2019高中数学第一章1.3的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积检测
高中数学1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
(4)求台体的体积转化为求锥体的体积.根据台体的定义进行“补形”, 还原为锥体,采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积.
【题型探究】 类型一 柱体、锥体、台体的表面积 【典例】1.(2015·陕西高考)一个几何体的三视图如图所示,则该几 何体的表面积为 ( )
2
四个侧面的面积和为(2+8+5×2)×10=200.
所以四棱柱的表面积为S=40+200=240.
【方法技巧】空间几何体的表面积的求法技巧 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和. (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理. (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展 为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
2.旋转体的侧面积与表面积的求解 (1)求圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时,可直接使用公式.但像 圆台的表面积公式比较复杂,不要求记忆,因此,表面积的求解方法是 最重要的. (2)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时,应根据条件计算旋转体的母 线长和底面圆的半径长. (3)这些公式的推导方法向我们提示了立体几何问题的解题思路,主要 通过空间观念等有关知识,将立体几何问题转化为平面几何问题.
Байду номын сангаас
积S1=πr2=π,侧面积S2=2×2+12 ·2πr·2=2π+4,所以此几何体的
表面积S=S1+S2=π+2π+4=3π+4.
2.选D.由已知得l=2r,
S侧 S底
＝
rl r 2
＝
l r
＝2.
3.选D.几何体为直四棱柱,其高为10,底面是上底为2,下底为8,高为4的
21-22版：1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积(创新设计)
中心，则该圆柱的体积为________. 解析 由题意知圆柱的高恰为四棱锥的高的一半，圆柱的底面直径恰为四棱
锥的底面正方形对角线的一半.因为四棱锥的底面正方形的边长为 2，所以底
面正方形对角线长为 2，所以圆柱的底面半径为12.又因为四棱锥的侧棱长均为 5，所以四棱锥的高为 （ 5）2－12＝2，所以圆柱的高为 1.所以圆柱的体
∵S△A1D1E＝21EA1·A1D1＝41a2， 又三棱锥 F－A1D1E 的高为 CD＝a，
∴V 三棱锥 F－A1D1E＝13×a×14a2＝112a3，∴V 三棱锥 A1－D1EF＝112a3.
20
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方向2 割补法求体积
【例3—2】 如图所示，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，
7
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@《创新设计》
【预习评价】
1.若长方体的长、宽、高分别为3 cm，4 cm，5 cm，则长方体的体积为( )
A.27 cm3 B.60 cm3 C.64 cm3
D.125 cm3
解析 V长方体＝3×4×5＝60(cm3). 答案 B
8
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25
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A.90π
B.63π
C.42π D.36π
解 析 (1) 如 图 所 示 的 正 方 体 ABCDA1B1C1D1 的 棱 长 为 4 ， 去 掉 四 棱 柱 MQD1A1NPC1B1(其底面是一个上底为 2，下底为 4，高为 2 的直角梯形)所得的几 何体为题中三视图对应的几何体，故所求几何体的体积为 43－12×(2＋4)×2×4
2019-2020学年高中数学 第一章 空间几何体 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积学
1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积知识导图学法指导1.求几何体的表面积，要充分利用柱体、锥体、台体的结构特征，准确把握各个面的形状与数量关系，尤其是侧面展开图与原几何体的关系．2．求体积问题则要准确把握底面积和高，尤其是四面体，确定哪个面为底面要依据条件看哪个面的面积容易求出．3．充分利用展开图和截面图，将空间问题转化为平面问题．高考导航本节知识是高考的重点内容，考查频率很高，常考题型如下：(1)几何体的表面积或体积的计算，以选择题、填空题为主，分值5分．(2)与后面要学习的点、线、面的位置关系的知识综合，作为解答题中的一问，考查几何体体积的计算，分值5～8分.知识点柱体、锥体、台体的表面积1．棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面体，因此它们的表面积等于各个面的面积之和，也就是展开图的面积．2．圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱(底面半径为r，母线长为l)圆锥(底面半径为r，母线长为l)圆台(上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l)侧面展开图底面积S底＝2πr2S底＝πr2S底＝π(r′2＋r2) 侧面积S侧＝2πrl S侧＝πrl S侧＝π(r′＋r)l表面积S表＝2πr(r＋l)S表＝πr(r＋l)S表＝π(r′2＋r2)＋π(r＋r′)l3.体积公式图形体积公式柱体棱柱底面积为S，高为h，V＝Sh圆柱底面半径为r，高为h，V＝πr2h锥体棱锥底面积为S，高为h, V＝13Sh圆锥底面半径为r，高为h，V＝13πr2h台体棱台上底面积为S′，下底面积为S，高为h，V＝13(S′＋S′S＋S)·h 圆台上底半径为r，下底半径为R，高为h，V＝13π(r2＋rR＋R2)h1 .多面体与旋转体表面积的计算方法(1)多面体展开图的面积即为多面体的表面积，在实际计算中，只要弄清楚多面体的各个面的形状并计算其面积，然后求其和即可，一般不把多面体真正展开．(2)求旋转体的表面积时，要清楚常见旋转体的侧面展开图是什么，关键是求其母线长与上、下底面的半径．2 .柱体、锥体、台体体积之间的关系柱体、锥体、台体的关系如下：根据以上关系，在台体的体积公式中，令S ′＝S，得柱体的体积公式；令S ′＝0，得锥体的体积公式，其关系如图：[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积．( )(2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( )答案：(1)×(2)√2．已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为( )A．48(3＋3) B．48(3＋23)C．24(6＋2) D．144解析：由题意，知侧面积为6×6×4＝144，两底面积之和为2×34×42×6＝483，所以表面积S＝48(3＋3)．答案：A3．若圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则其体积是( ) A．24π B．24C ．355π D．355解析：设圆锥的母线长为l ，高为h ，底面半径为r ，由底面周长为2πr ＝6π，得r ＝3，所以h ＝l 2－r 2＝82－32＝55.由圆锥的体积公式可得V ＝13πr 2h ＝355π.答案：C4．圆台OO ′的母线长为6，两底面半径分别为2,7，则圆台的侧面面积是________． 解析：圆台的上底面半径r ′＝2，下底面半径r ＝7，母线长l ＝6，则圆台的侧面面积S 侧＝π(r ′＋r )l ＝π×(2＋7)×6＝54π.答案：54π类型一 空间几何体的表面积例1 (1)底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为2，体对角线长为6，则这个棱柱的侧面积是( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)若一个圆锥的轴截面是边长为 4 cm 的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为________cm 2，表面积为________cm 2.【解析】 (1)由已知得底面边长为1，侧棱长为6－2＝2.∴S 侧＝1×2×4＝8. (2)如图所示，∵轴截面是边长为4 cm 的等边三角形，∴OB ＝2 cm ，PB ＝4 cm ， ∴圆锥的侧面积S 侧＝π×2×4＝8π (cm 2)， 表面积S 表＝8π＋π×22＝12π (cm 2)． 【答案】 (1)D (2)8π 12π(1)先由面对角线长求边长，再由体对角线求侧棱长，进而求解．(2)由轴截面求出底面半径，再利用圆锥的侧面积公式求圆锥的侧面积，进而求表面积．方法归纳1．多面体的表面积转化为各面面积之和．2．解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决．3．旋转体中，求面积应注意侧面展开图，上下面圆的周长是展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥．跟踪训练1 如图所示，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高1.6 m ，底面外接圆的半径是0.46 m ，问：制造这个滚筒需要________m 2铁板(精确到0.1 m 2)．解析：因为此正六棱柱底面外接圆的半径为0.46 m ， 所以底面正六边形的边长是0.46 m. 所以S 侧＝ch ＝6×0.46×1.6＝4.416 (m 2)． 所以S 表＝S 侧＋S 上底＋S 下底＝4.416＋2×34×0.462×6≈5.6 (m 2)． 故制造这个滚筒约需要5.6 m 2铁板． 答案：5.6本题实质上是求解正六棱柱的表面积，根据底面外接圆半径可确定该六棱柱底面边长，高已知，从而问题可解．类型二 空间几何体的体积 例2 (1)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱AA 1的中点，若△BC 1D 是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________；(2)一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为15，求这个正三棱锥的体积． 【解析】 (1)由题意，设AC ＝a (a ＞0)，CC 1＝b (b ＞0)，则BD ＝C 1D ＝a 2＋b 24，BC 1＝a 2＋b 2，由△BC 1D 是面积为6的直角三角形，得⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋14b 2×2＝a 2＋b 2，得b 2＝2a 2，又12×32a 2＝6，∴a 2＝8，∴b 2＝16，即b ＝4.∵S △ABC ＝34a 2，∴V ＝34×8×4＝8 3., (2)如图所示为正三棱锥S －ABC .设H 为正三角形ABC 的中心，连接SH ，则SH 即为该正三棱锥的高．连接AH 并延长交BC 于E ，则E 为BC 的中点，且AE ⊥BC .∵△ABC 是边长为6的正三角形， ∴AE ＝32×6＝33，∴AH ＝23AE ＝2 3. 在Rt△SHA 中，SA ＝15，AH ＝23， ∴SH ＝SA 2－AH 2＝15－12＝ 3.在△ABC 中，S △ABC ＝12BC ·AE ＝12×6×33＝93，∴V S －ABC ＝13×93×3＝9，即这个正三棱锥的体积为9.【答案】 (1)8 3 (2)9(1)利用截面的面积求出三棱柱的底面边长及高，然后利用体积公式求体积． (2)求棱锥的体积关键是求其高，需要在正棱锥的特征三角形中求解． 方法归纳1．常见的求几何体体积的方法①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．2．求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．跟踪训练2 如图，过圆柱的两条母线AA 1和BB 1的截面A 1ABB 1的面积为S ，母线AA 1的长为l ，∠A 1O 1B 1＝90°，求此圆柱的体积．解析：∵S 截面A 1ABB 1＝S ，AA 1＝l ， ∴A 1B 1＝S l .在Rt△A 1O 1B 1中，O 1A 1＝22·S l ＝2S 2l， ∴V 圆柱＝πr 2h ＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫2S 2l 2·l ＝πS 22l .根据母线长及截面的面积便可确定AB 的长，结合底面直角三角形便可求得底面半径．类型三 组合体的表面积和体积例3 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝a ，BC ＝2a ，∠DCB ＝60°，在平面ABCD 内过点C 作l ⊥BC ，以l 为轴将梯形ABCD 旋转一周，求旋转体的表面积和体积．【解析】 由题意知以l 为轴将梯形ABCD 旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒置的且与圆柱等高的圆锥，如图所示．在梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝a ，BC ＝2a ，∠DCB ＝60°，∴CD ＝BC －AD cos60°＝2a ，AB ＝CD sin60°＝3a ，∴DD ′＝AA ′－2AD ＝2BC －2AD ＝2a ， ∴DO ＝12DD ′＝a .由上述计算知，圆柱的母线长为3a ，底面半径为2a ；圆锥的母线长为2a ，底面半径为a .∴圆柱的侧面积S 1＝2π·2a ·3a ＝43πa 2，圆锥的侧面积S 2＝π·a ·2a ＝2πa 2， 圆柱的底面积S 3＝π(2a )2＝4πa 2，圆锥的底面积S 4＝πa 2，∴组合体上底面面积S 5＝S 3－S 4＝3πa 2，∴旋转体的表面积S ＝S 1＋S 2＋S 3＋S 5＝(43＋9)πa 2.又由题意知形成的几何体的体积为圆柱的体积减去圆锥的体积，且V 柱＝π·(2a )2·3a ＝43πa 3，V 锥＝13·π·a 2·3a ＝33πa 3. ∴旋转体的体积V ＝V 柱－V 锥＝43πa 3－33πa 3＝1133πa 3. 旋转体的表面积等于圆柱侧面积、圆锥侧面积与圆柱上下底面积之和减去圆锥底面积，旋转体的体积为圆柱的体积减去圆锥的体积．方法归纳求组合体的表面积与体积的方法(1)分析结构特征．弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量． (2)设计计算方法．根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理．利用“切割”“补形”的方法求体积．(3)计算求值．根据设计的计算方法求值．跟踪训练3 如图，在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝10，AC ＝6，DB ⊥平面ABC ，且AE ∥FC ∥BD ，BD ＝3，FC ＝4，AE ＝5，则此几何体的体积为________．解析：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA ′＝BB ′＝CC ′＝8，由已知得∠BAC ＝90°，所以V 几何体＝12V 三棱柱＝12×S △ABC ·AA ′＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×6×8×8＝96.答案：96将所求几何体补成一个直三棱柱，利用棱柱的体积公式即可求得该几何体的体积.[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．如图所示，圆锥的底面半径为1，高为3，则该圆锥的表面积为( )A．π B．2πC．3π D．4π解析：设圆锥的母线长为l，则l＝12＋32＝2，所以圆锥的表面积为S＝π×1×(1＋2)＝3π.答案：C2．若棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为( )A．26 B．28C．30 D．32解析：所求棱台的体积V＝13×(4＋16＋4×16)×3＝28.答案：B3．若圆柱的底面半径为1，其侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是( ) A．4π2 B．3π2C．2π2 D．π2解析：依题意，圆柱的母线长l＝2πr，故S侧＝2πrl＝4π2r2＝4π2.答案：A4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A、C、B1、D1为顶点的正三棱锥的全面积为43，则该正方体的棱长为( )A. 2 B ．2 C ．4 D ．2 2解析：设正方体棱长为a ，侧面的对角线长为2a ，所以正三棱锥A －CB 1D 1的棱长为2a ，其表面积为4×34×(2a )2＝43，可得a 2＝2，即a ＝ 2. 答案：A5．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝32，∠ABC ＝120°，将△ABC 绕直线BC 旋转一周，所形成的几何体的体积是( )A.92πB.72πC.52πD.32π解析：如图，△ABC 绕直线BC 旋转一周，所形成的几何体是以△ACD 为轴截面的圆锥中挖去一个以△ABD 为轴截面的圆锥后剩余的部分．因为AB ＝2，BC ＝32，∠ABC ＝120°，所以AE ＝AB sin60°＝3，BE ＝AB ·cos60°＝1，CE ＝52.V 1＝13π·AE 2·CE ＝5π2，V 2＝13π·AE 2·BE ＝π， 所以V ＝V 1－V 2＝32π.故选D.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．[2019·重庆市巴南区校级月考]已知圆锥的底面半径为2 cm ，高为1 cm ，则圆锥的侧面面积是________cm 2.解析：根据圆锥的侧面面积公式可得S 侧＝π×2×22＋12＝25π(cm)2. 答案：25π7．[2019·郑州市校级月考]底面是菱形的直棱柱，它的体对角线的长分别是7和15，高是5，则这个直棱柱的侧面面积是________．解析：依题意得，直棱柱底面的一条对角线长为152－52＝102，底面的另一条对角线长为72－52＝2 6.又菱形的两对角线互相垂直平分，故底面边长为522＋62＝214，则这个直棱柱的侧面面积S 侧＝4×214×5＝4014.答案：40148．[2019·启东市校级检测]如图，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩余部分母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．解析：将该几何体上部补上一个与该几何体相同的几何体，得到一个圆柱，其体积为π(a ＋b )r 2，所以所求几何体的体积为12π(a ＋b )r 2.答案：12π(a ＋b )r 2三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S －ABC 如图所示，求它的表面积． 解析：因为四面体S －ABC 的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍．不妨求△SBC 的面积，过点S 作SD ⊥BC ，交BC 于点D ，如图所示． 因为BC ＝SB ＝a ，SD ＝SB 2－BD 2＝a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝32a ，所以S △SBC ＝12BC ·SD ＝12a ×32a ＝34a 2.故四面体S －ABC 的表面积S ＝4×34a 2＝3a 2.10．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的体积．解析：如图，过C 作CE 垂直于AD ，交AD 延长线于E ，则所求几何体的体积可看成是由梯形ABCE 绕AE 旋转一周所得的圆台的体积，减去△EDC 绕DE 旋转一周所得的圆锥的体积．所以所求几何体的体积V ＝V 圆台－V 圆锥＝13π×(52＋5×2＋22)×4－13π×22×2＝1483π.[能力提升](20分钟，40分)11．如图所示，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为4，动点E ，F 在棱AB 上，且EF ＝2，动点Q 在棱D ′C ′上，则三棱锥A ′－EFQ 的体积( )A ．与点E ，F 的位置有关B ．与点Q 的位置有关C ．与点E ，F ，Q 的位置都有关D ．与点E ，F ，Q 的位置均无关，是定值解析：因为点Q 到平面A ′EF 的距离为正方体的棱长4，A ′到EF 的距离为正方体的棱长4，所以V A′－QEF＝V Q－A′EF＝13×12×2×4×4＝163，是定值，因此与点E，F，Q的位置均无关．答案：D12．如图所示，正方形ABCD的边长为6 cm，BC，CD的中点分别为E，F，现沿AE，EF，AF折叠，使B，C，D三点重合，构成一个三棱锥，则这个三棱锥的表面积为________．解析：因为折叠后构成的三棱锥的表面均由原正方形的各部分围成，且没有重叠，因此这个三棱锥的表面积等于正方形ABCD的面积，为6×6＝36(cm2)．答案：36 cm213．如图是一建筑物的三视图(单位：m)，现需将其外壁用油漆粉刷一遍，已知每平方米用漆0.2 kg，问需要油漆多少千克？(无需求近似值)解析：由三视图知建筑物为一组合体，自上而下分别是圆锥和正四棱柱，并且圆锥的底面半径为3 m，母线长为5 m，正四棱柱的高为4 m，底面是边长为3 m的正方形，圆锥的表面积为πr2＋πrl＝9π＋15π＝24π (m2)；四棱柱的一个底面积为9 m2，正四棱柱的侧面积为4×4×3＝48 (m2)，所以外壁面积为24π－9＋48＝(24π＋39) (m2)．所以需要油漆(24π＋39)×0.2＝(4.8π＋7.8) (kg)．14．一个直角梯形的两底边长分别为2和5，高为4，将其绕较长的底所在的直线旋转一周，求所得旋转体的表面积．解析：如图，梯形ABCD中，AD＝2，AB＝4，BC＝5.作DM⊥BC，垂足为点M，则DM＝4，MC＝5－2＝3.在Rt△CMD中，由勾股定理得CD＝32＋42＝5.在旋转形成的旋转体中，AB形成一个圆面，AD形成一个圆柱的侧面，CD形成一个圆锥的侧面，设其面积分别为S1，S2，S3，则S1＝π·42＝16π，S2＝2π×4×2＝16π，S3＝π×4×5＝20π，故此旋转体的表面积为S＝S1＋S2＋S3＝52π.。
1.3_柱体、椎体、台体的表面积与体积
B
例6、已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距 离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的 体积、表面积。
在Rt OOA中, OA2 OO2 OA2 ,
R2 ( R 2 2 3 2 ) ( ) , 2 3
4 R . 3
4 4 4 3 256 3 V R ( ) ; 3 3 3 81
B
B
B B
如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 V三棱锥＝ 1 Sh
A’
A’
3
A’
2
B’
3
B’
C’
1
A C C
C
B B
1 3
V1＝V2＝V3＝
V三棱柱
三棱锥的体积
V三棱锥＝
1 3
Sh
S是三棱锥的底面积， h是高
锥体体积
经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积
1 ．即棱锥的体积： 的 3
R2 l 2
= (R 2 l 2 ) = R 2 l 2 r
l
R
r2
o
o
设球的半径为R,截面半径为r,平 面与截面的距离为 那么 r = 因此 S圆 =
圆环面积 S圆环 = R 2 l 2
R l
2
2
= (R 2 l 2 ) = R 2 l 2 r
Q 解： 正方体内接于球 球的直径等于正方体的体对角线长A ( 2 R )2 3a2 R
2 2
3 2
D B O
C
a
4 3
S 4 R 3 a 且V R
3
3 2
a A1
3
D1
C1 B1
1.3.1柱体、锥体、台体的表面积和体积
（一）柱体、锥体、台体的表面积 思考:面积是相对于平面图形而言的，体 积是相对于空间几何体而言的.
面积:平面图形所占平面的大小
体积:几何体所占空间的大小
表面积：几何体表面面积的大小
怎样理解棱柱、棱锥、棱台的表面积？
一般地,多面体的表面积就是各个面的面积之和
复习回顾
长方体体积：V abc
正方体体积：V a3
圆柱的体积：V r2h
圆锥的体积： V 1 Sh
3
V
Sh
柱体、锥体、台体的体积
正方体、长方体，以及圆柱的体积公式可以统
一为：
柱
V = Sh（S为底面面积，h为高）
体 一般棱柱的体积公式也是V = Sh，其中S为
底面面积，h为高（即上下底面的距离）
3.14，结果精确到1 cm2 ）？
20cm
解：由圆台的表面积公式得
花盆的表面积：
15cm
S
15
2
15
15
20
15
1.5
2
15cm
2 2
2 2
999 (cm2 )
答：花盆的表面积约是999 cm2 ．
.它已的知展圆开锥图的的底形面状半为径__为_2_c_m__扇，_母形。线该长图为形3的c弧m。 长为_____c4mπ，半径为______cm3 ，所以圆 锥的侧面积为______6cπm2。
h s
锥 圆锥的体积公式是 V 1 Sh
3
体 (其中S为底面面积，h为高)
它是同底同高的圆柱的体积的 1
3
S h
O S
棱锥的体积公式也是 V 1 Sh 3
高中数学 第1章 空间几何体 1.3 空间几何体的表面积与
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积疱丁巧解牛知识·巧学一、柱体的表面积 1.棱柱的表面积.当棱柱的侧棱与底面垂直时，去掉底面，展开图是矩形，如长方体、直棱柱等，如图1-3-1.图1-3-1所以侧面积为S 直棱柱侧面积=Ch ，即直棱柱的侧面积是底面周长乘高. 其中C 是底面的周长，h 是侧棱长，也是高. 全面积S 全=S 侧+S 底.底面积的求法，如果是规则多边形，用公式；当是不规则多边形时,先用分割法分割成几个三角形，再求之.方法点拨 求棱柱的全面积，一般有两种方法，一是逐个面求面积，这是解决问题的常用方法;再一种就是割补法.例如，在一般棱柱中,作DE 、EF 、FD 与侧棱垂直,被截面DEF 截成两节，按图1-3-2的方式拼接，则变成了一个直棱柱，侧面积不变.图1-3-22.圆柱的表面积.圆柱的侧面展开图是一个矩形，如图1-3-3.图1-3-3所以圆柱的侧面积是S=Ch=2πrl. 二、锥体的表面积1.棱锥的表面积一般用逐面加的方法，在正棱锥的情况下，可以用公式S 侧='21Ch ,其中，C 是底面的周长，h′是侧面的高.对棱锥表面积的求解可以这样理解 .如图1-3-4,每个侧面都是全等三角形,所以S 侧=AB 21·h′+BC 21·h′+CA 21·h′=21(AB+BC+CA)h′,或者S 侧=n·'21ah ,其中,a 是底面边长.图1-3-42.圆锥的表面积.圆锥的侧面展开图是扇形,如图1-3-5，所以侧面积是扇形的面积，S=Cl 21=πrl ，其中C 是底面周长，l 是母线长，r 是底面半径.图1-3-5三、台体的表面积 1.棱台的表面积.棱台的表面积由上、下底面与侧面组成，它没有固定的解法，一般用逐面相加.正棱台的侧面是全等的等腰梯形，底面是正多边形，可以用公式求.深化升华比如，四棱台的展开图由四个全等的等腰梯形和两个正方形组成，如图1-3-6.所以棱台的侧面积S 侧=n·21（a+a′）h′=21（na+na′）h′，其中，a′是上底面边长，a 是下底面边长，n 是侧面的个数，h′是斜高，即侧面等腰梯形的高，C 是下底周长，C′是上底周长.这一结果可以用求两个棱锥的侧面积之差的方法得到，请自己做.棱台的表面积是底面积与侧面积之和.图1-3-62.圆台的表面积.圆台的侧面展开图是一个扇环，如图1-3-7，AC=l,OC=l 1，OA=l 2，l=l 2-l 1，r′是上底半径，r 是下底半径，则r r l l '21=，所以''121r r r l l l -=-图1-3-7所以l 1(r-r′)=lr′,l 1r-l 1r′=lr′，l 2r+l 1r-l 1r′-l 2r=lr′，l 2r-l 1r′=(l 2-l 1)r+lr′,πrl 2-πr′l 1=πl(r+r′)-21(C+C′)l， 即S 侧=πrl 2-πr′l 1=πl(r+r′)=21(C+C′)l. 四、柱体、锥体、台体的体积 1.棱柱、圆柱的体积.一般棱柱体积用V 表示，V=Sh ，其中S 是底面积，h 是棱柱的高,正棱柱、直棱柱的高等于侧棱长.圆柱的体积也是底面积乘高，即V=Sh=πr 2h. 2.棱锥、圆锥的体积.棱锥体积是等底等高的柱体体积的31，一个三棱柱可以分解成三个体积相同的三棱锥，如图1-3-8.图1-3-8所以棱锥的体积V=Sh 31,圆锥也符合V=Sh 31=31πr 2h.3.棱台与圆台的体积.棱台与圆台的体积可由原来的圆锥或棱锥体积减去截掉的圆锥或棱锥的体积求得. V=h S SS S )''(31++.圆锥的体积还可以表示为V=h π31(r 2+Rr+R 2).方法点拨 有些几何体是由若干个简单几何体如柱、锥、台等组合而成，即组合体.求解组合体表面积与体积的关键是掌握简单几何体的体积公式，将组合体分解成为若干个简单几何体来解.问题·探究问题1 比较柱、锥、台的体积公式，你能否发现它们之间的联系？探究:从运动的观点来看，柱、锥、台的体积公式之间相应的有一定的联系，具体关系可列表如下:问题2 图1-3-9中哪些展开图可以折成长方体？图1-3-9 图1-3-10探究:长方体共有6个面，一个图形能否折成长方体，实质就是看一个长方体的侧面展开图可以为哪种情况.容易验证，只有A 图与C 图符合要求. 典题·热题例1 如图1-3-11，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA 1=8，若侧面AA 1B 1B 水平放置时，液面恰好过AC 、BC 、A 1C 1，B 1C 1的中点，当底面ABC 水平放置时，液面的高为多少？图1-3-11思路解析：三棱柱形容器内盛有水，无论如何放置，水的体积不会改变，据此建立关系式便可解决问题.解：设直三棱柱的底面ABC 面积为S ，高为ｈ，则ｈ=8.当侧面AA 1B 1B 水平放置时，水的形状呈直四棱柱形，由于液面恰好过AC 、BC 、A 1C 1、B 1C 1的中点，则直四棱柱的底面积是直三棱柱底面积的43，即直四棱柱的底面积是S 43，所以水的体积为S 43·h=43h S ∙=6S. 当底面ABC 水平放置时，设液面高为h 1，则V 水=Sh 1，从而有Sh 1=6S,所以h 1=6,即当底面ABC 水平放置时，液面高为6. 方法归纳 本题的实质是体积的等量转化，即等积变换，这是一种求体积的常用方法.一是变换几何体的顶点和底面;二是把原几何体进行分割，进而求几个小几何体的体积之和;三是把几何体的形状改变，但体积不变，如本例即为此种情况. 例2 如图1-3-12，圆台的轴截面ABCD 中，AB∥CD ，AC⊥BD，E 是垂足，∠BCD=75°，设BC=a ，求圆台的侧面积.图1-3-12思路解析：要求圆台的侧面积，则要知道上、下底的半径和母线(已知)，即要求出AB 和DC ，可知△AEB 和△DCE 都是等腰直角三角形，而BE 和EC 都可求出，问题就解决了. 解：∵AD=BC，AC=BD ，DC=CD, ∴△ADC≌△BCD.∴∠BDC=∠ACD. ∵AC⊥BD，∴∠DEC=90°. ∴∠BDC=∠ACD=45°.又∵∠BCD=75°，∴∠ACB=30°. 在Rt△BCE 中，BE=a BC 2121=,CE=a 23,∴AB=a 22.∴上底半径r=a 42.同理,可得CD=a 26. ∴下底半径R=a 46.∴圆台的侧面积S=π(R+r)·l=2426a π+. 深化升华 本题是圆台的表面积公式的应用，旋转体的表面积一般代入公式直接求解.例3 如图1-3-13,一个长、宽、高分别为4厘米、2厘米、1厘米的长方体纸盒.一只蚂蚁要从A 点出发在纸盒表面上爬到B 点运送食物，求蚂蚁行走的最短路程.图1-3-13思路解析：因为是在长方体的表面爬行，求的是立体图形上的最短路线问题，往往可以转化为平面上的最短路线问题.将蚂蚁爬行经过的两个面展开在同一平面上，如图1-3-13展开图，AB 间的最短路线是连结这两点的直线段.解：蚂蚁从A 点出发，到B 点，有三条路线可以选择：(1)从A 点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B 点，将这两个平面展开在同一平面上，这时A 、B 间的最短路线就是连结AB ，如图1-3-14①，AB 是Rt△ABC 的斜边，根据勾股定理，AB 2=AC 2+BC 2=(1+2)2+42=25；(2)从A 点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达B 点，将这两个面展开在同一平面上，如图1-3-14②，同理,AB 2=22+(1+4)2=29；(3)从A 点出发，经过上底面，然后进入右侧面到达B 点，将这两个面展开在同一平面上，如图1-3-14③，得AB 2=(2+4)2+12=37.图1-3-14比较三条路线，25最小，所以蚂蚁按图①爬行的路线最短，最短路程为5厘米.误区警示 本题求解时要注意蚂蚁可沿几条路线到达B 点，需对它们进行比较，而不能直观地认为某条路线就是最短路程.。
高中数学第一章空间几何体1.3.1柱体锥体台体的表面积与体积课件新人教A版
4.(求表面积)(2015大同一中高二(上)月考)圆台的一个底面周长是另一个
底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径
为( A ) (A)7 (B)6
(C)5
(D)3
课堂探究
题型一 空间几何体的表面积
【教师备用】 1.三棱柱、三棱锥、三棱台的侧面展开图各是什么图形? 提示:三棱柱上、下底面是三角形,侧面展开图为矩形;三棱锥各面均是三角 形;三棱台上、下底面是三角形,侧面为梯形. 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图是什么? 提示:圆柱的侧面展开图是矩形,圆锥的侧面展开图是扇形;圆台的侧面展开 图是扇环.
【例 1】 (2015 大同一中高二(上)月考)如图,在底面半径为 2 母线长为 4 的圆 锥中内接一个高为 3 的圆柱,求圆柱的表面积.
解:设圆锥的底面半径为 R,圆柱的底面半径为 r,表面积为 S, 则由三角形相似得 r=1, 所以 S 底=2π,S 侧=2 3 π, 所以 S=(2+2 3 )π.
解析:由题中三视图可知,该多面体是棱长为 2 的正方体去掉两个全等的三棱
锥后得到的几何体,因此其表面积为 6×2×2-6× 1 ×1×1+2× 3 ×( 2 )2
2
4
=21+ 3 ,故选 A.
题型二 空间几何体的体积
【例2】 (2015大同一中高二(上)月考)如图,已知正四棱锥 V-ABCD中,底面ABCD是正方形,AC与BD交于点M,VM是棱锥的高, 若AC=6 cm,VC=5 cm,求正四棱锥V-ABCD的体积.
题后反思 (1)多面体的表面积转化为各面面积之和. (2)解决有关棱台的问题时,常用两种解题思路:一是把基本量转化到直角梯 形中去解决;二是把棱台还原成棱锥,利用棱锥的有关知识来解决. (3)旋转体中,求面积应注意侧面展开图,上下面圆的周长是展开图的弧长.圆 台通常还要还原为圆锥.
柱体锥体台体的表面积与体积
侧面积表面积03表面积01平截面02斜截面平截面$n\pi r^{2}h$斜截面$\frac{1}{3}\pi rh^{2}$体积$n\pi r^{2}h + \frac{2}{3}\pi rh^{2}$底面积侧面积表面积侧面积表面积底面积1 2 3体积公式适用范围注意事项体积公式01适用范围02注意事项03圆台表面积计算公式$S$$r$$l$圆台的表面积圆锥台表面积计算公式$S=1/2l(r₁+r₂)+πr ₁r₂$圆锥台表面积圆锥台母线长度圆锥台底面半径圆锥台顶面半径$S$$r₁$$r₂$$l$圆锥台的表面积$V$：圆台体积$r ₂$：圆台底面半径圆台体积计算公式：²+r ₂²)$$：圆台顶面半径010203040506圆台的体积圆锥台体积计算公式$V$$h$$r$ $r₁$ $l$圆锥台的体积圆柱的表面积圆柱的侧面积加上上下底面的面积，公式为$2\p i r h+2\p i r^{2}$，其中$r$为底面半径，$h$为高。
体积为底面积乘高，公式为$\pi r^{2}h$。
圆锥的表面积圆锥的侧面积加上底面的面积，公式为$\pi rl + \pi r^{2}$，其中$r$为底面半径，$l$为母线长。
体积为$\frac{1}{3}\pi r^{2}h$，其中$h$为高。
圆台的表面积圆台的侧面积加上两个圆底面的面积，公式为$\pi(r_{1}+r_{2})l +\pi r_{1}^{2} + \pi r_{2}^{2}$，其中$r_{1}$、$r_{2}$分别为圆台的上下底面半径，$l$为圆台的母线长。
体积为$\frac{1}{3}\pih(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{1}r_{2})$，其中$h$为高。
旋转体的表面积与体积平行投影柱体锥体台体的表面积与体积平行投影柱体的表面积平行投影台体的表面积组合体的表面积组合体的体积组合体的表面积与体积面积和体积的计算有助于了解其特性。
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1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
[A级基础巩固]
一、选择题
1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )
A．π B．2π C．4π D．8π
解析：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的母线长为2r，由题意得S圆柱侧＝2πr×2r＝4πr2＝4π，所以r＝1，所以V圆柱＝πr2×2r＝2πr3＝2π.
答案：B
2．(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的
体积为( )
A．π B.3π
4
C.
π
2
D.
π
4
解析：设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，
r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形．
所以r＝12－1
2
2
＝
3
2
.
所以圆柱的体积为V＝πr2h＝3
4
π×1＝
3π
4
.
故选 B.
答案：B
3．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1-ACD的体积是( )
A.1
6
B.
1
3
C.
1
2
D．1
解析：三棱锥D1-ADC的体积V＝1
3
S△ADC×D1D＝
1
3
×
1
2
×AD×DC×D1D＝
1
3
×
1
2
＝
1
6
.
答案：A
4.(2015·课标全国Ⅰ卷 )《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委
米依恒内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为 1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放米约有( )
A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛
解析：由l＝1
4
×2πr＝8得圆锥底面的半径r＝
16
π
≈
16
3
，所以米堆的体积V＝
1
4
×
1
3
πr2h＝
1
4
×
256
9
×5＝
320
9
(立
方尺)，所以堆放的米有320
9
÷1.62≈22(斛)．
答案：B
5．如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是( )
A．6π B．12π C．18π D．24π
解析：由三视图知，该几何体是两底面半径分别为1和2，母线长为4的圆台，故其侧面积S＝π×(1＋2)×4＝12π.
答案：B
二、填空题
6．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积为________．
解析：由正视图可知，该圆台的上、下底面圆的半径分别为1，2，其高为2，
所以其母线长l＝4－2
2
2
＋22＝5，
所以S侧＝π(1＋2)×5＝35π.
答案：35π
7．下图是一个空间几何体的三视图，这个几何体的体积是________．
解析：由图可知几何体是一个圆柱内挖去一个圆锥所得的几何体，V＝V圆柱－V圆锥＝π×22×3－1
3
π×22×3＝
8π.
答案：8π
8．(2015·福建卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于________．解析：由三视图知，该几何体是直四棱柱，底面是直角梯形，且底面梯形的周长为4＋ 2.
则S侧＝8＋22，S底＝2×（1＋2）
2
×1＝3.
故S表＝S侧＋S底＝11＋2 2.
答案：11＋2 2
三、解答题
9．已知圆柱的侧面展开图是长、宽分别为2π和4π的矩形，求这个圆柱的体积．解：设圆柱的底面半径为R，高为h，
当圆柱的底面周长为2π时，h＝4π，
由2πR＝2π，得R＝1，
所以V圆柱＝πR2h＝4π2.
当圆柱的底面周长为4π时，h＝2π，
由2πR＝4π，得R＝2，
所以V圆柱＝πR2h＝4π·2π＝8π2.
所以圆柱的体积为4π2或8π2.
10．一个正三棱柱的三视图如图所示(单位：cm)，求这个正三棱柱的表面积与体积．
解：由三视图知直观图如图所示，则高AA′＝2 cm，底面高B′D′＝23cm，所以底面边长A′B′＝23×2
3
＝4(cm)．
一个底面的面积为1
2
×23×4＝43(cm2)．
所以表面积S＝2×４3＋4×2×3＝24＋83(cm2)，
V＝43×2＝83(cm3)．
所以表面积为(24＋83)cm2，体积为83(cm3)．
B级能力提升
1．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )
A．10 B．12 C．14 D．16
解析：观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为 2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体
各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这些梯形的面积之和为2
×1
2
×(2＋4)×2＝12.故选B.
答案：B
2．(2017·山东卷)由一个长方体和两个
1
4
圆柱体构成的几何体的三视图如下，则该几何体的体积为________．
解析：该几何体由一个长、宽、高分别为2，1，1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，
所以V＝2×1×1＋2×1
4
×π×12×1＝2＋
π
2
.
答案：2＋π2
3．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，求该几何体的体积．解：由三视图知，该几何体是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体．
V四棱柱＝23＝8，V四棱锥＝1
3
×22×2＝
8
3
.
故几何体的体积V＝V四棱柱＋V四棱锥＝8＋8
3
＝
32
3
(cm3)．。