22n r -r 212n rn r C ---r 1r n ≤≤21222n rn r n r C ----⨯1111BD BD DD BD CC BD AC AC b c a =+=+=+-=+-b c a +-y =y x a =+m y y x a =+x m ＞A A y x a =+0.5a =再将与（舍）或即求出了交点由数形结合可知最小值为．15．先设点的坐标为，然后由点到、轴的距离之比为2得一元一次方程，再由点到点、距离之差为，满足双曲线定义，则得其标准方程，最后处理方程组通过求得的取值范围．解：设点的坐标为，依题设得，即，因此，点、、三点不共线，得 ∵ ∴因此，点在以、为焦点，实轴长为的双曲线上，故将代入，并解得，因为，所以，解得即的取值范围为． 16．先判断出椭圆（为参数）表示中心在直线上，长轴长和短轴长分别为4，2的一族椭圆，判断出符和条件的直线需要与直线平行，设出直线方程，先利用一个特殊的椭圆与直线方程联立求出直线的方程，在证明对于所以的椭圆都满足条件．0.5yx =+y =0.5x =- 1.5(1.5,2)C m 32P (,y)x P x y P (1,0)-(1,0)2m 2x m P (,)x y ||2||y x =2y x =±0x ≠(,)P x y (1,0)M -(1,0)N ||||||||2PM PN MN -=＜||||||2||0PM PN m -=＞0||1m ＜＜P M N 2||m 222211x y m m -=-2y =±222211x y m m -=-2222(1)015m m x m -=-≥210m -＞2150m -＞0||m ＜m (⋃222484840x y kx ky k +--+-=k 2y x =2y x =解：椭圆（为参数）可化为，所以表示中心在直线上，长轴长和短轴长分别为4，2的一组椭圆，而所求的直线与这组椭圆种的任意椭圆都相交，若所求的直线与直线不平行，则必定存在椭圆与直线l 不相交，于是，设所求直线的方程为因为此直线被这些椭圆截得的线段长都等于与椭圆，由得得即解得设直线与圆（为参数），相交所得的弦长为d ，则由得所以所以直线与椭圆（同理可证，对任意，椭圆（为参数）与直线相交所得弦三、解答题：17．解：（Ⅰ）先判断斜三棱柱的三个侧面的形状，分别求出面积再相加，即为斜三棱柱的侧面积．∵侧棱与底面相邻两边、都成角，∴三棱柱的三个侧面中，四边形和是有一个角是，相邻两边长分别为，的平行四边形，第三个侧面是边长分别为，的矩形．∴（Ⅱ）斜三棱柱的体积等于底面积乘高，因为底面三角形是边长为的正三角形，面积易求，所以只需求出222484840x y kx ky k +--+-=k 222484840x y kx ky k +--+-=2y x =l 2y x =2y x b =+2y x b =+2214y x +=22214y x b y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩228440x by b ++-=21212[()4]55x x x x +-=2244()41]88b b ---⨯=2b =±22y x =+222484840x y kx ky k +--+-=k 22248484022x y kx ky k y x ⎧+--+-=⎨=+⎩228(816)880x k x k k +-+-=22221212[()4]55[(21)4(8)]5d x x x x k k k =+-=---=22y x =+222484840x y kx ky k +--+-=k k ∈R 222484840x y kx ky k +--+-=k 22y x =-ABC A B C '''-AA 'AB AC 45ABBA ACCA 45a b a b 2sin 451)S ab ab ab =+=侧a高即可，利用所给线线角的大小即可求出．过作垂直于底面，交底面于点，作，交于点，连接，由题意，则，，∴， ∴18．（Ⅰ）先根据两向量互相垂直等价于二者的数量积等于0，可得到关于的方程，进而得到答案．解：由得，即；整理得解得（舍）或因为，（Ⅱ）先表示出的表达式，再由正弦和余弦定理将角的关系转化为边的关系后代入即得答案．解：因为由正弦定理和余弦定理可得，，，代入上式得又因为，故所以．19．（Ⅰ）利用复数的运算法则和复数为实数的充要条件即可得出．解：设（，），又，且为实数，∴，解得． ∴，∵为实数，∴，解得．1A 1A O ABC ABC O 1A D AB ⊥AB DDO AD1A D=AO=1AO=21124V a b ==cos C 0m n =222cos 2sin ()02CA B -+=21cos 2(1cos )0C C +--=22cos cos 10C C +-=cos 1C =-60C =0πC ＜＜60C =sin()A B -sin()sin cos sin cos A B A B B A -=-sinA 2a R =sin 2bB R =222cos 2a c b B ac +-=222cos 2b c a A bc +-=222222222()sin()22224a a c b b b c a a b A BR ac R bc cR +-+---=-=22212a b c-=21sin()sin 442c c A B C cR R -====sin()A B -=z x yi =+x y ∈R 2(2)z i x y i +=++20y +=2y =-2(2)(2)(22)(4)22(2)(2)5z x i x i i x x i i i i i --+++-===---+2z i -45x -=4x =（Ⅱ）利用复数的运算法则和几何意义即可得出．解：∵复数，∴，解得．即实数的取值范围是．20．（1）由已知，且，解二者联立的方程求出，的值即可得到函数的解析式．解：由已知，且，解得，， ∴函数的解析式是；（2）将，在区间上恒成立，转化成在区间上恒成立，问题变为求在区间上的最小值问题，求出其最小值，令小于其最小值即可解出所求的范围．解：在（1）的条件下，，即在区间上恒成立，由于函数在区间上是减函数，且其最小值为1， ∴的取值范围为；（3）是偶函数，可得，求得，由，，可得、异号，设，则，故可得，代入，化简成关于，的代数式，由上述条件判断其符号即可．解：∵是偶函数，∴，∴，由知、异号，不妨设，则，又由得，，得，又，得，∴的值为正． 21．（1）先根据，（其中为正实常数），求出，然后利用进行求解，注意验证首项；解：∵，（其中为正实常数）， ∴∴当时即，2222()[4(2)i]16(2)8(2)(124)(816)z ai a a a i a a a i +=+-=--+-=+-+-212408160a a a ⎧+-⎨-⎩＞＞26a ＜＜a 2,6（）10a b -+=12ba-=-a b 10a b -+=12ba-=-1a =2b =()f x 2()21f x x x =++()f x x k +＞[3,1]--21k x x ++＜[3,1]--21x x ++[3,1]--k ()f x x k +＞21k x x ++＜[3,1]--21y x x =++[3,1]--k (,1)-∞()f x 0b =2()1f x ax =+0mn ＜0m n +＞m n 0m ＞0n ＜0m n -＞＞()()F m F n +m n ()f x 0b =2()1f x ax =+0mn ＜m n 0m ＞0n ＜0m n +＞0m n -＞＞2222()F()()()1(1)()F m n f m f n am an a m n +=-=+-+=-0m n -＞＞22m n ＞0a ＞()()0F m F n +＞()()F m F n +n n n n S k a kS k a k+-=-+k (2)n n S a n =-≥1n n n a S S -=-n n n n S k a kS k a k+-=-+k (2)n n S a n =-≥2n ≥11n n n n n a S S a a --=-=-+112n n a a -=212a =-∴（2）先求出，然后根据条件判定的符号，从而确定的单调性，从而求出最大值．解：∵，且对任意的正整数，均有 ∴∴关于是一个单调递减的函数，最大值为． 22．先设，则过的圆的切线方程为，将其与椭圆方程联立，得一一元二次方程，由，整理后即可得，求最大值时使用均值定理，注意等号成立的条件．解：设，则过的圆的切线方程为，代入，得由即整理可得∴∵ ∴ （当且仅当∴的最大值为11(),221,1n n n a n -⎧-⎪=⎨⎪=⎩≥(1)f n +(1)()f n f n +-()f n ()n n n n S k a kf n k S k a k+-=+-+11111(1)n n n n n n n n n n S k a k S a k a q kf n k k S k a k S a k a q k++++++-++-+=+=+-++-+10a ＞01q ＜＜n 0n S k -＞11(1)()0n n n n n n n n n n S a k a q k S k a kf n f n k k S a k a q k S k a k++++-+-+-=+-++-+-+＜()f n n 1111a k a kk a k a k+-+-+00(,)A x y A 200x x y y r +==0△||()AB f r =()f x 00(,)A x y A 200x x y y r +=22221x y a b+=2222242222002220002()0a x a r x a r b x x a b y y y +-+-==0△2222242222002220002()4()()a r x a x a r b a b y y y =+-2222222002)()a b x x y y a b r r-+-=+--（()f x =b x a ＜＜22222a b x ab x +=≥()f x a b -x ()f x =b x a ＜＜()f x a b -。

上海市17年高考数学模拟试卷(3)(含解析)

2017年上海中学高考数学模拟试卷（3）一、填空题1．复数的虚部是．2．已知函数ƒ（2x）的定义域为[﹣1，1]，则函数y=ƒ（log2x）的定义域为．3．自圆x2+y2=4上点A（2，0）引此圆的弦AB，则弦的中点的轨迹方程为．4．已知函数，则方程f2（x）﹣f（x）=0的实根共有．5．在的取值范围为．6．已知函数对定义域内的任意x的值都有﹣1≤f（x）≤4，则a的取值范围为．7．函数f（x）=a（x+2）2﹣1（a≠0）的图象的顶点A在直线mx+ny+1=0上，其中m•n＞0，则的最小值为．8．一个四面体的各个面都是边长为的三角形，则这个四面体体积为．9．考察下列一组不等式：23+53＞22•5+2•52，24+54＞23•5+2•53，25+55＞23•52+22•53，…．将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是．10．关于x的方程2x2+3ax+a2﹣a=0至少有一个模为1的复数根，则实数a的所有可能值为．11．已知不等式对大于1的自然数n都成立，则实数a的取值范围为．12．在一个给定的正（2n+1）边形的顶点中随机地选取三个不同的顶点，任何一种选法的可能性是相等的，则正多边形的中心位于所选三个点构成的三角形内部的概率为．二、选择题13．已知，那么实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．C．D．14．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足，则点P与△ABC 的关系为（）A．P在△ABC内部B．P在△ABC外部C．P在AB边所在直线上D．P是AC边的一个三等分点15．若a＞1，b＞1，且lg（a+b）=lga+lgb，则lg（a﹣1）+lg（b﹣1）的值（）A．等于1 B．等于lg2 C．等于0 D．不是常数16．对b＞a＞0，取第一象限的点A k（x k，y k）（k=1，2，…，n），使a，x1，x2，…，x n，b 成等差数列，且a，y1，y2，…，y n，b成等比数列，则点A1，A2，…，A n与射线L：y=x（x ＞0）的关系为（）A．各点均在射线L的上方 B．各点均在射线L的上面C．各点均在射线L的下方 D．不能确定三、解答题17．已知函数与g（x）=cos2x+a（1+cosx）﹣cosx﹣3的图象在（0，π）内至少有一个公共点，求a的取值范围．18．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=﹣．（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求a的值．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）求异面直线CD和PB所成角大小；（2）求直线CD和平面ABE所成角大小．20．设关于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的两根分别为α、β（α＜β），函数（1）证明f（x）在区间（α，β）上是增函数；（2）当a为何值时，f（x）在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小．21．现有流量均为300m3/s的两条河流A，B汇合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别为2kg/m3和0.2kg/m3．假设从汇合处开始，沿岸设有若干个观测点，两股水流在流往相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1秒内交换100m3的水量，其交换过程为从A股流入B股100m3的水量，经混合后，又从B股流入A股100m3水并混合，问从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0.01kg/m3．（不考虑泥沙沉淀）．22．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，F1、F2分别为左、右焦点，椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，且||=2．（1）求椭圆方程；（2）对于x轴上的某一点T，过T作不与坐标轴平行的直线L交椭圆于P、Q两点，若存在x轴上的点S，使得对符合条件的L恒有∠PST=∠QST成立，我们称S为T的一个配对点，当T为左焦点时，求T 的配对点的坐标；（3）在（2）条件下讨论当T在何处时，存在有配对点？2017年上海中学高考数学模拟试卷（3）参考答案与试题解析一、填空题1．复数的虚部是．【考点】A2：复数的基本概念．【分析】复数的分子与分母同乘分母的共轭复数，化简复数为a+bi的形式，即可求出复数的虚部．【解答】解：复数===﹣+i．复数的虚部为：；故答案为：．2．已知函数ƒ（2x）的定义域为[﹣1，1]，则函数y=ƒ（log2x）的定义域为．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】由函数ƒ（2x）的定义域为[﹣1，1]，知．所以在函数y=ƒ（log2x）中，，由此能求出函数y=ƒ（log2x）的定义域．【解答】解：∵函数ƒ（2x）的定义域为[﹣1，1]，∴﹣1≤x≤1，∴．∴在函数y=ƒ（log2x）中，，∴．故答案为：[]．3．自圆x2+y2=4上点A（2，0）引此圆的弦AB，则弦的中点的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1，（x≠2）．【考点】J3：轨迹方程．【分析】设出AB的中点坐标，利用中点坐标公式求出B的坐标，据B在圆上，将P坐标代入圆方程，求出中点的轨迹方程．【解答】解：设AB中点为M（x，y），由中点坐标公式可知，B点坐标为（2x﹣2，2y）．∵B点在圆x2+y2=4上，∴（2x﹣2）2+（2y）2=4．故线段AB中点的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1．不包括A点，则弦的中点的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1，（x≠2）故答案为：（x﹣1）2+y2=1，（x≠2）．4．已知函数，则方程f2（x）﹣f（x）=0的实根共有7个．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】求解方程f2（x）﹣f（x）=0，可得f（x）=0或f（x）=1．画出函数的图象，数形结合得答案．【解答】解：由f2（x）﹣f（x）=0，得f（x）=0或f（x）=1．画出函数的图象如图，由图可知，f（x）=0可得x有3个不同实根；f（x）=1可得x有4个不同实根．∴方程f2（x）﹣f（x）=0的实根共有7个．故答案为：7个．5．在的取值范围为（1，3）．【考点】HQ ：正弦定理的应用．【分析】根据正弦定理可得到，结合∠C=3∠B 根据两角和的正弦公式和二倍角公式可得整理得到，再由∠B 的范围即可得到的取值范围．【解答】解：根据正弦定理，，得====4cos 2B ﹣1由∠C=3∠B ，4∠B ＜180°，故0°＜∠B ＜45°，cosB ∈（，1）故4cos 2B ﹣1∈（1，3）．故答案为：（1，3） 6．已知函数对定义域内的任意x 的值都有﹣1≤f （x ）≤4，则a 的取值范围为 [﹣4，4] ．【考点】34：函数的值域．【分析】将已知条件转化为恒成立，恒成立，令两个二次不等式的判别式小于等于0即得到答案．【解答】解：根据题意得：恒成立，所以恒成立所以解得﹣4≤a ≤4 故答案为[﹣4，4]．7．函数f （x ）=a （x+2）2﹣1（a ≠0）的图象的顶点A 在直线mx+ny+1=0上，其中m•n＞0，则的最小值为8 ．【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先根据二次函数求出顶点坐标，然后代入直线方程可得2m+n=1，然后中的1用2m+n代入，2用4m+2n代入化简，利用基本不等式可求出最小值．【解答】解：由题意可得顶点A（﹣2，﹣1），又点A在直线mx+ny+1=0上，∴2m+n=1，则+=+=4++≥4+2 =8，当且仅当时，等号成立，故答案为：8．8．一个四面体的各个面都是边长为的三角形，则这个四面体体积为 2 ．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】考虑一个长方体ABCD﹣A1B1C1D1，其四个顶点就构成一个四面体AB1CD1恰好就是每个三角形边长为，利用长方体的体积减去4个角的体积即可．【解答】解：设长方体ABCD﹣A1B1C1D1三棱分别是a，b，c，于是列出方程 a2+b2=5，b2+c2=10，c2+a2=13 于是解出 a2=4，b2=1，c2=9，a=2，b=1，c=3，即对于三棱分别为1，2，3的长方体去掉4个角就得到题中要求的四面体．于是，所求四面体体积为：长方体体积﹣4个角上直四面体体积=1×2×3=2．故答案为：2．9．考察下列一组不等式：23+53＞22•5+2•52，24+54＞23•5+2•53，25+55＞23•52+22•53，…．将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是2n+5n＞2n﹣k5k+2k5n﹣k，n≥3，1≤k≤n ．【考点】F1：归纳推理．【分析】题目中的式子变形得22+1+52+1＞22•51+21•52（1）23+1+53+1＞23•51+21•53（2）观察会发现指数满足的条件，可类比得到2m+n+5m+n＞2m5n+2n5m，使式子近一步推广得2n+5n＞2n﹣k5k+2k5n ﹣k，n≥3，1≤k≤n【解答】解：22+1+52+1＞22•51+21•52（1）23+1+53+1＞23•51+21•53（2）观察（1）（2）（3）式指数会发现规律，则推广的不等式可以是：2n+5n＞2n﹣k5k+2k5n﹣k，n≥3，1≤k≤n故答案为：2n+5n＞2n﹣k5k+2k5n﹣k，n≥3，1≤k≤n．10．关于x的方程2x2+3ax+a2﹣a=0至少有一个模为1的复数根，则实数a的所有可能值为．【考点】7H：一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】原方程的根是实根与虚根讨论：（1）对于方程 2x2+3ax+a2﹣a=0 若方程有实根，（2）若方程有共轭复数根，则可设两根为cosθ+isinθ、cosθ﹣isinθ，分别求出a的值，从而得到答案．【解答】解：（1）对于方程 2x2+3ax+a2﹣a=0 若方程有实根，则实根中有一个根为1或﹣1，△=9a2﹣8（a2﹣a）=a（a+8）≥0，得a≤﹣8或a≥0，将x=1代入方程，得2+3a+a2﹣a=0，即a2+2a+2=0，a无实根；将x=﹣1代入方程，得2﹣3a+a2﹣a=0，即a2﹣4a+2=0，得a=2±（2）若方程有共轭复数根，则可设两根为cosθ+isinθ、cosθ﹣isinθ，△=9a2﹣8（a2﹣a）=a（a+8）＜0，得﹣8＜a＜0 由韦达定理，有 cosθ+isinθ+cosθ﹣isinθ=2cosθ=﹣a，得cosθ=﹣a，（cosθ+isinθ）（cosθ﹣isinθ）=cos2θ+sin2θ=1=（a2﹣a），即（a+1）（a﹣2）=0，⇒a=2或a=﹣1，a=﹣1时，cosθ=∈[﹣1，1]；a=2不在﹣8＜a＜0的范围内，舍去．∴a=﹣1故答案为：a=2±或﹣111．已知不等式对大于1的自然数n都成立，则实数a的取值范围为．【考点】8I：数列与函数的综合．【分析】设S n=，（n≥2），由已知，只需小于Sn的最小值，利用作差法得出Sn随n的增大而增大，当n=2时Sn取得最小值，再解对数不等式即可．【解答】设S n=，（n≥2）则S n+1=Sn+1﹣Sn==＞0，∴Sn随n的增大而增大．当n=2时，Sn取得最小值，S2=∴恒成立．移向化简整理得log a（a﹣1）＜﹣1．①根据对数的真数为正得：a﹣1＞0，a＞1，①再根据对数函数单调性得a﹣1＜，a2﹣a﹣1＜0，②①②联立解得故答案为：12．在一个给定的正（2n+1）边形的顶点中随机地选取三个不同的顶点，任何一种选法的可能性是相等的，则正多边形的中心位于所选三个点构成的三角形内部的概率为．【考点】C7：等可能事件的概率．【分析】从（2n+1）边形的顶点中随机地选取三个不同的顶点中取3个的所有不同的取法有C2n+13，每种取法等可能出现，属于古典概率，正多边形的中心位于所选三个点构成的三角形内部，若第一个点取的就是点2n+1，对于第二个点分类考虑：第二个点取取的是点1，第二个点取的是点2…第二个点取的是m，第二个点取的是点n，再考虑第三个点的所有取法，利用古典概率的公式可求．【解答】解：不妨设以时钟12点方向的顶点为点2n+1，顺时针方向的下一个点为点1，则以时钟12点和6点连线为轴，左右两边各有n个点．多边形中心位于三角形内部的三角形个数a：假设第一个点取的就是点2n+1，则剩下的两点必然在轴线的一左一右．对于第二个点取的是点1，对于第二个点取的是点2，第三个点能取点n+1、点n+2，有2种…对于第二个点取的是点m，第三个点能取点n+1、点n+2…点n+m，有m种…对于第二个点取的是点n，第三个点能取点n+1，点n+2…点2n，有n种一共1+2+…n=（n+1）n种如果第二个点取的是点n+1到点2n，可视为上述情况中的第三个点．所以a=（n+1）n×（2n+1）=（2n+1）（n+1）n一共可构成三角形个数b=（2n+1）n（2n﹣1）∴P==故答案为：二、选择题13．已知，那么实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．C．D．【考点】1C：集合关系中的参数取值问题．【分析】由题意，可先化简集合A，再由A∪B=A得B⊆A，由此对B的集合讨论求a，由于集合B可能为空集，可分两类探讨，当B是空集时，与B不是空集时，分别解出a的取值范围，选出正确选项【解答】解：由题意，，由A∪B=A得B⊆A又B={x|x2﹣2ax+a+2≤0}当B是空集时，符合题意，此时有△=4a2﹣4a﹣8＜0解得﹣1＜a＜2当B不是空集时，有解得2≤a≤综上知，实数a的取值范围是故选D14．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足，则点P与△ABC 的关系为（）A．P在△ABC内部B．P在△ABC外部C．P在AB边所在直线上D．P是AC边的一个三等分点【考点】9V：向量在几何中的应用．【分析】利用向量的运算法则将等式变形，得到，据三点共线的充要条件得出结论．【解答】解：∵，∴，∴，∴P是AC边的一个三等分点．故选项为D15．若a＞1，b＞1，且lg（a+b）=lga+lgb，则lg（a﹣1）+lg（b﹣1）的值（）A．等于1 B．等于lg2 C．等于0 D．不是常数【考点】4H：对数的运算性质．【分析】由lg（a+b）=lga+lgb，知lg（a+b）=lg（ab）=lga+lgb，所以a+b=ab，由此能求出lg（a﹣1）+lg（b﹣1）的值．【解答】解：∵lg（a+b）=lga+lgb，∴lg（a+b）=lg（ab）=lga+lgb，∴a+b=ab，∴lg（a﹣1）+lg（b﹣1）=lg[（a﹣1）×（b﹣1）]=lg（ab﹣a﹣b+1）=lg[ab﹣（a+b）+1]=lg（ab﹣ab+1）=lg1=0．故选C．16．对b＞a＞0，取第一象限的点A k（x k，y k）（k=1，2，…，n），使a，x1，x2，…，x n，b 成等差数列，且a，y1，y2，…，y n，b成等比数列，则点A1，A2，…，A n与射线L：y=x（x ＞0）的关系为（）A．各点均在射线L的上方 B．各点均在射线L的上面C．各点均在射线L的下方 D．不能确定【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】先由等差数列的通项公式，求出x k=，再由等比数列的通项公式，求出y k=a，最后作差即可证明各点均在射线L的下方【解答】解：依题意，设数列{x n}的公差为d，由b=a+（n+1）d，得d=∴x k=a+kd=a+设数列{y n}的公比为q，由b=aq n+1，得∴y k=aq k=a∵y k﹣x k=a﹣a﹣＜0∴各点Ak均在射线L：y=x（x＞0）的下方故选C三、解答题17．已知函数与g（x）=cos2x+a（1+cosx）﹣cosx﹣3的图象在（0，π）内至少有一个公共点，求a的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】要使f（x）与g（x）的图象在（0，π）内至少有一个公共点可转化成f（x）=g（x）在（0，π）内至少有一个解，然后根据三角函数公式进行化简整理，将a分离出来，求出另一侧的取值范围即可求出所求．【解答】解：∵函数与g（x）=cos2x+a（1+cosx）﹣cosx﹣3的图象在（0，π）内至少有一个公共点，∴=cos2x+a（1+cosx）﹣cosx﹣3在（0，π）内至少有一个解即sin﹣sin=2sin [cos2x+a（1+cosx）﹣cosx﹣3]∴2cos sinx=2sin [cos2x+a（1+cosx）﹣cosx﹣3]2cos cos=cos2x+a（1+cosx）﹣cosx﹣3cos2x+cosx=cos2x+a（1+cosx）﹣cosx﹣3∴a=（1+cosx）+令1+cosx=t，t∈（0，2）∴a≥2∴a的取值范围是[2，+∞）18．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=﹣．（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求a的值．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（1）根据正弦定理化简已知的等式，再利用两角和的正弦函数公式及诱导公式化简后，由sinA不为0，即可得到cosB的值，根据B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）利用余弦定理得到b2=a2+c2﹣2accosB，配方后把b，a+c及cosB的值代入，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．【解答】解：（1）由正弦定理得===2R，得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入=﹣，即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，化简得：2sinAcosB+sin（B+C）=0，∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，∴2sinAcosB+sinA=0，∵sinA≠0，∴cosB=﹣，又∵角B为三角形的内角，∴B=；（2）将b=，a+c=4，B=，代入余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得13=a2+（4﹣a）2﹣2a（4﹣a）cos，∴a2﹣4a+3=0，∴a=1或a=3．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）求异面直线CD和PB所成角大小；（2）求直线CD和平面ABE所成角大小．【考点】MI：直线与平面所成的角；LM：异面直线及其所成的角．【分析】分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（1）设异面直线CD和PB所成角为α，用向量表示CD和PB，再利用公式可求．（2）先求平面ABE的法向量，再利用公式求解．【解答】解：由题意，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴．设PA=a，则P（0，0，a），B（a，0，0），，（1）设异面直线CD和PB所成角为α∴∴异面直线CD和PB所成角为（2）设直线CD和平面ABE所成角为βPA=AB=BC，∠ABC=60°，故PA=AC，E是PC的中点，故AE⊥PC，PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA．又CD⊥AC，PA∩AC=A，故CD⊥面PAC，AE⊆面PAC，故CD⊥AE．从而AE⊥面PCD，故AE⊥PD．易知BA⊥PD，故PD⊥面ABE．∵，∴∴直线CD和平面ABE所成角为．20．设关于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的两根分别为α、β（α＜β），函数（1）证明f（x）在区间（α，β）上是增函数；（2）当a为何值时，f（x）在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小．【考点】3W：二次函数的性质．【分析】（1）设Φ（x）=2x2﹣ax﹣2，则当α＜x＜β时，Φ（x）＜0，利用f′（x）的符号进行判定函数的单调性即可；（2）运用方程的根，求得f（α）•f（β）==﹣4＜0，可知函数f（x）在[α，β]上最大值f（β）＞0，最小值f（α）＜0，而f（α）•f（β）=﹣4，则当f（β）=﹣f（α）=2时，f（β）﹣f（α）取最小值，从而得到结论．【解答】解：（1）证明：设Φ（x）=2x2﹣ax﹣2，则当α＜x＜β时，Φ（x）＜0．f′（x）==﹣＞0，∴函数f（x）在（α，β）上是增函数．（2）由关于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的两根分别为α、β（α＜β），可得α=，β=，f（α）==，f（β）=，即有f（α）•f（β）==﹣4＜0，函数f（x）在[α，β]上最大值f（β）＞0，最小值f（α）＜0，∴当且仅当f（β）=﹣f（α）=2时，f（β）﹣f（α）=|f（β）|+|f（α）|取最小值4，此时a=0，f（β）=2．当a=0时，f（x）在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小．21．现有流量均为300m3/s的两条河流A，B汇合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别为2kg/m3和0.2kg/m3．假设从汇合处开始，沿岸设有若干个观测点，两股水流在流往相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1秒内交换100m3的水量，其交换过程为从A股流入B股100m3的水量，经混合后，又从B股流入A股100m3水并混合，问从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0.01kg/m3．（不考虑泥沙沉淀）．【考点】8B：数列的应用．【分析】我们设第n个观测点A股水流含沙量为a n，B股水流含沙量为b n．由已知我们易得{a n﹣b n}是以a1﹣b1为首项，为公比的等比数列．求出数列的通项公式后，构造不等式，解不不等式，即可得到结论．【解答】解：设第n个观测点A股水流含沙量为a n kg/m3，B股水流含沙量为b n．a n=即：a n﹣b n=（a n﹣1﹣b n﹣1）∴{a n﹣b n}是以a1﹣b1为首项，为公比的等比数列．a n﹣b n=1.8•解不等式1.8•＜10﹣2得2n﹣1＞180，又由n正整数，∴n≥9因此，从第9个观测点开始，两股水流含沙量之差小于0.01kg/m3．22．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，F1、F2分别为左、右焦点，椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，且||=2．（1）求椭圆方程；（2）对于x轴上的某一点T，过T作不与坐标轴平行的直线L交椭圆于P、Q两点，若存在x轴上的点S，使得对符合条件的L恒有∠PST=∠QST成立，我们称S为T的一个配对点，当T为左焦点时，求T 的配对点的坐标；（3）在（2）条件下讨论当T在何处时，存在有配对点？【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）设椭圆的顶点为P，由||=2=2c可得c=1，由PF1=PF2=2结合椭圆的定义可得2a，结合b2=a2﹣c2可求椭圆的方程（2）可设过T的直线方程为y=k（x+1），（k≠0），联立椭圆方程整理可得（3+4k2）x2+8k2x+4（k2﹣3）=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），S （a，0），由∠PST=∠QST 可得k PS=﹣K QS即，结合方程的根与系数的关系代入可求a（3）设T（x0，0），直线PQ的方程y=k（x﹣x0），S （a，0），使得对符合条件的L恒有∠PST=∠QST成立，则T必须在P，Q 之间即﹣2＜x0＜2同（2）的整理方法，联立直线与椭圆方程由∠PST=∠QST可得，2x1x2﹣（a+x0）（x1+x2）+2ax0=0，同（2）的方法一样代入可求【解答】解：（1）设椭圆的顶点为P，由||=2=2c可得c=1PF1=PF2=2可得2a=4∴a=2，b2=a2﹣c2=3椭圆的方程为：（2）∵T（﹣1，0），则过可设过T的直线方程为y=k（x+1），（k≠0），联立椭圆方程整理可得（3+4k2）x2+8k2x+4（k2﹣3）=0设P（x1，y1），Q（x2，y2），S （a，0），则，∵∠PST=∠QST∴k PS=﹣K QS∴∴整理可得2x1x2+（1﹣a）（x1+x2）﹣2a=0即∴a=﹣4（3）设T（x0，0），直线PQ的方程y=k（x﹣x0），S （a，0）使得对符合条件的L恒有∠PST=∠QST成立，则T必须在P，Q 之间即﹣2＜x0＜2同（2）的整理方法，联立直线与椭圆方程可得，，由∠PST=∠QST可得，2x1x2﹣（a+x0）（x1+x2）+2ax0=0同（2）的方法一样代入可求a=。

2017年高考数学上海试题及解析

2017年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.已知集合{1，2，3，4}，集合{3，4，5}，则A∩．{3,4} 【解析】∵集合{1，2，3，4}，集合{3，4，5}，∴A∩{3，4}．2．（2017年上海）若排列数=6×5×4，则．2.3 【解析】∵排列数=6×5×…×(61)，∴61=4，即3. 3．（2017年上海）不等式＞1的解集为．3.(-∞，0) 【解析】由＞1，得1>1，则<0，解得x<0，即原不等式的解集为(-∞，0).4.（2017年上海）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于．4.9π 【解析】设球的半径为R，则由球的体积为36π，可得πR3=36π，解得 3.该球的主视图是半径为3的圆，其面积为πR2=9π．5．（2017年上海）已知复数z满足=0，则．5 【解析】由=0，可得z2+3=0，即z23，则±i，.6．（2017年上海）设双曲线=1（b＞0）的焦点为F1，F2，P为该双曲线上的一点，若15，则2．6.11 【解析】双曲线=1中，=3，由双曲线的定义，可得126，又15，解得211或﹣1（舍去），故211.7．（2017年上海）如图，以长方体1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若向量的坐标为（4，3，2），则向量的坐标是．7.(-4,3,2) 【解析】由的坐标为（4，3，2），可得A（4，0，0），C(0,3,2)，D1(0,0,2)，则C1（0，3，2），∴=（﹣4，3，2）．8.（2017年上海）定义在（0，+∞）上的函数（x）的反函数为﹣1（x），若g（x）为奇函数，则1（x）=2的解为．8 【解析】g（x）为奇函数，可得当x＞0时，﹣x＜0，即有g(x)（﹣x）(31)=1-3，则f(x)=1-3.由1（x）=2，可得(2)=1-3-2，即1（x）=2的解为.9．（2017年上海）已知四个函数：①，②，③3，④，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为．9 【解析】从四个函数中任选2个，基本事件总数=6，“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有①③，①④，共2个，∴事件“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为.10．（2017年上海）已知数列{}和{}，其中2，n∈N*，{}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{}的第项等于{}的第项，则=10.2 【解析】∵2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{}中的第项恒等于{}中的第项，∴.∴b112，b422，b932，b1642.∴b1b4b9b16=(b1b2b3b4)2，=2.11．（2017年上海）设α1，α2∈R且α1)2α2)=2，则|10π-α1-α2|的最小值等于．11 【解析】由-1≤α1≤1，可得1≤2 α1≤3，则≤α1)≤1.同理可得≤2α2)≤1.要使α1)2α2)=2，则α1)2α2)=1，即α1 2α21.所以α1=2k1π，2α2=2k2π，k12∈Z.所以|10π-α1-α210π-(2k1π)-(k2π)10π-(2k12)π|，当2k12=11时，|10π-α1-α2|取得最小值.12．（2017年上海）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1，P2，P3，P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线，使得不在上的“▲”的点分布在的两侧．用D1（）和D2（）分别表示一侧和另一侧的“▲”的点到的距离之和．若过P的直线中有且只有一条满足D1（）2（），则Ω中所有这样的P为．12134【解析】设记为“▲”的四个点为A，B，C，D，线段，，，的中点分别为E，F，G，H，易知为平行四边形，如图所示，四边形两组对边中点的连线交于点P2，则经过点P2的所有直线都是符合条件的直线.因此经过点P2的符合条件的直线有无数条；经过点P134的符合条件的直线各有1条，即直线P2P12P32P4.故Ω中所有这样的P为P134.二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（2017年上海）关于x，y的二元一次方程组的系数行列式D 为( )5,4 3)) 0,2 4)) 5,2 3)) 0,5 4))13 【解析】关于x，y的二元一次方程组的系数行列式．故选C．14．（2017年上海）在数列{}中，（）n，n∈N*，则（）A.等于 B.等于0 C.等于 D.不存在14 【解析】数列{}中，（）n，n∈N*，则()0．故选B．15.（2017年上海）已知为实常数，数列{}的通项2，n∈N*，则“存在k∈N*，使得x100，x200，x300成等差数列”的一个必要条件是（）≥0≤00 2015 【解析】存在k∈N*，使得x100，x200，x300成等差数列，可得2[a（200）2（200）]（100）2（100）（300）2（300），化简得0，∴使得x100，x200，x300成等差数列的必要条件是a≥0．故选A．16．（2017年上海）在平面直角坐标系中，已知椭圆C1：=1和C2：x2=1．P为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是·的最大值．记Ω={（P，Q）在C1上，Q在C2上且·}，则Ω中的元素有（）A.2个B.4个C.8个D.无穷个16 【解析】P为椭圆C1：=1上的动点，Q为C2：x2=1上的动点，可设P（6α，2α），Q（β，3β），α，β∈[0,2π],则·=6αβ+6αβ=6（α-β），当α-β=2kπ，k∈Z时，·取得最大值6，即使得·的点对()有无穷多对，Ω中的元素有无穷个.三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（2017年上海）如图，直三棱柱1B1C1的底面为直角三角形，两直角边和的长分别为4和2，侧棱1的长为5．（1）求三棱柱1B1C1的体积；（2）设M是中点，求直线A1M与平面所成角的大小．17.【解析】（1）∵直三棱柱1B1C1的底面为直角三角形，两直角边和的长分别为4和2，侧棱1的长为5．∴三棱柱﹣A1B1C1的体积△·1··1×4×2×5=20.（2）连接.∵直三棱柱1B1C1，∴1⊥底面.∴∠1是直线A1M与平面所成角.∵△是直角三角形，两直角边和的长分别为4和2，点M是的中点，∴×.由1⊥底面，可得1⊥,∴∠A1).∴直线A1M与平面所成角的大小为．18．（2017年上海）已知函数f（x）2x﹣2，x∈（0，π）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△为锐角三角形，角A所对边，角B所对边5，若f（A）=0，求△的面积．18.【解析】（1）函数f（x）22 2，x∈（0，π）.由2kπ-π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣≤x≤kπ，k∈Z.1时，≤x≤π，可得f（x）的增区间为[，π）.（2）f（A）=0，即有2=0，解得22kπ±.又A为锐角,故.又5，由正弦定理得,38),则,38).所以(),2)×,38)×,38),38).所以S△××5×,38),4).19．（2017年上海）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆），其中5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量4（n﹣46）2+8800（单位：辆），设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？19.【解析】（1）前4个月共享单车的累计投放量为a1234=20+95+420+430=965，前4个月共享单车的累计损失量为b1234=6+7+8+9=30，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935．（2）令≥，显然n≤3时恒成立，当n≥4时，有﹣10470≥5，解得n≤，∴第42个月底，保有量达到最大．当n≥4，{}为公差为﹣10等差数列，而{}为公差为1的等差数列，∴到第42个月底，共享单车保有量为×39+535×42×39+535×42=8782．又S42=﹣4×(42-46)2+8800=8736，8782＞8736，∴第42个月底共享单车保有量超过了停放点的单车容纳量．20．（2017年上海）在平面直角坐标系中，已知椭圆Γ：2=1，A 为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．（1）若P在第一象限且，求P的坐标；（2）设P（），若以为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若，直线与Γ交于另一点C且=2，=4，求直线的方程．20.【解析】（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），由点P在椭圆Γ：2=1上且,可得2=1，22=2，))解得x22，则P（,3)，,3)）．（2）设M（x0，0），A（0，1），P（，）.若∠90°，则•=0，即（，）•（x0﹣，﹣）=0，∴（﹣）x0=0，解得x0．若∠90°，则•=0，即（﹣x0，1）•（﹣x0，）=0，∴x02x0=0，解得x0=1或x0.若∠90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．∴点M的横坐标为或1或．（3）设C（2α，α），∵=2，A（0，1），∴Q（4α，2α﹣1）.又设P（2β，β），M（x0，0），∵，∴x02+1=（2β﹣x0）2+（β）2，整理得x0β.∵=（4α﹣2β，2α﹣β﹣1），=（β，﹣β），=4，∴4α﹣2β=﹣5β，2α﹣β﹣1=﹣4β.∴β=﹣α，β（1﹣2α）.以上两式平方相加，整理得3（α）2α﹣2=0，∴α或α=﹣1（舍去）.此时，直线的斜率,10)（负值已舍去），如图．∴直线的方程为为,10)1．21．（2017年上海）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1，x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．（1）若f（x）3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．21.【解析】（1）由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）（x13﹣x23）≤0，∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0．故a的取值范围是[0，+∞）.（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为，任取x0∈R，则有f（x0）（x0）.由题意，对任意x∈[x0，x0]，f（x0）≤f（x）≤f（x0），∴f（x0）（x）（x0）．又∵f（x0）（x0），n∈Z，并且…∪[x0﹣3，x0﹣2]∪[x0﹣2，x0﹣]∪[x0﹣，x0]∪[x0，x0]∪[x0，x0+2]∪…，∴对任意x∈R，f（x）（x0），为常数.（3）证明：(充分性)若f（x）是常值函数，记f（x）1，设g （x）的一个周期为，则h（x）1•g（x），对任意x0∈R，h（x0）1•g（x0）1•g（x0）（x0），故h（x）是周期函数.(必要性)若h（x）是周期函数，记其一个周期为．若存在x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＜0，则由题意可知，x1＞x2，那么必然存在正整数N1，使得x21＞x1，∴f（x21）＞f（x1）＞0，且h（x21）（x2）．又h（x2）（x2）f（x2）＜0，而h（x21）（x21）f（x21）＞0≠h（x2），矛盾．综上，f（x）＞0恒成立．由f（x）＞0恒成立，任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0﹣N2≤x0﹣，即[x0﹣，x0]⊆[x0﹣N2，x0]，∵…∪[x0﹣3，x0﹣2]∪[x0﹣2，x0﹣]∪[x0﹣，x0]∪[x0，x0]∪[x0，x0+2]∪…，∴…∪[x0﹣2N2，x0﹣N2]∪[x0﹣N2，x0]∪[x0，x02]∪[x02，x0+2N2]∪…．h（x0）（x0）•f（x0）（x0﹣N2）（x0﹣N2）•f（x0﹣N2），∵g（x0）≥g（x0﹣N2）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2）＞0．因此若h（x0）（x0﹣N2），必有g（x0）（x0﹣N2），且f（x0）（x0﹣N2）．而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）（x0），为常数．必要性得证．综上所述，“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．。

2017年上海市高考数学模拟试卷 Word版含解析

2017年上海市高考数学模拟试卷一、填空题（本大题满分54分，1-6每小题4分，7-12每小题4分）1．计算：=．2．设函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（4）=．3．已知复数（i为虚数单位），则|z|=．4．函数，若存在锐角θ满足f（θ）=2，则θ=．5．已知球的半径为R，若球面上两点A，B的球面距离为，则这两点A，B 间的距离为．6．若（2+x）n的二项展开式中，所有二项式的系数和为256，则正整数n=．7．设k为常数，且，则用k表示sin2α的式子为sin2α=．8．设椭圆的两个焦点为F1，F2，M是椭圆上任一动点，则的取值范围为．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2 sinB，则A角大小为．10．设f（x）=lgx，若f（1﹣a）﹣f（a）＞0，则实数a的取值范围为．11．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+a n=（）n，n∈N*，则=．+112．已知△ABC的面积为360，点P是三角形所在平面内一点，且，则△PAB的面积为．二、选择题（本大题满分20分）13．已知集合A={x|x＞﹣1}，则下列选项正确的是（）A．0⊆A B．{0}⊆A C．∅∈A D．{0}∈A14．设x，y∈R，则“|x|+|y|＞1”的一个充分条件是（）A．|x|≥1 B．|x+y|≥1 C．y≤﹣2 D．且15．图中曲线的方程可以是（）A．（x+y﹣1）•（x2+y2﹣1）=0 B．C．D．16．已知非空集合M满足：对任意x∈M，总有x2∉M且，若M⊆{0，1，2，3，4，5}，则满足条件M的个数是（）A．11 B．12 C．15 D．16三、解答题（本大题满分76分）17．已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD=2，BC=1，AC与底面所成角的大小为，过点A作截面ABC，ACD，截去部分后的几何体如图所示．（1）求原来圆锥的侧面积；（2）求该几何体的体积．18．已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0），直线l：x+y﹣2=0，F1，F2为双曲线Γ的两个焦点，l与双曲线Γ的一条渐近线平行且过其中一个焦点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l的交点为P，求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．19．某租车公司给出的财务报表如下：1014年（1﹣121015年（1﹣121016年（1﹣11月）月）月）接单量（单）144632724012512550331996油费（元）214301962591305364653214963平均每单油费t（元）14.8214.49平均每单里程k（公里）1515每公里油耗a（元）0.70.70.7有投资者在研究上述报表时，发现租车公司有空驶情况，并给出空驶率的计算公式为．（1）分别计算2014，2015年该公司的空驶率的值（精确到0.01%）；（2）2016年该公司加强了流程管理，利用租车软件，降低了空驶率并提高了平均每单里程，核算截止到11月30日，空驶率在2015年的基础上降低了20个百分点，问2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程分别为多少？（分别精确到0.01元和0.01公里）20．已知数列{a n}，{b n}与函数f（x），{a n}是首项a1=15，公差d≠0的等差数列，{b n}满足：b n=f（a n）．（1）若a4，a7，a8成等比数列，求d的值；（2）若d=2，f（x）=|x﹣21|，求{b n}的前n项和S n；（3）若d=﹣1，f（x）=e x，T n=b1•b2•b3…b n，问n为何值时，T n的值最大？21．对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）﹣f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．（1）判断函数f（x）=2x+1和g（x）=2x是否为位差奇函数？说明理由；（2）若f（x）=sin（x+φ）是位差值为的位差奇函数，求φ的值；（3）若f（x）=x3+bx2+cx对任意属于区间中的m都不是位差奇函数，求实数b，c满足的条件．2017年上海市高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分54分，1-6每小题4分，7-12每小题4分）1．计算：=﹣2．【考点】二阶矩阵．【分析】利用二阶行列式对角线法则直接求解．【解答】解：=4×1﹣3×2=﹣2．故答案为：﹣2．2．设函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（4）=16．【考点】反函数．【分析】先求出x=y2，y≥0，互换x，y，得f﹣1（x）=x2，x≥0，由此能求出f﹣1（4）．【解答】解：∵函数f（x）=y=的反函数是f﹣1（x），∴x=y2，y≥0，互换x，y，得f﹣1（x）=x2，x≥0，∴f﹣1（4）=42=16．故答案为：16．3．已知复数（i为虚数单位），则|z|=2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数模的计算公式即可得出．【解答】解：复数（i为虚数单位），则|z|==2．故答案为：2、4．函数，若存在锐角θ满足f（θ）=2，则θ=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】运用两角和的正弦公式和特殊角的正弦函数值，计算即可得到所求值．【解答】解：函数=2（sinx+cosx）=2sin（x+），由若存在锐角θ满足f（θ）=2，即有2sin（θ+）=2，解得θ=﹣=．故答案为：．5．已知球的半径为R，若球面上两点A，B的球面距离为，则这两点A，B 间的距离为R．【考点】球面距离及相关计算．【分析】两点A、B间的球面距离为，可得∠AOB=，即可求出两点A，B 间的距离．【解答】解：两点A、B间的球面距离为，∴∠AOB=．∴两点A，B间的距离为R，故答案为：R．6．若（2+x）n的二项展开式中，所有二项式的系数和为256，则正整数n=8．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意可得：2n=256，解得n．【解答】解：由题意可得：2n=256，解得n=8．故答案为：8．7．设k为常数，且，则用k表示sin2α的式子为sin2α=2k2﹣1．【考点】二倍角的正弦．【分析】利用两角差的余弦函数公式化简已知等式，进而两边平方利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：∵，∴（cosα+sinα）=k，可得：cosα+sinα=k，∴两边平方可得：cos2α+sin2α+2cosαsinα=2k2，可得：1+sin2α=2k2，∴sin2α=2k2﹣1．故答案为：sin2α=2k2﹣1．8．设椭圆的两个焦点为F1，F2，M是椭圆上任一动点，则的取值范围为[﹣2，1] ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：焦点坐标为F1（﹣，0），F2（，0），设点M坐标为M（x，y），可得y2=1﹣，=（﹣﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=x2﹣3+1﹣=﹣2，则x2∈[0，4]，的取值范围为[﹣2，1]．【解答】解：如下图所示，在直角坐标系中作出椭圆：由椭圆，a=2，b=1，c=，则焦点坐标为F1（﹣，0），F2（，0），设点M坐标为M（x，y），由，可得y2=1﹣；=（﹣﹣x，﹣y），﹣=（﹣x，﹣y）；=（﹣﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=x2﹣3+1﹣=﹣2，由题意可知：x∈[﹣2，2]，则x2∈[0，4]，∴的取值范围为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2 sinB，则A角大小为．【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用．【分析】先利用正弦定理化简sinC=2sinB，得到c与b的关系式，代入中得到a2与b2的关系式，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值．【解答】解：由sinC=2sinB得：c=2b，所以=•2b2，即a2=7b2，则cosA===，又A∈（0，π），所以A=．故答案为：10．设f（x）=lgx，若f（1﹣a）﹣f（a）＞0，则实数a的取值范围为．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由题意，f（x）=lgx在（0，+∞）上单调递增，利用f（﹣a）﹣f（a）＞0，可得﹣a＞a＞0，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：由题意，f（x）=lgx在（0，+∞）上单调递增，∵f（1﹣a）﹣f（a）＞0，∴1﹣a＞a＞0，∴a∈，故答案为11．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+a n=（）n，n∈N*，则=﹣．+1【考点】极限及其运算．【分析】由已知推导出S2n=（1﹣），S2n﹣1=1+，从而a2n=S2n =﹣[1+（1﹣）]，由此能求出．﹣S2n﹣1【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=1，，n∈N*，∴（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）===（1﹣）=（1﹣），∴S2n=（1﹣），a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a2n+a2n﹣1）﹣2=1+=1+=1+，=1+，∴S2n﹣1∴a2n=S2n﹣S2n﹣1=﹣[1+（1﹣）]，∴=﹣[1+（1﹣）]==﹣．故答案为：．12．已知△ABC的面积为360，点P是三角形所在平面内一点，且，则△PAB的面积为90．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】取AB的中点D，AC的中点E，则P为DE的中点，利用相似比，可得结论．【解答】解：取AB的中点D，AC的中点E，则P为DE的中点，∵△ABC的面积为360，∴△PAB的面积=△ADE的面积==90．故答案为90．二、选择题（本大题满分20分）13．已知集合A={x|x＞﹣1}，则下列选项正确的是（）A．0⊆A B．{0}⊆A C．∅∈A D．{0}∈A【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据元素与集合的关系，用∈，集合与集合的关系，用⊆，可得结论．【解答】解：根据元素与集合的关系，用∈，集合与集合的关系，用⊆，可知B 正确．故选B．14．设x，y∈R，则“|x|+|y|＞1”的一个充分条件是（）A．|x|≥1 B．|x+y|≥1 C．y≤﹣2 D．且【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：A．当x=1，y=0时，满足|x|≥1时，但|x|+|y|=1＞1不成立，不满足条件．B．当x=1，y=0时，满足|x+y|≥1时，但|x|+|y|=1＞1不成立，不满足条件．C．当y≤﹣2时，|y|≥2，则|x|+|y|＞1成立，即充分性成立，满足条件．D．当且，则|x|+|y|≥1，等取等号时，不等式不成立，即充分性不成立，不满足条件．故选：C．15．图中曲线的方程可以是（）A．（x+y﹣1）•（x2+y2﹣1）=0 B．C．D．【考点】曲线与方程．【分析】由图象可知曲线的方程可以是x2+y2=1或x+y﹣1=0（x2+y2≥1），即可得出结论．【解答】解：由图象可知曲线的方程可以是x2+y2=1或x+y﹣1=0（x2+y2≥1），故选C．16．已知非空集合M满足：对任意x∈M，总有x2∉M且，若M⊆{0，1，2，3，4，5}，则满足条件M的个数是（）A．11 B．12 C．15 D．16【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由题意M是集合{2，3，4，5}的非空子集，且2，4不同时出现，同时出现有4个，即可得出结论．【解答】解：由题意M是集合{2，3，4，5}的非空子集，有15个，且2，4不同时出现，同时出现有4个，故满足题意的M有11个，故选：A．三、解答题（本大题满分76分）17．已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD=2，BC=1，AC与底面所成角的大小为，过点A作截面ABC，ACD，截去部分后的几何体如图所示．（1）求原来圆锥的侧面积；（2）求该几何体的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】（1）设BD 的中点为O ，连结OA ，OC ，则OA ⊥平面BCD ．由经能求出S 圆锥侧．（2）该几何体的体积V=（S △BCD +S 半圆）•AO ，由此能求出结果．【解答】解：（1）设BD 的中点为O ，连结OA ，OC ， ∵A 是圆锥的顶点，BD 是圆锥底面的直径， ∴OA ⊥平面BCD ．∵BD=2，BC=1，AC 与底面所成角的大小为，过点A 作截面ABC ，ACD ，∴在Rt △AOC 中，OC=1，，AC=2，AO=，∴S 圆锥侧=πrl==2π．（2）该几何体为三棱锥与半个圆锥的组合体， ∵AO=，∠BCD=90°，∴CD=，该几何体的体积V=（S △BCD +S 半圆）•AO ==．18．已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0），直线l：x+y﹣2=0，F1，F2为双曲线Γ的两个焦点，l与双曲线Γ的一条渐近线平行且过其中一个焦点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l的交点为P，求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）依题意，双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），即可求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l的交点为P，求出P的坐标，利用夹角公式，即可求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．【解答】解：（1）依题意，双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），∴双曲线方程为x2﹣y2=2；（2），显然∠F1PF2的角平分线所在直线斜率k存在，且k＞0，，，于是．∴为所求．19．某租车公司给出的财务报表如下：1014年（1﹣12月）1015年（1﹣12月）1016年（1﹣11月）接单量（单）144632724012512550331996油费（元）214301962591305364653214963平均每单油费t（元）14.8214.49平均每单里程k（公里）1515每公里油耗a（元）0.70.70.7有投资者在研究上述报表时，发现租车公司有空驶情况，并给出空驶率的计算公式为．（1）分别计算2014，2015年该公司的空驶率的值（精确到0.01%）；（2）2016年该公司加强了流程管理，利用租车软件，降低了空驶率并提高了平均每单里程，核算截止到11月30日，空驶率在2015年的基础上降低了20个百分点，问2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程分别为多少？（分别精确到0.01元和0.01公里）【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据空驶率的计算公式为，带入计算即可；（2）根据T2016的值，求出k的值，从而求出2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程．【解答】解：（1），，∴2014、2015年，该公司空驶率分别为41.14%和38.00%．（2），T2016=38%﹣20%=18%．由，∴2016年前11个月的平均每单油费为12.98元，平均每单里程为15.71km．20．已知数列{a n}，{b n}与函数f（x），{a n}是首项a1=15，公差d≠0的等差数列，{b n}满足：b n=f（a n）．（1）若a4，a7，a8成等比数列，求d的值；（2）若d=2，f（x）=|x﹣21|，求{b n}的前n项和S n；（3）若d=﹣1，f（x）=e x，T n=b1•b2•b3…b n，问n为何值时，T n的值最大？【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由a4，a7，a8成等比数列，可得=a4•a8，可得（15+6d）2=（15+3d）（15+7d），化简解出即可得出．．（2）依题意，a n=15+2（n﹣1）=2n+13，b n=|2n﹣8|，对n分类讨论，利用等差数列的求和公式即可得出．（3）依题意，a n=15﹣（n﹣1）=16﹣n，，利用指数运算性质、等差数列的求和公式及其二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵a4，a7，a8成等比数列，∴=a4•a8，∴（15+6d）2=（15+3d）（15+7d），化为：d2+2d=0，∵d≠0，∴d=﹣2．（2）依题意，a n=15+2（n﹣1）=2n+13，b n=|2n﹣8|，∴，∴．（3）依题意，a n=15﹣（n﹣1）=16﹣n，，，∴当n=15或16时，T n最大．21．对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）﹣f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．（1）判断函数f（x）=2x+1和g（x）=2x是否为位差奇函数？说明理由；（2）若f（x）=sin（x+φ）是位差值为的位差奇函数，求φ的值；（3）若f（x）=x3+bx2+cx对任意属于区间中的m都不是位差奇函数，求实数b，c满足的条件．【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据“位差奇函数”的定义．考查h（x）=g（x+m）﹣g（m）=2x+m ﹣2m=2m（2x﹣1）即可，（2）依题意，是奇函数，求出φ；（3）记h（x）=f（x+m）﹣f（m）=（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm=x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．假设h（x）是奇函数，则3m+b=0，此时．故要使h（x）不是奇函数，必须且只需．【解答】解：（1）对于f（x）=2x+1，f（x+m）﹣f（m）=2（x+m）+1﹣（2m+1）=2x，∴对任意实数m，f（x+m）﹣f（m）是奇函数，即f（x）是位差值为任意实数m的“位差奇函数”；对于g（x）=2x，记h（x）=g（x+m）﹣g（m）=2x+m﹣2m=2m（2x﹣1），由h（x）+h（﹣x）=2m（2x﹣1）+2m（2﹣x﹣1）=0，当且仅当x=0等式成立，∴对任意实数m，g（x+m）﹣g（m）都不是奇函数，则g（x）不是“位差奇函数”；（2）依题意，是奇函数，∴（k∈Z）．（3）记h（x）=f（x+m）﹣f（m）=（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm=x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．依题意，h（x）对任意都不是奇函数，若h（x）是奇函数，则3m+b=0，此时．故要使h（x）不是奇函数，必须且只需，且c∈R．2017年2月1日。

【配套K12]上海市上海中学2017届高考数学模拟试题(9)(含解析)

2017年上海中学高考数学模拟试卷（9）一．选择题1．（3分）已知函数f（x）（0≤x≤1）的图象的一段圆弧（如图所示）若0＜x1＜x2＜1，则（）A．B．C．D．当时，当x≥时2．（3分）已知函数f（x）=2sinωx在区间[]上的最小值为﹣2，则ω的取值范围是（）A．B． C．（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）D．3．（3分）如果数列{a n}满足：首项a1=1且那么下列说法中正确的是（）A．该数列的奇数项a1，a3，a5，…．成等比数列，偶数项a2，a4，a6，…．成等差数列B．该数列的奇数项a1，a3，a5，…．成等差数列，偶数项项a2，a4，a6，…．成等比数列C．该数列的奇数项a1，a3，a5，…．分别加4后构成一个公比为2的等比数列D．该数列的偶数项项a2，a4，a6，…．分别加4后构成一个公比为2的等比数列4．（3分）点O为△ABC内一点，且存在正数，设△AOB，△AOC的面积分别为S1、S2，则S1：S2=（）A．λ1：λ2B．λ2：λ3C．λ3：λ2D．λ2：λ1二．填空题5．（3分）已知方程x2+（1+a）x+4+a=0的两根为x1，x2，且0＜x1＜1＜x2，则a的取值范围是．6．（3分）已知函数的值为= ．7．（3分）已知有最大值，那么当S n取得最小正值时，n= ．8．（3分）一单位正方体形积木，平放在桌面上，在其上放置5个小正方体形积木摆成塔形，其中上面正方体中下底的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，则6个正方体暴露在外面部分的面积和为．9．（3分）已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），（A＞0，ω＞0，0≤ϕ≤π）的部分图象如图所示，记则的值为．10．（3分）在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形，第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第6件首饰上应有颗珠宝；则前n件首饰所用珠宝总数为颗．（结果用n表示）11．（3分）已知复数，又，而u的实部和虚部相等，求u．12．（3分）定义，设实数x，y满足约束条件，z=max{4x+y，3x﹣y}，则z的取值范围是．13．（3分）已知函数f（x）=|x﹣a|x+b，给出下列命题：①当a=0时，f（x）的图象关于点（0，b）成中心对称；②当x＞a时，f（x）是递增函数；③f（x）=0至多有两个实数根；④当0≤x≤a时，f（x）的最大值为．其中正确的序号是．14．（3分）F1、F2是双曲线的两个焦点，P为双曲线上一点，，且△F1PF2的面积为1，则a的值是．15．（3分）平面上有相异的11个点，每两点连成一条直线，共得48条直线，则任取其中的三个点，构成三角形的概率是．16．（3分）已知，f（1，1）=1，f（m，n）∈N*（m，n∈N*）且对任意m，n∈N*都有①f （m，n+1）=f（m，n）+2；②f（m+1，1）=2f（m，1）．则f（2007，2008）的值= ．三．解答题17．已知函数．（1）若函数h（x）=f（x+t）的图象关于点对称，且t∈（0，π），求t的值．（2）设的充分条件，求实数m的取值范围．18．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB=1，PD与平面ABCD所成的角是30°，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并求出EF到平面PAC的距离；（2）命题：“不论点E在边BC上何处，都有PE⊥AF”，是否成立，并说明理由．19．已知定点A（0，1），B（0，﹣1），C（1，0），动点P满足：•=k||2，（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；（2）当k=2，求|2+|的最大，最小值．20．阳光商场节日期间为促销，采取“满一百送三十，连环送”的酬宾方式，即顾客在店内花钱满100元（这100元可以是现金，也可以是奖励券，或二者合计），就送30元奖励券（奖励券不能兑换现金）；满200元就送60元奖励券…（注意：必须满100元才送奖励券30元，花费超过100元不足200元也只能得30元奖励券，以此类推）．（1）按这种酬宾方式，一位顾客只用7000元现金在阳光商场最多能购回多少元钱的货物？（2）在一般情况下，顾客有a元现金，而同时新世纪百货在进行7折优惠活动，即每件商品按原价的70%出售，试问该顾客在哪个商场购物才能获得更多优惠．21．已知一次函数f（x）的图象关于直线x﹣y=0对称的图象为C，且f（f（1））=﹣1，若点在曲线C上，并有．（1）求f（x）的解析式及曲线C的方程；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设，求的值．2017年上海中学高考数学模拟试卷（9）参考答案与试题解析一．选择题1．已知函数f（x）（0≤x≤1）的图象的一段圆弧（如图所示）若0＜x1＜x2＜1，则（）A．B．C．D．当时，当x≥时【考点】35：函数的图象与图象变化．【分析】由题设条件及图象知，此函数是图象是先增后减，考查四个选项，研究的是比较的是两个数大小，由它们的形式知几何意义是（x，f（x））与原点（0，0）连线的斜率，由此规律即可选出正确选项．【解答】解：由函数的图象知，此函数的图象先增后减，其变化率先正后负，逐渐变小考察四个选项，要比较的是两个数大小，由其形式，其几何意义是（x，f（x））与原点（0，0）连线的斜率由此函数图象的变化特征知，随着自变量的增大，图象上的点与原点连线的斜率逐渐变小，当0＜x1＜x2＜1，一定有考察四个选项，应选C故选C【点评】本题考查函数的图象及图象变化，解题的关键是考查四个选项，找出问题探究的方向，再结合图象的变化得出答案，本题形式新颖，由图象给出题设，由形入数，考查了数形结合的思想及理解能力．2．已知函数f（x）=2sinωx在区间[]上的最小值为﹣2，则ω的取值范围是（）A．B． C．（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）D．【考点】HW：三角函数的最值；HL：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】先根据x的范围求出ωx的范围，根据函数f（x）在区间[]上的最小值为﹣2，可得到﹣ω≤﹣，即ω≥，然后对ω分大于0和小于0两种情况讨论最值可确定答案．【解答】解：当ω＞0时，﹣ω≤ωx≤ω，由题意知﹣ω≤﹣，即ω≥，当ω＜0时，ω≤ωx≤﹣ω，由题意知ω≤﹣，即ω≤﹣2，综上知，ω的取值范围是（﹣∪[）．故选：D．【点评】本题主要考查正弦函数的单调性和最值问题．考查三角函数基础知识的掌握程度，三角函数是高考的一个重要考点一定要强化复习．3．如果数列{a n}满足：首项a1=1且那么下列说法中正确的是（）A．该数列的奇数项a1，a3，a5，…．成等比数列，偶数项a2，a4，a6，…．成等差数列B．该数列的奇数项a1，a3，a5，…．成等差数列，偶数项项a2，a4，a6，…．成等比数列C．该数列的奇数项a1，a3，a5，…．分别加4后构成一个公比为2的等比数列D．该数列的偶数项项a2，a4，a6，…．分别加4后构成一个公比为2的等比数列【考点】8H：数列递推式．【分析】先根据首项和递推式求出前8项，然后取出奇数项根据等差数列和等比数列的定义可判定选项A、B的真假，将数列的奇数项a1，a3，a5，…，分别加4后可判定C的真假，数列的偶数项项a2，a4，a6，…．分别加4后可判定D的真假．【解答】解：∵首项a1=1且∴a2=2，a3=4，a4=8，a5=10，a6=20，a7=22，a8=44该数列的奇数项1，4，10，22…既不成等差数列，也不成等比数列，故选项A、B不正确；该数列的奇数项a1，a3，a5，…，分别加4后为5，9，14，26，…，不成等比数列，故C不正确；该数列的偶数项项a2，a4，a6，…．分别加4后为6，12，24，48，…，构成一个公比为2的等比数列，故正确．故选D．【点评】本题主要考查了数列递推式，以及等差数列与等比数列的判定，属于中档题．4．点O为△ABC内一点，且存在正数，设△AOB，△AOC的面积分别为S1、S2，则S1：S2=（）A．λ1：λ2B．λ2：λ3C．λ3：λ2D．λ2：λ1【考点】9V：向量在几何中的应用．【分析】本选择题利用特殊化方法解决．取正数，结合向量的运算法则：平行四边形法则得到O是三角形AB1C1的重心，得到三角形面积的关系．【解答】解：取正数，∵满足即：，∴，设，如图，则O是三角形AB1C1的重心，故三角形AOB1和AOC1的面积相等，又由图可知：△AOB与△AOC的面积分别是三角形AOB1和AOC1的面积的一半和三分之一，则△AOB与△AOC的面积之比是．即λ3：λ2故选C．【点评】本小题主要考查向量在几何中的应用、向量的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、特殊化思想．属于基础题．二．填空题5．已知方程x2+（1+a）x+4+a=0的两根为x1，x2，且0＜x1＜1＜x2，则a的取值范围是（﹣4，﹣3）．【考点】7H：一元二次方程的根的分布与系数的关系；3W：二次函数的性质．【分析】根据方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x1＜1＜x2，结合对应二次函数性质得到，得到关于a的不等式组，解不等式组即可．【解答】解：由程x2+（1+a）x+4+a=0，知对应的函数f（x）=x2+（1+a）x+4+a图象开口方向朝上又∵方程x2+（1+a）x+4+a=0的两根满足0＜x1＜1＜x2，则即即，∴﹣4＜a ＜﹣3 故答案为（﹣4，﹣3）【点评】本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，三个二次之间的关系，本题解题的关键是由方程x 2+（1+a ）x+1+a+b=0的两根满足0＜x 1＜1＜x 2，结合二次函数图象得到．6．已知函数的值为= 0 ．【考点】3T ：函数的值．【分析】推导出f （）=alog 2+blog 3+2=4，从而得到alog 22008+blog 32008=﹣2，由此能求出f （2008）．【解答】解：∵函数，∴f （）=alog 2+blog 3+2=4，∴﹣alog 22008﹣blog 32008+2=4，即alog 22008+blog 32008=﹣2，∴f （2008）=alog 22008+blog 32008+2=﹣2+2=0．故答案为：0．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．7．已知有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n= 19 ．【考点】8I ：数列与函数的综合．【分析】要求S n 取得最小正值时n 的值，关键是要找出什么时候a n 小于或等于0，而a n+1大于0，由，我们不难得到a 11＜0＜a 10，根据等差数列的性质，我们易求出当S n 取得最小正值时，n的值．【解答】解：∵S n有最大值，∴d＜0则a10＞a11，又，∴a11＜0＜a10∴a10+a11＜0，S20=10（a1+a20）=10（a10+a11）＜0，S19=19a10＞0又a1＞a2＞…＞a10＞0＞a11＞a12∴S10＞S9＞…＞S2＞S1＞0，S10＞S11＞…＞S19＞0＞S20＞S21又∵S19﹣S1=a2+a3+…+a19=9（a10+a11）＜0∴S19为最小正值故答案为：19【点评】本题考查数列的函数性质，一般的{a n}为等差数列，若它的前n项和S n有最小值，则数列的公差d小于0；{a n}为等差数列，若它的前n项和S n有最大值，则数列的公差d大于0．8．一单位正方体形积木，平放在桌面上，在其上放置5个小正方体形积木摆成塔形，其中上面正方体中下底的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，则6个正方体暴露在外面部分的面积和为．【考点】L2：棱柱的结构特征．【分析】由已知中一单位正方体形积木，平放在桌面上，在其上放置5个小正方体形积木摆成塔形，其中上面正方体中下底的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，我们易得相邻两个正方体中，上边一个正方体的侧面积为下边一个正方体的侧面积的一半，进而得到各个正方体的侧面积组成一个以4首项，以为公比的等比数列，由此求出各侧面的和，加上顶面暴露在外面部分的面积和为1，累加后即可得到答案．【解答】解：最下边正方体的侧面积为4×1=4从下边数第二个正方体的侧面积为4×=2从下边数第三个正方体的侧面积为4×=1…即相邻两个正方体中，上边一个正方体的侧面积为下边一个正方体的侧面积的一半．各个正方体的侧面积组成一个以4首项，以为公比的等比数列故Sn=当n=6时S6==而除侧面外其它面的和为1，故6个正方体暴露在外面部分的面积和为+1=故答案为：【点评】本题考查的知识点是棱柱的结构特征，等比数列的前n项和，其中根据已知条件将问题转化为等比数列的前n项和问题，是解答本题的关键．解答时易忽略6个正方体暴露在外面部分不包括下底面，但包括上底面，而错解为或．9．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），（A＞0，ω＞0，0≤ϕ≤π）的部分图象如图所示，记则的值为2+2．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先求出函数f（x）=2sin（），求出f（1）、f（2）、f（3）、…f（8 ）的值，根据函数的周期性求出的值．【解答】解：由函数f（x）的图象可得，此函数的周期等于8，A=2，∴ =8，ω=．把点（0，0）代入函数f（x）的解析式可得∅=0．故函数f（x）=2sin（）．f（1）=，f（2）=2，f（3）=，f（4）=0，f（5）=﹣，f（6）=﹣2，f（7）=﹣，f（8）=0．故 f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）=0．∴=+f（25）+f（26）+f（27）=0+f（1）+f（2）+f（3）=2+2．故答案为：2+2．【点评】本题主要考查函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）的周期性以及根据图象求解析式，求出函数f（x）=2sin（），是解题的关键．10．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形，第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第6件首饰上应有66 颗珠宝；则前n件首饰所用珠宝总数为颗．（结果用n表示）【考点】8B：数列的应用．【分析】由题意可知a1，a2，a3，a4，a5的值，则a2﹣a1=5，a3﹣a2=9，a4﹣a3=13，a5﹣a4=17，猜想a6﹣a5=21，从而得a6的值和a n﹣a n﹣1=4n﹣3；所以（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+（a5﹣a4）+（a6﹣a5）+…+（a n﹣a n﹣1）=a n﹣a1求得通项公式a n，从而求得前n项和s n．【解答】解：由题意，知a1=1，a2=6，a3=15，a4=28，a5=45，a6=66，…；∴a2﹣a1=5，a3﹣a2=9，a4﹣a3=13，a5﹣a4=17，a6﹣a5=21，…，a n﹣a n﹣1=4n﹣3；∴（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+（a5﹣a4）+（a6﹣a5）+…+（a n﹣a n﹣1）=a n﹣a1=5+9+13+17+21+…+（4n﹣3）==2n2﹣n﹣1；∴a n=2n2﹣n，其前n项和为s n=2（12+22+32+…+n2）﹣（1+2+3+…+n）=2×﹣=．故答案为：66，．【点评】本题考查了数列的递推关系以及求和公式的综合应用，解题时要探究数列的递推关系，得出通项公式，并能正确求和．11．已知复数，又，而u的实部和虚部相等，求u．【考点】A7：复数代数形式的混合运算；A2：复数的基本概念．【分析】由条件求出u=i（a﹣bi）=b+ai，可得，解出a、b的值，即可得到u．【解答】解：∵，∴u=i（a﹣bi）=b+ai．∴，…（6分）∴a=b=1或a=b=﹣1，∴u=1+i或u=﹣1﹣i …（12分）【点评】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的混合运算，属于基础题．12．定义，设实数x，y满足约束条件，z=max{4x+y，3x ﹣y}，则z的取值范围是﹣7≤Z≤10 ．【考点】7D：简单线性规划的应用．【分析】先找出可行域，即四边形ABCD上及其内部，（4x+y）与（3x﹣y）相等的分界线x+2y=0，令z=4x+y时，点（x，y）在四边形MNCD上及其内部，求得z范围；令z=3x﹣y，点（x，y）在四边形ABNM上及其内部（除AB边）求得z范围，将这2个范围取并集可得答案．【解答】解：当4x+y≥3x﹣y时可得x+2y≥0则原题可转化为：当，Z=4x+y作出不等式组所表示的平面区域如图所示的阴影部分的MDCN，作直线l0：4x+y=0然后把直线l0向可行域平移则可知直线平移到C（2，2）时Z max=10，平移到点N（﹣2，1）时Z min=﹣6此时有﹣6≤z≤10当，Z=3x﹣y作出不等式组所表示的平面区域如图所示的ABNM作直线l0：3x﹣y=0，然后把直线3x﹣y=0向可行域平移则可知直线平移到M（﹣2，1）时Z min=﹣7，平移到点B（2，﹣2）时，Z max=8此时有﹣7≤z≤8综上可得，﹣7≤Z≤10【点评】本题表面上看约束条件和目标函数都是静态的，实际上二者都是动态变化的，目标函数是z=4x+y还是z=3x﹣y并没有明确确定下来，直线x+2y=0又将原可行域分为两部分．解题的关键是通过比较4x+y与3x﹣y的大小，同时目标函数及可行域都将发生变化．此题构思比较巧妙．13．已知函数f（x）=|x﹣a|x+b，给出下列命题：①当a=0时，f（x）的图象关于点（0，b）成中心对称；②当x＞a时，f（x）是递增函数；③f（x）=0至多有两个实数根；④当0≤x≤a时，f（x）的最大值为．其中正确的序号是①②④．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】根据函数的单调性和奇偶性，对各个选项加以判断．利用奇函数图象关于原点对称，可得①正确；利用二次函数图象及其单调性，得出②正确；举出一个反例，可得③不正确；利用二次函数图象与性质，求函数的最值可得出④正确．【解答】解：对各个选项分别加以判别：对于①，当a=0时，f（x）=|x|x+b，可得f（﹣x）=﹣|x|x+b∴f（x）+f（﹣x）=2b，可得f（x）的图象关于点（0，b）成中心对称；对于②，当x＞a时，f（x）=x（x﹣a）+b，图象的对称轴为，开口向上因此在对称轴的右侧为增函数，所以当x＞a时，f（x）是递增函数；对于③，可以取a=3，b=﹣2时，f（x）=0有三个实数根：，故③不正确；对于④，当0≤x≤a时，f（x）=﹣x2+ax+b当x=时，函数的最大值为f（）=．故答案为：①②④【点评】本题以函数的奇偶性和单调性为载体，考查了命题真假的判断，属于中档题，熟练掌握函数的基本性质是解决本题的关键所在．14．F1、F2是双曲线的两个焦点，P为双曲线上一点，，且△F1PF2的面积为1，则a的值是a=1或﹣．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】讨论a＞0，a＜0，运用双曲线的定义和向量垂直的条件，以及三角形的面积公式，结合勾股定理，解方程即可得到所求值．【解答】解：设P为双曲线右支上一点，当a＞0时，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=4，，可得PF1⊥PF2，△F1PF2的面积为1，可得|PF1|•|PF2|=1，即有|PF1|•|PF2|=2，由勾股定理可得，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=20a，即有（|PF1|﹣|PF2|）2+2|PF1|•|PF2|=16a+4=20a，解得a=1；当a＜0时，双曲线即为﹣=1，由双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||=2，，可得PF1⊥PF2，△F1PF2的面积为1，可得|PF1|•|PF2|=1，即有|PF1|•|PF2|=2，由勾股定理可得，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=﹣20a，即有（|PF1|﹣|PF2|）2+2|PF1|•|PF2|=﹣4a+4=﹣20a，解得a=﹣．综上可得a=1或﹣．故答案为：a=1或﹣．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及三角形的勾股定理和面积公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．15．平面上有相异的11个点，每两点连成一条直线，共得48条直线，则任取其中的三个点，构成三角形的概率是．【考点】C7：等可能事件的概率．【分析】通过讨论先判断出11个点中有一个4点共线，一个3点共线，然后利用组合的方法求出从11个点中任取三个点的方法及任取三个点能构成三角形的方法，利用古典概型的概率公式求出答案．【解答】解：若任意三点不共线，则任两点一条直线，共有直线C112=55，因为共得48条直线，少了7条，所以存在多点共线的情况，若3点共线的话则减少C32﹣1=2条，若4点共线减少C42﹣1=5条，若5点以上共线减少超过7条，所以11个点中有一个4点共线，一个3点共线，从11个点中任取三个点共有C113=165种，共线有C43+C33=5种由古典概型的概率公式得构成三角形概率是．故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率的求法，关键是求出事件包含的基本事件的个数，常用的方法有：排列组合的方法、列举法、列表法、树状图的方法等．16．已知，f（1，1）=1，f（m，n）∈N*（m，n∈N*）且对任意m，n∈N*都有①f（m，n+1）=f（m，n）+2；②f（m+1，1）=2f（m，1）．则f（2007，2008）的值= 22006+4014 ．【考点】3P：抽象函数及其应用．【分析】根据条件可知{f（m，n）}是以1为首项，2为公差的等差数列，求出f（1，n），以及{f（m，1）}是以1为首项2为公比的等比数列，求出f（n，1）和f（m，n+1），从而求出所求．【解答】解：∵f（m，n+1）=f（m，n）+2∴{f（m，n）}是以1为首项，2为公差的等差数列∴f（1，n）=2n﹣1又∵f（m+1，1）=2f（m，1）∴{f（m，1）}是以1为首项2为公比的等比数列，∴f（n，1）=2n﹣1∴f（m，n+1）=2m﹣1+2n∴f（2007，2008）=22006+4014故答案为：22006+4014．【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，推出f（n，1）=2n﹣1，f（n，1）=2n﹣1，f（m，n+1）=2m﹣1+2n，是解答本题的关键，属中档题．三．解答题17．（2017•徐汇区校级模拟）已知函数．（1）若函数h（x）=f（x+t）的图象关于点对称，且t∈（0，π），求t的值．（2）设的充分条件，求实数m的取值范围．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（1）求出h（x）的表达式，利用图象关于点（﹣，0）对称，建立条件关系即可求t的值；（2）求出当x ∈[，]，函数f （x ）的值域，利用p 是q 的充分条件，即可求出m 的取值范围．【解答】解：（1）∵f （x ）=2sin 2（+x ）﹣cos2x ﹣1=﹣cos2（x+）﹣cos2x=sin2x ﹣cos2x=2sin （2x ﹣），∴h （x ）=f （x+t ）=2sin （2x+2t ﹣），∵h （x ）=f （x+t ）的图象关于点（﹣，0）对称∴h （﹣）=2sin （﹣×2+2t ﹣）=2sin （2t ﹣）=0，即2t ﹣=0+k π，∴t=+，∵t ∈（0，π）， ∴当k=0时，t=，当k=1时，t=．（2）∵|f （x ）﹣m|＜3， ∴：﹣3＜f （x ）﹣m ＜3，即m ﹣3＜f （x ）＜m+3，当x ∈[，]，2x ﹣∈[，]，此时2sin （2x ﹣）∈[1，2]，即f （x ）∈[1，2]，要使p 是q 的充分条件，则，即，∴﹣1≤m ≤4，即实数m 的取值范围是[﹣1，4]．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握三角函数的周期，对称性和最值的性质，涉及的知识点较多，综合性较强，运算量较大．18．（2017•徐汇区校级模拟）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB=1，PD 与平面ABCD所成的角是30°，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并求出EF到平面PAC的距离；（2）命题：“不论点E在边BC上何处，都有PE⊥AF”，是否成立，并说明理由．【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【分析】（1）由题设中的条件E，F为中点可得EF∥PC，由此可判断出EF与平面PAC的位置关系是平行，再根据体积相等即可求出EF到平面PAC的距离；（2）由题设条件及图形可得出AF⊥平面PBE，由线面垂直的定义可得出无论点E在边BC 的何处两线都垂直．【解答】解：（1）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，∴EF∥PC又EF⊄平面PAC而PC⊂平面PAC∴EF∥平面PAC．所以：点E到平面PAC的距离和EF到平面PAC的距离相等．∵PD与平面ABCD所成的角是30°，∴PD=，AC=2．设E到平面PAC的距离为h．∵V E﹣PAC=v P﹣AEC⇒•h•S△PAC=•PA•S△AEC⇒h===．所以：EF到平面PAC的距离为：．（2）∵PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴EB⊥PA．又EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP⊂平面PAB ，∴EB ⊥平面PAB ，又AF ⊂平面PAB ，∴AF ⊥BE ．又PA=AB=1，点F 是PB 的中点，∴AF ⊥PB ，又∵PB ∩BE=B ，PB ，BE ⊂平面PBE ，∴AF ⊥平面PBE ．∵PE ⊂平面PBE ，∴AF ⊥PE ．即不论点E 在边BC 上何处，都有PE ⊥AF 成立．即命题成立．【点评】本题中涉及到点、线、面间的距离计算．一般在求点到面的距离当垂线直接不好求时，常用体积相等来求．19．（2017•徐汇区校级模拟）已知定点A （0，1），B （0，﹣1），C （1，0），动点P 满足： •=k||2，（1）求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；（2）当k=2，求|2+|的最大，最小值．【考点】J3：轨迹方程；93：向量的模；9R ：平面向量数量积的运算．【分析】（1）设出P 点坐标，求出向量的坐标，然后分k=1和k ≠1由•=k||2得到P 点轨迹；（2）把k=2代入（1）求出的轨迹方程，得到x 2+y 2=4x ﹣3，利用向量的坐标运算求出|2+|，把x 2+y 2=4x ﹣3整体代入后转化为求6x ﹣y 的最值，令t=6x ﹣y ，由圆心到直线t=6x ﹣y 的距离不大于圆的半径求t 的范围，从而得到结论．【解答】解：（1）设P （x ，y ），，．当k=1时，由•=k||2，得x 2+y 2﹣1=（1﹣x ）2+y 2，整理得：x=1，表示过（1，0）且平行于y 轴的直线；当k ≠1时，由•=k||2，得x 2+y 2﹣1=k （1﹣x ）2+ky 2，整理得： =，表示以点为圆心，以为半径的圆．（2）当k=2时，方程化为（x ﹣2）2+y 2=1，即x 2+y 2=4x ﹣3，∵2，∴，又x2+y2=4x﹣3，∴=．问题归结为求6x﹣y的最值，令t=6x﹣y，∵点P在圆（x﹣2）2+y2=1，圆心到直线t=6x﹣y的距离不大于圆的半径，∴，解得12﹣．∴．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了轨迹方程的求法，考查了向量模的求法，体现了数学转化思想方法及整体运算思想方法，属有一定难度题目．20．（2017•徐汇区校级模拟）阳光商场节日期间为促销，采取“满一百送三十，连环送”的酬宾方式，即顾客在店内花钱满100元（这100元可以是现金，也可以是奖励券，或二者合计），就送30元奖励券（奖励券不能兑换现金）；满200元就送60元奖励券…（注意：必须满100元才送奖励券30元，花费超过100元不足200元也只能得30元奖励券，以此类推）．（1）按这种酬宾方式，一位顾客只用7000元现金在阳光商场最多能购回多少元钱的货物？（2）在一般情况下，顾客有a元现金，而同时新世纪百货在进行7折优惠活动，即每件商品按原价的70%出售，试问该顾客在哪个商场购物才能获得更多优惠．【考点】5D：函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据规则，必须满100元才能得30元奖励券，所以要想所得奖券最多，必须每次尽可能使用100元整数倍的钱，故可得解；（2）根据（1）的求解得知：阳光商场用a元钱最多能购回小于元钱的货物，而新世纪百货用a元钱能购回元钱的货物，故可解．【解答】解：（1）根据规则，必须满100元才能得30元奖励券，所以要想所得奖券最多，必须每次尽可能使用100元整数倍的钱，所以这位顾客按下述方法可获得最多货物，第一次使用7000元，可得奖励券第二次使用2100元，可得奖励券第三次使用600元，可得奖励券（此时剩下奖励券30元）第四次使用200元，可得奖励券60元（此时剩下奖励券10元）最后一次使用70元，没有奖励券故共可购回7000+2100+600+200+70=9970（元）货物…6分（2）设阳光商场用a元钱最多能购回m元钱的货物，则由（1）小题知：新世纪百货用a元钱能购回元钱的货物，故新世纪的优惠更多．…12分【点评】本题的考点是函数模型的选择与应用，主要考查实际问题向数学问题的转化，关键是理解题意，合理分析．21．（2017•徐汇区校级模拟）已知一次函数f（x）的图象关于直线x﹣y=0对称的图象为C，且f（f（1））=﹣1，若点在曲线C上，并有．（1）求f（x）的解析式及曲线C的方程；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设，求的值．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；8E：数列的求和．【分析】（1）设f（x）=kx+b（k≠0），所以f[f（1）]=k2+kb+b=﹣1．因为f（x）的图象关于直线x﹣y=0的对称为C，所以曲线C为：f﹣1（x）=﹣，故f﹣1（n）﹣f﹣1（n﹣1）=．由此能够推导出f（x）的解析式及曲线C的方程．（2）由f﹣1（n）=，知=n+1，由此能够求出数列{a n}的通项公式．（3）由===﹣，知=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣，由此能够求出求的值．【解答】解：（1）设f （x ）=kx+b （k ≠0），∴f[f （1）]=k 2+kb+b=﹣1．①因为f （x ）的图象关于直线x ﹣y=0的对称为C ，∴曲线C 为：f ﹣1（x ）=﹣，∴f ﹣1（n ）=﹣，f ﹣1（n ﹣1）=﹣，f ﹣1（n ）﹣f ﹣1（n ﹣1）=．又点（n ，）（n ∈N *）在曲线C 上，∴f ﹣1（n ）=②f ﹣1（n ﹣1）=，∴f ﹣1（n ）﹣f ﹣1（n ﹣1）=﹣=1， ∴k=1，b=﹣1．∴f （x ）=x ﹣1，曲线C ：y=x+1；（2）由②f ﹣1（n ）=∴=n+1，∴a n =••…••=n （n ﹣1）…3•2=n!，∵a 1=1， ∴a n =n!；（3）∵===﹣，∴=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣．则=（﹣）=．【点评】本题考查数列与函数的综合，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．。

【上海中学年】2017学年高考模拟数学年试题(二)答案

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。